01-Introducao a modelagem e programacao linear

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1
Prof. Dr. Vilmar Rodrigues Moreira
vilmar.moreira@pucpr.br
Tomada de decisão e processo de modelagem
Origens e fundamentos da PO
Programação linear
Escola de Negócios PUCPR
Pesquisa Operacional
2
Tomada de decisão *
• É o processo de identificar um problema específico e/ou uma 
oportunidade e selecionar uma linha de ação
ØUma das principais funções do administrador
* material baseado em Lachtermacher (2009)
3
Tomada de decisão
• Um Problema ocorre quando o estado atual de uma situação é 
diferente do estado desejado
• Uma Oportunidade ocorre quando as circunstâncias oferecem a 
chance do indivíduo/organização ultrapassar seus objetivos e/ou 
metas
4
Tomada de decisão
Fatores relevantes
• Tempo disponível para tomada de decisão
• A importância da decisão
• O ambiente
• Certeza/incerteza e risco
• Agentes decisores
• Conflito de interesses
5
Tomada de decisão
Nível hierárquico
Estratégico
Gerencial
Operacional
6
Tomada de decisão
Tipo de informação
Estruturada
Semi-Estruturada
Não Estruturada
7
Tomada de decisão
Decisores
• Autoritária
• Participativa
8
Tomada de decisão
Em grupo
• Maior complexidade
• Comunicação
• Conflito - convencimento
ABC
Novo
Manter
9
Tomada de decisão
Modelo racional
• Decisor
– Consistente
– Racional
– Maximizador de utilidade
• Método de Resolução do Problema
– Identificar o problema
– Gerar alternativas
– Escolher a melhor alternativa
Identificação do
Problema
Criação de
Alternativas
Seleção de
Alternativa
Implementação e 
Monitoração 
10
Modelos de decisão
• Ferramentas consistentes para avaliação e divulgação de diferentes 
políticas empresariais
• As decisões são tomadas para que um objetivo seja atingido
– Adicionalmente às variáveis de decisão, uma variável que representa uma 
medida de desempenho dos objetivos deve ser incluída no modelo
11
Processo de modelagem
• Realismo
– Um modelo só tem valor se o seu uso provoca melhores decisões 
• Intuição
– Modelos quantitativos e intuição gerencial não se encontram em lados 
opostos
– Intuição é crucial durante a interpretação e implementação
12
Processo de modelagem
Modelo Resultado
Situação
Gerencial Decisões
A
bs
tr
aç
ão
In
te
rp
re
ta
çã
o
Mundo
Simbólico
Mundo
Real
Análise
Intuição
Julgamento
Gerencial
Caminho - e/ou
13
Processo de modelagem
• Força os decisores a tornarem explícitos seus objetivos
• Identificação e armazenamento das diferentes decisões que 
influenciam os objetivos
• Identificação e armazenamento dos relacionamento entre as 
decisões
• Identificação das variáveis a serem incluídas e em que termos elas 
serão quantificáveis
• Reconhecimento de limitações
• Permitem a comunicação de suas ideias e seu entendimento para 
facilitar o trabalho de grupo
14
Modelos
Características
• O modelo sempre será uma simplificação da realidade
– Um modelo é uma representação da realidade percebida – modelo mental
• Detalhes devem ser incorporados de forma cuidadosa e suficientes 
para que...
