Livro Hilder Góes e Ubaldo Tonar - Matemática para concurso

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Hílder Goes e Ubaldo Tonar -
Matemática para Concurso -
7º Edição - Ano 2004
Matemática
Universidade Regional do Cariri (URCA)
625 pag.
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HÍLDER GÓES
Licenciatura plena em Matemática pela 
Universidade Estadual do Ceará - UECE 
Autor dos livros A Matemática do Vestibular e 
Elementos Básicos de Estatística
U B A L D O T O N A R
Licenciatura plena em Matemática pela 
Universidade Estadual do Ceará - UECE e 
Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará - 
Professor concursado do Estado do Ceará
M ATEM ÁTICA PA RA
C O N C U R S O
7 -. E dição
Rio - São Paulo - For taleza 
2 0 0 4
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© 2 0 0 4 H ilder Góes e U baldo T onar
© 2 0 0 4 desta edição cedidos à 
E ditora e Gráfic a AB C F ortaleza L tda.
P r o j e t o G r á h c o 
Carlos Alberto A; Dan tas 
Roberta de Oliveira
R e v is o r T é c n ic o 
Fern an do Antônio Saraiva de Araújo
Ca pa 
Heron Cruz
P e d id o s :
E ditora e Gráfic a AB C F ortaleza L tda,
Rua Vergueiro, 439 - Loja 27 - Bairro: Aclimação 
CEP: 01504-001 - São Paulo - São Paulo 
* * *
Rua Eduardo Salgado, 156 - Bairro: Aldeota 
Fone: (0 **8 5 ) 264-3540; Fax: (0 **8 5 ) 264-3606 
E-mail: abceditora@baydenetxom.br 
CEP: 60150-140 - Fortaleza - Ceará
Dados Internacionais de Catalogação na Publicaçao (CIP)
G 5 9 8 m Góes, H ilder B ezerra.
M atem átic a para concurso. P or H ilder B ezerra Góes e Ubaldo 
T eix eira Góes. R io — São P aulo - F ortaleza: AB C E ditora, 2 0 0 4 .
6 3 2 p.
1. M atem átic a. I. T ítulo. II. Góes, U baldo T eix eira.
CDD: 5 10
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Para n ossa querida filha e neta 
Deísy
com am or e carinh o 
d o seu pai Ubaldo e 
do seu avô Hilder.
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A P R E S E N T A Ç Ã O
A nimados, pela aceitação qu e tiveram as quatro primeiras 
edições cleste livro, resolvem os, após profun das modificações, tanto 
em seu con teúdo, com o em su a explan ação, trazer a lume a quin ­
ta ed ição deste clespreten cioso t rabalh o no qual ten tam os reunir 
toda a matéria qu e ach am os n ecessária aos candidatos a con curso 
público de n ível m édio.
Lem bram os, con tudo qu e o en requecim en to deste trabalh o, 
n ão invalida, obviam en te, as ed ições an teriores, as quais serão 
sem pre aproveitáveis.
Dividido em du as par tes: a primeira, con ten do um con jun to 
de con h ecim en tos básicos e in dispen sáveis, qu e reputam os de 
gran de importância para um bom desem pen h o e com preen são 
quan do cio estudo da segu n da parte, por isso acon selh am os uma 
especial aten ção à m esm a; na segu n da parte inserimos, pratica­
men te, todo o con teúdo da maioria dos con cursos, com o TRT, 
TRF, TJC e tan tos outros.
Na pu blicação desta quin ta edição, ainda n ão n os m oveu o 
in teresse pecun iár io, n em a vaidade de ser autor m as tão som en ­
te, an ím a-n os o desejo e a esperan ça de h averm os t razido uma 
m odesta con tribuição com algo qu e venh a facilitar o apren dizado 
de todos aqueles que preten dem aumentar seu conh ecimen to n essa 
tão fascinan te matéria, em especial, aos in teressados em ingressar 
na carreira pública; eis o n osso propósito maior. Com o também, 
dizíam os en tão - e agora repetim os - n ão h aver feito t rabalho 
notável ou original.
A aceitação deste livro será por certo, um est ím ulo e um a 
im posição para qu e con t in uem os em n osso propósito.
Muito grato serem os a quan tos n os queiram apon tar falh as 
qu e certam en te encon trarão.
O S AU T O R E S
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S U M Á R I O
PRIME IRA PARTE
0 1 Núme r o ................................................................................................................ 13
0 2 Sist e ma de N ume r a ç ã o .................................................................................. 2 7
0 3 Núme r o s In t e ir o s ............................................................................................ 3 5
0 4 Núme r o s F r a c io n á r io s .................................................................................. 4 8
0 5 Núme r o s D e c ima is .......................................................................................... 6 6
0 6 Núme r o s Co mpl e x o s .................................................................... ................. 7 9
0 7 N ú m e r o s R e l a t iv o s ......................................................................................... 8 9
0 8 E q u a ç ã o d o P rim e iro G r a u ....................................................................... 9 3
0 9 Sist e ma de E q u a ç ã o d o P r ime ir o G r a u ...................................................10 0
10 In e q u a ç à o d o P r ime ir o G r a u ............ .........................................................10 6
11 S is t e ma d e I n e q u a ç à o d o P r ime ir o G r a u ............................................ . 1 1 1
12 E q u a ç ã o d o Se g u n d o G r a u .........................................................................1 1 4
13 Sist e ma de Eq u a ç ã o d o Se g u n d o G r a u ..................................................12 4
1 4 P o t e n c i a ç ã o ..................................................................................................... 1 2 6
15 Ra d ic ia ç ã o ...........................................................................................................14 2
16 Q u e st õ e s de Co n c u r so s ............................................................................. 15 7
SE GUNDA PARTE
*‘ 17 Núme r o s In t e ir o s ............................................................................................. 16 3
18 Q u e st õ e s de Co n c u r s o s .................................................................................2 10
19 Núme r o s F r a c io n á r io s ................................................................................... 2 2 2
20 Q u e st õ e s de Co n c u r s o s ................................................................................2 5 7
2 1 R e g r a d e T r ê s ................................................................................. ................ 2 6 4
2 2 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s .................................................................................2 8 5
* 23 R a z ã o .................................................................................................................... 2 9 5
24 Q u e st õ e s de Co n c u r s o s ................................................................................ 3 0 5
25 P r o po r ç ã o .......................................................................................................... 3 0 8
2 6 Q u e s tõ e s d e C o n c u r s o s .................................................................................3 3 1
2 7 D i v i s ã o P r o p o r c i o n a l ............................... .................................................... 3 3 4
/ 2 8 M í d i a s ................................................................................................................... 3 5 9
29 Núme r o s P r o po r c io n a is ................................................................................ 3 6 5
3 0 Q u e st õ e s de Co n c u r so s ............................................................................3 ó 7
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3 1 R e g r a d e S o c i e d a d e .................................................................................................. 3 7 3
3 2 Q u e s t õ e s dh C o n c u r s o s ......................................................................................... 3 8 2
3 3 P o r c e n t a g e m ....... •............................................................................................ 3 8 7
' 3 4 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s .......................................................................................... 4 1 8
3 5 J u r o s S impl e s .................................................................................................... 4 3 2
3 6 P r a z o , T a x a k C a pi t a l M é d i o s ..................................................................4 6 9
3 7 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s .............................................................................................4 7 5
3 8 D e s c o n t o S impl e s .......................................................................................................4 8 4
3 9 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s ................................. ...................................... ..................... 5 0 4
4 0 S i s t e m a M é t r ic o D e c im a l ...................................................................................... 5 0 9
4 1 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s ............................................................................ ............ 5 4 2
■ 42 ' E s c a l a ......................... : v .............. , ....................................................................................5 5 1
4 3 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s .............................................................................................5 5 4
4 4 F u n ç ã o d o P r ime ir o G r a u .......................................................................................5 5 6
4 5 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s ................................. : ......................................................5 6 6
4 6 F u n ç à o Q u a d r á t t c a ......................................................................................................5 6 8
4 7 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s .............................................................................................5 7 8
4 8 D iv is ib t l id a d e ........ ............................................................................................................5 8 0
4 9 N ú m e r o s P r im o s , M ú l t ipl o s e D i v t s o r e s .........................................................5 9 4
t ÇO M á x im o D i v i s o r C o mu m ................................................................................. 6 0 3
* 5 1 M ín im o M ú u h pl o C o m u m ..........................................................................................6 1 4
5 2 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s ............................................................................................6 2 2
5 3 P r o b l e m a s d o S e ç i jn d o G r a u ............................................................................... 6 2 4
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PRIM EIRA PARTE
Númi-ho - 1 
S is t e m a d e N u m e r a ç ã o - 2 
N ú m e r o s I n t e i r o s ~ 3 
N ú m e r o s F r a c i o n á r i o s - 4 
N ú m e r o s D e c im a is - 5 
N ú m e r o s C o m p le x o s - 6 
N ú m e r o s R e la t i v o s - 7 
E q u a ç ã o d o P r ím e ír o G r a u - 8
9 - S í s t e m a d e E q u a ç ã o d o P r im e i r o G r a u
1 0 - I n e q u a ç ã o d o P r im e i r o G r a u
1 1 - S i s t e m a d e í n e q u a ç ã o d o P r im e i r o G r a
1 2 - E q u a ç ã o d o S e g u n d o G r a u
1 3 - S i s t e m a d e E q u a ç ã o d o S e g u n d o G r a u
1 4 - P o t e n c s a ç ã o
1 5 - R AD I Cia ç ã o
1 6 - Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s
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1
N Ú M ERO
D E F IN IÇÃO : E o resultado da comparação de uma grande2a com a 
unidade.
G RAND E Z A: E tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. 
As grandezas se classificam em:
a) Contínuas: São as grandezas que podem ser aumentadas ou diminuí­
das de uma quantidade qualquer.
E xemplos: Uma peça de pano, um rolo de barbante.
b ) D escontínuas: São as grandezas que só podem ser aumentadas ou
diminuídas de uma quantidade determinada. 
E xemplos: Uma porção de bolas, um grupo de meninos.
c) H om ogêneas: São as grandezas da mesma espécie.
E xemplos: 3 lápis e 5 lápis ou 4 bolas e 7 bolas.
d) H etero gêneas: São as grandezas de espécies diferentes.
E xemplos: 2 lápis e 3 cadernos ou 5 bolas e 6 laranjas.
UN ID AD E : É uma grandeza que serve para medir outras grandezas da 
mesma espécie. A grandeza escolhida para unidade é arbi­
trária, mas é necessário que seja perfeitamente definida.
