Análise de Carregamento Hidrodinamico - Parte II A Resposta

Prévia do material em texto

Setembro 2012
 João Henrique VOLPINI Mattos
Engenheiro Naval
Regional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software
Análise de Carregamento Hidrodinâmico em 
Estruturas Flutuantes
Parte II – A Resposta
Presenter
Presentation Notes
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 2
Hidromecânica do 
Navio
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Graus de Liberdade de Unidade Flutuante
MOVIMENTO ÍND. DESCRIÇÃO FORÇAS E MOMENTOS
VELOCI-
DADES POSIÇÃO VISUALIZAÇÃO
Avanço (surge) 1 Translação longitudinal X u x
Deriva (sway) 2 Translação lateral Y v y
Afundamento 
(heave) 3 
Translação 
vertical 
Z w z
Jogo/balanço 
(roll) 4 
Rotação em 
torno do eixo 
longitudinal 
K p ϕ
Caturro/arfagem 
(pitch) 5 
Rotação em 
torno do eixo 
transversal 
M q θ
Guinada (yaw) 6 
Rotação em 
torno do eixo 
vertical 
N r ψ
Slide 3
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Comportamento de Unidade Flutuante em Ondas 
 O comportamento hidromecânico afeta :
- Segurança dos passageiros, tripulantes, carga e da própria
unidade.
- Conforto dos passageiros e tripulantes.
- Carregamento dinâmico sobre a estrutura da unidade
flutuante, sua carga e equipamentos.
- Velocidade e consumo de combustível.
- Capacidade de manobra em operações marítimas.
Slide 4
T (s)
A
ce
le
ra
çã
o 
(g
) Intolerável
Mal estar
Imperceptível
 Exemplos :
- Movimentos de jogo combinado com vento lateral
podem causar ângulos de banda perigosos ou mesmo
emborcamento.
- Ondas de popa de aproximadamente o mesmo
comprimento do navio causam grandes ângulos de
jogo.
- Acelerações transversais devidas ao efeito combinado
do jogo e deriva causam deslocamento da carga e
rompimento dos dispositivos que as seguram.
- Movimentos verticais de unidades de perfuração
podem causar avaria da coluna de perfuração.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 5
N
úm
er
os
 C
om
pl
ex
os
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 6
Números Complexos 1
 Começaram a ser utilizados no século XVI na resolução de equações do 
terceiro grau, onde se notou que os resultados levavam a raízes quadradas 
de números negativos. 
 Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma 
z = x + iy
onde x e y são reais e i denota a unidade imaginária, que tem a propriedade 
i2=-1 
 O plano complexo (Diagrama de Argand) é um 
plano cartesiano utilizado para representar núme-
ros complexos geometricamente, permitindo 
“algebrizar” vetores bidimensionais. 
Jean-Robert Argand
Matemático suiço 1768-1822
Na forma cartesiana 
e na forma polar 
onde (módulo de z) 22
)sin(cos
),(
yxzr
reirz
iyxyxz
i
+==
=+=
+==
θθθ
Plano complexo ou Plano de Argand
Johann Carl Friedrich Gauss
Matemático e físico alemão 1777-1855
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 7
Números Complexos 2
 A álgebra de números complexos permite que grandezas que variem 
senoidalmente (ou cossenoidalmente) em função do tempo sejam 
interpretados por vetores bidimensionais (fasores), sendo muito mais fácil 
operar com números complexos de diferentes módulos e argumentos do 
que com funções trigonométricas. 
Leonhard Euler
Matemático suiço 1707-1783
 Propriedades interessantes : 
– Multiplicação por i envolve 
uma rotação de 90° 
– Multiplicação por i2 envolve 
uma rotação de 180° 
– Multiplicação por i3 envolve 
uma rotação de 270° 
René Descartes
Matemático e físico francês 1596-1650
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 8
Números Complexos 3
Operações elementares 
Sejam z e w números complexos dados por z=(a,b)=reiθ e w =(c,d)=heiφ
então : 
ϕθ ==
==⇔=
e
oue
hr
dbcawz
)()( dbibazwwz +++=+=+
)(e)()( ϕθ +=++−== irhadbcibdacwzzw
θ-ieribaz =−=
θi-
222 e
11
rz
z
ba
iba
z
==
+
−
=
 Identidade 
 
 Adição 
 
 Multiplicação 
 
 Conjugado 
 
 Inverso 
 
 Oposto 
 
 Real 
 
 Imaginário 
 
 Argumento 
)(ibaz −−=−
θcos)Re( raz ==
θsin)Img( rbz ==








=
z
aacosθ
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 9
Análise de 
Sinais
Fourrier
&
Cia
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Análise de Sinais
 Na análise no domínio do tempo, os sinais físicos ou séries temporais de 
dados ambientais são observados ao longo do tempo. Os valores da 
função observada são números reais contínuous ou discretos, dependendo 
do modo como a observação é feita. 
 Na análise no domínio da frequência este dados são observados com 
relação à uma faixa de frequências. Esta análise também pode incluir 
informações do deslocamento de fase aplicada a cada frequência, mas isto 
normalmente é descartado. 
Slide 10
 Uma função pode ser convertida 
entre os domínios do tempo e da 
frequência através de um par de 
operadores matemáticos conhecido 
como transformada integral. 
Medições no domínio do tempo Medições no domínio da frequência
Presenter
Presentation Notes
Transformada de Fourrier perde a informação do deslocamento de fase. Transformada de Laplace mantém esta informação.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 11
Série de Fourier 1 Jean-Baptiste Joseph FourierMatemático francês 1768-1830
 A série de Fourier é a representação de uma função periódica integrável 
como uma soma de funções periódicas de seno e cosseno. 
 Suponha uma função periódica f(t) com período T, 
tal que f(t+T) = f(t). 
 Fourier diz que f(t) pode ser representada por 
 onde 
∑
∞
=











+




=
0
2sin2cos)(
n
nn T
ntB
T
ntAtf ππ
∫
∫
−
−





=





=
2
2
2
2
2sin)(2
2cos)(2
T
Tn
T
Tn
dt
T
nttf
T
B
dt
T
nttf
T
A
π
π
Primeiras 5 aproximações de Fourier
Onda “dente de serra”
02
2 ωππ == f
T
Espectro dos Coeficientes
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 12
Série de Fourier 3
 Algumas expansões em série de Fourier mais comuns : 
– Onda dente de serra : 
 
 
– Onda quadrada : 
 
 
– Onda triangular : 
1
2
− 1/𝜋�
1
𝑛
sin
𝑛𝜋𝑛
𝐿
∞
𝑛=1
4
𝜋
�
1
𝑛
sin
𝑛𝜋𝑛
𝐿
∞
𝑛=1,3,5,…
8
𝜋2
�
−1
𝑛−1
2�
𝑛2
sin
𝑛𝜋𝑛
𝐿
∞
𝑛=1,3,5,…
Presenter
Presentation Notes
Rodar http://www.fourier-series.com/fourierseries2/flash_programs/fourier_series_sin_cos/index.html
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 13
Série de Fourier 4 Johann Peter Gustav Lejeune DirichletMatemático alemão 1805-1859
 A série de Fourier também pode ser expressa em termos exponenciais. 
 Pela fórmula de Euler 
 Então a expansão de Fourier pode ser representada por 
 onde 
 A relação entre os coeficientes de Fourier na forma trigonométrica e expo-
nencial é 
 e Cn=
 Na engenharia, particularmente quando a variável t representa o tempo, a 
sequência de coeficientes é chamada de representação no domínio da 
frequência, adotando-se a notação F[n] ou Fn ao invés de Cn, enfatizando 
que o domínio desta função é um conjunto discreto de frequências. 
∑
∞
−∞=
=
n
tin
nCtf 0e)(
ω
( ) 0
2
1
0)(
2
1
<+
≥−
−− niBA
niBA
nn
nn
)sin()cos( nxinxeinx +=
∫−= 2
2
0e)(1
T
T
tin
n dttfT
C ω
...,2,1)(
...,2,1,0
=−=
=+=
−
−
nCCiB
nCCA
nnn
nnn
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 14
Transformada de Fourier Paul Adrien Maurice Dirac
Físico britânico 1902-1984
 A Série de Fourier é útil na modelagem a análise do espectro de funções 
periódicas, mas como fazer quando o fenômeno é não-periódico ? 
 A saída é permitir que T se torne infinitamente grande, e a série e os coefi-
cientes de Fourier se reduzem a 
∫
∫
∞
∞−
−
∞
∞−
=
=
dttfiF
diFtf
ti
ti
0
0
e)()(
e)(
2
1)(
0
00
ω
ω
ω
ωω
π
Transformada de Fourier
Transformada
Inversa de Fourier
 Enquanto a Série de Fourier converte uma 
função periódica contínua no domínio do tempo 
para amplitudes no domínio da frequênciaem 
frequências discretas, a Transformada de 
Fourier converte uma função não-periódica 
contínua no domínio do tempo em uma função 
contínua no domínio da frequência. 
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 15
Transformada Discreta de Fourier
 
 
 DTF (Discrete Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras são cole-
tadas a intervalos aleatórios. Ela avalia apenas componentes da frequên-
cias suficientes para reconstruir o segmento que está sendo analizado, 
decompondo –a em amplitudes de diferentes frequências. 
 