– Os resultados atinjam suas necessidades
– O modelo seja consistente com os dados
– O modelo possa ser analisado no período de tempo disponível a sua 
concepção
15
Modelos de tomada de decisão
• Modelos simbólicos nos quais algumas variáveis representam 
decisões que devem ser tomadas
{
{î
í
ì
 Parametros
 Decisão }
} iasConsequênc 
 ePerformanc 
þ
ý
ü
Variáveis
Exógenas
Variáveis
Explicativas
Variáveis
Endógenas
Variáveis
Dependentes
Modelo
16
Processo de modelagem
Situação 
Gerencial Modelo Resultados Decisões
Intuição
Mundo Simbólico Mundo RealMundo Real
Intuição do tomador de decisão:
•seleção das informações relevantes
•possíveis cenários a serem estudados 
•avaliação do modelo e 
•análise dos seus resultados
17
Modelos de tomada de decisão
• Modelos Determinísticos 
– São modelos nos quais todas as variáveis relevantes são assumidas como 
certas e disponíveis
• Modelos Probabilísticos ou Estocásticos
– São modelos nos quais uma ou mais variáveis não são conhecidas com 
certeza – variáveis Randômicas ou Aleatórias
– Modelo de risco
– Incerteza – informações relevantes desconhecidas
• Contexto de percepção subjetiva (probabilidade subjetiva)
18
Modelos de tomada de decisão
MODELAGEM DEDUTIVA
MODELAGEM INFERENCIAL
Modelos
Determinísticos
Modelos
Probabilísticos
• Modelagem Decisória
• Projeções Se Então
• Árvore de Decisão
• Teoria de Filas
• Modelagem 
Decisória
• Projeções Se Então
• Otimização
• Análise de Dados
• Previsão de dados
• Simulação
• Análise Estatística
• Estimação de Parâmetro
• Análise de Dados
• Estimação de 
Parâmetro
• Pesquisa em Banco 
de Dados
Modelagem
19
Modelos matemáticos
• Informação estruturada ou semi-estruturada – alguns modelos
matemáticos utilizados...
– Programação Linear e Inteira
– Modelos de Previsão
– Simulação
– Sistemas Especialistas
– PERT/CPM - Gráficos de Gantt
– Árvore de Decisão
– Métodos de Apoio Multi-Critério
20
Modelo computacional
• Conjunto de relações matemáticas e hipóteses lógicas 
implementadas em computador como uma representação de um 
problema real de tomada de decisão
• Durante as últimas décadas foi observado que uma das maneiras 
mais efetivas de se resolver problemas de negócios consiste na 
utilização de modelos de computador baseados em planilhas 
eletrônicas
21
Pesquisa operacional (PO)
• Conjunto de técnicas de modelagem e análise matemáticas
• Enfoque científico que busca a melhor configuração e operação de 
um sistema, normalmente sob condições de alocação de recursos 
escassos
• Auxílio nos processos de tomada de decisão por meio da 
construção de modelos matemáticos representativos da realidade
– Representação conveniente
22
Histórico
• Origem durante a segunda guerra mundial
• Resolução de problemas logísticos e operacionais
• Rápida expansão nas áreas de engenharia e de negócios
– Graças uso de recursos computacionais
23
Aplicações da PO
• Complexidade crescente da tomada de decisões empresariais 
– Fatores tecnológicos, competitivos, ambientais e incertezas econômicas
• As aplicações da PO são voltadas para...
– Construir descrições ou modelos matemáticos, econômicos e estatísticos de 
problemas de decisão e controle para tratar situações de complexidade e 
incerteza
– Analisar as relações que determinam as conseqüências das decisões
24
Exemplo
• A programação de produção de uma empresa deve considerar:...
– a demanda dos clientes (afetada pelo mercado e competidores)
– as necessidades de matérias-primas e estoques intermediários
– as capacidades dos equipamentos instalados
– as possibilidades de falhas dos equipamentos
– as restrições do processo de fabricação
– os requisitos do sistema de distribuição
– entre outros fatores
25
PO – Áreas 
• Programação matemática – Otimização de recursos
– Programação Linear e Inteira, DEA;
– Programação Não-Linear.
• Teoria da decisão
• Simulação
– Empresarial – jogos de empresas, análise de cenários
– Discreta – eventos
– Contínua – probabilística incorporando incertezas
– Dinâmica – relação com o tempo
N
os
so
 fo
co
 d
e 
es
tu
do
26
Nosso objetivo
• Estudar técnicas que auxiliarão no desenvolvimento de modelos
matemáticos e computacionais que poderão ser utilizados em 
sistemas de apoio à decisão
• Modelos – conjunto de relações matemáticas e hipóteses lógicas
– Implementados ou não em computador
– Representação de um problema real de tomada de decisão
27
Processo de modelagem em PO
• Estrutura básica de um modelo
– Variáveis de decisão
– Função-objetivo – medida de desempenho
– Restrições
Modelo
Variáveis de decisão
Parâmetros
Desempenho
Consequências
Entrada - parâmetros Saída - objetivos
28
Exemplo – problema de otimização
• Uma pequena malharia produz dois tipos e camisas: manga curta e manga
comprida
• Toda produção é vendida para um distribuidor
• A confecção de cada camisa passa por três seções de trabalho: corte, costura e
acabamento
– A tabela 1 mostra os temposnecessários em cada seção 
– A tabela 2 mostra a disponibilidade semanal de horas em cada seção de trabalho
• O lucro unitário da cada camisa: 
– Manga curta - R$ 2,00
– Manga comprida – R$ 3,00
• Quanto produzir de cada tipo de camisa?
