Apostila de Probabilidade E Estatística

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ESTATÍSTICA 
 
 
 
Profa.Msc. Lima, Jozete C. 
Uninorte 
 
 
 
 
 
 
2 Estatística Aplicada 
Copyrigth © 2016Jozete Coelho de Lima 
 
SUMÁRIO 
 
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 
1.1. Ementa 
1.2. Público Alvo 
1.3. Objetivos 
1.3.1. Geral 
1.3.2. Específicos 
1.4. Metodologia 
1.5. Avaliações 
1.6. Curriculum Resumido dos professores 
 
2. INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA 
2.1. Histórico 
2.2. Áreas da Estatística 
2.3. Definição 
2.4. Áreas de atuação 
2.5. Linguagem Estatística 
2.6. Exercícios 
 
3. SÉRIES ESTÁTICAS 
3.1. Tabelas 
3.2. Gráficos 
3.2.1. Tipos de Gráficos 
3.3. Exercícios 
 
4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
4.1. Distribuição de freqüência sem intervalos de classe: 
4.2. Distribuição de freqüência cem intervalos de classe: 
4.2.1. Elementos da distribuição de freqüência 
4.2.2. Método prático para construção de uma distribuição de freqüência 
com intervalo 
4.3. Tipos de freqüência 
4.4. Representação gráfica de uma distribuição 
4.5. Exercícios 
 
5. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
5.1. Média 
5.1.1. Dados não-agrupados ou Aritmética 
5.1.2. Dados agrupados ou Ponderada 
5.1.2.1. Sem Intervalo de Classe 
5.1.2.2. Com Intervalo de Classe 
5.1.3. Média Geral 
5.1.4. Média Geométrica 
 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
 
6 
6 
6 
6 
7 
7 
9 
 
11 
11 
12 
12 
16 
 
17 
17 
17 
18 
 
18 
19 
20 
22 
 
23 
23 
23 
23 
23 
24 
25 
 
 
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5.2. Moda 
5.2.1. Dados não-agrupados 
5.2.2. Dados agrupados 
5.2.2.1. Sem intervalo de classe 
5.2.2.2. Com intervalo de classe 
5.3. Mediana 
5.3.1. Dados não-agrupados 
5.3.2. Dados agrupados 
5.3.2.1. Sem intervalo de classe 
5.3.2.2. Com intervalo de classe 
 
6. SEPARATRIZES 
6.1. Quartis 
6.1.1. Dados não-agrupados 
6.1.2. Dados agrupados 
6.1.2.1. Sem intervalo de classe 
6.1.2.2. Com intervalo de classe 
6.2. Centis 
6.2.1. Dados não-agrupados 
6.2.2. Dados agrupados 
6.2.2.1. Sem intervalo de classe 
6.2.2.2. Com intervalo de classe 
 
7. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
7.1. Amplitude Total 
7.2. Intervalo semi interquartílico 
7.3. Desvio Médio 
7.3.1. Dados Agrupados 
7.3.2. Dados não Agrupados 
7.3.2.1. Sem intervalo de classe 
7.3.2.2. Com intervalo de classe 
7.4. Desvio Padrão 
7.4.1. Dados Agrupados 
7.4.2. Dados não Agrupados 
7.4.2.1. Sem intervalo de classe 
7.4.2.2. Com intervalo de classe 
7.5. Variância 
7.6. Coeficiente de Variação 
7.7. Exercícios 
 
8. MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
8.1. Coeficientes de Assimetria 
8.1.1. Primeiro Coeficiente de Pearson 
25 
26 
26 
26 
27 
27 
27 
28 
29 
29 
30 
 
32 
32 
32 
33 
33 
34 
35 
35 
35 
35 
36 
 
37 
37 
37 
38 
38 
38 
38 
39 
40 
40 
40 
40 
41 
41 
42 
43 
 
44 
44 
 
 
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8.1.2. Segundo Coeficiente de Pearson 
 
9. MEDIDAS DE CURTOSE 
 
10. INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE 
10.1. Teoria de Conjuntos 
10.2. Conjunto universo ou espaço amostral 
10.3. Operação entre conjuntos 
10.3.1. União de conjuntos 
10.3.2. Intersecção de conjuntos 
10.3.3. Complementar de um conjunto 
 
11. NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
11.1. Definição de probabilidade 
11.2. Função de probabilidade 
11.3. Experimento aleatório 
11.4. Espaço amostral 
11.5. Evento 
11.6. Probabilidade como relação de conjunto 
11.7. Relações de probabilidade 
 
12. VARIAVÉIS ALEATÓRIAS 
12.1. Definição 
12.2. Variável Aleatória Discreta 
12.3. Variável Aleatória Contínua 
 
13. NÚMEROS ÍNDICES 
13.1. Conceitos e Aplicações dos Números-Índice 
13.2. Introdução a Números Índices 
13.3. Relativos: Preço, Quantidade e Valor 
13.4. Elos de Relativos (Base móvel) 
13.5. Relativos em Cadeia (Base fixa) 
13.6. Índices Agregativos 
13.7. Índice Agregativo Simples 
13.8. Índice Agregativo Ponderado 
13.8.1. Índice de Laspeyres 
 
14. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
15. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
44 
44 
 
46 
 
48 
48 
48 
48 
48 
 49 
49 
 
50 
50 
50 
50 
50 
51 
51 
51 
 
55 
55 
55 
57 
 
59 
59 
59 
59 
60 
61 
62 
62 
62 
63 
 
65 
 
66 
 
 
 
 
 
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1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 
 
1.1. Ementa 
Análise Descritiva de Dados, Noções de Probabilidade, Variáveis Aleatórias 
Discretas e Contínuas, e Números Índices. 
 
1.2. Público Alvo 
Este curso destina-se aos alunos de graduação em Administração, Contabilidade, 
Economia, Sistema de Informação, Matemática, etc. 
 
1.3. Objetivos 
 
1.3.1. Geral 
Espera-se que o aluno seja capaz de adquirir conhecimentos da metodologia 
estatística para a resolução de problemas tomada de decisões. 
 
1.3.2. Específicos 
 Equacionar problemas referentes à estatística descritiva; 
 Solucionar problemas, não complexos, de probabilidade; 
 Identificar problemas referentes à inferência estatística; 
 
1.4. Metodologia 
Aulas Expositivas, trabalhos individuais ou em grupos 
 
1.5. Critérios de Avaliações 
Serão realizados 3 avaliações no decorres da disciplina., sendo duas parciais e uma 
final, cada uma valendo de 0 a 10 pontos. 
 
1.6. Curriculum Resumido dos professores 
 
 Jozete Lima Coelho é doutoranda em Engenharia Mecatrônica pela 
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), mestre em Engenharia de 
Produção, graduada em Estatística pela Universidade Federal do Amazonas 
(UFAM). Sua experiência acadêmica tem como destaque as atuações como 
professora dos cursos de graduação em Administração, Engenharias, Pedagogia, 
Economia, Contabilidade, Odontologia, Enfermagem, lecionando Estatística, 
Probabilidade e Estatística, Bioestatística, Complementos de Matemática e 
Estatística, Matemática, Engenharia de Produção. 
 
 Kelen Gomes de Souza é mestranda em Processos e Gestão Ambiental pela 
Universidade Federal do Pará (UFPA), especialista em Gestão da Qualidade, 
graduada em Estatística pela Universidade Federal do Amazonas (UFAM). Sua 
experiência acadêmica tem como destaque as atuações como professora dos 
cursos de graduação em Administração, Engenharias, Sistema da Informação, 
Ciência da Computação, Economia, Contabilidade, Pedagogia, Biblioteconomia, 
Odontologia, Enfermagem, Tecnologia em Petróleo e Gás, lecionando 
Estatística, Probabilidade e Estatística, Bioestatística, Complementos de 
Matemática e Estatística, Matemática, Matemática Financeira, Cálculo I e II, 
Álgebra Linear I e II. 
 
 
 
6 Estatística Aplicada 
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2. INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
 
2.1. Histórico 
 
Origem e Evolução da Estatística 
 
ANTIGUIDADE: os povos já registravam o número de habitantes, nascimentos, óbitos. 
 
Bíblia: 
 Referências do censo dos Hebreus. 
 Devido às inundações do Nilo, se efetuavam anualmente trabalhos cadastrais para a 
repartição de terras férteis no Egito. 
 
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. A matemática, que é considerada 
“a ciência que une à clareza do raciocínio a síntese da linguagem”, originou-se do convívio 
social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário, empírico. 
 
A estatística, ramo da matemática aplicada, teve origem semelhante. Desde a antiguidade, 
vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimento, de óbitos, faziam 
estimativas das riquezas individual e social, distribuíam eqüitativamente terras ao povo, 
cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, 
chamaríamos de “estatísticas”. 
 
Na idade média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. 
A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos 
sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os 
primeiros números relativos. 
 
No século XVIII, o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feição verdadeiramentecientífica. Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de 
ESTATÍSTICA, que provém do latim status e significa estado, determinando o seu objetivo 
e suas relações com as ciências. 
 
