Convergência Pontual da Série de Fourier
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Convergência Pontual da Série de Fourier

Reginaldo J. Santos
Departamento de Matemática-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais
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15 de julho de 2010

Lembramos que uma função f : [a, b] → R é seccionalmente contínua ou contínua
por partes se f (t) é contínua em [a, b] exceto possivelmente em um número finito de
pontos, nos quais os limites laterais existem. Vamos considerar duas funções contínuas
por partes no intervalo [a, b] iguais se elas diferem possivelmente apenas nos pontos
de descontinuidade.

Teorema 1. Seja L um número real maior que zero. Para toda função f : [−L, L] → R
contínua por partes tal que a sua derivada f ′ também seja contínua por partes, a série de Fourier
de f

a0
2

+
∞

∑
n=1

an cos
npit

L
+

∞

∑
n=1

bn sen
npit

L
,

em que

an =
1
L

∫ L
−L

f (t) cos
npit

L
dt para n = 0, 1, 2, . . .

bn =
1
L

∫ L
−L

f (t) sen
npit

L
dt, para n = 1, 2, . . .

converge para f nos pontos de (−L, L) em que f é contínua. Ou seja, podemos representar f
por sua série de Fourier:

f (t) =
a0
2

+
∞

∑
n=1

an cos
npit

L
+

∞

∑
n=1

bn sen
npit

L
, para t ∈ (−L, L)

1

Demonstração. Vamos mostrar que a soma parcial da série tende a f (x), se x ∈ (−L, L)
é um ponto de continuidade de f . Substituindo-se os coeficientes an e bn na soma
parcial da série,

SN(x) =
a0
2

+
N

∑
n=1

(
an cos

npix
L

+ bn sen
npix

L

)
,

obtemos

SN(x) =
1

2L

∫ L
−L

f (t)dt

+
1
L

N

∑
n=1

(
cos

npix
L

∫ L
−L

f (t) cos
npit

L
dt + sen

npix
L

∫ L
−L

f (t) sen
npit

L
dt
)

=

=
1
L

∫ L
−L

(
1
2

+
N

∑
n=1

(cos
npix

L
cos

npit
L

+ sen
npix

L
sen

npit
L

)

)
f (t)dt =

=
1
L

∫ L
−L

(
1
2

+
N

∑
n=1

cos
npi(t − x)

L

)
f (t)dt (1)

Mas

sen(N +
1
2
)s − sen

1
2

s =
N

∑
n=1

(
sen(n +

1
2
)s− sen(n −

1
2
)s
)

= 2 sen
s
2

N

∑
n=1

cos ns

Logo
1
2

+
N

∑
n=1

cos ns =
sen(N + 12)s

2 sen s2
.

Substituindo-se s por
pi(t − x)

L
obtemos

1
2

+
N

∑
n=1

cos
npi(t − x)

L
=

sen(N + 12)
pi(t − x)

L

2 sen
pi(t − x)

2L

. (2)

Substituindo-se (2) em (1) obtemos

SN(x) =
1
L

∫ L
−L

sen(N + 12)
pi(t − x)

L

2 sen
pi(t − x)

2L

f (t)dt

2

Substituindo-se f pela sua extensão periódica de período 2L, f˜ , usando o fato de que
neste caso as integrais anteriores podem ser calculadas de −L + x até L + x e fazendo
a mudança de variáveis s = t− x obtemos

SN(x) =
1
L

∫ L+x
−L+x

sen(N + 12 )
pi(t − x)

L

2 sen
pi(t − x)

2L

f˜ (t)dt =

=
1
L

∫ L
−L

sen(N + 12)
pis
L

2 sen
pis
2L

f˜ (x + s)ds (3)

Tomando-se f (x) = 1 em (3) obtemos

1
L

∫ L
−L

sen(N + 12)
pis
L

2 sen
pis
2L

= 1. (4)

Assim de (3) e (4) temos que

SN(x)− f (x) =
1
L

∫ L
−L

(
f˜ (x + s)− f (x)

) sen(N + 12)pisL
2 sen

pis
2L

ds =

=
1
L

∫ L
−L

f˜ (x + s)− f˜ (x)
s

s
2

sen
pis
2L

sen(N +
1
2
)

pis
L

ds. (5)

Como f˜ é contínua por partes com derivada f˜ ′ também contínua por partes, então para
x ∈ (−L, L) tal que f (x) é contínua temos que a função

g(s) =
f˜ (x + s)− f˜ (x)

s

s
2

sen
pis
2L

é contínua por partes. Pois, pelo Teorema do valor médio, se f ′ é contínua em x, então
g é contínua em s = 0. Se f não é contínua em x, então os limites laterais de f ′(ξ)
quando ξ tende a zero existem. Assim segue do lema que apresentaremos a seguir que

lim
N→∞

(SN(x)− f (x)) = lim
N→∞

1
L

∫ L
−L

g(s) sen(N +
1
2
)

pis
L

ds = 0.

3

Lema 2 (Riemann-Lebesgue). Seja g : R → R uma função contínua por partes, então

lim
λ→∞

∫ b
a

g(s) sen λs ds = 0

Demonstração. Seja

I(λ) =
∫ b

a
g(s) sen λs ds (6)

Vamos supor inicialmente que g seja contínua. Fazendo-se a mudança de variáveis
s = t +

pi

λ
obtemos

I(λ) = −
∫ b− piλ

a− piλ
g(t +

pi

λ
) sen λt dt (7)

Seja M = max
s∈[a−pi,b]

g(s). Somando-se (6) e (7) e calculando-se o módulo obtemos que

|2I(λ)| =
∣∣∣∣
∫ b

a
g(s) sen λs ds −

∫ b− piλ
a− piλ

g(s +
pi

λ
) sen λs ds

∣∣∣∣ =
≤
∫ a

a− piλ
|g(s +

pi

λ
)| ds +

∫ b− piλ
a

|g(s)− g(s +
pi

λ
)| ds +

∫ b
b− piλ

|g(s +
pi

λ
)| ds

≤
2Mpi

λ
+
∫ b− piλ

a
|g(s)− g(s +

pi

λ
)| ds < 2e,

para λ > 2Mpie tal que |g(s) − g(s +
pi

λ
)| <

e

b− a
, para todo s ∈ [a, b]. O caso geral

segue da aplicação do argumento acima para cada parte de g que é contínua.

Referências

[1] Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais.
IMPA, Rio de Janeiro, 1977.

[2] Donald Kreider, Donald R. Ostberg, Robert C. Kuller, and Fred W. Perkins. Intro-
dução à Análise Linear. Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro, 1972.

[3] Erwin Kreiszig. Matemática Superior. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio
de Janeiro, 2a. edition, 1985.

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