CLASSIF ICAÇÃO D O S N Ú M E R O S: Os números se classificam em:
I ) PO R SUA N AT URE Z A:
a) Concreto: E o número que determina a espécie de unidade a que se 
refere.
E xemplos: 3 bolas; 5 cadernos
MATE MÁTICA PARA CON CURSO - NÚME RO 13
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b) Abstrato: É o número que nào determina a espécie de unidade a que 
se refere.
E xemplos: 6, 4, 7.
I I ) PO R SUA E SP É CIE
a) H omogêneo: E o número que indica coisas da mesma espécie.
E xemplos: 2 lápis e 3 lápis.
b) H eterogêneo : E o número que indica coisas de espécies diferentes.
E xemplos: 2 lápis e 4 livros.
I I I ) PE LAS PART E S Q UE IN D ICAM
a) IN T E IR O : E o número que consta só de unidades.
E xemplos: 3 cadernos, 6 livros.
Os números inteiros podem ser:
i) Sim ples: E o número formado de um só algarismo.
E xemplos: 3, 5, 7.
ALG ARISMO S sào os símbolos que representam os números.
ii) Composto: É o número formado por dois ou mais algarismos.
E xemplos: 26 ,138 , 1435.
b) F RACIO NARIO : é o número que indica uma ou mais partes da unidade.
E xemplos: 2 1 3
3 ’ 5 ’ 7
Os números frandonários se dividem em:
D ecimais
E xatos: 0,2: 0,85
f Simples: 0,333 .. 
Periódicos <
i Compostos: 0 ,4222...
1 4 HILDE R GÓE S * UBALDO T ONAR
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r Puros
Próprios: 2 3
5* 4
O rdinários 1 Impróprios: 7 ? 8^
3 5
t Aparentes: 5 20
c) MISTO: É o número formado por um número inteiro e um número 
fracionário.
Se classificam em:
D ecimais: 5,3; 9,3535...
1 2
O rdinários: 2 - ; 4 -
3 5
O número abstrato, isto é, aquele que nào determina a espécie de 
unidade, é o verdadeiro número, pois o concreto é constituído do número 
abstrato, ligado à natureza da unidade escolhida.
O conjunto de processos empregados para se representar os nú­
meros constitui o que se chama de SIST E MA DE N UME RAÇÃO.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base, isto é, pelo 
número de unidades de uma ordem que formam uma unidade de ordem 
imediatamente superior. O número de algarismos de um sistema de nu­
meração é igual à base.
O sistema universalmente adotado é o decimal. Nesse sistema, dez 
unidades de uma ordem, formam uma unidade de ordem imediatamente 
superior. Assim, dez unidades formam uma dezena; dez dezenas formam 
uma centena.
A numeração escrita, tendo como base esse sistema, se norteia no 
seguinte princípio: “Q ualquer algarismo escrito à esquerda de outro, vale 
dez vezes esse outro algarismo”.ALGARISMOS SIGN IF ICATIVOS: Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9 são denominados significativos. Um algarismo significativo tem 
dois valores:
MATE MÁTICA PARA CONCURSO - NÚME RO 1 5
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Valor Absoluto : É o valor que o algarismo possui quando escrito 
isoladamente. O algarismo 5, como valor absoluto, vale sempre 5; o alga­
rismo 7, soz inho, vale sempre 7; e assim por diante.
Valor Relativo: E o valor que o algarismo possui de conformidade 
com o lugar que ele ocupa no número. Assim, no número 327, o 7 vale 
sete unidades, o 2 vaie duas dezenas e o 3 vale três centenas.
OX - D e 345 a 789 incluídos esses números, quantos números inteiros e 
consecutivos existem.
Solução: B asta subtrairmos do maior número o menor, e somar­
mos uma unidade.
' 789 — 345 = 444 - » 444 + 1 = 445 números
02 - D e 480 a 720 incluídos esses números, calcule quantos números intei­
ros e consecutivos existem.
Solução: 720 — 480 = 240 240 + 1 = 241 números
03 - D e 371 a 840 incluídos esses números, calcule quantos números intei­
ros e consecutivos existem.
R; 470
04 - D e 31 até 700, calcule quantos números inteiros e consecutivos exis­
tem, incluindo esses números.
R: 670
05 - D e 345 a 789 excluídos esses números, calcule quantos números in­
teiros e consecutivos existem.
Solução: B asta subtrairmos do número maior o menor e diminuir­
mos uma unidade.
789 — 345 — 444 —> 444 1 = 443 números
16 HILDE R GÓE S * UBALDO TONAR
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06 - De 132 a 186 excluídos esses números, calcule quantos números 
inteiros c consecutivos existem.
R: 53
07 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até 
251, excluindo esses números.
R: 230
08 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243 
excluído c 527 incluído.
Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor 
527 - 243 = 284
09 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem quando se 
escreve de 180 excluído e 320 incluído.
R: 140
10 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 130 
incluído e 780 excluído.
R: 650
11 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os.. ——
números de 1, 2 e(3)ilgarismos. ^ | ^ „ i\) - / ~ 3 - ~ B ~ § .3 
Solução: Os números de um algarismo, começam~ 3õTevão até ao
9 incluídos; são, portanto: 9 — 1 ~ B —> 8 + 1 —9
I -ogo, são 9 números de um algarismo e são necessários 9 x 1 = 9 
algarismos para escrevê-los.
• Os números de dois algarismos começam no 10 e vão até o 99 
incluídos; são, portanto: 99 ~ 10 = 89 —*■ 89 + 1 = 90
E ntão, são 90 números de dois algarismos, sendo necessários
90 x 2 — 180 algarismos para escrevc-los.
* Os números de três algarismos começam no 100 e vão até ao 999
incluídos; há, portanto*. 999 — 100 = 899 —» 899 + 1 900.
E ntão, sào 900 números de três algarismos, sendo necessários 
900 x 3 ~ 2.700 algarismos para escrevê-los.
Concluímos que, para se escrever todos os números de 1, 2 e 3 
algarismos, serão necessários: 9 + 180 + 2.700 = 2.889 algarismos.
MATÍm ÁTíCA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 7
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12 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números naturais de 1 até 88.
Solução:
• D e 1 a 9, temos 9 — 1 = 8 —> 8 -í- 1 = 9 números de um algaris­
mo, logo serão necessários 9 x 1 = 9 algarismos.
• D e 10 a 88, temos 88 — 10 = 78 —» 78 + 1 ~ -9 números de dois
algarismos, sendo, portanto, necessários 79 x 2 = 158 algarismos. Logo 
serão necessários 9 + 158 = 167 algarismos. ~
13 - D eterminar o número de algarismos necessários para se escrever to­
dos os números naturais de 30 a 176.
. R : 3 7 1
14 - Calcular o número de algarismos necessários/para se escrever desde
31 até 245.
R: 576
15 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números de 30 até 91.
R: 124
16 - Calcule o número de algarismos necessários para se escrever de 37 
até 239.
R: 546
17 - Q uantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­
meros de 1 a 934, inclusive.
R: 2.694
18 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­
meros de 7 a 32.427, inclusive.
R: 151.023
19 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever tddos 
os números de três algarismos.
R: 2.700
18 HILDE R GÓE S * UBALDO TONAR
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20 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos
os números de cinco algarismos. C-. 1 6 ; -■
R: 450.000
21 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números de sete algarismos.
R: 63.000.000
22 - D eterminar o número de algarismos necessários para se escrever os 
números pares de 6 até 281 inclusive.
Solução:
E ntre os números 6 e 9 existem dois números pares de um algaris­
mo, que são o 6 e o 8.
• D e 10 até 99 existem: '99 - 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais 
45 são pares, de dois algarismos.
• D e 100 até 281 existem: 281 - 100 = 181 + 1 = 182 números, 
dos quais 91 são pares, de três algarismos.
E ntão, para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos:
2 x 1 - 2 -■> f. • - ! J ( - r ■: v " • C -r
4 5 x 2 = 90 '* /.
91 x 3 = 273 . J ;
365 algarismos
23 - D eterminar o número de algarismos necessários para se escrever os 
números ímpares de 5 até 175 inclusive.
' R : 207
(■24" - Um aluno escreveu do menor número par de 3 algarismos significati­
vos desiguais até o maior número ímpar de 6 algarismos desiguais, incluí­
dos esses números. Calcule quantos algarismos escreveu.
R : 5,814.552 í^ O
25 - Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algaris­
mos foram necessários.
Solução:
• D a página 1 até a 9 foram utilizados 9 — l ~ 8 - - »8 + l = 9 
números de um algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos.
MATE MÁTICA PARA CONCURSO - NÚME RO 1 9
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• D a página 10 até a 99 foram utilizados 99 —10 = 89 —> 89 + 1 = 90 
números de dois algarismos.
Logo, 90 x 2 = 180 algarismos.
• D a página 100 até a 126 foram utilizados 126 — 100 = 26 —»
—» 26 + 1 = 27 números de três algarismos.
Logo, 27 x 3 = 81 algarismos.
E ntão, ao todo, foram necessários 9 + 180 + 81 = 270 algarismos.
26 - E m um cinema há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão 
necessários paira enumerá-las.
R: 342
27 - E m um teatro há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão ne­
cessários para enumerá-las.
R: 282
28 - Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários 
para enumerá-las?
R: 9.265
29 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algaris­
mos. Calcular quantas páginas tem esse livro, j g _ \
Solução:
• Para enumerar as 9 primeiras páginas usaram-se: 9 x 1 = 9 algarismos.
• Para enumerar as 90 páginas seguintes usaram-se 90x2 = 180 algarismos. 
Veja que, até agora, já usamos 180 + 9 = 189 algarismos.
Temos: 270 ~ 189 = 81 algarismos, que serão utilizados para enu­
merar páginas de três algarismos. Logo, 81 3 = 27 páginas. O total de
páginas será, portanto de: 9 + 90 27 = 126.
' s30\ Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algaris­
mos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R : 22$jp
31 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 1.296 algaris­
mos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 468
20 HEUDER GÓE S * UBALDO TONAR
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32 - Para enumerar as páginas de um E vt o foram necessários 3.421 alga­
rismos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 1.132 .
33 - Uma pessoa, para numerar as páginas de um álbum, cobrou $ 15,30. 
Quantas páginas tinha o álbum, sabendo-se que cobra $ 0,05 por algarismo?
