AULA 4 - FORMAÇÃO DE PREÇOS E PERCEP DE VALOR PARA O VAREJO (EGT0044)

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Cap 4- Introdução a matemática financeira: taxa, juros e descontos
Definição
Matemática Financeira. Valor do dinheiro no tempo. Conceitos fundamentais: capital, montante, juros, taxas e fluxos de caixa – relação nos diferentes regimes de capitalização e nas modalidades de desconto. Equivalência de capitais: comparação de valores em distintos instantes de tempo.
PROPÓSITO
Analisar valores monetários em diferentes instantes de tempo – fundamental para uma boa gestão de finanças pessoais e corporativas.
Preparação
Antes de iniciar, certifique-se de ter em mãos uma calculadora que seja capaz de realizar, além das operações básicas, potenciação e logaritmos. A calculadora de seu smartphone ou computador deve servir.
OBJETIVOS
Módulo 1- Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Simples
Módulo 2- Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Composta
Módulo 3- Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade 
Módulo 4- Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo
MÓDULO 1- Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Simples
Introdução
Vamos apresentar o Regime de Capitalização Simples, cujos conceitos são a base para o que iremos estudar nos demais módulos. Começaremos abordando os principais conceitos que utilizaremos ao longo dos diversos módulos: Capital, Montante, Prazos e Taxas de Juros.
Conceitos fundamentais
Os juros correspondem à remuneração do capital em uma operação de crédito, ou seja, são o valor pago pelo tomador de um empréstimo ao credor, para compensá-lo pelo capital cedido por um determinado prazo.
Assim, quando alguém toma dinheiro emprestado, para quitar a dívida contraída, é preciso devolver, na data acordada para o pagamento (Prazo), o valor do empréstimo (Capital) acrescido da remuneração do credor (Juros). À soma desses dois valores dá-se o nome de Montante.
O esquema acima ilustra uma operação de crédito. No instante inicial (t=0), o credor cede um capital ao tomador, que no prazo acordado (t=n) o devolve com juros.
A soma do capital (C) com os juros (J) recebe o nome de Montante (M):
M= C + J
Da mesma forma que na operação de crédito, os juros podem ser aplicados a uma operação de investimento. Quando você realiza uma aplicação financeira, o capital investido gera juros, produzindo um montante ao final do período de investimento.
Suponha que uma pessoa pegue 1.000 reais emprestados em um banco. Depois de algum tempo, essa pessoa quita a dívida pagando ao banco 1.010 reais.
Vamos calcular:
· Os juros
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C) e dos Juros (J), temos: M= C + J
Nessa operação: C=1000M= 1010
Logo: 1010=1000 + J → J= 10 reais
· A taxa de juros
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C) e dos Juros (J), temos:
Podemos determinar o valor percentual ao qual esses juros correspondem, fazendo:
Ou seja, os juros pagos corresponderam a 1% do capital.
Você saberia dizer se esses juros são altos ou baixos? Reflita um pouco.
Nesta análise, vamos imaginar duas situações, o empréstimo teve prazo de:
1 ano: Nesse caso, todos certamente considerariam os juros bem baixos (1% ao ano).
X
1 dia: Nesse, entretanto, o considerariam bem elevados (1% ao dia).
Observamos, então, que, para avaliar os juros, é preciso conhecer o prazo a que se referem. 
Os juros de uma operação podem, portanto, ser expressos como um percentual do capital em determinado prazo. A isso chamamos de taxa de juros.
Taxa de juros
Dado o que acabamos de ver, definimos taxa de juros (do inglês interest rate) como a razão entre os Juros e o Capital, expressa em porcentagem e referida a um determinado prazo:
Os prazos mais comuns aos quais a taxa de juros se refere podem ser:
	Prazo
	Abreviação
	ao dia
	a.d.
	ao mês
	a.m.
	ao bimestre
	a.b.
	ao trimestre
	a.t.
	ao quadrimestre
	a.q.
	ao semestre
	a.s.
	ano ano
	a.a.
	ao período
	a.p.
Fiquem atentos às abreviações, pois, de agora em diante, as usaremos bastante.
Suponha que um investidor aplicou 2.500 reais em um CDB e resgatou, 1 ano após a aplicação, 2.750 reais. Vejamos como calcular:
· Os juros
Nessa operação: M = C + J 
C= 2500
M= 2750
Logo:
2750 = 2500 + J
J = 2750 – 2500
250 reais
· A taxa de juros
Para calcularmos a taxa de juros, fazemos: 
A taxa de juros fica expressa ao ano (a.a.), pois o período da aplicação foi de 1 ano.
Notem que há uma distinção entre Juros e Taxa de Juros! Como vimos, eles não são a mesma coisa. Os juros são expressos em unidades monetárias: reais, dólares, euros etc. Já as taxas de juros são expressas em percentual e referidas a um período (dia, mês, ano etc.).
Assista ao vídeo e entenda um pouco mais sobre juros e taxa de juros.
https://player.vimeo.com/video/436914309
Regime de capitalização simples
Um Regime de Capitalização consiste na forma como os juros, incidindo periodicamente sobre o capital, se acumulam.
