p2-2009.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III (FIM230) - 2009/1
SEGUNDA PROVA UNIFICADA
DATA: 26/06/2009
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, “iPods” ou similares.
• No cabec¸alho do caderno de resoluc¸a˜o, devera˜o constar, legivelmente, nome do aluno, seu
nu´mero de DRE, sua turma, seu hora´rio de aulas e o nome de seu professor.
• Nenhum esclarecimento individual sera´ prestado no per´ıodo de realizac¸a˜o da prova; caso
persista alguma du´vida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu pro´prio
caderno de resoluc¸a˜o.
• Seja claro, preciso e asseado.
PROBLEMA 1 (Movimento em um campo magne´tico) [ 2,0 ponto(s)]
A curva da figura ao lado representa a trajeto´ria semi-
circular, de centro C e diaˆmetro D, de um feixe de
ele´trons (carga −e e massam) na presenc¸a de um campo
magne´tico constante (estaciona´rio e uniforme). O feixe
parte da origem do sistema de coordenadas da figura.
(a) Reproduza a figura em seu caderno de resoluc¸a˜o e
trace, com cuidado, o vetor forc¸a magne´tica ~Fm sobre
um ele´tron no ponto P indicado. Determine a direc¸a˜o e o
sentido do campo magne´tico ~B que atua sobre o ele´tron.
[1,0 ponto]
(b) Encontre a raza˜o e/m entre o mo´dulo da carga e a
massa do ele´tron em func¸a˜o do mo´dulo v da velocidade
do ele´tron, do mo´dulo B do campo magne´tico aplicado
e do diaˆmetro D da semi-circunfereˆncia. [1,0 ponto]
X
Y
O
P
xˆ
yˆ
zˆ
C
D
Resoluc¸a˜o
(a) Sabemos que ~Fm = q~v × ~B onde q = −e, ~Fm e´ centr´ıpeta e portanto esta´ sempre no plano xy, apontando
para o centro C da trajeto´ria e ~v e´ tangencial a trajeto´ria, e, da mesma forma, tambe´m esta´ sempre no plano
XY e perpendicular a ~Fm. Para que ~v × ~B seja perpendicular a ~Fm temos que ~B deve estar ao longo do eixo
Z, pela regra da ma˜o direita temos que deve apontar na direc¸a˜o −zˆ.
Na Figura 1, trac¸amos o vetor forc¸a magne´tica ~Fm e o vetor campo magne´tico ~B.
X
Y
O
P
~Fm
xˆ
yˆ
zˆ
C
D
⊗
~B
Figura 1: Movimento de um feixe de ele´trons.
1
(b) A forc¸a magne´tica exerce o papel de forc¸a centr´ıpeta:
~Fm = q~v × ~B = −m
v2
r
rˆ ;
logo
evB = m
v2
r
e finalmente
e
m
=
v
rB
=
2v
DB
PROBLEMA 2 (Cabo coaxial) [ 3,0 ponto(s)]
Um cabo coaxial e´ constitu´ıdo por um cilindro circular
so´lido, condutor, de raio a, e por uma casca (superf´ıcie)
cil´ındrica condutora, coaxial, de raio b (b > a), conforme
mostra a figura ao lado. O cabo e´ muito longo (compri-
mento L ≫ b) . O cilindro so´lido interno e´ percorrido
por uma corrente total estaciona´ria ia, uniformemente
distribu´ıda em toda a sua sec¸a˜o transversal. Na casca
temos uma corrente total, ib, tambe´m estaciona´ria e uni-
formemente distribu´ıda, pore´m de sentido contra´rio a ia
(admita que ia > ib > 0).
(a) Encontre o vetor campo magne´tico na regia˜o I, den-
tro do cilindro so´lido (r < a). [1,5 ponto]
(b) Encontre o vetor campo magne´tico na regia˜o II, en-
tre o cilindro so´lido e a casca cil´ındrica (a < r < b). [0,5
ponto]
(c) Encontre o vetor campo magne´tico na regia˜o III, fora
da casca cil´ındrica (r > b). [1,0 ponto]
zˆ
rˆ
⊗ φˆ
ia
ib
a
b I
II
III
L
Resoluc¸a˜o
(a) Por simetria cil´ındrica, escolhemos uma curva ampe`riana circular, conceˆntrica com o eixo do sistema; nela a
circulac¸a˜o de ~B sera´ ∮
C
~B · dℓ = 2πrB(r) .
