2021 I ANÁLISE ANP 13 LT 10 G 02

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IA ANP 13 LT 10 
Semana 13 05 a 11 / 07 / 21 
Grupo G 02 
Aluno Artur Sherrer 
Aluno Daniel Siqueira 
Aluno Felipe Paschoal 
Aluno Mariana Carla 
Aluno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1) (3,0) Em cada um dos ítens abaixo, faça esboce o conjunto dado, sua fronteira e seu fecho. 
a) (1,0) 𝑄 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 3 ≤ 𝑥 < 8 𝑒 1 < 𝑦 ≤ 5} 
b) (1,0) 𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −2 < 𝑥 ≤ 3 𝑜𝑢 5 ≤ 𝑥 < 9} 
c) (1,0) 𝑃 = { 5 −
1
𝑛
∶ 𝑛 ∈ 𝒩∗} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) (3,0) Considere ℋ = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑑( (𝑥, 𝑦), (0,0)) < 3 }. 
a) (1,0) Prove que 𝜕(ℋ) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑑( (𝑥, 𝑦), (0,0)) = 3 }. 
b) (1,0) Encontre ℋ′, justificando sua resposta. 
c) (1,0) Encontre ℋ, justificando sua resposta. 
 
2. a) 
Existem 3 possibilidades para avaliar (x, y) ∈ ℝ2 ∶ 
Caso I) d((x, y), (0,0)) < 3 ⟹ (x, y) ∈ H = B((0,0), 3) conjunto aberto 
Logo ∃ r > 0 ∶ B((x, y), r) ⊂ B((0,0), 3) = H em que (x, y) ≠ ∂(H) 
Caso II 
d((x, y), (0,0)) > 3 ⟹ (x, y) ∉ B ((0,0,3)) → (x, y) ∈ C (B ((0,0,3))) cj. aberto 
Logo ∃ r > 0 ∶ B((x, y), r) ⊂ C (B ((0,0,3))) = H em que (x, y) ≠ ∂(H) 
Caso III 
(x, y) ∈ ∂(H), temos d((x, y), (0,0)) = 3 
em que ∂(H) ⊂ {(x, y) ℝ2 ∶ d((x, y), (0,0)) = 3} 
Supondo que (x, y) ∶ d((x, y), (0,0)) = 3 
Com a intenção de provar que (x, y) ∈ ∂(H) 
Tomemos bola B((x, y), r) com r > 0 
Podemos encontrar 2t < 1 ∶ B((x, y), 2t) ⊂ B((x, y), r). 
Consideramos (a, b) = (x −
tx
3
, y −
tx
3
) 
x2 + y2 = 9 então temos 
1) d((a, b), (x, y)) = √
𝑡2𝑥2
9
+
𝑡2𝑦2
9
 = √𝑡2 +
9
9
= √𝑡2 = 𝑡 < 2𝑡 
Logo (a, b) ∈ 𝐵((𝑥, 𝑦), 𝑟) 
 
2) d((a, b), (0,0)) = √(x −
tx
3
)
2
+ (y −
tx
3
)
2
< √𝑥2 + 𝑦2 = √9 = 3 
Logo (a, b) ∈ H = B((0,0), 3) 
 
Assim dada B((x, y), r) onde r > 0, temos(a, b) 
(a, b) ∈ B((x, y), r) e (a, b) ∈ H, e temos (x, y) ∈ B ((𝑥, 𝑦), r) , (x, y) ∉ H. 
Logo um par ordenado (x, y) com 𝑑((𝑥, 𝑦), (0,0)) = 3 
Toda bola desse ponto possui pontos de H e de C(H), então (x, y) ∈ ∂(H). 
Considerando ∂(H) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑑((𝑥, 𝑦), (0,0)) = 3} e d((𝑥, 𝑦), (0,0)) = 3 
⟹ (𝑥, 𝑦) ∈ ∂(H), logo ∂(H) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑑((𝑥, 𝑦), (0,0)) = 3} ■ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. b) 
 
Temos ℝ2 = int(H) ∪ ∂(H) ∪ int(C(H) (união disjunta) 
Se (𝑥, 𝑦) ∈ int(C(H)) então existe bola de(𝑥, 𝑦) que não contém 
nenhum ponto de H. Portanto, (𝑥, 𝑦) ∈ int(C(H)) ⟹ (𝑥, 𝑦) ∉ H′ 
Assim (𝑥, 𝑦) ∉ H ⟹ (x, y) ∈ int(H) ∪ ∂(H), onde H′ ⊂ int(H) ∪ ∂(H). 
Para demonstrar que int(H) ∪ ∂(H) ⊂ H′ tome (x, y) ∈ int(H) ∪ ∂(H) 
Se (𝑥, 𝑦) ∈ int(H) então toda bola de (x, y) contém uma bola 
interiomente centrada em H, com infinitos pontos e, portanto, com pontos 
de H distintos de (𝑥, 𝑦). Assim, (x, y) ∈ int(H) ⟹ (𝑥, 𝑦) ∈ H′, onde int(H) ⊂ H′. 
Se (x, y) ∈ ∂(H), do exercício 2a e da definição de H, temos que(𝑥, 𝑦) ∉ H 
e todo B(x, y) ⊂ pontos de H então (x, y) ∈ H′ e logo ∂(H) ⊂ H′. 
Considere int(H) ⊂ H′ e ∂(H) ⊂ H′ temos int(H) ∪ ∂(H) ⊂ H′ ■ 
Em H′ ⊂ int(H) ∪ ∂(H) , int(H) ∪ ∂(H) ⊂ H′ ⟹ H′ = int(H) ∪ ∂(H) ■ 
Como int(H) = H já que H = B((0,0), 3) e ∂(H) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ d(x, y), (0,0) = 3} 
 ⟹ H′ = B [(0,0), 3]. ■ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. c) 
 
