Física IV - AULAS

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Paulo Waki Página 1 28/02/2017 
 
 
 
 
 OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOOSSS::: 
Ao final desta unidade espera-se que os alunos sejam capazes de: 
(a) analisar e calcular a energia associada a um corpo que executa MHS; 
(b) resolver problemas de pêndulo simples. 
 
 
 LLLEEEIIITTTUUURRRAAA RRREEECCCOOOMMMEEENNNDDDAAADDDAAA::: 
Para uma melhor compreensão deste assunto, o aluno deverá ler o(s) seguinte(s) livro(s): 
(a) Física II Sears e Zemansky; Young, H.D. & Freedman, R.A.; Vol. 2 - Capítulo 13; Editora 
Pearson – Addison Wesley; 12 Edição (2008). 
(b) Fundamentos de Física 2; Halliday, D., Resnick, R. e Walker, J.; Vol. 2 - Capítulo 15; LTC 
– Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.; 9a Edição (2012). 
(c) Física - R.Resnick & D.Halliday - Vol.2 - Cap.15 - pág. 01 a 22; 4a Edição. 
 
 
 BBBRRREEEVVVEEE RRREEESSSUUUMMMOOO DDDAAA TTTEEEOOORRRIIIAAA::: 
1. INTRODUÇÃO 
O movimento harmônico simples pode ser gerado por outros mecanismos, além da mola. Para 
que tenhamos o MHS, basta que a força resultante possa ser colocada da forma: 

F t kx t x( ) ( )   
Na natureza existem diversos sistemas onde a força resultante pode ser colocada nessa forma, 
e os mais conhecidos são os pêndulos simples e de torção. 
2. PÊNDULO SIMPLES 
O pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma massa puntiforme m suspensa por 
um fio inextensível de comprimento L e massa desprezível. Quando afastado de sua posição 
de equilíbrio e largado, o pêndulo irá oscilar em um plano vertical sob a ação da gravidade. O 
movimento será periódico e oscilatório. Pode-se demonstrar que, se a amplitude de oscilação 
for bastante pequena (amplitude<<L), o movimento resultante será um MHS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

T 
mg 
mgcos
mgsen
L 
O componente tangencial de mg constitui a força 
restauradora que atua em m e faz o corpo oscilar. 
senmgF  
O sinal negativo significa que a força para a posição de 
equilíbrio (x = 0). Essa força é proporcional ao sen e, em 
princípio, o movimento resultante não seria harmônico. No 
entanto, se o ângulo  for pequeno, então:  sen (medido 
em radianos). 
O deslocamento ao longo do arco é: x = L
Donde: x
L
mg
L
x
mgmgF   
A quantidade 
L
mg
 é constante e podemos associar a k e: 
kxF  
O período de oscilação do pêndulo será: 
Lmg
m
k
m
T
/
22   
g
L
T 2 
x=0 x 
UUUNNNIIIVVVEEERRRSSSIIIDDDAAADDDEEE FFFEEEDDDEEERRRAAALLL DDDEEE IIITTTAAAJJJUUUBBBÁÁÁ 
Aula 03: Pêndulo Simples 
FIS503 – FÍSICA GERAL IV Prof. Paulo Waki 
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3) PÊNDULO DE TORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS RRREEESSSOOOLLLVVVIIIDDDOOOSSS::: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Dados: m = 1,2kg; M = 4,8kg; A = 10,0cm = 0,10m 
Precisamos, inicialmente, determinar a velocidade v com que o pêndulo da esquerda atinge o 
pêndulo de massa M. Para isso usamos a conservação da energia no MHS: 
AA
m
k
vmvkAEE equilcMec 
22
, 2
1
2
1
 
Para o pêndulo: 
L
g
T

 2  A
L
g
v  
Precisamos, inicialmente, determinar a energia inicial do pêndulo de massa M, logo após o 
choque. Como a colisão é completamente elástica, valem as conservações de energia e 
momento no choque. 
2
2
2
1
2
,,
21
2
1
2
1
2
1
MvmvmvEE
Mvmvmvpp
apóscantesc
apósantes


 
Na primeira equação podemos isolar v1: 21 vm
M
vv  
Substituindo na segunda: 
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
Mvv
m
M
vmmv 




  
Se a torção for pequena, verifica-se que o torque restaurador 
é proporcional à torção ou deslocamento angular (Lei de 
Hooke). 
 . 
 é chamado módulo de torção. 
Haverá um movimento harmônico simples angular. 
)(
)(
2
2
t
Idt
td   
I é o momento de inércia do corpo. 
 0.sen)(   tt m 


