Algebra Linear

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, 
SEYMOUR LIPSCHUTZ 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
TEMPLE UNIVERSITY 
Algebra Linear 
Resumo da teoria 
600 Problemas resolvidos 
524 Problemas propostos 
Tradução 
de 
ROBERTO RIBEIRO BALDINO 
Prof. Titular do Instituto de Matemática 
Universidade P''ederal do Rio Grande do Sul 
EDITORA McGRA W-HfLL DO BRASIL, LTDA. 
SÃO PAULO- RIO DE JANEIRO- BELO HORIZONTE 
DVSSELDORF, JOHANNESBURG, KUALA LUMPUR, LONDON, 
MEXICO, MONTREAL, NEW DELHI, NEW YORK, PANAMA, 
St. LOUIS, SAN FRANCISCO, SINGAPORE, SYDNEY, TORONTO. 
Do original 
Schaum's Outline of Theory and Problems 
o f 
LINEAR ALGEBRA 
publicado nos E.U.A. por Schaum Publishing Co. 
Copyright © 1968 by McGraw-Hill, .Jnc. 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, guar-
dada pelo sistema "retrleval" ou transmitida de qualquer modo ou por 
qualquer outro melo, seja este eletrônico, mecânico, de fotocópia,· de 
gravação, ou outros, sem prévia autorização por escrito da Editora. 
1973 
Todos os diYtitos para a> Unr;tw. portuguesu reservtUlotÍ pela 
EDITORA McGRAW-HILL DO BRASIL, LTDA. 
Rua Tabapuã, 1105 
ITAIM-BIBI, SÃo PAuLo 
SÃo PAULO 
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RIO DE JANEIRO 
GUANABARA 
Impresso no Brasil 
· Printed in Brazi! 
Rua Turmalina, 27 
BELO HORIZONTE 
MINAS GEJIAIS 
Álgebra Linear 
da base matemática 
e outros cientistas. 
cação da matétia. 
, 
PREFACIO 
tem-se tornado, recentemente, uma parte essencial 
de que necessitam matemáticos, engP.nheiros, físicos 
Êste requisito reflete a importância e grande apli-
Esta obra foi projetada para uso como livro-texto em um curso formal 
de Álgebra Linear ou como um suplemento para todos os tExtos padrões. 
Seu propósito é apresentar uma introdução à Álgebra Linear que sirva 
de ajuda a todos os leitores, independentemente de seus campos de espe-
cialização. Nêle se incluiu mais material do que _aquêle que pode ser 
visto na maioria dos cursos JlllClaiS. Isto foi feito para tornar o livro 
mais flexível, útil de referências e para estimular maior interêsse pelo 
assunto. 
Cada capí tu! o começa com asserções claras de definições. pertinentes, 
princípios e teoremas, juntamente com material ilustrativo e descritivo. 
Isto é seguido por gradações de problemas resolvidos e problemas pro-
post<;>s. Os problemas resolvidos servem para ilustrar e ampliar a teoria, 
trazendo clareza aos pontos sutis, sem os quais o estudante sE. sente, conti-
nuamente, em terreno inseguro, e promovem a repetição dos princípios 
básicos tão vitais ao aprendizado efetivo. Numerosas provas de teoremas 
estão incluídas entre os problemas resolvidos. Os problemas propostos 
servem como revisão completa do material de cada capítulo. 
Os três primeiros capítulos tratam de vetores no espaço euclidiano, 
equações lineares e matrize~. Estas produzem a motivação e as ferra-
mentas básicas computacionais para o tratamento abstrato de espaços 
vetoriais e transformações lineares, que vem. a seguir. Um capítulo sôbre 
autovalores e autovetores, precedido por determinantes,. dá condições 
para representar um operador linear por uma matriz diagonal.· Isto, 
naturalmente, conduz ao estudo de várias formas canônicas, espécifica-
mente a triangular, a de Jordan e a forma canêínica racional. No último 
capítulo, sôbte espaços com produto interno, o teorema espectral parr1 
operadores simétricos é obtido e aplicado à diagonali~ação de formas 
qu(ldrátiças reais. Para completar, os apêndices incluem seçõ€5 sôbre 
conjuntos e relações, estruturas algéhricas e polinômios sôbre um corpo. 
Desejo agradecer a muitos amigos e colegas, especialmente ao Dr. 
Martin Silverstein e Dr. H wa Tsang, por valorosas sugestões e revisão 
crític~ do manuscrito. Também quero expressar minha gratidão a Daniel 
Schaum e Nicola Monti por suas preciosas colaborações. 
SEYMOUR LIPSCHUTZ 
Temple ~niversity 
Prefácio da Edição Brasileira 
A Álgebra Linear constitui hoje parte indispensável da formação 
básica, não s6 de matemáticos, mas de quantos necessitem apÍicar Mate-
mática, mesmo em suas formas mais rudimentares. Na Matemática, 
sua importância dificilmente pode ser subestimada, quando se compreende 
que é impossível atacar qu<tlquer problema sem perfeita compreensão 
dos fenômenos lineares. 
Êste livro, que cobre tõda a. Álgebra Linear usualmente ensinada 
nos ciclos básicos dos cenÚos técnico-científicos das universidades, poderá 
ser útil de dois modos: 
1 - Como subsídio a outras leitura~ e notas de aub, principal-
mente através dos problemas propostos e dos problemas diversos; 
2 - Como livro-texto, devendo-se, então, proceder ao estudo siste-
mático da poderosa bateria de problemas apresentada, com ênfase nos 
prob!.fmas resolvidos; espera-se que isso suscite nos alunos padrões de 
comportamento adequados à resolução dos problemas com que se defron-
tem, contornando-se, assim, as deficiências do estudo te6rico superficial. 
RoBERTO RIBEIRO BALDINO 
Capítulo 1 
Capítulo 2 
Capítulo 3 
Capítulo 4 
Capítulo 5 
Capítulo 6 
Capítulo 7 
Capítulo 8 
, 
SUMARIO 
VETORES NO R" E C" . ....................... . 
Introdução. Vetores no Rn. 
cação por escalar. Produto 
no Rn. Números complexos. 
Adição de vetores e multipli-
interno. Norma e distância 
Vetores em cn. 
EQUAÇÕES LINEARES . ........ . 
Introdução. Equação linear. Sistema de equações lineares. 
Solução de um sistema de equações lineares. Solução de um 
sistema homogêneo de eq~ações lineares. 
MATRIZES .......................... . 
Introdução. Matrizes. Soma de matrizes e multiplicação 
por escalar. l\ilultiplicação de matrizes. Transposição. Ma-
trizes escalonadas. Equivalência por linhas e operações ele-
mentares com linhas. Matrizes quadradas. Álgebra das 
matrizes quadradas. Matrizes inversíveis. Matrizes de blocos. 
ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS ........ . 
Introdução. Exemplos de espaços vetona1s. Subespaços. 
Combinações lineares, subespaços gerados. Espaço linha de 
uma matriz. Somas e somas diretas. ~ 
BASES E DIMENSÃO ....... . 
Introdução. Dependência linear. Bases e dimensão. Dimen-. 
são e subespaços. Pôsto de uma matriz. Aplicações a equa-
ções lineares. Coordenada>. 
21 
40 
74 
102 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES................ 145 
Aplicições. Transformações lineares. Núcleo e imagem de 
uma transformação linear._. Tra~sformações singulares e não 
singulares. Transformações lineares e sistemas de equações 
lineares. Operações com transformações lineares. Álgebra 
dos operadores lineares. Operadores inversíveis. 
MATRIZES E OPERADORES -LINEARES.: ..... , 182 
Introdução. Representação matricial de um operador linear. 
Mudança de base. Semelhança. Matrizes e transformações 
lineares. 
DETERMINANTES............................. 208 
Introdução. Permut!ações. Determinante. Propriedades dos 
determina;..tes. Menores e co-fatôres. Adjunta clássica: Apli-
cações às equações lineares. Determinante de um operador 
linear. Multilinearidade e determinantes. 
Capítulo 9 
Capítulo 10 
Capítulo 11 
Capítulo 12 
Capítulo 13 
Apêndice A 
Apêndice B 
Apêndice C 
AUTOVALORES E AUTOVETORES............. 239 
Introdução. Polinômios de matrizes e operadores lineares. 
Autovalores e autovetores. Diagonalização e autovetores. 
Polinômio característico, teorema de Cayley-Hamilton. Poli-
nômio mínimo. Polinômios característico e mínimo de opera-
dores lineares. 
FORMAS CANÔNICAS 
Introdução. F o r ma triangular. Invariância. Decomposição 
em somas diretas invariantes. Decomposição em primos. 
Operadores nulpotentes. Forma canônica de Jordan. Subes-
paços cíclicos. Forma canônica racional. Espaços quocientes. 
269 
FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL.. 302 
Introdução. Funcionais lineares e o espaço dual. Base dual. 
Espaço segundo dual. Anuladores. Transp:Jsta de uma trans-
formaçãolinear. 
FORMAS BILINEARES, QUADR.~TICAS E 
HERMITIAN AS .. 
Formas bilineares. Formas bilineares e nntrizes. Formas 
bilineares alternadas. Formas bilineares simétricas, formas 
quadráticas. Formas bilineares simétricas reais. Lei de inér-
cia. Formas hermitianas. 
ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO. 
Introdução. Espaços com produto interno. Desigualdade de 
Cauchy-Schwarz. Ortogonalidade. Conjuntos ortonormais. 
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Funcionais 
lineares e operadores adjuntos. Analogia entre A(V) e C, ope-
radores especiais. Operadores ortogonais e unitários. Matri-
zes ortogonais e unitárias. Mudança de bases ortonormais. 
Operadores positivos. Diagonalização e formas canônicas nos 
espaços euclidianos. Diagonalização e formas canônicas nos 
espaços unitários. Teorema espectral. 
CONJUNTOS E RELAÇÕES .. 
Conjuntos, elementos. Operações com conjuntos. Conjuntos 
produtos. Relações. Relações de equivalência. 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS .................. . 
Introdução. Grup:Js. Anéis, domínios de integridade e corpos. 
Módulos. 
POLINÔMIOS SÔBRE UM CORPO ............ . 
Introdução. Anel de polinômios. Kotação. Divisibilidade. 
Fatorização. 
316 
337 
379 
385 
394 
lndice Remissivo ......................................... . 399 
·Capítulo l 
Vetores no Rn e cn 
INTRODUÇÃO 
Em várias aplicações físicas aparecem certas qúantidades, tais como 
temperatura e rapidez, que possuem sõmente "magnitude". Estas põdem 
ser representadas por números reais e são chamadas escalares. Por outro 
lado, também há quantidades, como fôrça e velocidade, que possuem am-
bas "magnitude" e "direção". Essas quantidades podem ser represen-
tadas por flechas (tendo comprimento e direção apropriados e emànando 
de um dado ponto de referência O) e são chamadas vetores: Neste capí-
tulo, nós estudamos as propriedades de tais vetores com· algum detalhe. 
Começamos por considerar as seguintes operações com vetores: 
(i) Adição. A resultante u + v de dois ve-
tores é obtida pela chamada lei do para-
"Jelogramo, isto é, u + v é a diagonal do 
paralelogramo formado por u e v, como 
se mostra à direita; 
(ii) Multiplicação por escalar. O produto ku, o 
de um número real k por um vetor u, é 
obtido multiplicando a magnitude de u 
por k e mantendo a mesma direção se 
k 2: O ou a direção oposta, se k < O, 
c9mo se mostra à direita. 
Agora,.supomos que o leitor esteja familiarizado co:n a representação 
de pontos no plano por pares ordenados de números reais. Se a origem 
dos eixos é escolhida no ponto de referência O acima, então cada vetor 
é determinado, de maneira única, pelas coordenadas da sua extremidade. 
As relações entre as operações acima e extremidades são as seguintes: 
(i) Adição. Se (a, b) e (c, d) são as extremidades dos vetores u e v, então 
(a + c,b + d) será a extremidade deu + v, como mostra a figura (a) 
abaixo. 
(a+ c, b + d) 
(ka, kb) 
· Fig .. (a)~ 
2 VETORES NO R" E C" [CAP. i 
(ii) Multiplicação por escalar. Se (a, b) é a extremidade do vetor u, então 
(ka, kb) será a extremidade do vetor ku, como mostra.a figura (b), acima . 
. Matemàticamente, nós identificamos um vetor com sua extremidade; 
isto é, chamqmos o par ordenado (a, b), de números reais, um vetor. 
Na realidade, generalizaremos esta noção e chamaremos uma n-u'p!a 
(a1 , a2 , .•. , an) de números reais um vetor. Generalizaremos novamente 
e permitiremos que as coordenadas da n-upla sejam números complexos 
e não apenas números reais. Além disso, no capítulo 4, abstrairemos as 
propriedades dessas n-uplas e formalmente definiremos o sistema matemá-
tico chamado espaço vetorial. 
Supomos que o leitor está familiarizado com as propriedades elemen-
tares do corpo dos números reais, que representamos por R. 
VETORES NO Rn 
O conjunto de tôdas as n-uplas de números reais, anotado Rn, é cha-
mado n-espaço. Uma particular n-upla no Rn, digamos 
é chamada um ponto ou vetor; os números rf'aÍs u, são chamados compo-
nentes (ou coordenadas) do vetor u. Além disso, quando discutindo o 
espaço Rn, usamos o têrmo escalar para os elementos de R, isto é, para 
os números reais. 
Exemplo 1.1. Considere os seguintes vetores: I' 
(0,1), (1,-3), (1,2,v},4), (-S.t~O,,..)! 
Os dois primeiros vetores têm duas componentes e, portánti:Çsão pontos do R 2; os dois 
últimos têm quatro componentes e, portanto, são pontos do R 4. 