Por definição H̅ = H ∪ H′ 
Como H ⊂ H′ 
Já que H = B((0,0), 3) e ∂(H) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑑((𝑥, 𝑦), (0,0)) = 3} 
 H̅ = H′ = 𝐵[(0,0), 3]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) (4,0) Sejam 𝐴 e 𝐵 conjuntos de um espaço métrico (𝑀, 𝑑). 
a) (2,0) Prove que 𝜕(𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ 𝜕(𝐴) ∪ 𝜕(𝐵). 
b) (2,0) Use um exemplo para mostrar que não podemos afirmar que, para quaisquer conjuntos, 
teremos 𝜕(𝐴) ∪ 𝜕(𝐵) contido em 𝜕(𝐴 ∪ 𝐵). 
 
3. 𝑎) 
 
Para que 𝜕(𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ 𝜕(𝐴) ∪ 𝜕(𝐵) podemos provar que 
𝐶(∂(A) ∪ ∂(B)) ⊂ 𝐶(∂(A ∪ B)) pela implicação de 
𝐶 (𝐶(∂(A ∪ B))) ⊂ 𝐶 (C(∂(A) ∪ ∂(B))) ⟹ ∂(A ∪ B) ⊂ ∂(A) ∪ ∂(B). 
Considere 𝑥 ∈ 𝐶(∂(A) ∪ ∂(B)) então 𝑥 ∉ ∂(A) ∪ ∂(B) ⟹ 𝑥 ∉ ∂(A), 𝑥 ∉ ∂(B). 
Se 𝑥 ∉ ∂(A), ∃ B(𝑥, 𝑟1); B(𝑥, 𝑟1) ⊂ A ou B(𝑥, 𝑟1) ⊂ C(A) 
Se 𝑥 ∉ ∂(B), ∃ B(𝑥, 𝑟2); B(𝑥, 𝑟2) ⊂ A ou B(𝑥, 𝑟2) ⊂ C(B) 
Para r = min{𝑟1, 𝑟2}, temos: 
𝐵(𝑥, 𝑟) ⊂ A ou 𝐵(𝑥, 𝑟) ⊂ C(A) 
𝐵(𝑥, 𝑟) ⊂ B ou 𝐵(𝑥, 𝑟) ⊂ C(B) 
I) Se B(𝑥, 𝑟) ⊂ A, B então B (𝑥, 𝑟) ⊂ A ∪ B ⟹ 𝑥 ∉ ∂(A ∪ B) ⟹ 𝑥 ∈ C(∂(A ∪ B)). 
II) Se B(𝑥, 𝑟) ⊂ A, C(B)então B (𝑥, 𝑟) ⊂ A ∪ B ⟹ 𝑥 ∉ ∂(A ∪ B) ⟹ 𝑥 ∈ C(∂(A ∪ B)). 
III) Se B(𝑥, 𝑟) ⊂ C(A), B então B (𝑥, 𝑟) ⊂ B ∪ A ⟹ 𝑥 ∉ ∂(A ∪ B) ⟹ 𝑥 ∈ C(∂(A ∪ B)). 
IV) Se B(𝑥, 𝑟) ⊂ C(A), C(B) então B (𝑥, 𝑟) ⊂ C(A) ∩ C(B) 
⟹ B(𝑥, 𝑟) ⊂ C(A ∪ B) ⟹ 𝑥 ∉ ∂(A ∪ B) ⟹ 𝑥 ∈ C(∂(A ∪ B)). 
Nos casos analisados encontramos pelo menos uma bola de 𝑥 ⊂ int(A ∪ B) ou C(A ∪ B) e 
Pela definição de ponto de fronteira, 𝑥 ∉ ∂(A ∪ B). 
Em qualquer caso 𝑥 ∈ C(∂(A) ∪ ∂(B)) ⟹ 𝑥 ∈ C(∂(A ∪ B)) 
temos ∂(A ∪ B) ⊂ ∂(A) ∪ ∂(B). 
Portanto independentemente do caso, 𝑥 ∈ C(∂(A) ∪ ∂(B)) ⟹ x ∈ C(∂(A ∪ B)) 
Logo ∂(A ∪ B) ⊂ (∂(A) ∪ ∂(B)) . ■ 
 
 
 
 
 
3. 𝑏) 
 
Seja A = (0,1) , B = [1,2) 𝑙ogo A ∪ B = (0,2) 
 ∂(A) = {0,1} , ∂(B) = {1,2} , ∂(A ∪ B) = {0,2}. 
 ∂(A) ∪ ∂(B) = {0,1,2} , logo ∂(A) ∪ ∂(B) ⊄ ∂(A ∪ B)