R: 138
34 - Um artista foi contratado para enumerar as páginas de um álbum, 
devendo ganhar $ 5,00 por algarismo desenhado. Recebeu por esse traba­
lho $ 1.710,00. Calcule quantas páginas tinha o álbum.
R: 150
35 - E screvendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, obtém-se: 1234567891011121314151617... D etermine o alga­
rismo que ocupa o 117 3Ü-lugar.
Solução:
• D e 1 a 9 escreve-se: 9 x 1 = 9 algarismos.
• D e 10 a 99 escreve-se 90 x 2 = 180 algarismos.
E ntão, até o número 99 escreve-se 189 algarismos. A partir do 100, 
os números são de três algarismos. Logo: 1173 - 189 = 984
E ntão, 984 -s- 3 = 328 números de. três algarismos. Conta-se, pois, até
o número 99 + 328 = 427. Logo, o algarismo que ocupa o 1173” lugar é o 7.
36 - E screvendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos. D eterminar o algarismo que ocupa o 12002 lugar.
R: 6
37 - E screvendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, calcule o algarismo que ocupa o 1536a lugar.
R :X
38 - E screvendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, qual será, o algarismo que ocupa o 3456U lugar.
R: 8
MATE MÁTICA PARA CONCURSO - NÚME RO 2 1
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39 - E screvendo-se a sucessào dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 2342a lugat
Solução:
• De 1 a 9 são 9 números de um algarismo. Logo, vocâutiliza 9 algarismos.
• D e 10 a 99 são 90 números de dois algarismos. Logo, você utiliza 
180 algarismos.
Veja, que até agora, utilizamos 189 algarismos. Como são 2342 al-' 
garismos, ainda faltam 2342 — 189 = 2153.
E ntão: 2153 3, temos:
2153|_3__
05 717
23
2
717 números de 3 algarismos. Logo, até agora, temos: 9 + 90 + 717 = 816 
Mas veja que, na divisão, que não é exata, sobraram 2 algarismos 
para você escrever o número 817.
Se o resto tivesse sido 1 você só poderia escrever o 8, mas como 
sobraram 2 algarismos; do número 817 você.pode escrever o 8 e o 1. 
E ntão, o algarismo que ocupa o 2342- lugar, é o 1.
40 - E screvendo-se a sucessào dos números naturais sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 985" lugar.
R: 3
41 - E screvendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 1234s lugax.
R: 4
42 - E screvendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, determine o 60ü algarismo escrito.
R: 3
43 - E screvendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, qual é o 500ü algarismo escrito.
R: 0 •
22 HIIJDER GÓE S * UBAJLDO TONAR
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44 - E screvendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, determine o 1800'- algarismo escrito.
R: 6
45 - D eterminar o número de vezes que o algarismo 8 ocupa a posição das 
unidades; das dezenas; das centenas, na sucessão natural dos números in­
teiros de X até 10".
Solução:
Como algarismo das unidades, o número 8 aparecerá de 10 em 10. 
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", ele deverá 
aparecer 10“ 10 = 1Ò"'5 vezes como algarismo das unidades.
Como algarismo das dezenas ele aparecerá nos 10 números de cada 
centena terminados em 80, 81, 82 ,..., 89.
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10w, ele deverá 
aparecer 10 x 10“'-=- 102 = 10“+í -h 102 = IO11'1 vezes como algarismo das 
dezenas.
Como algarismo das centenas o número 8 aparecerá nos 100 nú­
meros de milhares terminados por 800, 801, 8 0 2 , 8 9 9 .
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", e como existe 
10" •*- 10J — IO”'3 milhares elé aparecerá 100 x 10"'3 = 102 x IO"'3 = 10“' 1 vezes 
como algarismo das centenas.
MATE MÁTICA PARA CONCURSO - NÚME RO 23
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46 - D eterminar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na suces­
são dos números de 1 até 100.000.
Solução:
D e 1 até 100.000 eqüivale a de 1 até 10\
Como algarismo das unidades aparece 10"‘!, isto é, 10vl = 104. 
Como algarismo das dezenas aparece 10”'5, isto é, 10'"1 = 104. 
Como algarismo das centenas aparece 10"'’, isto ê, IO5*' = IO4. 
Como algarismo de milhar também aparece 104.
Conclui-se que, de 1 até 105, o algarismo 3 aparece 5 x 104 =
5 x 10.000 — 50.000 vezes.
47 - D etermine o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 1.000.
R: 300
48 - D etermine o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 10.000.
R: 5.000
49 - D eterminar o número de vezes que o algarismo 2 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 100.000.
R: 50.000
50 - D eterminar o número dèVtóès que o algarismo 7 ocupa a posição das 
dezenas na sucessão dos números de 1 até 10.000.
R: 1.000
51 - E screvendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes 
aparecerá o algarismo 8-
Solução:
D ecompondo-se o número 537, podemos escrever: 537 = 500 + 37. 
Na parte relativa a 37, o algarismo 8 aparece três vezes, senão veja­
mos: 508 - 5 1 8 -5 2 8 .
Na parcela relativa a 500, isto é, cinco centenas, o algarismo 8 figu­
rou 10 vezes como unidade em cada dezena e 10 vezes como dezena em 
cada centena. F igurou, portanto: 5 x (10 + 10) = 100 vezes.
24 HILDE R GÓE S 4* UBALDO T ON AS
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Nas centenas nào figurou nenhuma vez, isto porque, ao escrever­
mos o último número 537, nào havíamos chegado a empregar o algarismo 8, 
como algarismo das centenas.
Concluímos, então, que o algarismo 8 aparece 3 + 100 = 103 vezes 
quando se escreve de 1 até 537.
52 - D eterminar o número de vezes que .o algarismo 5 aparece quando se 
escreve de 1 até 537.
R : 142
^55j- D eterminar o número de vezes que o algarismo 4 aparecerá quando 
se escreve de 1 até 327.
. R:óX ~ A
ÍB4j- Um aluno escreveu todos os números inteiros desde 1 até 2.850. 
'D etermine quantas vezes ele escreveu o algarismo sete.
R : '8 6 5 '- H ^
55 - Q ue alteração sofre o número 23.486 quando se introduz um zero 
entre os algarismos 3 e 4.
Solução:
23.000 x 9 = 207.000, aumento sòÊrido.
Senão vejamos: 230.486 — 23.486 = 207.000.
56 Q ue alteração sofre o número 34.567 quando se introduz dois zeros 
entre os algarismos 5 e 6.
Solução:
34.500 x 99 = 3.415.500, aumento sofrido.
Senão vejamos: 3.450.067 — 34.567 = 3.415.500.
MATE MÁTICA PARA CON CURSO - NÚME RO 25
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57 - Q ue alteração sofre o número 2.548 quando se introduz um zero 
entre os algarismos 5 e 4.
R: 22.500
58 - Q ue alteração sofre o número 1957 quando intercalamos dois zeros 
entre os algarismos 9 e 5.
R: 188.100
59 - Q ue alteração sofre o número 678, quando se intercala um zero entre 
os algarismos 6 e 7.
R: 5,4.00^
60 - Q ual a 1732u letra da seqüência: ABCD E ABCD E ABCD E ABCD .I.
Solução:
Veja que a seqüência é formada por AB CD E seguido de AB CD E , 
isto é, de 5 em 5 letras. Logo, se dividirmos 1732 por 5, teremos:
1732 [ 5
23 346
32
2
D e onde se conclui, que escrevemos a seqüência AB CD E , 346 ve­
zes. Mas, veja que a divisão não foi exata: sobraram 2 letras, então você só 
poderá escrever da próxima seqüência as letras AB. Logo, a letra que ocu­
pa 17321 é a letra B.
61 - Q ual a 2080- letra da seqüência: D CABD CABD CAB D CA...
R : B
62 - Q ual a 1993a letra da seqüência:AB CD E D CBABCD E D CBABCD E 
DCBABCD...
R: A
63 - Qual a 1039a letra da seqüência: ABCDE DCABCDE DCABCDE DC AB...
R : C
64 - D etermine a letra que ocupa a 1473a da seqüência: CD E FG HCD 
E F G HCD E FG HCD ...
R: E
26 HILDE R GÓE S * UBALDO TONAR
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SIST EM A D E N U M ERA ÇÃ O
Como já vimos, Sistema de Numeração, é o conjunto de processos 
empregados para se representar os números.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base.
O número de algarismos de úm sistema é igual a base. Veremos, a 
seguir, como se passa um número escrito em um certo sistema, numa base 
para outro sistema, em outra base.
P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e 1 0 p a r a u m 
S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r
01 - E screver o número 370 no sistema de base 8. 
Solução:
• 37° [_ $
50 . t____
(562),
46
6
02 ~ O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema 
de base 6.
Solução:
584 I 6
44, 97' 6
2, 37 16 6
T 4 2
Veja como fizemos:
D ividimos o número, pela base desejada, a seguir, dividimos o quo- 
ciente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos 
até encontrarmos um quocíente menor que a base. O número esaáto na 
nova base, será então formado pelo último quociente seguido dos restos
MATE MÁTICA PARA CON CURSO - SIST E MA DE NUME RAÇÃO 27
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encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o 
primeiro.
0 3 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base decimal, escreva-o 
no sistema de base 7.
Solução:
83452 7
13 11921 7
64 49 1703 [7
15 21 30 243 7
12 0 23 33 34 7
5 2 5 6 4
R: (465205),
0 4 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. E screva-o no 
sistema de base 4.
R: (0113330)4
0 5 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. E screva-o no 
sistema de base 5.
R: (231342).
06 - E screva o número 288 no sistema de base 3.
R: (31200)}
07 - E screva o número 43456 no sistema de base 6.
R: (533103) 6
P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r 
p a r a o S is t e m a d e B a s e D e c im a l
0 8 - 0 número (562) H está escrito no sistema de base 8. E screva-o no 
sistema de base decimal.
28 HILDE R GÓE S * UBAUDO TONAR
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Solução:
( 5 6 2 ) g = 2 x 8 “ + 6 x 8 ' + 5 x 8 2 
= 2 + 4 8 + 3 2 0
= 3 7 0
0 9 - 0 número (2412)6 está escrito no sistema de base 6. E screva-o no 
sistema de base 10.
Solução:
(2412) 6 = 2 x 6 ° + l x ó 1+ 4 x 6 2 + 2 x 63 
= 2 + 6 + 144 + 432
= 584
Veja como se faz:
E screve-se uma SO MA, onde as parcelas sao:
— O algarismo da unidade, vezes à base elevada a zero;
— O algarismo das dezenas, vezes à base elevada a um;
— O algarismo das centenas, vezes à base elevada a dois;
— O algarismo das milhares, vezes à base elevada a três;
E assim por diante ...
