Cinemática do Movimento Retilíneo

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Aula 004 1
Exemplo 2.4 
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
A equação do movimento de uma partícula é dada por
𝒙 = 𝟒, 𝟎 − 𝟐𝟕. 𝒕 + 𝒕𝟑, onde x é dado em m e t em s.
a) Determine v e a para essa partícula
𝒗 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝒗 = −𝟐𝟕 + 𝟑, 𝟎. 𝒕𝟐
𝒗 =
𝒅(𝟒, 𝟎)
𝒅𝒕
−
𝒅 𝟐𝟕. 𝒕
𝒅𝒕
+
𝒅(𝒕𝟑)
𝒅𝒕
𝒗 = 𝟒, 𝟎. 𝟎. 𝒕𝟎−𝟏 − 𝟐𝟕. 𝟏. 𝒕𝟏−𝟏 + 𝟏. 𝟑. 𝒕𝟑−𝟏
𝒗 = 𝟎 − 𝟐𝟕. 𝟏. 𝟏 + 𝟏. 𝟑. 𝒕𝟐
Aula 004 2
b) A v será nula em algum instante durante o movimento?
𝒗 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= ⋯𝟎 ? 𝟎 = −𝟐𝟕 + 𝟑, 𝟎. 𝒕𝟐 𝒕 = 𝟑, 𝟎 s
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝒂 = 𝟔, 𝟎. 𝒕
𝒂 =
𝒅(−𝟐𝟕)
𝒅𝒕
+
𝒅(𝟑, 𝟎. 𝒕𝟐)
𝒅𝒕
𝒂 = −𝟐𝟕. 𝟎. 𝒕𝟎−𝟏 + 𝟑, 𝟎. 𝟐. 𝒕𝟐−𝟏
𝒂 = 𝟎 + 𝟔, 𝟎. 𝒕𝟏
-50
x (m)
0
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c) Descreva em detalhe o movimento da partícula
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
- Inicialmente (t = 0 s) a partícula se encontra na posição x0 = 4 m, de onde
parte com velocidade inicial v0 = - 27 m/s e aceleração nula. Portanto, a
partícula inicia seu movimento movendo-se na direção negativa do referencial
4
v0
- Entre t = 0 e t = 3 s a partícula se move com velocidade negativa variável, se
deslocando portanto para a esquerda. Mas nesse intervalo a aceleração
cresce positivamente, fazendo com que a velocidade diminua em módulo. Em
t = 3 s a velocidade atinge módulo zero (é nula) e a aceleração é positiva, o
que indica que a partícula passará a se mover para a direita. A posição onde a
inversão do movimento ocorre é x = -50 m.
x (m)
0 4
v av a
V = 0 m/s
a
Aula 004 4
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
- A partir de t = 3 s a partícula passa a se mover para a direita,
indefinitivamente, com velocidade e aceleração positivas, continuamente
aumentando em módulo. Por exemplo, em t = 5 s a partícula estará em x = -6
m, com v = 48 m/s e a = 30 m/s2.
x (m)
0-6
v
a
Lembrete:
Se uma partícula está “freando”, isso NÃO quer dizer que sua
aceleração tem que ser negativa. Da mesma forma, se a
partícula está “acelerando” isso NÃO implica que o sinal da
aceleração tem que ser positivo.
Quando a e v têm sinais opostos, |v| diminui → partícula “freando”
Quando a e v têm o mesmo sinal, |v| aumenta → partícula “acelerando”
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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
2.8 – CASOS ESPECIAIS – Aceleração constante:
Tratamento matemático exato ↔ boa aproximação para alguns
casos reais
2.8.1 – Aceleração constante igual à zero (MRU):
Trilho de ar
https://www.youtube.com/watch?v=0HHYxdhEJVI
https://www.youtube.com/watch?v=0HHYxdhEJVI
Aula 004 6
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
Aceleração Velocidade Posição
𝒂 = ഥ𝒂 = 𝟎 𝑎 = ത𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
= 0
∆𝑣 = 𝑣 − 𝑣0 = 0
𝒗𝟎 = 𝒗 = cte.
