Sistema Eletrico uninade 2

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Objetivos 
UNIDADE 2. 
Parâmetros de Linhas de Transmissão – Impedância e 
Capacitância. 
Rafaela F. A. Guimarães 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
• Estudar o enlace de fluxo entre condutores simples e múltiplos para podermos 
calcular as indutâncias próprias e mútuas; 
• Estudar as densidades de carga entre condutores simples e múltiplos para podermos 
calcular as capacitâncias próprias e mútuas; 
• Estudar a transposição de fase em linhas de transmissão; 
• Estudar os conceitos de impedância e susceptância empregando as componentes 
simétricas 
TÓPICOS DE ESTUDO 
Clique nos botões para saber mais 
Indutância 
// Cálculo do parâmetro indutância 
// Fluxo concatenado com a corrente em um condutor 
// Componente externa do fluxo concatenado 
// Indutância de uma linha monofásica a dois fios 
// Fluxo concatenado em linhas trifásicas 
// Tabelas de fabricantes 
// Indutância de linhas trifásicas com espaçamento simétrico 
// Indutância de linhas trifásicas com espaçamento assimétrico 
// Cabos múltiplos 
Capacitância 
// Campo elétrico de um condutor 
// Diferença de potencial entre dois pontos devido a uma carga 
// Capacitância de uma linha a dois fios 
// Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento simétrico 
// Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico 
// Cabos múltiplos 
Impedância e susceptância de sequência 
// Indutância de linhas trifásicas 
// Capacitância de linhas trifásicas 
// Impedância/susceptância utilizando as componentes simétricas 
// Circuito sem indutâncias mútuas 
// Circuito com indutâncias mútuas 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 2 - 
Indutância 
 
 
 
Indutância 
 
Podemos resumir de uma maneira bem simples os principais parâmetros de uma linha de 
transmissão, que são: resistor, indutor e capacitor. O primeiro é o responsável por fornecer calor 
a partir de uma fonte elétrica. O segundo é o responsável por produzir o trabalho, ou seja, ele 
seria igual a um funcionário ideal – basta solicitar que ele realiza o trabalho. Já o terceiro, é 
responsável por fornecer energia para o campo girante de máquinas ou equipamentos – ele 
fornece a energia que a máquina elétrica precisa. Ele é o incentivador do funcionário ideal, 
ajudando este funcionário a cumprir sua meta, principalmente no início do trabalho, quando 
temos que vencer a inércia do nosso estado de repouso, o que é representado pela utilização do 
capacitor na partida de muitos equipamentos. 
O indutor está diretamente envolvido com o campo magnético, já o capacitor armazena a 
energia em um campo elétrico. A unidade do indutor é o Henry (representado pela letra H) e a 
do capacitor é o Farad (representado pela letra F). Estes dois componentes alteram a relação 
entre a corrente e a tensão. O primeiro atrasa a corrente 90º em relação a tensão, enquanto o 
segundo adianta a corrente em 90º em relação a tensão. Ambos os efeitos podem ser observados 
na Figura 1. 
https://sereduc.blackboard.com/courses/1/1.3088.23807/content/_2385042_1/scormcontent/index.html#/lessons/lOkQ9-N7ajhYAGtCj_uxDAbZ4n1DD_3D
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Para representarmos os indutores e os capacitores nos circuitos elétricos, utilizamos os números 
complexos. Um número complexo ou imaginário é definido pela raiz quadrada de -1 (√ -1) 
multiplicado por algum número do conjunto dos reais (este número não existe na natureza). A 
maneira que representamos esta raiz na engenharia elétrica é pelo termo j (pode-se representar 
os números complexos por i, mas na engenharia elétrica utilizamos esta letra para representar a 
corrente elétrica). 
Os indutores são sempre representados por + jXL (reatância indutiva) e os capacitores por – 
jXc (reatância capacitiva). A reatância indutiva é dada por: 
 
sendo f, frequência do sistema (Hz) e L, valor do indutor (H). A reatância será sempre dada em 
ohms (Ω). A fórmula para a obtenção da reatância capacitiva é: 
 
sendo C > o valor do capacitor em Farads (F). 
Para memorizar estes conceitos, pode-se relacionar estes valores com o contrário da convenção 
para o candidato em uma entrevista de emprego. Como o indutor atrasa a corrente em relação a 
tensão em 90º, e chegar atrasado nos nossos compromissos nunca é bom (pode até mesmo 
eliminar um candidato), ele é representado por + j XL, com um sinal de mais. Já o capacitor 
adianta a corrente em relação a tensão em 90º, e chegar um pouco adiantado nos nossos 
compromissos faz parte das normas de etiqueta, então, ao contrário, é representado por um sinal 
negativo, – j Xc. Na maioria das vezes, os sistemas elétricos apresentam os três componentes em 
um mesmo circuito. 
 
 CURIOSIDADE 
O capacitor é usado para armazenar energia nos equipamentos elétricos. Ele ajuda na partida de muitos 
equipamentos, como os reatores de lâmpadas fluorescentes. É devido ao capacitor que não devemos tocar 
em placas eletrônicas ao abrirmos aparelhos que acabaram de ser desligados. 
Elas permanecem carregadas e, ao tocarmos nelas, o capacitor descarregará sua energia eletrostática no 
nosso corpo, o que causa uma sensação desconfortável. 
 
CÁLCULO DO PARÂMETRO INDUTÂNCIA 
FLUXO CONCATENADO COM A CORRENTE EM UM 
CONDUTOR 
Imaginemos um condutor infinito (um dos circuitos de uma linha de transmissão trifásica). Se 
este for percorrido por uma corrente, devido ao campo elétrico, haverá um deslocamento desta, 
que gerará uma diferença de potencial (tensão). A indutância é a característica responsável por 
esse deslocamento. 
Esse fluxo pode ser decomposto em duas componentes: uma externa e outra interna. Em um 
primeiro momento, vamos desconsiderar a influência de outros condutores, fazendo com que as 
linhas de fluxo sejam concêntricas ao condutor, sem nenhuma deformidade no campo magnético 
criado por ele. 
A força magnetomotriz (fmm), em Ampères-espiras, é, ao longo de qualquer contorno, dada 
pela equação de Maxwell, que calcula essa força em uma seção transversal do condutor e nos 
diz que ela é igual à corrente que atravessa esta área. Portanto: 
 
Onde: 
H = intensidade do campo magnético (em Ae/m. É a componente tangencial a esta superfície 
circular; 
s = comprimento da superfície circular (em m); 
I = corrente (tanto pode ser corrente CC ou CA), em A. 
Chamaremos de Hx a intensidade de campo localizada a uma distância de x m do centro deste 
condutor. Por este condutor ser circular, os pontos x estarão a uma mesma distância do centro do 
condutor, fazendo com que possamos integrar a Equação 14, obtendo: 
 
onde Ix é a corrente enlaçada pelo fluxo. Pela mesma razão, a densidade da corrente é uniforme, 
então teremos: 
 
onde I é a corrente total do condutor. Substituindo a Equação 17 na Equação 16 e separando Hx, 
obtemos: 
 