 
 DTFT (Discrete-time Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras 
são coletadas a uma frequência constante. 
Se quisermos encontrar o espectro de frequências de uma função que foi 
“sampleada”, a Transformada Contínua de Fourier não é muito útil, pois não 
se dispõe de uma função analítica para a função (ex.: análise de sinais 
sonoros, de amplitude das ondas oceânicas, etc.)
10e
1
0
2
,...,N-kxX
N
n
kn
N
i
nk ==∑
−
=
−
 
π
amostrados valores os mrepresenta n
n
ni
n xxX ∑
∞
−∞=
−= ωω e)(
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 16
Transformada Rápida de Fourier
 
 
 O cálculo da DFT diretamente da sua definição é impraticável na maioria 
dos casos por ser muito lento (proporcional a N2). 
 Existem vários algoritmos para a FFT, sendo o mais conhecido o de 
Cooley-Tukey, que divide a transformada sucessivamente em dois 
pedaços de tamanho N/2 (e portanto é limitado a que o número de 
amostras seja uma potência de 2). 
A Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform) é um 
algorítmo eficiente para calcular a DFT e sua inversa. 
John Wilder Tukey
Estatístico americano 1915-2000
James W. Cooley
Matemático americano 1926-
 Este algoritmo apresenta um esforço 
computacional da ordem de Nlog(N). 
Para uma amostra com 128 elementos, isto significa 
uma diferença de 60x no esforço computacional
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 17
Vibração
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Idealização Sistema Massa-Mola
)()sen()( 0 tkxtFtxm −= ω
 Sistema com 1 grau de liberdade 
 Resposta do sistema 
 Frequência natural de vibração 
m
k
n =ω
Re
sp
os
ta 
liv
re
Re
sp
os
ta
 fo
rç
ad
a
Fo
rç
ak
m
Fexc(t) = F0sen(ωt)
x
Slide 18
Presenter
Presentation Notes
Wn também é conhecido como w0
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Força excitação
Re
sp
os
ta 
liv
re
Re
sp
os
ta
 fo
rç
ad
a
Força amortecimento
Regime Regime
transiente permanente
Idealização Sistema Massa-Mola-Amortecedor
 Todo sistema mecânico tem algum nível de 
amortecimento. 
 Resposta do sistema 
 k
c
m
x
Fexc(t) = F0sen(ωt)
)()()sen()( 0 tkxtxctFtxm −−=  ω
amortecimento
viscoso
Slide 19
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Amortecimento
Slide 20
 Coeficiente de amortecimento crítico 
 
 Fator de amortecimento 
 
 Frequência natural amortecida 
kmmc nc 22 == ω
cc
c
=ξ
ξ > 1 : Superamortecimento (não há oscilação) 
ξ = 1 : Criticamente amortecido (não há oscilação) 
ξ < 1 : Subamortecimento 
21 ςωω −= nd
Efeito do amortecimento em vibração forçada
0/ωω
kX
/F
0
Efeito do amortecimento em vibração livre
ξ
ξ
ξ
ξ
2
1ln
x
x
=ξ
Presenter
Presentation Notes
Amortecimento crítico é a interface entre superamortecimento e subamortecimento.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Períodos Naturais de Oscilação Típicos* (s)
MODO FPSO SPAR TLP SEMI
Avanço (surge) >100 >100 >100 >100 
Deriva (sway) >100 >100 >100 >100 
Afundamento (heave) 5 – 12 20 – 35 < 5 20 – 50 
Balanço (roll) 5 – 30 50 – 90 < 5 30 – 60 
Caturro (pitch) 5 – 30 50 – 90 < 5 30 – 60 
Guinada (yaw) >100 >100 >100 >100 
Slide 21
* Ancorados
Presenter
Presentation Notes
Uma característica comum de todos os tipos de estruturas flutuantes é que eles apresentam movimentos suaves no plano horizontal, com, com períodos de avanço, deriva e guinada maiores que 100 segundos. 
As diferenças fundamentais entre os tipos de flutuantes estão relacionados com as suas respostas no plano vertical, ou seja, afundamento, balanço e caturro. 
Estas respostas no plano vertical são decisivas para a escolha do riser e sistemas de amarração. 
Caturro = arfagem
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Ressonância
 Ressonância é a tendência de um sistema a oscilar em máxima amplitude 
em certas frequências, conhecido como 'frequências ressonantes'. Nessas 
frequências, até mesmo forças periódicas pequenas podem produzir 
vibrações de grande amplitude, pois o sistema armazena energia. 
Slide 22
Tacoma Narrows Bridge (1940)
A Vibração do Arroz
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Quiz
1. Qual o período natural de vibração de um sistema massa-mola ideal no qual a 
massa do corpo é de 100g e a constante da mola é de 0.274gf/mm ? 
 
