Resolução de sistemas de equações algébricas não-lineares

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química 
 
 
Resolução de sistemas de equações 
algébricas não-lineares 
Mestrado em Engenharia Química 
Técnicas Numéricas e Computacionais 
em Sistemas Químicos 
 
Aluna: Nathalia Oliveira da Silva 
Prof. Eduardo R. de A. Lima 
 
Resolução de sistemas de 
equações algébricas não-lineares 
 
 
 Método da Bisseção 
 Regula Falsi 
 
 Substituições sucessivas 
Métodos intervalares 
Método aberto 
Método da Bisseção 
Método da Bisseção 
 É um tipo de método de busca 
incremental no qual o intervalo é 
sempre dividido na metade. 
 Se uma função muda de sinal em 
um intervalo, calcula-se o valor da 
função em seu ponto médio. 
 A posição da raiz é então 
determinada como sendo o ponto 
médio do subintervalo no qual a 
mudança de sinal ocorre. 
 Esse processo é repetido para 
obter estimativas refinadas. 
 
Critério de parada e estimativa do erro 
εa = 
xr
novo − xr
velho
xr
novo 100% 
 
 εa = Erro relativo percentual 
 xr
novo = Raiz da iteração atual 
 xr
velho= Raiz da iteração anterior 
 
Quando εa se torna menor do que um critério de parada pré-
especificado εs, param-se os cálculos. 
εa < εs 
 
𝑥𝑖, 𝑥𝑢 
Com 𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑢 < 0 
𝑥𝑟 = 
𝑥𝑖 + 𝑥𝑢
2
 
𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑟 = 0 
Início 
Sim 
Mostre: 𝑥𝑟 
Fim 
Não 
𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑟 < 0 
Faça: 
 𝑥𝑢=𝑥𝑟 
Faça: 
 𝑥𝑖=𝑥𝑟 
Sim 
Não 
Exemplo 
 Dados Q= 5m³/s; B= 20m; n=0,03 e S=0,0002, calcule 
H(m). 
𝐵𝐻
𝐵 + 2𝐻
= 𝑅
𝐴
𝐵𝐻
𝑛
𝑅
2
3 𝑆
1
2 = 𝑄
 
 
𝑄 =
𝑆
1
2 
𝑛
(𝐵𝐻)
5
3 
(𝐵 + 2𝐻)
2
3 
 
 
𝑓(𝐻) =
𝑆
1
2 
𝑛
(𝐵𝐻)
5
3 
(𝐵 + 2𝐻)
2
3 
− 𝑄 
 
 
Exemplo 
 
𝑓(𝐻) =
𝑆
1
2 
𝑛
(𝐵𝐻)
5
3 
(𝐵 + 2𝐻)
2
3 
− 𝑄 
 
𝐻 𝑓(𝐻) 
2 21,507 
1,5 11,883 
1 3,848 
0,5 -2,125 
0,3 -3,757 
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 0,5 1 1,5 2 2,5
𝑓
(𝐻
) 
𝐻 
Exemplo 
𝐻𝑖 = 0,5 e 𝐻𝑢 = 1 
𝑓 𝐻𝑖 = -2,125 e 𝑓 𝐻𝑢 = 3,848 𝑓 𝐻𝑖 𝑓 𝐻𝑢 = -8,178 
 
 
 
 
 
Iterações 𝑯𝑟 𝑓 𝑯𝑖 𝑓 𝑯𝑟 εa (%) 
1 0,5+1 
2
= 0,75 -1,195 - 
2 0,5+0,75 
2
= 0,625 1,835 20 
 
3 0,625+0,75 
2
= 0,6875 0,146 9,091 
 
4 0,6875+0,75 
2
= 0,71875 -0,032 4,348 
5 0,6875+0,71875 
2
= 0,7031 -0,0016 2,222 
Exemplo 
𝑯𝑟 εa (%) 
0,5+1 
2
= 0,75 - 
0,5+0,75 
2
= 0,625 20 
0,625+0,75 
2
= 0,6875 9,091 
0,6875+0,75 
2
= 0,71875 4,348 
0,6875+0,71875 
2
= 0,7031 2,222 
Método da Bisseção 
Vantagens Desvantagens 
 Método simples 
 Converge sempre 
 Em geral mais lenta que 
outros métodos. 
 Elevada complexidade para 
problemas multivariáveis. 
 
