2021 I ANÁLISE ANP 04 LT 04

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IA ANP 04 LT 04 
Semana 04 26 a 02 / 05 / 21 
Grupo G 02 
Aluno Artur Sherrer 
Aluno Daniel Siqueira Mofati 
Aluno Felipe de Paula Paschoal 
Aluno Mariana Carla de Melo Pravato 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1) Use o PIF para demonstrar que a sequência dada por {
𝑎1 =
1
2
𝑎𝑛+1 =
1
−3𝑎𝑛−4
, ∀𝑛 ≥ 1
 é: 
a) crescente; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) limitada inferiormente, isto é, existe um valor 𝑚 ∈ ℜ tal que 𝑚 ≤ 𝑎𝑛, ∀ 𝑛 ≥ 1; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) limitada superiormente, isto é, existe um valor 𝑀 ∈ ℜ tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 , ∀ 𝑛 ≥ 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Use o PIF para demonstrar que 9𝑛 − 1 é múltiplo de 8, para todo 𝑛 ≥ 1. 
 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑢𝑚 𝑋 ⊂ ℕ∗ = { 𝑋 | 1 ∈ 𝑋 , 𝑘 ∈ 𝑋, 𝑘 + 1 ∈ 𝑋 } 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑋 = ℕ∗ 
 
𝐼) 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃(1) 
91 − 1 = 9 − 1 = 8 
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1 é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜, 𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑒 8 | 8, 
 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 9𝑛 − 1 𝑞𝑢𝑒 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 8. 
 
 
 𝐼𝐼) 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃(𝑘) 
 
9𝑘 − 1 = 8𝑡 ⟺ 9𝑘 = 8𝑡 + 1 , 𝑡 ∈ ℤ+ 
𝐸𝑛𝑡ã𝑜 8 | 9𝑘 − 1 𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 , 9𝑘 − 1 = 8𝑡 , ∀ 𝑡 ∈ ℤ+ 
 
 
 𝐼𝐼𝐼) 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃(𝑘 + 1) 
 
9𝑘+1 − 1 = 91 ∗ 9𝑘 − 1 
 = 9 ∗ (8𝑡 + 1) − 1 
 = 8 ∗ (9𝑡) + 9 − 1 
 = 8 ∗ (9𝑡) + 8 
 = 8 ∗ (9𝑡 + 1) 
 
𝐸𝑛𝑡ã𝑜 9𝑘+1 − 1 é 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 8 , 𝑐𝑜𝑚 𝑖𝑠𝑠𝑜 8 | 9𝑘+1 − 1, 
 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 9𝑘+1 − 1 é 𝑑𝑖𝑣í𝑠𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 8. 
 
𝐸𝑛𝑡ã𝑜 𝑃(𝑛) é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 ∀ 𝑛 ≥ 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Use o PIF para demonstrar que 10𝑛+1 − 9𝑛 − 10 é múltiplo de 81, para todo 𝑛 ≥ 1.