 
2.2. As áreas da Estatística 
 
 Amostragem e planejamento de experimentos: mecanismo de coleta de dados; 
 
 Estatística descritiva: organização, apresentação e sintetização de dados; 
 
 Estatística inferencial: métodos de análise de dados visando à tomada de decisões. 
Utiliza alguns resultados da teoria das probabilidades (a qual tem por objetivo 
quantificar a incerteza existente em determinada situação). 
 
 
2.3. Definição 
 
ESTATÍSTICA é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e 
organizá-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões. 
 
 
 
 
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2.4. Áreas de Atuação 
 
"Os campos de aplicação da Estatística são muitos e os mais variados." 
 
 Estudos de mercado 
O gerente de uma fábrica de cafeteiras pretende lançar um novo produto, pelo que, 
encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado para "estimar" a percentagem 
de potenciais compradores desse produto 
 
 Medicina 
Pretende-se estudar o efeito de um novo medicamento para curar determinada doença. É 
selecionado um grupo de 20 doentes, administrando-se o novo medicamento a 10 desses 
doentes escolhidos ao acaso e o medicamento habitual aos restantes 
 
 Controle de Qualidade 
O administrador de uma fábrica de parafusos pretende assegurar-se de que a percentagem 
de peças defeituosas não excede um determinado valor, a partir do qual determinada 
encomenda poderia ser rejeitada. 
 
 Pedagogia 
Um conjunto de pedagogos desenvolveu uma técnica nova para a aprendizagem da leitura, 
na escola primária, a qual, segundo dizem, encurtam o tempo de aprendizagem 
relativamente ao método tradicional. 
 
 
2.5. Linguagem Estatística 
 
Fases do método estatístico: Definição do problema, planejamento, coleta dos dados, 
apuração, apresentação dos dados, análise e interpretação dos dados. 
 
 
Conjunto de dados: No sentido mais comum, “uma coleção de dados numéricos”. 
 
Exemplo: Número de nascimentos e óbitos de uma cidade. 
 
População ou Universo: Conjunto de elementos com pelo menos uma característica em 
comum 
 
Amostra: É um subconjunto formados por elementos de uma população. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 POPULAÇÃO 
 
 31 sabores de sorvete 
em uma confeitaria 
 
 
 AMOSTRA 
 
 5 sabores testados para saber se a 
confeitaria vende sorvetes de boa 
qualidade 
 
 
 
8 Estatística Aplicada 
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Parâmetro: É uma medida numérica que descreve uma característica de uma população. 
Estatística ou Estimativa: É uma medida numérica que descreve uma característica de 
uma amostra. 
 
Exemplo: 
 
Em uma pesquisa com 1.015 pessoas, escolhidas aleatoriamente, somente 269 (26,5%) 
delas possuem computador. Podemos dizer que o número 26,5% trata-se de uma estatística, 
pois se baseia em uma amostra e não na população toda. 
 
Agora, se a pesquisa for feita com os 27 governadores estaduais dos Brasil onde, 20 (74%) 
possuem computador, dizemos que o número obtido (74%) é um parâmetro, pois, se baseia 
em toda a população de governadores. 
 
Variável: É, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Ela 
pode ser qualitativa ou quantitativa. 
 
 
Tipos de Variáveis 
 
a. Qualitativa: Quando seus valores são expressos por atributos. 
 
Exemplo: Sexo, Cor da pele, Cor do cabelo, Cor dos olhos, Escolaridade, Profissão, etc. 
 
Classificação da variável qualitativa: Atribuição de números ou outros símbolos a 
características de objetos, de acordo com certas regras predefinidas. São quatro escalas 
principais de medição: Nominal, Ordinal, Intervalar e Razão. 
 
 NOMINAL: É aquela em que os números servem apenas para nomear, identificar 
e/ou categorizar dados sobre pessoas, objetos ou fatos. 
 
Exemplo: SEXO: 1. Masculino / 2. Feminino 
 
 ESTADO CIVIL: 1. Solteiro / 2. Casado / 3. Viúvo / 4. Divorciado 
 
 ORDINAL: É aquela em que os números servem para ordenar, segundo um processo 
de comparação, as pessoas, objetos ou fatos, em relação à determinada característica 
 
Exemplo 1: Queira, por favor, classificar os seguintes aparelhos de fax de 1 a 5, sendo 1 
o mais preferido e 5 o menos preferido: 
 
- Panasonic ____________ - Toshiba ____________ 
- Sharp ____________ - Savin ____________ 
 
Exemplo 2: O pesquisador designa números para refletir as classificações relativas de 
uma série de afirmações e depois usa esses números para interpretar a distância relativa. 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 Muito certo Certo Neutro Incerto Muito incerto 
 
 
 
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b. Quantitativa: Quando seus valores são expressos em números. 
 
Exemplo: Salários dos operários, Idade dos alunos de uma escola, Bibliotecas da cidade 
de Manaus, Casais residentes em uma cidade, etc. 
 
 
Classificação da variável Quantitativa: 
 
 DISCRETA OU DESCONTÍNUA: Seus valores são expressos geralmente através 
de números inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. 
 
Exemplo: Nº de alunos presentes às aulas de introdução à estatística no 1º semestre 
de 1997: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36 
 
 CONTÍNUA: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus 
possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem 
assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. 
 
Exemplo: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro 
de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará 
por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu 
corpo. 
 
 
2.6. Exercícios 
 
1. Defina o que é Estatística. 
2. Defina POPULAÇÃO e AMOSTRA e cite pelo menos 3 exemplos para cada uma. 
3. Defina VARIÁVEL, e quais o tipos citando 3 exemplos de cada. 
4. Quais as fases do método estatístico? 
5. Classifique as variáveis abaixo em Qualitativa(QL) ou Quantitativa (QT) 
a) Tempo para fazer um teste. 
b) Número de alunos aprovados por turma. 
c) Nível sócio-econômico 
d) QI (Quociente de inteligência). 
e) Sexo 
f) Gastos com alimentação. 
g) Opinião com relação à pena de morte 
h) Religião 
i) Valor de um imóvel 
j) Conceitos em certa disciplina 
k) Classificação em um concurso. 
 
 
6. Classifique as variáveis abaixo quanto ao seu tipo (Qualitativa: Nominal (QLN) ou Ordinal 
(QLO) e Quantitativa: Discreta (QTD) ou Contínua (QTC). 
 
 
 
10 Estatística Aplicada 
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a) Uma lista de diferentes especialidades médicas 
b) Classificar o estágio de um câncer de mama Tipo I, II, III e Iv 
c) Pressão Arterial Diastólica, medida em mmHg 
d) Raça dos Pacientes 
e) Números de sessões de diálise realizadas no mês 
f) Números de crises de hipertensão. 
g) Números de clientes atendidos diariamente em um supermercado 
l) Diâmetro da produção de pregos de uma linha de produção 
 
7. Identifique as variáveis e classifique em Qualitativa: Nominal (QLN) ou Ordinal (QLO) e 
Quantitativa: Discreta (QTD) ou Contínua (QTC). 
a) Tabela de códigos de declaração de bens e direitos de imóveis: 11 – Apartamento; 12 - 
Casas; 13 – Terrenos; 14 – Terra nua; 15 – Salas ou lojas; 16 – Construção; 17 – 
Benfeitorias; 19 – Outras; (Declaração de Ajuste Anual, Instruções de Preenchimento, 
Imposto de Renda, Pessoa Física, 1999) 
b) “O euro começa a circular com 13 bilhões de notas em sete valores(5, 10, 20, 50, 100, 200 e 
500)...A cunhagem de75 bilhões de moedas de 1 e 2 euros e de 1, 2, 5, 10, 20 e 50 centavos 
de euro implicará uma troca completa de máquinas e equipamentos de venda de jornais,café 
e refrigerantes.” (Revista Época, Ano 1, nº 33 , 4/1/1999) 
c) “Em sete deliciosos sabores: tangerina, Laranja, maracujá, lima-limão, carambola, abacaxi e 
maçã verde.” ( Anúncio de um preparado sólido artificial para refresco) 
d) “ A partir de 1999, as declarações de Imposto de Renda dos contribuintes com patrimônio 
de até R$ 20 mil poderão ser feitas por telefone.” (Revista época, ano 1, nº 33, 4/1/1999) 
e) Quantidade de sabores de refresco consumida em determinado estabelecimento no fim de 
semana; 
f) Em 28 de dezembro de 1998, a Folha de S. Paulo publicou a classificação dos prefeitos de 
nove capitais brasileiras. As notas, em uma escala de 0 a 10, foram as seguintes: Curitiba 
6,7; Recife, 6,5; Porto Alegre, 6,4; Florianópolis, 6,4; Salvador, 6,3; Fortaleza, 5,5; Belo 
Horizonte, 5,4; Rio de Janeiro, 5,4 e São Paulo,3,4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 Estatística Aplicada 
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3. SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
Série estatística – é a apresentação de um conjunto de dados coletados, numa tabela e 
gráfico 
 
Um dos objetivos da estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem 
assumir. E isto ela consegue, inicialmente apresentando esses valores em tabelas e 
gráficos, que fornecerão rápidas e seguras informações das variáveis em estudo. 
 
3.1. Tabela 
 
Ë um quadro que resume um conjunto de observações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TABELA SIMPLES TABELA DE DUPLA ENTRADA 
 
 
Composição de uma tabela: 
 
(a) Título – informações localizadas no topo da tabela e responde as perguntas o que? 
Onde? E quando? 
 