29
Exemplo
Tabela 1 – Tempo de fabricação em cada seção de trabalho
Corte Costura Acabamento
Manga curta 3 1,5 5
Manga comprida 3 3 3
Tabela 2 – Limites de capacidade de produção
Seção Homens/hora por semana
Corte 210
Costura 180
Acabamento 330
30
Modelo matemático
(i) Variáveis de decisão
x1 – quantidade de camisas manga curta a produzir
x2 – quantidade de camisas manga comprida a produzir
(ii) Função-objetivo (FO) – maximizar o lucro
Max Z = 2.x1 + 3.x2
(iii) Restrições
Corte: 3.x1 + 3.x2 ≤ 210
Costura: 1,5.x1 + 3.x2 ≤ 180
Acabamento: 5.x1 + 3.x2 ≤ 330
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
31
Modelo resolvido em planilha
Manga 
Curta
Manga 
Comprida
Decisão 20 50
Objetivo 2 3
Max lucro 190
Restrições LHS RHS
Corte 3 3 210 210
Costura 1,5 3 180 180
Acabamento 5 3 250 330
Variáveis de decisão
Parâmetros
Desempenho
Consequências
32
Expressões matemáticas
• Para construir modelos matemáticos é necessário desenvolver a 
habilidade de traduzir situações reais em expressões matemáticas
• Exercícios de fixação – 1 a 18
33
Exclusividade e restrições especiais
Exemplos
• “Pode-se produzir 1800 unidades de x1 ou 2700 de x2, ou qualquer combinação dos dois, mantendo 
essa proporção no uso do recurso”
Ø
!!
"#$$
+ !"
%&$$
≤ 1
• “A proporção de x1 no total (x1 + x2) tem que ser de, pelo menos, 30%”
Ø
!!
!!'!"
≥ 0,3 à 0,7.x1 – 0,3.x2 ≥ 0
• “O recurso B1 se transforma em 30% de produto L, 50% de M, 10% de N e 10% de perdas; o 
recurso B2 se transforma em 40% de L, 30% de M, 25% de N e 5% de perdas”
– O erro mais comum é: B1 = 0,3.L + 0,5.M + 0,1.N + 0,1.perdas ; B1 = 0,3.L + 0,5.M + 0,1.N + 0,1.perdas
– A forma correta de transcrever o problema é: 
L = 0,3.B1 + 0,4.B2
M = 0,5.B1 + 0,3.B2
N = 0,1.B1 + 0,25.B2
34
Exercícios
• Exercícios de fixação 19 a 21 
35
Problemas de otimização
• Em problemas reais de otimização busca-se maximizar ou 
minimizar uma quantidade específica, chamada objetivo, que 
depende de um número finito de variáveis de entrada
• Aplicações
– Determinação de mix de produtos
– Scheduling
– Roteamento e logística
– Planejamento financeiro
36
Programação matemática
• Um problema de programação matemática é um problema de 
otimização no qual o objetivo e as restrições são expressos como 
funções matemáticas e relações funcionais
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
³
=
£
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
=
nnn
n
n
n
b
b
b
xxxg
xxxg
xxxg
xxxfz
:
),...,,(
:
),...,,(
),...,,(
 :a Sujeito
),...,,( :Otimizar
2
1
21
212
211
21
37
Variáveis de decisão
• x1 , x2,...,xn , são as chamadas Variáveis de Decisão
• As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o 
cerne do problema, e que podemos escolher (decidir) livremente
• As variáveis de decisão representam as opções que um 
administrador tem para atingir um objetivo 
– Quanto produzir para maximizar o lucro?
– Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da carteira?
38
Programação linear
• Um problema de programação matemática é linear se a função 
objetivo e cada uma das funções que representam as restrições 
forem lineares
e
nnn xcxcxcxxxf +++= ...),...,,( 221121
g x x x a x a x a xi n i i in n( , ,..., ) ...1 2 1 1 2 2= + + +
39
Violação da linearidade
• Exemplos de expressões que tornam o problema não linear
xn para n ≠ 1
!
"
para qualquer 𝑎
loga(x) para qualquer base a
ax para qualquer valor de a
40
Estrutura de um problema de programação linear
(i) Variáveis de decisão
(ii) Função objetivo 
– max ou min Z – normalmente uma função econômica
(iii) Restrições
– Dos tipos ≤ , ≥ e =
41
Programação linear - exemplos 
0,
60020180
2042
s.r.
max
21
21
21
21
³
£+
£+
+
xx
xx
xx
xx
0,
60020180
2032
s.r.
2min
21
21
21
21
³
=+
³+
+
xx
xx
xx
xx
42
Programação linear
Áreas de aplicação
• Administração da Produção
• Análise de Investimentos
• Alocação de Recursos Limitados
• Planejamento Regional
• Logística
– Custo de transporte
– Localização de rede de distribuição
• Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de 
comunicação.
43
Programação linear – etapas 
• Modelagem matemática – parte mais difícil, pois exige habilidades em 
modelagem e raciocínio analítico e abstrato
• Obter a resposta – graficamente ou por meio do auxílio computacional 
(usaremos o Solver do Excel)
• Analisar as respostas – também conhecido com análise de sensibilidade, visa 
aprimorar a qualidade do processo decisório segundo critérios racionais e de 
otimização econômica
– Envolve uma melhor compreensão da natureza e da estrutura do problema
– Análise da solução ótima sendo afetada por modificações no modelo original
44
Programação linear
• Solução Viável
– É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas
• A solução ótima é uma solução viável especial
– É aquela(s) que produz(em) o valor da função objetivo otimizada
• Solução Inviável
– É uma solução em que alguma das restrições ou as condições de não-
negatividade não são atendidas
45
Exemplos de solução viável e inviável
Max Z = x1 + x2
s. r.
2x1 + 4x2 ≤ 20
180x1 + 100x2 ≤ 800
x1, x2 ≥ 0 
x1 = 3 ; x2 = 2 com Z = 5
à solução viável: todas as restrições não 
são violadas
x1 = 3 ; x2 = 4 com Z = 7
à solução inviável: as restrições são 
violadas
46
Solução gráfica
• Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima 
de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente
– Basta testar as coordenadas dos vértices da região de soluções viáveis na FO
Max Z x x= +5 21 2
1
x (b)£42
x x (c)+ £2 91 2
s r x (a)£ 3. .
x x (d)³ ³0 01 2,
x1
x ³ 0 (d)1
x ³ 0 (d)2
x2
(3,0)(0,0)
(0,4)
(1,4)
(3,3)
x £ 3 (a)
1
x £4 (b)2
x1 + 2x2 ≤ 9 (c)
47
Solução gráfica
Exemplo
• Encontrar a solução ótima do problema de programação linear
Max Z = 3x1 + 3x2
s.r.
2x1 + 4x2 ≤ 12
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1, x2 ≥ 0 
(0,0)
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3 
x2
02 ³x
01 ³x x1
(0,3)
(6,0)
1242 21 £+ xx
(4,0)
(0,6)
2446 21 £+ xx5
4
6
7
#6𝑥! + 4𝑥" = 242𝑥! + 4𝑥" = 12
à x1 = 3 ; x2 = 1,5
(3;1,5)
48
Solução gráfica – exemplo 
• A solução ótima (que maximiza Z = 3x1 + 3x2) será um dos vértices 
da região de soluções viáveis
Para (0, 3) à Z = 3(0) + 3(3) = 9
Para (3; 1,5) à Z = 3(3) + 3(1,5) = 13,50
Para (4, 0) à Z = 3(4) + 3(0) = 12
• Logo a solução ótima é x1 = 3 e x2 = 1,5
49
Restrições
• Redundante – quando sua exclusão do conjunto de restrições não 
altera o conjunto de soluções viáveis
– Não participa da determinação do conjunto de soluções viáveis
0, 
2045 
1553 
6 
5 
12 
2 ..