Por sua vez, como a corrente ia esta´ uniformemente distribu´ıda na sec¸a˜o reta do cilindro so´lido interno, dentro
da ampe`riana teremos uma corrente encerrada menor dada por
ienc = ia
r2
a2
.
Finalmente, pela lei de Ampe`re, obtemos o campo na regia˜o I:
~B(r) =
µ0iar
2πa2
φˆ .
(b) Na regia˜o II, aproveitamo-nos novamente da simetria cil´ındrica e, agora, a corrente total encerrada e´ a pro´pria
corrente ia. Destarte,
~B(r) =
µ0ia
2πr
φˆ .
(c) Finalmente, na regia˜o III, pelo mesmo tipo de argumento, temos:∮
C
~B · dℓ = 2πrB(r) .
2
Agora, contudo, a corrente total encerrada e´ ia − ib; logo,
~B(r) =
µ0(ia − ib)
2πr
φˆ .
PROBLEMA 3 (Espira retangular em um campo magne´tico na˜o constante) [ 2,5 ponto(s)]
Na figura ao lado, temos uma espira retan-
gular condutora, de comprimento h, largura
a e resisteˆncia R, situada a uma distaˆncia r0
do eixo Z coplanar. Na regia˜o ocupada por
tal espira, existe um campo magne´tico na˜o
estaciona´rio e na˜o uniforme dado por
~B(t, r) =
Kt
r
φˆ ,
onde K e´ uma constante positiva e r e´ a
distaˆncia ate´ o eixo Z.
(a) Calcule o fluxo do campo magne´tico
atrave´s da espira, tomando como vetor nor-
mal unita´rio o pro´prio vetor φˆ. [1,0 ponto]
(b) Deduza a expressa˜o para a intensidade
da corrente induzida na espira, desprezando
a sua auto-indutaˆncia, e indique, numa figura
conveniente, o sentido de tal corrente. [1,5
ponto]
Z
r0
a
h
⊗
zˆ
rˆφˆ
Resoluc¸a˜o
(a) Por definic¸a˜o de fluxo,
ΦB :=
∫
S
~B · nˆdA
=
∫ r0+a
r=r0
Kt
r
hdr
= Kth ln
(
r0 + a
r0
)
.
(b) Pela lei de Faraday,
Eind = −
dΦB
dt
= −Kh ln
(
r0 + a
r0
)
.
Logo, a corrente induzida vale
Iind = −
Kh
R
ln
(
r0 + a
r0
)
,
e o seu sentido e´ o anti-hora´rio (trigonome´trico), conforme mostra a figura abaixo:
3
Iind
PROBLEMA 4 (Circuito RL) [ 2,5 pontos ponto(s)]
No circuito da figura ao lado, um resistor de resisteˆncia
R e um indutor de indutaˆncia L sa˜o conectados em se´rie
com uma bateria de fem E no instante, t = 0, em que a
chave S e´ fechada.
(a) Determine a equac¸a˜o diferencial para a corrente i(t)
que se estabelece no circuito. [0,5 ponto]
(b) Resolva a equac¸a˜o diferencial do item anterior para
i(t). [1,0 ponto]
(c) Encontre a fem auto-induzida no indutor EL(t). [0,5
ponto]
(d) Determine a corrente final no circuito, depois de
transcorrido um tempo muito longo. [0,5 ponto]
b b
b
b
E
R
L
S
Resoluc¸a˜o
(a)
di
dt
+ i
R
L
−
E
L
= 0.
(b)
i(t) =
E
R
(
1− e−(R/L)t
)
.
(c)
EL(t) = −L
di
dt
= iR− E = E
(
1− e−(R/L)t
)
− E = −Ee−(R/L)t.
(d)
iF =
E
R
.
4