 
Método da Falsa Posição ou 
Regula Falsi 
Método da falsa posição ou Regula Falsi 
 Explora a percepção gráfica 
ligando os pontos 𝑓 𝑥𝑖 e 
𝑓 𝑥𝑢 por uma reta. A 
interseção dessa reta com o 
eixo das abscissas representa 
uma estimativa melhorada da 
raiz. 
 
𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓 𝑥𝑢 𝑥𝑖 −𝑥𝑢
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑢
 
𝑥𝑖, 𝑥𝑢 
Com 𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑢 < 0 
𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓 𝑥𝑢 𝑥𝑖 −𝑥𝑢
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑢
 
𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑟 = 0 
Início 
Sim 
Mostre: 𝑥𝑟 
Fim 
Não 
𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑟 < 0 
Faça: 
 𝑥𝑢=𝑥𝑟 
Faça: 
 𝑥𝑖=𝑥𝑟 
Sim 
Não 
Exemplo 
 Dados Q= 5m³/s; B= 20m; n=0,03 e S=0,0002, calcule 
H(m). 
𝐵𝐻
𝐵 + 2𝐻
= 𝑅
𝐴
𝐵𝐻
𝑛
𝑅
2
3 𝑆
1
2 = 𝑄
 
 
𝑄 =
𝑆
1
2 
𝑛
(𝐵𝐻)
5
3 
(𝐵 + 2𝐻)
2
3 
 
 
𝑓(𝐻) =
𝑆
1
2 
𝑛
(𝐵𝐻)
5
3 
(𝐵 + 2𝐻)
2
3 
− 𝑄 
 
 
Exemplo 
𝐻𝑖 = 0,5 e 𝐻𝑢 = 1 
𝑓 𝑥𝑖 = -2,125 e 𝑓 𝑥𝑢 = 3,848 𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓 𝑥𝑢 𝑥𝑖−𝑥𝑢
𝑓 𝑥𝑖 −𝑓 𝑥𝑢
 
 𝑓 𝐻𝑖 𝑓 𝐻𝑢 = -8,178 
 
Iterações 𝑯𝑟 𝑓 𝑯𝑖 𝑓 𝑯𝑟 εa (%) 
1 1−
3,848∗ 0,5−1
−2,125 −3,848
= 0,6779 0,5924 - 
2 1−
3,848∗ 0,6779−1
−0,279 −3,848
= 0,6997 0,0084 3,1097 
3 1−
3,848∗ 0,6997−1
−0,030 −3,848
= 0,7020 0,000097 0,3338 
Exemplo 
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
𝑓
(𝐻
) 
𝐻 
Armadilhas do método da Falsa posição 
𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1 
Entre 𝑥 = 0 𝑒 1,3 
Bisseção 
Falsa posição 
Método da falsa posição 
vantagens desvantagens 
 Em geral mais rápida que a 
bisseção. 
 Método unilateral, ou seja, 
conforme as iterações 
continuam, uma das 
extremidades do intervalo 
terá a tendência de 
permanecer fixa, levando a 
convergência insatisfatória. 
Substituições Sucessivas 
Substituições Sucessivas 
 Dada uma função 𝑓 𝑥 contínua no intervalo [a,b] onde existe uma 
raiz única, 𝑓 𝑥 = 0, é possível transformar tal equação em uma 
equação equivalente 𝑥 = 𝑔(𝑥) e, a partir de uma aproximação 
inicial de 𝑥0, gerar uma sequência de aproximações, 𝑥𝑖+1 = 𝑔 𝑥𝑖 . 
 
