Aula 03_Calculo Param LT

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ET720U
Características das Linhas de 
Transmissão
Cálculo de Parâmetros
1
Análise das Características Elétricas da Linhas de 
Transmissão
Função das Linhas de Transmissão:
• Transferir potência das usinas geradoras para as regiões de carga
• Interconectar áreas permitindo o despacho econômico da potência em
condições de operação normal
• Transferir potência enetre áreas durante condições de emergência
As linhas de transmissão apresentam características elétricas tais como R L 
C e G.
A condutância para LT aéreas representa a perda através das correntes
parasitas nas cadeias de isoladores e caminhos ionizados pelo ar. Estas
perdas são muito pequenas e a condutância pode ser desprezada.
2
Linha de Transmissão Aérea
Uma linha de transmissão é formada por :
• Torres;
• Condutores de fase ;
• Cabos Para-Raios;
• Isoladores.
Elas podem ser linhas de :
• Circuito simples;
• Circuito duplo;
• Circuito múltiplo.
A seleção econômica do nível de tensão é função da potência a ser
transmistida e da distância da transmissão. 
Após a seleção os condutores são otimizados para minimizar as perdas
(RI2) na linha, o ruído audível e a rádio interferência.
3
• Componentes de uma linha de 
transmissão:
(1) condutores;
(2) isoladores (cadeia de isoladores de 
porcelana ou vidro);
(3) estruturas de suporte (torres, postes);
(4) cabos para-raios (cabos de aço 
colocados no topo da estrutura para 
proteção contra raios).
Componentes da LT aérea
As tensões nas linhas são padronizadas.
• 69 kV; 138 kV; 230 kV
• 230 kV; 345 kV; 440 kV; 500 kV; (EAT)
• 500 kV ; 765 kV (UAT) 
Existem linhas de 1000 kV – transporte de grandes
blocos de potência (4 GW).
Os condutores de fase normalmente são do tipo ACSR 
(alumínio com alma de aço) – proporcionam alta
resistência mecânica.
Os condutores são formados por cabos encordoados para 
terem maior flexibilidade.
5
• Condutores de alumínio (linhas aéreas):
 ACSR (alumínio com alma de aço): aço mais barato que alumínio, a alma de aço o faz ser mais resistente à 
tração (admite lances maiores) → é o mais utilizado.
Sigla 
(Inglês/Português)
Significado (Inglês/Português)
AAC / CA all aluminum conductor (alumínio puro)
AAAC / AAAC all aluminum alloy conductor (liga de alumínio pura)
ACSR / CAA aluminum conductor steel reinforced (alumínio com
alma de aço)
ACAR / ACAR aluminum conductor alloy reinforced (alumínio com
alma de liga de alumínio)
outros para aplicações especiais
Tipos de condutores
• ACSR (alumínio com alma de aço): aço mais barato que alumínio, a alma de aço o faz ser mais resistente à 
tração (admite lances maiores) → é o mais utilizado;
• Liga de alumínio: alumínio + magnésio/silício, por exemplo;
• Os condutores são nus (não há camada isolante);
• Condutores são torcidos para uniformizar a seção reta. Cada camada é torcida em sentido oposto à anterior 
(evita que desenrole, empacotamento é melhor).
Cabos ACSR
Exemplos ACSR
• Cabos ACCC (Aluminum Composite Conductor Core) – núcleo de carbono envolvido por fibra de vidro. As 
fibras de carbono esticam menos que o aço. A fibra de vidro não resulta na corrosão típica que ocorre no 
contato aço/alumínio.
 Mais caro;
 Maior capacidade de corrente;
 Menor flecha;
 Maior vão entre torres (vão de 500 m) => LT mais barata.
Cabos CAAA
• Cabos de cobre (linhas subterrâneas): sólidos ou encordoados. Antigamente condutores isolados impregnado 
em óleo. Atualmente existem outros tipos de isolação (PEX).
Cabos subterrâneos
Para tensões acima de 230 kV normalmente se utilizam mais de um 
condutor por fase (feixe de condutores).
Os feixes convencionais são normalmente formados por 02 – 03 e 04 
sub-condutores dispostos em geometria regular.
Estão sendo estudadas linhas para transportar grandes blocos de energia
que irão utilizar 8 – 10 – 12 sub-condutores. Estes feixes podem ter
geometria especial, obtidas da otimização do campo elétrico e 
magnético em torno dos condutores.
A linha de 1000 kV da China tem 8 sub-condutores por fase (geometria
regular).
O feixe aumenta o raio efetivo da fase equivalente e divide a corrente da 
fase entre os sub-condutores.
11
Tipos de Estruturas: Torres
• Torre tubular/Poste 
 Torres tubulares são estruturas de metal e concreto reforçado nas quais os condutores (fios) são instalados. 
O tipo de construção do poste e o número de condutores normalmente indicam o nível de tensão do 
circuito.
Tipos de Estruturas: Torres
• Torres de Transmissão:
 Torres de transmissão são grandes estruturas de metal utilizadas para conduzir as linhas. Usualmente são 
encontradas nos arredores de áreas metropolitanas.
Tipos de Estruturas: Torres
• Torre Treliçada (LST – Lattice Steel Tower): 
 Consiste em vigas de metal que são soldadas ou parafusadas de forma a sustentar o peso.
• Poste/Torre Tubular (TSP – Tubular Steel Pole): 
 Consiste em tubos ocos de metal que são fabricados como uma única peça ou pequenas peças que são 
montadas juntas.
LST 500 kV – Circuito 
Simples.
LST 500 kV – Circuito 
Duplo. 
TSP 500 kV – Circuito 
Simples.
TSP 500 kV – Circuito 
Duplo. 
Tipos de Estruturas: Torres
• Tamanho da estrutura: depende do nível de tensão, da topografia e do tipo da torre. Por exemplo, uma torre 
treliçada (LST) com circuito duplo de 500 kV possui altura variando entre 45 a 60 metros, enquanto uma torre 
treliçada com circuito único de 500 kV varia entre 25 e 60 metros. Torres com circuito duplo são maiores que 
torres de circuito único, pois as fases da primeira são verticalmente dispostas e a fase mais próxima ao solo 
deve manter uma distancia mínima do solo, enquanto as fases da torre de circuito simples são dispostas 
horizontalmente. Quanto maior o nível de tensão, maior a distância que deve separar as fases para prevenir 
interferências e curtos-circuitos. Logo, circuitos de nível de tensão elevados são alocados em torres 
horizontalmente maiores. 
LST 220 kV – Circuito 
Simples.
LST 220 kV – Circuito 
Duplo.
LST 500 kV – Circuito 
Simples.
LST 500 kV – Circuito Duplo.
Tipos de Estruturas: Torres
• Duas torres de circuito duplo de alta tensão:
Tipos de Estruturas: Torres
• Torre tubular de circuito duplo:
Tipos de Estruturas: Cadeia de Isoladores (Vidro)
Tipos de Estruturas
Isolador utilizado em linhas de 415 V.
Linha de 415 V com cabos aéreos multiplexados 
(ABC).
Linha de 415 V com 4 condutores e duas linhas 
de serviço isoladas.
Linhas de distribuição de 415 V:
Tensão: 415 V;
Número de condutores: 4 condutores;
Tipo de isoladores: Pinos pequenos;
Altura da linha: Usualmente 6 ou 7 metros 
(pode ser tão baixa quanto 4,5 metros).
Tipos de Estruturas
Linha de 11 kV (três condutores superiores) com 
linha de 415 V (quatro condutores embaixo).
Isolador de 11 kV.
Disco de isolação de 11 kV.
Linhas de 11 kV:
Tensão: 11 kV;
Número de condutores: 3 condutores nus;
Tipo e número de isoladores: Um disco de isolação ou um 
pino de isolação de três discos menores;
Altura da linha: 8 a 9 metros acima do chão (linhas de 11 kV 
são usualmente montadas 2 metros acima das linhas de 415 V).
Tipos de Estruturas
Linha SWER* de 19 kV:
Tensão: 19.000 V (19 kV);
Número de condutores: Único condutor nu.
Este tipo de linha é comumente encontrado em áreas 
rurais.
Linha Monofilar com Retorno por Terra (MRT) 
(SWER*) de 19 kV.
* SWER: Single Wire Earth Return – Condutor único com retorno pela terra.
Tipos de Estruturas
Linha de 33 kV:
Tensão: 33 kV;
Número de condutores: 3 condutores nus;
Tipo e número de isoladores: 3 discos isoladores ou 
pinos isoladores feitos de 3 discos menores;
Altura da linha: 10 a 20 metros. 
Discos isolantes de vidro utilizados em linhas de 
33 kV.
Linha de 33 kV, com dois conjuntos de 
condutores.
Tipos de Estruturas
Linha de 66 kV:
Tensão: 66 kV;
Número de condutores: 3 condutores 
ativos nus;
Tipo e número de isoladores: 5 ou 6 
discos isoladores ou pilha feita de 12 
discos menores;Altura da linha: 10 a 20 metros.
Linha wishbone de 66 kV.
Linha vertical de 66 kV.
Discos 
isoladores 
utilizados em 
linhas de 66kV.
Pilha de pequenos 
discos isoladores 
utilizada em linhas de 
66 kV.
Tipos de Estruturas
Tipos de Estruturas
• Linhas de Distribuição:
 Linhas de distribuição são utilizadas para levar a energia da subestação de distribuição até as casas e 
comércios. A eletricidade conduzida pelas linhas de distribuição tem tensão que pode variar de 220 V 
(baixa tensão) a 69 kV (média tensão). 
Ramal de Serviço
Baixa Tensão (220 V)
Média Tensão (11,9 kV)
Tipos de Estruturas
Rede aérea compacta (primária) e multiplexada (secundária).
Tipos de Estruturas
Rede aérea compacta (primária).
Cruzamento aéreo com interligação entre rede secundária isolada e 
rede secundária nua (somente para CPFL Santa Cruz).
Tipos de Estruturas
• Rede multiplexada (secundária).
Valores Típicos de LT aérea de EAT
• Alturas dos condutores de fase
• Altura dos cabos P.R.
• Distância entre fases
• Distância entre cabos P.R.
• Distância entre sub-condutores
• Vão
 