Dois vetores v e u são iguais, escrevendo-se u = v, se êles têm o mes-
mo número de componentes, isto é, pertencem ao mesmo espaço, e se as 
componentes correspondentes são iguais. Os vetores (1, 2, 3) e (2, 3-, 1) 
_rião são iguais, porque os elementos corresponden~es não são iguais. 
Exemplo 1.2. Suponha (x- y, x + y, z- 1) = (4, 2, 3). Então, por defÍ!lÍção de 
igualdade de vetores, 
X- y = -! 
x+y=2 
z- 1 = 3 
Resolvendo o sistema de equações acima, temos 
x = 3, y ·= -1, e z = 4. 
ADIÇÃO DE VETORES E MULTIPLICAÇÃO POR. ESCALAR 
Sejam u e v vetores no Rn: 
CAP. 1] VETORES NO R" E C" 3 
A soma de u e v, escrita u + v, é o vetor obtido pela adição das compon~n­
tes correspondentes u +v = (u 1 + v1 , u2 + v2 , ••• , U 11 + vn). 
O produto de um número real k pelo vetor u, escrito ku, é o vetor obtido 
multiplicando cada componente de u por k: ku = (ku 1 , ku2 , .•• , kun). 
Observe que u +v e ku são também vetores do R". Definimos, igual-
mente, 
- u = - lu e u- v = u + (-v) 
A soma dos vetores com número diferente de componentes não é definida . 
.-;xemplo 1.3. Seja u = (1, -3, 2, 4) e v = (3, 5, -1, -2). Então, 
u +v = (1 + 3, -3 + 5, 2- I, 4- 2) = (4, 2, I, 2) 
5u = (5 . 1, 5 . (-3), 5 . 2, 5 . 4) = (5, -15, 10, 20) 
2u- 3v = (2, -6, 4, 8) + (-9, -15, 3, 6) = (-7, -21, 7, 14) 
Exemplo 1.4. O vetor (0, O, . , O) no R", ·anotado O, é chamado vetor i(ro. ê:le 
é semelhante aO escalar 0 sob O aspecto de que, para qualquer vetor U = (ut, 2t2, ... , u,), 
u + 0 = (ut + 0, U2 + 0, . '., Un + O)"= (ut, 112, ... u~) = u 
Propriedades básicas dos vetores do R' em operações de adição de 
vetores e multiplicação por escalar são descritas no seguinte teorema. 
Teorema 1.1. Para quaisquer vetores u, v; w E R' e quaisquer escalares 
k, k' E R, 
(i) tU+ v) + w = u. + (v + w) 
(ii) u +o= u 
(iii) u +, (--u) = o 
(iv) u + v = v + u 
(v) k(u +v)= ·ku +kv 
(vi) (k + k')u = ku + k'u 
(vii) (kk')u = k(k'u) 
(viii) lu = u · 
·Observação. Suponha que u e v sejam vetore~ do R" eu = kv para algum 
.escalar não-nulo k E R. Então, diz-se que u está na mesma direção de v, 
se k > O, e na direção oposta se k < O . 
. PRODUTO INTERNO 
Sejam u e v vetores do R": 
U = (u1 , U2 , .. . , Un) e V= (VIl V2, .. . , Vn) 
O produto escalar ou produto interno deu e v, anotado u •V, é o escalar obtido 
multiplicando as componentes correspondentes e somando os produtos 
obtidos: 
:oi. U .t' = U 1V1 + U 2V2 + ... + U,.V11 
Diz-se que os. vetores u e v são ortogonais (ou perpendiculares) se seu 
produto interno é zero: u . v = O. 
Exemplo 1.5. Sejam u = (1, -2, 3, -4), v= (6, 7, 1, -2) e w = (5, -4, 5, 7). Então. 
u. v = 1 . 6 + (-2) . 7 + 3 . 1 + (-4) . (-2) = 6 - 14 + 3 + 8 ,· 3 
u. w = 1 . 5 + (-2). (-4) + 3. 5 + (-4). 7 = 5 + 8 + 15-28 = o 
Assim, u e w são ortogonais. 
4 VETORES NO R" E C" [CAP. 
As propriedades básicas do produto interno no Rn são as seguintes. 
Teorema 
k E R: 
(1) 
(i i) 
(iii) 
(i v) 
1.2. Para quaisquer vetores u, v, w E R' e qualquer escalar 
(u + v) . w = u . w + v· w 
(ku) . v = k(u . v) 
u.v=v.11 
u . u '). O, e u . u = O se, e somente se, u = O 
Observação. O espaço R' com as operações acima de soma de vetores, 
multiplicação por escalar e produto interno é, usualmente, chamado 
n-espaço euclidiano. 
NORMA E DISTÂNCIA NO R" 
Sejam. ·u e v vetores do R'': u = (tt 1, tta, . , t.t,) e v = (vto v2, ... , Vn). 
A distância entre os pontos u e v, escritad(u, v), é definida por 
+ (un- Vn)" 
A norma (ou comprimento) do vetor u, escrita // u //, é definida como 
sendo a raiz f'JUadrada, não negativa, deu. u: 
I ! uI ! = v~~ = vu7 + u~ + ... + u~ 
Pelo teorema 1.2, u . u 2: O; logo, a raiz quadrada existe. Observe que 
d(u,v) = //u-v!/ 
Exemplo 1.6. Sejam u = (1, -2, 4, I) e v = (3, 1, -5, 0). Então, 
d(u, v) = V(l- 3)2 + (- 2 -1)2 + (4 + 5) 2 + (1- 0) 2 = V95 
llvll = V3'+1'+(-5)'+0' = vTs 
Agora, se considerarmos dois pontos, digamus p = _(a, b) e q = (c, d) no plano R 2, então 
I IPI I= Va'+b' e d(p,q) = V(a-c)'+(b-d) 2 
Isto é, I I p I I corresponde ao comprimento euclidiano usual da flecha 
da origem ao ponto p, e d(p, q) corresponde à distância euclidiana usual 
entre o~ pontos p e q, como se mostra abaixo. 
/a/ 
I 
I 
I 
p = (a,b) 
I ; 
I 
I 
I 
Um resultado semelhante 'Vaie para os pontos na reta R e no espaço n3 • 
CAP. 1] VETORES NO R• E c• 5 
Observação. Um vetor e é chamado um vetor unitário se sua nom1a é 
1 : li e li = 1. Observe que, para qua1quer ;•etor não- nulo, u E R", 
o vetor e,. = u/11 u li é um vetor unitário na mesma: direção :de u. 
Agora, estabelecemos lima relação fundamental conhecida por desi-. 
gualdade· dé Cauchy-Schwarz. 
Teorema 1.3 (Cauchy-Schwarz). Para quaisquer vetores U.• v E R", 
!u.vl :$ lluil llvll. 
Usando a desigualdade acima, podemos agora definir o ângulo fJ 
entre dois _vetoreS-não nulos quaisquer, u, v E R", porcos (} -~ · . u · v · 
· · · llull llvll 
Note que, se u . v = O, então O = 90ó (ou O =· "Ir/2). Isto, então, con-
corda com nossa definição prévia de ortogonalidade. 
NÚMEROS COMPLEXOS 
O conjunto dos números complexos é anotado C. Formalmente, 
um número complexo é um par ordenado (a, b) de números reais; igual-
dade, adição e multiplicação dos números complexos são definidas a seguir: 
(a, b) =.(c, d) se, e sómt'ntt' se, a = c e b = d 
(a, b) + (c, d) = (a +·c, b + d) 
(a, b)(c, d) = (ac- bd, ad + bc) 
Identificamos o número real a com o niímero complexo (a, O) :a <-> (a, 0). 
Isto é possível desde que as operações de adição e multiplicação de núme-
ros reais sejam preservadas sob a corres-pondência 
(a, O) + (b, O) = (a + b, O). e (a, O)(b, O) = (ab. G) 
Assim, vemos R como um subconjunto de C e substituímos (a, O) por a, 
sempre que fôr conveniente e possível. 
O número complexo (0, 1), notado i, tem a importante propriedade 
i2 = ii = (0, 1)(0, 1) = (-1, O) = -1 ou i = V=1 
Além di8so, usando o lato 
(a, b) = (a, O) + (0, b) e (0, b) = (b, 0)(0, 1), 
temos 
(a, b) = (a, O)+ (b, 0)(0, 1) = a+ bi 
A notação a + bi é mais conveniente do que (a, b). Por exemplo, a soma 
e o produto de números complexos podem ser obti~o~ usando simplesmente· 
as leis de comutatividade e distributividade e i_2 "=,-'l: 
(a+ Oi)+ (c +di) =a+ c+ bi +di = (a+ c) 'f:,(~ d)i 
(a + bi)(c + di) =:' ac + bci + adi + bdi2 = (ac - bd) + @c.-~ ad)-i 
6 VETORES NO R" E C" [ÇAP. 1 
O conjugado do número complexo z = (a, b) = a + bi é notado e definido 
z = a- bi. (Note que zz = a2 + b2.) Se, entretanto, z # O, então o 
inverso z-1 de z e a divisão por z são dados por_ 
e 
onde w E C. Também definimos 
-z = -lz e w- z = ·w + (-z) 
Eil:emplo 1.7; Suponha z = 2 + 3i e w = 5- 2i. Erttão, 
z + w .= (2 + 3J) + (5 - 2i) = 2 + 5 + 3i- 2i = 7 + i 
zw = (2 + 3z)(S-2z) = 10 + 1Si-4i-6i2 = 16 + lli 
; = 2 + 3i = 2- 3i e Ui = S- 2i = S + 2i 
~ = s - 2j '= (S - 2i)(2 - 3i) = 4- 19i = _2__ - ~i 
z 2 + 3i (2 + 31)(~ - 3i) 13 13 ~ 13 
Assim como os números reais podem ser representados por pontos 
numa reta, os números complexos podem 
ser representados por_ pontos num plano. 
Especificamente, ~eixamos o ponto (a, b) b 
do plano representar o número complexo 
z = a + · bi, isto é, tendo á parte real ·a e 
a parte .. imaginária b. O válor absoluto -~-1<"=-----____,:-__L __ ~-
. de z, escrito 1 z 1, é definido como a distâncía a 
dez à origem /z/ == va2 +b2. 
Note que /z/ é igual à norma do vetor (a, b). Também /z/ vzz. 
Exemplo 1.8._ Suponha z = 2 + 3i e w = 12- Si. Então, 
lzl = v'4 +9 = ví3 e lwl = v't44 +2S = 13 
Observação. No apêndice B definimos a estrutura algébrica chamada 
corPo. Enfatizamos que o conjunto C de números complexos com as 
operaçõt-s acima de adição e multiplicação é um corpo. 
VETORES EM cn 
o conjunto de tôdas a n-uplas de números complexos, notàdo cn, é 
chamado n-espaço complexo. Assim como no caso real, os elémentos de cn 
são chamados pontos ou vetores, os elementos de C são chamados escalare;, 
e adição de vetores em C" e multiplicação por escalar em C" são da~os por 
(zh Z2, ..• , Zn) + (w11 w2, ... , Wn) = (Z1 + W 11 Z2 + W2, .•. , Zn + w,.) 
Z(Z,lt.•~•-- ..•. , z,.) =. (zzu ZZ2, ..• , ZZn) 
oit(\e Z11 W11 z E C. 
Êi~plo 1.9. (2 + 3i, 4 - i, 3) + (3 - 2i, Si, 4 - 6i) = (S + i, 4 + 4i, 7 - 6J) 
2i(2 + 3i, 4- i, 3) = (-6 + 4i, 2 + 8i, 6i) . 
CAP. 1] VETORES NO R" E C• 7 
Agõra, i>ejarn u e v vetores a.rbitririos em C" 
U: = (zJ, Zz; ... , z.), 
O produto cartesiano ou interno deu e v é definido como segue: 
u . v = ZtWt + Z2W2 + ... + z,.w,. 
Note que essa definição reduz-se à anterior no caso real, desde que w, = w1 
quando Wf é real. A norma deu é definida por 
li u li = v' u. u = v' Ztil + z2z2 + ... + ZnZn = v' I Zll 2 +I z21 2 + ... +I Zn! 2 
Observe que u. u e, portanto, I lu li são reais e positivos quando u ;=!O; 
e O quando u = O. 
Exemplo 1.10. Sejam u = (2 + 3i, 4- i. 2i) e v = (3- 2i, 5, 4- 6i). Então, 
u , v = (2 + 3i)(3 - ú) + (4 - i)(s) + (2i)(4 - 6i) 
= (2 + 3i)(3 + 2i) + (4 - i)(S) + (2i)(4 + 6i) 
= 13i + 20 - Si - 12 + 8i = 8 + 16i 
u . u= (2 + 3i)(2 + 3i) + (4- i)(4 - i) + (2i)(2i) 
= (2 + 3i)(2- 3i) + (4 - i)(4 + ~~ + (2i)(-2i) 
=13+17+4=34 
o espaço cn com as operações acima de adição de vetore3, multipli-
cação por escalar e produt<;> interno, é chamado n-espaço euclidiano com-
plexo. 
Observação. Se u . v fôsse definido por u . v = z1w1 + ... + z,.w,., então 
é possível para u . u = O, mesmo que u ;=! O, por exemplo, seu = (1, i, 0). 
Na reali~ade, u . u pode mesmo nem ser real. 
Problemas Resolvidos 
VETORES NO R" 
1.1. Calcule: (i)(3, -4, 5)+(1, 1, -2); (ii) (1, 2, -3)+(4, -5); (iii) -3(4,-5,-6); 
(i v) ~(-6, 7, -8). 