No Regime de Capitalização Simples, ou Juros Simples, somente o Capital Inicial rende juros. Assim, o valor dos juros que são acrescidos ao capital é calculado com base apenas no capital inicialmente investido.
Em cada período de capitalização simples, o valor dos juros a serem incorporados na operação é igual a:
J= C x i
Se um investidor aplica um capital (C) por n períodos em um regime de capitalização simples a uma taxa de juros igual a i ao período, temos que os juros calculados serão:
Após o 1º período: C×i
Após o 2º período: C×i
... ...
Após o n-ésimo período: C×i
J= C x i x n
E teremos um Montante (M) igual a:
M= C + J
M = C + C x i x n
M = C x ( 1 + i x n )
Essas são as expressões para os juros e montante no Regime de Capitalização Simples.
Lembre-se que o número de períodos (n) e a taxa de juros (i) devem estar na mesma unidade de tempo! Se n está expresso em meses, então i deve ser “ao mês”; se n estiver em anos, i deve ser “ao ano”, e assim por diante!
Exemplo: Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pago em 3 anos, a juros simples de 15% ao ano?
Para juros simples, temos que: M = C x ( 1 + i x n )
No enunciado, são dados: C= 2.000,00 = 15% aa = 0,15 n = 3 anos
Como ambos, i e n, estão expressos na mesma unidade de tempo, podemos substituir seus valores na expressão e obtemos o seguinte montante:
M = 2000 x (1 + 0,15 x 3)
M = 2000 x 1,45
M= R$2900,00
Podemos resumir o que se passou durante o período na tabela abaixo:
	Instante
	Juros
	Montante
	t = 0
	-
	2.000
	t = 1 ano
	2.000 x 15% = 300
	2.000 + 300 = 2300
	t = 2 anos
	2.000 x 15% = 300
	2.300 + 300 = 2.600
	t = 3 anos
	2.000 x 15% 300
	2.600 + 300 = 2.900
Repare que os juros anuais são sempre iguais a 300 reais, uma vez que são obtidos pela aplicação da taxa de juros de 15% sobre o capital inicial de 2.000 reais.
Taxas proporcionais e equivalentes em juros simples
Quando podemos dizer que duas taxas são equivalentes?
Quando são aplicadas ao mesmo capital (C) durante o mesmo prazo (n), produzem o mesmo montante (M). No caso de juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais.
Isso significa que a taxa anual será doze vezes maior que a mensal e duas vezes maior do que a semestral, por exemplo.
Exemplo: Uma taxa de juros simples de 1% a.m. é equivalente a uma taxa de 3% a.t., pois a taxa trimestral será 3 vezes maior do que a taxa mensal, uma vez que há 3 meses em um trimestre.
Assim, aplicar um capital de 100 reais por 3 meses a uma taxa de juros simples de 1% a.m. corresponde a aplicar os mesmos 100 reais por um trimestre a uma taxa de 3% a.t.:
100 x (1 + 1% x 3) = 100 x (1+ 3% x 1)
Mão na Massa
Parte superior do formulário
1. Você foi ao banco solicitar um empréstimo de R$ 1.000,00 por um mês, e o banco cobrou uma taxa de juros de 1,5% a.m. Quanto você pagará de juros nessa operação?
R$ 20,00
R$ 15,00
R$ 25,00
R$ 10,00
Parte inferior do formulário
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2. Um produto custou R$ 144,00,já com desconto de 20% sobre seu preço à vista. Se o comprador o tivesse adquirido com pagamento após um mês, pagaria 5% de juros sobre o preço à vista. Quanto teria pago se comprasse a prazo?
R$ 189,00
R$ 180,00
R$ 190,00
R$ 179,00
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3. Um banco aplica R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 15% a.m. por n meses. Após esse período, ele reaplica o montante obtido à taxa de juros simples de 20% a.m., por 4 meses, obtendo um montante final de R$ 234.000,00. Qual o prazo da primeira aplicação?
5 meses.
3 meses.
2 meses.
4 meses.
Parte inferior do formulário
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4. Um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros simples de 60% ao ano, rendeu R$ 900,00. Qual é o prazo da aplicação?
5 meses.
3 meses.
2 meses.
4 meses.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. Qual é o capital que, investido por 4 meses a uma taxa de juros simples de 2% a.m., gera um montante de R$ 1.080,00?
R$ 3.000,00
R$ 5.000,00
R$ 2.000,00
R$ 1.000,00
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
6. Calcule as taxas de juros simples mensais equivalentes às seguintes taxas:
I - 24% a.a.
II - 6% a.s.
III -16% a.q.
IV - 9% a.t.
V -3% a.b.
Assinale a alternativa com a sequência de resultados correta:
I - 2%a.m., II - 1%a.m., III - 4%a.m., IV - 3%a.m., V - 1,5% a.m.
I - 1% a.m., II - 2% a.m., III - 4% a.m., IV - 3% a.m., V - 1,5% a.m.
I - 2% a.m., II - 1% a.m., III - 3% a.m., IV - 1,5% a.m., V - 4% a.m.