10 - E screva o número (213)4 na base 10.
R : 39
11 - E screva o número (2416) na base 10.
k :9 9
1 2 - 0 número (465205)? esta escrito no sistema de base 7. E screva-o no 
sistema de base 10.
R : 8 3 4 5 2
13 - O número (2001), está escrito no sistema de base 2. E screva-o no 
sistema de base 10.
R : 17
MATE MÁTICA PARA CON CURSO - SIST E MA DE NUME RAÇÃO 29
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P a ssa r u m N ú m e r o E sc r i t o e m u m a B a se Q u a l ­
q u e r p a r a O u t r a B a se D i f e r e n t e d a D e c i m a l
14 - E screver o número (213) 4 para um sistema de base 5.
Yeja como se faz:
Passamos o número dado para a base decimal e, em seguida, passamos o 
número resultante para a base desejada.
Solução:
i) Passando (213)4 para a base decimal, temos:
(213), — 3 x 4 ° + 1x4 ' + 2 x 42 
= 3 + 4 + 32
= 39
ii) Agora, passaremos o número 39, que está escrito na base 10, 
para a base pedida, no caso, a base 5.
39 | 5
4 7
2 1
R: (124)s
15 - E screva o número (2132)3 na base 4.
R : (4z2)4
16 - E screva o número (1212). na base 2.
R : (510102),
17 - E screva o número (102). na base 4.
R: (122)4
18 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 23 do 
sistema decimal se escreve 32.
30 H ILDE R GÓE S * UBALDO TONAR
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Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(32) x = 23
2 x * x ° + 3 x x ! = 2 3
2 + 3 x = 2 3
3 x = 2 1 x = 7
19 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 45 do 
sistema decimal se escreve 63.
R : 7
20 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 3.8 do 
sistema de base 10, se escreve 46.
R: 8
21 ~ Calcule a base do sistema de numeração em que o número 223 do 
sistema decimal se escreve 337.
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(337) ̂ = 223
7 x xü + 3 x x1 + 3 x x’ = 223
7 + 3x-+ 3x2 = 223
3x2 + 3x = 216
3x2 + 3x — 216 = 0
Resultou uma equação do 2- grau que resolvida nos dá: 
x’ = — 9 e x” = 8. D esprezamos a raiz negativa, então a base 
procurada será 8.
22 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do 
sistema decimal se escreve 123.
R : 5
23 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 122 do 
sistema decimal, se escreve 145.
R : 9
MATE MÁTICA P ARA CON CURSO - SIST E MA DE NUME RAÇÃO 3 1
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24 - E m que base está escrito o número 57 sabendo que no sistema de 
base decimal se escreve 72.
R: 13
25 - Q ual é a base do sistema de numeração em que o número 144 na base 
10, se escreve 100.
R : 12
26 - Q ualé a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16.
R i 11
27 - Um número de dois algarismos, escrito na base 7, escreve-se na base
9 com os mesmos algarismos em ordem inversa. D eterminar esse número 
na base 10; correspondente ao número na base 7 e na base 9.
Solução:
Seja ab o número. E ntão temos:
(ab)7 = (ba),
b x 7o + a x 71 = a x 9o + b x 91 
b + 7a = a + 9b 
6a = 8b 
3a = 4b
Para que a igualdade desses dois produtos exista, deveremos ter: 
a = 4 e b = 3.
O número será: (43)7 ou (34)
Na base 10 teremos: (43), = 3 x 7Ü + 4 x T = 3 + 28 = 31 
(34), = 4 x 9o + 3 x 91 = 4 + 27 = 31
28 - Um número de dois algarismos, escrito na base 3, escreve-se na base 
5 com os mesmos algarismos escritos em ordem inversa. D etermine esse 
número na base 10; correspondente ao número na base 3 e na base 5.
R: 7
29 - Certo número de dois algarismos escrito no sistema decimal tem 7 
para soma dos seus algarismos. Com a base 6, o número formado pelos 
mesmos algarismos, vale 16 unidades menos do que o primeiro. Achar 
esse primeiro número.
R: 43
32 H ODE R GÓE S * UBALDO T ONAR
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30 ~ O número 23 se acha escrito em dois sistemas de numeração cujas 
bases diferem de duas unidades. Achar essas bases, sabendo que a soma 
dos dois números é 34.
R: 6 e 8
3731 - E screver a fracão — na base 8.
J 51
Solução:
Passa-se separadamente, o numerador e o denominador, para a base 8.
37 | 8 => 37 = (45), 51 j 8 => 51 = (63),
5 4 3 6
No que resulta: — = — (8)
M 51 63
32 - E screva a fracão — na base 9.
J 22
47R : ~ ( 9 )
24 '
33 - E screva a feacão — na base 5.
' 27
R: Z i ( 5 )
52 1 ;
34 - E fetuar a divisão de (21374) s por 5. 
Solução: .
(2 1 . 3 7 4), [ 5
(21), = 17 3377
(23), = 19 
(47), = 39
(44), = 36
1
(21)g = 1 x 8o + 2 x 8 ‘ = 1 + 16 = 17(23), = 3 x 8a + 2 x 8l = 3 + 16 = 19
(47) g = 7 x 8Ü + 4 x 81 = 7 + 32 = 39
(44)s = 4 x 8° + 4 x 81 = 4 + 32 = 36
R: Q uociente = 3377 e Resto = 1
MATE MÁTICA PARA CON CURSO - SIST E MA DE N UME RAÇÃO 33
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35 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (3414) por 6.
R: Q uociente = 4548 e Resto = 4
3 6 - 0 número { 7513)a está escrito na base 8. Calcule o resto da sua divisão por 3. 
R :0
37 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (2632)fi por 4.
R: Q uociente = 435 e Resto = 0
34 HILDE R GÓE S * UBALDO T ON AR
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3
N Ú M ERO S IN TEIRO S
As operações fandamentais com os números inteiros sâo quatro:
A dição
Subtração
Multiplicação
Divisão
PROPRIE DADE S DA ADIÇÃO:
a) E lemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição nos 
números naturais.
2 + 0 = 2 0 + 5 = 5
b) Fechamento: A soma de dois ou mais números naturais é sem­
pre um número natural.
2 + 3 = 5 4 + 2 + 3 = 9
c) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.
2 + 3 + 5 = 1 0
3 + 2 + 5 = 1 0
5 + 3 + 2 = 1 0
d) Associativa: Numa soma indicada de várias parcelas, podemos 
substituir várias de suas parcelas pela sua respectiva soma.
3 + 4 + 6 + 2 — ( 3 + 4) + (6 + 2 ) = 7 + 8 = 1 5
3 + 4 + 6 + 2 = ( 3 + 4 + 2 ) + 6 = 9 + 6 = 1 5
MATE MÁTICA P ARA CONCURSO - NÚME ROS INTE IROS 35
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OB SE R VAÇÕ E S:
P rim eira: Q uando se aumenta uma parcela de uma certa quantida­
de, a soma fica aumentada dessa quantidade.
10 —> 10 + 5 = 15 
+ 6 + 6
16 2 1 - » 2 1 - 1 6 = 5
Segunda: Q uando se diminui uma parcela de uma certa quantida­
de, a soma fica diminuída dessa quantidade.
10 1 0 - 3 = 7
+ 6 H- 6
16 13 .- > 1 6 - 1 3 = 3
01 - Numa adição de duas parcelas, uma delas é 900 e a soma 1.860. Calcu­
le a outra parcela.
R : 960
02 - Numa adição de 5 parcelas, a I a e a 2- são, respectivamente, 600 e 700; 
a 3* é igual à diferença entre as duas primeiras; a 4a é igual à soma da I a com 
a 3a, e a 5a é igual à diferença entre a 4- e a 3a. Calcule a soma.
R : 2.700
03 - Uma pessoa ao escrever as duas parcelas de uma soma, enganou-se e 
escreveu a primeira com um erro de 650 unidades para mais e a segunda 
com 165, também para mais. Calcule o erro total cometido.
R: 815
04 - Uma pessoa, ao escrever as três parcelas de uma adição, cometeu três 
erros para menos: de 123, na primeira, de 2 na segunda e de 35, na terceira. 
Calcule a. verdadeira soma, sabendo-se que ela encontrou 2.490.
R : 2.650
05 - Ao efetuar uma adição de duas parcelas, uma pessoa obteve o número 
3.260. Ao confrontá-la com o original, verificou seus erros iniciais quando 
havia copiado as parcelas: na I a foi de 180, para mais, e na 2a, de 20, para 
menos. Calcule a soma exata.
R: 3.100
36 H ILDE R GÓE S * UBALDO T ONAR
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06 - Se acrescentarmos 15 centenas a um número e de outro tirarmos 743 
unidades, a soma desses números fica sendo 4.139. Se o menor deles é 
1.639. Calcule o maior.
R: 1.743
07 - Se tirarmos 757 de um número e 348, de outro, a soma torna-se 293. 
Sendo 1.049 o maior número, calcule o menor.
R : 349
08 - Numa soma de três parcelas, soma-se 3 unidades à primeira, 2 unida­
des à segunda e subtrai-se 9 unidades à terceira. Calcule de quantas unida­
des ficou alterado o resultado.
R : 4
SUB T RAÇÃO ;
O B SE RV AÇÕ E S:
Primeira: A subtração não é comutativa, nem associativa e nem 
possui elemento neutro.
Segunda: O minuendo é igual ao subtraendo somado com o resto.
8 minuendo
— 5 subtraendo 8 = 5 + 3
3 —> resto
T erceira:A soma do minuendo com o subtraendo e com o resto, é 
igual ao dobro do minuendo.
7 —> minuendo
— 3 —> subtraendo => 7 + 3 + 4 = 14 = >̂14 — 2 x57
4 resto
:E a^opeíãçàô
M KN Q R^-; çtiám .ado^áÍD ^ D O je . pxitr'8
•núm ero;̂ !& Í 0 ^ Í T \ r )O j*e !ç ^ | i
Te.suIi:ádo';(̂ ^^ ̂ ou RESilÒ jjj
MATE MÁTICA PARA CON CURSO - NÚME ROS INTE IROS 37
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Q uarta: Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número do 
minuendo e do subtraendo o resto não se altera.
1 8 - » 1 8 + 3 = 2 1 2 0 - > 2 0 — 3 = 1 7
— 6 — > 6 + 3 — — 9 — 7 — > 7 — 3 — — 4
1 2 1 2 1 3 1 3
Q uinta: O resto varia no mesmo sentido que varia o minuendo, isto é:
a) Somando-se qualquer número ao minuendo, o resto ficará au­
mentado desse número.