106 
21
21
21
2
1
21
21
21
³
³+
³+
£
£
³+
£+-
+
xx
xx
xx
x
x
xx
xxts
xxMin
x11086
51 £x
42
62 £x
221 £+- xx
10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 ³+ xx
2045 21 ³+ xx
02 ³x
01 ³x
12 21 ³+ xx
Restrição Redundante
50
Soluções múltiplas
• Quando o problema tem mais que uma solução ótima
– Na solução no Excel é apresentada uma delas
0, 
2045 
1553 
6 
5 
2 ..
106 
21
21
21
2
1
21
21
³
³+
³+
£
£
£+-
+
xx
xx
xx
x
x
xxts
xxMin
x11086
51 £x
42
62 £x
221 £+- xx
10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 ³+ xx
2045 21 ³+ xx
02 ³x
01 ³x
Soluções
Múltiplas
51
Solução ilimitada
• Ocorre quando o conjunto de restrições não define uma região limite 
para a determinação da solução ótima
0, 
2045 
1553 
6 
2 ..
106 
21
21
21
2
21
21
³
³+
³+
£
£+-
+
xx
xx
xx
x
xxts
xxMax
x1108642
62 £x
221 £+- xx
10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 ³+ xx
2045 21 ³+ xx
02 ³x
01 ³x
52
Solução impossível
• Ocorre quando o conjunto de soluções viáveis é vazio
0, 
20 
12 ..
 
21
21
21
21
³
³+
£+
+
xx
xx
xxts
xxMax2021 ³+ xx
-2
-2
2
4
6
8
10
12
14
2 4 6 8 10
12 21 £+ xx
x2
x1
53
Solução computacional
Excel
• Usaremos o suplemento Solver – aba Análise de Dados
• Existe uma grande liberdade para a modelagem em planilha, mas 
usaremos inicialmente um modelo padrão
– Reservar colunas para as variáveis de decisão
– Posicionar os coeficientes da FO e das restrições
– Usar a função =somarproduto() para modelar as expressões
54
Exemplo
• A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa deltas. 
• Para a produção são necessárias horas de duas linhas de montagem. A 1a
linha tem 100 horas disponíveis para fabricação dos produtos, enquanto que a 
2a tem apenas 42 horas disponíveis. 
• Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1 enquanto 
que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. 
• Sabendo que o mercado quer comprar toda a produção e que o lucro de cada 
pára-quedas é de $ 60,00 e de cada asa-delta é de $ 40,00, como programar a 
produção de tal forma que o lucro seja o máximo possível?
55
Exemplo
(i) Variáveis de decisão
x1 – quantidade de paraquedas a produzir
x2 – quantidade de asa deltas a produzir
(ii) Função objetivo – Max lucro 
max Z = 60.x1 + 40.x2
(iii) Restrições
Horas 1ª linha de montagem: 10.x1 + 10.x2 ≤ 100 
Horas 2ª linha de montagem: 3.x1 + 7.x2 ≤ 42
(i) Variáveis de decisão
x1 – qtde de paraquedas a produzir
x2 – qtde de asa deltas a produzir
(ii) Função objetivo – Max lucro 
max Z = 60.x1 + 40.x2
(iii) Restrições
Horas 1ª linha de montagem: 10.x1 + 10.x2 ≤ 100 
Horas 2ª linha de montagem: 3.x1 + 7.x2 ≤ 42
à A solução ótima será produzir 10 paraquedas e nenhuma 
asa delta
57
Exercícios
• Exercícios de fixação 22 a 31
58
Análise de sensibilidade
• No mundo dos negócios dificilmente são conhecidos com certeza 
todos os custos ou recursos envolvidos em uma situação problema 
• A análise de sensibilidade auxilia na determinação de faixas de 
valores que garantem uma dada solução ótima 
– “grau de manobra” que possuímos com relação a uma solução ótima 
59
Análise de sensibilidade
• Qual o efeito de uma mudança em um dos coeficientes da função objetivo? 