I - 1% a.m., II - 1% a.m., III - 1,5% a.m., IV - 4% a.m., V - 1,5% a.m.
Parte inferior do formulário
Teoria na Prática
O regime de capitalização simples é incomum no mercado financeiro, mas podemos encontrar exemplos em empréstimos informais, como entre amigos ou familiares.
Imagine que João empresta R$ 1.000,00 a seu amigo Paulo, que se compromete a devolver R$ 1.050,00 após um ano. Quando chega a data do pagamento, Paulo diz que está com dificuldade, mas pagará R$ 1.100,00 após mais um ano. Ou seja, Paulo paga R$ 50 a João por cada ano do empréstimo ou 5% do valor emprestado (R$ 1.000,00).
Esse é um exemplo de capitalização simples: a taxa de juros de 5% incide sempre sobre o valor inicial (R$ 1.000,00), e não sobre o valor acrescido de juros (R$ 1.050,00 ao final do primeiro ano).
Estamos usando a expressão J=C×i, com C= R$ 1.000 e i = 5%. É importante reforçar que podemos escrever a taxa de juros de duas formas: i = 5% ou i = 0,05.
Verificando o aprendizado
Parte superior do formulário
1. Calcule o montante que um capital de R$ 2.000,00 gera a uma taxa de juros simples de 2% a.m., depois de cinco meses e meio:
R$ 220,00
R$ 22.000,00
R$ 2.105,00
R$ 2.220,00
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2. Um jovem aplica R$ 2.500,00 a juros simples pelo prazo de 2 meses, resgatando, ao final do prazo, R$ 2.657,50. A taxa anual da aplicação foi de:.
3,15%
37,8%
13,0%
9,6%
MÓDULO 2 - Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Composta
Introdução
O presente módulo apresentará o Regime de Capitalização Composta, o mais utilizado no mercado financeiro.
Regime de capitalização composta
No Regime de Capitalização Simples, os juros de cada período de capitalização são calculados exclusivamente sobre o Capital Inicial da operação. No entanto, a maioria das operações financeiras não são estruturadas no Regime Simples.
No Regime de Capitalização composta, ou Juros Compostos, a cada período de capitalização, os juros são incorporados ao capital do período anterior para servirem como base de cálculo dos juros no próximo período.
Chamando o Capital Inicial da operação de C, observamos que esse capital passa por uma série de aumentos sucessivos a uma taxa i. Como aumentar um valor em X% equivale a multiplicá-lo por (1 + x%), se a taxa de juros é igual a i, a cada período de capitalização, o capital é multiplicado por (1+i).
Ao final de n períodos, temos um montante final igual a:
Logo, da relação entre Montante, Capital e Juros, temos:
Substituindo a expressão que encontramos para o Montante nessa última equação, temos:
Exemplo: Quais são os juros e o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.200,00, após 3 meses, a uma taxa composta de 1% a.m.?
Notem a nomenclatura utilizada. O enunciado pede os juros e o Valor Futuro da aplicação.
Muitas vezes, o Capital e o Montante são chamados de Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF) da operação financeira, respectivamente. Então, vemos que a questão nos pede o Montante e os Juros. Vamos lá!
Para juros compostos, temos que:
Logo:
Agora vamos calcular os juros da operação. Para isso, fazemos: 
Vejam que para calcular os juros não precisamos usar a fórmula J=C x [(1+i)n – 1] . Bastou que calculássemos o Montante e subtraíssemos o Capital.
Taxas efetivas e nominais
Nem sempre a taxa de juros estará expressa na mesma unidade de tempo do período de capitalização, ou seja, o período em que os juros são incorporados ao capital.
Nesse caso, existem dois tipos de taxas:
Efetivas
Quando os períodos coincidem.
	Taxas Efetivas
	5% a.m. com capitalização mensal
	4% a.a com capitalização anual
	10% a.s.
	1% a.d.
Nominais
Nas situações em que a taxa de juros está expressa em unidade de tempo diferente da unidade de tempo do período de capitalização.
	Taxas Nominais
	10% a.b. com capitalização mensal
	12% a.a. com capitalização semestral
	6% a.m. com capitalização diária
	8% a.s. com capitalização trimestral
Notem que quando nada é dito sobre o período de capitalização, inferimos que se trata de taxa de juros efetiva.
Mais importante ainda, nas fórmulas que desenvolvemos para juros compostos, devemos sempre utilizar taxas efetivas! Caso tenha sido informada uma taxa nominal, devemos convertê-la para a taxa efetiva antes de aplicar a fórmula.
E como fazemos isso? Simples. As taxas efetiva e nominal são taxas proporcionais.
Vamos converter, então, as taxas nominais da tabela anterior em taxas efetivas:
	Taxas Nominais
	Taxas Efetivas
	10% a.b. com capitalização mensal
	
	12% a.a. com capitalização semestral
	
	6% a.m. com capitalização diária
	
	8% a.s. com capitalização trimestral
	
Taxas equivalentes
Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital (C) e pelo mesmo período (n), produzem o mesmo montante (M). No entanto, à diferença dos juros simples, as taxas proporcionais não são equivalentes para juros compostos!
