EXERCICIO DE APRENDIZAGEM

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EXERCICIO PARA APRENDIZAGEM 1 - APLICAÇÕES
1) A descoberta de um ótimo global ou local de uma função e a consequente busca pela melhor solução para um determinado problema é um tema estudado, na Matemática, pelo campo da otimização. Visando a resolução de problemas associados à otimização linear é importante identificar a função objetivo e as restrições que caracterizam o problema em estudo.
Com base neste tema, analise as afirmações a seguir, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
I. (  ) Na otimização linear a função objetivo deve ser, pelo menos, de primeiro grau e deve ser uma função de minimização, relacionada à qualidade da solução.
II. (  ) As restrições podem ser constituídas por equações ou inequações (lineares), e são adicionadas ao modelo considerando as limitações físicas do sistema.
III. (  ) Para a definição das restrições, na modelagem de um problema de otimização linear, é fundamental identificar as variáveis de decisão do modelo.
Assinale a alternativa que apresenta todas as classificações corretamente:
Alternativas:
· a) I – V; II – V; III – F.
· b) I – V; II – F; III – F.
· c) I – F; II – F; III – V.
· d) I – F; II – V; III – V.
· e) I – F; II – V; III – F.
2) A otimização linear é um campo de estudos que visa determinar a melhor solução para problemas cujos modelos são representados por expressões lineares. Qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão, em otimização linear, pode ser denominada solução. Considerando este tema, analise as seguintes afirmações:
I. Uma solução inviável ou infactível é uma solução que não satisfaz pelo menos uma das restrições do problema.
II. Uma solução ótima degenerada é uma solução que não satisfaz uma das restrições do problema.
III. Uma solução factível ou viável satisfaz todas as restrições do problema, inclusive as de não negatividade.
A partir dessas afirmações, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
· a) Apenas a afirmação I está correta.
· b) Apenas a afirmação III está correta.
· c) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
· d) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
· e) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
3) O método gráfico pode ser aplicado na resolução de problemas de otimização linear, sendo aplicado a problemas envolvendo duas, ou no máximo três, variáveis.
Seja o seguinte modelo que caracteriza um problema de otimização linear:
Maximizar z = 3x + 2y
Sujeito a:
x + y ≤ 5
3x + y ≤ 9
x, y ≥ 0
Assinale a alternativa que corresponde à representação gráfica das restrições desse modelo:
Alternativas:
· a)
· b)
· c)
· d)
· e)
4) A cada problema de otimização linear em estudo, chamado de primal, existe um determinado problema dual associado, sendo que as soluções e a estruturação de ambos os problemas estão diretamente associadas.
Considere o seguinte problema de otimização linear:
Maximizar z = 7x1 + 3x2
Sujeito a:
3x1 + 2x2 ≤ 15
x1 ≤ 9
x2 ≤ 11
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Para o problema apresentado, qual o problema dual associado?
Alternativas:
· a) Minimizar w = 15y1 + 9y2 + 11y3; Sujeito a: 3y1 + y2 ≥ 7; 2y1 + y3 ≥ 3; y1, y2, y3 ≥ 0.
· b) Minimizar z = 7y1 + 3y2; Sujeito a: 3y1 + y2 ≥ 15; y1 ≥ 9; y2 ≥ 11.
· c) Maximizar w = 15y1 + 9y2 + 11y3; Sujeito a: 3y1 + y2 ≥ 7; 2y1 + y3 ≥ 3; y1, y2, y3 ≥ 0.
· d) Maximizar z = 7y1 + 3y2; Sujeito a: 3y1 + y2 ≥ 15; y1 ≥ 9; y2 ≥ 11.
· e) Minimizar w = 7x1 + 3x2; Sujeito a: 3x1 + x2 ≥ 15; x1 ≥ 9; x2 ≥ 11.
5) Certa padaria produz dois tipos de pães recheados: com chocolate e com passas. Cada lote contendo pães com chocolate é vendido com um lucro de R$ 2,00 e os lotes de pães com passas com um lucro de R$ 1,00. Contratos estabelecidos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 10 lotes de pães com chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menor que 20.
O mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de pães com passas e 60 de pães com chocolate. As máquinas de preparação dos pães disponibilizam 180 horas de operação, de modo que a produção cada lote de pães com chocolate consome 2 horas de trabalho e cada lote de pães com passas, 3 horas de trabalho. Deseja-se determinar quantos lotes de pães com chocolate e de pães com passas devem ser produzidos para maximizar o lucro obtido pela padaria.
Nesse sentido, assinale a alternativa que exibe um modelo que representa adequadamente a situação em questão:
Alternativas:
· a) Maximizar z = 2x + y, sujeito a: 3x + 2y ≥ 180; x + y ≥ 20; 10 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 40.
· b) Maximizar z = 2x + y, sujeito a: 2x + 3y ≤ 180; x + y ≥ 20; 10 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 40.
· c) Maximizar z = x + 2y, sujeito a: 2x + 3y ≤ 180; x + y ≤ 54; 10 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 40.
· d) Maximizar z = 2x + y, sujeito a: 2x + 3y ≤ 180; x + y ≥ 20; 0 ≤ x ≤ 40; 10 ≤ y ≤ 60.
· e) Maximizar z = x + 2y, sujeito a: 3x + 2y ≥ 180; x + y ≤ 20; 0 ≤ x ≤ 40; 0 ≤ y ≤ 60.
EXERCICIO 2
1) O método Simplex utiliza-se de ferramentas da álgebra linear para a resolução de problemas de otimização linear, podendo ser utilizado, por exemplo, no estudo de problemas que envolvem maximização ou minimização de determinados fenômenos.