– Alteração na contribuição marginal, no custo unitário, na receita unitária, etc. de uma das 
variáveis de decisão
• Qual o efeito de uma mudança em uma constante de uma restrição? 
– Normalmente a disponibilidade de um determinado recurso
• Qual o efeito de uma mudança em um dos coeficientes de uma restrição? 
– Normalmente o grau de utilização de um recurso por uma unidade da variável de decisão
Ø Obs: Sempre considerando uma alteração por vez
60
Exemplo
• A empresa Cordilheira Azul Banheiras fabrica e vende dois tipos de banheiras de 
hidromassagem: Aqua-Spa e Hydro-Lux. 
• Howie Jones, proprietário e gerente, precisa decidir quanto produzir de cada tipo no próximo 
ciclo de produção. 
• A empresa adquire os moldes pré-fabricados de fibra das banheiras de um fornecedor e monta 
as banheiras adicionando a bomba e a tubulação. O fornecedor pode entregar quantas 
banheiras forem necessárias. 
• Howie instala o mesmo tipo de bomba em ambos os modelos de banheiras. Ele dispõe de 200 
bombas para o próximo ciclo de produção. 
• A única diferença entre os modelos é a quantidade de tubos utilizada e as horas requeridas de 
trabalho na montagem. Cada Aqua-Spa requer 9 horas de trabalho na montagem e 12 pés de 
tubulação. Cada Hydro-Lux requer 6 horas de trabalho e 16 pés de tubulação. Howie espera ter 
disponível 1566 horas de montagem e 2880 pés de tubulação disponíveis durante o próximo 
ciclo de produção. 
• A empresa lucra R$ 350,00 para cada Aqua-Spa vendido e R$ 300 para cada Hydro-Lux. Howie
está confiante que conseguirá vender tudo o que produzir. 
61
Exemplo – Modelo 
(i) Variáveis de decisão 
x1 – quantidade de Aqua-Spa
x2 – quantidade de Hydro-Lux
(ii) Objetivo – maximizar o lucro
Max z = 350x1 + 300x2
(iii) Restrições
Bombas: x1 + x2 ≤ 200
Tubulação: 12x1 + 16x2 ≤ 2880
Horas de montagem: 9x1 + 6x2 ≤ 1566
à Implemente o modelo no Excel e 
solicite o relatório de sensibilidade
após a solução
62
Exemplo – solução Excel
• Na solução ótima há folga apenas na utilização da tubulação disponível
63
Exemplo – análise de sensibilidade
(i) Alteração nos coeficientes da FO
• Suponha que a empresa não possua total controle sobre os custos 
dos moldes pré-fabricados das banheiras ou, então, que a empresa 
esteja pensando em trocar de fornecedor e por conta disso o custo 
unitário de cada molde possa variar. Nesse caso, os lucros unitários 
de R$ 350,00 e R$ 300,00 poderiam sofrer alterações. 
• Pergunta relevante:
– Qual o espectro possível das alterações sem que a solução ótima (122, 78) 
seja alterada? 
• A alteração, dentro do espectro possível, nos coeficientes da FO altera o valor ótimo do 
problema, mas não a solução ótima 
64
Exemplo – análise de sensibilidade
(ii) Alteração nas restrições – preço-sombra (shadow-price)
• Perguntas relevantes: Qual seria o impacto na FO se...
– Adicionarmos uma unidade disponível de bombas? 
– Dispormos de uma hora a mais de montagem?
• Preço-sombra
– Contribuição para a FO mediante uma unidade adicional (ou a menos) da restrição
– Valor máximo que estaríamos dispostos a pagar pela disponibilidade de uma unidade adicional
• Faixa de valores em que o preço-sombra permanece inalterado 
Ø Quais os limites de recursos adicionais em que é viável investir?