Para encontramos taxas equivalentes em juros compostos, usamos a seguinte fórmula, em que as taxas são sempre efetivas, nunca nominais:
Onde n1 e n2 representam o mesmo período de tempo, mas estão expressos na unidade de suas taxas correspondentes.
Exemplo: A taxa composta mensal equivalente a 12% ao ano, pode ser determinada da seguinte forma:
Note que a taxa mensal equivalente a 12% a.a. não é 1% a.a. como nos juros simples! Em juros compostos, taxas proporcionais não são equivalentes.
Taxa real e taxa aparente
Como estamos falando do valor do dinheiro no tempo, não podemos deixar de falar de inflação. A inflação é o termo usado para designar a alta geral dos preços em uma economia. O seu oposto é a deflação, uma queda geral dos preços na economia.
Também podemos compreender a inflação como uma redução no poder de compra da moeda, pois, com os preços mais altos, a mesma quantidade de dinheiro compra menos produtos.
Sabemos, portanto, que a inflação altera o valor do dinheiro no tempo, exatamente como fazem os juros. Assim, quando aplicamos um determinado capital, o montante recebido ao final da operação não tem o mesmo poder de compra que teria no início da operação, pois foi corroído pela inflação.
Dessa forma, a taxa de juros que recebemos na aplicação é uma taxa aparente, pois não leva em consideração as perdas ocasionadas pela inflação. Se o efeito da inflação for descontado dessa taxa aparente, obtemos a taxa real da operação.
Por conseguinte, temos duas novas definições:
Taxa real
· É a taxa que representa o ganho efetivo do investimento;
· É obtida descontando-se o efeitoda inflação.
X
Taxa aparente
· É a taxa nominal da operação financeira;
· Possui embutida em si a inflação.
A relação entre as três taxas: taxa aparente, taxa de inflação e taxa real é dada por:
Nesta fórmula, as três taxas são taxas efetivas expressas no mesmo período. Em outras palavras, se estamos falando de um período de 1 ano, as três taxas devem ser taxas efetivas anuais. Portanto, antes de usarmos a fórmula, devemos converter as taxas para as mesmas unidades de tempo.
Exemplo: A taxa de juros oferecida por uma aplicação financeira de 1 ano foi de 6% a.a. Nesse período, a inflação acumulada foi de 3% a.a. Assim, podemos calcular a taxa real, uma vez que a taxa de inflação é de 3% a.a., e a taxa aparente é igual a 6% a.a. Temos:
Assista ao vídeo e entenda de forma mais detalhada a diferença entre taxa real e taxa aparente e veja um exemplo de como na compra de um produto, podemos confundi-las.
https://player.vimeo.com/video/437251801 
Taxas prefixadas e pós-fixadas
Vimos que as taxas de juros reais podem ser negativas e nenhum investidor quer ver seu dinheiro render menos do que a inflação. Pensando nisso, o mercado financeiro desenvolveu os títulos chamados de pós-fixados.
Nesses títulos, negocia-se a taxa de juros reais. Funciona da seguinte maneira:
No início da operação, o tomador e o credor acordam o valor de juros reais que serão pagos e um fator de atualização monetária – como, por exemplo, o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA)  – que será usado para compensar a inflação.
Assim, no início da operação, como não se sabe o valor da inflação futura, também não há como saber o valor do montante a ser pago para resgatar o título. Sobre esse tipo de operação, diz-se que está “em aberto”.
Quando o título vence, apura-se o valor do fator de atualização monetária (ou correção monetária) e calcula-se a taxa pós-fixada da operação, combinando o fator de atualização com a taxa de juros acordada no início da operação.
Chamando a taxa pós de i_pós, a taxa de correção monetária de icm e a taxa de juros acordada no início da operação de ijuros, temos:
Assim, em oposição aos títulos prefixados, quando se conhece a priori o valor do montante ao final da operação, nos títulos pós-fixados só se conhece o montante final na data do vencimento do título, ou seja, a posteriori.
Mão na Massa
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1. Aplicam-se R$ 1.000,00 durante 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. Ao calcularmos os juros dessa operação, obteremos:
R$ 20,00
R$ 20,05
R$ 20,10
R$ 20,01
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2. Por quantos meses devo aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 0,5% a.m. para obter R$ 10.000,00?
460 meses
450 meses
412 meses
462 meses
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3. Qual é o montante gerado por um capital de R$ 55.000,00, aplicado à taxa de 36% a.a. por um ano, com capitalização mensal composta?
R$ 78.416,85
R$ 87.416,85
R$ 78.410,58
R$ 87.614,85
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4. Qual a taxa efetiva anual equivalente a 10% ao ano, com capitalização semestral?
10,15% a.a.
10,25% a.a.
10,55% a.a.
10,45% a.a.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. Se a taxa de juros nominal for de 10% a.a., e a taxa de inflação for de 4% a.a., quanto vale a taxa de juros real?
8,5% a.a.
5,5% a.a.
6,5% a.a.
5,8% a.a.
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6. Um investimento de R$ 1.000 por um ano é remunerado com 50% a título de juros, mais a inflação do período, que ficou em 20%. Qual foi o montante final da operação?