(b) Cabeçalho – parte superior da tabela que específica o conteúdo das colunas. 
 
(c) Coluna indicadora – parte da tabela que específica o conteúdo das linhas. 
 
(d) Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em 
estudo. 
 
(e) Rodapé ou fonte – onde são colocados os elementos complementares da tabela 
principalmente a fonte. 
 
 
a 
e e 
a 
b 
 
c 
 
d 
b b 
c d 
b 
 
 
12 Estatística Aplicada 
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3.2. Gráficos 
 
São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca 
substituir as tabelas estatísticas. 
 
 
3.2.1. Tipos de Gráficos 
 
Existem vários tipos de gráficos, tais quais descreveremos a seguir: 
 
 Gráfico de Barras ou Colunas 
 
Para a confecção de um gráfico de barras, constrói-se um eixo horizontal ou vertical, e 
em intervalos apropriados, nesse eixo, colocam-se retângulos sobre o eixo cujas alturas 
representam, proporcionalmente, as freqüências das características observadas da 
variável em estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de Colunas ou Barras Compostas 
 
Para comparar dois ou mais grupos (fatores ou tratamentos), podemos construir um só 
gráfico composto de vários gráficos, um para cada grupo, como no exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº Mat.
0 250 500 750 1000
Escola A
Escola B
Escola C
Escola D
Nº Matriculas por ano
0
250
500
750
1000
Escola A Escola B Escola C Escola D
2005 2006
Nº Matriculas por ano
0 250 500 750 1000
Escola A
Escola B
Escola C
Escola D
2005 2006
 
 
13 Estatística Aplicada 
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 Gráfico de Colunas ou Barras Superpostas 
 
Para totalizar dois ou mais grupos (fatores ou tratamentos), evidenciando a divisão dos 
grupos, podemos construir um só gráfico composto de vários gráficos, um para cada 
grupo, como no exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de Linha ou Linear 
 
Para analisar o desenvolvimento de uma ou m ais variáveis num determinado período 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de Setores, Circular ou de pizza 
 
Para representar dados em termos relativos, ou seja, em percentual (%). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº Mat.
27%
36%
21%
16%
Escola A Escola B Escola C Escola D
Nº Mat.
Escola A
27%
Escola B
36%
Escola C
21%
Escola D
16%
Nº Matriculas por ano
0
500
1000
1500
2000
Escola A Escola B Escola C Escola D
2005 2006
Nº Matriculas por ano
0 500 1000 1500 2000
Escola A
Escola B
Escola C
Escola D
2005 2006
 
 
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 Estereogramas – 3D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráficos Pictóricos ou Pictogramas 
 
São os gráficos que se coloca no lugar de colunas, figuras, com tamanhos proporcionais 
às porcentagens das categorias da variável em estudo. Nesse caso cada figura representa 
uma proporção do total , cada figura representaria 100/11=9,09%. 
Constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao 
mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de figuras. 
 
 
 
 Russia EUA Europa Outros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
250
500
750
1000
Escola A Escola B Escola C Escola D
Nº Mat.
0 100 200 300 400 500 600 700
Escola A
Escola B
Escola C
Escola D
Nº Mat.
 
 
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 Cartograma 
 
É representação sobre uma carta geográfica. 
Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos 
diretamente relacionados com as áreas geográficas ou políticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 Estatística Aplicada 
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3.3. Exercícios 
 
Exercício 1: De acordo com o IBGE (1988), em 1986 ocorreram, em acidentes de trânsito, 
27306 casos de vítimas fatais, assim distribuídos: 11712 pedestres, 7116 passageiros e 8478 
condutores. Faça uma tabela para apresentar esses dados. 
 
Exercício 2: De acordo com o Ministério dos transportes, em 1998, o tamanho das malhas 
de transporte no Brasil é, assim distribuído: 320480 km de Rodovias (estradas municipais 
não estão incluídas), 29700 km de Ferrovias (inclui as linhas de trens urbanos) e 40000 km 
de Hidrovias (desse total, apenas 8000 km estão sendo usados de fato). Faça uma tabela 
para apresentar esses dados. 
 
Exercício 3: De acordo com Ministério da Educação a quantidade e alunos matriculados no 
ensino de 1º grau no Brasil nos de 1990 a 1996 em milhares de alunos, são: 19.720 – 20.567 
– 21.473 – 21.887 – 20.598 – 22.473 – 23.564. Faça uma tabela para apresentar esses dados. 
 
Exercício 4: Estabelecimentos de ensino da região norte do Brasil em 1982. A região norte 
subdivide-se em: Rondônia, Acre, Amazonas, Roraima, Pará e Amapá e possuem um total 
de 29, 13, 78, 4, 10 e 9 estabelecimentos de ensino, respectivamente, segundo o MEC. . 
Faça uma tabela para apresentar esses dados. 
 
Exercício 5: De acordo com o IBGE(1988), a distribuição dos suicídios ocorridos no Brasil 
em 1986, segundo a causa atribuída, foi a seguinte: 263 por alcoolismo, 198 por dificuldade 
financeira, 700 por doença mental, 189 por outro tipo de doença, 416 por desilusão amorosa 
e 217 por outras causas. Apresente essa distribuição em uma tabela. 
 
Exercício 6: Muitos sistemas escolares fornecem o acesso a Internet para seus estudantes 
hoje em dia. Desde 1996, o acesso À Internet foi facilitado a 21.733 escolas elementares, 
7.286 escolas do nível médio e 10.682 escolas de nível superior (Statistical Abstract of 
United States, 1997). Existe nos Estados Unidos um total de 51.745 escolas elementares, 
14.012 escolas do nível médio e 17.229 escolas do nível superior. 
 
Exercício 7: A chancede uma campanha publicitária atingir sucesso a ponto de ser 
comentada nas ruas e até incorporada ao vocabulário da população é muito baixa. De acordo 
com estudos essa probabilidade se altera de acordo com o meio de comunicação utilizado. 
Numa amostra de 30.000 campanhas publicitárias de Rádio (8mil), TV (10mil) e Rádio+TV 
(12mil), verificou-se que, das 2800 que atingiram tal sucesso, 1200 foram veiculadas no 
rádio e na TV e 500 apenas no rádio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 Estatística Aplicada 
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4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
Distribuição de Frequência: É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados 
conforme as frequências (repetições de seus valores). 
 
Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram 
numericamente organizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do 
grupo como um todo, a partir de dados não ordenados. 
 
Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 
 
 
ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). 
 
Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 
 
 
4.1. Distribuição de freqüência sem intervalos de classe: 
 
É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. Para um ROL de 
tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito 
espaço. Veja exemplo abaixo: 
 
 
 
 
4.2. Distribuição de freqüência com intervalos de classe: 
 
Quando o tamanho da amostra é grande é mais racional efetuar o agrupamento dos valores 
em vários intervalos de classe. 
 
 
 
 
 
Pesos Frequência
41 3
42 2
43 1
44 1
45 1
46 2
50 2
51 1
52 1
54 1
57 1
58 2
60 2
Total 20
 
 
18 Estatística Aplicada 
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4.2.1. Elementos da distribuição de freqüência 
 
 Classes: são os subintervalos do intervalo em estudo, é identificado pela letra (k). 
Determinado por: 
 
 
 Intervalo de classes ou amplitude de classes: é a diferença entre limite superior e 
limite inferior das classes. É identificado pela sigla (hi).Determinado por: 
 
 
 Limites de classes: são os valores dos extremos das classes denominados de: 
li (limite inferior) e ls ou Li (limite superior) 
 
 Amplitude Amostral: é a diferença entre o maior valor (Xmáx) e o menor valor 
(Xmín) observado. É identificado pela sigla (Aa).Determinado por: 
 
 
 Ponto médio da classe: é a média aritmética entre os limites da classes, Determinado 
por: 
 
 
 
4.2.2. Método prático para construção de uma distribuição de freqüência com 
intervalo de classe: 
 
 Organize os dados brutos em um ROL. 
 
 Calcule a amplitude amostral Aa. 
 
 => Aa = 60 – 41 = 19 
 
 Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges": 
 
 nk  , 20k => k = 4,47 ~ 5 (dist. Freq. Será composta de 5 classes) 
 
 
Classes Freqências 
41 |------- 45 7
45 |------- 49 3
49 |------- 53 4
53 |------- 57 1
57 |------- 61 5
Total 20
 
 
19 Estatística Aplicada 
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 Decidido o nº de classes, calcule então a amplitude do intervalo de cada classe 
 
 
k
Aa
hi  => 
5
19
hi h = => h = 3,8 ~ 4 
 
 Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo de 
cada classe. 
 
No nosso exemplo: o menor nº da amostra = 41 + h = 45, onde h=4 logo a primeira classe 
será representada por 41|--- 45. As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. 
 
O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último elemento da 
classe anterior. 
 
Exemplo: 
São dados os escores brutos obtidos nos testes de desempenho escolar, realizado por 27 
participantes de uma pesquisa, que cursavam a 2ª série do ensino fundamental. 
 
 
 
 
4.3. Tipos de freqüências: 
 
 Freqüências simples ou absolutas (fi): 
São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma 
das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição. 
 
 Freqüências relativas simples (fri): 
São os valores das razões entre as freqüências absolutas de cada classe e a freqüência 
total da distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100 %). 
 
 Freqüência simples acumulada (Fi): 
É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de 
uma determinada classe. 
 
 Freqüência relativa acumulada (Fri): 
 
É a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição. 
 
Utilizando o exemplo anterior complete a tabela com as demais freqüências e o ponto 
médio 
7 18 11 25 101 85 81 75 100
95 98 108 100 94 34 99 84 90
95 102 96 105 10 107 117 96 17
 
 
20 Estatística Aplicada 
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Escore Bruto Classificação %
86 Inferior 0,33
87 ~ 105 Médio 0,48
106 Superior 0,19
1,00
 
 
Com base nos resultados acima, podemos afirmar que: 
A maioria dos participantes entrevistados possui nível 
de desempenho escolar MÉDIO, ficando com 
estimativa de 48%. 
 
 
 
 
4.4. Representação gráfica de uma distribuição 
 
 Histograma, Polígono de freqüência e Polígono de freqüência acumulada 
 
Histograma: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se 
localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os 
pontos médios dos intervalos de classe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono de freqüência: é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de 
classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, 
ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da 
posterior à última, da distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fi Fi fri (%) Fri (%) Xi
7 |------- 26 6 6 0,22 0,22 16,50 
26 |------- 45 1 7 0,04 0,26 35,50 
45 |------- 64 0 7 - 0,26 54,50 
64 |------- 83 2 9 0,07 0,33 73,50 
83 |------- 102 13 22 0,48 0,81 92,50 
102 |------- 121 5 27 0,19 1,00 111,50 
27 - 1,00 - 384,00 
Classes
Total
0
2
4
6
8
10
12
14
7|-------26 26|-------45 45|-------64 64|-------83 83|-------102 102|-------121
0
2
4
6
8
10
12
14
7|-------26 26|-------45 45|-------64 64|-------83 83|-------102 102|-------121
 
 
21 Estatística Aplicada 
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Histograma de freqüência acumulada: é traçado marcando-se as freqüências acumuladas 
sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos 
limites superiores dos intervalos de classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
7|-------26 26|-------45 45|-------64 64|-------83 83|-------102 102|-------121
 
 
22 Estatística Aplicada 
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4.5. Exercício: 
 
1) Abaixo são relacionados os salários semanais (em Reais) de 60 operários de uma fábrica 
de sapatos. 
110 120 125 136 145 150 165 172 180 185 
110 120 125 140 145 155 165 172 180 190 
115 120 130 140 145 158 168 175 180 190 
115 120 130 140 147 158 168 175 180 195 
117 120 130 140 150 160 170 175 180 195 
117 123 135 142 150 163 170 178 185 198 
 
a) Construir uma distribuição de freqüências adequada. 
b) Interpretar os valores da terceira classe. 
 
2) Abaixo são relacionados às estaturas e os pesos de 25 alunos de Estatística. 
 
Estaturas Pesos 
 
Construir uma distribuição de freqüênciasadequada para cada conjunto de dados. 
 
3) Uma amostra de 20 operários de uma companhia apresentou os seguintes salários 
recebidos durante uma certa semana, arredondados para o valor mais próximo e 
apresentados em ordem crescente: 140, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 155, 155, 165, 
165, 180, 180, 190, 200, 205, 225, 230, 240. Construir uma distribuição de freqüências 
adequada. 
 
4) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência: 
Classes xi fi Fi Fri(%) 
0 |-- 2 1 4 4 
2 |-- 4 8 
4 |-- 6 5 30 18 
 7 27 27 
8 |-- 10 15 72 
10 |-- 12 83 
 13 10 93 10 
14|-- 16 7 
 
 
 
 
 
 
 
1.71 1.80 1.75 1.73 1.81 58 60 60 62 63 
1.90 1.80 1.71 1.74 1.77 80 77 70 82 62 
1.63 1.80 1.78 1.84 1.81 55 76 83 50 78 
1.83 1.80 1.75 1.79 1.65 79 70 60 76 83 
1.72 1.88 1.80 1.66 1.89 77 60 65 71 63 
 
 
23 Estatística Aplicada 
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5. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da 
distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência. 
 
As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias 
(verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores 
centrais). 
 
As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. 
Outros promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e 
biquadrática. 
 
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os 
decis, os quartis e os percentis. 
 
 
5.1. Média ( X ) 
 
É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores. 
 
 
n
xi
X

 ,onde xi são os valores da variável e n o número de valores. 
 
5.1.1. Média para Dados não-agrupados ou Média Aritmética 
 
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de freqüências, 
determinamos a média aritmética simples. 
 
Exemplo: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 
14, 13, 15, 16, 18 e 12 kilos, temos, para venda média diária na semana de: 
 
kilos
n
xi
X 14
7
98
7
12181615131410




 
 
5.1.2. Média para Dados Agrupados ou Média Ponderada 
 
5.1.2.1. Sem intervalos de classe 
 
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para 
variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de 
meninos por família: 
 
 
 
 
 
 
 
Nº de meninos fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
total 34
 
 
24 Estatística Aplicada 
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Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, 
elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média 
aritmética ponderada, dada pela fórmula: 
 
Fórmula da Média para Dados Agrupados Sem intervalo de classe é dado por: 
 
fi
fixi
X



.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3,2
34
78

i
X 
 
 
5.1.2.2. Com intervalos de classes 
 
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado 
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média 
aritmética ponderada por meio da fórmula: 
 
fi
fixi
X



.
 , onde o xi será o ponto médio de cada classe 
 
Exemplo: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula acima temos: 
 
61
40
440.2
X 
 
 
Nº de meninos fi xi.fi
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
total 34 78
Estaturas (cm) fi xi xi*fi
50 |-------- 54 4 52 208
54 |-------- 58 9 56 504
58 |-------- 62 11 60 660
62 |-------- 66 8 64 512
66 |-------- 70 5 68 340
70 |-------- 74 3 72 216
Total 40 372 2440
 
 
25 Estatística Aplicada 
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5.1.3. Média Geral ( ) 
 
Sejam as médias aritméticas de k séries e n1, n2, n3, ..., nk , o número de 
termos destas séries respectivamente. A média geral da séries formada pelos termos das k 
séries é dada por: 
 
 
 ou 
 
 
Exemplo: Sejam as séries: 
 
1) 4, 5, 6, 7, 8 onde n1 = 5 e X1 = 6 
2) 1, 2, 3 onde n2 = 3 e X2 = 2 
3) 9, 10, 11, 12, 13 onde n3 = 5 e X3 = 11 
 
Então a Média Geral das séries, utilizando a fórmula acima, será: 
 
 
 
 
 
5.1.4. Média Geométrica (Mg) 
 
Sejam x1, x2, x3, ..., xn , valores de X, associados as frequências absolutas F1, F2, F3, ..., Fn , 
respectivamente. A média geométrica de X é definida por: 
 
 
Onde: 
 
 
Em particular, se F1 = F2 = F3 = ... = Fn = 1, teremos 
 
A média geométrica deve ser utilizada quando os dados se desenvolvem segundo uma 
Progressão Geométrica, como é o caso dos preços num período de inflação galopante. 
 
Exemplo: Em um período inflacionário o preço de determinado produto e seu respectivo 
consumo estão descritos abaixo. Calcule o preço médio por trimestre do artigo durante um 
ano. 
 Consumo (cxs) Preço (R$) 
1º. Trimestre 200 30,00 
2º. Trimestre 100 100,00 
3º. Trimestre 200 200,00 
4º. Trimestre 100 500,00 
 
 
26 Estatística Aplicada 
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 - Calculo para a Média Geométrica de uma distribuição. 
 
Note que a aplicação direta da definição acarreta um grande número de operações .Nestes 
casos é conveniente o uso dos logaritmos.Assim, tomando-se o logaritmo de ambos os 
membros de definição teremos: 
 
Log g F 
 
 
27 Estatística Aplicada 
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 log x + F₂logx₂ +F₃log x₃ + ............+ Fn log n 
 
 
5.2. Moda (Mo) 
 
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Mo é o símbolo da 
moda. 
 
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto 
é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica. 
 
5.2.1. Moda p/ dados não agrupados 
 
A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que 
mais se repete. 
 
Exemplo: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10. 
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais 
vezes que outros. 
 
Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal. 
Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a 
série tem dois ou mais valores modais. 
 
Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é 
bimodal. 
 
 
5.2.2. Moda para dados agrupados 
 
5.2.2.1. Sem intervalos de classe 
 
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o 
valor da variável de maior freqüência. 
 
Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior freqüência. 
 
 
5.2.2.2. Com intervalos de classe 
 
Cálculo da moda pela fórmula de Czuber 
 
Temperaturas fi
0 3
1 9
2 12
3 6
total 30
 
 
28 Estatística Aplicada 
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A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. 
 
Aplica-se a seguinte fórmula: 
 
 
 
Onde: li = limite inferior da classe modal 
 hi = amplitude da classe modal 
 Δ1= diferença entre a freqüência da classe modal e a classe anterior 
 Δ2= diferença entre a freqüência da classe modal e a classe posterior 
 
Exemplo: 
Classes Fi 
0 |---- 1 3 
1 |---- 2 10 
2 |---- 3 17 
3 |---- 4 8 
5 |---- 5 5 
 43 
 
A Classe Modal é 2 |---- 3, logo temos que: 
li = 2 
hi = 1 
Δ1= 17 – 10 = 7 
Δ2= 17– 8 = 9 
 
Portanto: 
 
 
 
5.3. Mediana (Md) 
 
A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente ou 
decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos 
de mesmo número de elementos. 
 
Símbolo da mediana: Md 
 
 
 
 
 
5.3.1. Mediana para dados não-agrupados 
 
Se a série de dados tiver número ímpar de termos: 
 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: 




 
2
1n
 
 
 
29 Estatística Aplicada 
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Obs: 




 
2
1n
será o termo de ordem e deve ser substituídos pelo valor 
correspondente da série de dados. 
 
 
Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 } 
 
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 } 
 
n = 9, logo 




 
2
1n
 é dado por 




 
2
19
 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada 
será a mediana, logo a mediana = 2 
 
 
Se a série dada tiver número par de termos 
 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : 
2
1
22











 nn
 
 
Obs: 
2
1
22











 nn
 serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor 
correspondente. 
 
 
Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } 
 
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 } 
 
n = 10, logo 
2
1
22











 nn
 é dado por 
2
65
2
1
2
10
2
10














 , será na realidade (5º 
termo+ 6º termo) / 2 
 
5º termo = 2 
6º termo = 3 
 
A mediana será = 5,2
2
5
2
23


ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a 
média Aritmética do 5º e 6º termos da série. 
 
 
Notas: 
 
 
 
30 Estatística Aplicada 
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 
18
2
36
2
135


• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da 
mediana com um dos elementos da série. 
 
• Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da 
mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 
2 elementos centrais da série. 
 
• Em um série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. 
 
• A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa 
é uma da diferenças marcantes entre mediana e média ( que se deixa influenciar, e 
muito, pelos valores extremos). Vejamos: 
 
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10 
Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10 
 
Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência 
dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma. 
 
 
5.3.2. Mediana para dados agrupados 
 
5.3.2.1. Sem intervalos de classe 
 
Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à 
metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que 
corresponde a tal freqüência acumulada. 
 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: 
 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: 




 
2
1fi
 
Exemplo conforme tabela abaixo: 
 
Como o somatório das freqüências = 35 a fórmula ficará 
 
Logo, o valor que se encontra 18ª posição = 3, Portanto a Md = 3 
 
Se a série dada tiver número par de termos: 
Variável( xi) fi Fi
0 2 2
1 6 8
2 9 17
3 13 30
4 5 35
total 35
 
 
31 Estatística Aplicada 
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   
5,15
2
31
2
1615
2
54
2
1
2
8
2
8























O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: 
2
1
22













  fifi
 
Exemplo conforme tabela abaixo: 
 
 
Como o somatório das freqüências = 8 a fórmula ficará: 
 
 
 
 
 
 
Portanto a Md = 15,5 
 
 
5.3.2.2. Com intervalos de classe 
 
Neste caso, devemos seguir os seguintes passos: 
 
1º) Determinamos as freqüências acumuladas; 
2º) Calculamos: 
2
fi
 
 
3º) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior à 
 
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula: 
 
 
Onde: 
 
li = é o limite inferior da classe mediana. 
Fi(ant) = é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana. 
fi = é a freqüência simples da classe mediana. 
hi = é a amplitude do intervalo da classe mediana. => hi = Li – li 
Exemplo conforme tabela abaixo: 
Variável xi fi Fi
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
tota l 8
fi
hiantFi
fi
liMd















*)(
2
 
 
32 Estatística Aplicada 
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 , logo.a classe mediana será 58 |------ 62 
 
 
li = 58 Fi(ant) = 13 fi = 11 hi = 4 
 
 
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: 
 
 
 
Emprego da Mediana 
 
• Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais. 
 
• Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética. 
 
• Quando a variável em estudo é salário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. SEPARATRIZES 
classes fi Fi 
50 |------------ 54 4 4
54 |------------ 58 9 13
58 |------------ 62 11 24
62 |------------ 66 8 32
66 |------------ 70 5 37
70 |------------ 74 3 40
tota l 40
fi
hiantFi
fi
liMd



















*)(
2     
11
28
58
11
4*7
58
11
4*320
58 

Md
55,6055,258 Md
   
20
2
40
2

fi
 
 
33 Estatística Aplicada 
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Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, 
não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua 
característica de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores. 
Essas medidas são: os quartis, os decis e os percentis - são, juntamente com a mediana, 
conhecidas pelo nome genérico de separatrizes. 
 
6.1. Quartis 
 
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. 
Assim: 
 
0% 25% 50% 75% 100% 
Q1 Q2 Q3 
 
Q1
 
= 1º quartil, deixa 25% dos elementos 
Q2
 
= 2º quartil, deixa 50% dos elementos é igual a Mediana 
Q3
 
= 3º quartil, deixa 75% dos elementos 
 
Por definição temos que: 
 
Md = Q2 
 
6.1.1. Para dados não agrupados 
 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: 
 
O valor quartílico será o termo de ordem dado pela fórmula: 
4
)1(
.
n
k 
 
Onde k é a ordem do quartil desejado, k = 1, 2, 3 
 
 
Exemplo 1: Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 } 
 
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente) da série: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } 
 
Q1 => 2
4
8
4
)17(
.1 

, será o termo que está na 2ª posição logo Q1 = 5 
 
Q3 => 62.3
4
)17(
3 

 , será o termo que está na 6ª posição logo Q3=13 
 
Q2 => 42.2
4
)17(
2 

 , será o termo que está na 6ª posição logo Q2=9 
 
 
 
Se a série dada tiver número par de termos: 
 
 
34 Estatística Aplicada 
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O valor quartílico será o termo de ordem dado pela fórmula: 
2
1
4
.
4
.











 nknk
 
 
Onde k é a ordem do quartil desejado, k = 1, 2, 3 
 
Exemplo 2: Calcule os quartis da série: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 13} 
 
Q1 => 5,2
2
32
2
43
2
1
4
12
4
12

















 , logo Q1=2,5 
 
Q3 => 9
2
99
2
109
2
1
4
36
4
36
2
1
4
12.3
4
12.3






























 , logo Q3=9 
 
Q2 => 5,5
2
65
2
76
2
1
4
24
4
24
2
1
4
12.2
4
12.2






























 , logo Q2=5,5 
 
 
6.1.2. Para dados agrupados6.1.2.1. Sem intervalo de classe 
 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: 
 
O valor quartílico será o termo de ordem dado pela fórmula: 
4
)1(
.
fi
k 
 
Onde k é a ordem do quartil desejado, k = 1, 2, 3 
 
Exemplo conforme tabela abaixo: 
xi fi Fi 
0 2 2 
1 6 8 
2 9 17 
3 13 30 
4 5 35 
 35 
 
Q1, 9
4
36
4
)135(


 , logo Q1=2 
 
Q3, 279.3
4
36
4
)135(
.3 

 , logo Q3=3 
 
 
35 Estatística Aplicada 
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Q2=Md , 189.2
4
36
4
)135(
.2 

 , logo Q3=3 
 
Se a série dada tiver número par de termos: 
O valor quartílico será o termo de ordem dado pela fórmula: 
2
1
4
.
4
.













  fikfik
 
Exemplo conforme tabela abaixo: 
xi fi Fi 
12 2 2 
14 6 8 
16 9 17 
18 13 30 
20 6 36 
 36 
 
Q1, 16
2
1616
2
109
2
1
4
36
4
36

















 , Logo, Q1=16 
Q3, 18
2
1818
2
2827
2
1
4
108
4
108
2
1
4
36.3
4
36.3






























, Logo, Q3=18 
Q2, 18
2
1818
2
1918
2
1
4
72
4
72
2
1
4
36.2
4
36.2






























, Logo, Q2=18 
 
 
6.1.2.2. Com intervalo de classe 
 
Usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da 
mediana, 
2
fi
 , por 
4
.
fi
k

 , sendo k o número de ordem do quartil, é dada por: 
 
fi
hiantFi
fi
k
liQk















.)(
4
.
 