0,457 m 0,457 m 
0
,4
5
7
 m
 
0,457 m 
29
Dados Linha de Transmissão - 345 kV
30
31
Parâmetros elétricos – 230 kV
32
33
Dados Linha de Transmissão - 500 kV
34
35
Parâmetros elétricos – 500 kV
36
Dados Linha de Transmissão - 765 kV
37
38
Parâmetros elétricos – 765 kV
Dados Linha de Transmissão - 1000 kV
Y+ 5,33 mS/km 
39
Valores Típicos
Nível 
Tensão [kV] 
345 500 765 
HPR [m] 30 40 60 
HPR - Hf [m] 7 10 10 
Dfase [m] 17 11 29 
DPR [m] 12 25 28 
R1 [/km] 0,03 0,015 0,016 
X1 [/km] 0,37 0,27 0,36 
R0 [/km] 0,35 0,32 0,35 
X0 [/km] 1,5 1,5 1,4 
 
40
Tensão ótima de operação
Para se obter a tensão ótima de operação de uma linha de
transmissão supõe-se que o campo elétrico na superfície do
condutor é, em condições balanceadas, próximo da condição de
efeito coroa.
Em função do número de condutores no feixe, raio do condutor,
geometria do feixe obtém-se a tensão ótima.
• O aumento do número de condutores no feixe associado ao
aumento das dimensões do feixe resulta em aumento do nível da
tensão ótima.
41
Efeito Coroa
O efeito coroa corresponde à ionização da região em
torno do condutor.
Este efeito aumenta a “resistência” do condutor, gerando
mais perdas (perda por efeito coroa) e aumentando o
amortecimento da linha para perturbações transitórias.
A capacitância da linha varia durante a ocorrência do
efeito coroa.
42
Efeito Coroa - Imagens
43
Campo elétrico no solo 
Define-se um valor limite do campo elétrico sob a linha, a meio do
vão, onde os condutores de fase se encontram mais próximos do
solo.
Deve-se compor a contribuição de todas as fases para uma
determinada tensão de operação escolhida (ou uma gama de
tensão a analisar).
O campo elétrico no solo está associado a uma altura mínima do
condutor de fase mais próximo do solo.
Valor típico : Emáx = 10 kV/m (CA)
CC – 25-30 kV/m
• Raio do condutor tem pouca influência, sendo mais significativo
o número de condutores no feixe (geometria do feixe).
44
45
90 % SIL
50 % SIL
Campo elétrico
Campo magnético
Campo magnético
46
150 % SIL
Campo magnético 
Flecha 
O cálculo da flecha máxima é realizado considerando diversas 
condições de carregamento da linha, ou seja, diferentes 
temperaturas dos cabos, para vão médios definidos. 
Valores típicos de vão : 400 – 450 – 500 m.
Temperaturas associadas aos carregamentos 
• Condutor de fase : 75 – 90 C
• Cabo P.R. : 45 – 60 C
Tensão de tração (EDS) – 20 % da tensão de ruptura
Temperatura EDS
• Condutor de fase : 25 C
• Cabo P.R. : 25 C
Vento máximo/temperatura associada
• 150 km/h – 10 C
47
Dados de alguns condutores
onde :
T0 – tensão de ruptura
E – módulo de elasticidade
a - coeficiente de dilatação linear
Cabo Peso [kN/km] T0 [kN] a [1/C] E [kN/mm
2
] 
Ruddy 14,8 109,4 19 71,1 
Cardinal 18 149,7 19,44 67,6 
PR – EHS-A-3/8 4 68,5 11,52 191,2 
 
48
Passos para obtenção da flecha dos condutores
• Obtém-se a tensão de ruptura EDS
• Calcula-se a flecha associada à tensão de ruptura
• Calcula-se a flecha para as temperaturas desejadas
 12112 ttLLL a
onde L – comprimento do cabo a uma determinada temperatura
• Calcula-se a tensão de ruptura associada ao vento máximo
Considera-se o peso virtual do condutor compondo o peso real com a força 
resultante da pressão do vento máximo
A tensão associada ao vento máximo deve ser no máximo 30 % da tensão 
de ruptura do cabo.
49
Exemplo
RUDDY 
EDS 20 % carga ruptura 
Vão [m] T [C] Carga [kN] Flecha [m] 
400 25 21,9 13,56 
450 25 21,9 17,16 
Vento Máximo 150 km/h 
Vão [m] T [C] Carga [kN] Flecha [m] 
400 10 41,8 7,1 
450 10 42,18 8,91 
Temperaturas máximas 
Vão [m] T [C] Carga [kN] Flecha [m] 
400 75 19,3 15,4 
450 75 19,73 19,04 
400 90 18,7 15,9 
450 90 19,19 19,58 
 
EHS-3/8 
EDS 20 % carga ruptura 
Vão [m] T [C] Carga [kN] Flecha [m] 
400 25 13,7 5,78 
450 25 13,7 7,32 
Vento Máximo 150 km/h 
Vão [m] T [C] Carga [kN] Flecha [m] 
400 10 22,52 3,52 
450 10 23,24 4,32 
Temperaturas máximas 
Vão [m] T [C] Carga [kN] Flecha [m] 
400 45 12,38 6,4 
450 45 12,53 8 
400 60 11,52 6,88 
450 60 11,77 8,52 
 
50
ATENÇÃO
OBSERVEM QUE A FLECHA DOS CONDUTORES DE FASE 
É MAIOR DO QUE A DOS CABOS P.R.
51
Aspectos Físicos Básicos 
Numa linha de transmissão ocorrem fenômenos de propagação de ondas 
eletromagnéticas.
Trata-se de fenômeno “guiado” pelos condutores e o solo com campo 
eletromagnético concentrado em torno dos condutores, que se atenua 
transversalmente.
A potência é transmitida no espaço da vizinhança dos condutores com 
densidade definida pelo vetor de Poynting S dado por 
onde
E – vetor campo elétrico associado à tensão entre os condutores (e entre 
condutores e solo)
H – vetor campo magnético associado à corrente nos condutores (e no solo).