R$ 1.300,00
R$ 1.500,00
R$ 1.800,00
R$ 1.600,00
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Teoria na Prática
A capitalização composta é a mais usada no mercado financeiro. Se você tem recursos investidos, ela trabalha a seu favor, fazendo o investimento crescer mais rapidamente. Uma dívida, porém, também irá crescer rapidamente.
Imagine que você entrou em R$ 100,00 no cheque especial do seu banco, que cobra juros (compostos) de incríveis 12,5% ao mês.
Se a capitalização fosse por juros simples, em um ano, essa dívida se transformaria em R$ 250,00, o que já não é pouco.
Para obter esse resultado, calculamos inicialmente os juros mensais, usando a expressão J=C×i, com C = R$ 100 e i = 12,5%: obtemos, então, R$ 12,50.
Depois, multiplicamos por 12 o número de meses. Com capitalização composta, porém, esse valor chega a R$ 410,99! Podemos usar uma calculadora financeira para obter esse resultado: fazemos i = 12,5; n = 12; PV = -100; PMT = 0; e pedimos, então, o cálculo de FV.
Taxas de 12,5% eram comuns nos bancos brasileiros até poucos anos atrás, mas o Banco Central do Brasil definiu que a taxa não pode ser maior que 8% ao mês, o que ainda é bastante alto: uma dívida de R$ 100,00 chega a quanto após 12 meses?
Cuidado com o cheque especial!
Verificando o aprendizado
Parte superior do formulário
1. Um fundo de investimento recebe uma aplicação de R$ 10.000,00 e oferece uma taxa efetiva de 5% a.a. com capitalização composta. Quais serão os juros auferidos após 36 meses?
R$ 1.576,25
R$ 1.500,00
11.576,25
67.918,16
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2. A inflação acumulada nos últimos seis meses foi de 3%. Um investimento rendeu 6% no mesmo período. Calcule a taxa de rendimento anual real desse investimento:
3%
6%
2,91%
5,91%
MÓDULO 3 - Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade
Introdução
Neste módulo, vamos estudar os descontos, operações que trazem valores futuros para instantes anteriores do tempo. Elas podem ser operações racionais ou comerciais.
Descapitalização ou desconto racional
A Descapitalização é a operação inversa da Capitalização.
Na Capitalização, os Juros (J) são incorporados a um Capital (C) para formar um Montante (M), ou seja, ao Valor Presente (VP) somam-se juros para formar um Valor Futuro (VF). 
Já na Descapitalização, os juros são retirados de um Valor Futuro para o cálculo do Valor Presente.
Assim, o desconto racional corresponde aos juros que seriam incorporados ao Capital na operação de capitalização.
Desconto comercial
Para entendermos os descontos comerciais, precisamos ver o que são os Títulos de Crédito.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde consta uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma determinada data (Vencimento) a um outro ente (Credor).
Exemplo: Como exemplos de títulos de Crédito, podemos citar: Duplicatas, Notas Promissórias, Letras de Câmbio, Cheque pré-datado, etc. Há pequenas diferenças entre esses diversos títulos: na duplicata, o Credor emite o Título, sendo, portanto, o Emissor. Já na Nota Promissória e no Cheque, o Emissor é o devedor.
A característica comum a esses títulos e que os torna relevantes no nosso estudo é a possibilidade de serem “descontados”.
Há duas situações que podem ocorrer com os descontos de títulos de crédito:
O devedor pode antecipar o pagamento da dívida, ou seja, resgatar o título antes do vencimento.
O credor pode necessitar o recebimento do valor da dívida antes do prazo e, para isso, “vende” o título de crédito a um terceiro.
Em qualquer das duas situações, haverá um “desconto” sobre o Valor de Face do título. No primeiro caso, o desconto servirá para recompensar o devedor pelo pagamento antecipado. No segundo caso, o “desconto” será a remuneração do terceiro que “comprou” o título. Essas duas operações são chamadas de Operações de Desconto.
Atenção: Cuidado com a Nomenclatura! Quando um devedor antecipa um pagamento ou um credor “vende” um título de crédito, dizemos que eles estão RESGATANDO ou DESCONTANDO o título.
Nessas operações, obtém-se o Valor Presente do Título (ou Valor Atual, ou Valor Descontado, ou Valor Líquido, ou Valor de Resgate), retirando-se do seu Valor de Face (ou Valor Futuro, ou Valor Nominal, ou Valor no Vencimento) o Valor do Desconto.
Assim, temos a seguinte relação:
VP=VF-Desconto
ou
Desconto=VF-VP
Exemplo: Imaginemos agora a seguinte situação: você possui uma duplicata com Valor Nominal (VF) igual a 1.100reais, vencendo em 1 ano. Contudo, você não quer esperar todo esse tempo para receber o Valor de Face da duplicata e decide antecipar seu recebimento, descontando o título em um banco.
O banco vai, então, oferecer um valor por esse título (VP), baseado no que ele quer receber de remuneração pela operação.
