Aula2_SomatórioDuplo_EstatísticaDescritiva

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Aula Conteúdo Data
1 Introdução. Somatório. Propriedades de somatório. Exercícios. 12/08/2021
2 Somatório duplo e produtório. Exercícios. 19/08/2021
3
Representações de Dados. Estatística descritiva. Medidas de posição. 
Exercícios.
26/08/2021
4 Medidas de dispersão. Exercícios. 02/09/2021
AARE – EAG03201
ESTATÍSTICA BÁSICA
Prof. Alexandre Gomes de Souza
Dá uma ideia de que elementos estão agrupados em uma forma
matricial, onde o 1° índice corresponde a linhas e o 2° índice
corresponde a colunas.
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑋𝑖𝑗
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑋𝑖𝑗
i = 1, 2, ... n (linhas)
j = 1, 2, ... m (colunas)
1 2 ... j ... m
1 x11 x12 x1j x1m ෍
𝑗=1
𝑚
𝑋1𝑗
2 x21 x22 x2j x2m ෍
𝑗=1
𝑚
𝑋2𝑗
... ... ... ... ... ...
i xi1 xi2 xij xim ෍
𝑗=1
𝑚
𝑋𝑖𝑗
... ... ... ... ... ...
n xn1 xn2 xnj xnm ෍
𝑗=1
𝑚
𝑋𝑛𝑗
෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖1 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖2 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖𝑗 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖𝑚 G
C O L U N A S
L
IN
H
A
S
G = ෍
𝑗=1
𝑚
𝑋1𝑗 ෍
𝑗=1
𝑚
𝑋2𝑗 ෍
𝑗=1
𝑚
𝑋𝑖𝑗...+ + + ...+ + ෍
𝑗=1
𝑚
𝑋𝑛𝑗
Como obter o
(1) Soma dos 
totais das linhas
G = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖𝑗...+ + + ...+ +
(2) Soma dos 
totais das colunas
෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖1 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖2 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖𝑚
G =
෍
𝑗=1
𝑚
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑋𝑖𝑗
Somatório duplo?
Total Geral 
෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖𝑗
Exemplo: Deseja-se avaliar o número de quilômetros rodados por litro
de gasolina, para diferentes combinações de carros e motoristas.
carro (i)
motorista (j)
Somas
1 2 3 4
1 6 6 7 5 24
2 10 9 11 7 37
3 12 10 15 8 45
Somas 28 25 33 20 106
carro (i) motorista (j) m=4colunas
Somas
n=3linhas 1 2 3 4
1 x11 x12 x13 x14
2 x21 x22 x23 x24
3 x31 x32 X33 x34
Somas ෍
𝑖=1
3
෍
𝑗=1
4
𝑋𝑖𝑗
෍
𝑗=1
4
𝑋1𝑗
෍
𝑗=1
4
𝑋2𝑗
෍
𝑗=1
4
𝑋3𝑗
෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖1 ෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖2 ෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖3 ෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖4
carro (i)
motorista (j)
Somas
1 2 3 4
1 6 6 7 5 24
2 10 9 11 7 37
3 12 10 15 8 45
Somas 28 25 33 20 106
carro (i) motorista (j) m=4colunas
Somas
n=3linhas 1 2 3 4
1 x11 x12 x13 x14
2 x21 x22 x23 x24
3 x31 x32 X33 x34
Somas ෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖1 ෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖2 ෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖3 ෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖4
෍
𝑗=1
4
𝑋1𝑗
෍
𝑗=1
4
𝑋2𝑗
෍
𝑗=1
4
𝑋3𝑗
Apostila1_Exerc.somatórioduplo_pág5
෍
𝑖=1
3
𝑋𝑖1
෍
𝑗=2
4
𝑋1𝑗
෍
𝑖=1
3
෍
𝑗=1
4
𝑋𝑖𝑗
෍
𝑖=1
2
෍
𝑗=1
3
𝑋𝑖𝑗
a)
b)
c)
=
=
=
6 + 10 + 12 = 28
6 + 7 + 5 = 18
6 + 6 + 7 + 10 + 9 + 11
= 49
Prof. Alexandre Gomes de Souza
Definição
Possui a finalidade de descrever os fenômenos por meio de
parâmetros: de posição, de dispersão, de assimetria e de curtose.
Primeiro passo: levantamento ou coleta de dados.
ROL
Relação dos dados em ordem de grandeza.
Ex: conjunto de dados. X= {31, 10, 52, 23, 40}
Crescente: 10, 23, 31, 40, 52
Decrescente: 52, 40, 31, 23, 10
Intervalos
Aberto: a variável não assume os valores extremos.
a < x < b, (a,b), a ----- b
Fechado: a variável assume os valores extremos.
a ≤ x ≤ b, [a,b], a |-----|b
Aberto à direita: a variável assume o valor do LI.
a ≤ x < b, [a,b), a |----- b
Aberto à esquerda: a variável assume o valor do LS.
a < x ≤ b, (a,b], a ----- |b
Amplitude total
É a diferença entre o maior e o menor valor de uma série estatística.
Amplitude total ou intervalo de classe (AT):
AT = Ls – Li
Observação: AT será sempre a mesma para todas as classes.
Tipos de frequências
Frequência simples de classe i (fi): é o número total de elementos
contidos na classe i.
Frequência total (Ft): é o número de elementos contidos no
experimento. EX: Ft = f1 + f2 + f3 + ... + fn =
Frequência acumulada da classe i (fa,i): é a frequência simples da
classe somada às frequências simples das classes anteriores.
𝐹𝑡 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝐹𝑖
Frequência relativa da classe i (fa,i): é a frequência simples da
classe dividida pela frequência total.
Frequência acumulada relativa da classe i (fa,r,i): é a frequência
acumulada da classe dividida pela frequência total.
Ponto médio da classe i (Pm,i)
É a média aritmética entre os limites inferior e superior de cada
classe.
Pm,i = (Li + Ls) ou Li + h
2 2
Li = limite inferior
Ls = limite superior
h = amplitude da classe 
ou intervalo da classe
Distribuição de frequências
classes fi fa,i fr,i fa,r,i Pm,i
Li|---- Ls f1 f1 f1/Ft f1/Ft Li + h/2
Li|---- Ls f2 f2+f1 f2/Ft (f2+f1)/Ft Li + h/2
Li|---- Ls f3 f3+f2+f1 f3/Ft (f3+f2+f1)/Ft Li + h/2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Li|---- Ls fn Ft fn/Ft 1 Li + h/2
𝐹𝑡 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝐹𝑖
Distribuição de frequências
Ordenar os dados brutos em ordem crescente (Rol)
Determinar a amplitude total (AT)
Determinar o número de classes a usar (k)
Determinar a amplitude da classe ou intervalo da classe (h)
Encontrar as frequências (fi; fa,i; fr,i; fa,r,i e Ft)
Determinar o ponto médio (Pm,i)
Fórmulas para determinação do k:
K = √n
Sturges: k = 1 + 3,3 log n
Exemplo
148 150 152 154 155 157 157 157
158 158 159 160 162 162 163 163
163 164 164 164 165 165 165 165
166 166 166 168 169 169 170 170
170 171 172 172 175 178 178 179
Li = 145
|---
1º classe: 
Li = 145
Ls = 150
classes fi fa,i fr,i fa,r,i Pm,i
145|---150 1 1 1/40 1/40 147,5
150|---155 3 4 3/40 4/40 152,5
155|---160 7 11 7/40 11/40 157,5
160|---165 9 20 9/40 20/40 162,5
165|---170 10 30 10/40 30/40 167,5
170|---175 6 36 6/40 36/40 172,5
175|---180 4 40 4/40 40/40 177,5
Ft = 40
Amplitude total (AT):
AT = 179 – 148 = 31
Número de classes (k):
k = √40 = 6,32 ≈ 7
Amplitude da classe (h):
h = (AT/k) = 31 / 7 ≈ 5
148 150 152 154 155 157 157 157
158 158 159 160 162 162 163 163
163 164 164 164 165 165 165 165
166 166 166 168 169 169 170 170
170 171 172 172 175 178 178 179
+
+
=
=
Representações geométricas
Eixo x → classes
Eixo y → frequências simples
1º ponto do polígono: (Pm,i; f1)
2º ponto do polígono: (Pm,i; f2)
.
.
.
nº ponto do polígono: (Pm,n; fn)
140 145 150 155 160 165 170 175 180 185
1
 