 Exemplo: 
𝑓 𝑥 = 𝑥² − 2𝑥 + 3 = 0 
 
𝑔 𝑥 = 𝑥 =
𝑥² + 3
2
 
 
𝑥𝑖+1 =
𝑥𝑖
2 + 3
2
 
 
Início 
Escolher 𝑥0 
 
Transformar 𝑓 𝑥 = 0 em 
𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖) 
 
εa ≤ 𝑡𝑜𝑙 ? 
Calcular 𝑥𝑖+1 = 𝑔 𝑥𝑖 
e εa 
Fim 
Sim 
Faça 𝑥𝑖+1 igual 
ao novo 𝑥 
Não 
Mostre: 𝑥𝑖+1 
εa = 
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
100% 
Convergência 
 Em (a) e (b) ocorre 
convergência. 
 Em (c) e (d) ocorre 
divergência. 
 A convergência ocorre se 
o módulo da inclinação de 
𝑔(𝑥) for menor do que a 
inclinação da reta 
𝑓 𝑥 = 𝑥 
 
 
𝑔′(𝑥) < 1 
 
 
Convergência 
 Para o caso de um sistema com duas equações, 𝑢 e 𝑣: 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
< 1 
 e 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
< 1 
 
Exemplo 
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 10 = 0 (a) 
𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 57 = 0 (b) 
 
A equação (a) pode ser reescrita como: 
𝑥𝑖+1 =
10 − 𝑥𝑖
2
𝑦𝑖
 
E a equação (b) pode ser resolvida por: 
𝑦𝑖+1 = 57 − 3𝑥𝑖𝑦𝑖
2 
 
Usando como estimativa inicial, 𝑥 = 0,2 e 𝑦 = 10 
 
Exemplo 
Iterações 
 𝑥𝑖+1 =
10 − 𝑥𝑖
2
𝑦𝑖
 
εa , 𝒙 (%) 
 
𝑦𝑖+1 = 57 − 3𝑥𝑖𝑦𝑖
2 εa , 𝒚 (%) 
 
1 0,996 - −241,8 - 
2 −0,03725 
 
2773,55 6591,392 
 
103,67 
3 0,00152 2555,89 −197657,3 
 
103,35 
Usando 𝑥 = 0,2 e 𝑦 = 10, temos: 
 
𝑥 =
10 − 𝑥𝑖
2
𝑦𝑖
=
10 − 0,2²
10
= 0,996 
 
𝑦 = 57 − 3𝑥𝑖𝑦𝑖
2 = 57 − 3 0,996 102 = −241,8 
 
 
 
Exemplo 
 Agora, vamos repetir os cálculos, mas com as equações 
originais escritas em uma forma diferente. 
 
𝑥2 + 𝑥𝑦 − 10 = 0 𝑥 = 10 − 𝑥𝑦 
𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 57 = 0 𝑦 = 57−𝑦
3𝑥
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Iterações 
 
𝑥 = 10 − 𝑥𝑦 
 
εa , 𝒙 (%) 𝑦 = 
57 − 𝑦
3𝑥
 
 
εa , 𝒚 (%) 
1 2,8284 - 2,3535 - 
2 1,8285 54,69 3,1563 25,43 
3 2,0564 11,08 2,9543 6,84 
4 1,9811 3,80 3,0155 2,03 
5 2,0065 1,26 2,9947 0,69 
6 1,9978 0,43 3,0018 0,24 
Usando 𝑥 = 0,2 e 𝑦 = 10, temos: 
 
𝑥 = 10 − 𝑥𝑦 = 10 − 0,2 ∗ 10 = 2,8284 
 
𝑦 = 
57 − 𝑦
3𝑥
=
57 − 10
3 ∗ 2,8284
= 2,3535 
 
 
 
 
Substituições Sucessivas 
Vantagens Desvantagens 
 Rapidez no processo de 
convergência 
 Fácil implementação para 
sistemas mono e 
multivariáveis. 
 
 A convergência depende da 
maneira como as equações 
são escritas 
 Pode não ocorrer 
convergência se as 
aproximações iniciais não 
estiverem suficientemente 
próximas da solução 
verdadeira. 
Referências bibliográficas 
 
 Steven C.Chapra, Raymond P.Canale, Métodos Numéricos 
para Engenharia,5ªed.,2008. 
 
 Ricardo Biloti, Métodos para equações não-lineares, Cálculo 
numérico – UNICAMP, 2019.