1 8 — > 1 8 + 5 = 2 3
-A ~A
1 4 1 9 - » 1 9 = 1 4 + 5
b) D iminuindo-se qualquer número do minuendo, o resto ficará 
diminuído desse número.
1 4 — > 1 4 - 2 = 1 2
-A -_ 4
10 8 —» 8 = 10 - 2
Sexta: O resto varia em sentido contrário ao que varia o sub­
traendo, isto é:
a) Somando-se qualquer número ao subtraendo, o resto ficará di­
minuído desse número.
12 12
• —A 4 + 2 = > —_6
8 6 6 = 8 - 2
b) D iminuindo-se qualquer número do subtraendo, o resto ficará 
aumentado desse número.
1 6 1 6
— 6 — > 6 — 2 = > — 4
10 1 2 - > 1 2 = 1 0 + 2
S étim a: Somando-se certo número ao minuendo e diminuindo-se 
outro número do subtraendo, o resto ficará aumentado da soma desses 
números.
38 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
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20 - » 20 + -6 = 26
— 8 —» 8 —• o — — 3
12 23 - » (23 - 12) = 11 = 6 + 5
O itava: D iminuindo-se certo número do minuendo e aumentan­
do-se de outro número o subtraendo, o resto ficará diminuído da soma 
desses números.
30 30 - 10 = 20
- J á 14 + 3 = - 17
16 3 (1 6 - 3 ) = 13 = 10 + 3
09 - Calcule o minuendo de uma subtração, sabendo que o resto é 15 e o 
subtraendo 115.
R : 130
10 - Numa subtração, o dobro -do minuendo é 160. Calcule o resto, saben­
do que o subtraendo vale 20.
~ R : 60
11 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 120. Houve, porém, 
110 minuendo um erro de 20, para mais e no suba-aendo um erro de 10 
para mais. Calcule a diferença exata.
' R : 110)
12 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 180. Houve, porém, 
no minuendo urrr erro de 50 para mais, e no subtraendo um erro de 30 
para mais. Calcule a diferença esata.
R : 160
13 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 250, Houve, porém, 
no minuendo um erro de 70, para mais e no subtraendo um erro de 30 
para menos. Calcule a diferença exata.
R : 150
1 4 - 0 resto encontrado em uma diferença foi 280. Verificou-se, entretan­
to, que o minuendo havia sofrido um erro de 150, para menos e no 
subtraendo houve um erro de 70 para menos. Calcule o resto exato.
R: 500
MATE MÁTICA P ARA CON CURSO - NÚME ROS INTE IROS 39
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15 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 80. Houve, porém 
no minuendo um erro de 70 para menos e no subtraendo um erro de 20 
para mais. Calcule a diferença exata.
R: 270
16 - Somando-se 72 ao minuendo e 15 ao subtraendo, calcule que altera­
ção sofre o resto da subtração.
R : F ica aumentado de 57 unidades
17 - Somando-se 54 ao minuendo e subtraindo-se 12 ao minuendo, calcule 
de quantas unidades o resto fica alterado.
R: 66
18 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é 
igual a 90. O resto é inferior ao subtraendo em 19 unidades. Calcule os 
termos dessa subtração.
R : 45, 32 e 13
19 - São dados dois números dos quais o maior é 380. Tirand©~se 180 de 
um e 160 de outro, asoma dos restos obtidos é igual a 240. Calcular o 
número.
R : 200
2 0 - 0 minuendo de uma subtração é 346. O subtraendo e o resto são 
números pares e consecutivos, sendo o resto o maior desses números, 
calcule o subtraendo.
R : 172
21 - Á soma dos três números que figuram em uma subtração é 7492. O 
resto excede o subtraendo de 3438. Calcule os três números.
R : 3746 ,154 e 3592
22 - N uma subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto 
é ígual a 516. O subtraendo é igual ao resto. Calcule o minuendo e.p 
resto.
R: 258 e 129
40 H ILDE R GÓE S * UB ALDO T ON AR
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23 - A soma dos três números qúe figuram numa subtração é igual a 948. 
Calcular esses três números, sabendo-se que o subtraendo e o resto são 
iguais.
R : 474, 237 e 237
24 - E m uma subtração a soma do minuendo, subtraendo e resto é 1344; 
o subtraendo sendo 621, determine o minuendo e o resta
R : 672 e 51
25 - N uma subtração a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é 
1686. O resto excede o subtraendo de 253 unidades. Calcular o minuendo, 
o subtraendo e o resto.
Rx 843, 295 e 548
26 - A soma dos três números que figuram numa subtração é 842. O resto 
excede o subtraendo de 145 unidades. D eterminar esses três números.
R : 42 1 ,138 e 283
M U L T I P L ICAÇÃO :
PR O PR IE D AD E S D A M U L T I P L ICAÇÃO
a) E lemento Neutro: O um (1) é o elemento neutro da multiplicação.
3 x 1 = 3 4 x 1 = 4
b) Fechamento: O produto de dois números naturais é sempre um 
número natural.
2 x 3 = 6 4 x 5 = 20
MAT E MÁT ICA P AR A CON CURSO - NÚME ROS INTE IROS 4 1
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c) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto.
3 x 2 x 5 = 30
2 x 5 x 3 — 30
5 x 3 x 2 = 30
d) Associativa: N um produto de vários fatores podemos substituir 
dois ou mais deles pelo seu produto.
4 x 3 x 5 x 2 = 12 x 5 x 2 = 12 x 10 = 120
e) D istributiva em Relação a Adição: Para se multiplicar uma soma 
por um número, multiplica-se cada uma das parcelas pelo número dado e 
soma-se os produtos.
(4 + 6) x 3 = 4 x 3 + 6 x 3 = 12 + 18 = 30
£) D istributiva em Relação a Subtração: Para se multiplicar uma di­
ferença por um número, basta multiplicar cada termo da diferença por 
esse número e, a seguir, subtrair os produtos.
(12 - 10) x 2 = 12 x 2 - 10 x 2 = 24 - 20 = 4
g) E lemento Nulo: Q uando um dos fatores é zero, o produto é zero.
3 x 0 = 0 2 x 5 x 0 x 6 = 0
h) Q uando se soma um certo número a um dos fatores, o produto 
fica aumentado de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo 
outro fator.
i) Q uando se subtrai um certo número de um dos fatores, o produ­
to fica subtraído de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo 
outro fator.
2 -> 2 + 5 - 7
2 1 —*>21— 6 = 15 = 5 x 3
x_3
6
2 = 3
x_4
12 - » 20 — 12 = 8 = 2 x 4
x 4 
20
42 H ILDE R GÓE S * UB ALDO TONAR
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j) Q uando se multiplica um dos fatores por um número, o produ­
to fica multiplicado por esse número.
10 10 x 3 = 30
x 4 x 4
40 120 = 40 x 3
1) Q uando se divide um dos fatores por um número, o produto fica 
dividido por esse número
20 20 - 2 - 10 
x 3 x __3
60 30 = 60 4-2
2 7 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o 
multiplicando, o produto será 96. Calcule o multiplicando e o multiplicador.
R : 15 e 8
2 8 - 0 produto de dois números, que é 594 será 429 se diminuirmos 5 do 
multiplicador. Calcule o primeiro e o segundo fatores.
R : 18 e 33
2 9 - 0 produto de dois números é 120, aumentando-se de 5 unidades o 
multiplicador, o produto será 160. Calcule o multiplicador.
R : 8
3 0 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o 
multiplicador, o produto será 75. Calcule o multiplicador.
R ; 15
3 1 - 0 produto de dois números é 248. Multiplicando-se um deles por 2 e 
o outro por 3, calcule o produto desses dois novos números.
R ; 1.488
3 2 - 0 produto de dois números é 4.176. Subtraindo-se 7 de um dos 
números o produto se reduz a 3.770. Calcule esses números.
R : 1.488
MATE MÁTICA P AR A CON CURSO - NÚME ROS INTE IROS 43
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3 3 - 0 produto de dois números é 630. Somando-se 4 ao multiplicador, 
o produto dos dois fatores fica igual a 798. D eterminar os dois fatores.
R : 42 e 15
3 4 - 0 produto de dois números é 96.. Q ual é o produto de um número 3 
vezes maior do que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que o 
segundo?
R : 1.440
3 5 - 0 produto de dois números é 2496. D eterminar esses números, sa- 
bendo-se que, juntando-se 4 ao multiplicador, o produto passa a ser 2688.
R : 48 e 52
3 6 - 0 produto de dois números é 1026. Subtraindo-se 2 a um dos núme­
ros o produto se reduz a 950. D eterminar esses números.
R : 38 e 27
DIVISÃO
a) D ividendo: É o número que há de ser dividido.
. b) D ivisor: É o número que indica em quantas partes iguais deverá 
ser dividido o dividendo.
c) Q uociente: É o resultado da divisão.
d) Resto: É o que sobra da divisão, no caso dela não ser exata.
i) D IVID E ND O = D IVISO R x Q UO CIE NT E + RE ST O
ii) O maior resto de uma divisão, é o divisor menos uma unidade.
44 HIIJDE R GÓE S * UB ALDO T ONAR
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O B SE R V AÇ Õ E S:
P rim eira: Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor 
por um mesmo número (diferente de zero) o quociente não se altera, mas 
o resto ficará multiplicado ou dividido por esse número.
19 L i . / 19 x 2 = 38 38 1 10 -> 8 = 4 x 2
4 3 \ 5 x 2 = 10 8 3
Segunda: O quociente varia no mesmo sentido do dividendo, isto é:
a) Multiplicando-se o dividendo por um número, o quociente fica 
multiplicado por esse número.
32 4 - * 32 x 2 = 64 4
0 8 0 16 =í>16 = 8 x 2
b) D ividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica 
dividido por esse núm era
32 1 8 32 4- 2 = 16
0 4 0 2 => 2 = 4 - 2
T erceira: O quociente varia em sentido contrário ao que -varia o 
divisor, isto é:
a) Multiplicando-se o dividor por um número, o quociente fica divi­
dido por esse número.
64 8 => 8 x 2 = 16 => 64 16
0 8 ' ' 0 4 = > 4 = 8 - r 2
b) D ividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multi­
plicado por esse número.
