Gabarito da Lista de Exercícios 03
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Gabarito da Lista de Exercícios 03

Disciplina:Teoria Microeconomica III101 materiais287 seguidores
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
MICROECONOMIA III 2009.2
Professores: Antônio Marcos Hoelz Ambrózio e Hamilton Kai

Gabarito da 3º Lista de Exercícios

1)
A. Se não houver acordo antes de T=2, ambos os irmãos tem assegurado R$50,00 cada.
Com o resultado do jogo sendo par, Gabriel é o primeiro a fazer uma proposta de divisão do
dinheiro.
 Quem faz a proposta ganho de Lucas ganho de Gabriel
T=2 Lucas 100- δG*50=75 δG*50=25
T=1 Gabriel δL*75=15 100-δL*75=85
Jogo termina em T=1 com ENPS=(Gabriel=R$85, Lucas=R$15)
B.
i) FALSO
 Quem faz a proposta ganho de Lucas ganho de Gabriel
T=2 Lucas 100- δG*50=75 δG*50=25
T=1 Gabriel δL*75=30 100-δL*75=70
Jogo termina em T=1 com ENPS=(Gabriel=R$70, Lucas=R$30)
ii) FALSO
 Quem faz a proposta ganho de Lucas ganho de Gabriel
T=2 Gabriel δL*50=10 100-δL*50=90
T=1 Lucas (100-δG*90)= 55 δG*90=45
Jogo termina em T=1 com ENPS=(Gabriel=R$55, Lucas=R$45)
iii) FALSO=> Para ambos, quanto maior a parcela do dinheiro que couber a cada um
melhor. Os termos da barganha não se modificaram. Assim, os resultados da divisão não se
alteram se a utilidade aumentar.
iv) VERDADEIRO
 Quem faz a proposta ganho de Lucas ganho de Gabriel
T=2 Lucas 100- δG*60=70 δG*60=30
T=1 Gabriel δL*70=14 100-δL*70=86
Jogo termina em T=1 com ENPS=(Gabriel=R$86, Lucas=R$14)
2)
Em T=2B, o jogador 1 aceita a proposta sse S2≥ δ.S - c

Em T=2A, o jogador 2 propõe o menor S2 possível, logo S2= δ.S- c. Dessa forma, o
jogador 1fica com δ.S - c e o jogador 2 fica com 1- (δ.S-c).
Em T=1B, o jogador 2 aceita sse 1-S1≥ δ.(1- δ.S + c) – c => 1- δ(1- δ.S + c) + c ≥S1
Em T=1A, como resultado, o jogador 1 propõe o maior S1 possível, logo
S1=1- δ.(1- δ.S+c) + c . O jogador 2 fica com δ.(1- δ.S+c ) - c.

Para determinar o ENPS devemos dizer o que cada jogador faz em cada situação em que

é chamado a jogar. O jogador 1 oferece s1 = 1 - δ 2(1 - δ 1(s)+c) + c em 1.A e aceita a

proposta do jogador 2 em 2.B se s2 > δ1(s) –c e rejeita caso contrario,

independentemente do que ocorreu em 1.A.

Já o jogador 2 aceita a proposta de 1 se s1 < 1 - δ 2(1 - δ 1(s)+c) +c e rejeita caso contrário.
E caso venha a fazer proposta, oferece S2= δ.S- c para o jogador 1 em T=2A.
3)
a)
Se não houver acordo antes de T=2, o jogador 2 tem assegurado s.
Assim ele concordaria de receber δ.s em T=2.
Concordaria também de receber (δ2).s em T=1
O resultado será , no início do jogo,
O jogador 1 recebe [1- (δ2).s], o jogador 2 aceita [(δ2).s] e o jogo termina.
(b)
Quanto T tende a infinito, o jogador 2 tem assegurado s.
O jogador 2 aceita em T-1 receber δ.s
Concordaria também de receber (δ2).s em t=T-2
Por indução retroativa, chegamos a que em t=1, o jogador 2 aceitaria
receber (δT).s.
Como δ < 1, e T é infinto => [(δT).s] tende a zero.
No início do jogo,o jogador 2 aceitaria receber 0 do prêmio se T tender a
infinito.
Independente de s, o fato de a barganha poder ser jogada ao infinto, gera um
equilíbrio onde, no primeiro lance, o jogador 1 se apropria integralmente
do premio.
4)
Usando o procedimento de indução retroativa para um jogo de barganha alternada com T
períodos e divisão exógena no final de (s,1-s), podemos perceber que o payoff do jogador 1

será s1 = 1- δ + δ2- δ3 + δ4- δ5.....+ δT.s ( faça um jogo em 2 , 3, 4, 5, ...T períodos e
verifique!) Se T tende a infinito, série converge (0<δ<1) e claramente pode ser resolvida
como uma soma de uma progressão geométrica (onde o último termo- que envolve s –
tende a zero). O resultado dessa soma, como aprendido no ensino médio, será 1/(1+ δ), que
é exatamente o resultado encontrado no caso de horizonte infinito. Para o jogador 2, seu
payoff no limite dessa soma será δ/(1+ δ).
5)

a) Não há valores de y, c e w maiores que zero tais que seja possível obter um ENPS
onde o trabalhador irá se esforçar. Isso é facilmente visível fazendo a indução
retroativa do jogo em árvore: será visto que o único resultado de ENPS será a firma
não pagar o trabalhador (quer este se esforce ou não) e o trabalhador, antecipando
isso, não se esforçar.

b) Sabemos que no segundo período iria ocorrer o resultado de ENPS do jogo simples,
onde os jogadores iriam jogar não esforçar e não pagar. No primeiro período então,
antecipando que o resultado do segundo período não será afetado por decisões em
t=1, os jogadores buscam maximizar seus ganhos de um período, e novamente as
escolhas são não se esforçar e não pagar.

 Assim, vemos que uma estratégia em que o trabalhador se compromete a esforçar e
a firma a pagar no primeiro período não é sustentável como ENPS, pois não é ENPS
no jogo estágio. Logo, a resposta não se altera com a modificação.

 c) Dado a taxa de desconto δ = ¾, as condições para que a firma e o trabalhador
cooperem são:

Trabalhador: (w-2)/(1-δ)≥ 0 (a firma obs a escolha do trabalhador antes de decidir
pagar ou não). Ou seja: w ≥ 2

Firma: (10-w)/(1-δ) ≥ 10
 w ≤ 7,5
Assim, é possível obter um ENPS cooperativo se w estiver no intervalo [2 , 7.5].

d) Sim. O problema advinha do fato de que, no jogo repetido uma única vez, era

preferível não pagar o salário uma vez que a firma observou o comportamento do
trabalhador. Em um jogo repetido indefinidamente, construir uma reputação de boa
pagadora pode ser bom para a firma. Se os trabalhadores têm confiança na empresa,
será melhor se esforçar e ganhar w-c (w maior ou igual a c) do que não ganhar nada.
Por outro lado, para a firma, é melhor ganhar (y-w)/(1-δ) do que 10 em um
momento e depois não ganhar nada. Os trabalhadores podem observar o
comportamento da firma e adotar a estratégia de não se esforçar se algum de seus
companheiros não tiver recebido salário em algum momento no passado. A ameaça
é crível e faz com que a firma se comporte honestamente.

6)

a) S1= {(X1;X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10), onde Xi= A1,A2 ou A3}

 S2= {(Y1;Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Y10), onde Yi= B1,B2 ou B3}
b) Sim. Considerem a seguinte estratégia.
Jogador1: Jogar A1 no 1o período. No 2o, se observar A1B1, joga A2. Se observar

qualquer resultado diferente de A1B1, joga A3
Jogador2: Jogar B1 no 1o período. No 2o, se observar A1B1, joga B2. Se observar

qualquer resultado diferente de A1B1, joga B3.
 Esse resultado é um ENPS? Atentem para o que está escrito na página 86 do

Gibbons, final do 1o parágrafo: Se um jogo estático de informação completa possui mais de
um equilíbrio de Nash, então pode haver resultados de subjogos do jogo repetido um
número finito de vezes no qual, exceto no último período, o resultado não é um equilíbrio
de Nash. O ponto crucial é que ameaças críveis ou promessas sobre o comportamento
futuro podem influenciar o comportamento presente.

 No nosso caso a estratégia apresentada constitui um ENPS. Em primeiro lugar, em
t=2 é fácil verificar que dado a estratégia de cada jogador, o outro estará dando sua melhor
resposta (para cada resultado em t=1, alcança-se um EN em t=2, sendo que o melhor EN é
alcançado quando o resultado em t=1 é A1B1). Finalmente, dado a resposta esperada em
t=2, os jogadores não tem incentivo em desviar de suas estratégias em t=1: o jogador 1 se
segue a estratégia, recebe 10 + 5 = 15; caso desvie, jogaria A3, ganhando 13 em t=1 mas
apenas 1 em t=2 (total de 14). Raciocínio análogo vale para o jogador 2. Podemos ainda
verificar isso trazendo os payoffs dos jogadores para o primeiro período. Vamos somar à
cada célula o resultado que ocorrá na 2a rodada caso cada célula seja jogada no 1o período.
No caso das estratégias descritas acima, teríamos:

15; 15 3;13 1;14
13;3 6;6 1;1
14;1 1;1 2;2

 Por esse esquema , vemos que A1 B1 pode ser atingido no 1o período como

resposta ótima dos jogadores e assim o par de estratégias escolhido será um ENPS.
c)Sim. Nesse caso, jogar i2 no primeiro período e i3 no 2o período,