 HES
52
Vetor de Poynting
Para um único condutor por fase, com distância entre 
fases >> raio do condutor, os campos E e H, na 
vizinhança do condutor, são aproximadamente 
ortogonais e atenuam-se com 1/r , onde r – distância ao 
eixo do condutor. 
Pode-se concluir que S atenua-se com 1/r2 e o fluxo de 
energia no espaço ocorre dominantemente na 
proximidade imediata dos condutores. 
53
Propagação de ondas 
A análise exata da propagação de ondas é bastante complexa, devido a :
• O solo não é plano nem homogêneo e suas características não são 
conhecidas com precisão. 
• A configuração geométrica da linha é relativamente complexa para 
efeitos de definição do campo eletromagnético correspondente, se 
considerarmos a flecha dos condutores, a forma das torres e os 
isoladores.
• Ocorrência de efeito coroa.
• No caso dos cabos para-raios deve-se considerar a não linearidade das 
características magnéticas.
54
Hipóteses adotadas
É usual fazer algumas simplificações :
• Supor o solo plano e homogêneo.
• Supor que a linha é constituída por condutores paralelos entre si e 
paralelos ao solo, sendo seus raios muito inferiores às distâncias 
envolvidas.
• Desprezar o efeito terminais das linhas e das torres no cálculo do campo 
eletromagnético.
• Simplificar o efeito coroa.
• Supor os cabos P.R. com permeabilidade magnética constante.
• Os cabos de fase, compostos de fios encordoados com alma de aço, são 
representados por um condutor com seção reta com a forma de coroa 
circular, onde a corrente na alma de aço é desprezada.
55
Análise em Regime Permanente das Linhas de 
Transmissão
A integração das equações de campo foi feita por Carson em 1926.
• Dois condutores cilíndricos k e m de extensão infinita e
paralelos entre si, de pequeno diâmetro face a distância entre eles
e o solo, paralelos ao solo.
• O solo foi considerado plano, de constante dielétrica nula e
condutividade uniforme e constante, invariável com a
frequência.
• A condutividadedo ar foi suposta uniforme e muito inferior a do
solo, podendo ser suposta com condutividade nula, enquanto que
no solo a condutividade foi suposta constante e finita.
56
Campo eletromagnético em torno da LT
zy
zx
z
E
x
Hj
E
y
Hj
H
t
Erot
Como
EE












57
• No ar, o campo magnético é resultante da somatória das
componentes do campo devido à corrente no condutor e outra
devido à corrente no solo.
• Desenvolvendo as relações entre o campo elétrico e o campo
magnético obtém-se relações de tensão na superfície do
condutor e corrente no interior do condutor, representada
por impedância longitudinal da linha.
58
• Esta impedância tem uma parcela obtida supondo o solo
como um condutor perfeito, de condutividade infinita, e
outra parcela considerando que o solo tem condutividade
finita. A parcela devido ao solo ideal (condutor perfeito) é
composta de duas parcela :
– Impedância devido ao campo no exterior dos condutores.
– Impedância devido ao campo no interior dos condutores
(uma vez que os raios dos condutores são muito menores
do que as distâncias entre os condutores e entre os
condutores e o solo).
59
Parâmetros Longitudinais 
A matriz primitiva longitudinal corresponde à matriz de impedância série
por unidade de comprimento de uma linha de transmissão com n
condutores (sub-condutores fase e cabos para-raios).
Esta matriz é formada por :
– Contribuição do condutor supondo dimensões do condutor muito
menores do que as demais distâncias envolvidas e solo condutor
perfeito
– Contribuição na condição de solo e condutores ideais supondo campo
magnético externos aos condutores (condutividade infinita)
– Contribuição do solo (solo com condutividade finita)
60
Impedância Interna 
A impedância interna por unidade de comprimento de um condutor
cilíndrico com seção reta em forma de coroa circular.
• Raio externo R1 e raio interno R0
• À medida que a frequência aumenta, a densidade de corrente
concentra-se em maior grau na superfície do condutor e diminui
bastante na região central do condutor.
• Este fenômeno é denominado Efeito Pelicular (“Skin Effect”).
• Ele é devido à alteração do fluxo magnético e da densidade de
corrente.
• Resulta na modificação da resistência e indutância internas por unidade
de comprimento, fazendo com que estas variem em função da
freqüência.
61
Efeito Pelicular
• Componentes longitudinais do campo elétrico e as componentes
tangenciais do campo magnético
• Essas grandezas foram supostas senoidais com frequência angular 
e os comprimentos de onda muito superiores às dimensões
transversais.
– l para 60 Hz = 5000 km
– l para 1 MHz = 300 m
62
Analisando os campos elétrico e magnético






m








EJ
HB
ED
JD
t
JHrot
B
t
Erot
Equações de Maxwell
temos:
1SsdBjldE
SL



2SsdJldH
SL



63
       
   
 rBj
r
rErrE
rxrBjrErrEx







r
E
j
rHrHj
r
E
rFazendo
cond
cond







m
m
1
)()(
0
0
)(
2
2
2
2


Erj
dr
dE
r
dr
Ed
r
rEEcomoeldiferenciaequaçãoàsechega
condcond m
      rrJrHrrrHrr
SerfícieaAnalisando
  222
2sup
     
EJcomo
rJ
r
rrHr
r
rHrrrHr
cond






rErH
r
rH
r
rquando
cond 




)(
)(
0
Analisando a superfície S1
64
condcondjrpara m 
0E
d
dE
d
Ed 2
2
2
2





)()()( 0201  KCICE
soluçãocom

dr
dE
j
HComo
condm 

1
 
dr
d
KCIC
j
H
cond


m
 )()(
1
)( 1211 


 )()()( 1211 
m

 KCIC
j
H
cond



65
Condições de contorno – C1 e C2
O campo magnético é nulo para r = R0 :
As correntes no condutor são nulas para r < R0;
A corrente no condutor é dada por :
condcondjR m  00
 
)(
)(
)()(0
01
01
2
1
012011



m

I
K
C
C
KCIC
j
H
cond
cond 


condcondcondcond
condcond
R
R
cond
S
R
R
condcond
S
jd
dr
j
r
jrcomo
drrEdrrEdsEdsJI
mm

m

1
22.
1
0
1
0


  

66
Impedância interna
A relação entre o campo elétrico longitudinal na superfície 
exterior do condutor e a corrente I será a impedância longitudinal 
do condutor por unidade de comprimento Zc .
       
       11010111
01100110
12
1



m
KIKI
IKKI
R
j
XcjRcZc
cond
cond







I0, I1, K0 e K1 são funções de Bessel.
cond é a condutividade do condutor.
mcond é a permeabilidade magnética do 
condutor
67
Zc para corrente contínua
Cabos Para-Raios
• Fazendo R0, e, portanto, 0 tender a zero, Zc tende a impedância interna por unidade 
de comprimento de um cilindro homogêneo de raio R1 (cabo P.R.)
 
 11
10
12
1



m
I
I
R
j
XcjRcZc
cond
cond 




Condutor de fase – CC
•Para  pequeno, de modo que |0| e |1| sejam pequenos
2
0
2
1
11
RR
RcZc
cond  

68
Quando a densidade de corrente no condutor puder ser considerada 
uniforme
1a. parcela – resistência em CC (ou para j muito pequeno)
2a. parcela – reatância para j muito reduzido, densidade de corrente 
no condutor suposta uniforme.
Zc para baixas frequências
69
Altura média dos condutores na torre
Normalmente se obtém a altura média dos condutores a partir da altura dos 
condutores na torre e a flecha para o carregamento máximo. 
maxtorremédia flecha
3
2
hh 
70
Resistência CC
Resistência CC por unidade de comprimento de um condutor sólido
(para uma temperatura específica):
A
ρ
R cc 
A resistência do condutor é afetado pela frequência, temperatura e
encordoamento do condutor.
Onde : - resistividade do condutor [.m];
A - área de seção transversal [m2];
71
A resistência do condutor aumenta com a temperatura (linearmente,
dentro da faixa de temperaturas de operação de uma LT):
1
2
12
tT
tT
RR



Onde:
R2 e R1 são respectivamente as resistências nas temperaturas t1 e t2
[C].
T – é uma constante que depende do material, para alumínio
T = 228.
72
Condutividade do condutor
A condutividade do condutor por unidade de comprimento é obtida a partir
da resistência do condutor em corrente contínua. 
 2021CC RR
1
R
1


