Gabarito da Lista de Exercícios 03
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Gabarito da Lista de Exercícios 03


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 
MICROECONOMIA III 2009.2 
Professores: Antônio Marcos Hoelz Ambrózio e Hamilton Kai 
 
Gabarito da 3º Lista de Exercícios 
 
1) 
 
A. Se não houver acordo antes de T=2, ambos os irmãos tem assegurado R$50,00 cada. 
Com o resultado do jogo sendo par, Gabriel é o primeiro a fazer uma proposta de divisão do 
dinheiro. 
 Quem faz a proposta ganho de Lucas ganho de Gabriel 
T=2 Lucas 100- \u3b4G*50=75 \u3b4G*50=25 
T=1 Gabriel \u3b4L*75=15 100-\u3b4L*75=85 
 
Jogo termina em T=1 com ENPS=(Gabriel=R$85, Lucas=R$15) 
 
B. 
 
i) FALSO 
 Quem faz a proposta ganho de Lucas ganho de Gabriel 
T=2 Lucas 100- \u3b4G*50=75 \u3b4G*50=25 
T=1 Gabriel \u3b4L*75=30 100-\u3b4L*75=70 
Jogo termina em T=1 com ENPS=(Gabriel=R$70, Lucas=R$30) 
 
ii) FALSO 
 Quem faz a proposta ganho de Lucas ganho de Gabriel 
T=2 Gabriel \u3b4L*50=10 100-\u3b4L*50=90 
T=1 Lucas (100-\u3b4G*90)= 55 \u3b4G*90=45 
Jogo termina em T=1 com ENPS=(Gabriel=R$55, Lucas=R$45) 
 
iii) FALSO=> Para ambos, quanto maior a parcela do dinheiro que couber a cada um 
melhor. Os termos da barganha não se modificaram. Assim, os resultados da divisão não se 
alteram se a utilidade aumentar. 
 
iv) VERDADEIRO 
 Quem faz a proposta ganho de Lucas ganho de Gabriel 
T=2 Lucas 100- \u3b4G*60=70 \u3b4G*60=30 
T=1 Gabriel \u3b4L*70=14 100-\u3b4L*70=86 
Jogo termina em T=1 com ENPS=(Gabriel=R$86, Lucas=R$14) 
 
2) 
 
Em T=2B, o jogador 1 aceita a proposta sse S2\u2265 \u3b4.S - c 
 
Em T=2A, o jogador 2 propõe o menor S2 possível, logo S2= \u3b4.S- c. Dessa forma, o 
jogador 1fica com \u3b4.S - c e o jogador 2 fica com 1- (\u3b4.S-c). 
 
Em T=1B, o jogador 2 aceita sse 1-S1\u2265 \u3b4.(1- \u3b4.S + c) \u2013 c => 1- \u3b4(1- \u3b4.S + c) + c \u2265S1 
 
Em T=1A, como resultado, o jogador 1 propõe o maior S1 possível, logo 
S1=1- \u3b4.(1- \u3b4.S+c) + c . O jogador 2 fica com \u3b4.(1- \u3b4.S+c ) - c. 
 
Para determinar o ENPS devemos dizer o que cada jogador faz em cada situação em que 
é chamado a jogar. O jogador 1 oferece s1 = 1 - \u3b4 2(1 - \u3b4 1(s)+c) + c em 1.A e aceita a 
proposta do jogador 2 em 2.B se s2 > \u3b41(s) \u2013c e rejeita caso contrario, 
independentemente do que ocorreu em 1.A. 
Já o jogador 2 aceita a proposta de 1 se s1 < 1 - \u3b4 2(1 - \u3b4 1(s)+c) +c e rejeita caso contrário. 
E caso venha a fazer proposta, oferece S2= \u3b4.S- c para o jogador 1 em T=2A. 
 
3) 
 
a) 
 
Se não houver acordo antes de T=2, o jogador 2 tem assegurado s. 
Assim ele concordaria de receber \u3b4.s em T=2. 
Concordaria também de receber (\u3b42).s em T=1 
O resultado será , no início do jogo, 
O jogador 1 recebe [1- (\u3b42).s], o jogador 2 aceita [(\u3b42).s] e o jogo termina. 
 
(b) 
 
Quanto T tende a infinito, o jogador 2 tem assegurado s. 
O jogador 2 aceita em T-1 receber \u3b4.s 
Concordaria também de receber (\u3b42).s em t=T-2 
Por indução retroativa, chegamos a que em t=1, o jogador 2 aceitaria 
receber (\u3b4T).s. 
Como \u3b4 < 1, e T é infinto => [(\u3b4T).s] tende a zero. 
No início do jogo,o jogador 2 aceitaria receber 0 do prêmio se T tender a 
infinito. 
Independente de s, o fato de a barganha poder ser jogada ao infinto, gera um 
equilíbrio onde, no primeiro lance, o jogador 1 se apropria integralmente 
do premio. 
 