40 8 8 4 2 = 4 = > 40 4
0 5 0 1 0 ^ 1 0 = 5 x 2
MATE MÁT ICA P AR A CON CURSO - NÚME ROS INTE IROS 45
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37 - Calcule o maior numero que dividido por 11 dê um resto igual ao 
quodente.
R: 120
38 - Calcule o quodente de uma divisão, sabendo que, aumentando 52 
unidades ao dividendo e 4 unidades ao divisor, o quodente e o resto não 
se alteram.
R: 13
39 - N uma divisão o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior 
possível. Sabendo que a soma do divisor e do quociente é igual a 6, calcule
o dividendo.
R : 11
4 0 - 0 dividendo de uma subtração é 237, o resto é 16 e o divisor é o 
menor possível, calcule o quociente.
R: 13
41 - Numa divisão, o divisor é 257, o quodente é 59 e o resto é o maior 
possível. Calcule o dividendo.
R: 15.419
42 - Numa divisão, o divisor é 12, o quodente é 10 e o resto é o maior 
possível. Calcule o dividendo.
R: 131
43 - N uma divisão, o divisor é 28, o quodente é o quádruplo do divisor e
o resto é o maior possível Calcular o dividendo.
R: 3.163
44 - Numa divisão, o quociente é 48, o resto é a terça parte do quodente 
e é o maior possível. Calcular o dividendo.
R : 832
45 - Numa divisão, o quodente é 12; o divisor é o dobro do quocientee o 
resto é o maior possível. Calcule o dividendo.
R : 311
46 H ILDE R GÓE S * UBAJUDO T ONAR
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46 - E m uma divisão, o dividendo é 5043, o quociente é 14 e o resto é 
185. Calcule o divisor.
R : 347
47 - N uma divisão, o divisor é 298, o quociente é o triplo do divisor e o 
resto é o maior possível. D etermine o dividendo.
R : 266.709
48 - N uma divisão, o divisor é 15, o quociente é 16, e o resto é o maior 
possível. Calcular o -dividendo.
R : 254
MATE MÁTICA P AR A CON CURSO - N ÚME ROS INTE IROS 4 ?
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4
N Ú M ERO S FRA CIO N Á RIO S
I N T R O D U Ç ÃO
Poderemos diz er que:
a) a criança comeu 3 das 5 partes, isto é, três quintos da barra de 
chocolate.
b) a criança deixou de comer 2 das 5 partes, isto é, dois quintos da 
barra de chocolate.
O bserve que os três quintos que a criança comeu da barra de cho­
colate e os dois quintos que deixou de comer, foram tirados da unidade 
que era uma barra de chocolate.
Os números três quintos e dois quintos, são chamados N úm ero s 
F rac io nário s ou F raçõ es O rdinárias. D aí a definição.
I lustrando o exemplo dado, temos: 
a barra de chocolate a barra de chocolate
três quintos dois quintos
NO T AÇÃO : Pata representarmos uma fração, são necessários dois 
números chamados termos da fração.
Sejam a e b números, com b ^ 0.
t â /
D aí: — ou /. O nde a é o numerador e b é o denominador, 
b /b
48 H ILDE R GÓE S * UBALDO TONAR
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a) O numerador indica o número de partes tomadas da unidade
b) O denominador indica em quantas partes a unidade foi dividida. 
A fração 3/5 da barra de chocolate que a criança comeu, indica que a 
unidade foi dividida em 5 partes e ela comeu 3 dessas partes.
CLASSIF ICAÇÃO : As frações se classificam em:
a) Própria: Numerador ME N O R do que o denominador.
j> , 4
3 ’ 7* 5
b) Imprópria: N umerador MAIO R do que o denominador.
7 , 8 , 4
2 ’ 5 ’ 3
c) Aparente: Numerador IG UAL ou MÚLTIPLO do denominador.
4 , 1§
6 * 2 ’ 5
d) Homogêneas: São as frações que possuem o mesmo denominador
1 3 - 7
5 * 5 ’ 5
e) Heterogêneas: São as frações que possuem denominadores diferentes:
3 2 4
4 ’ 5 ’ 9
f) Inversas: D uas frações se dizem inversas quando o numerador e
o denominador de uma for o denominador e o numerador da outra.
l e i Ae _ í
5 2 4 3
MATE MÁTICA P AR A CON CURSO - NÚME ROS F RACION ÁRIOS 49
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g) E quivalentes: D uas ou mais -frações são ditas equivalentes, quando 
representam a mesma parte da unidade ou do inteiro:^ 2 e 3 _
2 5 4 ó ’
V e j a g r a f i c a m e n t e <
CLASSE D E E Q U IV AL Ê N CIA D E U M A F RAÇÃO :
Chamamos de C lasse de E quivalênc ia de uma fração, aoxonjun- 
to formado por todas as frações equivalentes a uma fração dada.
E xemplo: Calcule a classe de equivalência da fração
2
Solução :
3
4 6 ' JS 1 0 1 2 ' 1 4
. 6 ’ 9 5 1 2 ’ 1 5 * 1 8 ’ 2 1
01 - Assinale as frações próprias:
1 2 7 8 7
02 - Assinale as frações impróprias:
1 11 7. ,— > — j
'h 4
50 HILDE R GÓE S * UBALDO T ON AR
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03 - Assinale as frações aparentes.
3 8 3 5 8 14 4, _ j , — , — , —
5 4 1 5 3 7 3
04 - D entre as frações seguintes, destaque as homogêneas entre si.
3 J 5 1 2 4 7 4-- J - J - J (*-- > ?- 5 -- > --
5 7 3 5 5 7 3
05 ~ D entre as frações seguintes, destaque as heterogênas
1 rl 1 J l 1 1 1
4 5 3 ’ 4 7 5 4 * 4 ’ 4
3
06 - E screva anc o frações equivalentes à fração — >
P ROP RIE DADE S DAS F RAÇÕE S:
a) Q uando multiplicamos, os dois termos de uma fração, por um número 
diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
1
Seta a fração — > multiplicando o numerador e o denominador por
2
2 3
2, resulta — • por 3 resulta—.
4 ’ 6
1 2 3
As frações — e — são equivalentes.
2 4 6 M
b) Q uando dividimos os dois termos de uma fração, por um núme­
ro diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
Seja a fração — > dividindo o numerador e o denominador por 2,
resulta — > por 3 resulta ™ . As frações — » — e - =- são equivalentes. 
15 10 ' 30 15 10 M
MATE MÁTICA P AR A CON CURSO - NÚME ROS F RACION ÁRIOS 5 1
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c) Multiplicando o numerador de uma tração por um aúmero dt- 
ferente de zero, a fração fica multiplicada por esse número.
2 6
Multiplicando o numerador da fração — por 3, teremos —- que é
8 8
três vezes a fracão ~ .
V is u a liz e , g ra f ic a m e n t e /
d) D ividindo o numerador de uma fração por um número diferente 
de zero, a fração fica dividida por esse número.
4 2 '
Seja a fração — , dividindo o numerador por 2 , temos: - y- .
V is u a l iz e , g ra f ic a m e n te <
e) Multiplicando o denominador de uma fração, por um número 
diferente de zero, a fração fica dividida por esse número.
V is u a i iz e , g ra f ic a m e n te
1
3
1 „ 1 
3 x 2 6
f) D ividindo o denominador de uma fração, por um número dife­
rente de zero, a fração fica multiplicada por esse número.
Visuaiize, graficamente
1 2 4
52 H ILDE R GÓE S * UB ALDO T ON AR
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SIMPL IF ICAÇÃO DE U MA F RAÇÃO
Q uando os termos de uma fraçào admitem um divisor comum,
pode-se substituir essa fração por outra equivalente, com os termos com
menores valores.
BI 27
Seja a fração ~ ~ > dmdindo-se ambos os termos por 3, resulta: — 
108 36
81
que é uma fração equivalente a porém, com os termos mais
simplificados.
O BSE RVAÇÃO :
. .ssfr - T i í n a c l ò r ^
81
Na fraçào , ao dividirmos os seus termos pelo máximo divisor
3
comum de 81 e 108 que é 27, teremos a fraçào ~ , que é a forma irredutível 
81
fração — .
RE DUÇÃO DE F RAÇÕE S AO ME SMO DE N OMIN ADOR
3 1 7
Seiam as frações —, — e — •
' 5 4 10
a) Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, o qual 
será o denominador comum das frações dadas. O m.m.c. (5, 4 ,10) = 20.
b) D ividimos o denominador comum 20, pelo denominador de 
cada fraçào.
20 - 5 = 4, 20 -r 4 = 5, 20 * 10 = 2
MATE MÁTICA P ARA CON CURSO - NÚME ROS F RACION ÁRIOS 5 3
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c) Multiplicando esses quocientes pelos respectivos numeradores,
i r 1 2 5 14
obtemos os numeradores das frações. e ^
07 - Reduza, os conjuntos de frações abaixo, ao mesmo denominador.
3 3 3 1 , . 2 1 1 3 7 1 2 1
a) — b) — c) —
5 7 2 5 5 7 2 8 11 3 5 9
2 1 1 2 2 1 3 3 7 1 2 2
^ 7 ’ 8 ’ 3 ’ 4 t\ >6 , 4 , 2 8 ’ 3 ’ 5 ’ 1
CO MPARAÇÃO D E F RAÇÕ E S
a) Frações com o mesmo denominador
E xemplo:
4 2 5 3
—- é maior do que — - é maior do que ~
5 5 7 /
08 - D entre as frações abaixo, dizer qual a maior:
2 1_ 9 7 1 0 4_ 8
3 3 3 3 3 3 3
09 - D entre as frações abaixo, dizer qual a menor:
4 3 5 9 2 1 8
s V s V s V s
b) Frações com o mesmo numerador
E xemplos:
■2 , . , 2 1 1
— é maior do que — — é maior do que —
5 7 2 4
54 H ILDE R GÓE S * UBAJLDO T ON AR
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10 - D entre as frações abaixo, dizer qual a maior:
1 1 1 1 
7 ’ 8 ’ 9 ’ 4
11 - D entre as frações abaixo, dizer qual a maior:
3 3 _3_
i V l l
12- D entre as frações abaixo, dizer qual a menor.