73
Exercício 
Para uma LT com 01 condutor por fase e 02 cabos para-raios, calcule a
impedância interna dos condutores.
Dados dos cabos de fase : cabo Rail
Diâmetro externo : 0,02959 m
Diâmetro interno : 0,00739 m
Resistência CC a 25 °C [/km] : 0,05988
Permeabilidade magnética relativa : 1
Flecha a meio vão [m] : 13,43
Cabo Para-Raios : EHS 3/8”
Diâmetro externo [m] : 0,009144
Resistência CC a 25 °C [/km] : 4,188
Permeabilidade magnética relativa : 70
Flecha a meio vão [m] : 6,4
Resistividade do solo [.m] : 2000
74
 
3 2 
4 5 
1 
3
,4
4
 m
 
3
,7
 m
 
0
,4
5
 m
 
3
0
,5
 m
 
2 , 2 m 
8 , 50 m 8 , 50 m 
12 , 5 m 
75
Cálculo aproximado


















m





2
0
2
1
0
1
2
0
2
1
4
0
2
0
2
1
2
0
2
1
R
8
3
R
8
1
R
R
ln
)RR(2
R
RR
j
RR
11
XcjRcZc
Zint = 0,05988 + j 0,0163417 /km (fase)
Exato = 0,061298 + j 0,0166259 /km
Zint = 4,18804 + j 1,31947 /km (PR)
Exato = 4,32305 + j 1,29825 /km
76
 
2 R1 
H
dx
H dA
I
solo
dx
x 
2 R1 
h1 
l 
d
condutor
h1 
retornoI
I
x 
dl 
 
2 R1 
H
dx
H dA
I
x 
dl 
77
Reatância Externa para Condutor e Solo Ideais
Seja um condutor ideal de 
raio R1, a uma distância 
h1 do solo ideal, de 
comprimento total l >> h1. 
O fluxo magnético 
resultante próprio do 
condutor “k” corresponde 
ao fluxo produzido por 
“k” que enlaça sua 
imagem k’ .
Lei de Ampère
O fluxo resultante (’), por unidade de comprimento, entre o 
condutor e o solo será a superposição do fluxo devido ao condutor 
e à sua imagem. 
dxl
x2
I
ddA.Bd
x2
I
BHB
x2
I
HIldH
0
0
0

m

m
m





dx
xh
I
dx
x
I
d
)2(22
'
1
00



m

m

78
O fluxo total por unidade de comprimento será :







 

m




 

m


m


m
 
1
110
h
R1
h
R
0
h
R 1
0
h
R
0
h
R
R
Rh2
ln
2
I
)xh2(lnxln
2
I
)xh2(
dx
2
I
x
dx
2
I
d
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
como h1 >> R1









m

1
10
R
h2
ln
2
I
I
LComo


79
Indutância externa
Indutância externa para solo ideal por unidade de comprimento será : 









m










m

1
10
ext
1
10
ext
R
h2
ln
2
j'X
e
R
h2
ln
2
'L
80
Reatância mútua entre dois condutores ideais sobre 
um solo ideal
Sejam dois condutores paralelos, entre si e o solo, de raios R1 e R2, situados
a alturas h1 e h2 do solo, e afastados entre si na horizontal de uma
distância y. 
2’ 
2 R1 
1
H
dA
solo

1’ 
2 R2 
h1 
y 
h1 
I
2 
h2 
h2 
d
D 
-I 81
 
solo
dx
x 
2 R2 
h2 
l 
dm
O fluxo magnético produzido pelo condutor 1 que enlaça o condutor
2 é dado pela expressão:
onde I é a corrente no condutor 1.
2
21
2
0
)xhh(y2
I
B

m

82
Um infinitésimo de fluxo por unidade de comprimento será 
O fluxo que enlaça o condutor 2 e o solo será a superposição do fluxo 
devido ao condutor 1 à sua imagem 
2
21
2
21
2
21
2
0
m
mm
)xhh(y
xhh
.dx..
)xhh(y2
I
d
cosdABddA.Bd



m



l
 
 
dx
)xhh(y2
xhhI
d
2
21
2
210
m

m

83
 
 
 
 
dx
)xhh(y2
xhhI
dx
)xhh(y2
xhhI
d
2
21
2
210
2
21
2
210
m

m


m

O fluxo mútuo total 
por unidade de 
comprimento 
será :
 
 
 
 
 
 

















m


m


m





2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h
R
2
21
2
h
R
2
21
2
0
m
h
R
2
21
2
210
h
R
2
21
2
210
m
h
R
mm
)xhh(yln
)xhh(yln
4
I
dx
)xhh(y4
xhh2I
dx
)xhh(y4
xhh2I
d
84

















































2
221
2
2
221
2
0
2
221
2
2
1
2
2
221
2
2
1
2
0
)(
)(
ln
4
)(
ln
)(
ln
4
Rhhy
RhhyI
Rhhy
hy
Rhhy
hyI
m
m

m


m

Admitindo que h1 e h2 >> R2



















2
21
2
2
21
2
0
)(
)(
ln
4 hhy
hhyI
m

m

85
Como
A reatância mútua para solo ideal por unidade de comprimento será :
2
21
2
2
21
22
)hh(yde
)hh(yD


d
D
ln
2
I0
m

m

d
D
ln
2
'L
I
'L 0m
m
m

m



d
D
ln
2
j'X
0
extm

m

86
Resumo das expressões de reatância para 
condutores e solo ideais
onde
 – frequência angular [rad/s]
m0 – permeabilidade magnética do ar (4  10
–7 H/m)
87
 
k’ 
p
p’ 
hp 
y 
hp 
k 
hk 
hk 
dpk
Dpk 
Para p = k  Dpk = 2 hp ; dpk = R1p
88
Exercício
Para uma LT com 01 condutor por fase e 02 cabos para-raios, calcular a
impedância externa para solo ideal.
Dados dos cabos de fase : cabo Rail
Diâmetro externo : 0,02959 m
Diâmetro interno : 0,00739 m
Resistência CC a 25 °C [/km] : 0,05988
Permeabilidade magnética relativa : 1
Flecha a meio vão [m] : 13,43
89
Cabo Para-Raios : EHS 3/8”
Diâmetro externo [m] : 0,009144
Resistência CC a 25 °C [/km] : 4,188
Permeabilidade magnética relativa : 70
Flecha a meio vão [m] : 6,4
Resistividade do solo [.m] : 2000
 
3 2 
4 5 
1 
3
,4
4
 m
 
3
,7
 m
 
0
,4
5
 m
 
3
0
,5
 m
 
2 , 2 m 
8 , 50 m 8 , 50 m 
12 , 5 m 
90
Exercício 
Calcular a impedância externa para solo ideal da linha exemplo (60 Hz )
j 0,56871 j 0,09301 j 0,04930 j 0,06089 j 0,09020
j 0,09301 j 0,56871 j 0,09301 j 0,08305 j 0,08305
j 0,04930 j 0,09301 j 0,56871 j 0,09020 j 0,06089
j 0,06089 j 0,08305 j 0,09020 j 0,70351 j 0,10899
j 0,09020 j 0,08305 j 0,06089 j 0,10899 j 0,70351
Zext-solo ideal [/km]
91
Impedância devido ao retorno no solo real
Hipótese básica :
• Sejam dois condutores cilíndricos p e k de extensão infinita e
paralelos entre si, de pequeno diâmetro face a distância entre eles e
o solo, paralelos ao solo.
• O solo foi considerado plano, de constante dielétrica nula e
condutividade uniforme e constante, invariável à frequência.
• O ar apresenta condutividade uniforme muito inferior a do solo.
92
• O campo elétrico produzido pela circulação de correntes apresenta
apenas componente na direção do eixo dos condutores, sendo as
demais componentes desprezíveis.
• O campo magnético apresenta componentes somente no plano
perpendicular ao eixo do condutor.
• No ar, o campo magnético é resultante da somatória das componentes
do campo devido à corrente no condutor e outra devido à corrente no
solo.
• A partir dos campos elétrico e magnético chegou-se à correção de solo
real na impedância da linha.
93
Cálculo aproximado – Distância complexa
(impedância devido ao solo+ Zext)
 