Em termos do fluxo magnético teremos o mesmo raciocínio, ou seja, a x metros do centro do 
condutor a densidade de fluxo magnético será dada por: 
 
onde μ é a permeabilidade do condutor. No Sistema Internacional (SI), a permeabilidade do 
vácuo é μ0 = 4 x 10-7 H/m e a permeabilidade relativa é μr = μ/μ0. 
Os cálculos feitos se referem a uma unidade de comprimento do condutor, ou seja, as 
indutâncias também serão expressas em valores por unidades de comprimento 
Para o cálculo do fluxo interno do condutor, imaginemos uma seção circular infinitesimal de 
espessura dx, sendo seu fluxo dφ igual ao campo magnético Bx (dado pela Equação 19) 
multiplicado pela área da seção transversal deste condutor. O fluxo incremental em uma 
superfície retangular de lado dx e comprimento igual a uma unidade é dado por: 
 
Pois o fluxo dφse concatena (enlaça) apenas com uma fração da corrente i dada por π r2 /π r2. O 
fluxo total será dado por: 
 
Integrando desde o centro até a periferia do condutor para achar o ψint, teremos o fluxo total 
concatenado, que será dado por: 
 
Para uma permeabilidade relativa unitária (μ = 4 x 10-7 H/m): 
 
Esse valor é a indutância devida ao fluxo interno (para condutores cilíndricos), por unidade de 
comprimento. 
COMPONENTE EXTERNA DO FLUXO CONCATENADO 
Imaginemos dois pontos P1 e P2, distantes D1 e D2 metros do centro de um condutor isolado 
percorrido por uma corrente de I Ampères. Como condição, adotaremos que todo o fluxo entre 
P1 e P2 se encontra entre as superfícies concêntricas que passam por estes pontos, ou seja, os 
campos não sofrem qualquer distorção. Por esse condutor ser percorrido por uma corrente, 
surgirá um campo magnético de intensidade Hx a uma distância de x metros do centro deste 
condutor, dada por: 
 
Vamos isolar Hx e multiplicar por m para obter a densidade de fluxo Bx no elemento x: 
 
Agora vamos calcular o fluxo para uma parte infinitesimal deste elemento tubular: 
 
Os fluxos concatenados dΨ e o fluxo total dф são iguais, pois o fluxo externo ao condutor 
concatena toda a corrente de uma vez só. Se integrarmos o fluxo 
7 desde x = D1 até x = D2, obteremos o fluxo total: 
 
ou, para permeabilidade relativa unitária: 
 
A indutância devida apenas ao fluxo entre P1 e P2 é: 
 
O valor desta indutância dependerá das distâncias D1 e D2. Para evitar este trabalho matemático 
de sempre conhecer essa distância, foi criado o conceito de raio reduzido de um condutor, ou 
seja, um condutor que conduz a mesma corrente que o condutor original de raio R e produz o 
mesmo fluxo concatenado. 
INDUTÂNCIA DE UMA LINHA MONOFÁSICA A DOIS FIOS 
Agora vamos imaginar duas linhas monofásicas formadas por dois condutores sólidos de raios 
r1 e r2, sendo que uma linha funciona como retorno para a outra. Começaremos nosso estudo 
pela análise do condutor 1. Ao projetarmos uma linha localizada a uma distância D + r2 e com 
centro no condutor 1, essa linha não concatenará fluxo com o circuito 1 e, portanto, não induzirá 
tensão. Chegaríamos ao mesmo raciocínio considerando que, por serem retorno um cabo do 
outro, as correntes possuem sinais opostos. 
Imaginemos agora que essa distância D é muito maior que os raios r1 e r2. A corrente devida a 
I2 não enlaçará nenhuma linha de fluxo do circuito 1, ou o cabo com r1. Isso é válido mesmo 
quando D não for tão grande. Neste momento não estamos considerando as indutâncias mútuas, 
somente as indutâncias próprias dadas pelo fluxo interno e externo a linha de transmissão 1. 
A indutância do circuito, devido à corrente no condutor 1, é determinada pela Equação 29, 
substituindo D2 pela distância D, e D1 pelo raio r1 do condutor 1. Analisando o fluxo externo 
temos: 
 
Como o fluxo interno é fixo, temos: 
 
A indutância total do circuito será a soma das equações (30) e (31): 
 
Podemos simplificar essa expressão, pondo em evidência o fator 2 x 10-7 e resolvendo o ln ε1/4= 
¼, para ficarmos com: 
 
Resolvendo essa equação, obtemos: 
 
Para simplificarmos, chamaremos r1ε -1/4 de r'1,: 
 
O raio r'1 corresponde a um condutor fictício, sem fluxo interno, porém com a mesma indutância 
do condutor real, de raio r1. A constante ε -1/4 é igual a 0,7788. A Equação 35 dá para a 
indutância o mesmo valor que a Equação 32. Nelas, o fator 0,7788 só é aplicável a condutores 
sólidos de seção circular. 
O mesmo raciocínio é válido para o circuito 2, que está atrasado 180º (por um circuito ser 
retorno do outro). Ou seja, nos baseando pela Equação 35, a indutância devido à corrente no 
condutor 2 será dada por: 
 
Se somarmos L1 e L2 obteremos a indutância L deste circuito: 
 
Adotando r'1 = r'2 = r’, teremos: 
 
A Equação 38 calcula a indutância de uma linha de dois condutores, adotando-se um cabo como 
retorno do outro. Denominamos esta indutância de indutância por metro de 
linha ou indutância por milha de linha, para diferenciar daquela de um circuito. Esta última, 
que é dada pela Equação 35, vale a metade da indutância total de uma linha monofásica e é 
chamada indutância por condutor. 
Deste modo, foi resolvida a indefinição matemática das distâncias D1 e D2 e o raio é chamado 
de raio reduzido de um condutor. 
FLUXO CONCATENADO EM LINHAS TRIFÁSICAS 
Vamos analisar o fluxo concatenado em linhas trifásicas, lembrando que a soma das correntes 
em uma linha trifásica é igual a zero. Considerando os condutores 1, 2, 3 e as correntes 
fasoriais I'1, I'2, I'3, suas distâncias afastadas de um ponto P qualquer, adotado como referência, 
serão dadas por D1P, D2P, D3P. Vamos determinar Ψ1P1 o fluxo concatenado com o condutor 1, 
devido à corrente I'1 , incluindo o fluxo interno, excluindo porém todo o fluxo além do ponto P. 
Pelas Equações 23 e 28: 
 