Suponhamos que o banco lhe ofereça a compra do título por 900 reais. Nesse caso, temos o seguinte valor para o desconto:
Desconto= VF-VP
Desconto= 1100-900 
= 200 reais 
Repararam que, na operação de descapitalização, o valor do desconto estava diretamente ligado à taxa de juros da operação de capitalização correspondente? 
Essa é uma situação típica de pagamento antecipado de dívidas.
Já no desconto comercial, o valor vai depender de negociação entre o credor, que deseja antecipar o recebimento do título, e o banco que vai descontá-lo.
Vamos ressaltar mais uma vez a nomenclatura que é utilizada nos descontos:
Desconto=VF-VP
Agora, veremos as 4 formas distintas de cálculo de descontos: o desconto comercial simples, o desconto racional simples, o desconto racional composto e o desconto comercial composto.
Desconto comercial simples ou desconto bancário, ou desconto “por fora” (D)
Esse é o desconto mais utilizado pelas Instituições Financeiras (bancos, empresas de factoring etc.) para o desconto de duplicatas e títulos de crédito em geral. Ele é um desconto comercial, ou seja, não se trata de uma operação de descapitalização, e é calculado com base no Regime Simples.
Reservaremos a letra maiúscula ‘D’ para representar o desconto comercial simples.
Como vimos, esses títulos de crédito possuem duas informações principais: o seu Valor Nominal (VN) e a data de vencimento, ou o prazo para o vencimento (n).
Usando essas informações, mais uma taxa de desconto comercial simples (id) oferecida pelo banco, podemos calcular o valor do desconto através da seguinte expressão:
Notem a semelhança com a expressão que utilizamos para o cálculo dos juros simples.
Como vimos, o valor atual de um título (VP) é dado pela diferença entre o Valor Nominal (VF) e o desconto (D). Logo, temos:
Desconto racional simples ou “por dentro” (D)
Este é o desconto utilizado em operações de descapitalização sob o Regime Simples ou linear. Reservaremos a letra minúscula ‘d’ para representar esse desconto, e chamaremos de id a taxa de desconto racional simples.
A expressão do desconto é dada por:
A diferença em relação ao desconto comercial simples está no fato de que o desconto comercial é calculado sobre o valor de face (VF), enquanto o desconto racional é calculado sobre o valor atual do título (VP).
Novamente, sabemos que o valor atual de um título é dado pela diferença entre o valor de face e o desconto. Logo:
Ou
Note, da expressão acima, que a taxa de desconto racional é a própria taxa da operação de capitalização no regime simples, ou seja, estamos realmente falando de uma operação de descapitalização.
Assista ao vídeo e entenda melhor o que é Desconto Racional Composto ou “por dentro” (DRC). Veja também exemplos de sua aplicabilidade e qual a sua importância. https://player.vimeo.com/video/437252526 
Desconto racional composto ou “por dentro” (DRC)
Este é o desconto mais utilizado nas operações de descapitalização, pois a maioria das operações de capitalização são efetuadas sob o regime composto.
Sabemos, do nosso estudo da capitalização composta, que:
Como vimos que o desconto é sempre dado pela diferença entre o Valor Nominal (VF) e o Valor Atual (VP), temos:
Desconto comercial composto ou “por fora” (DCC)
De forma similar ao desconto racional simples, esta forma de cálculo é utilizada em operações de desconto de títulos pelas instituições financeiras, porém com menos frequência do que o seu similar simples. Neste caso, temos:
Como o desconto é dado pela diferença entre VF e VP, temos:
Mão na Massa
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1. Suponha que você possui um título de Valor Nominal (VF) igual a R$ 1.100,00 e com vencimento em 1 ano. Além disso, a taxa de juros anual praticada no mercado é de 10% a.a. Qual é o Valor Atual (VP) desse título?
R$ 900,00
R$ 1.000,00
R$ 1.050,00
R$ 950,00
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2. Qual é o valor de desconto comercial simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
R$ 2.000,00
R$ 2.050,00
R$ 2.150,00
R$ 2.250,00
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3. Qual é o valor de desconto racional simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
R$ 1.956,52
R$ 1.556,52
R$ 1.765,25
R$ 1.865,25
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4. Qual é o valor de desconto racional composto de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
R$ 1.652,90
R$ 1.552,90
R$ 1.662,90
R$ 1.562,90
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5. Qual é o valor de desconto comercial composto de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
R$ 3.050,94
R$ 3.060,49
R$ 3.070,94
R$ 3.040,94
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6. Suponha agora que o valor do desconto seja de exatamente R$ 3.000,00 para um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses. Qual é a taxa de desconto?
0,5904
0,6
0,5805
0,9505
Teoria na Prática
Está chegando a Copa do Mundo e você resolveu comprar uma televisão nova para assistir a todos os jogos com seus amigos. Você escolheu a melhor TV da loja, mas precisou tomar um empréstimo.
Você se comprometeu a pagar R$ 10.000,00 ao seu emprestador, 12 meses depois, quando receberá um bônus no seu trabalho, a uma taxa de juros de 1% ao mês.
Mas você deu sorte e ganhou o bolão da Copa com os amigos do escritório! Foi um bolão generoso: após apenas um mês do empréstimo, você pôde quitar a dívida.
