Análise de Carregamento Hidrodinamico - Parte I A Excitação

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Setembro 2012
Análise de Carregamento Hidrodinâmico em 
Estruturas Flutuantes
João Henrique VOLPINI Mattos
Engenheiro Naval
Regional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software
Baia da Guanabara – Abril 2010
Parte I – A Excitação
Presenter
Presentation Notes
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Hidrodinâmica
Slide 2
 Resistência ao avanço : Avalia a resistência contra o movimento causada
primariamente pelo fluxo de água ao longo do casco.
 Propulsão : A força para mover o navio através da água é dado por propulsores
de vários tipos, jatos de água, vela, etc. Sua iteração com o meio irá definir a
eficiência propulsiva.
 Carregamento hidrodinâmico : Avalia as pressões, forças e momentos
induzidos no casco pelas ondas, correnteza, etc.
 Movimento do navio : Avalia os movimentos (deslocamentos, velocidade e
acelerações) da embarcação e sua resposta em ondas.
 Manobrabilidade : Avalia o controle e manutenção da posição e direção da
embarcação.
É uma especialidade da mecânica dos fluidos que trata da iteração entre
corpos rígidos e fluidos (notadamente incompressíveis) através do estudo do
escoamento ao longo do casco da unidade, bem como em outros corpos
como pás do propulsor, leme, túnel do impelidor lateral, etc.
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Características Importantes 
 Algumas características do comportamento em ondas são importantes no
projeto de uma unidade flutuante, sob o ponto de vista da segurança e
conforto :
- Movimentos e acelerações em diversos pontos do
casco
- Tensões ocorrentes em pontos do casco.
- Ocorrência de batida de proa (slamming).
- Incidência de água no convés (green sea).
- Ocorrência de emersão do propulsor.
- Perda de velocidade em ondas.
Slide 3
 Para calcular tudo isto, o primeiro passo é uma
compreensão adequada das ondas : seu com-
portamento real, seus modelos matemáticos,
sua distribuição no tempo e no espaço, ...
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Alguma
Matemática
(não tão)
Básica
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Aí Vem Coisa ....
 Você que provavelmente tem um background em matemática, engenharia
civil, mecânica dos fluidos ou física, certamente não tem medo de
derivadas parciais ou funções de transferência quadráticas …
 Ou tem ?
 Na matemática aplicada à hidrodinâmica, temos que conhecer alguns
conceitos; cálculo vetorial, equações diferenciais, operadores diferenciais,
números complexos...
 Não que este conhecimento seja fundamental a compreensão deste texto,
mas será se quiser ler posteriormente algum livro ou artigo sobre o
assunto.
Slide 5
 
Presenter
Presentation Notes
... Um curso de engenharia eletrônica antes é interessante. Eles utilizam todos estes conceitos matemáticos no seu dia a dia.
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Alfabeto Grego
Slide 6
LETRA NOME UTILIZAÇÃO
α Alpha
β Beta
Ângulo entre o aproamento e a 
direção da onda, parâmetro de 
escala de Weibull
γ Gamma Fator de intensificação de pico, assimetria
δ Delta Amplitude da onda
ε Epsilon Largura de banda
ζ Zeta Elevação da onda
η Eta
θ Teta Parâmetro de localização de Weibull, ângulo de arfagem
ι Iota
κ Kappa
λ Lambda Comprimento da onda
μ Mu Profundidade relativa, média estatística de valores
LETRA NOME UTILIZAÇÃO
ν Nu Coeficiente de viscosidade cinemática
ξ Xi Fator de amortecimento
ο Omicron
π Pi 3.1415926535897932384626...
ρ Rho Densidade
σ Sigma Desvio padrão
τ Tau Período de retorno
υ Upsilon
φ Phi
Função de distribuição
acumulada, ângulo de jogo, 
potencial de velocidades
χ Chi
ψ Psi Ângulo de guinada
ω Omega Frequência angular
Presenter
Presentation Notes
1º passo – aprender grego arcaico !
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Produto Escalar
 O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A e B é um 
número real resultado do produto do comprimento de A pela projeção de 
B em A
 Em um sistemas de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde
então 
Slide 7
( )θcos. BABA

=•
( )
( )
nn
n
i
ii
n
n
babababa
bbb
aaa
+++==•
=
=
∑
−
 
 
 
...
,,...,
,,...,
2211
1
21
21
BA
B
A



A
B
|B|cos(θ) 
Presenter
Presentation Notes
As principais propriedades do produto escalar são as seguintes:
• comutativo: A·B = B·A
• distributivo em relação à adição : A· (B + B) = A·B + A·C
• λ ∈ R, (λ A) · B¯ = λ (A · B).
• A · A = 0 se, e somente se, A = 0.
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Produto Vetorial
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 O produto vetorial (ou produto externo) entre dois vetores A e B no espaço 
tridimensional é um outro vetor perpendicular a ambos os vetores (ou 
normal ao plano formado por ambos) 
 Em notação matricial, se 
 
então 
 
 
A
A ₓ B
B
|A ₓ B|
( )nBABA ˆsin. θ

=× n é o vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B
[ ] [ ]321321321321 bbbbbbaaaaaia =++==++= kjiBkjiA

 e 










=−+−+−=×
321
321122131132332 det)()()(
bbb
aaababababababa
kji
kjiBA

i, j, k são os vetores unitários 
nas direções x,y,z
Presenter
Presentation Notes
Propriedades algébricas :
O produto vetorial é anticomutativo,
A × B = -B × A,

Distributivo sobre a adição,
A × (B + C) = A × B + A × C,

É compatível com a multiplicação escalar, tal que
(rA) × B = A × (rB) = r(A × B)
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Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
 Enquanto as funções trigonométricas geram círculos, as funções hiperbóli-
cas vão gerar uma hipérbole.
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𝑥= cos𝛼
𝑦 = sin𝛼
𝑥= cosh𝛼 =
𝑒𝛼 + 𝑒−𝛼
2
𝑦 = sinh𝛼 =
𝑒𝛼 − 𝑒−𝛼
2
x2 + y2 = 1
sincos
tan
sinh
cosh
tanh
Presenter
Presentation Notes
É importante conhecer a forma das funções para saber quando aproximá-las pelo ângulo e quando tendem a infinito.
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 Em vários processos físicos existem grandezas que variam com a posição e 
o tempo e que podem ser representadas por uma função f(x,y,z,t) que é 
denominada campo. 
 Um campo é estacionário quando independe do tempo f(x,y,z). 
 Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar. 
 Exemplos : 
Campo
• A distribuição de temperatura 
em uma sala. 
• A intensidade do som em um 
cinema. 
• O campo magnético terrestre. 
• A velocidade da água em uma 
pia aberta. 
 
Campo escalar 
Campo vetorial 
zyxzyxf sin53),,( 2 −+=
)3,5,53(),,( xyxzyzxzyxF +=

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 Foi introduzido pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton, sendo 
usado no cálculo vetorial para denominar o operador diferencial. 
 Em coordenadas cartesianas 
 ou ou 
 
 
 Em coordenadas cilíndricas 
 
 Em coordenadas esféricas 
 
Slide 11
O Operador Nabla
zyx ˆˆˆ
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
zρ ˆˆ1ˆ
z∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ ϕ
ϕρρ
kji
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ϕ
ϕθθ
ˆ
sin
1ˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
rrr
θr
i, j, k são os vetores unitários 
nas direções x,y,z






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
zyx
,,
ρ
William Rowan Hamilton
Matemático irlandês 1806-1865
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Gradiente
 É uma função vetorial que indica o sentido e direção da maior alteração do 
valor uma função escalar por unidade de espaço. 
 Suponha um campo escalar f(x,y,z), então 
 Exemplo : 
 
kji
z
f
y
f
x
ff
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
kji zyf
zyxzyxf
cos103
então
sin53),,(se 2
−+=∇
−+=
 O gradiente de f(x,y) em (x,y) é normal à “curva de 
nível” no ponto (x,y), apontando para a direção de 
crescimento máximo de f(x,y). 
 Em suma, o gradiente de uma função escalar é 
um vetor com módulo, direção e sentido que 
representa a taxa máxima de crescimento desta 
função escalar. 
Presenter
Presentation Notes
Gradientessó podem ser aplicados sobre funções escalares.
No gradiente derivamos a função em relação a cada um dos eixos.
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Divergente
 Divergente de um campo vetorial F é um escalar que representa o fluxo do vetor por 
unidade de volume 
 
 Ele é calculado como o produto escalar entre o operador e um campo vetorial. 
 Suponha um campo vetorial , então 
 Ou seja, divergente é um operador que mede a magnitude da “fonte” ou “sumidouro” 
de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, pode ser entendido como um 
escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um determinado ponto. 
z
F
y
F
x
F zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=•∇ F

dS
VVSV ∫∫→=•∇ )(0
.lim nFF

kjiF zyx FFF ++=

V é o volume em uma região arbitrária
S(V) é a superfície deste volume
n é o vetor normal à área
 Exemplo : Se o ar é aquecido em uma sala, ele irá se expandir 
em todas as direções. O divergente será positivo pois se obser-
varmos um pequeno volume desta região teremos mais ar saindo 
do que entrando neste volume : uma fonte. 
 
yyzyxyzyx sin21sin3)55()cos10()23( +=−+=•∇−++−++−= VkjiV

∇
Presenter
Presentation Notes
Divergente só pode ser aplicado sobre funções vetoriais.
No divergente derivamos os componentes da função em cada eixo em relação a este eixo, somando aritméticamente seus valores
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Rotacional
 Suponha um campo vetorial , então 
 
 
 Ou em termos matriciais 
kjiF 





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇
y
F
x
F
x
F
z
F
z
F
y
F xyzxyz
kjiF zyx FFF ++=

zyx FFF
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
kji
F

A
Fds
c
A
∫
→
=•×∇
0
limˆ)( nF

 A direção do rotacional aponta para o eixo de rotação e sua magnitude é 
dada pelo módulo do rotacional. 
 O rotacional de um campo vetorial pode ser entendido físicamente como 
uma medida de sua circulação por unidade de área (vorticidade). 
 
kjiVkjiV 265 )55()cos10()23( −+=×∇−++−++−=

zyxyzyx
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholçtz
Médico e físico alemão 1821-1894
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Laplaciano
 O operador Laplaciano é um escalar definido como o divergente de um 
gradiente. Na verdade, isto é uma simplificação, pois ele também pode ser 
aplicado a campos vetoriais. 
2
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
ffff
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆=∇=∇•∇
 Exemplo : Fisicamente o Laplaciano pode ser 
visualizado como uma medida da “concavidade” ou 
mudança de direção de uma função - uma rampa 
linear teria Laplaciano nulo. 
 
kjiFF zyx FFF
2222 ∇+∇+∇=∇=∇×∇

Laplaciano escalar aplicado a um campo escalar.
Laplaciano vetorial aplicado a um campo 
vetorial. Pode ser encarado como a soma dos 
laplacianos dos componentes ortogonais.
Equação de Laplace 02 =∇ f
Pierre Simon Laplace
Matemático francês 1749-1827
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Escoamento Potencial
 Em fluidodinâmica, um escoamento potencial é aquele que pode descrever 
o campo de velocidades como o gradiente de uma função escalar : o 
potencial de velocidades. 
 
 
 
 Exemplo matemático 
 
 Se o escoamento é potencial, então 
 Se o fluido é incompressível, então 
 O escoamento potencial não apresenta turbulência nem camada limite. 
ϕ∇=v
0=×∇ v
02 =∇ ϕ
)2,3(),(
23),(
=
+=
yx
yxyx
v
ϕ
O rotacional é nulo
O Laplacianol é nulo
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Teorema de Green
 Matematicamente, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao 
longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região 
limitada por esta curva. 
 Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano 
delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com 
derivadas parciais contínuas na região contendo D, então : 
∫ ∫∫ 




 ∂
−
∂
∂
=+
C
D
dA
dy
P
x
QQdyPdx
 Na fluidodinâmica este teorema é utilizado para descrever o relacionamento 
pelo qual um fluido incompressível se move ao longo ou através de uma 
fronteira em um plano e o modo pelo qual ele se move dentro desta região. 
George Green
Matemático inglês 1793-1841
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Física
(meio)
Básica
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 Milha Náutica : A definição atual da milha náutica (ou milha marítima) foi adotada
em 1929 pela First International Extraordinary Hydrographic Conference, realizada
em Mônaco.
1 mn = 1852 m
Milha NáuticaNáutica
Milha
Slide 19
Historicamente a milha náutica foi definida como sendo o comprimento de 1 minuto de arco
ao nível do mar, medida ao longo dos meridianos ou do equador.
A milha terrestre é definida como 5280 pés (1609.344 m), e historicamente foi definida na
Roma antiga como a distância percorrida em 1000 passos por uma coluna de soldados.
Presenter
Presentation Notes
A milha náutica também é utilizada nos meios aeronáuticos.
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Nó
 O nó (knot) é a unidade de velocidade normalmente utilizada nos meios marítimos.
1 nó = 1 mn/h = 1852 m/h = 0.5144 m/s = 1,852 km/h
Slide 20
O nome veio historicamente do processo utilizado
para medir velocidades, onde uma corda com nós
espaçados de 50 pés, amarrada a uma tábua de
madeira triangular com pesos (para se manter
afundada) era jogada pela popa. Uma ampulheta de
30 segundos era utilizada, contando-se quantos nós
passavam pela amurada neste intervalo.
50 ft x 0.3048 m = 0.51 m/s
30 s 1 ft
Demonstração
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Leis de Newton
 1ª Lei (Lei da Inércia)
 2ª Lei (Princípio Fundamental da Dinâmica)
 3ª Lei (Princípio da Ação e Reação)
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Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de 
movimento uniforme em linha reta a menos que seja obrigado 
a mudar por forças impressas a ele. 
 
 
 
A mudança do movimento é proporcional à força motriz 
impressa e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime
esta força. 
 
 
 
A uma ação sempre se opõe uma reação igual em sentido 
contrário. 
Isaac Newton
Físico inglês 1642-1727
00 =⇒=∑ dt
dvF

avvpF 

m
dt
dm
dt
md
dt
d
====
)(
∑∑ −= abba ,, FF

Não é preguiça, é inércia !
Presenter
Presentation Notes
Lembra do 2º grau ?
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Equação de Bernoulli
 Para um fluxo permanente sem viscosidade e incompressível, um aumento
na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na
pressão ou na energia potencial do fluido.
Slide 22
constante
2
2
=++
ρ
pghv
 O princípio de Bernoulli pode ser utilizado
para justificar a força de sustentação de um
aerofólio. Se o ar na parte superior do
mesmo se move mais rapidamente do que na
parte inferior, haverá uma diferença de
pressão para cima.
Daniel Bernoulli
Matemático holandês 1700-1782
Presenter
Presentation Notes
Este princípio não diz porque o ar na parte superior se move mais rapidamente. Não é por causa do caminho mais longo, senão uma placa plana inclinada não sofreria lift. Isto é explicado pela circulação, condição de Kutta.
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Equação de Navier-Stokes
 São equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Newtonianos.
Elas são equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos
de velocidade e de pressão num escoamento. Estas equações estabelecem que
mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o
resultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção)
atuando dentro do fluido.
 Em notação vetorial, assumem a seguinte forma
 Para escoamentos invíscitos (μ=0) chega-se à equação de Euler
Slide 23
Claude Louis Marie Henri Navier
Engenheiro e matemático francês 1785-1832
George GabrielStokes
Matemático e físoco irlandês 1819-1903
Vpg
Dt
VD 

2∇+∇−= µρρ
Massa por unidade de 
volume vezes aceleração
Força gravitacional por 
unidade de volume
Força de pressão por 
unidade de volume
Força viscosa por 
unidade de volume
pg
Dt
VD
∇−=


ρρ
Presenter
Presentation Notes
Um fluido newtoniano é um fluido em que cada componente da tensão cisalhante é proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal a essa componente. A constante de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica. 

Estas são equações diferenciais que descrevem o movimento do fluido, e que diferentemente das equações algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exemplo. velocidade e pressão). Em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna
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Ondas de 
Gravidade
Presenter
Presentation Notes
Não há ondas apenas na superfície do mar.
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Ondas de Gravidade
 Ondas geradas no meio fluido ou na interface entre a água e o ar, tendo
como força de restauração principal a gravidade.
 Mesmo não transportando massa (ao menos na teoria linear), transportam
energia (quem viaja é a forma da onda, não a matéria).
Slide 25
 A medida em que a profundidade aumenta, o
movimento das partículas diminue. A uma
profundidade igual a metade do comprimento
da onda o movimento orbital das particulas é
menos que 5% o da superfície.
Presenter
Presentation Notes
A tensão superficial é insignificante.
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Origem das Ondas de Gravidade
 Correntes de ar : Resultante da
ação do vento soprando em uma
extensão suficiente da superfície do
oceano (pista). 
 Correntes marítimas : Devido ao
efeito dos campos de pressão
atmosférica que geram os ventos e as
correntes marítimas.
Marés : Associada a variação do nível
médio da superfície livre da água,
causada pela interferência da Lua e
do Sol sobre o campo gravitacional da
Terra.
 Deslocamentos de terra ou gelo.
Slide 26
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Características Gerais das Ondas Oceânicas
 Irregulares e randômicas em formato, altura, comprimento e velocidade de
propagação.
Slide 27
 Classificação :
• Wind seas (vagas) : Geradas pelo vento no local, em geral
não possuem uma direção coerente nem formato definido.
• Swell (marulho ou ondulação) : As mais comuns. se
propagam por milhares de quilometros, tendendo a se alinhar
e agrupar em séries. Em um determinado local pode existir
swell vindo de vários outros locais.
• Tsunami : Gerada por perturbações sísmicas (terremotos,
erupções vulcânicas, etc.). Não oferecem perigo em alto mar.
• De capilaridade : Formadas no início das correntes de vento,
morrem quando o vento termina, sendo amortecidas pela
tensão superficial da água.
Presenter
Presentation Notes
Um modelo randômico pode ser criado pela soma de vários componentes de onda regulares com diferentes amplitudes, frequências e direções.
Tsunamis tem comprimento de onda de 130 a 160 km,´podendo atingir 1000 km, períodos de 15 min a 2 h e velocidades maiores que 360 nós (650 km/h). Sua altura em grandes profundidades é de menos de 1 m, mas em águas rasas a velocidade e comprimento diminuem e sua altura pode alcanças 30 m.
Meteoro K-T. 65 milhões de anos. 5-10 km, 72.000 km/h, onda de 900 m.
Capilares tem comprimento de onda muito pequeno (até 1.7 cm)
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Como as Ondas Nascem
 Em geral resultam do vento soprando sobre uma grande área do oceano
(pista - fetch) durante um bom tempo.
Slide 28
- Inicialmente o movimento turbulento do ar começa a
perturbar o equilíbrio da água pela ação de pulsos de
pressão sobre a superfície, surgindo as ondas de
capilaridade (ripples).
- Se o vento aumentar, as ondas começam a se formar e a
interferir na passagem do vento. Ele encontra maior
resistência para vencer as cristas e cavados e tem início a
transferência de energia para a superfície da água.
- Se o vento continua por mais tempo e distância, a
velocidade das ondas pode se igualar a sua velocidade (ou
mesmo ultrapassá-la), formando o que é chamado de
“mar totalmente desenvolvido” (a energia ganha do vento
é igual à perdida para a gravidade).
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Influência da Pista e Velocidade do Vento
 Na figura podemos estimar a altura significativa das ondas, partindo dos
valores de velocidade do vento (eixo vertical) e comprimento da pista (eixo
horizontal), ou velocidade do vento e sua duração (linhas tracejadas),
determinando a altura das ondas (linhas cheias).
Slide 29
Ve
lo
cid
ad
e d
o v
en
to
 (m
/s)
Duração (h)
Comprimento da pista (km)
Al
tu
ra
 (m
)
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Como as Ondas Morrem
 Perdem energia devido ao espalhamento.
 Empinamento (shoaling). É o processo no qual a altura da onda aumenta a
medida em que a profundidade diminue (a profundidade é considerada
rasa quando d <= λ/20). Seu período é mantido, mas o comprimento e
velocidades também diminuem.
 A onda quebra quando sua altura é maior que 78% da profundidade ou
menor que 1/7 do seu comprimento.
 Dependendo da inclinação do fundo, da altura e do comprimento da onda
(em águas profundas), a forma da arrebentação pode variar
Slide 30
- Deslizantes : inclinação suave
- Tubulares : Inclinação intermediária
- Ascendentes : Inclinação acentuada. Na 
verdade as ondas nunca quebram.
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Altura Máxima das Ondas
 A altura da onda é limitada pela sua quebra.
 A altura máxima por quebra é dada por
 A altura máxima por quebra também pode ser mostrada como uma função
do período da onda para diferentes profundidades, como no gráfico
Slide 31





=
λ
πλ dHb
2tanh142.0
7
λ
=bH Em águas profundas
 Em águas rasas a altura de
quebra pode ser tão baixa
como 78% da profundidade
local, mas em regiões extensas
e muito planas pode diminuir a
55% da profundidade local. 
Presenter
Presentation Notes
A tangente hiperbólica de um grande número tende a 1.
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Ondas Internas
 Propagam-se na interface de separação entre massas de água com
densidades diferentes. Qualquer perturbação é suficiente para provocar
estas ondas.
Slide 32
 Com frequência bem mais baixa do que as
ondas de superfície (períodos entre 10 e 20
min), mas com amplitude significativamente
maior (dezenas de metros), as ondas internas
fazem com que as partículas que estão na
superfície (como detritos, derramamento de
petróleo, etc.) convirjam e se acumulem
sobre os seus cavados.
Presenter
Presentation Notes
Períodos de 10 a 20 min. Amplitude até 150m.
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Medindo as
Ondas
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Teoria das Ondas
Na análise de estruturas submetidas a carregamento de ondas, elas podem
ser modeladas por métodos determinísticos ou estocásticos.
Quanto à
Regularidade
Quanto à
Linearidade
 Ondas Regulares : São periódicas e uniformes, 
possuindo um comprimento λ, período T e uma altura H 
bem definidos. 
 Ondas Irregulares : pode ser representado pela 
superposição linear de ondas regulares com diferentes 
amplitudes, frequências e fases. 
 Ondas Lineares : Satisfazem as condições do 
movimento ser irrotacional e o fluido incompressível (a 
matéria não se desloca). 
 Ondas Não-Lineares : As partes “altas” da onda se 
movem mais rápido que as “baixas”. 
Presenter
Presentation NotesO comportamento determinístico é governado por leis exatas; o comportamento estocástico é governado pelo acaso.
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λ
AC
AT
Hx
z
Características Físicas das Ondas 1
 Comprimento da onda λ [m] é a distância entre duas cristas sucessivas.
 Período da onda T [s] é o intervalo de tempo para a onda percorrer um ciclo
completo.
 Velocidade de fase é a velocidade de propagação da forma da onda [m/s].
 Frequência da onda [Hz] é número de ciclos que a onda realiza por unidade 
de tempo.
 Frequência angular da onda [rad/s].
 Número de onda [rad/m] é o número de ciclos da onda por unidade de com-
primento.
Slide 35
T
c λ=
T
f 1=
f
T
ππω 2= 2 = 
T, f e ω
estão 
interligados
λ
π2
 = k
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Características Físicas das Ondas 2
 Altura ou amplitude da crista AC é a distância do nível de águas paradas até a
crista.
 Profundidade ou amplitude do cavado AT é a distância do nível de águas paradas
até o cavado.
 Altura da onda H é a distância vertical do cavado até a crista H = AC + AT
 Ondas lineares são simétricas em relação ao nível médio da água.
 Ondas regulares não lineares são assimétricas, (AC > AT), e a velocidade de fase c
depende da altura da onda H.
Slide 36
λ
AC
AT
Hx
z
Presenter
Presentation Notes
Se a esbeltez for grande (> 1/7) a onda tende a quebrar
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Características Físicas das Ondas 3
 Esbeltez é a proporção entre a altura da onda e seu comprimento
 Altura relativa é a proporção entre a altura da onda e a profundidade
 Profundidade relativa é a proporção entre a profundidade e o comprimento da onda
Slide 37
λ
AC
AT
Hx
z
Leito marinho
d
d
H
λ
µ d=
Horace Lamb
Matemático inglês 1849-1934
λ
HS =
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Grupos de Ondas
Slide 38
)tanh(
)2sinh(
21
2
1 kd
k
g
kd
kdcg 





+=





==
λ
π
λ
πω dgkdgk 2tanh2)tanh(
 Na teoria linear de ondas pode ser demonstrado que a velocidade de fase depende
do comprimento da onda e profundidade local
 Em um local do oceano são gerados trens de ondas com vários comprimentos de
onda e períodos ligeiramente diferentes. Estas ondas vão interferir formando um
único grupo de ondas resultantes.
 Velocidade de grupo cg é a velocidade pela qual a modulação das amplitudes da
onda (a energia) se propaga.
 Relação de dispersão para ondas lineares [rad/s]






2
=
λ
π
π
λ dgc 2tanh
Presenter
Presentation Notes
A relação de dispersão para ondas lineares estabelece que existe apenas uma única relação entre w, k e d (ou T, L e d). Logo, se duas quantidades são conhecidas, a terceira é encontrada.
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Escala de Estado de Mar WMO
 O conceito de estado de mar (sea state) é vago, pois não indica o período
das ondas. Entretanto, é largamente utilizado.
 Definido pela World Meteorological Organization, é baseado na Escala de
Douglas para “wind seas”.
Slide 39
CÓDIGO
WMO DESIGNAÇÃO
ALTURA DAS ONDAS 
(m)
0 Espelhado 0
1 Chão 0-0.1
2 Encrespado 0.1-0.5
3 Pequena vaga 0.5-1.25
4 Cavado 1.25-2.5
5 Grosso 2.5-4
6 Alteroso 4-6
7 Tempestuoso 6-9
8 Encapelado 9-14
9 Excepcional 14+
WMO 4
WMO 9WMO 7
WMO 6
Henry Percy Dougllas
Hidrógrafo inglês 1879-1939
Presenter
Presentation Notes
Não confundir com Escala Beaufort para ventos, embora haja uma certa correlação.
Na escala Beaufort U (nós) = 1.87 x B ^ 1.5 (B = fator Beaulfort)
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Caracterização do Estado de Mar
Slide 40
 O estado de mar é melhor caracterizado por várias estatísticas, sendo as
principais :
- Altura significativa Hs.
- Período médio entre cruzamentos zero Tz ou período de pico Tp
- Direção da propagação das ondas
 Alguns destes parâmetros são historicamente obtidos por estimativas
visuais feitas por um observador treinado.
 Outros podem ser obtidos a partir de análises estatísticas a partir de uma
tabulação dos dados coletados H1/3, Hrms).
 Finalmente, através de análises estatísticas mais complexas a partir do
espectro de distribuição de energia, parâmetros mais confiáveis podem ser
obtidos (Hs, Tp, σ, etc.)
(s)83.2
(m)68.1
44.0
75.0
Vp
Vs
TT
HH
=
=
Presenter
Presentation Notes
Hs é a média de alturas do terço mais alto das ondas.
Tz tembém é conhecido como período espectral médio.
Tp é o periodo da onda com máxima energia, determinado pelo seu espectro.
A comparação entre Hv e Hs foi feita pela comparação de mais de 2 milhões de observações com os valores medidos por bóias.
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Obtenção dos Dados por Ondógrafo
 Em geral é utilizado um ondógrafo para registrar ao longo do
tempo as elevações ocorridas. Com o uso de acelerômetros é
possível também coletar informações relacionadas às direções de
incidência das ondas. Vários parâmetros podem ser obtidos da
série temporal.
Slide 41
 Após a retirada do ruído da série
temporal é aplicada a FFT, convertendo
os sinais de elevação em função do
tempo para uma modalidade de energia
associada à frequência (δ2/ω x ω).
 O ajuste do espectro é feito por expres-
sões matemáticas que o definem em
função de alguns parâmetros como
forma, altura significativa de onda e
período de pico.
Presenter
Presentation Notes
Frequência típica de coleta : 1 a 2 Hz
Duração da coleta 30 min
Com FFT o número de operações para o cálculo vai de N**2 para Nlog(N). Ex, se N = 3600 vai de 12.960.000 para 12.800
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Análise da Série Temporal 1
Slide 42
sinal
envelope
Tempo (s)
El
ev
aç
ão
 (m
)
Série Temporal
Tabulação dos Dados
Probabilidade Relativa
H (m)
Probabilidade Acumulada
H (m)
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Análise da Série Temporal 2
 A partir da análise de um registro das alturas de onda, vários parâmetros 
podem ser estabelecidos.
Slide 43
PARÂMETRO VALOR
Amplitude média Ā 0.04 m
Desvio padrão σ 2.40 m
Amplitude média quadrática Arms 2.40 m
Amplitude máxima Amax 9.97 m
Amplitude mínima Amin -8.18 m
Cruzamentos 0 ↑ 1112
Nº Máximos 1289
Nº Mínimos 1282
Altura Pico-Pico ↑ 17.64 m
Altura Pico-Pico ↓ 17.07 m
Período médio de cruzamento zero Tz 9.71 s
Período médio entre cristas Tc 8.38 s
H1/3 9.25 m
H1/10 11.78 m
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Obtenção dos Dados por Satélite
 Satélites de observação com vários tipos de sensores,
radares e câmeras são utilizados atualmente.
Slide 44
 Da imagem complexa pode-se gerar a imagem
amplitude, que é o módulo da imagem complexa.
 Para a medição de altura de ondas (e de terreno) é
utilizado o radar SAR (Synthetic Aperture Radar). O
radar gera um pulso que é refletido, contendo duas
informações importantes : a amplitude do sinal de
retorno e a diferença de fase em relação ao sinal
irradiado, que juntos são tratados como uma imagem
complexa bruta.
Satélite ERS-2 (1995)
Funcionamento do SAR
Imagem amplitude 
(cores claras são 
ondas maiores)
Presenter
Presentation Notes
Os satélites de observação são classificados em duas grandes categorias. �Satélites geoestacionários, como os satélites Meteosat, que está posicionado em órbita geoestacionária a 36 000 km de altitude. �Estes satélites perspectiva suficiente para olhar a cada instante o quinto da superfície da Terra, os contras de sua resolução espacial é limitada uma vez que é da ordem de km. Sua aparente imobilidade pode transmitir imagens do lugar de observação, a cada 15 minutos para o Meteosat 8. �Os satélites de órbita polar, como SPOT, ENVISAT, Jason, ou NOAA evoluir em órbitas chamado "baixo", cerca de 800 km. Devido à baixa altitude, estes satélites diferem sobre os detalhes da superfície. 

ERS = European Remote-Sensing SatelliteERS-2, foi lançado em 21 de abril de 1995, em um foguete Ariane 4, do Centro Espacial da Guiana, perto de Kourou, Guiana francesa. 

ERS-2 funcionou sem giroscópios desde fevereiro de 2001, resultando em alguma degradação dos dados fornecidos pelos instrumentos. A unidade de fita a bordo falhou em 22 de junho de 2003, deixando os instrumentos que operam apenas dentro de visibilidade de uma estação terrena. Desde a falha de unidade de fita, estações terrestres adicionais foram adicionadas para aumentar a funcionalidade do satélite na coleta de dados.

Apesar do lançamento do Envsat em 2002, sua vida útil foi aumentada até 2011. Ao longo de uma série de queimas em julho, agosto e setembro para levá-lo a uma órbita mais baixa, o ERS-2 finalmente foi esvaziado de todos os combustíveis em 5 de setembro de 2011. Às 13:16:38 as baterias foram desligadas, deixando a nave espacial em uma órbita onde irá reentrar na atmosfera da terra e desintegrar-se com segurança no prazo de 15 anos.
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Ondas 
Regulares
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Teorias de Ondas
 Airy : A elevação da onda é aproximada por uma senóide.
 Stokes : A altura da crista é maior que a altura do cavado. Cristas mais 
agudas do que o cavado.
 Cnoidal : Cristas muito mais agudas do que o cavado.
 Solitária : A altura da crista é praticamente igual a altura da onda (não há 
cavados).
Slide 46
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O Problema a Ser Resolvido
Conservação da massa 
Conservação do momento 
Condições de contorno 
Equações : 
Slide 47
 Determinar o potencial do campo de velocidades das ondas de superfície φ.
 Hipóteses básicas :
1. Fluido incompressível (densidade constante)
2. Fluido invíscido (não tem viscosidade) : escoamento irrotacional
3. Movimento coplanar (despreze espalhamento - eixo y)
λ
H
d
x
z
ζ(x,t)
Leito marinho z = -d
Nível da água z = 0
Presenter
Presentation Notes
Invíscido = sem viscosidade
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Equações de Conservação da Massa e Momento
 Equação geral de Navier-Stokes : 01 =•∇+ v
Dt
D ρ
ρ
 Hipótese 1: Fluido incompressível 
0
0
=•∇
=
v
Dt
D

ρ
 Hipótese 2 : Movimento irrotacional 
ϕ∇=
=×∇
v
v

 0
 Hipótese 3 : Nada se move em y 
A densidade é constante.
O divergente de velocidades é nulo.
(água que entra = água que sai)
O rotacional de velocidades é nulo.
A velocidade pode ser expressa como o
gradiente de uma função potencial.
Não há escoamento transversal
então 
então 
A variação da massa em um
volume infinitesimal é igual
à massa que nele entra menos
a massa que sai.
Slide 48
0=
∂
∂
y
ϕ
 Equação de Bernoulli não estacionária: 0=++
∂
∂
− gzp
t ρ
φ
Presenter
Presentation Notes
Dro/Dt = derivada total. Ro é função de várias variáveis (x,y,z,t) que por sua vez são funções de uma única variável t (ao seguirmos uma linha de fluxo)
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Condições de Contorno
 No leito do oceano (em z = -d) : 0=
∂
∂
z
ϕ
Slide 49
 Na superfície livre (z = ζ) : 
– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na 
superfície livre lá permanece (sua velocidade vertical é igual a velocidade 
vertical da superfície do fluido). 
 
 
 
– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada 
nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o 
corpo. 
A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.
ζζϕζϕ =
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
− z
xxtz
 em 
0. =+
∂
∂
− ζϕ g
t
Bernoulli aplicado a z = ζ onde p = 0
Considerando que a altura da onda 
seja pequena quando comparada 
ao seu comprimento, o termo de 
inclinação δζ/δx=0.
tz ∂
∂
=
∂
∂
−
ζϕ
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O Resultado Linear
 Considerando uma onda senoidal onde são conhecidas a amplitude H, o
comprimento λ e seu período T, a elevação de sua superfície pode ser
expressa por
 Através da separação de variáveis chegamos à solução
 Aplicando esta solução a Bernoulli em z=0, chegamos à relação de
dispersão 
50
( ) ( )
λ
ππωωζ 22sin
2
, ==− = k
T
tkxHtx e onde 
( ) ( )[ ]( ) ( )tkxkd
zdkgHtzx ω
ω
φ −+ = cos
cosh
cosh
2
,,





==
λ
π
λ
πω dgkdgk 2tanh2)tanh(2
Presenter
Presentation Notes
Como c = w/k, observa-se que ondas com comprimentos de onda mais longos se propagam mais rapidamente do que ondas mais curtas, havendo, portanto, dispersão. O caráter dispersivo em águas profundas faz com que ondas com diferentes características se propaguem independentemente.
Em profundidades pequenas, C = SQRT(gd),  significando que todas as ondas se propagam com a mesma velocidade a qual é função apenas da profundidade.
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Influência da Profundidade nas Ondas
 A teoria linear de ondas é uma solução da equação de Laplace, o que leva
a seguinte formulação para a velocidade de fase
 A partir daí podemos verificar porque a profundidade da água pode ser
classificada em 3 categorias :
- Águas profundas
Para profundidades maiores que 50% do comprimento da onda, a velocidade de fase não é
influenciada pela profundidade. Este é o caso da maior parte das ondas na superfície do
oceano.
- Águas rasas 
Quando a profundidade é menor que 5% do comprimento da onda, a velocidade de fase é
dependente somente da profundidade, não sendo mais uma função do seu comprimento.
- Águas intermediárias 
Para todos os outros casos, ambos a profundidade e o comprimento tem uma influência
significativa na velocidade de fase.
Slide 51
π
λ
λ
π
λ 2
0.12tanh5.0 gcdd =⇒≈




⇒> 
gdcdπdd =⇒≈




⇒< 
λ
π
λλ
22tanh05.0






2
=
λ
π
π
λ dgc 2tanh
λλ 5.005.0 << d
Presenter
Presentation Notes
Tanh(PI)=0.99627 e Tanh(0.1PI)=0.30422 enquanto 0.01PI=0.31416 : erros na faixa e abaixo de 3%
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Teoria de Onda de Airy (Onda Senoidal)
Slide 52
 A altura da onda é pequena em comparação com seu comprimento ou
profundidade da água.
 Condições de contorno na superfície livre são satisfeitas no nível médio de
águas tranquilas e não no nível real de elevação das ondas.
 Parâmetros que definem uma onda linear : H (ou ζa), d, T, ʎ
λ
ζa
x
z crista
cavado
George Biddell Airy
Astrônomo inglês 1801-1892
Presenter
Presentation Notes
Desenvolvida por George Biddel Airy (matemático e astrônomo britânico) no século 19 (Tides and Waves – 1841).
As condições de contorno são linearizadas, desprezando-se os termos de seunga ordem e superiores, obtendo-se apenas a solução de primeira ordem.
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 Relação de dispersão [m/s] 
 Comprimento da onda [m]
 Velocidade de fase [m/s]
 Velocidade de grupo [m/s] 
 Elevação da superfície ζ = ζa sin(kx - ωt) [m]
 Pressão subsuperficial p = ρ g exp(kz) ζa sin(kx - ωt) [Pa]
onde g = aceleração da gravidade (9.81 m/s2)
ρ = densidade da água (1025 kg/m3)
Observe que z se torna mais negativo a medida em que vamos para o fundo.
Ondas Senoidais em Águas Profundas
Slide 53
π
λ
πω 2.2
g
k
ggTgc ====
Para águas profundas (d > 0.5 λ)
π
λ
2
2gT
=
λ
πggk 2==Ω
2422
1 cgTg
k
gcg ==== πω
Presenter
Presentation Notes
Formulação para velocidades, acelerações e deslocamentos podem ser encontradas em RP-C205.
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Ondas Senoidais em Águas Intermediárias
Slide 54
Para águas intermediárias (0.5 λ < d < 0.05 λ)
A formulação envolve funções hiperbólicas, fazendo com que vários
parâmetros tenham que ser calculados por métodos numéricos ou
aproximações.
 Relação de dispersão
 Comprimento da onda λ é a solução de 
 Velocidade de fase
 Velocidade de grupo
Pressão subsuperfícial





=





λ
π
λ
ππ dg
T
2tanh22
2
( )dk
k
gc .tanh=
[ ] ).sin(.
).cosh(
).(cosh.. xkt
hk
zhkgp −.+= ωρ





==Ω
λ
π
λ
π dgkdgk 2tanh2)tanh(
)tanh(
)2sinh(
21
2
1 kd
k
g
kd
kdcg 





+=
Presenter
Presentation Notes
O gráfico foi calculado em função de fórmulação polinomial de 4ª ordem apredentada no DNV-RP-C205.
Formulação para velocidades, acelerações e deslocamentos podem ser encontradas em RP-C205.
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Ondas Senoidais em Águas Rasas
Slide 55
Para águas rasas (d < 0.05 λ)
 Relação de dispersão
Comprimento da onda 
 Velocidade de fase
 Velocidade de grupo
 Pressão subsuperficial (aproximadamente a hidrostática) p = ρg(ζ + z)
gdT=λ
gdc =
gdgdk
λ
π2
==Ω
cgdcg ==
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Teoria de Onda de Stokes
 A medida em que a altura da onda aumenta com relação ao comprimento,
(esbeltez S aumenta) ela vai se afastando da onda linear.
Slide 56
 Cavado mais achatado (e longo) do que a cris-
ta.
 Amplitude até a crista é maior que amplitude
até o cavado.
 O movimento das partículas não é fechado,
havendo um pequeno deslocamento na dire-
ção da propagação (Stokes drift).
 Por isto as ondas conseguem transportar sedi-
mentos, derrames de petróleo, etc.
 O equacionamento da onda é feito através de
expansão em série de Taylor. O último termo
da série define a ordem da onda de Stokes.
George Gabriel Stokes
Matemático irlândes 1819-1903
Presenter
Presentation Notes
Desenvolvida por George Gabriel Stokes, matemático e físico irlândes (On the Theory of Oscillatory Waves, 1847)
Se pararmos no primeiro elemento da série iremos recair na onda de Airy.

sen(x)=x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040...
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Parâmetros da Onda de Stokes de 2ª Ordem
 Velocidade de fase
 Elevação da superfície 
 Pressão subsuperficial 
 Stokes drift
Slide 57
( )kd
k
gc tanh=
[ ] )](2cos[)2cosh(2
)(sinh
)cosh(
3
2
tkxkd
kd
kdH ω
λ
πζ −+
8
=
{ }1)](2cosh[
2sinh4
)](2cos[
3
1
)(sinh
)](2cosh[
2sinh4
3 2
2
2
−+−−






−
+
= dzk
kd)(
gHtkx
kd
dzk
kd)(
gHp
λ
ρπω
λ
ρπ
cHU
kd
dzkcHU
2
2
2
.
)(sinh
)](2cosh[.





=





 +





=
λ
π
λ
π
Aproximação para águas profundas
Qualquer 
profundidade
Presenter
Presentation Notes
Formulação para velocidades, acelerações e deslocamentos podem ser encontradas em RP-C205.
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Teoria de Onda Cnoidal
 É uma solução periódica não-linear e exata da equação não linear diferen-
cial parcial proposta por Korteweg e de Vries (equação KdV).
 É utilizada para descrever ondas de gravidade de comprimento extrema-
mente grandes quando comparados à profundidade.
 Aplicável quando λ > 5d e
 A solução das equações é complexa, dependendo de aproximações
numéricas. Além disto é instável quando o número de onda k é elevado.
 Outra solução foi proposta por Benjamin-Bona-Mahomy (equação BBM).
Slide 58
g
dT 7>
Diederik Korteweg
Matemático holandês 1848-1941
Gustav de Vries
Matemático iholandês 1866-1934
Presenter
Presentation Notes
Derivadas em 1985 por Diederick Korteweg e Gustav de Vries (matemáticos holandeses)
Thomas Brooke Benjamin (físico e matemático inglês), Jerry Lloyd Bona (matemático americano) e John J. Mahony (matemático australiano) (Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems, 1972)
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Onda Solitária
 É uma onda em águas rasas (solitão) que consiste em um único desloca-
mento de água acima do seu nível médio.
 Foi descrita pela primeira vez em 1834 por John Scott Russel quando ele
observou a onda causada pela parada brusca de uma barcaça em um
canal.
 É uma descrição razoável da onda causada por um tsunami, mas é utilizada
também na progressão de ondas periódicas quando a profundidade é
menor que 10% do comprimento da onda.
 Teoricamente seu comprimento é infinito, mas para propósitos práticos :
- Velocidade de fase
- Número de onda
- Comprimento da onda
- Elevação 
Slide 59
)( Hdgc +=
34
3
d
Hk =
)]([sech2 ctxkH − = ζ
k
πλ 2 = 
John Scott Russell
Engenheiro naval escocês 1808-1882
Presenter
Presentation Notes
Engenheiro escocês (Report on Waves, 1844)
Em x = λ/2 a amplitude da onda já é de 0.74% de H
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Aplicabilidade das Teorias de Ondas
 Três parâmetros são utilizados para determinar qual teoria de ondas deve
ser aplicado a um problema específico :
- Altura da onda H
- Período da onda T
- Profundidade da lâmina d’água d
 Adimensionais decorrentes :
- Esbeltez (steepness)
- Profundidade relativa
- Número de Ursell
Slide 60
3
2
==
µ
λ S
d
HU R 3
.
22 gT
HHS π
λ
==
22 gT
dd π
λ
µ ==
UR mede o impacto da 
profundidade sobre a 
não-linearidade da onda
Subrata Kumar Chakrabarti
Engenheiro indiano 1941-2009
Presenter
Presentation Notes
O número de Ursell indica a não-linearidade das ondas de gravidade (indica a proporção entre o termo de 2ª ordem e o de 1ª na onda de Stokes)
Ex. : T = 15s, d=1000m, H=7m
 x=0.45 y = 0.003
 Stokes 2ª ordem
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Quiz 1
 Calcule a velocidade de fase e a velocidade de grupo para uma onda linear de
comprimento 200m nas profundidades de 2000, 80 e 10m.
Slide 61
𝜆 = 200
k = 
2𝜋
200
=0,0314 ondas/m






2
=
λ
π
π
λ dgc 2tanh






+=
)2sinh(
21
2 kd
kdccg
λ
π2
 = k
d (m) c (m/s) cg (m/s)
2000 17,67 8,84
80 17,56 9,36
10 9,74 9,43
 Uma onda regular plana propaga-se em águas profundas com período de 16s. Qual 
o comprimento da onda e sua velocidade de fase m/s ?
m/s 25
.2
16.81,9
.2
===
ππ
gTc
m 400
2
16.81,9
2
22
===
ππ
λ gT
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Quiz 2
 No projeto de navios aliviadores para a Bacia de Campos, a Petrobrás recomenda
Hs=3.5m e Tp=9s. Qual seria a teoria de ondas a utilizar ? Investigue nas profundi-
dades mínima e máxima da bacia (100m e 2500m).
Slide 62
 Vazamento de óleo em uma FPSO no Campo de Tupi a 250km da costa, em lâmina
d’água de 2000m ! Ondas de 1.5m de altura com período de 6s e comprimento de
40m são medidas no local. Em quanto tempo as manchas de óleo começarão a
aparecer nas praias ? Desconsidere a variação de profundidade até a costa e o vento.
00424,0
6.81,9
5,1
66,5
6.81,9
2000
22
22
==
==
gT
H
gT
d
m/s 
ondas/m 
67,6
6
40
157,0
40
22
===
===
T
c
k
λ
π
λ
π
mês s 
m/s 
1107,2
09250
250000
0925,067,6.
40
5,1
6
2
2
===
=




=





=
x
,
t
U
cHU
π
λ
π
Stokes 2ª ordem
00189,0
9.81,9
5,1
126,0
9.81,9
100
22
22
==
==
gT
H
gT
d
00189,0
9.81,9
5,1
145,3
9.81,9
2500
22
22
==
==
gT
H
gT
d
d=100m d=2500m Em ambos os casos a utilização
de Stokes 2ª ordem seria suficie-
nte (embora a Petrobrás requeira
sempre 5ª ordem).
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Ondas Irregulares
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Ondas Irregulares 1
 Na fase de projeto preliminar as ondas regulares representam um bom
modelo para a representação do estado do mar.
Slide 64
 Um estado real de mar apresenta características
aleatórias de amplitude, frequência e fase,
havendo a impossibilidade matemática de definir
uma relação sólida que determine seu comporta-
mento : é um processo estocástico.
 Quando se considera o modelo estocástico pode-se
representar o estado de mar formado pela
superposição de diferentes ondas senoidais com
diferentes amplitudes, frequências e fases
(hipótese Gaussiana).
Presenter
Presentation Notes
Padrões estocásticos são aqueles que têm origem em processos não determinísticos, com origem em eventos aleatórios
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Quão Acertadaé Esta Hipótese ?
 Na hipótese Gaussiana, o processo é completamente descrito por :
- Média
- Variância
 A partir de dados obtidos no mar, pode ser afirmado que :
- Para mar calmo a moderado (< 4m) ele pode ser considerado estacionário para
períodos de mais de 20 minutos. Para estados de mar mais severos isto pode ser
questionado mesmo para períodos de 20 minutos.
- Para estados de mar acima do moderado (4 a 8m) os modelos Gaussianos ainda
são precisos, mas o desvio aumenta com a severidade do estado de mar.
- Se o mar é suficientemente profundo, a elevação da onda pode ser considerada
Gaussiana, independentemente do estado de mar.
Slide 65
Presenter
Presentation Notes
Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.
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Ondas Irregulares 3
Slide 66
2
2
agE ζρ=
...)(
2
2
3
2
2
2
1 +++= aaa
gE ζζζρ
 As ondas irregulares são caracterizadas
por um espectro de onda que descreve a
distribuição de energia (altura) em relação
à sua frequência ou período.
 O mar irregular é descrito pela sua energia total e não pela forma da
onda.
 Para uma onda senoidal simples a densidade de energia é descrita por
 Para um mar irregular, composto por um somatório de ondas senoidais, a
densidade de energia será
Presenter
Presentation Notes
Densidade de energia média da onda por unidade de área, equivalente à adição da energia cinética e da energia potencial.
A energia da onda (E), ou seja, a densidade de energia média da onda por unidade de área superficial das ondas de gravidade (em J/m2) é, de acordo com a teoria linear das ondas, proporcional à altura da onda (H).

Podemos retornar do espectro de energia para a forma da onda ? Não ! Precisariamos do espectro de fases.
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Ondas Irregulares 4
 Se a irregularidade das ondas observadas
é somente na direção do vento dominante,
de modo que existe várias ondas unidire-
cionais com separação variável mas
mantendo seu paralelismo, o mar é conhe-
cido como de cristas longas (long-crested).
 Se as irregularidades são aparentes ao
longo das cristas das ondas em ângulos
perpendiculares ao vento, o mar é conheci-
do como de cristas curtas (short-crested ou
confused sea).
Slide 67
Após o vento ter soprado de forma constante por um período de tempo, a
elevação do mar pode ser assumida como estatísticamente estável. Isto é
conhecido como “mar totalmente desenvolvido”.
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Alguma
Estatística
(não tão) 
Básica
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Distribuições de Probabilidade 1
 Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade
de uma variável randômica assumir determinados valores.
 Considerando que uma variável aleatória discreta x toma os valores x1, ...xn, 
então :
- Média aritmética :
- Valor eficaz : 
- Média geométrica :
- Moda : É o valor de maior frequência.
- Mediana : Dependendo se o número de elementos ordenados for ímpar ou par, é 
o valor central ou a média dos valores próximos ao centro.
- Desvio padrão :
- Variância : 
Slide 69
∑
=
+++
==
n
i
n
i n
xxxx
n
x
1
21 ...1
( )∑
=
−
−
=
n
i
i xxn 1
2
1
1σ
2σ
n
xxxx
n
x n
n
i
irms
22
2
2
1
1
2 ...1 +++== ∑
=
n
n
n
i
n
ig xxxxx ...211 =Π= =
Presenter
Presentation Notes
 Média é o valor esperado como valor médio de várias observações, e não o valor esperado de uma observação.
 Valor eficaz ou valor médio quadrático é uma medida estatística da magnitude de uma quantidade variável
 Desvio padrão e variância são medidas da dispersão estatística.
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 Mediana : Md é o valor de x para o qual F(x)=0.5
 Moda : Mo é o valor de maior frequência 
 Desvio padrão :
Distribuições de Probabilidade 2
 Uma variável randômica contínua x tem uma
função de distribuição de probabilidade f(x)
de modo que a probabilidade P da variável
estar entre dois valores a e b é
 A função F da distribuição acumulada de x é
 Média :
Slide 70
∫=≤≤
b
a
dxxfbxa )(]P[
∫
∞−
=
x
dxxfxF )()(
moda
mediana
média
f(x)
F(x)
∫
+∞
∞−
= dxxfx )(.µ
( )∫
+∞
∞−
−= dxxfx )(.2µσ
f(x)
Presenter
Presentation Notes
F também é conhecida como função acumulada de probabilidades de não excedência
Q=1-F é conhecida como curva de probabilidade de excedência
Definir média, mediana e moda. 
Média é a média ponderada de todos os valores possíveis que uma variável randômica contínua pode assumir.
Mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior na distribuição de probabilidade.
Moda é o valor que ocorre com maior frequência.
Sequencia 1,2,3,4 : Média 2.5 Mediana 2.5
Sequência 1,2,4,8 : Média 4.75 Mediana 3 
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 Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição
1º Coeficiente de Pearson : 2º Coeficiente de Pearson : 
Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuiçãoAssimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuiçãoAssimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição
Distribuições de Probabilidade 3
Slide 71
σ
µγ )(3 dM−=
σ
µγ )( oM−=
 Curtose : Indica o grau de achatamento de 
uma distribuição, indicando a concentração 
de valores nas suas caudas, em relação a 
uma distribuição normal
( )
3
)(.
3
4
−
−
=
∫
+∞
∞−
σ
µ dxxfx
c
Simétrica
Assimetria positiva
Assimetria negativa
do MM ==µ µ≤≤ do MM od MM ≤≤µ
Presenter
Presentation Notes
c varia de -2 a +infinito
c=0 distribuição normal
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Distribuições de Probabilidade 4
 Algumas formas de distribuição de probabilidade :
Slide 72
Distribuição Parâmetros Características Aplicabilidade Aspecto
Discreta
Valores e probabi-
lidade de ocorrên-
cia destes valores
Assume apenas os va-
lores fornecidos
Utilizada na escolha de parâmetros
das entidades. Por ex., em uma loja
30% dos clientes compram merca-
dorias no balcão e 70% nas prate-
leiras.
Uniforme Maior e menor va-lor
Todos os valores no
intervalo têm a mesma
probabilidade de ocor-
rência
Quando não se tem nenhuma infor-
mação sobre o processo ou apenas
os valores limites.
Triangular Menor valor, mo-da e maior valor Simétrica ou não
Quando se conhece a moda, o me-
nor e o maior valor que podem ocor-
rer.
Exponencial Média Variância alta e caudapara a direita
Grande variabilidade dos valores.
Independência entre um valor e
outro. Muitos valores baixos e pou-
cos altos. Utilizada em estatística de
falhas.
Normal Média e desviopadrão
Simétrica com forma
de sino. Variabilidade
controlada pelo des-
vio padrão.
Probabilidade de valores acima e
abaixo da média são iguais.
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Distribuições de Probabilidade 5
 Procurando dar um tratamento matemático aos mais diversos fenômenos 
da natureza, diversos tipos de funções de distribuição foram desenvolvidos:
Slide 73
– Beta
– Cauchy
– Dagum
– Fisher-Tippet
– Gama
– Gaussiana
– Gumbel
– Laplace
– Levy
– Pareto
– Qui-Quadrado
– Rayleigh
– Rice
– Von Mises
– Weibull
– Etc.
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Distribuição Normal ou Gaussiana
Considerada a mais proeminente distribuição de probabilidade na estatística
(simplicidade, conveniência para vários tipos de amostragens, etc.)
 Formulação :
- Função de distribuição :
- Distribuição acumulada :
- Média ( = moda e mediana) : μ
- Variância : σ 2
Slide 74
( )





 −
−= 2
2
2
exp
2
1)(
σ
µ
πσ
xxf
( ) dxxxF
x
∫
∞−





 −
−= 2
2
2
exp
2
1)(
σ
µ
πσ
Regra 68-95-99.7
Carl Friedrich Gauss
Matemático alemão 1777-1855
Presenter
Presentation Notes
X pode ir de – infinito a + infinito
Regra 68-95-99.7© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Distribuição de Rayleigh
É um tipo de distribuição observada quando a magnitude total de um vetor é
relacionada às suas componentes direcionais não correlacionadas mas
normalmente distribuídas e com a mesma variância (ex.: velocidade do
vento, propagação das ondas do mar, etc.).
 Formulação :
- Função de distribuição :
- Distribuição acumulada :
- Média :
- Mediana :
- Moda : 
- Variância : 
Slide 75






−= 2
2
2 2
exp)(
σσ
xxxf






−−= 2
2
2
exp1)(
σ
xxF
σπσ 253.1
2
≈
σσ 177.1)4ln( ≈
σ
22 429.0
2
4 σσπ ≈−
f(x)
F(x)
John William Strut (Lord Rayleigh)
Matemático inglês 1842-1919
Presenter
Presentation Notes
X é um real positivo
Idealizada por Lord Rayleigh no final do século XIX para descrever a distribuição da intensidade dos sons emitidos por um número infinito de fontes.
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Distribuição de Weibull 1
É utilizada extensivamente em análise de confiabilidade e de falha, gover-
nando o tempo para a ocorrência do elo mais fraco de vários processos
simultâneos de falha.
 Formulação para 3 parâmetros :
- Função de distribuição :
- Distribuição acumulada : 
onde k = parâmetro de forma
β = parâmetro de escala
ϴ = parâmetro de localização
 Se considerarmos x como o tempo para a falha
Slide 76













 −
−




 −
=
− kk
xxkxf
β
θ
β
θ
β
exp)(
1
k < 1 indica que a taxa de falha diminui com o tempo
(mortalidade infantil).
k = 1 indica que a taxa de falha independe do tempo.
k > 1 indica que a taxa de falha aumenta com o tempo
(morte por velhice).
f(x)
x
F(x)
x













 −
−−=
k
xxF
β
θexp1)(
Ernest Hajlmar Waloddi Weibull
Engenheiro suíço 1887-1979
Se θ = 0 recaímos na distribuição 
de Weibull de 2 parâmetros
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Distribuição de Weibull 2
- Média :
- Mediana :
- Moda :
- Variância :
- Assimetria : 
Slide 77
 Para a determinação dos parâmetros a partir de dados coletados são utili-
zados os momentos da função de distribuição
γσµ === 3
2
21 mmm
{ }
{ }2
3
2
3
)/11()/21(
)/11(2)/11()/21(3)/31(
kk
kkkk
+Γ−+Γ
+Γ++Γ+Γ−+Γ
=γ
k
k
k
1
1





 −+ βθ
k
1
)]2[ln(βθ +





 +Γ+=
k
11 βθµ
1)!-(n(n)
GamaFunção
=Γ











 +Γ−




 +Γ=
kk
1121 222 βσ
∫
+∞
=
0
)(. dxxfxm nn
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Distribuição de Gumbel (log-Weibull)
Utilizada para modelar a distribuição dos máximos de um número de amos-
tras de várias distribuições (estatística de extremos).
 Formulação :
- Função de distribuição :
- Distribuição acumulada :
- Média :
- Mediana :
- Moda : μ
- Desvio padrão : 
Slide 78











 −
−−=
β
µxxF expexp1)(
γβµ +
( )( )2lnlnβµ −
6
βπσ =











 −
−




 −
=
β
µ
β
µ
β
xxxf expexpexp1)(
Emil Julius Gumbel
Matemático alemão 1891-1966
γ= 0,57721 (constante de Euler-Mascheroni)
Presenter
Presentation Notes
X é um real positivo
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Quiz
 O seguinte histograma de altura de ondas foi obtido de uma série temporal 
em uma amostra de um sistema de ondas irregulares :
Slide 79
1. Qual é a altura significativa H1/3 desta amostragem ?
2. Nesta tempestade, qual a probabilidade que a altura da onda 
exceda 2.75m ?
H (m) Nº Obs.
< 0.25 0
0.25-0.75 30
0.75-1.25 60
1.25-1.75 110
1.75-2.25 42
2.25-2.75 28
2.75-3.25 18
3.25-3.75 10
3.75-4.25 2
> 4.25 0
Presenter
Presentation Notes
1 : 2.51m 2: 0.10
Utilize a planilha HISTO01 para calcular os resultados.
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Espectros
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Espectro de Densidade de Energia
 O registro das ondas não pode ser escrito como uma onda senoidal, mas
pode ser caracterizado por várias ondas com diferentes amplitudes, perío-
dos e fases.
Slide 81
 Uma vez calculadas estas ampli-
tudes e períodos das ondas com-
ponentes (a fase é desprezada), é
plotado um espectro de densidade
de energia em função da frequên-
cia.
frequência
de
ns
ida
de
 de
 e
ne
rg
ia
Am
pli
tud
e 
ζ(
m
)
tempo (s)
 A densidade de energia em um partitular inter-
valo de frequência é dado por
 A partir do espectro e de sua idealização mate-
mática vários outros parâmetros podem ser cal-
culados.
ω
ζρ
2
2g
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Características dos Espectros
Slide 82
 Características espectrais importantes:
– Momento espectral de ordem n
– Momento espectral de ordem 0 
(área sob a curva)
– Desvio padrão 
– Período médio
∫
∞
)=
0
0 ( ωω dSm
0m=0σ
– Período médio de cruzamento zero ou período médio dos zeros ascendentes 
– Período médio entre picos 
– Período modal T0 (ou período de pico Tp) é o período no qual o máximo de energia ocorre. 
– Largura de banda 
– Altura significativa ........................................ 
– Se a largura de banda do espectro for estreita (ε =0) então
– Se a banda for larga (ε =1) então 








−=





−1= 2
2
40
2
2 1
z
p
T
T
mm
mε
2
0
02 2 m
mTT mz π==
4
2
24 2 m
mTm π=
∫
∞
=
0
)( ωωω dSm nn






−=
2
14ou
2
03/1
εmHH s
04 mHS =
0
0 828.2
2
4 mmHS ≈=
ω [rad/s]
S
[m
2/
(r
ad
/s
)]
ω0, T0, f0
T
1
0
01 2 m
mTT m π==
Presenter
Presentation Notes
Periodo médio Tm01 corresponde a frequência média do espectro.
H1/3 também é representado por Hs
A largura de banda classifica a irregularidade do estado de mar.
A maioria dos espectros de mar tem largura de banda estreita e < 0.6.
Não confundir Tp com Tz
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Idealização Matemática dos Espectros
 Várias idealizações matemáticas dos espectros de ondas do mar estão
disponíveis na literatura.
- Bretschneider de um parâmetro (HS). O período associado é típico de mares totalmente
desenvolvidos).
- Pierson-Moskovitz (1964). O espectro é definido pela velocidade nominal do vento a uma
altura de 19.5 m acima do nível do mar. Utilizado em mar totalmente desenvolvido.
- Bretschneider de dois parâmetros ou ISSC (HS e ). Substitue PM quando a
modelagem de mar totalmente desenvolvido é muito restritiva.
- JONSWAP (JOint North Sea WAve Project 1973). Utilizado para descrever ondas em águas
costeiras em mares não totalmente desenvolvidos. Apresenta um pico mais estreito que o
ITTC.
- DNV. Uma formulação mais generalizada do espectro, utilizando um fator de intensificação
de pico que é determinado a partir da altura de onda e do período modal.
- Ochi-Hubble (1976). É um espectro formulado para descrever mares que sejam uma
combinação de 2 estados de mar diferentes. É um espectro de 2 picos.
- Torsethaugen (1996). É obtido pelo ajuste de 2 funções JONSWAP generalizadas a um
espectro médio obtido na plataforma continental norueguesa.
Slide 83
T
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 É conhecida apenas a altura significativa Hs.
 Distribuição espectral onde e
 Frequência modal
Espectro Bretschneider de 1 Parâmetro
É definido apenas em termos da altura de onda, sendo utilizado apenas em 
mares plenamente desenvolvidos.
Slide 84
2
2 11.300811.0
SH
g == βα




−=) 5 4exp( ω
β
ω
αωBS
sH
g4.00 =ω
Charles L. Bretschneider
Engenheiro americano 1895-1975
Constante de Philips
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 São conhecidas a altura significativa HS e o período médio .
 Distribuição espectral onde e
 Momento espectral de ordem 0
 Altura característica
 Período médio de cruzamento zero
 Período de pico
Espectro Bretschneider de 2 Parâmetros ou ITTC
É um espectro de banda larga que contém todas as frequênciasde onda até
o infinito. Entretanto, na prática as ondas de alta frequência (ripples) são
negligenciadas e o espectro efetivamente se torna de banda estreita.
Slide 85





−=) 5 4exp( ω
β
ω
αωITTCS 44
2 69175.172
TT
HS == βα
β
α
40
=m
TTz 92.0=
TTP 296.1=
04 mHS =
T
Presenter
Presentation Notes
ISSC : International Ship and Offshore Structures Congress
Recomendado pelo ITTC para mar plenamente desenvolvido sem vagas.
Também conhecido como Pierson-Moskowitz modificado.
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Espectro Pierson-Moskowitz
Assume que um vento constante de velocidade U19.5 incidiu por um longo
tempo em uma grande área, e que as ondas estão em equilíbrio com ele
(mar totalmente desenvolvido).
Slide 86
 É conhecida a velocidade do vento a 19.5 m de altura U19.5.
 Distribuição espectral onde e
 Altura de onda significativa 
 Período de pico 














−=) 5
4
5.19
exp(
U
gSPM ω
β
ω
αω 74.0.00811.0 2 == βα g
g
UHS
2
5.1921.0=
g
UTP 5.191644.7=
Atualmente a velocidade do vento é medida a 10 
m de altura, e considera-se a seguinte relação 
Outra formulação do espectro
105.19 .026,1 UU ≈
















−=
−4
5
4
2
4
5exp
16
5
p
p
SPM HS ω
ω
ω
ω
Willard J. Pierson Jr.
Oceanógrafo americano 1922-2003
Lionel I. Moskowiz
Oceanógrafo americano 1937-
Presenter
Presentation Notes
Recomendado pelo ITTC para mar desenvolvido
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Espectro JONSWAP
Similar ao espectro de Pierson-Moskowitz, exceto que as ondas continuam a
crescer com a distância ou tempo, e o pico do espectro é mais pronunciado
por um fator de intensificação de pico γ. É utilizado em águas costeiras.
 São conhecidas a altura significativa HS e o período de pico Tp.
 Distribuição espectral
 onde
γ = em geral 3.3
Slide 87

















 −
−
=
2
5.0exp
)()( P
P
PMJ SAS
σω
ωω
γ γωω
)ln(287.01 γγ −=A






>=
≤=
=
0
0
para09.0
para07.0
ωωσ
ωωσ
σ
b
a
P
P T
πω 2=
É o espectro utilizado pela Petrobrás na
costa brasileira. Para a Bacia de Campos :
γ
γγ
+
+
== −
89.10
5e4.6 491.0 pzp TTT
JS é um modelo razoável 
quando
0.56.3 ≤<
S
P
H
T
Presenter
Presentation Notes
JOint North Sea WAve Project
Recomendado pelo ITTC para mar não totalmente desenvolvido.
Γ é ajustado estatisticamente.
Criado a partir de um extenso programa de medições entre 1968 e 1969 no Mar do Norte, entre a Alemanha e a Islândia. Adotado como padrão pelo ITTC em 1984.
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Espectro DNV
Uma formulação mais generalizada de espectro que recai em Bretschneider 
quando γ = 1 e em JONSWAP quando γ = 3.3
Slide 88
0.10.5
15.175.5exp0.56.3
0.56.3se
=⇒>








−=⇒≤<
=⇒≤
γ
γ
γ
S
P
S
P
S
P
S
P
H
T
H
T
H
T
H
T
 O fator de intensificação de pico γ depende da 
altura significativa e do período modal. 
 Distribuição espectral 
 
 onde 














−
−





 −=
2
2 12
1exp
5 4
exp)( PDNVS
ω
ω
σ
γ
ω
β
ω
αω






>=
≤=
=
0
0
para09.0
para07.0
ωωσ
ωωσ
σ
b
a
P
P T
πω 2=
[ ]
4
4
4
2
4
20
)ln(287.015
P
P
S
T
T
H
πβ
γπα
=
−=
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Comparação entre Espectros
Slide 89
ESPECTRO H T γ VWIND OBS.
ITTC Requerido Requerido 1.0 Não aplicável
Mar 
desenvolvido
BRETSCNEIDER Requerido Especificado pelo método 1.0
Não 
aplicável
Mar 
desenvolvido
JONSWAP Requerido Requerido 3.3 Não aplicável
Mar não
desenvolvido
DNV Requerido Requerido 1.0~5.0 Não aplicável Qualquer mar
PIERSON-
MOSKOWITZ
Estimado 
pelo método
Estimado 
pelo método
Não 
aplicável Requerido
Mar 
desenvolvido
ITTC
JONSWAP
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Espectros Direcionais
Para mares confusos (short-crested) um espectro direcional é mais realístico
e muito importante para o cálculo das cargas nas estruturas marítimas, pois
o movimento de resposta depende altamente do ângulo de encontro. Para
simulação é comum separar o espectro direcional como um produto de duas
funções :
Slide 90
𝑆 𝜔,𝜒 = 𝑆 𝜔 .𝑀(𝜒)
𝑀(𝜒) é a função de espalhamento
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Função de Espalhamento
Onde 𝜒0 é a direção dominante
de propagação das ondas, e os
valores de s=1 e 2 são comu-
mente utilizados.
Slide 91
para
caso contrário
Presenter
Presentation Notes
Esta função é bastante utilizada em Engenharia Oceânica, apesar de ser extremamente conservativa pois considera o mesmo espalhamento para todas as componentes de frequência. 
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Quiz
ω (Hz) 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5
Sζ (ω) 0.00 0.75 0.95 0.43 0.12 0.00
Slide 92
 Um espectro simplificado de energia de ondas é dado por :
1. Utilizando o método dos trapézios, calcule a altura significativa, o período médio T e o 
período médio de cruzamento zero Tz. Dê uma explicação física de cada um.
2. Determine a probabilidade de exceder uma onda de 4m neste espectro, utilizando a 
função de densidade de probabilidade de Rayleigh.
3. Determine também o número de vezes por hora que esta altura de onda será excedida.
4. Explique o termo mo na função de densidade de probabilidade de Rayleigh.
5. Qual a probabilidade da altura significativa de onda H1/3 ser excedida ?
6. Qual a desvantagem de utilizar Tz quando analizando um espectro de ondas medidas ?
De
ns
ida
de
 es
pe
ctr
al 
(m
2 s
)
Frequência angular (rad/s)
Presenter
Presentation Notes
1 : H1/3 = 2.7 T=7.0 Tz = 6.9
2 : P = 1.2%
3 : 6.3 x por hora (Tz deve ser utilizado)
4 : A magnitude de m0 na distribuição de Rayleigh é a área espectral da variável considerada. Esta distribuição é válida para espectros mais ou menos estreitos.
5 : P = exp(-2) = 0.135
6 : A incerteza do rabo truncado do espectro tem uma influência maior em Tz do que em T.
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A Onda Centenária
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Segurança dos Sistemas Estruturais Oceânicos
 A segurança é vinculada à idéia de sobrevivência aos riscos inerentes ao
meio em que estiver envolvida a estrutura.
 As estruturas devem ser projetadas de modo a suportar as tensões
provenientes das ações ambientais mais extremas durante sua vida útil e
dentro de um custo econômico aceitável.
 Alturas significativa de onda em um período de 50 ou 100 anos é um parâ-
metro que pode ser estimado por meio da estatística de valores extremos.
Slide 94
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Estatísticas de Curto e Longo Prazo
 Estatísticas de curto prazo são válidas somente para um período de tempo
de até uns poucos dias, enquanto uma tempestade mantém suas carac-
terísticas básicas.
 Para cada tempestade ou amostra podemos utilizar a altura de onda
significativa Hs e o período de cruzamento zero Tz para construir um espec-
tro e então determinar as estatísticas de curto prazo.
 Durante este período o mar é descrito por um espectro estacionário S(ω,ζ).
 No longo prazo o mar não é estacionário.
 As estatísticas de longo prazo podem ser representadas como a soma de
várias estatísticas de curto prazo, analisando em conjunto um grupo de
tempestades com diferentes durações a alturas de onda.
 Em geral são feitas diversas medições curtas a intervalos pré-determinados
(ex.: medições de 3 em 3 horas com duração de 10 a 30 minutos).
Slide 95
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Quadrados de Marsden
 As estatísticas das ondas não se alteram somente em função do tempo;
também dependem da área geográfica onde estão sendo feitas as
medições.
 Os quadrados de Marsden (QMD) dividem o globo em uma grade que
segue os palalelos e meridianos, de 10º em 10º, identificando cada
quadradopor um número.
Slide 96
 Os quadrados podem ainda 
ser subdivididos em 100 par-
tes (10 x 10), numerados de 
0 a 99, de modo a melhorar a 
precisão. 
1 mn = 1` medido sobre o equador = 1852 m
William Marsden
Historiador inglês 1754-1836
Presenter
Presentation Notes
Esta subdivisão é utilizada pela World Meteorological Organization (WMO).
A projeção apresentada é a de Mercartor. Na superfície real do Globo as células são aproximadamente quadradas próximo ao equador, e se tornam progressivamnte estreitas e curvas a medida em que se aproximam dos pólos.
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Recomendação 34 do IACS para Dados de Ondas
 Divide o globo em 52 zonas náu-
ticas para estimativa dos parâ-
metros de distribuição de longo
prazo.
 Apresenta os parâmetros para
distibuição por Weibull de 2 pa-
râmetros para cada área.
 Utilizado para determinação do
momento fletor em ondas sobre
a viga-navio.
Slide 97
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Obtenção da Altura da Onda Centenária 1
1. Selecione os dados relevantes. Em geral, Hmax e Thmax
ou Hs e Tp ou Tz para cada amostra.
2. Ajuste os parâmetros da distribuição selecionada aos
dados coletados. Existem vários métodos de ajuste.
3. Defina o período de retorno (ou intervalo de recor-
rência) da onda, pelo menos 3x a vida útil da estrutura
(por ex. 50 ou 100 anos).
4. Calcule o valor altura significativa de onda e o período
correspondente.
Slide 98
LOCAL Bacia de Campos Golfo do México
RETORNO 10 anos 100 anos 10 anos 100 anos
Hs [m] 7.2 7.8 10.0 15.8
Tp [s] 14.8 15.6 13.0 15.4
Hmax [m] 13.3 14.5 17.7 27.9
Thmax [s] 14.4 15.0 11.7 13.9
Presenter
Presentation Notes
Os furacões Dennis, Katrina e Rita alteraram os valores do GOM.
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Obtenção da Altura da Onda Centenária 2
 Selecione os dados relevantes (no caso Hs). Não se esqueça de verificar a 
duração de cada amostra. 
Slide 99
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16
f(
H
s)
Hs
 Escolha o tipo de distribuição a 
utilizar (no caso Weibull de dois 
parâmetros ⇒ θ=0). 
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Obtenção da Altura da Onda Centenária 3
 Integre numericamente a curva anterior obtendo a probabilidade acumu-
lada F para cada Hs. Calcule a probabilidade de excedência de F (Q = 1 –
F).
 Lembre-se que em Weibull de 2 p. então
 A correlação entre Q e Hs pode ser melhor observada em uma escala
logarítma. Plote X = ln(Hs) contra Y = ln(-ln(Q)).
Slide 100
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
ln (- ln (Q) 
)
ln (Hs)
exp)( exp1)(














−=














−−=
kk
xxQxxF
ββ
 Por mínimos quadrados ajuste uma reta 
aos pontos, determinando os coeficientes 
a e b de Y = aX+b
 Determine os parâmetros de forma e 
escala k e β da distribuição de Weibull. 





−=⇒−=
=
k
bkb
ka
expln ββ
Presenter
Presentation Notes
Atenção ! Lambda não é comprimento de onda
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Obtenção da Altura da Onda Centenária 4
 Defina o período de retorno. No nosso exemplo, τ = 100 anos.
 Admitindo-se ondas com persistência de 3 horas, haverá 2922 registros de 
ondas por ano, portanto em τ anos a probabilidade de não excedência do 
valor de retorno será de 
 Determine o valor de Hs100.
Slide 101
99999658.0
292200
11
2922
11)( 100 =−=−= τS
HQ
Quanto estimando valores extremos, é importante que a cauda da distribuição ajustada tenha 
uma boa correlação com os dados coletados. Nestes casos em geral é utilizada a distribuição 
de Weibull de 3 parâmetros. 
 
Uma outra alternativa é utilizarmos Hmax ao invés de Hs em cada amostra. Neste caso, em 
geral é utilizada a distribuição de Gumbel. 
 
Para estimativa do período da onda (necessário para determinação do seu comprimento), em 
geral se fazem análises de distribuição conjunta H-T. 
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Vento
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Vento
 Vento é o deslocamento de ar, que migra de regiões de alta pressão
atmosférica para pontos onde esta pressão é menor.
 Normalmente são classificados por sua velocidade, duração, tipos de forças
que causam, regiões nos quais eles ocorrem e seus efeitos.
- Ventos com grande variação de velocidade em
curso espaço de tempo são chamados de
rajadas, que podem também se referir aos
cursos momentos em que a velocidade do vento
é máxima.
- Ventos fortes de duração intermediária (cerca de
1 minuto) são chamados de instabilidade ou
lufada.
- Ventos de longa duração tem diversos nomes,
associados com sua intensidade média, como
brisa, vento, tempestade, furacão.
Rajada em UK
Ciclone em SC
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Escala de Beaufort
 É uma escala que mede a intensidade dos ventos tendo em conta a sua
velocidade e os efeitos resultantes no mar e em terra.
Slide 104
Francis Beaufort
Hidrógrafo irlandês 1774-1857
Grau Designação m/s km/h nós Aspecto do mar Efeitos em terra
0 Calmo <0,3 <1 <1 Espelhado Fumaça sobe na vertical
1 Aragem 0,3 a 1,5 1 a 5 1 a 3 Pequenas rugas na superfície do mar Fumaça indica direcção do vento
2 Brisa leve 1,6 a 3,3 6 a 11 4 a 6 Ligeira ondulação sem rebentação As folhas das árvores movem; os moinhos começam a trabalhar
3 Brisa fraca 3,4 a 5,4 12 a 19 7 a 10 Ondulação até 60 cm, com algunscarneiros As folhas agitam-se e as bandeiras desfraldam ao vento
4 Brisa moderada 5,5 a 7,9 20 a 28 11 a 16 Ondulação até 1 m, carneiros frequentes Poeira e pequenos papéis levantados; movem-se os galhos das árvores
5 Brisa forte 8 a 10,7 29 a 38 17 a 21 Ondulação até 2.5 m, com cristas e muitoscarneiros Movimentação de grandes galhos e árvores pequenas
6 Vento fresco 10,8 a 13,8 39 a 49 22 a 27 Ondas grandes até 3.5 m; borrifos Movem-se os ramos das árvores; dificuldade em manter um guarda chuva aberto; assobio em fios de postes
7 Vento forte 13,9 a 17,1 50 a 61 28 a 33 Mar revolto até 4.5 m com espuma e borrifos Movem-se as árvores grandes; dificuldade em andar contra o vento
8 Ventania 17,2 a 20,7 62 a 74 34 a 40 Mar revolto até 5 m com rebentação e faixas de espuma
Quebram-se galhos de árvores; dificuldade em andar 
contra o vento; barcos permanecem nos portos
9 Ventania forte 20,8 a 24,4 75 a 88 41 a 47 Mar revolto até 7 m; visibilidade precária Danos em árvores e pequenas construções; impossível andar contra o vento
10 Tempestade 24,5 a 28,4 89 a 102 48 a 55 Mar revolto até 9 m; superfície do mar branca Árvores arrancadas; danos estruturais em construções
11 Tempestade violenta 28,5 a 32,6 103 a 117 56 a 63
Mar revolto até 11 m; pequenos navios sobem nas 
vagas Estragos generalizados em construções
12 Furacão >32,7 >118 >64 Mar todo de espuma, com até 14 m; visibilidade nula Estragos graves e generalizados em construções
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Modelagem do Vento
 Normalmente é dividido em duas componentes : um valor médio e um
valor flutuante ou rajada (gust).
 É um fenômeno 3D, mas em aplicações marítimas é restrito a 2D, e as
velocidades são consideradas apenas no plano horizontal, não havendo
componentes verticais.
 O vento é parametrizado pela velocidade U e direção ψ. Sua direção é
tomada na direção em que o vento está vindo, medida a partir do norte,
positiva para leste.
Slide 105
Sensores de direção e velocidade média do vento
(anemômetro)
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Componente Médio do Vento
 Flutuações de variação lenta na velocidade e direção média do vento
podem ser modeladas como um processo de 1ª ordem de Gauss-Markov ,
isto é, segue uma distribuição Gaussiana e os estados anteriores são
irrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que o estado
atual seja conhecido.
Slide 106
Presenter
Presentation Notes