Agora vamos fazer o mesmo para o fluxo concatenado Ψ 1P2, com o condutor 1, devido a I2, (isto 
é, limitado pelas distâncias D2P e D12 do condutor 2), portanto: 
 
 O fluxo concatenado com o condutor 1, Ψ1P, devido a todos os três condutores, excluindo o 
fluxo além de P, é: 
 
Podemos reescrever a Equação 41 como: 
 
Como a soma das correntes fasoriais é nula: 
 
Podemos escrever que a corrente de neutro será I.n dada por: 
 
Substituindo a Equação 43 no valor de I.n da Equação 42 e realinhando os logaritmos, teremos: 
 
Deslocando o ponto P para bem longe, o conjunto dos termos com logaritmos de quocientes de 
distância, até ele, se tornam infinitesimais, pois essas tendem à unidade, restando somente: 
 
Deste modo, temos o cálculo do fluxo concatenado da linha de transmissão 1. A Equação 45 
representa todo o fluxo concatenado com a o circuito 1, onde temos correntes nas três fases a, b 
e c diferentes de zero. Se estivermos utilizando correntes e tensões alternadas, os valores dessas 
correntes serão, ou os valores em cada instante, ou sua representação fasorial. 
TABELAS DE FABRICANTES 
Normalmente, são disponíveis tabelas de valores de RMG dos condutores encordoados, onde 
também constam informações para serem utilizadas no cálculo da reatância indutiva, da 
reatância capacitiva em derivação e também da resistência. Algumas tabelas utilizam as 
unidades em pés, polegadas e milhas, outras utilizam quilômetros e metros. 
A reatância indutiva é muito mais utilizada que a indutância, pois temos que considerar a 
influência da frequência, e sua fórmula é dada por: 
 
onde Dm é a distância entre condutores. As unidades de Dm e Ds devem ser as mesmas, 
normalmente metros ou pés. Os valores de RMG dados nas tabelas são valores de 
Ds equivalentes, considerando o efeito pelicular que afeta significativamente o valor da 
indutância. O efeito pelicular é maior nas frequências mais altas para qualquer diâmetro de 
condutor. 
Os valores de Ds dados na Tabela 1 são calculados para frequência de 60 Hz. 
 
Tabela 1. Características elétricas de condutores de alumínio nu com alma de aço. Fonte: STEVENSON, 1986, p. 
447. (Adaptado). 
 
DICA 
Os valores usados para o primeiro cabo estão disponíveis no site da Nexans. 
Sugerimos que sempre consulte um site de fabricante para que tais parâmetros sejam 
os mais atualizados possíveis. 
Algumas tabelas, além dos valores do RMG, fornecem valores da reatância indutiva. Um dos 
métodos usados é a expansão do termo logarítmico da Equação 47 da seguinte forma: 
 
 Utilizando o que Stevenson nos diz em seu livro Elementos de análise de sistemas de potência, de 1986: 
Se Ds e Dm forem dados em pés, o primeiro termo da equação (48) será a reatância 
indutiva de um condutor de uma linha constituída por dois condutores afastados em 
1 pé, como pode ser verificado comparando-se as equações (47) e (48). O primeiro 
termo da equação (48) é, portanto, chamado reatância indutiva para 1 pé de 
espaçamento ou Xa, sendo função do RMG e da frequência. O segundo termo da 
equação(48) é chamado fator de espaçamento da reatância indutiva ou Xd. Este 
segundo termo é independente do tipo de cabo, dependendo apenas da frequência e 
do espaçamento. Este fator será nulo quando o espaçamento for de 1 pé. Se Dm for 
menor do que 1 pé, ele será negativo. Para calcular a reatância indutiva de uma 
linha, calculamos a reatância de espaçamento correspondente ao espaçamento 
usado, ambos calculados para a frequência desejada. A tabela 2 fornecem os valores 
da reatância indutiva para um pé de espaçamento e o fator de espaçamento da 
reatância indutiva, respectivamente (STEVENSON, 1986, p. 60). 
 
Tabela 2: Fator de espaçamento da reatância Xd em 60 Hz (W/milha por condutor. Fonte: STEVENSON, 1986, p. 
448. (Adaptado). 
INDUTÂNCIA DE LINHAS TRIFÁSICAS COM 
ESPAÇAMENTO SIMÉTRICO 
As equações obtidas até agora podem ser utilizadas para linhas trifásicas, simétricas e 
equilibradas (sem o condutor neutro), onde I'a + I'b + I'c = 0. O fluxo concatenado com linha de 
transmissão representada pela fase a é determinado através da equação (45), substituindo os 
circuitos 1, 2 e 3 por a, b e c: 
 
sendo I'a = - ( I'b + I'c ), a Equação 49 pode ser escrita como: 
 
A Equação 51 é análoga à Equação 35, referente a uma linha monofásica, com a mudança de r’ 
por Ds. As linhas de transmissão são projetadas para serem simétricas, para fazermos isso, 
utilizamos o mesmo material na construção das linhas trifásicas. Dessa forma, temos que, 
mantida a simetria, as indutâncias das fases b e c são iguais a da fase a. Sendo cada fase 
constituída por apenas um condutor, a Equação 51 calcula a indutância das fases a, b e c de uma 
linha trifásica. 
INDUTÂNCIA DE LINHAS TRIFÁSICAS COM 
ESPAÇAMENTO ASSIMÉTRICO 
O cálculo da indutância ficará mais complicado quando a linha trifásica tiver seus condutores 
com espaçamento assimétrico. Neste caso, o fluxo concatenado e a indutância correspondentes a 
cada fase não são os mesmos e o circuito se tornará desequilibrado. Para se restaurar o 
equilíbrio, troca-se a posição entre as fases a intervalo regulares que variam entre 200 m, como 
no exemplo 3, e 600 m para linhas longas, evento que é denominado transposição de 
fases (Figura 3). Com este arranjo físico, o valor da indutância média de cada condutor é 
mantido igual nas três fases. 
 