Usando o desconto racional composto, podemos calcular o valor do desconto que irá obter:
Note que usamos, porque você só recebeu o valor do bolão 1 mês após a compra. Usamos ainda.
Verificando o aprendizado
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1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, considerando uma taxa de desconto de 60% a.a.?
R$ 27.000
R$ 2.500
R$ 2.250
R$ 2.125
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2. Uma loja anunciou que venderia seus produtos com pagamento somente após três meses. João queria comprar um artigo por R$ 1.000,00 e propôs ao lojista pagar à vista com desconto racional simples de 2% ao mês. Se o lojista aceitar a proposta de João, quanto ele pagará?.
R$ 960,00
R$ 942,32
R$ 980,39
R$ 943,40
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MÓDULO 4 - Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo
Introdução
Neste módulo, vamos aprender a comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo, ou mesmo comparar diferentes fluxos de caixa, procedimento fundamental para uma boa gestão financeira.
Equivalência de capitais
Da mesma forma que vimos taxas equivalentes, dois capitais são considerados equivalentes se produzem o mesmo resultado final para o investidor/devedor, mesmo que estejam em diferentes instantes de tempo.
Vamos imaginar um Capital de 1.000 reais aplicado a uma taxa de juros de 10% a.a. Assim, o montante ao final de 1 ano será de:
Ou, graficamente:
Portanto, a uma taxa de 10% a.a., é indiferente receber 1.000 reais hoje ou 1.100 reais em um ano. Dizemos, então, que estes dois capitais são equivalentes, ou seja, 1.000 reais hoje equivalem a 1.100 reais em um ano, a uma taxa de juros de 10% a.a.
Essa é a ideia por trás da equivalência de capitais: permitir comparar valores monetários que estão expressos em datas diferentes, sob uma determinada taxa de juros.
Notem que não podemos comparar os capitais apenas observando seus Valores Nominais. Para compará-los, precisamos avaliá-los na mesma data.
Títulos de Créditosão papeis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde consta uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma determinada data (Vencimento) a um outro ente (Credor).
Assim, usamos a Capitalização para avaliar capitais em datas futuras e os Descontos para avaliá-los em datas passadas.
Vamos agora aprofundar esse estudo de equivalência de capitais, analisando os dois principais regimes de capitalização e descontos: o Regime de Juros Simples e o Regime de Juros Compostos.
Equivalência de capitais sob juros simples
Dizemos que dois capitais C1 e C2 são equivalentes, a uma mesma taxa de juros e para uma mesma data (data focal), se os seus valores, avaliados na data focal, forem iguais.
Vamos analisar o exemplo:
Como verificamos se os capitais C1 e C2 acima são equivalentes?
Para isso, precisamos definir uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Neste exemplo, vamos considerar a data focal como sendo 2017.
Como estamos lidando com juros simples, podemos lembrar da seguinte relação de capitalização em juros simples:
Assim, podemos avaliar o valor do capital C1 em 2017, fazendo:
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de C2, também avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 2017, a uma taxa de juros simples de 10% ao ano.
Da mesma forma, poderíamos ter descapitalizado C2 para trazê-lo à data focal de 2015:
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais C1 e C3 acima são equivalentes?
Para verificar se os capitais C1 e C3 são equivalentes, definimos novamente uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Vamos considerar, agora, a data focal como sendo 2016.
Avaliando o valor do capital C1 em 2016, temos:
Como o valor de C1, avaliado em 2016, é igual ao valor de C3, também avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 2016, a uma taxa de juros simples de 10% ao ano.
Vimos, então, que 1.000 reais em 2015 equivalem, sob juros simples de 10% a.a., a 1.100 reais em 2016 e a 1.200 reais em 2017.
Apesar disso, notem o que acontece quando comparamos C2 com C3: 
Avaliando o valor do capital C3em 2017, temos:
Ou seja, os capitais não são equivalentes!
Esse problema não ocorre quando usamos juros compostos.
Equivalência de capitais sob juros compostos
Vamos analisar um exemplo similar sob a ótica dos juros compostos. Vamos verificar se os capitais C1 e C2 são equivalentes:
Para juros compostos, temos:
Assim, podemos avaliar o valor do capital C1 em 2017, fazendo:
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de C2, também avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais C1 e C3 acima são equivalentes?
Avaliando o valor do capital C1 em 2016, temos:
Como o valor de C1, avaliado em 2016, é igual ao valor de C3, também avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros simples de 10% ao ano.
Se compararmos agora C3 com C2, o que teremos?
Avaliando o valor do capital C3em 2017, temos: 
Ou seja, os capitais são equivalentes.
Essa é uma propriedade fundamental dos juros compostos, que os distinguem dos juros simples. Se dois capitais são equivalentes em uma determinada data focal e a uma determinada taxa de juros, eles serão equivalentes em qualquer data focal.
Por isso, sempre usaremos juros compostos para analisar equivalência de capitais.