 2
 
 3
 
 4
 
 5
 
 6
 
 7
 
 8
 
 9
 
 1
0
classes
fi
Polígono de frequência
Representações geométricas
É conjunto de retângulos de alturas fi de cada classe e de larguras h.
É a representação gráfica de uma distribuição de frequência por
meio de retângulos justapostos.
140 145 150 155 160 165 170 175 180 185
1
 
 2
 
 3
 
 4
 
 5
 
 6
 
 7
 
 8
 
 9
 
 1
0
classes
fi
Dado o rol de 50 notas, agrupar os elementos em classes e 
construir os gráficos.
Exercício
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78
80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78
80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
Amplitude total (R):
R = 97 – 33 = 64
Número de classes (K):
K = 1 + 3,22 log 50 = 1 + 3,22(1,7) = 7
Amplitude da classe (h):
h = 64 / 7 = 10
classes fi fa,i fr,i fa,r,i Pm,i
30|---40 4 4 0.08 0.08 35
40|---50 6 10 0.12 0.2 45
50|---60 8 18 0.16 0.36 55
60|---70 13 31 0.26 0.62 65
70|---80 9 40 0.18 0.8 75
80|---90 7 47 0.14 0.94 85
90|---100 3 50 0.06 1 95
50 1
+
+
=
=
“Sabemos muito pouco sobre quem somos. Um
verdadeiro cientista tem consciência não do
quanto sabe, mas do quanto não sabe. O dia em
que deixar de confessar a minha ignorância estou
morto como pensador. Existir, pensar, se
emocionar é algo fascinante.”
Augusto Cury
(O Mestre Inesquecível)