 
4) 
 
Usando o procedimento de indução retroativa para um jogo de barganha alternada com T 
períodos e divisão exógena no final de (s,1-s), podemos perceber que o payoff do jogador 1 
será s1 = 1- \u3b4 + \u3b42- \u3b43 + \u3b44- \u3b45.....+ \u3b4T.s ( faça um jogo em 2 , 3, 4, 5, ...T períodos e 
verifique!) Se T tende a infinito, série converge (0<\u3b4<1) e claramente pode ser resolvida 
como uma soma de uma progressão geométrica (onde o último termo- que envolve s \u2013 
tende a zero). O resultado dessa soma, como aprendido no ensino médio, será 1/(1+ \u3b4), que 
é exatamente o resultado encontrado no caso de horizonte infinito. Para o jogador 2, seu 
payoff no limite dessa soma será \u3b4/(1+ \u3b4). 
 
5) 
 
a) Não há valores de y, c e w maiores que zero tais que seja possível obter um ENPS 
onde o trabalhador irá se esforçar. Isso é facilmente visível fazendo a indução 
retroativa do jogo em árvore: será visto que o único resultado de ENPS será a firma 
não pagar o trabalhador (quer este se esforce ou não) e o trabalhador, antecipando 
isso, não se esforçar. 
b) Sabemos que no segundo período iria ocorrer o resultado de ENPS do jogo simples, 
onde os jogadores iriam jogar não esforçar e não pagar. No primeiro período então, 
antecipando que o resultado do segundo período não será afetado por decisões em 
t=1, os jogadores buscam maximizar seus ganhos de um período, e novamente as 
escolhas são não se esforçar e não pagar. 
 Assim, vemos que uma estratégia em que o trabalhador se compromete a esforçar e 
a firma a pagar no primeiro período não é sustentável como ENPS, pois não é ENPS 
no jogo estágio. Logo, a resposta não se altera com a modificação. 
 
 c) Dado a taxa de desconto \u3b4 = ¾, as condições para que a firma e o trabalhador 
cooperem são: 
Trabalhador: (w-2)/(1-\u3b4)\u2265 0 (a firma obs a escolha do trabalhador antes de decidir 
pagar ou não). Ou seja: w \u2265 2 
 
Firma: (10-w)/(1-\u3b4) \u2265 10 
 w \u2264 7,5 
Assim, é possível obter um ENPS cooperativo se w estiver no intervalo [2 , 7.5]. 
 
d) Sim. O problema advinha do fato de que, no jogo repetido uma única vez, era 
preferível não pagar o salário uma vez que a firma observou o comportamento do 
trabalhador. Em um jogo repetido indefinidamente, construir uma reputação de boa 
pagadora pode ser bom para a firma. Se os trabalhadores têm confiança na empresa, 
será melhor se esforçar e ganhar w-c (w maior ou igual a c) do que não ganhar nada. 
Por outro lado, para a firma, é melhor ganhar (y-w)/(1-\u3b4) do que 10 em um 
momento e depois não ganhar nada. Os trabalhadores podem observar o 
comportamento da firma e adotar a estratégia de não se esforçar se algum de seus 
companheiros não tiver recebido salário em algum momento no passado. A ameaça 
é crível e faz com que a firma se comporte honestamente. 
 
6) 
 
a) S1= {(X1;X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10), onde Xi= A1,A2 ou A3} 
 S2= {(Y1;Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Y10), onde Yi= B1,B2 ou B3} 
 
b) Sim. Considerem a seguinte estratégia. 
Jogador1: Jogar A1 no 1o período. No 2o, se observar A1B1, joga A2. Se observar 
qualquer resultado diferente de A1B1, joga A3 
Jogador2: Jogar B1 no 1o período. No 2o, se observar A1B1, joga B2. Se observar 
qualquer resultado diferente de A1B1, joga B3. 
 Esse resultado é um ENPS? Atentem para o que está escrito na página 86 do 
Gibbons, final do 1o parágrafo: Se um jogo estático de informação completa possui mais de 
um equilíbrio de Nash, então pode haver resultados de subjogos do jogo repetido um 
número finito de vezes no qual, exceto no último período, o resultado não é um equilíbrio 
de Nash. O ponto crucial é que ameaças críveis ou promessas sobre o comportamento 
futuro podem influenciar o comportamento presente. 
 No nosso caso a estratégia apresentada constitui um ENPS. Em primeiro lugar, em 
t=2 é fácil verificar que dado a estratégia de cada jogador, o outro estará dando sua melhor 
resposta (para cada resultado em t=1, alcança-se um EN em t=2, sendo que o melhor EN é 
alcançado quando o resultado em t=1 é A1B1). Finalmente, dado a resposta esperada em 
t=2, os jogadores não tem incentivo em desviar de suas estratégias em t=1: o jogador 1 se 
segue a estratégia, recebe 10 + 5 = 15; caso desvie, jogaria A3, ganhando 13 em t=1 mas 
apenas 1 em t=2 (total de 14). Raciocínio análogo vale para o jogador 2. Podemos ainda 
verificar isso trazendo os payoffs dos jogadores para o primeiro período. Vamos somar à 
cada célula o resultado que ocorrá na 2a rodada caso cada célula seja jogada no 1o período. 
No caso das estratégias descritas acima, teríamos: 
 
15; 15 3;13 1;14 
13;3 6;6 1;1 
14;1 1;1 2;2 
 
 Por esse esquema , vemos que A1 B1 pode ser atingido no 1o período como 
resposta ótima dos jogadores e assim o par de estratégias escolhido será um ENPS. 
 
c)Sim. Nesse caso, jogar i2 no primeiro período e i3 no 2o período,