Equivalência de fluxos de caixa
Da mesma forma que podemos comparar dois valores monetários no tempo, podemos comparar dois fluxos de caixa. Vamos analisar os dois fluxos:
Trazendo todas as entradas e saídas de caixa para 2018, temos os seguintes valores presentes para os dois fluxos:
Como o valor presente dos dois fluxos de caixa são iguais, dizemos que são equivalentes. E isso vale para qualquer data focal escolhida.
Por exemplo, poderíamos calcular o valor final dos fluxos da seguinte forma:
Assista ao vídeo e entenda melhor como comparar valores monetários em diferentes instantes do tempo
https://player.vimeo.com/video/437252841 
Mão na Massa
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1. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 10% ao ano, equivalerá a que valor em 3 anos?
R$ 13.310,00
R$ 13.300,00
R$ 13.130,00
R$ 13.330,00
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2. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5% ao semestre, equivalerá a que valor em 3 anos?
R$ 13.300,46
R$ 13.400,46
R$ 13.500,46
R$ 13.600,46
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3. Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 4% a.m., em três prestações mensais. A primeira prestação vence em 1 mês e será de R$ 1.080,00. A segunda será de R$ 640,00. Qual é o valor da terceira prestação?
R$ 466,00
R$ 460,00
R$ 406,00
R$ 416,00
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4. Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 3% a.m., em duas prestações mensais. A primeira vence em 60 dias e será de R$ 600,00. Qual é o valor da segunda prestação?
R$ 414,73
R$ 454,37
R$ 474,73
R$ 447,37
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5. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 5% ao mês em duas prestações bimestrais, sendo a primeira de R$ 1.500,00. Qual é o valor da segunda prestação?
R$ 1.982,67
R$ 1.992,77
R$ 1.952,67
R$ 1.962,77
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6. Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais de R$ 1.000,00 nos próximos 3 anos. Seu diretor financeiro, no entanto, entende ser mais adequado substituir essa dívida por outra equivalente, com 2 pagamentos iguais ao final do segundo e do quarto anos. Se a taxa de juros é de 5% a.a., qual é o valor desses dois pagamentos?
R$ 1.547,40
R$ 1.547,50
R$ 1.537,40
R$ 1.537,50
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Teoria na Prática
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 daqui a um mês?
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem acesso. Empresas tomam decisões como essa a todo momento, das mais variadas formas.
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira:
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele costuma receber um mês depois (ou em “D+30”, como esse arranjo é conhecido). No resto do mundo, é comum que o lojista receba em apenas dois dias (modelo “D+2”).
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra usada no resto do mundo, mas nem todos os lojistas acharam isso uma boa ideia, e a proposta não foi adiante. Por quê? Receber em apenas 2 dias não seria melhor do que em 30 dias?
Após estudar este módulo, sabemos que a resposta é: “Não necessariamente!”.
Depende do quanto o lojista vai receber, ou seja, das taxas que os bancos vão cobrar para operacionalizar a venda no cartão de crédito em “D+2” ou “D+30”.
Se há pagamentos em diferentes instantes do tempo, há taxas de juros embutidas, mesmo que isso não seja explícito. Preste sempre atenção às taxas de juros “escondidas” dentro de outras taxas!
Voltando ao exemplo inicial: se a taxa de juros é igual a 5% ao mês, é equivalente receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 em um mês. Esses valores são equivalentes, como vimos, pois:
Se a taxa de juros for maior que 5% ao mês, é melhor receber daqui a um mês. Por exemplo, a uma taxa de 6% ao mês, R$ 1.000,00 equivalem a R$ 1.060,00 daqui a um mês, o que é melhor do que R$ 1.050,00.
Verificando o aprendizado
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1. Observe a figura a seguir:
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa equivalentes às entradas, considerando uma taxa de juros de 4% ao período, obteremos:
R$ 280,00
R$ 1.000,00
R$ 416,00
R$ 216,00
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2. Você pode pagar por determinado produto à vista, com desconto de 10%, ou parcelado em duas prestações iguais e mensais. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês depois. Qual é a taxa de jurosembutida nessa operação?
25% a.m.
20% a.m.
15% a.m.
12,5% a.m.
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Conclusão 
Aqui, você deu seus primeiros passos no campo da Matemática Financeira, e agora sabe calcular o valor do dinheiro em diferentes instantes do tempo. Isso é fundamental tanto para clientes de produtos financeiros (qualquer pessoa com conta corrente no banco, por exemplo) quanto para gerentes financeiros de grandes empresas.
Diversos profissionais trabalham cotidianamente com os conceitos que aprendemos aqui: juros, capital, fluxos de caixa e regimes de capitalização. Preste atenção e busque aplicações desses conceitos à sua volta: de promoções em lojas a manchetes de jornais sobre investimento ou política econômica. Você verá como os assuntos tratados aqui estão presentes em seu dia a dia.
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,1997.
ZIMA, P. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995.
Glossário: 
Taxa real: Taxa obtida pelo desconto da inflação na taxa aparente . Representa o verdadeiro ganho financeiro da operação.
Taxa aparente: Taxa contratada em uma operação financeira, por vezes chamada de taxa nominal.
Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA): Divulgado mensalmente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), este índice serve como a medida oficial de inflação no Brasil. Existem outros índices que medem a inflação, como o Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M) e o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC).