Cálculo numérico

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Cálculo Numérico 
Prof. Dr. Arnaldo Machado da Silva
Modelagem e Resolução
Modelagem: Fase de obtenção de um modelo matemático que descreve um problema físico em questão. 
Resolução: Fase de obtenção da solução do modelo matemático através da obtenção da solução analítica ou numérica. 
Sistema de numeração e mudança de base
Usualmente, utilizamos o sistema de numeração decimal para representar números. Esse é um sistema de numeração posicional onde a posição do dígito indica a potência de 10 que o dígito representa.
Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos com potencias de 10.
Exemplo: O número 293 é decomposto como
293 = 2 centenas + 9 dezenas +3 UNIDADES =2 x 102 + 9 x 101 + 3 x 100
Sistema de numeração decimal ou base 10
Sistema de numeração decimal ou base 10
Exemplo:
Sistema de numeração binário ou base 2.
Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos com potencias de 2.
(Sistema binário). O sistema de numeração em base dois é chamado de binário e os algarismos binários são conhecidos como bits (do inglês binary digits). Um bit pode assumir dois valores distintos: 0 ou 1. Por exemplo:
Conversão de números
Conversão de números decimal → binário.
Para convertermos um numero decimal para um numero binário devemos aplicar um método para a parte inteira (divisões sucessivas) e um método para a parte fracionaria, se houver (multiplicações sucessivas).
Conversão de números decimal → binário
Conversão de números decimal → binário
Conversão de números decimal → binário
Número misto
Conversão de números binário → decimal.
Operações aritméticas entre números binários
Explicando: Os números binários são base 2, ou seja, há apenas dois algarismos: 0 (zero) ou 1 (um).Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se soma 1 com 1, o resultado é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0 (zero) e passa-se o outro 1 para a "frente", ou seja, para ser somado com o próximo elemento, conforme assinalado pelo asterisco, como no exemplo acima.
Divisão de binários
Divisão de binários
Lista de Exercícios
Lista de Exercícios
A notação científica é usada para representar números muito grandes ou muito pequenos, frequentes em áreas como a física e a química. 
Massa do próton = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 00167 kg 
Massa do elétron = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg 
Massa da Terra = 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg n Na base decimal, um número N expresso em notação científica tem a forma geral N = m x (ou N = mEe), onde 
m = mantissa (um valor entre 1 e 10) 
e = expoente (define a ordem de grandeza do número) 
Exemplos 
300 = 3 x (m=3 e=2); 
300 000 000 000 = 3 x (m=3 e=11) ou 3E11 
0,00000000000000000000000000167 = 1,67x= 1,67E27 (m=1,67 e=-27) 
0,0000000586 = 5,86 x ou 5,86E-8 (m=5,86 e=-8) 
-12 000 000 000 000 = -1,2 x ou (m=-1,2 e=13) -1,2E13
Notação Científica 
Representação dos números no formato “ponto flutuante” e sua aritmética.
A representação de números reais mais utilizada em máquinas é a do ponto flutuante . Esse número tem três partes: o sinal, a parte fracionária (mantissa) e o expoente,
 = mantissa 
p = precisão, que determina o número de dígitos na mantissa 
β = base de numeração 
e = expoente 
Exemplos
Sistemas de Numeração em Ponto Flutuante 
Exemplos
Exemplos
Armazenamento de Números em PF na Memória
Exemplos
Números Máximos e Mínimos em um Sistema de PF 
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Fórmula Geral
Exemplo 
Exemplo 
Intervalos de Representação em PF 
Exemplo 
Erros de Arredondamento
Representar em F(2,3,-3,3).
1. Convertendo para a base 2: (2,8)10 = 10,110011001100… 
 2. Normalizando: 0,1011001100… x 22 
3. Acertando a mantissa: ao se truncar a mantissa no terceiro dígito observa-se que quarto dígito da mantissa é 1, então tem que haver um arredondamento. 
4. Arredondando: 0,1011001100 … x 22 = 0,110 x 22 
5. Expoente: o valor do expoente do número normalizado (2) é menor do que o maior expoente positivo do sistema (+3).
6. Convertendo o número (0,110 x 22) para a base 10, obtemos: (1x2-1+ 1x2-2) x 22 = 3 
 Assim, o número real 2,8 é representado pelo número inteiro 3 no sistema de ponto flutuante F(2,3,-3,3). Ocorre, portanto, um erro de arredondamento. 
Erros de Arredondamento
Epsilon (“ε”) do Sistema 
Aritmética em Ponto Flutuante
Multiplicação:
Multiplica-se as mantissas e somam-se os expoentes
Divisão:
Divide-se as mantissas e diminuem-se os expoentes 
Calcular (0,2135 x 102) x (0,3064 x 10-2) em F(10, 4, -7, 7) 
Multiplicando:
1. (0,2135 ) x (0,3064) x (102-2) = 0,0654164 x 100 
2. Normalizando: 0,654164 x 10-1 
3. Ajustando a precisão para 4 dígitos: 0,6542 x 10-1 
 4. Observe que houve a necessidade de arredondamento 
 Resultado final: 0,6542 x 10-1
Soma e Subtração:
Soma-se/subtrai-se as mantissas
Calcular (0,1101 x 21) + (0,1010 x 20) em F(2, 4, -3, 3) 
Igualando-se o menor expoente ao maior: (0,1010 x 20) = (0, 01010 x 21) 
Somando-se as mantissas: 
 (0,1101) + (0,01010) = 0,1110010 
Resultado: (1,00100 x 21) 
Normalizando o resultado: (0,100100 x 22) 
Ajustando a precisão para 4 dígitos: (0,1001 x 22) 
Não houve necessidade de arredondamento n Resultado final: (0,1001 x 22)
Operações Críticas
Adição e Subtração de Números com Ordens de Grandezas Muito Diferentes
Nestes casos, geralmente o menor número perde muita precisão pois nesta situação seus dígitos menos podem ser descartados durante a operação. 
Calcular (0,1101 x 22) + (0,1010 x 2-1) em F(2, 4, -3, 3) 
1. Igualando-se os expoentes: (0,1010 x 2-1) = (0,0001010 x 22) 
2. Somando-se as mantissas: : (0,1101) + (0,0001010) = 0,11100010 
3. Resultado: 0,11100010 x 22 (já está normalizado) 
Ajustando a precisão para 4 dígitos: (0,1110 x 22) 
4 Observe que ao ajustar a mantissa para 4 dígitos, a contribuição do segundo número para a soma foi apenas 0,0001, descartando-se os dígitos 010 menos significativos.
Operações Críticas
Subtração de Números Quase Iguais 
Nestes casos, geralmente o menor número perde muita precisão pois nesta situação seus dígitos menos podem ser descartados durante a operação. 
Calcular (0,1011 x 2-1) - (0,1010 x 2-1) em F(2, 4, -3, 3) 
1. Expoentes já são iguais 
2.Subtraindo-se as mantissas: : (0,1011) - (0,1010) = 0,0001 
3. Resultado: (0,0001) x 2-1 
4. Normalizando: (0,1 x 2-3) x 2-1 = 0,1 x 2-4 
5. Ajustando a precisão para 4 dígitos: (0,1000 x 2-4) 
6. Observe que o expoente (-4) é menor do que o expoente mínimo do sistema (-3).
7. Conclusão: UNDERFLOW!!
E
 Mestre Mário