Figura 3. Ciclo de transposição. Fonte: MOHAN, 2016, p. 54. (Adaptado) 
Devido às dificuldades de instalação das linhas (muitas vezes elas devem ser instaladas em vales 
ou locais de difícil acesso), a transposição não é feita regularmente, pois descobriu-se que, se for 
feita somente nas estações de chaveamento, o erro apresentado entre as indutâncias de fase é 
mínimo e pode ser desprezado. Para linhas não transpostas, utilizamos o fluxo concatenado 
médio. 
Em uma linha transposta, podemos calcular o fluxo concatenado através da Equação 45, assim 
obteremos um fluxo médio. Vamos fazer o cálculo para a primeira posição como segue: 
 
Com a na posição 2, b na posição 3 e c na posição 1: 
 
e finalmente, com a na posição 3, b na posição 1 e c na posição 2: 
 
O valor médio da soma dos 3 fluxos concatenados com a é: 
 
Considerando que a corrente é igual e oposta à soma das correntes b e c, dado por Ia = - ( Ib + 
Ic) temos: 
 
 O que resulta na indutância média das três fases representadas por: 
 
Onde: 
 
Ds é o RMG do condutor. Comparando as Equações 57 e 51, verifica-se que Deq, é a média 
geométrica das três distâncias da linha assimétrica, ou seja, é o espaçamento formado pelo 
triângulo de lados iguais equivalente (os lados devem ser iguais porque a linha é transposta). 
Pode-se notar que há um termo recorrente entre todas essas equações: 2 x 10-7 ,quando a 
indutância é dada em H/m. O termo Ds é denominado RMG do condutor, ou seja, o Raio Médio 
Geométrico. O termo Deq é o DMG, ou Distância Média Geométrica. Esses valores são 
retirados de uma linha imaginária de mesma característica simétrica e equilibrada, fazendo a 
mesma função que essa linha assimétrica e desequilibrada, para que tenhamos uma facilidade 
matemática. 
CABOS MÚLTIPLOS 
O efeito corona (quando o ar perto das linhas se torna condutor, ou seja, ocorre o rompimento da 
rigidez dielétrica do ar, e devido ao campo magnético formado pelas linhas, aparecem descargas 
ao longo das torres) torna-se excessivo nas tensões acima de 230 kV, isto é, para extra-altas-
tensões (EAT). Este efeito aumenta as perdas de potência e a interferência nas comunicações. 
Estudos constataram que esse efeito era maior quando o circuito era constituído apenas de um 
condutor por fase, por isso, atualmente, utilizamos cabos múltiplos para reduzi-lo, ou seja, um 
cabo é formado por vários cabos encordoados de uma maneira que a corrente flua por cada um 
de seus elementos. Na Figura 4, pode-se verificar como esse efeito é notado em linhas de 
transmissão. 
 
Figura 4: Efeito corona em linhas de transmissão. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 18/07/2019. 
 
Os condutores dos cabos triplos são geralmente colocados nos vértices de um triângulo 
equilátero, enquanto os de cabos quádruplos, nos vértices de um quadrado. Existem várias 
disposições, todas baseadas em figuras geométricas de lados iguais, como mostrado na Figura 5. 
As torres de transmissão possuem vários formatos, dependendo da carga que devem suportar e 
do solo onde estão instaladas. Elas transportam circuitos simples, duplos e múltiplos e os 
cálculos apresentados neste tópico fornecem o valor da indutância com bastante precisão. 
 
Figura 5: Tipos de torres de transmissão que podem suportar cabos múltiplos. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 
18/07/2019. (Adaptado). 
 
A redução da reatância é outra vantagem importante dos cabos múltiplos. O aumento do número 
de condutores reduz o efeito corona e a reatância. Para cabos formados por dois condutores: 
 
Para cabos formados por três condutores: 
 
Para cabos formados por quatro condutores: 
 
Ao utilizarmos a Equação 61 para o cálculo da indutância, devemos substituir Ds de um 
condutor simples pelo Dbs do cabo múltiplo. 
 
CURIOSIDADE 
Ao cruzarmos com uma linha de transmissão, vemos algumas bolas alaranjadas 
conectadas ao cabo para-raio. Essas bolas servem somente para indicação da existência 
de que uma linha irá sofrer uma curva para pilotos de aeronaves, ou seja, funcionam 
como sinalizadores. 
Quando uma torre é parcialmente pintada de laranja, ela também indica para os pilotos 
de helicópteros que fazem a termografia da rede (análise de calor dos cabos para saber 
se há um início de curto ou rompimento), que a linha está deixando de ser reta e vai 
virar – o lado pintado sinaliza se é à esquerda ou à direita. 
 
Seção 3 - 
Capacitância 
 
Capacitância 
 
A capacitância é função da tensão entre os condutores, o que faz surgir uma diferença de 
potencial que funciona como se fosse um capacitor. Esse parâmetro varia com a distância entre 
as linhas e o tamanho delas, o que faz com que seja de fundamental importância para as mais 
longas. Já para linhas curtas, que são aqueles com uma extensão menor que 80 km, este efeito 
pode ser desprezado. Para as médias, algumas vezes ele é considerado e outras não. 
CAMPO ELÉTRICO DE UM CONDUTOR 
https://sereduc.blackboard.com/courses/1/1.3088.23807/content/_2385042_1/scormcontent/index.html#/lessons/-8q3ezVyzYyuvouYBdOZN1AHFkS5aGuH
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O campo elétrico é um fenômeno que influencia o cálculo da capacitância, como ocorre com o 
campo magnético e o cálculo da indutância. A indutância influi na capacidade de transmissãoda 
potência ativa (responsável por realizar trabalho) e a capacitância sobre a potência reativa 
(responsável por manter o campo girante das máquinas ou acumular energia para que o 
equipamento possa vencer a situação de inércia ou repouso). 
O campo elétrico tem origem no polo ou carga positiva e vai em direção ao polo ou carga 
negativa. Este campo cria uma densidade de fluxo elétrico, que é medido em Coulombs por 
metro quadrado (C/m2). 
 
A Lei de Gauss para campos elétricos estabelece que o fluxo total através de uma superfície 
fechada s é igual ao total de carga elétrica existente no interior dela. Ao inserirmos um cabo 
elétrico em um meio como o ar e o conectarmos a uma fonte, ele terá uma carga uniforme em 
seu comprimento, com fluxo em forma de círculos concêntricos, ou seja, todos os pontos à 
mesma distância deste condutor estarão em um mesmo potencial de tensão (a este fenômeno 
damos o nome de pontos equipotenciais) e terão a mesma densidade de fluxo elétrico. 
Imaginemos agora que este círculo esteja a uma distância de x metros do centro do condutor. A 
densidade do fluxo elétrico sobre essa superfície equipotencial é igual ao fluxo que sai do 
condutor por metro de comprimento, dividido pela área da superfície contida em um 
comprimento cilíndrico com raio de um metro. Portanto: 
 
Onde q é a carga no condutor em C/m de comprimento e x é a distância em metros do centro do 
condutor até o ponto onde deve ser calculada a densidade de fluxo elétrico. A intensidade de 
campo elétrico é igual à densidade de fluxo elétrico dividida pela permissividade do meio. 
Logo, a intensidade do campo elétrico, é dada por: 
 