~) Some as componentes correspondentes 
(3, -4, 5) + (1, l, -2) = (3 + l, -4 + l, 5-2) = (4, -3, 3). 
(ii) A soma não é definida, porque os vetores têm número diferente de compo-
nentes. 
(iii) Multiplique cadà componente pelo. escàlar 
-3(~. -5, -6) = (-12, 15, 18). 
(i v) Multiplique cada componente pór -I: -(-6, 7, -8) = (6, -7, 8) .. 
1.2. 
VETORES NO R" E C" [CAP. 
Sejam u = (2, -7, 1), v = (-3, O, 4), 
(i) 3u - 4v, (ii) 2u + 3u - Sw. Primeiro, 
escalar e, depois, a adição dos vetores: 
w = (0, 5, -8). Encontre 
efetue a multiplicação pela 
(i) 3u - 4v = 3(2, -7, 1)- 4(-3, O, 4) = (6, -21, 3)+(12, O, -16) = (18, -21, -13) 
.(ii) 2u + 3v- 5w = 2(2, -7, 1)+ 3(-3, O, 4)- 5(0, 5, -8) 
= (4, -14, 2) + (-9, o, 12) + (0, -25, 40) 
= (4- 9 +o, -14 +o- 25, 2 + 12 + 40) = (-5, -39, 54) 
1.3. Encontre x e y, se (x, 3) = (2, x + y). 
Como os dois veto~es são iguais, a~ componentes correspondentes são iguais entre 
si: X =f 2, 3 = X- + y 
Substitua x = 2- na segunda equação, para obter y = 1. Assim, x = 2 e y = 1. 
1.4. Encontre x e y, se t4, y) = x(2, 3). 
Multiplique pelo escalar x, para obter (4, y) = x(2, 3) = (2x, 3x) .. 
Iguale as componentes correspondentes: 4 = 2x, y = 3x. 
Resolva as equações lineares para x e y : x = 2 e y = 6. 
1.5. Encontre x, y e z, se (2, -3, 4) = x(l, 1, 1) + y(l, 1, O)+ z(l, O, O). 
Primeiro, multiplique pelos escalares x, y e z e, depois, some 
(2, -3, 4) = x(1, l, 1) + y(1; 1, O) + z(1, O, O) 
'= (x, x, x) + (y, y, O) + (z, O, O) 
= (x + y + z, x + y, x) 
Agora, iguale as componentes correspondentes 
X + y + Z = 2, X + y = - 3, X = 4Para resolver o sistema de equações, substitua x = 4 na segunda equação para 
obter 4 + y = -3 ou y = -,7. Em seguida, substitua na primeira equação para 
achar z = '5. Assim, x .= 4, y = -7, z = 5. · 
1.6~ . Demonstre o teorema 1.1. ·Para quaisqu~r vetores u, v, w E Rn e 
.quaisquer escalar.es k, k' E R. 
(i)· 
(i i) 
(iii) 
(iv) 
(u+v)+w::,u+(v+w) 
u+O=u ·· 
u+(-u) =0 · 
u.+v = v+u 
(v) k(u+v) = ku+ kv 
{vi) (k+ k')u = ku+k'u 
(vii) (kk')u = k(k'u) 
· (viii) lu = u. 
Sejam u;; v; e wi aid-ésimas com~nentes de u, v e w, re5pectivamente. 
(i) 
. . 
. ' 
Por definição, u; + v;~é a i-ési.ma .:;.omponente de u +v; logo, (u;.+ v;) + w; 
é a i-ésima componente de (u + v) + w. Pot outro lado, v; + w; é a i-ésima 
componente de 11 + w; logo; .u;, + (v; + w;) é a i-ésima component~ ·de 
u + (v + 'Ui). Mas u;, v; e.-w; são números reais para ós quais· vale a lei da 
a'stiOCiatividade, ·isto é, 
'(u; +v;) + w; == u; + (v; + w;) para i =,l, ... , n 
. Do rriesmo rnodç>, (u +v) + w = u + (v + w), pbis suas componentes cor-
resJ)onderites são ig:uais. 
CAP. 1] VETORES NO R" E c• 9 
{ti) Aqui, O = (O, O, ... ,0); portanto, 
U +O = (ul, U2, ... , Un) +(O, O, ... , O) 
= (ul +O, U2 +O, ... , Un +O) = (ul, u2, ; .. , Un) = u 
(iii) Como 
-u = -l(u1, u2, .. . , Un) = (-u1, -u2, ... , -un), 
u + (-u) = (ttl, u2, ... , Un) + (-ul,- u2, ... , -un) 
= (ul-Ul,U2-u2, ... ,-u;.-un) = (0,0, ... ,0) =o. 
(iv) Por definição, u; +Vi é a i-ésima componente de .u +v e Vi+ u; é a i-ésima 
componente de v + u. M<.~s u; e Vi são números reais para os quais vale ·a 
lei da comutatividade, isto é, 
.u; +v; = v;+ u;, i= 1, ... , n 
Portanto, tl + v = v + u, pois suas componentes correspondentes são iguais. 
(v) Como u; + v; é a i-ésima componente de u + v, .k(u; + v;) é a i-ésima cot~l­
ponente de k(u ·+ v). Como ku; e kv; são as i-ésimas componentes de ku -e 
kv, respectivamente, ku; + kv é a i-ésima componente de ku + kv. Mas· 
k, Ui e Vi são números reais; portanto, 
k(ui + v;) = kui + kv;, i= 1, .... , n 
Assim, k(u +v) = ku + kv, pois as coniponentes correspondentes são.iguais. 
(vi) Observe que o primeiro sinal + refere-se à adição de dois escalares k e k', 
enquanto o segundo + (mais) se refere à· soma vetorial de dois ve.tçires · ku 
e. k'u. 
Por definição, (k + k')u; é a i-ésima componente do vetor (k + k')tt. 
Como ku; e k'ui são as i-ésimas componentes de ku e k'u, respectivamente. 
ku; + k'u; é a i-ésima componente de ku + k'u. Mas k, k' e u; são nú-
neros reais; portanto, 
(k + k') u; = lw; + k'ui i=1, ... ,n 
-S\ssim, (k + k')u = ku + k'u, pois as componentes correspondentes são 
iguais. 
(vii) Como k'u; é a i-ésima componente de k'u, k(k'u;) é a i-ésima componente 
de k(k'u). Mas (kk')u; é a ~-ésiina componente de (kk')u e, como k,k' e u; 
são números reais, 
(kk')u; = k(k'u;) 
~ 
Portanto, (kk')u = k(k'u); pois as componentes correspoüdentes são iguais. 
(viii) 1 . U = 1(ul, t12, ... , Un) = (lul, U2, .... , lun) = (U!, U2,.;., Un) =· U 
1.7. Mostre que Ou = O para qualquer vetor u, onde, evidentemente, o 
primeiro O é uni escalar e o segundo .um vetor. 
Método I.· Ou = O(u1,. u 2 , : , • , Un) = (Ou1, 0~ 2 •.. :, 0Un) = (O, O, ... , O) = O 
Método 2. Pelo teorema 1.1, Ou = (O+ O)u = Ou+ Ou 
Somando -ou aos dois lados, teremos o resultado deséjado. 
10 VETORFS NO R" E c• [CAP. I 
PRODUTO INTERNO 
1.8. Cálcule u . v, onde 
(ii} u = (1, -8, o, 5), 
v = (4, 1, -2, 5). 
(i) u = (2, -3, 6), v = (8, 2, -3); 
v = (3, 6, 4); (iii) u = (3, -5, 2, 1), 
(i) Multiplique as componentes c-:>rrespondentes e some 
u . v = 2 . 8 + (-3) . 2 + 6 . (- 3) = -8. 
(ii) O produto interno não é def\nido entre vetores com número distinto de com-
ponentes. >; 
(iii) Multiplique as componentes~correspondentes e sÇ>me 
u. v = 3 . 4 + (-5). I + 2. (-2) + I . 5 ·;, 8 
1.9. Determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogonais, onde, 
(i) u = (1, k -3) e v = (2, -5, 4) 
1.10. 
(ii) u = (2, 3k, -4, I, 5) e v= (6, -1, 3, 7, 2k) 
Em cada caso, calcule u . v, iguale a zero e resolva para k. 
(i) u.v=1.2+k.(-5)+(-3).4=2-5k-12=0, -Sk-10=0, k=-2 
(ii) u. v= 2. 6+3k. (-1)+(-4) ~ 3+1. 7+5. 2k 
= 12-3k-12+7+10k =O, k = -1 
Demonstre o teorema 1.2. 
qualquer esca:Iar k E R, 
(i) (u +v). w=u. w+v. w 
(i i) (ku) . v= k(u . v) 
Pa1 a quaisquer vetóres u, v, w E Rn e 
(ÍÍÍ) tt. V=V. U 
(i v) u . u ;::: O, e u . u =O se, e 
somente se, 'u = o 
Sejam u = (u 1, uz., . .. ,un) v = (vt, v:i , . . ,v,.) w = (wJ, w2, .. . , w,.). 
(i) Como u+v = (ut +vt, u2 +v2, . .. , u,. +v,.), 
(u+v).w = (ut+vt)wt+(u2+v2)w2+· . . +(un+vn)Wn 
= UtWt+VJWJ+u 2w 2+v2w2 + ... +u,.w,.+vnWn' 
= (u1w1+u2w2+ ... +unwn)+(vtwi+V2W2+ ... ;+vnwn) 
= .u ·w+v. w 
(i i) Como ku = (kut,ku2, . .. , kun), 
}ku). v=ku1v1 +ku2v2+ . .. +kunvn = k(u1v 1 +u2v2+ . .. +u;.vn) = k.~u.v) 
(iii) u. v=utvt+u2v2+· .. +.unvn=VtUt+v2u2+ ... +v;.un=V. u 
(iv) .Como u 2 é não-negativo para cada i e como a soma de números. reais não-
-negativos é não-negativa, 
u . u = u~ + u~ + ... + ui ~ O 
Além disso, u . u = O se, e sàmente se, u; = O para cada i, isto é, se, e sà-
mente se, u = O. 
DISTÂNCIA E NORMA NO R" 
J.lk Encontre adistância d(u, v) entre os vetores u e v, onde (i) u== (1, 7), 
v=(6, -5); (ii) u=(3, -5, 4), v=(6,2,-1); (iii) u=(S,3,-2;-4,-1), 
. v= (2, -1; O, -7, 2) . · 
I 
J 
1 
I 
I 
I 
I 
! 
I 
CAP. l] 
Em 
(i) 
(i i) 
(iii) 
VETORES NO R" E c• 
cada caso, use a fórmula d(u, v) = ~- v1)' + ... + (un- 11n)2. 
d(u, v) = v' o- w + (7 + s)• = V'2s + 144 = vi69 = 13 
d(u, v) = V(3-6)' + (-5-2)2 +(4 + 1)2 = V9 + 49=125 = V8J 
11 
d(u, v) = V(S- 2)2 + (3 + 1)2 + (-2 + o)• + (-4 + 7) 2 + (-1- 2)• = V47 
1.12. Encontrektalqued(u,v) = 6,ondeu=(2, k, 1,-4)ev=(3,-1,6,-3). 
(d(u, v)) 2 =(2- 3)2 +(k+1-)2 +(1- 6)2 +(-4+3)2 = k 2+2k+28 
Agora, resolva k 2+2k+28 = 62 para obter k=2, -4 
1.13. Encontre a norma llu/1 do vetm u, se (i) u = (2, -7), 
(ii) u = (3, -12, -4). 
Em cada caso, use a fórmula llull= Vui + u~+- .. +u~. 
<i> llull = v2 11 + <-7)• = v4 + 49 = vs3 
(ii) llull = v3• + <-12)' +H>' = v-=--9""'+,---,-14-:-:4,--+---:---,1~6 = v169 = 13 
-1.14. Determine k tal que Jlull = V39, onde u = (1, k, -2, 5). 
llull2 = 12+k2+(-2)2+52 = k2+30 
Agora, resolva k 2 +30 = 39 e obtenha k = 3, -3. 
1.15. Mostre que l!ull 2,0 e /lu/1= O se, e somente se, u = O. 
Pelo teorema 1.2, u. 11 >O eu. u = O se, e somente se, u = O. 
Como llull = y;-:-;, o -;.esult~do segu.e. . 
1.16. Demonstre o teorema 1.3 (Cauchy-Schwarz). Para quaisquer vetores 
u=(u~o--·•u.) e v=(v~o···•v.) no Rn, lu.t•l~llullllvl!· 
Demonstraremos a seguinte assertiva mais forte: 
ju.vj~ Êlu;v; lsllullllvll. 
i-1 -
Seu= o ou v= o, então a· desigualdade se reduz a o~ o.$ o e, por isso,•é ver-
dadeira. Precisamos, portanto, somente- considerar o caso em que u r! O e v r! O, 
isto é, onde llull r! O e llvll r! O. 
Além disso, lu. v I= lutvt+ ... +Unv,.l.$ lutVt I+ ... + lu,.v,.j =l: lu,-v•l 
Assim, precisamos demonstrar sômente a segunda desigualdade. 
,; Agora, para quaisquer números reais x, y E R, O :S (x- y)2 = x2 - 2xy + y 2 
ou, equivalentemente, (l} 
Substitua x = ju;!Jiul e y = lv;l/lvl em (1) para obter, para qualquer i, 
(2) 
mas, por definição da norma de um vetor, llull= l:u~ "= l:lud 2 e llvll= l:~=l:lv.-1 2• 
12 VETORES NO R• E C" [CAP. I 
Assim, somando (2) em relação á i e usando I u;v; I = I Ui I I Vi I, temos 
2, 
isto é, 
Multiplicando ambos os. lados por llull llv/1, obtemos a desigualdade procurada·. 