Considere o seguinte modelo que caracteriza um problema de otimização linear:
Maximizar z = 3x1 + 2x2
Sujeito a:
x1 + x2 + x3 = 6
5x1 + 2x2 + x4 = 20
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Após aplicar o método Simplex, na última etapa foi possível obter os seguintes dados:
Com base nestas informações, o máximo valor assumido pela variável z foi de:
Alternativas:
· a) 5/3
· b) 8/3
· c) 10/3
· d) 18/3
· e) 44/3
2) Para a utilização do método simplex em duas fases é necessário considerar o conceito de variável artificial tendo em vista a determinação de uma solução básica factível inicial para a resolução do problema de otimização linear.
Suponha que o problema cujo modelo é dado por:
Maximizar z = 8x1 + 5x2
Sujeito a:
x1 + x2 = 16
x1 + 3x2 ≥ 7
5x1 + x2 ≤ 18
x1, x2 ≥ 0
será resolvido por meio do método simplex em duas fases.
Considerando que as variáveis artificiais sejam representadas na forma ak, com 1 ≤ k ≤ 4, e com base nas informações apresentadas, qual das alternativas a seguir apresenta um modelo, na forma padrão e associado ao problema em estudo, no qual as variáveis artificiais foram inseridas corretamente?
Alternativas:
· a) Maximizar z = 8x1 + 5x2; Sujeito a: x1 + x2 + a1 = 16; x1 + 3x2 – x3 + a2 = 7; 5x1 + x2 + x4 = 18; x1, x2, x3, x4, a1, a2 ≥ 0.
· b) Maximizar z = 8x1 + 5x2 + a1; Sujeito a: x1 + x2 + a2 = 16; x1 + 3x2 – x3 + a3 = 7; 5x1 + x2 + x4 + a4 = 18; x1, x2, x3, x4, a1, a2, a3, a4 ≥ 0.
· c) Maximizar z = 8x1 + 5x2; Sujeito a: x1 + x2 = 16; x1 + 3x2 – x3 + a1 = 7; 5x1 + x2 + x4 + a2 = 18; x1, x2, x3, x4, a1, a2 ≥ 0.
· d) Maximizar z = 8x1 + 5x2; Sujeito a: x1 + x2 + a1 = 16; x1 + 3x2 – x3 + a2 = 7; 5x1 + x2 + x4 + a3 = 18; x1, x2, x3, x4, a1, a2, a3 ≥ 0.
· e) Maximizar z = 8x1 + 5x2; Sujeito a: x1 + x2 + a1 = 16; x1 + 3x2 – x3 + a1 = 7; 5x1 + x2 + x4 + a1 = 18; x1, x2, x3, x4, a1 ≥ 0.
3) O método simplex e o método dos pontos interiores são procedimentos iterativos que podem ser aplicados na resolução de determinados problemas de otimização linear. Com base neste tema, analise as seguintes afirmações:
I. O método simplex envolve um custo mais barato em comparação ao método dos pontos interiores, apesar de exigir a realização de uma grande quantidade de iterações.
II. O método simplex busca soluções nas extremidades do polígono que caracteriza a região factível, assim como o método dos pontos interiores.
III. Métodos dos pontos interiores também podem ser aplicados em problemas não lineares.
A partir das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
· a) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
· b) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
· c) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
· d) Apenas a afirmação II está correta,
· e) Apenas a afirmação I está correta.
4) Os problemas relacionados à identificação de modos mais eficientes de aproveitamento dos recursos disponíveis, com a finalidade de atender certos objetivos, em geral, são estudados pela otimização linear. Muitos destes problemasenvolvem situações em que os recursos disponíveis são limitados, sendo possível obter maior rendimento ou produtividade com base em uma utilização criteriosa desses recursos.
Suponha que determinado problema de otimização linear seja representado pelo seguinte modelo:
Quais são os valores assumidos por x e y, respectivamente, quando z atinge seu valor ótimo?
Alternativas:
· a) 0,0 e 5,0.
· b) 1,5 e 2,0.
· c) 2,0 e 3,0.
· d) 3,0 e 2,0.
· e) 8,0 e 0,0.
5) Considere que certa empresa deseja programar a fabricação de determinado produto, a qual envolve dois tipos de recursos: mão de obra e matéria-prima. Este produto será fabricado em três modelos distintos (A, B e C), a partir da seguinte disponibilidade de recursos:
O lucro com a produção e venda de cada unidade do produto do modelo A é de R$ 4,00, enquanto para os modelos B e C os lucros serão dados por R$ 2,00 e R$ 3,00, respectivamente.
Além dessas informações, sabe-se que o suprimento de material é de 225 kg por dia, e a disponibilidade diária de mão de obra é igual a 200 horas, sendo proporcional à quantidade de funcionários da empresa.
O objetivo da empresa é determinar a produção diária de cada um dos modelos visando a maximização do lucro total da empresa.
Com base na situação descrita, e considerando x, y e z as variáveis que representam as quantidades de produtos dos modelos A, B e C, respectivamente, assinale a alternativa que indica corretamente as restrições que caracterizam este problema de otimização linear:
Alternativas:
· a) 7x + 3y + 6z ≤ 200; 4x + 4y + 5z ≤ 225; x, y, z ≥ 0.
· b) 7x + 3y + 6z ≥ 200; 4x + 4y + 5z ≥ 225; x, y, z ≥ 0.
· c) 7x + 3y + 6z ≥ 200; 4x + 4y + 5z ≥ 225.
· d) 7x + 4y + 4z ≤ 200; 3x + 4y + 2z ≤ 225; 6x + 5y + 3z ≤ 425; x, y, z ≥ 0.
· e) 7x + 4y + 4z ≥ 200; 3x + 4y + 2z ≥ 225; 6x + 5y + 3z ≥ 0.