DIFERENÇA DE POTENCIAL ENTRE DOIS PONTOS DEVIDO 
A UMA CARGA 
A integral de linha de força em Newtons, que age sobre um Coulomb de carga positiva colocado 
entre dois pontos, é o trabalho realizado para mover a carga do ponto de potencial mais baixo 
para o mais alto, sendo numericamente igual à diferença de potencial entre os dois. 
Imaginemos dois pontos P1 e P2 afastados em D1 e D2 metros do centro de um fio reto e longo, 
conduzindo uma carga positiva de q (C/m). Agora, supondo-se que esta carga precise ser 
movida de um ponto para o outro, se as cargas forem opostas, elas se atrairão e se forem iguais, 
elas se repelem. Este deslocamento entre os pontos é feito mediante a realização de trabalho 
dado em N/m. O caminho percorrido para se chegar de P1 até P2 não é importante. Se foi 
realizado um trabalho é porque uma parcela de energia elétrica foi transformada, e isso resulta 
em uma queda de tensão que pode ser calculada por: 
 
Onde q é a carga instantânea no condutor em C/m de comprimento. É claro que esta rede pode 
receber trabalho (quando temos a presença de reativos, ou seja, quando o deslocamento ocorrer 
do ponto P2 para o ponto P1). 
CAPACITÂNCIA DE UMA LINHA A DOIS FIOS 
A capacitância desta linha é obtida pela divisão da carga em C/m pela queda de tensão entre 
esses dois fios, sendo representada por: 
 
Onde q é a carga sobre a linha (em C/m) e é a diferença de potencial entre os condutores em V. 
Esta capacitância por unidade de comprimento será chamada, a partir de agora, apenas 
por capacitância. 
A equação da capacitância pode ser obtida com a substituição da Equação 65 pelo valor da 
tensão em função do valor da carga dado pela Equação 64. A tensão entre as fases a e b pode ser 
dada pela diferença de potencial entre essas fases, sendo que primeiro calculamos a queda de 
tensão devido à carga qa e depois a queda de tensão devido a carca qb. Podemos somar estas duas 
quedas de tensão graças ao princípio da superposição. 
 
Imaginemos o condutor a carregado com uma carga qa e o condutor b sem carga alguma. 
Mesmo sem nenhuma carga, o condutor b é uma superfície de mesma tensão, chamada de 
superfície equipotencial. Quando obtivemos a Equação 64, consideramos todas as superfícies 
equipotenciais como cilíndricas, devido à geometria dos cabos da linha de transmissão. A 
tensão vab obtida será a mesma, não importa qual caminho escolhemos para ir de a até b, pois 
todas as superfícies neste exemplo são equipotenciais. 
Convertendo à notação fasorial (qa e qb passam a ser números complexos), obtemos: 
 
sendo que uma linha é retorno da outra, temos qb = - qa: 
 
Efetuando o rearranjo dos termos temos: 
 
A capacitância entre condutores é: 
 
Considerando ra = rb = r: 
 
A Equação 70 dá a capacitância entre condutores de uma linha a dois fios. Às vezes, é desejável 
conhecer a capacitância entre um dos condutores e um ponto neutro entre eles. 
A capacitância ao neutro para a linha a dois fios é o dobro da capacitância linha-linha 
(capacitância entre condutores): 
 
A Equação 61 corresponde à equação (35) para a indutância, lembrando que o raio aqui é o raio 
real do condutor (para capacitância, não temos o efeito das mútuas). As Equações 66 e 71 foram 
deduzidas a partir da equação 64, que se baseia na suposição de distribuição uniforme de carga 
sobre a superfície do condutor. Quando outras cargas estiverem presentes, a distribuição delas 
sobre a superfície do condutor não será uniforme e as equações deduzidas não serão 
precisamente corretas. Mas esse erro pode ser desprezado, pois é igual a 0,01%. 
Agora, precisamos corrigir o valor obtido para a capacitância de cabos singelos (Equação 71) 
para os encordoados (eles evitam o efeito corona), já que os cabos utilizados em linhas de 
transmissão são todos encordoados (compostos de vários cabos trançados). Felizmente, o erro 
devido a utilização do raio do condutor encordoado é muito pequeno e pode ser desprezado, ou 
seja, esta equação também é válida para cabos encordoados. 
Tendo sido obtida a capacitância ao neutro, a reatância capacitiva entre um condutor e o neutro, 
para uma permissividade relativa kr = 1, é calculada usando a mesma fórmula para o cálculo da 
capacitância, dada na Equação 71. 
 
Sendo o valor C dado em Farads por metro (F/m), a unidade apropriada para XC será ohms-
metro (W.m). Devemos também notar que a Equação 72 representa a reatância ao neutro para 
um metro de linha. Como as reatâncias capacitivas estão em paralelo ao longo da linha, XC em 
ohms-metro deve ser dividida pelo comprimento da linha (em metros) para que se obtenha a 
reatância capacitiva ao neutro em ohms para toda a linha. 
Dividindo a Equação (72) por 1.609, obtemos a reatância capacitiva em ohms-milhas. 
 
A Tabela 3 apresenta os diâmetros externos mais usados em condutores CAA. Se D e r na 
Equação 63 forem dados em pés, a reatância capacitiva para um pé de espaçamento x’a será o 
primeiro termo e o fator de espaçamento de reatância capacitiva x’d será o segundo termo na 
equação seguinte. 
 
A Tabela 1 inclui os valores de x’a para as bitolas mais comuns de cabos CAA. Existem, à 
disposição, tabelas para os outros tipos de condutores, em suas diferentes bitolas. Na Tabela 2, é 
apresentada uma lista de valores de x’d . 
 
Tabela 3. Fator de espaçamento da reatância capacitiva em paralelo X´d. a 60 Hz (Ω /milha por condutor). Fonte: 
STEVENSON, 1986, p. 448. (Adaptado). 
CAPACITÂNCIA DE UMA LINHA TRIFÁSICA COM 
ESPAÇAMENTO SIMÉTRICO 
Imaginemos uma linha de transmissão formada por três condutores dispostos em forma de um 
triângulo com lados iguais. A Equação 66 representa a tensão entre esses dois condutores por 
causa da carga em cada um deles, logo Vab será igual a: 
 
Incluindo o efeito de qc, por conta da Equação 64, temos que a tensão Vab, devido a carga na fase 
c, será de: 
 
Que é igual a zero, pois qc está localizado à mesma distância de a e de b, o que faz com que ln 1 
= 0. Para ter uma precisão matemática rigorosa consideraremos o efeito das três fases no 
cálculo, assim mesmo: 
 
Equivalentemente: 
 
Adicionando à Equação 76 a Equação 77, o resultado será: 
 
No nosso cálculo, não estamos considerando o efeito da terra, por imaginá-la distante das linhas 
trifásicas. Adotandoa notação fasorial e substituindo qa + qb por – qa na Equação 78, obtemos: 
 
Considerando as relações entre as tensões de linha e de fase, podemos escrever que: 
 
Adicionando à Equação 80 a Equação 81, temos: 
 
Realizando a substituição da Equação 82 na Equação 79, temos: 
 