dpk 
hp 
hp 
hk 
hk 
p 
k 
hp’=hp+’ 
solo real 
solo fictício 
0
1
m

j
 
hp’=hp+’ 
D’pk 
94
Valores da impedância de solo por unidade de 
comprimento – 60 Hz
0,058709 0,058708 0,058708 0,058495 0,058495
0,058708 0,058709 0,058708 0,058495 0,058495
0,058708 0,058708 0,058709 0,058495 0,058495
0,058495 0,058495 0,058495 0,058283 0,058283
0,058495 0,058495 0,058495 0,058283 0,058283
0,350745 0,347403 0,338857 0,31948 0,324225
0,347403 0,350745 0,347403 0,323424 0,323424
0,338857 0,347403 0,350745 0,324225 0,319480
0,319480 0,323424 0,324225 0,304929 0,302776
0,324225 0,323424 0,31948 0,302776 0,304929
Rsolo[/km]
Xsolo [/km]
95
Matriz de Impedância Primitiva por unidade de comprimento – 60 Hz
0,11985 0,05855 0,05855 0,05828 0,05828
0,05855 0,11985 0,05855 0,05828 0,05828
0,05855 0,05855 0,11985 0,05828 0,05828
0,05828 0,05828 0,05828 4,38106 0,05801
0,05828 0,05828 0,05828 0,05801 4,38106
0,93043 0,43476 0,38250 0,37479 0,40884
0,43476 0,93043 0,43476 0,40089 0,40089
0,38250 0,43476 0,93043 0,40884 0,37479
0,37479 0,40089 0,40884 2,30117 0,40625
0,40884 0,40089 0,37479 0,40625 2,30117
Rprim = Rint + Rsolo [/km]
Xprim = Xint + Xext+ Xsolo [/km]
96
Parâmetros Transversais
Capacitância de um condutor sobre um solo ideal
Seja um condutor de raio R1, a uma altura h1 do solo, de comprimento
total l >> h1.
 
+ Q

x

^
xd 
x 
2 R1 
h1 
condutor
h1 
imagem - Q
97
A intensidade de campo elétrico a uma distância x do condutor será :
A diferença de potencial total entre o condutor e o solo produzida pelo
condutor e a sua imagem será :
 
)(
22
)(
2
^
10
^
0
imagemàdevidox
xh
Q
E
condutoraodevidox
x
Q
E
i
c







 
  1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
100
2lnln
2
.
22
.
2
..
h
R
h
R
h
R
h
R
h
R
i
h
R
c
xhx
Q
V
dx
xh
Q
dx
x
Q
V
dxEdxEV









98
como h1 >> R1
1
1
0 R
h2
ln
2
Q
V


Como
onde Y – admitância por unidade de comprimento [S/m]
CjY
R
h2
ln
2
C
V
Q
C
1
1
0











1
11
0
2
ln
2 R
RhQ
V



99
Capacitância entre dois condutores paralelos 
sobre um solo ideal
Sejam dois condutores paralelos, entre si e o solo, de raios R1 e R2,
situados a alturas h1 e h2 do solo, e afastados entre si na horizontal de
uma distância y. 

1i
E
 

1c
E
 

2i
E
 

2c
E
 
2 R2 -Q1
2 R1 
1
solo
1’ 
Y 
h1 
y 
h1 
+Q1
h2 
h2 
D 
+Q2
2 d
-Q2
2’ 
^
y 
^
x x
100
A intensidade de campo elétrico a uma distância x do condutor 1 será :
 
)2deimagemàdevido(
y
)xhh(y2
cos2Q
x
)xhh(y2
cos2Q
E
)2condutoraodevido(
y
)xhh(y2
sin2Q
x
)xhh(y2
cos2Q
E
)1deimagemàdevido(x
xh22
1Q
E
)1condutoraodevido(x
x2
1Q
E
^
2
21
2
0
2i
^
2
21
2
0
2i
3i
^
2
21
2
0
2c
^
2
21
2
0
2c
2c
^
i0
1i
^
0
1c




















101A diferença de potencial total entre o condutor 1 e o solo será :
dx
)xhh(y
xhh
)xhh(y2
Q
dx
)xhh(y
xhh
)xhh(y2
Q
dx
)xh2(2
Q
dx
x2
Q
V
dx.Edx.Edx.Edx.EV
2
21
2
21
h
R
2
21
2
0
2
2
21
2
21
h
R
2
21
2
0
2
h
R 10
1
h
R 0
1
1
h
R
i
h
R
c
h
R
i
h
R
c1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1


















102
 
 
 
 
dx
)xhh(y4
xhhQ2
dx
)xhh(y4
xhhQ2
dx
)xh2(2
Q
dx
x2
Q
V
1
1
1
1
1
1
1
1
h
R
2
21
2
0
212
h
R
2
21
2
0
212
h
R 10
1
h
R 0
1
1













2
121
2
2
121
2
0
2
1
11
0
1
1
)Rhh(y
)Rhh(y
ln
4
Q
R
Rh2
ln
2
Q
V







103
como h1 e h2
Resolvendo-se de maneira análoga, a diferença de potencial entre o
condutor 2 e o solo será
2
21
2
2
21
2
0
2
1
1
0
1
1
)hh(y
)hh(y
ln
4
Q
R
h2
ln
2
Q
V






2
21
2
2
21
22
)hh(yde
)hh(yD
como


d
D
ln
2
Q
R
h2
ln
2
Q
V
0
2
1
1
0
1
1




2
2
0
2
0
1
2
R
h2
ln
2
Q
d
D
ln
2
Q
V




104
Reescrevendo-se as expressões de diferenças de potencial dos condutores
1 e 2 em relação ao solo na forma matricial:
2
1
2
2
12
12
12
12
1
1
02
1
Q
Q
R
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
R
h2
ln
2
1
V
V



Q
C
1
V
V
Q
C
como

1
2
2
12
12
12
12
1
1
0
R
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
R
h2
ln
2C


105
Resumo das expressões de admitância 
transversais
A admitância Y de uma linha de transmissão é somente função das
posições relativas dos condutores entre si e em relação ao solo. A sua
parte real é nula uma vez que a condutância do ar para linhas aéreas é
desprezível.
m/F10.85,8
ardodadepermissivi
angularfreqüência
d
D
lnaiguaissão
elementoscujosmatrizA
onde
A2jY
12
0
ik
ik
1
0







106
Para p = k  Dpk = 2 hp ; dpk = Rp
107
Matriz de Admitância – 60 Hz 
j 2,91683 - j 0,39114 - j 0,13463 - j 0,14350 - j 0,29394
- j 0,39114 j 2,97471 - j 0,39114 - j 0,23133 - j 0,23133
- j 0,13463 - j 0,39114 j 2,91683 -0,29394 - j 0,14350
- j 0,14350 - j 0,23133 - j 0,29394 j 2,36999 - j 0,29603
- j 0,29394 - j 0,23133 - j 0,14350 - j 0,29603 j 2,36999
Yprim [mS/km]
108
Representação Matricial 
Para uma LT CA com n condutores por fase e k para-raios as relações
entre as tensões e correntes podem ser relacionadas matricialmente
por :
ttt
lll
VYI
IZV


istransversaparâmetrosdeMatrizY
aislongitudinparâmetrosdeMatrizZ
istransversacorrentesdevetorI
condutoresnoscorrentedevetorI
solooecondutores
osentretensõesdeVetorV
aislongitudinpotenciaisde
diferençasdeVetorV
onde
t
l
t
l
t
l