1.17. Demonstre a desigualdade de Minkowski. Para quaisquer vetores 
u = (ui! ... , un) e V= (vu ... , vn) no Rn, llu + vll~l/u!/+1/vJI. 
Se llu+vll = O, a desigualdade é claramente válida. Assim, precisamos consi· 
derar somente o caso llu + vil ;o<! O. 
Agora, /u; +v;/ ~ I ui/ + /v;l para quaisquernúmeros reais 11;, Vi E R. 
Portanto, 
= ~ /u; +v;/ /u; +v;/ ~ ~ /u; + v;l (Ju; I+ lv;/) 
=X /u; + v;J Jud + l: I u; + v;J /v; I 
Mas, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (veja problema anterior), 
2; lu.: .f- v;/ ju;l Se llu +vil lluil e~ ju; + vd /v;/ .::; llu + r11i llvll 
Entào, llu + vll 2 ,:;; !lu +vil llull +!lu +vil llvll = IIU +vil (liull + li vil) 
Dividindo JK>r llu +vil, obtemos a desigualdade procurada. 
1.18. Demonstre que a norma no Rn satisfaz as seguintl::s leis: 
[N1] :Para qualquer vetor u, 11 u 11 2': 6; e 11 u 11 = O se, e somente 
se, u = O. 
[N2] :.Para qualquer vetor u e qualquer escalar k,ll ku 11 = I k I 11 u 11. 
[Na] :Para quaisquer' vetores u e v, 11 u +v !I ~ 11 u !I+ I! v !i. 
[NI] foi demonstradó no problema 1.15 e [Na] n:> pmblema 1.17. Portanto, 
precisamos somente demonstrar que [N2] é válida. 
Suponha u =.(ui, u2, ... , un)i .Jogo, ku = (ku1, ku2, . .. , kun). 
Então, /lkull 2 = (ku1) 2 + (.llu2) 2 + ... + (kun) 2 = k2u~ + k 2u~ + ... + k 2u! 
= k 2(u~ + u~ + ... + u!) = k 2 llulj2 
A r~iz quadrada de ambos os lados da igualdade nos dá o resultad:> procurado. 
NÚ.MEROS COMPLEXOS 
1.19. Simplifique: (i) (5 + 3i)(2- 7i); (ii) (4- 3i)2 ; (iii) -· -1-_; 
. 3- 4t 
( ... ) 2 - 7i ( ) lV -·---· V 
,. S+ 3i' (vi) (1 + 2i)3, (vii) (-.
1
-.) 
2 
. 2- 3l 
CAP. 1l VETORES NO R• E C" 
(i) (5 + 3i)(2- 7t) = 10 + 6i- 35i- 21i2 = 31- 29i 
(ii) (4- 3i)2 = 16- 24i + 9i2 = 7- 24i 
(i i i) (3 + 4i) 3 + 4i 3 .4 . 3 - 4i (3 - 4t)(3 + 4i) = -~ = 25 + 2s t 
2 - 7 i (2 - 7 i)(S - 3i) (iv) -- = .:___ _ __:,: __ _:_ 
5 + 3i (5 + 3i)(5 - 3i) 
-11 - 41i 11. 41 
=-----i 
34 34 34 
(v) i 3 = i 2 . i= (-l)i =-i; i 4 = i 2 . i 2 = 1; i 31 = (i4)1 . i 3 = 17 • (-i) =-i 
(vÍ) (1 + 2t) 3 = 1 + 6i + 12i2 + 8í3 = 1 + 6i -12- Si= -11- 2i 
13 
.. ( 1 ) 2 1 (-S + 12i). -5 + 12i 5 12 . 
(vu) 2- 3i = -S- t2i = C::s -12t)(-5 + 12i) = 169 = - 169 + 169 t. 
1.20. Sejam z = 2- 3i e w = 4 + 5i. Procure 
\ 
(i) z+ u1 e zw; (ii) z/w; (jii)'_'z e 'li),' (iv) lzl ç lwl. 
li) z + w = 2 :c: 3i + 4 + Si F 6' + 2i 
zw = (2-3i)(4+ Si)= 8-l2i 1- l0i=TS'i2·= 23-2i 
z 2 - 3i c2 - 3i)(4 ..:-si) -7 - zzi 1 n _ (ii) - = --.- = = --- = -- - -- t 
w 4 + Si (4 + 5t)(4 - Si) 41 41 41 
(iii) Use a+ bi =·a- bi: z = 2- 3i = 2 + 3i; w = 4 +Si = 4- Si. 
(iv) Use la+bil = V a'+ b2 : lzl = 12- 3il = v'4+9 = v'D; lwl ~ 14-f-iSil'"" 
= v16 +2s = v41-
1.21. Demonstre. Para quaisquer números complexos z, w E C, 
(i) z + w = z + w, (ii) zw = z w, ~iii) z = z. 
Suponha z = a+ bi e w = c+ di, onde a, b, c, dE R. 
(i) z + w = (a+ bi} +(c+ di) = (a+ c)+ (b + d)i 
= (a + c)- (b + d)i = a + c- bi- di 
= (a- bi) + (c- di) = ·z + w 
(i i) zw = (a + bi) (c +di) = (ac- bd) + (ad + bc)i 
= (ac- bd)- (ad + bc)i = (a - bi) (c - di) = z w 
(iii) ~ = a+ bi = ~ = a- (-b)i = a + bi = z 
1.22. Demonstre. Para quaisquer números complexos z, w E C, lzwl 
~= lzl lw!. 
Suponha z = a + bi e w = c + di, onde a, b, c, d E R. Então, 
lzl 2 =a2 +b2, lwl 2 =c2 +d2, e zw=(ac-bd)+(ad+bc)i 
Assim, lzw 12 = (ac- bd)2 + (ad + bc)2 
= a 2c2 - 2abcd + b2 d 2 + a 2d 2 + 2abcd + b2c2 
= a2(c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (n2 + b2)(c2 +d2) = lzl21wl2 
A raiz qt'l.idrada de ambos os lados dá-nos o resultado desejado. 
14 VETORES NO R" E c· 
1.23. Demonstre. Para quaisquer números complexos. z, w E C, 
lz+wl~lzl+lwl. 
Suponha z = a + l!i e w = c + di, onde a, b, c, d E R. Considere os vetores 
u = (a, b) e v = (c, d) no R 2• Note que 
izl = va• +b· =llull, lwl =v~= llvll e 
lz+wi = i(a+c)+(b+d)il = V(a + c)• + (b + d)2 = il(a+c,b+d)/l=llu+vll 
Pela desigualdade de M inkowski (problema 1.17), 
/lu +vil ::5 /lull+!lvll; logo, 
iz + wl =/lu+ vil=:; /lu/1 + llvll = lzl + lwl 
VETORES EM C" 
1.24. Sejam u = (3- 2i, 4i, 1 + 6i) e v = (5 + i, 2- 3i, 5). Encontre 
(i) u +v, (ii) 4iu, (iii) (1 + i)v, (iv)(l- 2i)u + (3 + i)v. 
(i) · Some as componentes correspondentes u + t• = (8 -.i, 2 +i, 6 + 6i). 
(ii) Multiplique cada componente ·de u pelo escalar 4i, 
4iu = (8 +.12i, -16, -24 + 4i). 
(iii) Multiplique cada componente de v pela escalar. 1 +i,· 
(1+i)v = (5+6i+í2, 2._i-3i~, 5+5i) = (4+ói, 5-i, 5+5i) 
(iv) Primeiro, efetue a· multiplicação por escalar e, depois, a adição de vetores 
(l-2i)u+(3+i)u = (-l-8i, 8+4i, 13+4i)+(14+8i, 9-7i,l5+5i) 
= (13, 17, ~3i, 28+9i) 
1.25. Encontre u.v e v.u, onde: (i) u=(l-2í,'3+i), v=(4+2í, 5-6i); 
(ii) u=(3-2i, 4i, 1+6i), v= (S+i, 2-3i, 7+2i). 
Lembre que os conjugados do segundo vet0r aparecem no produt0 interno 
(zr, ... , Zn). (WJ, ... , Wn) = ZIWI + ... + ZnWn 
(i) . 11 •v (I - 2z)(4 + 2i) + (3 + i)(5 - 6i) 
(1 - 2z)(4 :.. 2z} + (3 + z)(5 + 6i) = -!Oi + 9 + 23i = 9 + 13i 
--- --- c:--
· v·u (4 + 2i)(1 - 2i) + (5 - 6í)(3 +i) 
(4 + 2z)(1 + 2i) + (5- 6i)(3- i) = !Oi + 9 ~ 23i = 9 - 13i 
(ü} u·v (3 - 2i)(5 + 1} + (4i)(2 - 3i) + (1 + 6i)('l + 2i) 
(3 - 2•)(5 - i) + (4•}(2 + 3o) + (I + 6i)(7 - :2i) = 20 + 35i 
(5 + •)(3 ~ 2o) + (2 - 3i)(4i) + (7 + 2i)(l + 6•) . 
(5 + i)(3 + 2•) + (2 - 3o)(=4t) + (7 + 2i)(l- 6i) = 20- 35i 
Em ambos os exemplos v . u = U.V lssó é, em geral, verdadeiro, como será visto 
n<> problema 1.27. 
1.26. Encontre /iull onde (i) u=(3+4i, 5-2i, 1-'-Ji); (ii) u=(4-i, 2i, 
3+2i, 1-Si) .. 
CAP. I] VETORES NO R• E c• 
Lembre que 2:Z '= a2 + b2 quando z = a + bi. Use 
llull 2 = u. u = ZJZl + z2Z2 + ... + Znzn·, onde z = (z~oz2,. _ ., Zn) 
(i) llull 2 = (3)2+(4)2+(5)2+(-2)2 +(1)2+(-3) 2 =64, ou llull =8 
(ii) llull 2 = 4 2+(-1)2+2 2 +32 +22 +1 2+<-W = 60 ou llull=v6o = 2yts 
15 
1.27. Demonstre: Para quaisquer vetores u, v E C" e qualquer escalar 
z E C, (i) v . u = ~ (ii) (zu) . v = z(u . v), (iii) u . (z . v) = 
= z(u . v) (compare- com o teorema 1.2). 
Suponha u = (z1z2 •.. _, Zn) e v = (w 1w2, _ _, w,.). 
(i) Usando as propriedades -do conjugado, _estabelecidas no problema 1.21, 
V:U = WtZt +w~2 + -. -+wnzn = WJZI +w2Z2 +. -. +wnzn 
= UítZt +w2z2+- - -+wnzn = z-tWl +z2ü12+. _ . +znwn = u. v 
(ii) Como zu ='(zzhzz,2, _ .,zzn). 
(zu)- v=zztwt +zz2w2+- - . +zznwn+z(ztwt+z2w2+ . .. +znwn) =z(u. v) 
(iii) Método I. Como zv = (zw1zw2, _ - -, zw)n. 
u- (zt•) = Ztzwt +z!--u.'2+ _ _ +z..zu•,. =ztzwt +z2zw2+ _ .. +z,.:Zwn 
= z(ZJWI +z2ü12+ ... +znwn) = z(tt. v) 
Método 2. Usando (i) e (ü), 
1t.(zv) = (zv).u = z(v.u) = z(v·u) = z(u.v) 
PROBLEMAS DIVERSOS 
1.28. Sejam u = (3, -2, 1, 4). e v= (7, 1, -3, 6). Encontre 
(i) u + v; (ii) 4u; (iii) 2u- 3v; (iv) u . v; (v) 1/ull e l/vil; (vi); d(u, v). 
(i) u +v= (3 + 7,-2 + 1~1- 3, 4 + 6) = (10, -1, -2, 10) 
(ii) 4u = (4 . 3, 4 . (-2), 4 . 1, 4 _ 4) = (12, -8, 4, 16) 
(iii) 2u- 3v = (6, -4, 2, 8) + (-21, -3, 9, -18) = (-15, -7, 11, -10) 
-(iv) u . v = 21 - 2- 3 + 24 = 40 
(v) lu I = y9 +4 + 1 + 16 = v30, llvll = y49 + 1 + 9 + 36 = V95 
(vi) d(u, v) = y(3- 7)2 + H- 1)2 + (1 + 3)2 + (3- ó)' = -v'45 = 3 yS 
1.29. Sejam u = (7- 2i, 2 + Si) e v = (l+i, -3-6i). Encontre 
(i) u + v; (ii) 2iu; (iii) (3 .:_ i)v; (iv) u . v; (v) llul! e llvll. 
(i) u + v = (7 - 2i + 1 + i, 2 + Si- 3 - 6•) = 8 - i, - 1 - i) 
(i i) 2iu = (14i- 4i2, 4i + 10j,2) = (4 + 14i, -10 + 4i) 
(iii) (3- i)v = (3 + 3i ~i- i2, -9- 18i + 3i + 6i2) = (4 + 2i, -15- 15i) 
(iv'f u . v = (7- 2i)(l + i) + (2 + Si)(-3- Ó$) 
= (7- 2i)(1 - i)+(2 +5i)(-3+6i) = s- 9i- 36- 3i = -31- 12i 
(v) llull = y7 2 + (-2)2 + 22 + s• = V82, !I vil= yl"+P+(-3)2 +(-6)•= V47 
1.30. Qualquer par de pontos P = (a1) e Q = (b1) no R" define o segmento 
orientado de reta de P para Q, escrito PQ. 
Identificamos PQ com o vetor v = Q- P: 
16 VETORES NO R' E C' 
PQ= v 
Encontre o vetor v identificado com PQ, 
onde 
(i) p = (2, 5), Q = (-3, 4) 
(ii) P = (1, -2, 4), Q = (6, O, -3) 
(i) t• + Q- p = (-3- 2, 4- 5) = (-5, -1) 
Cii) v= Q-P = C6-t,0+2.-3,-4)=(5,2,-7) 
[CAP. 1 
1.31. O conjunto H de elementos do R• que são ~oluções de uma equação 
linear de n incógnitas, Xu ... , x., da formaC1X1 + CzXz + .. + Cn;>.:n = b (*) 
com u = (c., ... , c.) .,: O no R", é chamado um hiperplano do Rn, e* 
é chamada uma equação de H. (Freqiiente~ente, identificamos 
H com (*).) 
-Mostre que o segmento orientado de reta PQ de qual_quer par de 
pUfitosP, Q E H é ortogonal ao vetor dos coeficientes .u; diz-se que 
o vetor u é normal ao hiperplano H. 
Suponha P = (at •... , a.) e Q = (bt, ... , bn}. Então, a; e b; são as soluções d4 
equação dada: 
Sejam 
Então, 
Ctat + cza2 + ... +cna, = b, ctbt + czb2 + .. +c,bn = b 
-v = PQ = Q- P = (bt- a1, bz- az , .... , bn- an) 
u.v = Ct(bt-at)+c 2(bz-az) + ... + c.(b.-an) 
= Ctbt- C ta 1 + Czbz- c2a2 +. . +cnbn - Cnan 
= (ctbt+czbz+ ... +c.b.)-(ctal+c2a2 + .. +c,a,) = b·:..b =O 
Portanto, v, isto é, PQ, é ortogonal a u. 
1.32. Encontre uma equação do hiperplano H no R4 se: (i) H passa por 
P = (3, -2, 1, -4) e é normal a u = (2, 5, -6, -2}; · (ii) H passa 
por P = (1, -2, 3, 5) e é paralela ao hiperplano H' determinado por 
4x - Sy + 2z + w = 11. 
(i) Uma equação de H é da forma 2x+5y- 6z- 2w = k, pois H é normal a u, 
Substitua P nessa equação para obter k = -2. Assim, uma equação Je 
H ~ 2x+5y :- 6z- 2w = -2. 
(ii) H e H' ~>ão paralelos se, e somente se, os vetores normais corre3pondentes 
estiverem na mesma ou em direções opostas. Pprtanto, uma ... equaçâo de, H 
é da forma 4x- 5y + 2z + w = k. Substituindo P nessa equação, achamos 
k = 25. Assim, uma equação de H é 4x- 5y + 2z + '1!1 = 25; 
CAP. 1) VETORES NO R" E c· 17 
1.33. A reta l no R" passando pelo ponto P~'(a,) e na direção deu= (u,) ;;6. O 
consiste nos pontos X =· P + tu, t E R, isto é, consiste nos pontos 
X = (x,) obtidos de -
fx1=a 1 +u1t 
(*) ~x2 = a2 + u~t 
I ........... . 
lXn =a,+ u,t 
onde t assume todos os valôres reais. 
A variável t é chamada parâmetro e 
(*) é cham(lda representação paramé-
trica de l. 
(i) Encontre a representação parac 
métrica da ret<). l, passando pot 
P e na direção de u, onde (a) P = (2,5) e u = (-3, 4); 
(b) P = (4, -2, 3, 1) eu = (2, 5, -7, 11). 
(ii) Encontre a representação paramétrica da reta que passa pelos 
pontosP e Q, onde (a) P = {7, -2) e Q = (9, 3); (b) P = (5, 4, -3) 
e Q = (1, -3, 2). 
(i) Em cada caso, use a fórmula (*) 
{
X = 2 - 3t 
(a) y = 5 + 4t 
fx 
(b) ) y 
)z 
lw = 
4 + 2t 
-2 + J5l 
3- 'fi 
1 + ltt 
(No R 2 u~ualmente eliminamos t das duas equações e representamos a reta 
por uma só equação: 4x + 3y = 23.) 
-(ii) Primeiro, calcule u = PQ = Q- P. Então, use a fórmula (*) 
(a) · u = Q- P = (2, 5) 
{
X= 7 + 2t 
y = -2 +St 
(b) u = Q-P = (-4,-7, 5) 
f X= 5 ~ 41 
{ y = 4 - 1t 
[z = -3 + St 
-(Note que, em cada caso, poderíamos também escrever u = QP = P- Q.) 
Problemas Propostos 
VETORES NO R" 
1.34, 5ejam u = (1, -2, $), v = (3, 1, -2). ErlêOIHre (i) u +v; (ii) -óu; (iii) 2u- Sv: 
(iv) 1u . v; (v) llull e /lvll; (vi) d(u, v). 
1.35. Sejam u = (2, -1, O. -3), v= (1, -1, -1, 3), w = (1, 3, -2, 2). t!netmtre {i) 2u -Jv· 
(ii) 5u-3v-4w; (ii;; -·.•- + 2v- '·:v; (iv) u. v," w e v -w; \•J·!'l.fu'n ~-dlv, !Dl 
18 VETORES NO R" E C" [CAP. 
1.36. Sejam u = (2, 1, -3, O, 4), v ~ (S, -3, -1, 2, 7). Enemtre (i) u +v; (ii) 3u -211; 
(iii) u • v; (iv) llull e llvll; (v) d(u, v). 
1.37. Determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogom.is. 
(i) u = (3, k, -2), v= (6, -4, -3), (ii) u = (5, k, -4, 2), ,, = (1. -3, 2. 2k). 
(iii) u = (1, 7. k + 2, -2), v = (3, k, -3, k). 
1.38. Determine x e y, se (i) (x, x + y) = (y- 2, 6); (ii) x(1, 2) = -l (y, 3). 
1.39. Determine x e y, se (i) x(3, 2) = 2(y, -I); (i i) x(l, y) = y(l, -2). 
1.40. Dete~mine x, y e z, se 
(i) (3, -1, 2) ·= x(1, 1, 1) + y(l, -1, O)+ z(l, O, O). 
(ii) (-1, 3,3) = x(l, 1, 0) + y(O, O, -1) + z(O, 1, 1). 
\ 
1.41. Sejam e1 = (1, O, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, O, 1). Mostre que, para qualquer vetor 
.. u = (a, b, c) deRa, 
, (i) u = ae1 +b~ +ce3;(ii) u . e1 ~ a. u . e2 = b, u . ea = c. 
1.42. Generalize o resultado do problema anterior como segue. Seja e, E Rn o vetor 
com 1 na i-ésima coordenada e O em tôdas as outras; 
e1 = (l, O, 0, ... , O, 0), e2 = (0, I, O, , 0), ... , en = (0, O, ... , O, I) 
Mostre que, para qualquer vetor u = (a 1, a 2, ... , an), 
(i) u = atei + a2e2 + ... + a,en. (ii) u . e; = a; para i = 1, ... , n. 
1.43. Suponha que u E Rn tem a propriedade u . v = O, para todo v E Rn. 
Mostre que u =o O. 
1.44; Usàndo d(u, v)= llu-vll e as propriedades· da norma [N1J. (N2] e (N3] no pro· 
h lema 1.18, mostre que a função distância satisfaz 'as seguintes propriedades para· 
quaisquer vetores u,"v, w E Rn: 
(i) d(tt, v) >O, e d(u, v)'= O se, e sàmente se, u = v; 
(ii) d(u, v) ;;;; d(v, u); (iii) d(u, w) ~ d(u, v) + d(v, w). 
NÚMEROS COMPLEXOS 
1 9 + 2i . 
1.45. Simplifique (i)· (4 - h)(9 + 2i); (i i) (3 - Si) 2; (iii) 
4 
_ 
7
i; (i v) 
3 
_.:_ Si; (v) (1 - 1) 3. 
s· . IT (") 1 . C) 2 + 3i 1.46. ltnp I IQUe I U; li 7 _ Jé 
1.47. Sejam z =· 2- Si e w = 7 + 3i. Encontre (i) • + w; (ii) zw; (iii) tjw; 
{iv) 3, w; (v) izl. lwl. 
1.48. Seja_m z ~ 2 + i e w = ó - Si. Encontre (i) z/w; (i i) jj, w; . (iii) I z I I I w 1-
, 1.49. Mostre que (i) zz-1 = I; (ii) z = :Z; (iii) a parte real· de z = 1/2 (z + z); 
(lvh• parte imaginária de z = (z-8)/2i. 
1.50. Mostr~ qu~ zw ,;;; O implica z ~ O ou w = O. 
VETORES EM C" 
UH. Sejam u = (1. + 7i, 2 - 6J) e v = (5"" 2i, 3- 4i): Encontre (i) u + v; (ii) (3 + i)u 
(iii) 2iu + (4- 7i)v; (iv) u . v e v .. u; (v) iiull e llvll. 
CAP. l] VETORES NO R• E C• 19 
1.52. Sejam u = (3- 7i, 2i, -1 + t) e v == (4 -i, 11 + 2i, 8- 3i). Encontre (i) u :-v; 
(ii) (3 + t)v; (iii) u . v e v . u; (iv) llull e llvll. 
1.53. Demonstre. Para quaisquer vetores u, v, w E C": 
(i) (u + v) . w = u . w +v . w; (ii) w . (u +v)= w . u + w . v. (Compare com 
o teorema 1.2.) 
1.54. Demonstre que a norma em C" satisfaz as seguintes leis: 
[NlJ: Para qualquer vetor u, lluii::O:: O; e llull =O se, e somente- se, u =O. 
[N2}! Para qualquer vetor u e qualquer número complexo z, llzull = lzlllull. 
[Ns]: Para quaisquer vetores u e v, llu +vil :s; llull + llvll. 
(Compare com o problema 1.18.) 
PROBLEMAS DIVERSOS 
1.55. Encontre uma equação para o hiperplano <Jo R 3 que 
(i) passa por (2, -7, 1) e é normal a. (3, 1, ...:11); 
(ii) contém (.1, -2, 2), (0, 1, 3) e (0, 2, -1); 
(iii) contém (1, -5, 2) e é paralelo a 3x -7y + 4z = S. 
1.56. D~termine o valor de k tal que 2x -ky + 4z- Sw = 11 é perpendicular a 7x + 
+ 2y- z + 2w = 8. (Dois hiperplanos são perpendiculares se, e somente se," os 
vetores norn,tais correspondentes são ortogonais.) 
1.57. Encontre uma representação paramétrica da reta que 
(i) passa por (7, -1, 8) na direção de (1, 3, -5) 
. (ii) passa por (1, 9, -4, 5) e (2, -3, O, 4) 
(iii) passa por (4, -1, 9) e é perpendicular ao plano 3x -2y + z = 18. 
1.58. ~jam_.P, Q e R.-PQP._ffis da. retª çleterminada pv_r 
~L."":-:-a:t·+ iHt, x.2 = a2 -+ U2t, ... , Xn = an + 1tnl 
qüe correspondem, respeCtivamente, aos valôres t1, t2 e t 3 para t. 
Mostre que, se 11 < 12 < 13, então d(P, Q) + d(Q, R) = d(P. R). 
RESPOSTA'' DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 
1.34. (i) u +v = (4, -1,3); (ii) -óu = (-6, 12, -30); (iii) 2u- Sv = (-13, -9, 20;) 
(iv) u . fi = -9; (v) llull ~ vTo. lli>ll = v14; {vi) d~u. v) = y62. 
1.35. (i) 2u- 3v = (1, 1, 3, -15); (ii) Su- 3v- 4w = (3, -14; 11, -32); (iii) ---u + 2v- 2w= 
=(-2, -7, 2, 5); (iv) u . v = -6, u . w = -7, v . w = 6; (v) d(u, v) = y38, 
d(v, JJ = 3 Vf. 
1.36. (i) u +v= (7, -2, -4, 2, 11); (ii) 3u-2vp (--4, 9, -7, --4, -2); (iii) u. v= 38; 
(iv) llull = V30, llvll=,2v'22; (v) d(u, v)= V4~· 
1.37. (i) k = 6; (ii) k = 3; (iii) k = 3/2. 
. ··~ :~.. . 
}.38. (i) X = 2, )' = 4; (ii) X = -6, y = 3/2. 
1.39. (i) X .., -1, y = -3/2; (ii) x ~ 0, y = 0; ou X = -2, y ,;. --4. 
20 VETORES NO R" E C" [CAP. 1 
1.40. (i) X= 2, J = 3, Z = -2; (ii) X = -1, )' =1, Z = 4 . 
. 1.43. Temos que u . u = O, que implica u = O. 
1.45~ (i) 50- 55i; (ii) -16 7 30i; (iii) (4 + 7i)/65; (iv) (I + 31)/2; (v) -2- 2i. 
1.46. (i) -{-i; (ii) (5 + 27i)/58; (iii) -i, i, -I; (iv) (4 + 3i)/50. 
1.47. (i) z + w = 9- 2i; (ii) zw = 29- 29i; (iii) z/w = (-1 -- 41i)/58; (iv) z = 2 + 5i, 
w = 7- 3i; (v) lzl = V29, lwl = V 58. 
1.48. (i) z/w = (7 + 16t)/61; (i i) z = 2- i, fv = 6 + Si; (i i i). lzl = Vs. lw I = v'6í. 
1.50. Se m=O, então lzwl = lzllwl IOI=O. Portitnto,z=Oouw=O;logo,z=O 
ou w =O. 
1.51. (i) u +v = (6 +Si, 5- !Oi); (iv) u . v = 21 + 27i, v . u = 21- 27i; 
(ii) (3 + i)u = (-4 + 22i, 12- 16i); (v) llull = 3Vfõ, llvll = 3y6. 
(iii) 2iu + (4- 7i).v = (-8- 4li, -4 ~ 33i); 
1.52, (i) u-v = (-1 ~6i,-ll,.,-9 + 4i); (iii) u. v= 12 + 2i,v. u = 12-2i; 
(ii) (3 + i)v = (13 + i, 31 + 17i, 27- i); (iv) llull. = 8, l!vB = V215. 
1.55. (i) 3x + y- llz = -12; (i i) 13x + 4y + z = 7; (iii) 3x- 7y + 4z = 46. 
1.56. k =o. 
1.57. (i) (c\'= 7 +I 
{y = -1 + 3t 
lz = 8- St 
(i i) (x=i+l jy = 9 ~ 121 
)z = -4 + 4t 
[w = 5-/ 
(iii) (x=4-+Jt 
{ y = -1- 2t 
[z ~ 9 +t. 
Capítulo 2 
Equações lineares 
INTRODUÇÃO 
A teoria das equações lineares desempenha papel" importante e moti-
vador no campo da Álgebra Linear. Na verdade, muitos problemas na 
Álgebra Linear são equivalentes ao estudo de um sistema de equações 
lineares, por exemplo, a procura· do núcleo de uma transformação linear 
e a caracterização do subespaço gerado por um conjunto de vetores. Assim, 
as técnicas introduzidas neste capítulo serão aplicâveis ao tratamento 
mais abstrato dado mais tàrde. Por outro lado, alguns dos resultados 
do tratamento abstrato dar-nos-ão novas visões de estrutura de sistemas 
concretos de equações lineares. 
Por simplicidade, supomos que tôdas as_equações neste càpítuio são' 
sôbre o corpo real R. Realçamos que os resultados e técnicas também 
valem para equações sôbre o corpo complexo C ou sôbre qualquer corpo 
arbitrário K; · · 
EQUAÇÃO LINEAR 
Por uma equação linear sôbre o corpo real R, entendem03 uma eJI:-
pressão da forma 
(1) 
onde ait b E R e os x, são indeterminadas (ou incógnitas ou variáveis). Os 
escalares a, são chamados coeficientes de x, respectivamente, e b é chamado 
têrmo constante ou simplesmente constante da equação. Um conjunto de 
valôres para as incógilitas, d.igamos 
X; = fu_._ X2 .==. ~~ ... , X 11 = kn 
é solução de (1) ~~ aj !afirmação! 'obtida substituindo k, por x,. I ! 
a1k 1 + a2k 2 + ... + a,."k-;.-=·b 
é verdadeira. Diz-se, então, que êsse conjunto de valôres satisfaz a equa-
ção. Se não hâ am.bigüidade sôbre a posição das incógnitas na equação, 
entã<r .denotamos essà solução simplesmenté pela n-upla. 
u = (klt k2, ...• k,.) 
Exemplo 2.1; Considere a equação x + 2y- 4z + w = 3. 
A 4-upla 11 = (3, 2, 1, O) é solução da equação, pois 
3 + 2 -2 - 4 -1 + o = 3 ou 3 = 3 
.21 
22 EQUAÇõES LINEARES [CAP. 2 
é uma sentença verdadeira. Entretanto, a 4-upla v = (1, 2, 4, 5) não é uma solução da 
equação, pois 
+ 2 . 2 - 4 .4 + 5 = 3 ou -6 = :~ 
não é uma sentença verdadeira. 
Soluções da equação (1) podem ser fàcilmente descritas e obtidas- · 
H á três casos. 
Caso (i). Um dos coeficientes em (1) é não-nulo, digamos, a1 ;é O. 
Então, podemos reescrever a equação como segue 
ai XI = b- ~X2- •.. - anXn OU X1 = aJ.1b- aJ. 1~Xz- ... - aJ.1anXn 
Atribuindo valôres arbitràriamente às incógnitas x2 , ... , xn, obtemos um 
valor para x1 ; êsses valôres formam uma solução da equação. Além disso, 
cada solução da equação pode ser obtida dessa maneira. Note, em parti-
cular, que a equação linear a uma incógnita, ax ;é b, com a ;é O tem 
a ónica solução x = a·1b. · 
Exemplo 2.2. Consideremos a equação 2x - 4y + z = 8. 
Reescrevemos a equação como 
2x = 8 + 4y- z ou x = 4 + 2y- 1/2 z 
Qualquer valoí para y e z produzirá um valor para x e os três valôres serão uma so-
lução da equação. Por exemplo; sejam y = 3 e z = 2; então, x = 4 + 2.3- 1/2.2 = 9. 
Em outras palavras, a 3-upla u = (9, 3, 2) é soÍução da equação. 
Caso (ii). Todos os coeficientes em (1) são zero, mas a constante 
·não é zero. Isto é, a equação é da forma 
Ox1 + Ox2 + ... + Oxn b, com b ~ O 
Então, n equação não tem solução. 
Caso (iü). Todos os coeficientes em (1) são zero e a constante· é 
também z~ro. Isto é, a equação é da forma 
Ox1 + Ox2 + ... + Oxn =O 
~ntão, tôda n-upla de escalares em R é uma solução da equação. 
SISTEMA DE EQUAÇÕES UNEARES 
Consideremos, agora, um s1stema de m equações lineares nas n in-
cógnitas x1 , •.. , Xn 
a 11xr + a 12Xz + 
. a21X2 + azzXz + 
am1X1 +· amzXz + · · · + amnXn = b,n; 
(*) 
onde os a11 , bt pertencem ao corpo real R. Diz-se que o si~tema é homo- · 
g2neo se as constantes b11 . .. , bm são tôdas zero. Uma n-upla u = (k 1, • •• ,kn) 
CAP. 2] EQUAÇõES LINEARES 23 
de números reais é uma solução (ou uma solução Particular) se satisfaz 
cada uma das equações; o conjunto de tôdas essas soluções é denominado 
conjunto solução ou solução geral. 
O sistema de equações lineares 
auxl + al2x2 + 
a21X1 + a2~2 + 
o 
o 
am1X1 + am2X2 + · · · + amnXn = 0 
<**) 
é chamado sistema homogêneo assocmdo a (*). O sistema acima sempre 
tem splução, a saber: a n-upla zero O = (0, O, ... , O) chamada solução 
zero ov. trivial. Qualquer outra solução, se existir, é chamada solução 
não-nula ou não-trivial. 
A relação fundamel)tal entre os sistemas (*) e (**) segue. 
Teorema 2.1. Suponha que u é uma S:Olução particular do sistema não ho-
mogêneo (*) e. suponha que W é a solução geral do sistema homogêneo 
associado (**). Então, 
'u+W= {u+w:wE Wl 
é a solução geral do sistema não homogêneo (*). 
Salientamos que o teorema é de interêsse teórico e não nos ajuda a 
obter soluções explícitas do sistema (*). Isso é feito pelo método usual 
de eliminação, descrito na próxima seção. 
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
Considere o sistema (*) acima de equações lineares. Nós o reduzimos 
. a um si~tema mais simples como segue. 
Passo 1. Transponha equações, de modo que a primeira ~ncógnita x 1 
tenha coeficiente não-nulo na primeira equação, isto é, de modo que ali rf O. 
Passo 2. Para cada i > 1, aplique a operação 
L; ---7 -a <I L1 + ali L; 
Isto é, substitua a i-ésima equação linear L; .Pela equação obtida multi-
·plicando a primeira equação L 1 por -a;~> multipiicando a i-ésima equação 
Lt pol""a11 e, então, somando. 
Obtemos, assim, o seguinte sistema "que (problema 2.13) é equivalente 
a (*). isto é, tem .o mesmo conjunto solução de (*) 
a11x1 + a;2x 2 + a~3X3 + ... + a;nxn = b~ 
a;hxi2 + . . . . . . + a;,.xn = b~ 
24 EQUAÇõES LINEARES [CAP. 2 
onde a 11 ~ O. Aqui Xp denota a primeira incógnita com um coeficiente 
nãocnulo numa equação que não a primeira; por passo 2, xi2 ~ x 1• :t:sse 
processo que elimina uma incógnita de equações sucessivas é conhecido 
como eliminação (de Gauss). 
Exemplo· 2.3. Considere o seguinte sistema de equações lineares 
2x + 4y - z + 2v + 2w = 1 
3x + 6y + z - v + 4w = -7 
4x + 8y + z + Sv - w = 3 
Eliminamos a incógnita x das segunda ·e terceira equações, aplicando as seguintes ope-
rações 
Calculamos 
-JL1: -6x - 12y + 3z - 6v - 6w = -3 
2L 2 : 6x + 12y + 2z - 2v + 8w = -14 
--~Lt + 2L2 : Sz- 8v + 2w = -17 
e -2Lt: -4x - 8y + 2<~ - 4v - 4w = -2 
La: 4x + 8y + z + Sv - w = 3 
3z + v- .'?w = 
Assim, o sistema original foi reduzido ao seguilite sistema equivalente 
2x + 4y - z + 2v + 2w = 1 
Sz - 8v + 2w = -17 
3z + v- Sw = 1 
Observe que y também foi eliminado das segunda e terceira equações. Aqui, a incógnita 
z faz o papel da incógnita x12 acima. 
Notamos que as equações acima, excluindo a primeira, formam um 
subsistema que tem menos equações e menos incógnitas do que o sistema 
original (*). 
Também notamos que 
(i) sé ocorre uma equação Ox1 +. + Ox, = b, b ;>'! O,então o sistema 
é inconsistente e não tem solução; 
(ii) Sé ocórre uma equação Ox1 + ... + Ox, = O, então a equação pode 
Set: suprimida, sem .. .que afete a solução. 
Continuando o processo acima com cada nôvo subsistema "menor"; 
obtemos, por indução, que o sistema (*) é inconsistente ou é redutível a 
um sistema equivalente na seguinte forma 
GnX1 + a 12X2 + a 13Xa + ...... , ........ + a 11,x,. = bt 
a2j2Xj~ + a2J2 + 1Xj2 +t + ...... + a 2,x, = b~ 
(***) 
CAP. 2] EQUAÇOES LINEARES 25 
onde 1 < j 2 < ... < j, e onde os coeficientes iniciais não são zero 
a11 ;F O, a2 . ;F O, .. . ,a,.;& O J2 Jr 
(Para conveniência de notação, usamos os mesmos símbolos a;;., bk no 
sistema(***), como usamos no sistema("'), mas êles podem, é claro, denotar 
escalares diferentes. 
Definição. Diz-se que o sistema (***) acima está na forma escalonada; as 
incógnitas x; que não aparecem no comêço de nenhuma equação (i ;& 1, 
j 2 , ..•. ,j,) são chamadas variáveis livres. 
Surge o seguinte teorema. 
Teorema 2.2. A solução do . sistema (***) na forma escalonada é a se-
quinte. Existem dois casos: 
(i) r =; n. Isto ê, há tantas equações quanto incógnitas. Então, o 
sistema tem solução única. 
(ii) r < n. Isto é, há menos equações do que incógnitas. Então, po· 
demos, arbitràriamente, atribuir valôres às n- r variáveis livres e 
obter uma solução do sistema. 
Note, em particular, que o teorema acima implica que o sistema (***) 
e qualquer sistema equivalente. são consistentes. Assim, se o sistema (*) 
é consistente e se reduz ao caso (ii) acima, podemos então atribuir vârios va: 
lôres diferentes às variáveis livres e, assim, obter várias soluções do sistema. 
O seguinte diagrama ilustra essa situaçao. 
Sem 
solução 
Sistema de equações lineares 
I 
I Consistente 
I 
I 
Solução 
única 
I 
I 
Mais de uma 
solução 
Em vista do teorema 2.1, a solução ónica acima pode ocorrer sõmente 
quand.9 o sistema homogêneo associado tiver só a solução zero. 
Exemplo 2.4; Reduzimos o seguinte sistema, aplicando as operações L 2.--+ -3L1 + 
+ 2L2 e La ...... -3L1 + 2La e, em seguida, a operação La --+ -3L2 + La: 
2x + y - 2z + 3w = 1 2x + y - 2z + 3w = 1 2x + y - 2z + 3w = 1 
3x + 2y - z + 2w = 4 y + 4z - 5w = 5 y + 4z - Sw = 5 
3x + 3y + 3z - 3w = 5 3y + 12z - 15w = 7 O = -8 
A eQ.uação O = -8, isto é, Ox + Oy + Oz + Ow = -8 mosh' que o sistema original é 
inconsistente e, portanto, não tem solução. 
26 EQUAÇÕES LINEARES [CAP. 2 
Exemplo 2.5. Reduzimos o seguinte sistema, aplicando as operações L2 --> -L1 + 
+ L 2, e L 3 ..... -2Lt + La e L4 ..... -2Lt + L4 e, em seguida, as operações La --> L2- L 3 
e L4 ..... -ZL2 + L4 
x + 2y- 3z = 4. 
X+ 3y + Z = 11 
2x + Sy - 4z = 13 
2x + by + 2z = 22 
x + ';.y- 3z = 4 
y + 4z = 7 
y + 2z = 5 
2y + 8z = 14 
x + 2y- 3z = 4 
y + 4z = 7 
2z = 2 
x + 2y- 3z = 4 
y+4z=7 
2z = 2 
0=0 
Observe, primeiro, que o sistema é consistente, pois não há equação da forma O = b, 
com b ~ O. Além disso, como na forma escalonada h~ três equações nas três inc6gnita~, 
o sistema tem solução única. Pela terceira equação, z = 1. Substituindo z = 1 na se-
gunda equação, obtemos y = 3. Substituindo y = 3 e z = 1 na primeira equação, 
encontramos x = 1. Assim, x = 1, y = 3 e z = 1 ou, em outras palavras, a 3-upla 
(1, 3, 1) é a solução única do sistema. 
Exemplo 2·.6. Reduzimos o seguinte sistema, aplicanqo as operações L2--> -2Lt + 
+ L 2 e L 3 --+ -SLt + L 3 e, depois, a operação La --> -ZL2 +La; 
x + 2y- 2z + 3w = 2 x + 2y- 2z + 3w = 2 x + 2y- 2z + 3w = 2 
2x + 4y - 3z + 4w = 5 z - 2w = 1 z - 2w = 1 
Sx + 10y- 8z + llw = 12 2z - 4w = 2 O = O 
x + 2y - 2z + 3w =· 2 
z - 2w = 1 
O sistema é consistente e, como. há mais incógnitas do que equações na forma escalo-
nada, o ~istema tem uma infinidade de soluções. De fato, há duas variáveis livres, y 
e w, e,portanto;uma solução particular pode ser.obtida dando a y e w quaisquer valflreR. 
Por exemplo, sejam w = 1 e y = -2. Substituindo w = 1 na segunda equação, obte-
mos z = 3. Pondo w = 1, z = 3 e y = -2 na primeira equação, encontramos x = 9. 
Assim, x = 9, y = -2, z = 3 e w = 1 ou, em outras palavras, a 4-upla (9, -2, 3, 1) é 
uma solução particular do sistema. 
Observa~ão. Encontramos a solução geral do sistema no exemplo acima, 
como segue. Atribuam-se valôres arbitrários às variáveis livres; digamos, 
y = a e w = b. Substituindo w = b na segunda equação, obtemos 
z = 1 + 2 b: Pondo y = a, z = 1 + 2b e w = b na primeira equação, 
encontramos x = 4- 2a + b. Assim, a solução geral do sistema é · 
x = 4- 2a + b, y = a, z = 1 + 2b, w = b 
ou, em outras palavras, (4- 2a + b, a, 1 + 2b, b), onde a e b são números 
arbitrários. Freqüentemente, a solução geral é deixada em têrmos das 
variáveis livres y e w (em vez de a e b) como segue 
x = -4- 2y + w, z = 1 + 2w ou (4- 2y + w, y, 1 + 2w, w) 
Investigaremos mais a representação da solução geral de um sistema de 
equações lineares num capítulo posterior. 
Exemplo 2.7. Considere duas equações ém duas incógnitas 
a1X + bty = Ct 
a2X + b2x = c2 
CAP. 2] EQUAÇÕES LINEARES 
Oe acôrdo com nossa ·teoria, exatamente um dos três casos seg~1intes deve ocorrer 
(i) O sistema é inconsistente. 
(ii) O sistema é equivalente a duas equações na forma escalonada. 
(iii) O sistema é equivalente a uma equação na form:1 escalonada. 
27 
Quando equações lineares em duas incógnitas com coeficientes reais podem ser repre-
se,;Úâas_ como retas no plano R 2, os casos acima podem ser interpretados geometrica-
mente como segue 
(i) As duas retas são paralelas. 
(ii) As duas retas se interceptam num únic-o pontó. 
(iii) As cluas retas são coincidentes. 
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA HOMOG~NEO DE EQUAÇÕES. 
LINEARES 
Se partirmos de um sistema homogêneo de equações lineares, então 
êle é claramente consistente, pois, por exemplo, êle tem a soluÇão zero 
O = (0, O, . , 0). Assim, êle pode sempre ser reduzido a um sistema 
homogêneo equivalente na forma escalonada 
n. 11 X 1 + a 12X 2 + a.,1X:1 + .. 
a2j2Xi2 + a~.J2+1Xi2+1 + 
o 
o 
a,1,x1, + a,_1,+ 1x1,+ 1 + ... + a,n:Cn = O 
Portimto, temos duas possibilidades: 
(i) r n. Então, o sistema tem sàmente a solução zero. 
(ii) r < n. Então, o sistema tem uma solução não-nula. 
Se partirmos de menos equações do que incógnitas, então, na forma esca-
lonada, r < n e, portanto, o sistema tem uma solução não-nula. Ist·o é, 
Teorema 2.3. Um sistema homogêneo de equações lineares com mais 
incógnitas do que equações tem uma solução não-nula. 
Exemplo 2.8. O sistema homogêneo 
x + 2y - 3z + w = O 
x - 3y + z - 2w = O 
2x + y - 3z + Sw = O 
tem lll~a solução não-nula, pois há quatro incógnitas mas somente três equações. 
Exemplo 2.9. Reduzimos o seguinte sistema à forma escalonada 
x+ y- z=O 
2x- 3y + z =O 
x- 4y + 2z =O 
x+y- z=O 
-:-Sy + 3z =O 
-Sy + 3z =O 
·x+y- z=O 
-Sy + 3z =O 
O sistema tem uma solução não•nula, pois ·obtivemos somente duas equações em três 
incógnitas na forma escalonada.· Por exemplo, seja z = 5; então, y = 3 e x = 2. Em 
outras palavras, a 3-upla (2, 3, 5) é uma solução particular não-nula. 
28 EQUAÇÕES LINEARES 
Exemplo 2.10. Reduzimos o seguinte sistema à forma escalonada 
x+ y- z=O 
2?;' + 4y- z =o 
3x + 2y + 2z =O 
_x+y- z=O 
2y + z =o 
-y + Sz =O 
x+y~z=O 
2y + z =o 
llz =O 
[CAP. 2 
Como, na forma escalonada, há três equações em três incógnitas, o sistema tem se-
mente a solução zero (0, O, 0). 
Problemas Resolvidos 
SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES LINEARES 
2.1. Resolva o sistema 2x - 3y + 6z + 2v - Sw 
y- 4z + v 
3 
1. 
2.2. 
v-3w 2 
O sistema está na forma escalonada. Como as .equações começam com as 
incógnitas x, y e v, respectivamente, as outras incógnitas, z e w, são as váriáveis 
livres. 
Para achar a solução geral, sejam,· digamos, z - a e w = b. Substituindona terceira equação, v - 3b = 2 ou v = 2 + 3b. 
Substituindo na segunda equação, 
y - 4a + 2 + 3b ~ 1 ou y = 4a - 3b - 1 
Substituindo na primeira equação, 
2x- 3(4a- 3b- 1) + 6a + 2(2 + 3b)- 5b = 3 ou x = 3a- 5b- 2 
Assim, a solução geral do sistema é 
x = 3a·~ 5/l -- 2, y ,:,· 4a- 3b- 1,. z =a, v = 2 + 3b, w = b 
<;>u (3a- 5b- 2, 4a- 3b- 1, a, 2 + 3b, b), onde a e b são números reais arbi-
trários. Alguns textos deixam a solução geral em têrmos das variáveis livres 
z e w, em vez de a e b, como segue 
x = 3z- 5w- 2 
y = 4z- 3w-
v= 2 + 3w 
ou (3z- 5w- 2, 4z- 3w- 1, z, 2 + 3w, w) 
DePQis de encontrar a solução geral, podemos encontrar uma solução parti-
cular por substituição na solução geral. Por exemplo, sejam a = 2 e b = 1; 
então, 
X = -1, y =' 4, Z = 2, V = 5, W = 1 OU (-1, 4, 2, 5, 1) 
é uma solução particular do sistema dado. 
Resolva o sistema x + 2y- 3z = -1 
3x - y + 2z 7. 
Sx + 3y - 4z 2 
CAP.2] EQUAÇÕES LINEARES 29 
Reduza à forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira equações pelas 
operações L2 --+ -3Lt + L2 e La --+ -SLt +La 
-3Lt: -3x - 6y + 9z = 3 
L2: 3x - y + 2z = 7 
-5Lt: -Sx - 10y + 15z = 5 
La: Sx + 3y - 4z = 2 
-7y + llz = 10 -5Lt +La: -7y+11z=7 
Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente 
x + 2y - 3z = -1 
-7y+11z=10 
-7y + 11z = 7 
As seg;mda e terceira equações mostram que o sistema é inconsistente,. porque, 
se subtrairmos, obtemos Ox + Oy + Oz = 3 ou O = 3. 
2.3. Resolva o sistema 2x + y - 2z = 10 
3x + 2y + 2z 1. 
Sx + 4y +·3Z 4 
Reduza à forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira equações 
pelas operações L 2 --+ -3Lt + 2L 2 e La --+ -SLt + 2L~ 
-3Lt: --6x - 3y + 6z = -30 -SLt: -10x - Sy + lOz = -50 
2L2 : 6x + 4y + 4z = 2 2L3: 10x + 8y + 6z ,;, 8 
y + 10z = -28 -SLt + 2Ls: 3y + 16z -.. _:-42 
Assim, obtemos o seguinte sistema, do qual eliminamos y da terceira equação pela 
operação La --+ -3L2 + La · 
2x + y - 2z = 10 
y + 10z = -28 para 
3y + 16z = -42 
2x + y - 2z = 10 
y + 10z = -28 
-14z ,;, 42 
Na forma escalonada, há três equações em três incógnitas; .portanto, o sistema 
tem solução única. Pela terceira equação, z = -3. Substituindo na segunda 
equação, encontramos y = 2. Substituindo na primeira equação, obtemos x = 1. 
Assim, x = 1, y=2 e z=-3, isto é, a 3-upla (1, 2, -3) é a única solução do sistema. 
2.4. Resolva o sistema x + 2y- 3z = 6 
2x - y + 4z 2. 
4x + 3y - 2z 14 
Reduza o sistema à forma esi::alonada. Elimine x das segunda e tei"Ceira 
equações pelas operações L2 --t -2Lt + L2 e La --+ -4Lt +La 
-2L1: -2x- 4y +. 6z = -12 :-4L1: -4x - 8y + 12z = -24 
L 3: 4x + 3y - 2z = 14 
-Sy + !Oz = -10 -Sy + 10z = -10 
ou y - 2z = 2 ou y - 2z = 2 
30 
2.5. 
EQUAÇÕES LINEARES [CAP. 2 
Assim, o sistema é equivalente a 
x + 2y- 3z = 6 x + 2y- 3z = 6 
y-:- 2z = 2 011, simplesmente, y- 2z = 2 
y- 2z = 2 
(Como as segunda e terceira equações são idênticas, podemos ignorar uma delas.) 
Na forma escalonada, há somente duas equações em três incógnitas; por-
tanto, o sistema tem uma infinidade de soluções e, em particular, 3 - 2 = 1 
variável livre que é z. 
Para obter a solução geral, seja, digamos, z = a. Substitua na segunda 
equação para obter y = 2 + 2a. Substitua na primeira equação para obter 
x + 2(2 + 2a) - 3a = 6 ou x = 2 - a. 
Assim, a solução geral é 
x = 2 - a, y = 2 + 2a, z = a 011 (2 - a, 2 + 2a, a), 
onde a é qualquer número real. 
O valor, digamos, a = 1, conduz à solução particular x = 1, y = 4, z ~ l ou 
(1, 4, 1). 
Resolva o sistema x- 3y + 4z - 2w 
2y + Sz + w 
s 
2. 
· y- 3z = 4. 
O sistema não está na forma escalonada, pois, por exemplo, y aparece como 
a primeira incógnita em ambas as segunda e terceira equações. Entretanto, se 
reescrevermos o sistema de modo que w seja a segunda incógnita, então obtemos 
· o seguinte sistema, que está na forma escalonada 
x - 2w - 3y + 4z = 5 
w+2y+Sz=2 
y- 3z = 4 
Agora, se a 4-upla (a, b, c, d) é dada como uma solução, não é claro se b de-
veria ser substituído por w ou por y; portanto, por razões teóricas, consideramos 
os dois sistemas como distintos. Claro que isso não nos proíbe de usar o nôvo 
sistema para obter a solução do sistema original. 
Seja z = a. Substituindo na terceira equação, encontramos y = 4 + 3a. 
Substituindo na segunda equação, obtemos w + 2(4 + 3a) + Sa = 2 ou w = 
= -6 - 11a. Substih.1indo na primeira equação, 
x- 2(-6- 11a) - 3(4 + 3a) + 4a "" 5 tJU x = 5 - 17 a 
Assim, a solução geral do sistema original é 
x = 5 - 17 a, y = 4 + 3a, i "= a, w = -6 - 11 a, 
onde a é qualquer número real. 
2.6. Determine os valôres de a, de modo que o seguinte sistema nas 
incógnitas x, y e z tenha (i) nenhuma soluçã~, (ii) mais de uma so-
lução, (iii) uma única solução 
X+ y Z = 1 
2x + 3y + az 3 
·' + ay + 3z 2 
CAP. 2] EQUAÇõES LINEARES 31 
Reduza o sistema à forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira 
equai;ões pelas operações L2 --> -2L1 + L2 e La - -Lt + L3 
-2Lt: -2x - 2y + 2z = -2 
L2: 2x + 3y + az = 3 
-L1: -x -
La: x + 
y + z = -1 
ay + 3z = 2 
y +(a+ 2)z = (a - l)y + 4z = 1 
Assim, o sistema equivalente é 
x+ y- z= 
y +(a+ 2)z = 1 
(a- l)y + 4z = 1 
Agora, elimine y da terceira equação pela operação La -7- (a- l)L2 +La 
-(a- l)L2: -(a- l)y + (2 - a - a 2)z = 1 - a 
La: (a-1)y+ 4z=1 
para obter o sistema equivalente 
x+y-
Y+ 
(6 - a - a 2)z = 2 - a 
ou (3 + a) (2 - a)z = 2 - a 
z = 1 
(a+ 2)z = 1 
(3 + a) (2 - a)z :"" 2 - a 
que tem solução única se o coeficiente de z na terceira equação não é zero, 
isto é, $C a ;;:: 2 e a ~ -3. No caso de a = 2, a terceira equação é 0 = 0 e o 
sistema tem mais de uma solução. N~ ca$0 de a ·- -3, a terceira equação é 
O = S e o sistema não tem solução. 
Resumindo, temos (i) a = -3, (ii) a = 2, (iii) a 'i"' 2 e a 'i"' -3. 
2.7. Que condições devem ser impostas a a, b e c para que o sistema 
seguinte nas incógnitas x, y e z tenha -solução? 
x + 2y 3z =a 
2x + 6y llz = b 
x - 2y + 7z =c 
Reduza à forma escalonada. Eliminando x das segunda e terceira equa~s 
pelas operações L2 :..._.- -2Lt + L2 e La -->-LI +La, obtemos o .sistema equi· 
valente 
x + 2y- 3z =a 
2y - Sz - b- 2a 
4y + 10z =c- a 
Eliminando y da terceira equação pela operação L 3 -7 2L2 + L 3, '.finalmente 
obtemos o sistema equivalente 
x + 2y- 3z =a 
2y- Sz = b- 2a 
O= c+ 2b- Sa 
32 EQUAÇÕES LINEARES [CAP. 2 
O sistema não terá solução se a·terceira equação fôr da forma O = k, com k ;;é O; 
isto é, se · 
c + 2b - Sa ;;é O. 
Assim, o sistema terá, ao menos, uma solução se 
c + 2b - Sa = O ou Sa = 2b + c 
Note, nesse caw, que o sistema terá mais de uma solução. Em outras palavras,. 
o sistema não pode ter solução única. 
SISTEMAS HOMOGÊNEOS DE EQUAÇÕES LINEARES 
2.8. Determine se cada ·sistema tem solução não-nula 
X 2y + 3z - 2w =O x + 2y - 3z =O 
3x 7y - 2z + 4w =.O 2x + Sy + 2z = O 
4x + 3y + Sz + 2w = O 3x - y - 4z = O 
(i) (ii) 
X+ 2y Z = 0 
2x + Sy + 2z =O 
x + 4y + 7z =O 
x + 3y + 3z =lO 
(i i i) 
(i) O sistema deve ter solução não-nula, porque há mais incógnitas do que 
equações. 
(ii) Reduza à fótma escalonada 
x + 2y- 3z =O x+ 2y- 3z =O 
2x + Sy + 2z '""O 
3x - y ~ 4z =O 
para y + 8z = O para 
-7y + Sz =O 
x + 2y- 3z =O 
y+8z.=0 
61z =O 
Na forma esc~lonada, há exatamente três equações em três ,incógnitas; 
assim, .o sistema tem solução única, a solução zero. 
(iii) Reduza à forma escalonada 
X+ 2y.- z = 0 
2x + Sy + 2z =O 
x + 4y + 7z =O 
x + 3y + 3z =O 
X+ 2y - Z '"'0 
y + 4z =O 
2y + 8z =O 
y + 4z =O 
X+ 2y- 2 = 0 
y + 4z =O 
Na forma escalonada, há somente duas equações em três incógnitas; assim, 
o sistema tem uma solução não-nula. 
2.9. Diz-se que os vetores uit ... , um em, digamos, Rn são linearmente 
dependentes, ou, simplesmente, dependentes,se existem' escalares 
~11 ••• , km nem todos zero, tais que k 1u 1 + ... + kmu;,. = O. 
Caso contrário, diz-se que êles são independentes. Determine se 
os vetores u, v e W' são ·dependentes ou independentes, onde 
(i) u= (1, 1, .::.1), v= (2, -3, 1) w = (8, -7, 1) 
(ii) 1t = (1, -2, -3), v= (2, 3, -1), w = (3; 2, 1) 
(iii) ·u = (a1, a 2), v = ~bltb2), w = (c1 , c2) 
CAP .. 2] EQUAÇÕES LINEARES 33 
2.10. 
Em cada caso 
(a) seja xu + yv + zw = O, onde x, y e z são incógnitas escalares; 
(b) encontre o sistema de equações homogêneo equivalente; 
(c) determine se o sistema tem solução não-nula. Se o sistema tem, então os 
vetores são dependentes; se o sistema não tem. então êles são independentes. 
(i) Seja xu + yv + zw. = O 
ou 
ou 
x(l, 1, -1) + y(2, -3, I)+ z(8, -7, 1) = (O, O, 0) 
(x, ~-. -x) + (2y, -3y, y) + (8z, -7z, z) = (0, O, O) 
(x + 2y + 8z, x- 3y- 7z, -x + y + z) = (O, O, O) 
Faça as componentes correspondentes iguais entre si e reduza o sistema 
à forma escalonada 
X + 2y + 8z = 0 X + 2y + 8z = 0 X + 2y + 8z = 0 X + 2y + 8z = 0 
x- 3y - 7z =O 
-X+ y + Z = 0 
-Sy - !Sz =O 
3y + 9z =O 
y + 3z =O 
y + 3z =O 
y+3z=O 
:\la forma escalonada, há duas equações em ti-ês incógnitas; assim, o sistema 
tem solução não-nula. De arôrdo com isso, os vetores ·são dependentes. 
Observação. Não necessitamos resolver o sistema para determinar dependência 
ou independência; sàmente precisamos saber se existe solução 
não-nula 
(i i) x(l, -2, -3) + y(2, 3, -1) + z(3, 2, 1) = (0, O, O) 
(.,., -2.-.;, -3x) + (2y, 3y, -y) + (3z, 2z, ·z) = (O, O, O) 
(>: + 2y + 3z, -2.\· + 3y + 2z, -3x - y + z) == (0, O, O) 
". + 2y + 3z =O 
-h+ 3y + 2z =O 
-3x- ·y + z =O 
x + 2y + 3z =O 
7y + 8z =O 
Sy + 10z =O 
". + 2y + 3z = O • 
7y + 8z =O 
30z = O 
Na forma escalonada, há exatamente três equações em três incógnitas; 
assim, o- sistema tem sàmente a solução zero. De acôrdo com isso, os veto-
res são independentes 
a1X + b1Y + CtZ = 0 
O sistema tem solução não-nula pelo teorema 2.3, isto é, porque há mais 
iúcógnitas do que equações; portanto, .os vetores são dependentes. Em 
outras palavras, nós provamos que quaisquer três vetores no R2 são depen-
dentes. 
Suponha. que, num sistema homogêneo de equações 
coeficientes _de uma das incógnitas são todos zero. 
o sistema tein solução não-nula. 
lineares, os 
Mostre que 
34 EQUAÇÕES LINEARES [CAP. 2 
Suponha que XI, ..• , x, são as incógnitas do sistema e Xj é ~ incógnita cujos 
coeficientes são todos zero. Então, cada equação do sistema é da forma 
atX! + ... + aj-!Xj-1 + Oxi + ai+!Xi+t + ... + a,x, = O 
Então, por exemplo, (0, ... , O, 1, O, ... , 0), onde l é a j-ésima componente, é 
uma solução não-nula de cada equação e, portanto, do sistema. 
PROBLEMAS DIVERSOS 
2.11. Demonstre o teorema 2.1. Suponha que u é uma solução particular 
do sistema homogêneo (*) e suponha que W é a solução geral do 
sistema homogêneo associado (**). 
Então, u + W = I u + w : w E W} 
é a solução geral do sistema não homogêneo (*). 
Anote por V a solução geral do sistema não homogêneo (*). Suponha que 
u E V e que u = (ut, ... , u,). Como u .é uma solução de (*), temos para 
i= 1,. _ ., m, 
Agora, suponha que· w e., W e que w = (wt, ... , w,). Como w é uma solução do 
sistema homogêneo (**), temos para i= 1, ... , m; 
a;tWt + a;2w2 + 
Por isso, para i= 1, ... , m, 
a;t(UJ + Wt) + adu2 + w2) + ... + a;,(u, + w,) ~ 
= a;tU! + a;JW! + a; 2u 2 + a;2w 2 + + a;,u, + a;.,w,. 
~ (ai!U! + a;2u 2 + ... + a;,u,.) + (a;tW! + a;2w2 + ... + a;,w,) 
= b; +o= b; 
Isto é. u + w é uma solução de (*). Assim, u + w E V e, portanto, 
u+ wc V 
Agora, suponha que v ~ (v1, ... , v,) é um elemento arbitrário de ·v, isto é, 
solução de ( *). Então, para i = 1, ... , m, 
aiJVJ + a;2v2 + . . . + a;nVn = b; 
Observe que v = u + (v- u). Dizemos que v- u 7 W. Para i ~ 1, ... , m, 
ãi!Ú't- ut) + a;2(v~- u~) + + n;11 (!111 - u,) 
~ (ai!VJ + a;2v2 + ... + a;,v,)- (ai!Ut + a;2u2 + ... + a;,u,) 
= b;- b; =o 
Assim, v- u é solução do sistema homogêneo (*), isto é, v- u <= W. Então, 
v E u + W e, portanto, V c u + W. 
Ambas as relações de inclusão nos dão V ~ u + vV; isto é, u + TF é a so-
J'à,ção geral do sistema não homogêneo (**). 
2.12. Considere o sistema (*) de equações lineares (página 22). Multi-
plica\Ildo a i-ésima equação por ct, e somando.~ obtemos a equação 
, (i{lall + ... + Cmaml)Xl + ... + (ela!, + ... + Cmam,) X, = 
= C1b1 + ... + Cmbm (1) 
CAP. 2] EQUAÇõES LINEARES 35 
Umaltal equação é chamada combinação linear das equações .em (*). 
Mostre que qualquer solução de (*) é também uma solução da com-
bina~ão linear (1). 
,.> 
Suponha que u = (kt, ... , kn) é uma solução de (*). Então, 
+ a;nkn = b;, i = t-, ... , m (2) 
Para mostrar que u é uma solução de (1), precisamos verificar a equação 
(c1au + ... + C,.a,.1)k1 + ... + (c1a1n + ... + Cmamn)kn = qb1 + ... + Cmbm 
Mas isso pode ser. redistribuído assim: 
C!(aukl + ... +(a~nkn) + ... + c,.(a,.! + .. - + amnkn) = Ctbl + ... + Cmbm 
ou, por (2) _ !c1b1+.:. + cmb,;;+-ci:l11-=t-~ .. ~-+ c,.b;;., 
o que é, evidentemente, uma assertiva verdadeira. 
2.13. No sistema (*) de equações lineares, suponha a 11 ~ O. Seja (#) 
o sistema obtido de (*) pela operação L1 ~ ~a11L1 +a 11L., i~ L 
Mostre que (*)e(#) são sistemas equivalentes, isto é, têm o mesmo 
conjunto solução. 
Em vista da operação acima em (*), cada equação em (#) é uma combi-
nação linear de equações- .em (*); portanto, pelo problema anterior, qualquer 
solução de (*) é também s<ilução de (#). 
Por outro lado, aplicando a operação L;--> 1/au(-anLl +L;) à (#), obte· 
mos o sistema original_(*). Isto é, cada equação em (*) é uma combinação linear 
de equações em (#); portanto, cada solução de (#) é também solt.tção de ('"). 
Ambas as condições mostram que (*) e (#) têm o mesmo conjunto solução. 
2.14. Demonstre o teorema 2.2. Considere um sistema na forma esca-
lonada 
a11X1 + a12X2 + aiaXa + · · · · · · · · · · ·. · · · + alnxn = bt 
11.2hxh + a 2 ,12 + 1xh + ·t +. + a2,.x,. = bz 
onde 1 < j 2 < , . . < jr e onde a11 ~ O, az,2 ~ O, ... , arJr ~ O. A 
solução é a seguinte. Há dois casos 
(i) r= n. Então, o sistema tem solução única. 
(ii) r < n. Então, pod~mos atribuir valôres arbitrários às n- r 
variáveis livres e obter uma solução do sistema. 
A demonstração é por indução no número r de equações do sistema. Se 
r = 1, temos a equação linear única 
a1X1 + a2x2 + aaX3 + ... + GnXn = b, onde a1 ~ O. 
36 EQUAÇõES LINEARES [CAP. 2 
As variáveis livres são x2, ... , x,. Vamos atribuir valôres arbitrários às variá-
veis livres; digamos, x2 = k 2, xa = k 3, ... , . . Xn = kn. Substituindo na equação 
e resolvendo para Xt, 
f:sses valôres constituem uma solução da equação; porque, substituindo, obtemos 
que é uma assertiva verdadeira. 
Além disso, se r = n = 1, então temos ax = b, onde a~ O. Note que 
x = b/a é solução, pois a (b/a) = b é verdadeira. Além do mais, se x = k é so-
lução, isto é, ak = b, então k = b/a. Assim, a equação tem solução única, como 
foi dito. 
Agora, suponha· que r > 1 e que o teorema é verdadeiro para um sistema de 
r- 1 equações. Vemos as r- 1 equações 
como um sistema nas incógnitas Xj2, ... , Xn. Note que o sistema está na forma 
escalonada: Por indução, podemos atribuir arbitràriamente valôres às (n-h+1)-
- (r- 1) variáveis livres no sistema reduzido, para obter uma solução. (digamos, 
Xj2 = kj2, .•. , Xn = k,.). Como no caso r =: 1, êsses valôres e valôres arbitrários 
para as j2- 2 variáveis livres adicionais (digamos, X2 = k2, ... , Xj 2 - l= kj 2 - 1), 
produzem uma solução da primeira equação com 
(Note que há (n- jz + 1)- (r- 1) + (j2- 2) = n- r varmveis livres.) Além 
disso, êsses valôres para x 1, ... , x, também sàtisfazem as outras equações, pois, 
nessas equações, os coeficientes de