Pela definição de capacitância ao neutro ser o quociente de uma carga em um condutor, dividida 
pela queda de tensão entre aquele condutor e o neutro, temos: 
 
Comparando as Equações 84 e 71, vemos que as duas são idênticas, representam a capacitância 
ao neutro de linhas trifásicas, com espaçamento simétrico, e a capacitância para linhas 
monofásicas. 
A corrente de carregamento é o produto da tensão de linha pela sua capacitância, dado notação 
fasorial: 
 
Para uma linha trifásica, a corrente de carregamento é obtida multiplicando a tensão de fase pela 
susceptância capacitiva ao neutro. A corrente de carregamento, na forma de fasor, para a fase a 
é: 
 
Por ser uma senoide, o valor instantâneo de Van varia e utilizamos o valor eficaz. 
CAPACITÂNCIA DE UMA LINHA TRIFÁSICA COM 
ESPAÇAMENTO ASSIMÉTRICO 
 
Os valores da capacitância para linhas assimétricas variam devido a variação da distância entre 
as linhas a, b, e c. Quando as linhas são transpostas, esta assimetria diminui. Mesmo se a linha 
não for transposta, o erro de cálculo é pequeno e pode ser desprezado. 
Agora, vamos obter as 3 equações de Vab para as três posições diferentes no ciclo de 
transposição. Com a fase a na posição 1, b na posição 2 e c na posição 3: 
 
Com a na posição 2, b na posição 3 e c na posição 1: 
 
E, com a na posição 3, b na posição 1 e c na posição 2: 
 
As Equações 88 e 89 são semelhantes às Equações 52 e 54 para linhas de transmissão com 
transposição. O tratamento matemático dado às equações da indutância foi mais fácil de ser 
obtido, devido ao fato que adotamos um raio médio geométrico para chegarmos ao cálculo final. 
Esta aproximação não pode ser feita tão facilmente assim para a capacitância, pois a carga em 
um condutor varia muito ao longo da linha. 
Teremos, então, mais dificuldade para obter a solução exata para o cálculo da capacitância. Mas 
pode ser obtida uma boa aproximação, se supomos que a carga é a mesma ao longo da linha, 
obtendo uma tensão média entre os condutores. Também podemos chegar à mesma conclusão a 
partir da média das Equações 87, 88 e 89. 
Ou seja: 
 
Onde: 
 
Da mesma forma, a queda de tensão entre o condutor a e o condutor c é: 
 
Aplicando a Equação 82 para obter a tensão em relação ao neutro, temos: 
 
Como qa + qb + qc = 0 em um circuito equilibrado: 
 
E: 
 
A Equação 95, para a capacitância ao neutro de uma linha trifásica transposta, corresponde à 
Equação 57 para a indutância por fase de uma linha semelhante. Para se obter a reatância 
capacitiva ao neutro correspondente a Cn, ela pode ser desenvolvida em componentes de 
reatância capacitiva a 1 pé de espaçamento Xa' e de fator de espaçamento da reatância 
capacitiva X'd, como foi definido pela Equação 74. 
CABOS MÚLTIPLOS 
 
Para uma linha de cabos múltiplos é possível conforme proposto por Stevenson em Elementos 
de análise de sistemas de potência, de 1986: 
escrever uma equação para a tensão entre os cabos a e b como fizemos ao 
deduzirmos a equação (87), exceto que neste caso devemos considerar as cargas em 
todos os seis condutores individuais. Os condutores de cada cabo estão em paralelo, 
e podemos admitir que a carga por cabo se divide igualmente entre os condutores 
deste cabo, pois o afastamento entre condutores de mesma fase é usualmente mais 
do que 15 vezes menor do que o espaçamento entre cabos. Também, como D12 é 
muito maior do que d, podemos usar D12 no lunar de D12 - d e de D12 + d e de forma 
semelhante substituir as expressões mais exatas obtidas no cálculo de Vab pelas 
distâncias entre os centros dos cabos múltiplos. Mesmo quando os cálculos são 
realizados com 5 ou 6 algarismos significativos, não se pode detectar as diferenças 
que surgem nos resultados finais, devidas a estas simplificações (STEVENSON, 
1986, p.88). 
Se a carga na fase a for qa, cada um dos condutores a e a’ terá uma carga qa/2; para as fases b e c 
serão admitidas divisões semelhantes de carga. Então: 
 
As letras sob cada termo logarítmico indicam o condutor cuja carga é considerada naquele 
termo. Combinando os termos, obtemos: 
 
A Equação 97 é semelhante à Equação 87, com exceção da substituição de r por √rd . Segue-se 
que, se a linha fosse considerada transposta, teríamos obtido: 
 
O termo √rd é equivalente a Dbg para um cabo múltiplo de dois condutores, exceto pela 
substituição de Dg por r. Isto nos leva à importante conclusão de que se pode aplicar um método 
DMG modificado ao cálculo da capacitância de uma linha trifásica de cabos múltiplos com dois 
condutores por fase. A modificação consiste no uso do raio externo no lugar do RMG de um 
condutor. O termo DMG é chamado de distância média geográfica e o RMG é o raio médio 
geométrico. 
É lógico concluir que o método DMG modificado se aplica a outras configurações de cabos 
múltiplos. Se usarmos a notação DbsC para o RMG, modificado para ser usado em cálculos de 
capacitância, para distingui-lo da Dbg usada no cálculo da indutância, temos: 
 
Então, para um cabo múltiplo de dois condutores: 
 
Para um cabo múltiplo de três condutores: 
 
E para um cabo múltiplo de quatro condutores: 
 
 
Seção 4 - 
Impedância e susceptância de sequência 
 
 
Impedância e susceptância de sequência 
 
https://sereduc.blackboard.com/courses/1/1.3088.23807/content/_2385042_1/scormcontent/index.html#/lessons/HgF5Qe4y63NiYadtFdW7xni5VL1SYsRf
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As componentes simétricas são uma das maneiras encontradas para simplificar o cálculo 
matemático de circuitos desequilibrados. Para encontrarmos as componentes simétricas da 
matriz de indutância trifásica, primeiramente precisamos escrevê-la (esta matriz terá três linhas e 
três colunas, sendo que a diagonal é sempre representada pelas indutâncias próprias e as outras 
posições pelas indutâncias mútuas). 
INDUTÂNCIA DE LINHAS TRIFÁSICAS 
Imaginemos uma linha trifásica de comprimento infinito. As três distâncias entre os condutores 
das três fases não são necessariamente iguais. Agora, inserimos um ponto P fora do plano e dos 
condutores. As relações entre os fluxos concatenados com as correntes I1, I2 e I3 podem ser 
colocadas na forma geral (matricial), dada por:i 
 