109
Redução de Matrizes 
As matrizes de parâmetros (longitudinais e transversais) são estruturadas
visando à obtenção de matrizes reduzidas cujas dimensões
correspondam ao número de fases da linha.
A implementação da redução de matrizes é realizada considerando-se as
seguintes hipóteses:
• Os cabos para-raios são considerados aterrados em todas as estruturas,
fazendo com que a tensão fase-terra nesses cabos seja nula.
• A corrente total por feixe de cada fase é correspondente à soma das
correntes dos sub-condutores no feixe.
• A tensão em cada sub-condutor é igual à tensão de fase equivalente.
110
Matrizes em componentes de fase
Nas matrizes reduzidas, os sub-condutores do feixe de cada fase são
representados por um condutor equivalente representando a fase.
Após a eliminação dos feixes, eliminam-se os cabos para-raios, supondo-
os, por exemplo, aterrados continuamente e tendo suas contribuições
nas matrizes de parâmetros são incorporadas aos elementos
equivalentes de cada fase.
111





















cccbca
bcbbba
acabaa
abc
zzz
zzz
zzz
Z





















cccbca
bcbbba
acabaa
abc
yyy
yyy
yyy
Y
Zabc - Parâmetros longitudinais por unidade de comprimento
Yabc - Parâmetros transversais por unidade de comprimento 112
Matriz de Impedância Longitudinal Reduzida
por unidade de comprimento
0,160116 0,099766 0,098588
0,099766 0,162153 0,099766
0,098588 0,099766 0,160116
j 0,885317 j 0,38881 j 0,337484
j 0,38881 j 0,883578 j 0,38881
j 0,337484 j 0,38881 j 0,885317
Rfase[/km]
Xfase[/km]
113
Matriz de Admitância Transversal Reduzida por
unidade de comprimento
j 2,916833 - j 0,39114 - j 0,13463
- j 0,39114 j 2,974711 - j 0,39114
- j 0,13463 - j 0,39114 j 2,916833
Yfase[mS/km]
114
Transposição de linhas de Transmissão
Uma linha de transmissão não deveria agregar desequilíbrio no 
sistema, mas isso acontece devido às características elétricas das 
linhas. 
O ciclo de transposição utilizado na prática é de 300 km (<< l/4 para 
60 Hz).
Para a frequência de 60 Hz; o comprimento de onda (l) é 5000 km.
Comprimentos de onda em função da frequência.
115
TRANSPOSIÇÃO
Ao final de cada trecho de transposição é feita uma mudança entre as 
fases da linha, onde a fase “A” assume a posição da fase “C”, a fase 
“B” vai para a posição da fase “A” e a fase “C” fica no lugar da fase 
“B”.
116
Transposition by using elongated traverses
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Transposition_tower
Torre de transposição - Exemplos
Transposition tower. On the right side, the phases are rotated upward, on the left side downward. Source: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Transposition_tower
Transposição – Circuito duplo
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Transposition_tower
Transposição poste











PMM
MPM
MMP
LIT
ZZZ
ZZZ
ZZZ
]Z[
Efeito da Transposição nos Parâmetros da 
linha



















cccbca
bcbbba
acabaa
abc
zzz
zzz
zzz
Z



















bbbabc
abaaac
cbcacc
cab
zzz
zzz
zzz
Z



















aaacab
cacccb
babcbb
bca
zzz
zzz
zzz
Z
3
cabbcaabc
LIT
ZZZ
Z

 

120
Matriz de Impedância Longitudinal por unidade
de comprimento - Linha Transposta
0,160795 0,099373 0,099373
0,099373 0,160795 0,099373
0,099373 0,099373 0,160795
j 0,884737 j 0,371701 j 0,371701
j 0,371701 j 0,884737 j 0,371701
j 0,371701 j 0,371701 j 0,884737
Rfase[/km]
Xfase[/km]
121
Se a linha for transposta teremos :
Q
PPP
PPP
PPP
2
1
V
pmm
mpm
mmp
0



3
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
P
3
R
h2
ln
R
h2
ln
R
h2
ln
P
onde
23
23
13
13
12
12
m
3
3
2
2
1
1
p




Admitância da linha transposta
122
Logo :
Q
C
1
V
V
Q
C
como

1
02


pmm
mpm
mmp
PPP
PPP
PPP
C 
123
Matriz de Admitância Transversal Reduzida por
unidade de comprimento - Linha Transposta
j 2,926712 - j 0,3022 - j 0,3022
- j 0,3022 j 2,926712 - j 0,3022
- j 0,3022 - j 0,3022 j 2,926712
Yfase[mS/km]
124
Lembrando da revisão de fase-sequência
Podemos escrever as equações em
componentes de sequência. 
seqabcseq
a
seqabcseq
a
a
seqabc
a
seq
TZTZ
ITZTV
ITZVT










1
012
012
1
012
012012


125
Transformação de Sequência
 𝑉𝑎
 𝑉𝑏
 𝑉𝑐
=
 𝑍𝑝 𝑍𝑚 𝑍𝑚
 𝑍𝑚 𝑍𝑝 𝑍𝑚
 𝑍𝑚 𝑍𝑚 𝑍𝑝
∙
 𝐼𝑎
 𝐼𝑏
 𝐼𝑐
ou
 𝑉𝑎𝑏𝑐 = 𝑍𝑎𝑏𝑐 ∙ 𝐼𝑎𝑏𝑐
Matriz de impedância longitudinal por unidade
de comprimento em componentes de sequência
A matriz Zfase (Yfase) da linha tem a forma :





















pmm
mpm
mmp
abc
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z
então
























mZpZ00
0mZpZ0
00mZ2pZ
Z012
126
Onde :
mZpZZ
mZpZZ
mZ2pZZ
negativa
positiva
zero






mYpYY
mYpYY
mY2pYY
negativa
positiva
zero






127
Impedância Longitudinal e Admitância Transversal por
unidade de comprimento - Componentes deSequência
[/km]
[mS/km]
0,513036 j 0,061422Z
0,513036 j 0,061422Z
1,628139j 0,359541Z
negativa
positiva
zero






3,228917jY
3,228917jY
2,322303jY
negativa
positiva
zero






128
Exercício –Análise da transposição
abcabcabcabc I.x.ZVV gerrec 

Obtenha as tensões ft no extremo de uma linha de 300 km não transposta ligada
a uma barra infinita de tensão 345 kVef com corrente de 500 A atrasada de
90°. Suponha que a linha possa ser tratada como uma linha curta.





2,1217,120
7,1153,125
4,70,122
V
recabc





1202,5
3,46,122
3,565,2
V
012
a
129
Considere agora que a linha é transposta, sendo o ciclo de transposição
definido por 50-100-100-50 km. Suponha que a linha possa ser
tratada como uma linha curta.





3,1246,122
7,1156,122
3,46,122
V
recabc
0
3,46,122
0
V
012
a


130





3,1246,122
7,1156,122
3,46,122
V
recabc
Considere agora que a linha é idealmente transposta. Suponha que a linha
possa ser tratada como uma linha curta. Calcule as tensões ft na
recepção.
0
3,46,122
0
V
012
a


131





3,1246,122
7,1156,122
3,46,122
V
recabc
Calcule a queda de tensão de sequência positiva e depois calcule as
tensões ft na recepção. (Isto é igual a considerar a linha como
idealmente transposta. Suponha que a linha possa ser tratada como
uma linha curta.




3,46,122V
I.x.ZVV
1
1
1
11
a
agerareca
132
Parcelas da Matriz de Impedância em fase
(adicional)
Onde :
• Rp = interna + correção de solo real
• Xp = interna + externa (solo ideal) + correção de solo real 
• Rm = correção de solo real 
• Xm = externa (solo ideal) + correção de solo real























pmm
mpm
mmp
pmm
mpm
mmp
abc
XXX
XXX
XXX
j
RRR
RRR
RRR
Z
X
133
Impedância série em componentes de modo
X
mZpZZ
mZpZZ
mZ2pZZ
negativa
positiva
zero






• Impedância positiva/negativa - predomínio das contribuições internas 
e diferença entre solo ideal /solo real – subtração entre os termos 
próprios e mútuos que são próximos.
• Zero - a correção de solo real e a contribuição solo ideal acentuam-se 
- soma da parcelas própria e mútua (2x).
134
Impedância de sequência positiva para a linha
exemplo
X
0,34175 j 0,05855:(1,2)
 0,34509 j 0,05855:(1,1)Z
0,04930 j:(1,3)
0,09301 j:(1,2)
0,56871 j:)1,1(Z
0,0163417 j 0,05988Z
solo
ext
int






Considerando a impedância de sequência positiva :
• Diferença entre termo próprio e mútuo é muito pequena
• Resistência é dada pela resistência interna
• Para a reatância a parcela dominante é a diferença da reatância
externa (própria – mútua)
135
Impedância de sequência zero para a linha
exemplo
X
0,34175 j 0,05855:(1,2)
 0,34509 j 0,05855:(1,1)Z
0,04930 j:(1,3)
0,09301 j:(1,2)
0,56871 j:)1,1(Z
0,0163417 j 0,05988Z
solo
ext
int