I I 1 i
5 ’ 7 ’ 8 ’ 9
13 - D entre as frações abaixo, dizer qual a menor.
i i I
2 ’ 4 ’ 3
c) Frações com numeradores e denominadores diferentes 
■''Dçyerôo s jréduzii:;^ détionun <> d< >r. rei^ürido sxo;\
E xemplo:
2 1 8 3 2 , 1
—, — =>— , — => — e maior do que —
3 4 1 2 1 2 3 4
14 - Colocar em ordem decrescente:
4 3 2 1 9
15 - Pôr em ordem decrescente:
i 1 1 1 1 1
8 ’ 8 5 8 ’ 8 *8
MATE MÁTICA PARA CON CURSO - NÚME ROS F RACION ÁRIOS 5 5
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16 - Pôr em ordem crescente:
2 2 2 2 2 
5 ’ 7 J 4 ’ 3 ’ 9
17 - Pôr em ordem crescente:
i i 1 1 _ !
4 >3 ’ 8 ’ 7 >10
18 - E screver em ordem crescente:
5 ’ 5 * 3 ’ 7 ’ 2
19 - E screver em ordem crescente:
1 1 1 1 1 
3 V 4 ’ 7 ’ 2
N Ú ME RO MIST O
2 +
1
3 + 1
4
< )lhe ConiumeiUe o nmrie.tpíiítíÃtp eltpjrésínínaq s'eüi;b,'?íi\rJ.dcràt%ão; Bn
' ^ . ^ C V # ' - Y f
V/.-:' ..■:-2-tTí;= '-2-:-:-&\o t . . - - - v a . . v\ ■ . - "■ ■
T RAN SF ORMAÇÃO DE U M N Ú ME RO MIST O E M 
F RAÇÃO IMPRÓP RIA
Hicarsé o-ii/^ero/iíifeii'». pelp:
se o nun
aõ\rés.ultátip sõ 
fraoío dada - '
56 HILDE R GÓE S * UBALDO T ONAR
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E xemplos:
0 1 = 2 x 3 + 1 _ 7 1 _ 4 x 2 + l _ 9
“ 3 3 3 2 2 ~ 2
20 - T ransformar em frações impróprias, os números mistos abaixo 
relacionados.
- 1 1 1
a) 3 - d) 1- g) l i
b) 2 j e) 4-1 h) 2 j
4 5 5
C) 3 - f) 2 - 9 5 -
3 5 2
OPE RAÇÕE S COM F RAÇÕE S
ADIÇÃO
a) Frações com o mesmo denominador
■ ..!v r• ■v-; r! àenamin^dot/ cònilim::r':'r:yrí v ; \:A ■■ ?■ vV
ü i 5 3 7 15E x e m p lo s :---- h — H---- — —
17 17 17 17
E fetue as seguintes adições:
^ 4 1 222 - !---- !—
5 5 5
™ 2 3 123 - — l-----1—
7 7 7
5 3 2
2 4 ------ + - + —
6 6 6
3 1 3 2 _ 1 3 7 8
25 ---- !----- i------i---- 26 - — l---------- 1---- h —
11 11 11 11 9 9 9 9
™ 2 3 5 1
27 - -----1------ 1------ 1----
15 15 15 15
2 4 7 11
2 8 - — + — + — + —
12 12 12 12
MATE MÁTICA P AR A CON CU RSO - NÚME ROS F RACION ÁRIOS 57
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. . .
d) Frações com denominadores diferentes
2 3 8 9
E xemplos: — 1— = — -í---- = —
r 3 4 12 12 12
1 3 5 9— 4— —--- —
3 5 15 15
E fetue as adições abaixo:
1 3 1
2 9 - 1 + Í - + -
2 4 3
. , 2 1 5 
3 1 “ — i— ~
3 4 6
1 3 73U - — -----------
5 7 35
3 2
3 2 1— + __ + _ 
10 5 6
SUB T RAÇÃO:
a) Frações com o mesmo denominador 
';:;-;:;íÍ:S,úbLrai'‘Se os numeiradoíesvêjíão ̂ 'esiiitádo, dá̂ stí-lh .̂-eí-'
ü „ A - i L í - 1 - 1
15 15 _ 15 8 8 ~ 8
E etue as seguintes subtrações:
- 0 3 1 3 2
3 3 - - - - 3 4 - — - 3 5 -
S 8 4 4 7 7
8 3
/ C
5 8 2
3 6 - J L _ . Í _ 3 7 - - - 3 8 - -----------
1 5 1 5 7 1 7 1 3 1 3
, « 7 2 9 3 3 2
3 9 ---------------------
4 0 -------------- 4 1 -
9 9 1 4 1 4 5 5
58 H ILDE R GÓE S * UBÀÍJDO TONAR
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b) Frações com denominadores diferentes
llcd ;se.‘ja$Vfí'açoes-ao;íiíésm^
8 Ei.S6 ^ i^ BS# Si85i i l iS
4 3 _ 16 15 _ 1
5 4 ~ 20 20 ~ 20
E fetue as subtrações abaixo:
4 2 - Í - í 
5 3
3 2
45 - ~ ~ -
4 3 -
4 6 - - -
_9_
21
4 4 -
47
24
A
12
MU L T IP L ICAÇÃO:
a) Multiplicação de uma fração por um número 
" . ' ‘ "" ' ’ ' ^pum
iofíiiíiiiíèíifdái£rrfèí>rn
2 -v - 6 
— x 3 = — 
7 7
' 3 15
5x —= — 
4 4
b) Produto de duas ou mais frações
1 1 - 12. 
3 ' 4 ~~ 12
i 1 1 - l í 
3 5 2 ~~ 30
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2 2 ^ 3 0
4 8 - - x 2 4 9 - - x 5 5 0 - - x 2
5 7 7
51 - 7 x - 5 2 - 1 2 x i 5 3 - 7 x -
9 8 3
54 ~ — x 8 55 - 9 x — 5 6 - 2 1 x 1
15 5 4
„ 2 8 c o 2 2 c a 7 25 7 ---- x — 5 8 ----- X” 5 9 - — x —
4 16 3 9 5 8
^ 8 3 1 2 3 1 1 3 2
6 0 ---- x —- x — 6 1 - — x —x — 6 2 - — x — x~~
4 7 2 5 2 4 2 2 3
E fetuar as seguintes multiplicações:
OBSE RVAÇÕE S:
i) O inverso de um número
E xemplos: ^
O inverso de 3 é — O invetso de 13 é —
3 13
ii) O inverso de uma fração.
1
E xemplos: 3 4 2 7
O inverso de — é — O inverso de — é —
4 3 7 ' 2'
DIVISÃO:
a) D ivisão de uma fração por um número
r.;
60 HILDE R GÓE S * UBALDO T ON AR
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T? 1 3 . . 3 T 3 2 2 1 2
E xemplos: —-h 5 = —x —= — . — -i- 3 = - x — = —
4 . 4 5 ' 20 5 5 3 15
E fetuar as divisões abaixo:
6 3 -
3
— — 3 
5
6 4 -
8
6 5 - —+ 5
9
6 6 -
12
6 7 -
14
6 8 - 1 , 2
9
6 9 - 1 , 6
8
7 0 - 3 , — -s-5
14
7 1 - - - 5
7
b) D ivisão de um número por -uma fração
í : íu 1 tijpiicíí
-o ! * 3 „ 4 8 2 5 15E xemplos: 2 — = 2 x — = — 3 - — = 3 x — = —
4 v 3 3 5 2 2
E fetuar as divisões abaixo:
7 2 - 2 -r-i 7 3 - 3 - 1 7 4 - 3 * -
5 7 5
7 5 - 8 -5 -- 7 6 - 4 - ™ 7 7 - 8 - -
3 3 9
2 4 7
7 8 - 1 6 4 - - 7 9 _ 9 ^ _ 8 0 - 7 - —
3 7 15
c) D ivisão de uma fração por outra fração
MATE MÁTICA P AR A CON CU RSO ~ NÚME ROS F RACION ÁRIOS 6 l
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E xemplos: — —
4 7
1 ' 1 - Z L
4 5 ” 20
2 . ^ 1 - ! 3 _ 6
5 ’ 3 ~ 5 4 _ 20
E fetuar as divisões abaixo:
8 1 -
3 _ 2 
5 ‘ 5
8 2 -
2 , 3 
4 * 7
8 3 -
8 . 3 
12 ’ 6
OO 4*
- ( 1 . 3 
5 ’ 5
8 5 -
7 , 2
8 ’ 5
8 6 -
1 . 2
6 ‘ 7
iOO 2 t 3 
5 ’ 8
8 8 -
3 , 5 
7 ‘ 8
8 9 -
3 . 1 
9 ‘ 7
O BSE RVAÇAO :
t , , 2 1 2 3 4 9 13
E xemplos: — h 1 — — — H----- = — 1— = —
3 2 3 2 6 6 6
E X P R E SSÕ E S F R ACIO N ÁR IAS
É a reunião de números fracionários, unidos entre si, pelas opera­
ções de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Na solução de uma expressão fracionária, devemos efetuar as ope­
rações na seguinte ordem de prioridade
a) D ivisão
b) Multiplicação
c) Adição e subtração, simultaneamente
;::Vejá: .Qítt ndó,'iiumfèxp.íréss íiç-- fracLphávíí\ĵ gúra£ ,."ós) nais dè ;i;eüxiÍ2ó,' 
■' '•Y;tãísi£ çii»p:;C^^ cS í̂eí&dó/Yv;'
62 H ILDE R GÓE S * UB ALDO T ON AR
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E xemplo: Calcule a expressão: — h i + l - í
3 15 5j\ 3
Solução : *{ — +
_ 2 | M ,5 + 6
3 j 1 2 " í 15
2 + 1 5 3 J ” 3 0 * 3 0 3 0 ~ 3 0
MÁX IMO DIVISO R COMUM DE F RAÇÕE S
O m.d.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o 
m .d.c dos numeradores das frações dadas e para denominador o m.m.c. 
dos denominadores das mesmas frações.
E xemplo: Calcular o maior divisor comum das frações:
6 3 12
7 * 5 C 15
m.&c. (6, 3, 12) = 3 
m.m.c. (7, 5 ,1 5 ) = 105
E ntão, o M.D.C. será -1 —
105
MÍN IMO MÚ L T IPL O COMUM DE F RAÇÕE S
O m.m.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o 
m.m.c. dos numeradores das frações dadas e para denominador, o m.d.c. 
dos denominadores das mesmas frações.
E xemplo: Calcular o menor múltiplo comum das frações:
7 5 15
6 * 3 6 1 2
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m.m.c. (7, 5, 15) = 105 
m.d.c. (6, 3 ,1 2 ) = 3
. 105
Logo, o m.m.c. seta -----
1 1
F RAÇÃO E Q U ID IST AN T E D E D UAS O UT RAS
Para se calcular uma fração equidistante de duas outras frações, re­
duzimos as frações ao mesmo-denominador, sorriamos as frações resul­
tantes e dividimos por dois.
E xemplo: Calcule a fração equidistantedas fracoes — e
S 1 . 1 1 3 5 ' 5 3
So lução : — e — =i> — , —
5 3 15 15 -
A J L - A
15 15 “ 15
^ 2 - A ~ ±
15 ' ~ 30 ~ 15
Olhe: —
4_ 1
15 5
4 - 3
15 15
l_ 4 _ 
3 15
5 - 4
15
_5_
15
Calcule as expressões abaixo relacionadas:
7 1 2 1
3 — - + -
90 - -JL 91 _ _ 3 . 9 2 . 5— 3
o 1 3 13 - 2 - -------
4 6 4 7
64 HILDE R GÓE S * UBAJLDO T ONAR
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MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
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N Ú M ERO S D ECIM A IS
D E F I N I Ç ÃO
ínero aeciii^^ ̂ partes;
P arte I nteira: É a que fica à esquerda da vírgula 
P arte D ec im al: E a que fica à direita da vírgula 
E xemplo: No número 34,285 temos: 34 é a parte inteira e 285 é a 
parte decimal.
PR O P R IE D AD E S D O S N Ú M E R O S D E CIM AIS
P rim eira: Um número decimal não se altera quando se acrescen­
tam ou se suprimem um ou mais zero à direita de sua parte dec im al
E xemplos: 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000 ...
0,5000 “ 0,500 = 0,50 = 0,5
Segunda: Para se multiplicar um número dedmal por 10,100,1000,..., 
basta deslocar a vírgula para a direita; uma, duas, três,..., casas decim ais.„
E xemplos: E fetuar as seguintes operações:
a) 3,42 x 10 b) 0,165 x 100 c) 1,5 x 1000
So lução :
a) 3,42 x 10 — 34,2 b) 0,165 x 100 = 16,5 c) 1,5 x 1000 = 1500
6 6 H ILDE R GÓE S * UBALDO T ON AR
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T erceira: Para se dividir um número decimal por 1 0 ,1 0 0 ,1000,..., 
basta deslocar a vírgula para a esquerda; uma, duas, t r ê s , c a s a s decimais.
E xemplo: E fetuar as seguintes divisões:
a) 35,4 - 5- 10
b) 228,72 + 100
c) 23,4 - 1000
Solução :
a) 35,4 +. 10 = 3,54
b) 228,72 - 100 = 2,2872
c) 23,4 + 1000 = 0,0234
CO MPARAÇÃO D E N Ú M E R O S D E CIMAIS
a) As partes inteiras são diferentes:
"'; ■.¥>.‘m aio r
E xemplos:
3,2 é maior do que 1,879 2,1 é maior do que 1,32274
b ) As partes inteiras são iguais
á f ' :ys '.!'30■ - ■ V '*% r v̂-':-'0. ^ í :'
'r.‘;,:;'Iguála;mo§;-ó/nú ̂ ^eros.-■. r
v; - .Q tn^ò t tiiunié^s'é'i '̂ir< âüd^ G tídmal .-1
E xemplo:
Sejam os números 2,42 e 2,523
Igualando as casas decimais, resulta: 2,420 e 2,523. Como 523 é 
maior do que 420, então: 2,523 é maior do que 2,42.
E xemplo:
Sejam os números 2,6 e 2,542
Igualando as casas decimais, resulta: 2,600 e 2,542. Como 600 é 
maior do que 542, então 2,6 é maior do que 2,542.
MATE MÁTICA P AR A CON CURSO - NÚME ROS DE CIMAIS 67
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O P E R AÇ Õ E S C O M N Ú M E R O S D E CI M AI S
AD IÇÃO : ^yírgijíà^dçíiaí^; cle: yí
E xemplos 1,25 + 3,2 + 0,412 0,27 + 21,412 + 322,4
1, 25
3, 2 
0, 412
4, 862
0, 27 
21, 412 
322, 4 
344, 082
E fetuar as adições abaixo:
01 - 43,21 + 3,423 + 0,59
02 - 39,04 + 431,2 + 9,007
03 - 4,932 + 27,3005 + 74,007
04 - 9,007 + 0,53 + 0,92 + 40,009
05 - 7,95 + 1,8 + 9,82 + 8,2
06 - 9,4 + 0,28 + 0,074 + 9,0
07 - 2,8 + 13,24 + 29,35
08 - 9,78 + 3,09 + 5,36 + 0,0019
Respostas: 01 - 47,223 05 - 27,77
02 - 479,247 06 - 18,754
03 - 106,2395 07 - 44,69
04 - 50,466 08 - 18,2319
SUB T R AÇÃO ; iC o iò áí^ s ç ^ g^
E xemplos: 2,6 — 1,234 
2,600 
_ 1,234 
1,366
32,4 - 13,27 
32,40 
13,27 
19,13
6 8 HILDE R GÓE S * UBALDO T ON AR
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E fetue as subtrações abaixo:
09 - 43,2 - 21,234
10 - 19,378 - 8,6
11 - 0,533 - 0,2
12 - 37,25 - 9,8762
13 - 3,84 - 1,95438
14 . 3 _ 1/7495
15 - 2,784 - 1,9
16 - 8,005 - 7,08956
Respostas: 09 - 21,966
10 - 10,778
11 - 0,333
12 - 27,3738
13 - 1,88562
14 - 1,2505
15 - 0,884
16 - 0,91544
M U L T I P L I C A Ç Ã O :
E xemplos: 4,08 x 0,18
4,08 
x 0,18
3264
408
0,7344
3,84 x 2,5
3,84 
x 2,5
1920
768
9,600
E fetue as multiplicações abaixo:
1 7 -4 ,6 x 2,8
1 8 -2 ,4 x 0,6 
19 - 31,2 x 4,2 
2 0 -4 ,7 4 x 0,39
2 1 -4 7 ,8 4 5 x 1,035
22 - 0,844 x 3,5
23 - 12,8 x 3,2 
2 4 - 10,52 x 0,015
Respostas: 17 - 12,88 21 -49 ,519575
18 - 1,44 22 - 2,954
1 9 -1 3 1 ,0 4 2 3 -4 0 ,9 6
2 0 -1 ,8 4 8 6 2 4 -0 ,1 5 7 8
MATE MÁTICA P AR A CON CURSO - NÚME ROS DE CIMAIS 69
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E xemplos: 
'5,580 4- 2,5 0,16 h- 0,0025
5,580 2,500. 0,1600 0,0025
5800 2,232 100 64
800 000
5000
000
E fetue as divisões abaixo:
25 - 37,78 -r 1,6 29 - 8,4 + 280
26 - 48,7 4- 0,8 3 0 -0 ,1 6 + 0,0025
2 7 -0 ,8 4 8 1 6 + 0,72 3 1 -7 ,5 6 -s- 3,6
2 8 -0 ,6 4 8 - 0,036 3 2 - 0 ,8 4 + 1,4
Respostas: 2 5 -2 3 ,6 1 2 5 2 9 -0 ,0 3
26 - 60,875 30 - 64
2 7 -1 ,1 7 8 3 1 -2 ,1
2 8 - 1 8 3 2 - 0 ,6
CO N V E RSÃO D E F RAÇÃO O R D IN ÁR IA E M D E CI M AL
Para obtermos o número decimal equivalente à fração dada, dividi­
mos o numerador pelo denominador.
Vejamos, agora, algumas divisões separadas por casos:
1* CASO : ~ = 3,5 “ = 2,5 - =. 1,75
2 2 4
í$ .à£es'íjjtado s;':ebÜ^
7 0 H ILDE R GÓE S * UBALDO T ON AR
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2Q CASO :
- = 1,66... — = 0,33.
3 3 .
5 16
— = 0,4545... — = 1,77...
11 9
2 • 11 
-— = 0,1333... — = 1,833...
15 - 6
= 1,166...
O bserve que a parte decimal do quociente é formada por algaris­
mos que se repetem indefinidamente.
. Os resultados obtidos são chamados de N úm ero s D ec im ais P e­
riódicos ou D ízim as P erió dicas.
* erí(ido:' e- á' par té; ^úa,í.e’;repeí-.e; iadéfíhidaiiiontc nunrhi
: O lhe: À pe^òdÍGid.adé cjé um número ̂ îm^LijD^de
0,333 ... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 
0,41666 ... = 0,41(6) = 0,416 = 0,416
Converter as frações ordinárias abaixo, em números decimais:
1 3
33 - — 3 4 - —
2 5
3 5 - 36 - — 37 - — 38 - —
11 12 18
Respostas:
3 3 - 0,5 
37 - 0,41666...
34 - 0,06 35 - 0,625
38 - 3,88 . . . .
36 - 0,3636.
D IZ IM AS P E R I Ó D I C AS SI M P L E S E CO M PO ST A
O bserve as seguintes divisões:
5 1 5 16
— = 1,66... —= 0,33... - -= 0 ,4 5 4 5 ... — = \77...
3 3 11 9
MATE MÁT ICA P AR A CON CURSO - N tJME ROS DE CIMAIS 71
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Veja que os quocientes obtidos não são números decimais exatos. 
Isto porque os números 6, 3, 45 e 7 se repetem indefinidamente.
Números como 1 , 6 6 — ; 0,33... ; 0,4545... e 1, 7 7 . . . são chamados 
de D ízim as P erió dicas S im ples.
Veja as seguintes divisões:
— -0 ,1 3 3 ... — = 0,4166... “ = 1,833...
15 12 6
O bserva-se, também, , que nào são números decimais exatos. N ú­
meros como 0,133...; 0,4166... e 1,833... são chamados de D ízim as 
P erió dicas Co m po stas.
D ízima Periódica Simples: 1 ,666...: 
D ízima Periódica Composta: 1,933...
parte inteira: 1 
período: 6 
parte inteira: 1 
parte nào periódica: 9 
período: 3
Você deve ter observado que, tanto as dízimas periódicas simples 
como as compostas, se originaram da divisão do numerador pelo denomi­
nador de certas frações.
E ssas frações que deram origem, que geraram as dízimas, sao cha­
madas de G E RAT RIZ da dízima periódica. E ntão, G eratriz da D ízima 
Periódica é a fraçao que deu origem à dízima.
Vejamos, agora, as regras para calcularmos a geratriz das dízimas, 
isto é, as frações que deram origem às dízimas.
72 H ILDE R GÓE S * UBÀLDO T ON AR
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a) C álculo da G eratriz de um a D ízim a P erió dic a S im ples