Sendo que Lii = LP= L11, L22 e L33 são chamadas de indutâncias próprias e Lij = LM= L12 = L21, 
L13 = L31 e L23 = L32, de indutâncias mútuas. 
No caso particular em que os espaçamentos entre os condutores formam um triângulo equilátero 
(e são desprezadas outras perturbações) a matriz de coeficientes que aparece na Equação 103 se 
torna uma matriz diagonal com elementos da diagonal principal iguais entre si, ou seja, as 
indutâncias mútuas são iguais a zero. 
CAPACITÂNCIA DE LINHAS TRIFÁSICAS 
Imaginemos uma linha trifásica de comprimento infinito. As três distâncias entre os condutores 
das três fases não são necessariamente iguais. Agora inserimos um ponto P, fora do plano e dos 
condutores. As relações entre as densidades de carga nos três condutores e 
potenciais 1, 2 e 3 podem ser colocadas na forma geral (matricial), dada por: 
 
Sendo que Cii = CP= C11, C22 e C33 são chamadas de indutâncias próprias e Cij = CM= C12 = C21, 
C13 = C31 e C23 = C32 são chamadas de indutâncias mútuas. 
No caso particular em que os espaçamentos entre os condutores formam um triângulo equilátero 
(esão desprezadas outras perturbações), a matriz de coeficientes que aparece na Equação 104 se 
torna diagonal, com elementos da diagonal principal iguais entre si e as indutâncias mútuas são 
iguais a zero. 
 
 
IMPEDÂNCIA/SUSCEPTÂNCIA UTILIZANDO AS 
COMPONENTES SIMÉTRICAS 
 
 
Conforme já mencionado, as linhas trifásicas são compostas por resistências, indutâncias e 
capacitâncias, ligadas em série ou paralelo. Ao conjunto destes parâmetros damos o nome 
de impedância da linha. Ela é obtida pela Lei de Ohm, ou seja, pela divisão da tensão fasorial 
pela corrente fasorial. A susceptância é a grandeza proveniente da divisão da corrente pela 
tensão, ou seja, da relação inversa da impedância. 
CIRCUITO SEM INDUTÂNCIAS MÚTUAS 
A fim de nos familiarizarmos com a aplicação de componentes simétricas, vamos analisar 
primeiro um circuito sem impedâncias mútuas e depois um circuito com impedâncias mútuas. 
Consideremos um circuito ligado em estrela, com tensões de fase no gerador iguais VAN, VBN e 
VCN, alimentando uma linha constituída pelas impedâncias próprias Za, ZB e ZC. Os centro-
estrelas do gerador e da linha não estão ao mesmo potencial, portanto, podemos interligar esses 
dois pontos por meio de um gerador de tensão constante igual a VNN. Teremos uma rede com 
dois nós e quatro elementos. Logo, resultam três malhas independentes (NA’N, BN’N e CN’N), 
cujas equações são: 
V̇AN + V̇NN’ + V̇N’A = 0 
V̇BN + V̇NN’ + V̇N’B = 0 (105) 
V̇CN + V̇NN’ + V̇N’C = 0 
 
 
 
 
 
Sendo que: 
 V̇AN' = Z̅A İA 
V̇BN' = Z̅B İB 
V̇CN' = Z̅C İC 
Essas equações podem ser expressas matematicamente por: 
 
Ressaltamos que a matriz das impedâncias dada pela equação (106) é diagonal, isto é, os 
elementos fora da diagonal da matriz são nulos. Os elementos da diagonal representam as 
impedâncias próprias. 
A equação de malhas, posta em forma matricial, torna-se: 
 
Ou: 
 
E que: 
 
Resulta: 
 
Pré-multiplicando ambos os membros por T-1, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, sendo: 
 
Sendo Z̅0, Z̅1 e Z̅2 as componentes simétricas de Z̅A, Z̅B e Z̅C. Resultando que: 
 
Logo: 
 
Podemos decompor o circuito trifásico ligado em estrela em três circuitos: 
• Circuito de sequência zero: constituído por uma fem de valor V̇A0+ V̇NN', alimentando uma 
impedância Z̅0 e tendo mútuas Z̅1 e Z̅2 com os circuitos de sequência direta e inversa, 
respectivamente, e cuja equação é dada por V̇A0+ V̇NN' = Z̅1 İA0 + Z̅2 İA1 + Z̅1 İA2. 
• Circuito de sequência direta: constituído por uma fem de valor V̇A1, alimentando uma 
impedância Z̅0 e tendo mútuas Z̅1 e Z̅2 com os circuitos de sequencia zero e inversa, 
respectivamente, e cuja equação é dada por V̇A1 = Z̅1 İA0 + Z̅0 İA1 + Z̅2 İA2. 
• Circuito de sequência inversa: constituído por uma fem de valor V̇A2, alimentando uma 
impedância Z̅0 e tendo mútuas Z̅2 e Z̅1 com os circuitos de sequencia zero e inversa, 
respectivamente, e cuja equação é dada por V̇A2 = Z̅2 İA0 + Z̅1 İA1 + Z̅0 İA2. 
CIRCUITO COM INDUTÂNCIAS MÚTUAS 
Havendo o trecho A-A’ de uma rede trifásica a quatro fios. Nas malhas AA’N’N, BB’N’N e 
CC’N’N teremos: 
V̇NA + V̇AA’ + V̇A’N’ + V̇N’N = 0, ou seja V̇AN - V̇A’N’ 
= V̇AA’ + V̇N’N (108) 
Temos que: 
 
 
Sendo que: 
Z̅A – impedância própria do condutor a; 
Z̅B – impedância própria do condutor b; 
Z̅C – impedância própria do condutor c; 
Z̅AB = Z̅BA - impedância mútua entre os condutores a e b; 
Z̅BC = Z̅CB - impedância mútua entre os condutores b e c; 
Z̅CA = Z̅AC - impedância mútua entre os condutores c e a; 
Z̅AG = Z̅GA - impedância mútua entre os condutores a e retorno; 
Z̅BG = Z̅GB - impedância mútua entre os condutores b e retorno; 
Z̅CG = Z̅GC - impedância mútua entre os condutores c e retorno; 
Z̅G - impedância própria do condutor de retorno; 
İA – corrente no condutor a; 
İB – corrente no condutor b; 
İC – corrente no condutor c; 
İN = İA + İB + İC – corrente no condutor de retorno; 
Resultando: 
V̇AA' = Z̅A İA + Z̅AB İB + Z̅AC İC - Z̅AG (İA + İB + İC) 
V̇BB' = Z̅AB İA + Z̅B İB + Z̅BC İC - Z̅BG (İA + İB + İC) 
V̇CC' = Z̅CA İA + Z̅BC İB + Z̅C İC - Z̅CG (İA + İB + İC) 
Que pode ser expresso por matrizes: 
 
Em que İ0 representa a componente de sequência zero das correntes İA, İB e İC. 
O valor de V̇N’N’ é dado por V̇N’N’ = Z̅G İN – (Z̅AG İA + Z̅BG İB + Z̅CG İC). Sendo İN = İA + İB + İC, resulta İN = 3 İ0, 
sendo que: 
V̇N’N’ = 3 Z̅G İN - (Z̅AG İA +Z̅BG İB + Z̅CG İC). 
Definindo-se o vetor V̇N'N' por: 
 
E substituindo as Equações 109 e 110 na Equação 108, resulta: 
 
Substituindo, na expressão acima, as tensões e correntes por suas componentes simétricas, 
obtemos: 
 
Pré-multiplicando ambos os membros por T-1, obtemos: 
 
Vamos calcular separadamente os valores de T-1 ZA T e de T-1 ZG, isto é: 
 
Finalmente: 
 
Ou ainda, T-1 ZA T = 
 
Definindo: 
 
Resulta: 
 
Agora vamos trabalhar o termo T-1 ZG: 
 
Finalmente, substituindo as Equações 113 e 114 na Equação 112, resulta: 
 
Onde: 
Z̅00 = Z̅AG + 2 Z̅AB0 - 6 Z̅AG0 + 3 Z̅G 
Z̅01 = Z̅A2 + Z̅AB2 - 3 Z̅AG2 
Z̅02 = Z̅A1 + 2 Z̅AB1 - 3 Z̅AG1 
Z̅10 = Z̅A1 - 2 Z̅AB1 - 3 Z̅AG1= Z̅02 
Z̅11 = Z̅AG - Z̅AB0 
Z̅12 = Z̅A2 + 2 Z̅AB2 
Z̅20 = Z̅A2 - Z̅AB2-3 Z̅AG2 = Z̅01 
Z̅21 = Z̅A1 + 22Z̅AB1 
Z̅22 = Z̅AG - Z̅AB0 = Z̅11 
Assim, temos as componentes simétricas de uma linha trifásica com impedâncias mútuas e 
próprias. Com os valores calculados acima, pode-se montar a matriz de impedância ou de 
susceptância, conforme for melhor para a resolução dos circuitos de sistemas de potência, pois 
uma é inversa da outra. 
 
ASSISTINDO 
Sugerimos o vídeo sobre um dos trabalhos mais perigosos do mundo (e com os 
menores índices de acidentes), que é o trabalho nas linhas de transmissão com elas 
energizadas. Neste vídeo, é realizada a manutenção em uma linha de 500 kV 
energizada. Basta mudar a legenda para português. Também sugerimos o vídeo que 
explica como as linhas da usina de Itaipu foram construídas e funcionam, com detalhes 
para o elo de corrente contínua. 
ASSISTA 1 
ASSISTA 2 
 
Ago ra é a hodo o 
SINTETIZANDO 
Estudamos os parâmetros de uma linha de transmissão e como são obtidos estes valores através 
de cálculos matemáticos. Iniciamos o estudo pela reatância indutiva e depois estudamos a 
reatância capacitiva. Na primeira parte, consideramos o enlace de fluxo entre os condutores e a 
influência do campo magnético na definição da indutância. Na segunda parte estudamos o 
campo elétrico e sua influência na definição da capacitância. 
Para ambos os parâmetros, primeiro estudamos uma linha simples, depois expandimos o estudo 
para linhas trifásicas equilibradas e desequilibradas e finalizamos o cálculo para cabo múltiplos. 
Ainda no tópico indutância, também foi abordado o cálculo das indutâncias mútuas e os 
benefícios da transposição das linhas de transmissão para a eliminação da influência das 
indutâncias mútuas no equacionamento das linhas de transmissão. 
https://www.youtube.com/watch?v=88v_WIXtI3s
https://www.youtube.com/watch?v=NQsYM5qOnUM
Em todo o estudo, também aprendemos a consultar e localizar estes valores calculados nas 
tabelas dos fabricantes, pois muitas vezes será necessário realizar algumas mudanças de 
unidades de milhas para quilômetros devido ao fato de que algumas medidas são dadas no 
sistema de unidade inglês. 
Finalmente, o estudo dos parâmetros de linhas de transmissão se encerra no cálculo das 
impedâncias indutivas e capacitivas, segundo a teoria das componentes simétricas e na 
formulação das matrizes de admitância e susceptância trifásicas para a obtenção destes 
parâmetros na forma simétrica. Desta forma, o equacionamento da rede elétrica pode ser feito 
através da análise matemática estudada com uma precisão considerável para utilizarmos na 
análise do sistema elétrico de potência. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ARAÚJO,A. E. A. NEVES, W. L. A. Cálculo de transitórios eletromagnéticos em sistemas 
de energia. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2005. 
CONEJO, J. C; GOMEZ-EXPOSITO, A; CAÑIZARES, C. Sistemas de energia elétrica: 
análise e operação, Rio de Janeiro: LTC Editora, 2015. 
FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas; teoria das linhas em regime 
permanente. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos; Itajubá: Escola Federal de 
Engenharia, 1977. 
MOHAN, N. Sistemas elétricos de potência. Rio de Janeiro: LTC: Livros Técnicos e 
Científicos, 2016. 
MONTICELLI, A.; GARCIA, A. Introdução a sistemas de energia elétrica. 2. ed. Campinas: 
Editora da Unicamp, 2011. 
NEXANS. Cabos de alumínio nu com alma de aço: CAA (Série KCMIL). Disponível em: 
<https://www.nexans.com.br/eservice/Brazil-pt_BR/pdf-product_540012744/Waxwing.pdf>. 
Acesso em: 19 jul. 2019. 
OLIVEIRA, C. C. B; SCHMIDT, H. P.; KAGAN, N.; ROBBA, E. J. Introdução a sistemas 
elétricos de potência: componentes simétricas. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Blucher, 2000. 
REIS, L. B. Geração de energia elétrica. 3. ed. rev. e ampl. Baureri: Editora Manole, 2017. 
SISTEMA de distribuição da usina de Itaipu. Postado por CanalFurnas (9 min. 1 seg.). 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=NQsYM5qOnUM>. Acesso em: 19 jul. 
2019. 
STEVENSON JUNIOR, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. 2. ed. São 
Paulo: McGraw-Hill, 1986. 
TRABALHO em linha viva de 500 KV. Postado por mercadoenergia (3 min. 10 seg.). 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=88v_WIXtI3s>. Acesso em: 19 jul. 2019. 
ZANETTA JUNIOR, L. C. Fundamentos de sistemas elétricos de potência. São Paulo: 
Livraria da Física, 2005. 
https://www.nexans.com.br/eservice/Brazil-pt_BR/pdf-product_540012744/Waxwing.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=NQsYM5qOnUM
https://www.youtube.com/watch?v=88v_WIXtI3s