𝑣 = ҧ𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
∆𝑥 = 𝑣 ∙ ∆𝑡
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗 ∙ 𝒕
Coordenadas iniciais: 𝒕𝟎 = 𝟎 s 𝒗𝟎 𝒙𝟎𝒂𝟎, , ,
a
t
v
t
(Se 𝑣0 > 0)
x
t
(Se 𝑣0 > 0, 𝑥0 < 0)
2.8.2 – Aceleração constante e diferente de zero (MRUV):
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
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Aceleração Velocidade Posição
𝒂 = 𝒂𝟎 = cte. 𝑎 = ത𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
∆𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 ∙ 𝒕
ҧ𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
∆𝑥 =
𝑣 + 𝑣0
2
∙ ∆𝑡
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 ∙ 𝒕 +
𝒂
𝟐
∙ 𝒕𝟐
a
t
v
t
(Se 𝑎 > 0, 𝑣0 < 0)
x
t
(Se 𝑎 > 0, 𝑣0 < 0, 
𝑥0 > 0)
(Se 𝑎 > 0)
ҧ𝑣 =
𝑣 + 𝑣0
2
e
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎
𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ ∆𝒙
Fórmulas adicionais do MRUV:
𝒙 = 𝒙𝟎 +
𝟏
𝟐
∙ 𝒗𝟎 + 𝒗 ∙ 𝒕
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗 ∙ 𝒕 −
𝟏
𝟐
∙ 𝒂 ∙ 𝒕𝟐
Não são fornecidas 
no formulário
“Torricelli”
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2.8.3 – Aceleração constante e igual à g (MQL):
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
OBS: por enquanto estamos considerando a resistência do ar 
como sendo desprezível...
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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
Bola de boliche e penas, soltas da mesma altura, quem cai mais
rápido? E por quê?
Sem arCom ar
https://www.youtube.com/watch?v=CCGxCyn8DNE
https://www.youtube.com/watch?v=CCGxCyn8DNE
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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
𝒈→ aceleração da gravidade 𝒈 = 𝟗, 𝟖𝟏𝒎/𝒔𝟐Em módulo,
Geralmente, o referencial vertical é positivo para cima. Como g
sempre aponta em direção à Terra, é necessário adicionar um
sinal de menos para indicar que g está no sentido oposto ao
sentido positivo do referencial.
- 2
- 1
1
2
0
y (m)
g
Aceleração de queda livre 𝒂𝑸𝑳 = −𝒈 = −𝟗, 𝟖𝟏𝒎/𝒔
𝟐
Aceleração
Velocidade
𝒗 = 𝒗𝟎 − 𝒈 ∙ 𝒕
Posição
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎 ∙ 𝒕 −
𝒈
𝟐
∙ 𝒕𝟐
a
t
v
t
(Se 𝑣0 > 0)
x
t
(Se 𝑣0 > 0, 
𝑥0 > 0)
Aula 004 13
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎
𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ ∆𝒚
Fórmulas adicionais do MQL:
𝒚 = 𝒚𝟎 +
𝟏
𝟐
∙ 𝒗𝟎 + 𝒗 ∙ 𝒕
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒗 ∙ 𝒕 +
𝟏
𝟐
∙ 𝒈 ∙ 𝒕𝟐
Não são fornecidas 
no formulário
“Torricelli”
Aula 004 14
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
Exemplo 2.5 (Tipler, 6ª ed, ex. 2.14)
Um carro passa correndo por uma zona escolar, à uma velocidade constante
de 90 km/h. Um motoqueiro da EPTC, que estava parado no local, percebe a
infração e parte em perseguição ao carro. Sabendo que o motoqueiro mantém
uma aceleração constante de 5,0 m/s2 e parte exatamente quando o carro
passa por sua posição, determine:
a) Quando o motoqueiro alcançará o carro.
b) Qual a velocidade do motoqueiro no instante em que alcança o carro.
c) Qual a posição onde o motoqueiro alcança o carro.
d) Qual a velocidade do motoqueiro quando ele está 25 m atrás do carro.
e) Esboce no mesmo gráfico x vs. t as curvas da posição para o carro e o 
motoqueiro. O gráfico deve representar o movimento de 0 a 11 segundos.
Aula 004 15
Dicas para resolver problemas de física:
1- Ler o problema: imaginar a cena que o enunciado descreve
2- Fazer um esquema: Fazer um desenho simples da situação
ajuda a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus
esquemas informações básicas como os sentidos e os valores
envolvidos.
3- Identificar o que é dado e o que é pedido no problema!!
4- Montar as equações e fazer as contas (cuidado com os
sinais, com os arredondamentos e com as unidades...)
5- Interpretar os resultados que obteve – eles fazem sentido?
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
Aula 004 16
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
90 km/h
Em t0 = 0 s ...
90 km/h
5,0 m/s2
Antes de começar ...
0
x (m)
Aula 004 17
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
90 km/h
Logo após começar ...
5,0 m/s2
vm
No instante em que a moto alcança o carro ...
90 km/h
5,0 m/s2
vm
Aula 004 18
CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO
Resolver as contas no quadro... As respostas dão: a) Em t = 10 s
b) vm = 50 m/s c) Se encontram em xenc = 250 m
d) vm’ = 5,6 m/s (t’ = 1,127 s) e vm’’ = 44 m/s (t’’ = 8,873 s)
e) Gráfico:x (m)
250
150
200
100
0
t (s)
2 4 6 81 3 5 7 9 10
50
xc – xm = 25 m
xc – xm = 25 m