• Resistência é dada pela resistência interna e efeito do solo 
acentuado
• Para a reatância a parcela da reatância externa com grande peso do 
efeito do solo (P+2M), que são da mesma ordem de grandeza. 
136
Observações
A análise anterior foi realizada considerando os termos da
matriz primitiva, o que é uma aproximação, pois não foi
levado em conta a redução da matriz para uma fase
equivalente e a incorporação do efeito dos cabos para-
raios. Podemos contudo dizer que estes efeitos são de
segunda ordem.
137
Cálculos aproximados
60 Hz
138
Impedância de sequência positiva – Parcela do solo 
ideal (Linha transposta)
3
3
32
32
31
31
23
23
3
2
21
21
13
13
12
12
1
1
0
ext
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
2
jZ

m


A parcela dominante da impedância de sequência positiva é
dada por





































3
lnlnln
3
2
ln
2
ln
2
ln
2
23
23
13
13
12
12
3
3
2
2
1
1
0
int
1
min
1
d
D
d
D
d
D
r
h
r
h
r
h
jRZ
mZpZZ extextantedo

m

139
Pelas distâncias envolvidas podemos considerar que
E a impedância de sequência positiva pode ser calculada por
geométricamédiadistânciaDMG
fasesdenúmeron
d.d.dDMGd
condutordoraior
onde
r
d
ln
2
jRZ
f
n
231312ij
c
c
ij0
int
1
f













m


2313121 DDDh2 
Distância Média Geométrica - DMG
140
 
3 2 
4 5 
1 
3
,4
4
 m
 
3
,7
 m
 
0
,4
5
 m
 
3
0
,5
 m
 
2 , 2 m 
8 , 50 m 8 , 50 m 
12 , 5 m 
141
Linha exemplo
Montagem dos dados
Dados cabos fase
Raio externo – 0,016 m
Raio interno – 0,004 m
Rcc – 0,0594 /km
mr - 1
Dados cabo PR
Raio externo – 4,572 mm
Rcc – 4,188 /km
mr - 70
Dados do solo
Resistividade – 2000 .m
142
Exemplo do cálculo da impedância de sequência
positiva
143
 𝑍1 = 𝑅𝑖𝑛𝑡 + 𝑗𝜔
𝜇0
2𝜋
ln
𝐷𝑀𝐺
𝑅𝑒𝑥𝑡
 𝑍1 = 0,0594 + 𝑗𝜔
4𝜋 ∙ 𝟏𝟎−𝟒
2𝜋
ln
3
8,5 ∙ 8,5 ∙ 17
0,016
Ω
𝑘𝑚
 𝑍1 = 0,0594 + 𝑗0,496
Ω
𝑘𝑚
Cálculo exato
 𝑍1 = 0,0611 + 𝑗0,507
Ω
𝑘𝑚
Incluir a parcela da indutância interna na
indutância externa própria
Podemos incluir a
parcela da reatância
interna no cálculo da
reatância externa,
corrigindo o raio do
condutor com um
fator de correção
dado por :






















































































mm







m



















m

2
0
2
1
0
1
2
0
2
1
4
0
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
2
0
2
1
4
0
2
0
2
1
R
8
3
R
8
1
R
R
ln
)RR(2
R
RR
2
R
8
3
R
8
1
R
R
ln
)RR(2
R
RR
2
2
0
2
1
0
1
2
0
2
1
4
0
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
2
0
2
1
4
0
2
0
2
1
0
0
int
2
0
2
1
0
1
2
0
2
1
4
0
2
0
2
1
int
eFC
e
FC
1
R
8
3
R
8
1
R
R
ln
)RR(2
R
RR
2
FC
1
ln
R
8
3
R
8
1
R
R
ln
)RR(2
R
RR
1
FC
1
ln
2
1
olog
correçãodefatorFCe
alumíniodecaboparadosen
FC
1
ln
2
jX
R
8
3
R
8
1
R
R
ln
)RR(2
R
RR
j
X
144
Raio do condutor corrigido
A reatância interna pode ser então incorporada à reatância externa
própria.
FC.RR
onde
R
h2
ln
2
jX
FC.R
h2
ln
2
jX
R
h2
ln
2
j
FC
1
ln
2
jX
1
'
'
10
ext
1
10
ext
1
100
ext
1
1
1,1
1,1
1,1










m








m








m







m

145
Impedância de sequência positiva com Xint
146
 𝑍1 = 𝑅𝑖𝑛𝑡 + 𝑗𝜔
𝜇0
2𝜋
ln
𝐷𝑀𝐺
𝑅′𝑒𝑥𝑡
 𝑍1 = 0,0594 + 𝑗𝜔
4𝜋 ∙ 𝟏𝟎−𝟒
2𝜋
ln
3
8,5 ∙ 8,5 ∙ 17
0,8 ∙ 0,016
Ω
𝑘𝑚
 𝑍1 = 0,0594 + 𝑗0,513
Ω
𝑘𝑚 Cálculo exato
 𝑍1 = 0,0611 + 𝑗0,507
Ω
𝑘𝑚
𝐹𝐶 = 𝑒
−
2
0,0162−0,0042
0,0044
2 0,0162−0,0042
ln
0,016
0,004 +
1
80,016
2−
3
80,004
2
𝐹𝐶 = 0,8
Raio Médio Geométrico - RMG
Para considerarmos o efeito do feixe na indutância externa devemos
incluir as distâncias entre sub-condutores.
147
RMG′ =
𝑛𝑐
𝑅𝑒𝑥𝑡 ∙ 𝐹𝐶 𝑑12𝑑13𝑑14
 𝑍1~
𝑅𝑖𝑛𝑡
𝑛𝑐
+ 𝑗𝜔
𝜇0
2𝜋
ln
𝐷𝑀𝐺
𝑅𝑀𝐺′
𝐹𝐶 = 0,8
Onde nc é o número de condutores no feixe
Se a linha for transposta teremos :
Q
PPP
PPP
PPP
2
1
V
pmm
mpm
mmp
0



3
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
P
3
R
h2
ln
R
h2
ln
R
h2
ln
P
onde
23
23
13
13
12
12
m
3
3
2
2
1
1
p




Admitância da linha transposta
148
Dada uma matriz da forma
O termo de sequência positiva será dado por :
Logo
Admitância de sequência positiva
PmPpPpositiva 











pmm
mpm
mmp
PPP
PPP
PPP
P
  1amp
0
1
a Q.PP
2
1
V 


149
Substituindo :
1
a3
3210
1
a
1
a3
321
3
321312
0
1
a
1
a
3
321312
3
321312
3
321
3
3.21
0
1
a
1
a
23
23
13
13
12
12
3
3
2
2
1
1
0
1
a
Q
R.R.R
DMG
ln
2
1
V
Q
R.R.R
d.d.d
ln
2
1
VQ
d.d.d
D.D.D
ln
R.R.R
h2h2.h2
ln
2
1
V
Q
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
3
1
R
h2
ln
R
h2
ln
R
h2
ln
3
1
2
1
V










































































































150
Capacitância de sequência positiva aproximada
Para linha com feixe
1
1
01 ln.2


















R
DMG
C 
1
01
RMG
DMG
ln.2C








151
Não tem fator de correção FC
Exemplo do cálculo da admitância de sequência positiva
[S/km]3,18366j
014795,0
17.5,8.5,8
ln2
ln2
1
1
3
01
1
1
01








































Y
jY
R
DMG
jY


152
Cálculo exato
 𝑌1 = 𝑗3,266
𝜇𝑆
𝑘𝑚
Exemplo 2
Obter a impedância longitudinal e a admitância transversal por
unidade de comprimento de sequência positiva da linha
apresentada. Uso das fórmulas aproximadas.
153
154
155
Montagem dos dados
Dados cabos fase
Raio externo – 0,016 m
Raio interno – 0,004 m
Rcc – 0,0509 /km
mr - 1
Dados cabo PR
Raio externo – 4,572 mm
Rcc – 4,188 /km
mr - 70
Dados do solo
Resistividade – 2000 .m
156
 
a 
0,457 m 
0
,4
5
7
 m
 
b c 
28,0 m 
14,34 m 14,34 m 
h
P
R
m
é
d
io
 –
 5
5
,8
 m
 
h

m
é
d
io
 –
 4
2
,3
4
 m
 
Altura média = altura torre – 2/3 flecha
157
Impedância de sequência positiva – cálculo
aproximado - 60 Hz
𝑅𝑀𝐺 =
4
𝑅1. 𝑑𝑎1𝑎2 . 𝑑𝑎1𝑎3 . 𝑑𝑎1𝑎4
𝑅𝑀𝐺 =
4
(0,016). 0,457. 0,457. 2 . 0,457
𝑅𝑀𝐺 = 0,2156 𝑚
𝑋1 = 0,333906
Ω
𝑘𝑚
𝑍1 = 0,0127 + 𝑗 0,334 Ω/𝑘𝑚
[m]
158
𝑅𝑀𝐺′ =
4
𝑅′1. 𝑑𝑎1𝑎2 . 𝑑𝑎1𝑎3 . 𝑑𝑎1𝑎4
𝑅𝑀𝐺′ =
4
(0,8 ∙ 0,016). 0,457. 0,457. 2 . 0,457
𝑅𝑀𝐺′ = 0,2039 𝑚
𝑋1 = 0,338115
Ω
𝑘𝑚
𝑍1 = 0,0127 + 𝑗 0,338 Ω/𝑘𝑚
𝐹𝐶 = 𝑒
−
2
0,0162−0,0042
0,0044
2 0,0162−0,0042
ln
0,016
0,004
+
1
8
0,0162−
3
8
0,0042
𝐹𝐶 = 0,8
0,215574RMG
457,0.)2.457,0(.457,0.016,0RMG
)condutoressub.dist(d.d.d.RRMG
18,067368,28.34,14.34,14DMG
)feixesdoscentrosaosdistâncias(d.d.dDMG
RMG
DMG
ln2jY
4
4 aaaaaa1
3
3
cbacab
1
0
1
413121













Admitância de sequência positiva – Cálculo
aproximado - 60 Hz
S/km73361,4
1 mjY 
[m]
[m]
159
Cálculo de 
Parâmetros com 
ATP
160
Cálculo de Parâmetros de Linha
• Para calcular os parâmetros de linha podemos utilizar um programa próprio ou o ATP.
• O ATP tem uma rotina para efetuar esta função a LINE CONSTANTS
• As fórmulas utilizadas são as normalmente utilizadas. 
• Nos cálculos são considerados :
– o efeito pelicular
– solo com condutividade infinita
– a correção do solo (solo não tem condutividade infinita) – fórmulas de Carson
161
LINE CONSTANTS
• Calcula as matrizes R L e C em modos e em fase para qualquer configuração de torre.
• Cálculo para qualquer frequência na faixa de 0,001 Hz a 500 kHz.
• Pode fornecer a varredura na frequência de R e L numa escala logarítmica de frequência.
• Algumas fórmulas não são completas => não é considerada a permissividade relativa dos cabos 
(importante para o aço – para-raios)
162
Dados para LINE CONTANTS
• Disposição física dos condutores na torre.
• Características físicas dos condutores
– raio interno
– raio externo
– condutividade a baixa frequência a uma determinada temperatura de operação
• Características do solo 
– Somente resistividade a baixa frequência
• Dados de frequência
163
Preparação de dados 
• BEGIN NEW DATA CASE
• LINE CONSTANTS
dados dos condutores
• BLANK fim dados dos 
condutores
• dados de frequência e solo
• BLANK fim dados 
frequência/solo
• BLANK Caso Line Constant
• BLANK casos ATP
164
Características dos dados 
• Dados dos condutores 
– Uma linha por condutor
– Pode fornecer informação do feixe
165
Dados de cada condutor 
• Número associado a fase (0 para cabo para-raios)
– Todos os condutores de uma mesma fase têm o mesmo número
• Relação entre espessura e diâmetro externo (para cálculo do efeito pelicular)
– Condutor sólido : 0,5
• Resistividade CC do condutor (/km)
• Código IX = 4 pede para programa calcular L corretamente
• Diâmetro externo do cabo (cm)
166
Dados de cada condutor 
• Posição horizontal em relação a uma referência 
arbitrária (m)
• Altura na torre (m) – Ht
• Altura a meio vão (m) – Hmv
• Altura média – Hmed (calculado)
tmvmed H
3
1
H
3
2
H 
167
Dados de um feixe de condutores 
• É possível fornecer os dados dos feixes
• O programa calcula cada sub-condutor do feixe
• O feixe precisa ser regular
• Cautela no uso
168
Gabarito cartão condutor
169
Dados dos cartões de frequência - solo
• Resistividade do solo [.m]
– É importante para a resposta da linha
– Não é possível utilizar um valor qualquer
– Valores “típicos” : 1000 - 3000 .m 
• Frequência [Hz]
• Correção do solo segundo Carson 
FCAR = 1 ou branco
• FCAR = 0  sem correção do solo
• ISEG = 0  cabos PR contínuos
• ISEG = 1  cabos PR segmentados
170
Saída matriz C - ICPR
• ICAP = 0
– ICPR = 100000 : inverso de [C]
– ICPR = 010000 : inverso de [Ce]
– ICPR = 001000 : inverso de [Cs]
– ICPR = 000100 : [C]
– ICPR = 000010 : [Ce]
– ICPR = 000001 : [Cs]
• ICAP = 1
– ICPR = 100000 : inverso de [C]
– ICPR = 010000 : inverso de [Ce]
– ICPR = 001000 : inverso de [Cs]
– ICPR = 000100 : [C]
– ICPR = 000010 : [Ce]
– ICPR = 000001 : [Cs]
• Sem índice – matriz primitiva
• e – matriz reduzida de fase
• s - sequência
171
Saída matriz Z - IZPR
• Matriz impedância série 
• IZPR = 100000 : [Z]
• IZPR = 010000 : [Ze]
• IZPR = 001000 : [Zs]
• IZPR = 000100 : inverso de [Z]
• IZPR = 000010 : inverso de [Ze]
• IZPR = 000001 : inverso de [Zs]
• Sem índice – matriz primitiva
• e – matriz reduzida de fase
• s - sequência
     LjRZ 
172
Gabarito cartão frequência
173
Linha Transposta 
• O que normalmente interessa são as informações relativas aos componentes 
de sequência
• Obtemos tabelas ou matrizes de Z e Y em fase ou sequência
• Zc e v em sequência
174
Linha Exemplo 
Linha 230 kV
 7 m 7 m 
9 m 
20 m 
10 m 10 m 
40 cm 
Cabos pára-raios 
Aço : EHS 
Raio : 0,475 cm 
sólido 
Rcc : 3,75 /km 
Cabos condutores 
3 x 954 MCM 
ACSR 
Rext : 1,519 cm 
Rint : 0,507 cm 
Rcc : 0,0701 /km 
 
 
m1000 
 
175
Admitância de sequência positiva – cálculo aproximado - 60 Hz
176
Arquivo de dados
177
Saídas 
178
Saída - continuação
179
Comparação cálculo exato X aproximado
180
 𝑍1 =
𝑅𝐶𝐶
3
+ 𝑗𝜔
𝜇0
2𝜋
ln
𝐷𝑀𝐺
𝑅𝑀𝐺
 𝑍1 = 0,0234 + 𝑗0,342 Ω/𝑘𝑚
Sem fator de correção (Xinterna)
 𝑍1 =
𝑅𝐶𝐶
3
+ 𝑗𝜔
𝜇0
2𝜋
ln
𝐷𝑀𝐺
𝑅𝑀𝐺′
 𝑍1 = 0,0234 + 𝑗0,347 Ω/𝑘𝑚
Com fator de correção (FC)
Exercício – Silhueta da torre
• Prepare o arquivo de dados para o caso abaixo
• Araraquara - Bauru; Jupiá - Ilha Solteira. 
• Tensão base de 440 kV
• Linha transposta
181
Exercício – Cálculo de Parâmetros
• Condutor de fase : cabo Grosbeak
– raio externo : 12,57 mm
– raio interno : 4,635 mm
– resistência CC : 0,089898 /km
– temperatura : 75 C
• cabos para-raios : EHS 3/8
– raio externo : 4,572 mm
– resistência CC : 4,188 /km
– temperatura : 45 C
• resistividade do solo : 2000 .m
• comprimento da linha : 400 km
• flecha a meio vão
– fase : 13,43 m
– para-raios : 6,4 m
• Frequência : 60 Hz; 
182