I
T 2 
Um pêndulo de massa m = 1,2 kg, suspenso por um fio de comprimento 
L, é largado em repouso a uma distância x = 10,0 cm de um outro 
pêndulo de massa M = 4,8 kg e mesmo comprimento L, em repouso na 
vertical. Considerando a colisão como sendo perfeitamente elástica e 
desprezando as forças de atrito, calcule a distância máxima atingida 
pelo pêndulo de massa M após a colisão. 
g 
M 
L 
m 
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2
2
2
2
2
2
22
2
1
2
1
.
2
1
2
1
Mvv
m
M
vMvmvmv  
020.
2
1
2
2
2
2
2
2












 MvvM
m
M
vMvvM
m
M
 
Finalmente: 
mM
m
vv


2
2 
E a energia cinética do pêndulo M logo após o choque será: 2
2
,
2
2
1
v
mM
m
ME Mc 






 
Como o pêndulo se encontra na sua posição mais baixa, essa energia cinética é igual à 
energia mecânica: 
2
2
2
,
2
2
1
2
1
v
mM
m
MkAEE MaxMecMc 






 
Para o pêndulo vale: 
L
g
MMk  2  2
2
2 2
2
1
2
1
v
mM
m
MA
L
g
M Max 






 
Tem-se, assim: A
mM
m
A
L
g
mM
m
g
L
v
mM
m
g
L
AMax 





















222
  cmAMax 0,4 
 
 
2) Um pêndulo de comprimento L se encontra preso ao teto de um elevador. Supondo que o 
elevador acelera com o mesmo valor, em módulo, na subida e na descida, determine o valor 
dessa aceleração para que a razão entre os períodos de oscilação seja T1/T2 = 2. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtemos assim: 42
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1 
g
g
g
g
g
g
T
T
g
L
g
L
T
T


 
Tem-se:   gaagaggg 354.4 12  
Finalmente: 
5
3g
a   29,5 s
m
a  
 
 
 
a g* 
O período de oscilação do pêndulo é: 
g
L
T 2 
onde g é a gravidade aparente, que depende do movimento 
do elevador. 
 
Quando o elevador desce acelerado, a gravidade aparente 
que age no pêndulo é g1 = g–a, donde: 
1
1 2 g
L
T  
Quando o elevador sobe acelerado, a gravidade aparente 
que age no pêndulo é g2 = g+a, donde: 
2
2 2 g
L
T  
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EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS PPPRRROOOPPPOOOSSSTTTOOOSSS::: 
1) Uma esfera maciça de 1,5 kg está suspensa por um arame preso ao teto. O raio da esfera 
vale 0,18 m e o módulo de torção do fio vale 6,0.10-3 N.m/rad. Determine o período das 
pequenas oscilações angulares de torção. Resposta: T = 11,3 s. 
2) (a) Calcule a freqüência de um pêndulo simples de 3,0 m de comprimento. (b) Calcule sua 
freqüência supondo que a extremidade superior do fio seja acelerada para cima a 2,5 m/s2. 
(c) Qual seria sua freqüência se a aceleração do item anterior fosse para baixo? 
Respostas: (a) 0,29 Hz; (b) 0,32 Hz; (c) 0,25 Hz. 
3) Um pêndulo de comprimento L possui período de 2,5 s na superfície da Terra. O mesmo 
pêndulo é transportado para a superfície da Lua, onde a gravidade é igual a g/6, com g = 
9,8 m/s2. Calcule o período deste pêndulo na Lua. Resposta: T = 6,12 s. 
4) Um relógio de pêndulo mede corretamente o tempo num local onde g = 9,810 m/s2. 
Transporta-se este relógio para um local onde g’ = 9,805 m/s2. Pergunta-se: (a) o relógio 
passará a adiantar ou atrasar? (b) se o período do pêndulo era de 2 s, qual será o novo 
período do pêndulo? Respostas: (a) Atrasará. (b) T’ = 2,0005 s. 
5) Um pêndulo balístico de madeira, de massa igual a 10 kg, suspenso por um fio de 1 m de 
comprimento, é atingido no instante t = 0 por uma bala de 10 g, viajando a velocidade de 
300 m/s, que fica encravada nele. Achar o ângulo  (em radianos) entre o fio e a vertical, 
como função de t. 
Resposta:    tt 2,3sen095,0