– Para as restrições que participam da solução ótima, o preço-sombra permanecerá inalterado 
enquanto as disponibilidades forem restritivas, ou seja, enquanto NÃO houver sobra de recurso 
– Para as restrições que não participam da solução ótima, o preço-sombra permanecerá igual a 
ZERO enquanto houver sobra do recurso 
Exemplo – solução gráfica
Análise de sensibilidade considerando 
o ponto da solução ótima:
(i) Coeficientes FO
𝑥( =
)*+
)++
. 𝑥, +
--,++
)++
(ii) Restrições
% 𝑥, + 𝑥( = 2009𝑥, + 6𝑥( = 1566
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67
Custo-reduzido
• Contribuição marginal na FO mediante a inclusão de uma nova variável
– Contribuição unitária menos custo dos recursos
Exemplo:
• Suponha que a empresa Cordilheira Azul esteja considerando a possibilidade 
de produção de um novo modelo: Typhoon-Lagoon. 
• Cada unidade deste modelo requer 1 bomba, 8 horas de montagem e 13 pés 
de tubulação. 
• Cada unidade deste novo modelo gera um lucro marginal de R$ 320,00. A 
produção do novo modelo seria lucrativa para empresa? 
– Cálculo do custo-reduzido
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Custo-reduzido
Exemplo – análise 
• A empresa possui limitações em seus recursos e por isso a 
produção de qualquer quantidade do novo modelo consumirá 
recursos destinados aos outros modelos Aqua-Spas e Hydro-Luxes 
– Os preços-sombra mostram que a redução de uma unidade de bombas 
disponíveis gera uma redução de R$ 200,00 na função-objetivo 
– A redução de uma hora disponível de montagem diminui R$ 16,67 na 
função-objetivo 
– Na tubulação não há redução na função-objetivo, pois há sobra desse 
recurso 
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Custo-reduzido
Exemplo – análise 
• Considerando a contribuição marginal do novo modelo, a quantidade de recursos 
utilizados na produção e o decréscimo correspondente no valor da FO (preço-
sombra), temos um custo-reduzido igual a:
Lucro unitário – consumo de bombas – consumo de horas – consumo de tubulação
$ 320,00 – $ 200,00(1) – $ 16,67(8) – $ 0(13) 
= –$ 13,33 
à Redução no valor da F.O., logo não é viável forçar a produção de pelo menos uma unidade do novo 
modelo de banheira
à Em outras palavras, para que esse novo modelo de banheira fosse viável, o seu lucro unitário 
deveria ser maior que $ 333,33
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Custo-reduzido
• O custo-reduzido é apresentado no relatório de sensibilidade do Excel após 
resolvido o modelo ajustado:
(i) Variáveis de decisão 
x1 – quantidade de Aqua-Spa
x2 – quantidade de Hydro-Lux
x3 – quantidade de Typhoon-Lagoon
(ii) Objetivo – maximizar o lucro
Max z = 350x1 + 300x2 + 320x3
(iii) RestriçõesBombas: x1 + x2 + x3 ≤ 200
Tubulação: 12x1 + 16x2 + 8x3 ≤ 2880
Horas de montagem: 9x1 + 6x2 + 13x3 ≤ 1566
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Custo-reduzido
• O custo-reduzido de cada variável é igual à sua contribuição 
marginal à F.O. menos o valor consumido de cada recurso
• Custo-reduzido para Aqua-Spa (x1) 
350 – 200(1) – 16,67(9) – 0(12) = 0
• Custo-reduzido para Hydro-Lux (x2) 
300 – 200(1) – 16,67(6) – 0(16) = 0
• Custo-reduzido para Typhoon-Lagoon (x3) 
320 – 200(1) – 16,67(8) – 0(13) = -13,33 
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Custo-reduzido
Alterações nos coeficientes das restrições
• Para verificar o impacto das alterações dos coeficientes das restrições, 
devemos refazer o modelo e executá-lo novamente. 
– Mas haverá utilidade analisar tais alterações em conjunto com os preços-sombra e os 
custos-reduzidos.
Exemplo 
• Para a produção do Typhoon-Lagoon, considerando a sua contribuição 
marginal e os recursos consumidos, não é gerado lucro. Mas se as horas 
necessárias para a montagem passarem de 8 para 7, o custo-reduzido seria:
$ 320 –$ 200(1) –$ 16,67(7) –$ 0(13) = $ 3,31
Ø Passaria a gerar lucro 
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Exercícios
• Exercícios de fixação – 32 a 34