2021 I ANÁLISE ANP 09 LT 07 G 02

Prévia do material em texto

Página 01 
IA ANP 09 LT 07 
Semana 09 07 a 13 / 06 / 21 
Grupo G 02 
Aluno Artur Sherrer 
Aluno Daniel Mofati 
Aluno Felipe de Paula 
Aluno Mariana Carla de Melo Pravato 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 02 
1) a) (0,5) Escreva as hipóteses da “Proposição B2”, da página 59. 
b) (0,5) Escreva a tese da “Proposição B2”, da página 59. 
c) (3,0) Considere o espaço métrico (ℳ, 𝑑), sendo ℳ = ℝ, o conjunto dos números reais, e 𝑑 a 
distância euclidiana usual em ℝ. Prove a Proposição B2. 
Dica: Recorde a aula 1 deste curso, sobre demonstrações com conjuntos. 
 
 
1c) 
Dadas as bolas 𝐵(𝑥, 𝑟1) 𝑒 𝐵 (𝑥, 𝑟2) 
Por definição de bola aberta 
𝐵(𝑥, 𝑟1) = { 𝑦1 ∈ 𝑀 | 𝑑(𝑦1, 𝑥) < 𝑟1 } 
𝐵(𝑥, 𝑟2) = { 𝑦2 ∈ 𝑀 | 𝑑(𝑦2, 𝑥) < 𝑟2 } 
Suponha que r1 ≤ r2 com isso teremos que: 
𝐼) 𝐵(𝑥, 𝑟2) = { 𝑦2 ∈ 𝑀 | 𝑑(𝑦2, 𝑥) < 𝑟2 } 
𝐼𝐼) 𝐵(𝑥, 𝑟1) = { 𝑦1 ∈ 𝑀 | 𝑑(𝑦1, 𝑥) < 𝑟1 ≤ 𝑟2 } 
𝐼𝐼𝐼) 𝑑(𝑦1, 𝑥) = 𝑑(𝑦2, 𝑥) 
Por I, II, III das bolas citadas o centro é x, e 𝐵(𝑥, 𝑟1) ⊂ 𝐵(𝑥, 𝑟2) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 03 
2) Considere a seguinte afirmação: “Dado um ponto qualquer 𝑡 ∈ (6, 9), existe um número real 𝑟0 
tal que 𝐵(𝑡, 𝑟0) ⊂ (6, 9).” 
a) (4,0) Prove a afirmação sublinhada usando as ideias esboçadas na demonstração da Proposição 
B3 para “construir” (ou “apresentar”) um 𝑟0 que atenda à afirmação. 
b) (2,0) Prove a afirmação sublinhada usando a própria Proposição B3, isto é, usando a verdade 
que ela afirma.