 
Exemplo 3: Calcule os quartis da tabela abaixo: 
Classes fi Fi 
4 |--- 9 2 2 
9 |--- 14 6 8 
14 |--- 19 9 17 
19 |--- 24 13 30 
 30 
 
 
 
36 Estatística Aplicada 
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Q1, 5,7
4
30
.1  , classe Mediana é 9 |--- 14, então: 
  
6,13
6
5.25,7
91 

Q 
 
Q3 3, 5,22
4
30
.3  , classe Mediana é 19 |--- 24, então: 
  
1,21
13
5.175,22
191 

Q 
 
Q2=Md, 15
4
30
.2  , classe Mediana é 14 |--- 19, então: 
  
9,17
9
5.815
141 

Q 
 
 
6.2. Percentis ou Centis 
 
Denominamos percentis ou centis os valores de uma série que a dividem em 100 partes 
iguais. Assim: 
 
0% 1% 2% ... 50% ... 98% 99% 100% 
 P1 P2 ... P50 ... P98 P99 
 
 
P1=Q1
 
= deixa 25% dos elementos 
P2=Q2
 
= deixa 50% dos elementos é igual a Mediana 
P3=Q3 = deixa 75% dos elementos 
 
 
6.2.1. Para dados não agrupados 
 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: 
 
O valor quartílico será o termo de ordem dado pela fórmula: 
100
)1(
.
n
k 
Onde k é a ordem do quartil desejado, k = 1, 2, 3, ..., 99 
 
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os centis 
 
 
Se a série dada tiver número par de termos: 
O valor do centil será o termo de ordem dado pela fórmula: 
2
1
100
.
100
.











 nknk
 
Onde k é a ordem do quartil desejado, k = 1, 2, 3, ..., 99 
 
 
6.2.2. Para dados agrupados 
 
6.2.2.1. Sem intervalo de classe 
 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: 
 
 
 
37 Estatística Aplicada 
Copyrigth © 2016Jozete Coelho de Lima 
 
O valor quartílico será o termo de ordem dado pela fórmula: 
100
)1(
.
fi
k 
Onde k é a ordem do quartil desejado, k = 1, 2, 3, ..., 99 
 
Se a série dada tiver número par de termos: 
O valor do centil será o termo de ordem dado pela fórmula: 
2
1
100
.
100
.













  fikfik
 
Onde k é a ordem do quartil desejado, k = 1, 2, 3, ..., 99 
 
 
6.2.2.2. Com intervalo de classe 
 
Usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da 
 
mediana, 
2
fi
 , por 
100
.
fi
k

 ... sendo k o número de ordem do centil. 
 
fi
hiantFi
fi
k
liPk















.)(
100
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 Estatística Aplicada 
Copyrigth © 2016Jozete Coelho de Lima 
 
7. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 
 
É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de 
tendência central ( média ou mediana ) tomado como ponto de comparação. 
A média - ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma 
série de valores - não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou 
heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto. 
 
Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z: 
 
X = { 70, 70, 70, 70, 70 } 
Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 } 
Z = { 5, 15, 50, 120, 160 } 
 
Observamos então que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética 
 
 70
5
350
X 
 
Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z, já que 
todos os valores são iguais à média. O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o 
conjunto Z, pois há menor diversificação entre cada um de seus valores e a média 
representativa. 
Concluímos então que o conjunto X apresenta dispersão nula e que o conjunto Y apresenta 
uma dispersão menor que o conjunto Z. 
 
 
7.1. Amplitude Total 
 
É a diferença entre o maior e o menor valor da série, indicada por: 
 
 
 
Exemplo: Para a série 10, 12, 22, 25, 33, 38 
 
 
 
7.2. Intervalo semi-interquartílico 
 
É utilizado para verificar a dispersão em torno da Mediana. É dado por: 
 
 
 
Exemplo: Foram calculados as seguintes medidas para as notas dos alunos em duas 
disciplinas: 
 
Estatística Q1=3; Q3=6,5; Md=5. 
Matemática Q1=2; Q3=7,0; Md=5. 
 
 
 
39 Estatística Aplicada 
Copyrigth © 2016Jozete Coelho de Lima 
 
Nota-se que, de apesar de as duas distribuições terem a mesma Mediana, as notas de 
Estatística tiveram uma menor dispersão em relação a ela. 
 
 
 
 
 
 
7.3. Desvio Médio (Dm) 
 
7.3.1. Para dados não agrupados 
 
É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das 
seguintes medidas de tendência central: média ou mediana. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular o desvio médio do conjunto de números { - 4 , - 3 , - 2 , 3 , 5 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3.2. Para Dados Agrupados 
 
7.3.2.1. Sem intervalo de Classe 
 
Se os valores vierem dispostos em uma tabela de freqüências, agrupados em classes, 
serão usadas as seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 Estatística Aplicada 
Copyrigth © 2016Jozete Coelho de Lima 
 
Exemplo: 
xi fi xi.fi |xi - X|.fi 
3 2 6 3.4 
4 2 8 1.4 
5 3 15 0.9 
6 3 18 3.9 
S 10 47 9.6 
 
Temos que: 
 
 
 
Portanto de Desvio Médio é: 
 
 
 
 
7.3.2.2. Com intervalo de Classe 
 
Se os valores vierem dispostos em uma tabela de freqüências, agrupados em classes, 
serão usadas as seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
Exemplo: 
Classes fi xi Fi xi.fi |xi-X|*fi 
2 |--- 4 3 3 3 9 10.71 
4 |--- 6 1 5 4 5 1.57 
6 |--- 8 6 7 10 42 2.57 
8 |--- 10 4 9 14 36 9.71 
 14 92 24.57 
 
 
Temos que: 
 
 
 
Portanto o Desvio Médio é: 
 
 
 
 
 
 
41 Estatística Aplicada 
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7.4. Desvio Padrão (S ou ) 
 
7.4.1. Para dados não agrupados 
 
 
1
2



n
Xxi
S 
 
Exemplo: Calcular o desvio padrão representado por { - 4 , - 3 , - 2 , 3 , 5 } 
 
2,0
2,0
5
1
5
53234






X
X
 
 
Tabela Auxiliar: 
xi (xi - X)
2 
-4 14.44 
-3 7.84 
-2 3.24 
3 10.24 
5 27.04 
-1 62.8 
 
96,37,15
4
8,62
S 
 
 
7.4.2. Para dados agrupados 
 
7.4.2.1. Sem intervalo de classe 
 
Se os valores vierem dispostos em uma tabela de freqüências, agrupados ou não em 
classes, serão usadas as seguintes fórmulas: 
 
 
1
.
2



fi
fiXxi
S 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi fi xi.fi (xi - X)
2
.fi 
2 1 2 1,78 
4 3 12 1,33 
6 5 30 35,56 
8 2 16 43,56 
10 4 40 177,78 
30 15 100 260,00 
 
 
42 Estatística Aplicada 
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Temos que: 
 
33,3
15
100
X 
 
Logo Desvio Padrão é dado por: 
 
31,457,18
14
260
S 
 
 
7.4.2.2. Com intervalo de classe 
 
 
1
.
2



fi
fiXxi
S , onde o xi será o ponto médio de cada classe 
 
Exemplo: 
Classes fi Fi xi xi.fi (xi-X)^2.fi 
2|--- 4 3 3 3 9 38.27 
4|--- 6 1 4 5 5 2.47 
6|--- 8 6 10 7 42 1.10 
8|--- 10 4 14 9 36 23.59 
 14 92 65.43 
 
Temos que: 
 
 
 
Portanto o Desvio Padrão é: 
 
24,203,5
13
43,65
S 
 
 
7.5. Variância ( S2) 
 
É o desvio padrão elevado ao quadrado. 
 
A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é 
extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras. 
 
 
1
.
2
2



n
Xxi
S e 
 
1
.
2
2



fi
fiXxi
S 
 
 
 
 
43 Estatística Aplicada 
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7.6. Coeficiente de Variação de Pearson (CVP) 
 
Medidas de Dispersão Relativa 
 
Na estatística descritiva o desvio padrão por si só tem grandes limitações. Assim, um desvio 
padrão de 2 unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor 
médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito. 
 
Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o 
seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à 
sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes. 
 
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou 
variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada de 
CVP: Coeficiente de Variação de Pearson (é a razão entre o desvio padão e a média 
referentes a dados de uma mesma série). 
 
 Coeficiente de Variação de Pearson (CVP) 
 
A fórmula do CVP será o resultado neste caso e expresso em percentual, a fórmula é 
descrita: 
100.






X
S
Cvp 
 
Exemplo: Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de 
indivíduos: 
 
Variáveis Média 
Desvio 
Padrão 
Estaturas (cm) 175 5 
Pesos (kg) 68 2 
 
Qual das medidas (Estatura ou Peso) possui maior homogeneidade ? 
%85,2100.0285,0100.
175
5






estaturaCvp 
 
%94,2100.0294,0100.
68
2






pesoCvp 
 
Logo, o grupo como maior homogeneidade é o grupo da variável estatura, pois possui 
menor varição relativo do que o peso. 
 
Diz-se que a distribuição tem grau de variabilidade (dispersão) quando: 
 
Cv ≤ 15% Baixa Dispersão 
15% < Cv < 30% Média Dispersão 
Cv ≥ 30% Alta Dispersão 
 
 
 
44 Estatística Aplicada 
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7.7. Exercícios sobre medidas de posição e dispersão. 
 
1. A amostra abaixo foi retirada de uma população de notas dos alunos de uma classe: 
 
5 8 6 5 5 2 7 
Determinar: 
a) A nota média. (5,4) 
b) O desvio médio (1,3) 
c) A variância (3,6) 
d) O desvio padrão (1,9) 
e) A moda (5) 
f) A mediana (5) 
g) A amplitude (6) 
h) O coeficiente de variação (35%) 
 
2. Um grupo de candidatos a um emprego foi submetido a um teste de QI. Os resultados 
 estão agrupados abaixo: 
 
QI 80 |-- 90 90 |-- 100 100 |-- 110 110 |-- 120 120 |-- 130 
No. Candidatos 20 100 120 50 10 
 
Calcular: 
 
a) O QI médio. (103) 
b) O QI mediano. (102,5) 
c) A moda desses valores. (102) 
d) Os quartís e classificar os candidatos em: Péssimos, Regulares, Bons e Ótimos. (95,5; 
102,5; 108,75) 
e) A variância. (84,9) 
f) O desvio padrão (9,2) 
g) O coeficiente de variação. (8,9%) 
 
3. A amostra abaixo representa uma distribuição salarial. 
 
Salários (em mil-
hares de R$) 
 1|--3 3|--5 5|--7 7|--9 9|--11 11|--13 13|--15 
N
o
 funcionários 40 80 100 50 30 20 10 
 
Calcular: 
 
a) A média salarial. (6,3 ou R$ 6.303,03) 
b) O salário mediano. (5,90 ou R$ 5.900,00) 
c) Os quartís e classificar os salários em: baixos, abaixo da mediana, acima da mediana e 
altos. (4,06 ou R$ R$ 4.062,50; 5,90 ou R$ 5.900,00 e 8,10 ou R$ 8.100,00) 
d) O salário modal. ( 5,57 ou R$ 5.571,43) 
e) O desvio médio salarial. (2,34 ou R$ 2.343,43) 
f) A variância dos salários. (9,03 ou R$2 9.026.434,56) 
g) O desvio padrão dos salários. (3,00 ou R$ 3.004,40) 
h) O coeficiente de variação dos salários. ( 48%) 
 
 
 
 
 
 
45 Estatística Aplicada 
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8. MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
Uma distribuição é dita simétrica quando possui a mesma média, moda e a mediana e os 
quartis ficam eqüidistantes da mediana, o que não ocorre com numa distribuição 
assimétrica. 
 
 
 
 
 
 
 Q1 Md=X=Mo Q3 Mo Md X X Md Mo 
 
 Simétrica Assimétrica Positiva Assimétrica Negativa 
 
 
8.1. Coeficientes de Assimetria 
 
8.1.1. Primeiro Coeficiente de Pearson 
 
 
 
Se As = 0, a distribuição é simétrica, pois a X = Md = Mo 
Se As > 0, a distribuição é simétrica positiva, pois Mo < Md < X 
Se As = 0, a distribuição é simétrica negativa, pois X < Md < Mo 
 
Quando não temos condições de calcular a média e o desvio padrão, utilizamos: 
 
 
8.1.2. Segundo Coeficiente de Pearson 
 
 
 
Exemplo: Determinar o coeficiente de assimetria pelos dos processos para a 
distribuição: 
 
Classes 50 |--- 60 60 |--- 70 70 |--- 80 80 |--- 90 90 |--- 100 
Fi 15 20 30 20 20 100 
 
1º. Processo: 
Classes fi xi Fi xi.fi (xi-X)^2*fi 
50 |--- 60 15 55 15 825 6000 
60 |--- 70 20 65 35 1300 2000 
70 |--- 80 30 75 65 2250 0 
80 |--- 90 20 85 85 1700 2000 
90 |--- 100 15 95 100 1425 6000 
 100 7500 16000 
 
 
46 Estatística Aplicada 
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Calcula-se a Média, a Moda e o Desvio Padrão 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
Como o As = 0 , a distribuição é Simétrica 
 
 
2º. Processo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O resultado de As confirma o anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 Estatística Aplicada 
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9. MEDIDAS DE CURTOSE 
 
Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Com referência ao 
grau de achatamento, podemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para medir o grau de curtose utilizaremos o coeficiente: 
 
 
 
 
Com referência ao grau de achatamento da curva correspondente à distribuição, podemos 
ter: 
 
Se K < 0.263, corresponde a uma Curva Leptocúrtica, ou seja, alongada. 
Se K = 0.263, corresponde a uma Curva Mesocúrtica- normal, ou seja, nem achatada nem 
alongada. 
Se K > 0.263, corresponde a uma Curva Platicúrtica, ou seja, achatada. 
 
 
Exemplo: Determinar o coeficiente de assimetria pelos dos processos para a distribuição: 
 
Classes 3 |--- 8 8 |--- 13 13 |--- 18 18 |--- 23 
Fi 5 15 20 10 50 
Fi 5 20 40 50 50 
 
 
 
Calcula-se o 1º. e 3º. Quartil e os Centis 10º. e 90º: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 Estatística Aplicada 
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Portanto, 
 
 
 
Logo, K > 0,263, portanto a curva é suavemente platicúrtica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 Estatística Aplicada 
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10. INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE 
 
10.1. Teoria de Conjuntos 
 
Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de elementos ou eventos que 
desejamos estudar. 
 
 
 Simbologia utilizada entre conjuntos 
 
 =união  = está contido 
 = intersecção  = não está contido 
 = pertença  = vazio 
 = não pertence A’, A
c
 = complementar e A 
 
 
10.2. Conjunto universo ou espaço amostral 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que 
representa o espaço amostral é S ou . 
 
Ex.  
 
 
 
 
 
 
Supomos agora que: 
 
 O conjunto A representa todas as pessoas entre 20 e 40 anos; 
 O conjunto B representa todas as pessoas entre 30 e 50 anos; 
Logo os conjuntos A e B estarão contidos em , pois este representa toda a população. 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
10.3. Operação entre conjuntos 
 
10.3.1. União de conjuntos: 
 
É a união ou reunião de dois ou mais conjuntos, é aquele que contém todos os elementos 
em um ou no outro. Assim, podemos representar graficamente a união dos conjuntos A 
e B pelo conjunto C, e a notação é: 
A B 
 
 
50 Estatística Aplicada 
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C = A  B 
 
Então, C será o conjunto das pessoas com idade de 20 a 50 anos. 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
10.3.2. Intersecção de conjuntos 
 
É a intersecção de dois ou mais conjuntos, é aquele que contém apenas os elementos 
comuns isto é em um e outro. Assim, podemos representar graficamente a intersecção 
dos conjuntos A e B pelo conjunto D, e a notação é: 
 
D = A  B 
 
Então, D será o conjunto das pessoas com idade de 30 a 40 anos. 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
10.3.3. Complementar de um conjunto 
 
É o evento que ocorre, se somente se, o outro não ocorrer. Assim, podemos representar 
graficamente o complementar de um conjunto pelo conjunto A’ ou A
c
, e a notação é: 
 
A’ou A
c
 =  - A 
 
Então, A’ou A
c
 , será o conjunto das pessoas de todas as idade menos as pessoas com 
idade de 30 a 40 anos. 
 
 A’ou A
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
D 
 
 
51 Estatística Aplicada 
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11. NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
Sejam algumas definições de probabilidade: 
 
 
11.1. Definição de probabilidade 
 
É a parte da matemática que estuda as chances de ocorrer um determinado acontecimento. 
 
 
11.2. Função de probabilidade 
 
Identificamos como o espaço amostral  = {A1, A2, ... , An} de um experimento aleatório, 
podemos associar a cada elemento A1, A2, ... , An , a sua possibilidade de ocorrência por: 
 
P() = {P(a1), P(a2), ... , P(An)} 
 
Função de probabilidade é uma função definida no espaço amostral do experimento 
assumindo valores, com as seguintes propriedades: 
 
 
a) 0 ≤ P(Ai) ≤ 1; 
para todo i = 1, 2, ... , n 
b)  P(Ai) = 1 
 
 
 
 
11.3. Experimento aleatório 
 
São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam 
resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso. 
 
Exemplo: 
 
 Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje"; 
 O lançamento de uma moeda; 
 O lançamento de um dado; 
 Retirado de uma bola de uma urna, etc. 
 
 
11.4. Espaço amostral 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
 
Exemplo: 
 
a) O lançamento de um dado 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
 
52 Estatística Aplicada 
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b) O lançamento de um a moeda 
 = {C, K} 
 
c) Retirada de uma carta de um baralho com 52 cartas 
 = {52 cartas, com 4 naipes constituída de 13 cartas cada naipe} 
 
 
11.5. Evento 
 
No conjunto do espaço amostral, evento será qualquer um de seus subconjuntos. 
 
Exemplo: 
 
a) O lançamento de um dado, a ocorrência de números pares. 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6} 
 
b) O lançamento de uma moeda, a ocorrência de face cara. 
 = {C, K} e B = {C} 
 
Repare que tanto nos dois exemplos os eventos formados são subconjuntos do espaço 
amostral. 
 
 
11.6. Probabilidade como relação de conjunto 
 
Se considerarmos  como o conjunto do N resultados possíveis e A o conjunto de n eventos 
nos quais A ocorre, então a probabilidade de A é dada por: 
 
N
n
AP )( , onde n = número de casos favoráveis ao evento 
 N = número total de casos possíveis 
 
Exemplo: 
 
Em uma urna existem 4 bolas brancas e 6 bolas pretas, qual a probabilidade de sair bola 
branca quando retiramos uma bola da urna? 
 
 = { 10 bolas, sendo 4 BB e 6 BP} 
 
Logo: 4,0
10
4
)( BolaBrancaP ou 40% 
 
 
11.7. Relações de probabilidade 
 
a) Propriedade Aditiva ou Teorema da Soma 
 
 Para Eventos Disjuntos 
 
 
 
53 Estatística Aplicada 
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Se A1, A2, ... , An , são eventos disjuntos então vale: 
 
P(A  B) = P(A) + P(B) 
 
O conceito de disjuntos deve ser entendido como conjuntos mutuamente exclusivos, ou seja, 
o que ocorre em um, nos outros não podem ocorrer. 
 
Exemplo: 
 
No lançamento de um dado, a ocorrência de números pares ou o número 3. 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
A: Sair nº par, A = {2, 4, 6} e B: Sair nº três, B = {3} 
 
Temos então que: 
 
 
5,0
6
3
)( AP e 
6
1
)( BP 
 
 
Nota-se que A e B são eventos exclusivos, o que ocorre em A não ocorre em B, logo eles 
são eventos disjuntos, então vale: 
 
667,0
6
4
6
1
6
3
)()()()(  BAPBPAPBAP 
 
 
 Para Eventos Não Disjuntos 
 
Se A1, A2, ... , An , são eventos não disjuntos então vale: 
 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
 
O conceito de não disjuntos deve ser entendido como conjuntos não exclusivos, ou seja, o 
que ocorre em um, nos outros ocorre pelo menos um. 
 
Exemplo: 
 
Supomos agora, no lançamento de um dado, a ocorrência de números pares ou múltiplo 3. 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
A: Sair nº par, A = {2, 4, 6} e B: Sair múltiplo três, B = {3, 6} 
 
Temos então que: 
 
5,0
6
3
)( AP e 
6
2
)( BP 
 
 
 
54 Estatística Aplicada 
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Nota-se que A e B são eventos não exclusivos, o que ocorre em A ocorre também B pelo 
menos um, logo eles são eventos não disjuntos, então vale: 
 
667,0
6
4
6
1
6
2
6
3
)()()()()(  BAPBAPBPAPBAP 
 
 
b) Teorema do Produto 
 
 Para Eventos Independentes 
 
Se A e B são eventos independentes de um mesmo espaço amostral, a condição dos dois 
ocorrerem é: 
 
P(A  B) = P(A) . P(B) 
 
Exemplo: 
 
Em uma urna existem 4 bolas brancas e 6 bolas pretas, é feito duas retiradas com reposição, 
qual a probabilidade de nas duas retiradas ter saído bola branca? 
 
 = { 10 bolas, sendo 4 BB e 6 BP} 
 
10
4
)ª1( BrancaP e 
10
4
)ª2( BrancaP 
 
Logo: O a 1ª retirada independente da 2ª retirada então vale: 
 
16,0
25
4
100
16
10
4
.
10
4
)( BrancaBrancaP 
 
 
 Para Eventos Dependentes ou Probabilidade Condicional 
 
Se A e B são eventos dependentes de um mesmo espaço amostral, a condição dos dois 
ocorrerem é: 
 
P(A  B) = P(A) . P(B/A) 
 
Exemplo: 
 
Em uma urna existem 4 bolas brancas e 6 bolas pretas, é feito duas retiradas sem reposição, 
qual a probabilidade de nas duas retiradas ter saído bola branca? 
 
 = { 10 bolas, sendo 4 BB e 6 BP} 
 
10
4
)ª1( BrancaP e 
9
3
)ª2( BrancaP 
 
 
 
55 Estatística Aplicada 
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Logo: O a 2ª retirada dependente da 1ª retirada então vale: 
 
13,0
15
2
90
12
9
3
.
10
4
)( BrancaBrancaP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 Estatística Aplicada 
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12. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
12.1. Definição 
 
É a função que associa um número real a cada elemento do espaço amostral. 
 
Onde 
S → espaço amostral 
s → elemento do espaço amostral S 
 
 
12.2. Variáveis Aleatórias Discreta 
 
Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um número a um eventoaleatório 
e calcularmos a probabilidade de ocorrência desse número, do que a probabilidade de todo o 
evento. Podemos dizer que a variável aleatória para ser discreta deve assumir valores em 
um conjunto finito ou um conjunto infinito, porém enumerável. 
 
Suponha o experimento em que consiste lançar 3 moedas. Seja X o número de ocorrências 
de faces caras. Determine a distribuição de probabilidade de X. 
 
Temos 
E → jogar três moeda 
S = {(ccc), (kcc), (ckc), (cck), (kkk), (kkc), (kck), (ckk)} 
 
Se X é o número de caras, X assume o valores 0, 1, 2, 3. Podemos associar esses números 
eventos que correspondam a ocorrência de nenhuma, uma, duas ou três caras 
respectivamente, como segue: 
 
x = 0 {(kkk)} 
x = 1 {(kkc)(kck)(ckk)} 
x = 2 {(kcc)(ckc)(cck)} 
x = 3 {(ccc)} 
 
Logo teremos a seguinte distribuição de probabilidade 
 
xi P(xi) 
0 1/8 
1 3/8 
2 3/8 
3 1/8 
 8/8 
 
 
 
57 Estatística Aplicada 
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Graficamente temos: 
 
 
Exemplo: Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição, de uma caixa que 
contém 4 bolas vermelhas e 3pretas. Seja X a variável aleatória “número de bolas vermelhas 
retiradas no experimento” Quais os valores assumidos por “X” ? 
 
Solução: 
 
S = {vv, vp, pv, pp} 
 
Então: 
x = {2, 1, 1, 0} ou seja, 
x = 0, 1, 2 
 
Notação: 
X = x 
 
Onde: 
X → variável aleatória 
x → valores assumidos pela variável aleatória 
 
Logo teremos a seguinte distribuição de probabilidade 
 
xi P(xi) 
0 1/4 
1 2/4 
2 1/4 
 4/4 
 
 
Exercício de Aplicação 
 
Lançam-se 2 dados. Seja X a soma das faces. Determinar a distribuição de probabilidade de 
X. 
 
E → jogar dois dados 
 
 
58 Estatística Aplicada 
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S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), 
 (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), 
 (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 
 
Se X é a soma das faces, X assume o valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 . Podemos 
associar esses números eventos que correspondam as seguintes ocorrências: 
 
x = 2 {(1, 1)} 
x = 3 {(1, 2) (2, 1)} 
x = 4 {(1, 3) (2, 2) (3, 1)} 
x = 5 {(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)} 
x = 6 {(1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1)} 
x = 7 {(1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1)} 
x = 8 {(2, 6) (3, 5) (4, 6) (5, 3) (6, 2)} 
x = 9 {(3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3)} 
x = 10{(4, 6) (5, 5) (6, 4)} 
x = 11{(5, 6) (6, 5)} 
x = 12{(6, 6)} 
 
Logo teremos a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.3. Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
Uma variável aleatória X é contínua em R se existir uma função f(x), tal que: 
 
a) f(x) = 0 (não negativa) 
 
b) 
 
 
 
 
xi P(xi) 
2 1/36 
3 2/36 
4 3/36 
 4/36 
 5/36 
 6/36 
 5/36 
 4/36 
 3/36 
 2/36 
 1/36 
 36/36 
 
 
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A função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade (f.d.p.) 
 
Observemos que: 
 
 
 
 
Corresponde a área delimitada pela função f(x), eixo dos X e pelas retas X = a e X = b. 
 
Se X é uma variável aleatória contínua, então: 
 
Definição: 
 
 
 
A esperança ou a média pode ser entendida como um “centro de distribuição de 
probabilidades”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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Editora Pioneira Thompson Learning, 2002. 
 
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1999. 
 
 BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2010. 
 
 COSTA, J. J. da Serra. Elementos de Estatística. Rio de Janeiro: Editora Campus, 
1981. 
 
 CRESPO, Antônio A. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 2008. 
 
 FONSECA, Jairo S.; MARTINS, Gilberto A. Curso de Estatística. Editora Atlas. 
São Paulo, 2009. 
 
 FONSECA, Jairo S.; MARTINS, Gilberto A.; TOLEDO, Geraldo L. Estatística 
Aplicada. São Paulo: Editora Atlas. 1995. 
 
 HOFFMAN, RONALDO.; VIEIRA, Sônia. Elementos de Estatística. São Paulo: 
Editora Atlas, 1998. 
 
 LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: Editora Lapponi, 
1997. 
 
 LEVIN, Jack; FOX, James A. Estatística para Ciências Humanas. São Paulo: 
Editora Pearson, 2004. 
 
 MONTGOMERY, Douglas C.; HUBELE, Norma Faris; RUNGER, George C. 
Estatística Aplicada a Engenharia. Editora LTC, 2004. 
 
 MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2003. 
 
 MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica: Probabilidade. São Paulo: Editora 
Makron Books, 1994. 
 
 PEREIRA, Paulo H. Noções de Estatística.São Paulo: Editora Papirus, 2004. 
 
 SOUZA, Andre M. S.; GESSER, Kiliano; DALPIAZ, Márcia V. A. D. Estatística – 
Caderno de Estudos. Santa Catarina: Editora Uniasselvi, 2011. 
 
 SPIEGEL, Murray R.; SCHILLER, Jonh; SRINIVASAN, R. Alu. Probabilidade e 
Estatística-Coleção Schaum. São Paulo: Editora Bookman, 2004. 
 
 DONAIRE, Denis; MARTINS, Gilberto A. Princípios de Estatística. São Paulo: 
Editora Atlas, 2006. 
 
 
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 VIEIRA, Sônia. Princípios de Estatística. São Paulo: Editora Cengage Learning, 
2000.