Slide 23
s120
0523.0
22
rad/s0523.0
100
274.0
===Τ
===
π
ω
π
ω
n
n m
k
2. Considerando apenas o efeito hidrostático, qual seria a frequência natural de 
vibração no movimento de afundamento (heave) de uma barcaça retangular 
oceânica com dimensões de L = 100m, B =20 m, T = 5m ? 
tf/m205020100025.1
t10250520100025.1
' ===
===
xxAk
xxxVm
águadlinha
submerso
ρ
ρ
s)14(Hz0711.0
2
477.0
2
rad/s447.0
10250
2050
=Τ===
===
ππ
ω
ω
n
n
n
f
m
k
Presenter
Presentation Notes
Resp: 1) T=120s 2) fn=0.0711Hz
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 24
Os 
Movimentos
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Tipos de Movimentos
 Movimento na frequência da onda (wave-frequency motion) : 
Movimento linearmente excitado na faixa de frequências de 
onda com energia significativa. Períodos na faixa 5-20s. 
 Movimento de alta frequência (high-frequency motion) : 
Significativo em TLPs, é devido a oscilações de ressonância 
em afundamento, arfagem e balanço. Os tendões das TLPs 
são excitados por efeitos não lineares das ondas. Períodos na 
faixa 2-4s. 
 Movimento de deriva lenta (slow-drift motion) : Aparecem em 
unidades flutuantes ancoradas sob o efeito de ondas e 
correnteza. As frequências naturais nos movimentos no plano 
horizontal (avanço, deriva e guinada) são bastante baixas, e 
amortecimento também é muito baixo, de modo que o 
carregamento de baixa frequência das ondas podem gerar 
excursões lentas mas bastante amplas. 
 Movimento de deriva média (mean drift) : Devido ao 
componente permanente de carregamento de segunda ordem 
de ondas, o corpo tende a se mover e alinhar na direção das 
ondas. 
Slide 25
Presenter
Presentation Notes
Movimentos de deriva lenta e média tem períodos na faixa 20-30s.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Equação do Movimento (Corpo Rígido Flutuante)
Slide 26
( ) )(tFxCxBxAM ijijjijjijij =+++ 
onde 
Mij = massa oscilante / momento de inércia 
Aij = massa adicional induzida na direção i devido à 
 aceleração em j
Bij = amortecimento sofrido na direção i devido à 
 velocidade na direção j 
Cij = restauração na direção i devido ao 
 deslocamento na direção j 
Fi = forças de excitação na direção i
 = deslocamento, velocidade e aceleração 
 da embarcação na direção j
i,j = 1, ... 6 denotam os 6 graus de liberdade 
1
2
3
4 5
6
jjj xxx  ,,












=
666261
161211
PPP
PPP
Pij




... que tem uma consequência na direção i
Al
go
 a
co
nte
ce
na
 di
re
çã
o j
 ..
.
Ex: C53 = restauração em pitch devido
 ao deslocamento em heave
Presenter
Presentation Notes
Atenção : Em vibração a letra C normalmente é utilizada para indicar o amortecimento, mas em hidrodinâmica é a restauração.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Matrizes da Equação do Movimento
 Para uma unidade tendo simetria a bombordo/estibordo, e considerando a 
origem do sistema decoordenadas coincidente com o centro de flutuação : 
Slide 27




















=




















=




















=




















−
−−
−
=
000000
0000
00000
0000
000000
000000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
0000
0000
000
00000
0000
0000
5553
44
3533
666462
555351
464442
353331
362422
151311
666462
555351
464442
353331
362422
151311
664
5
464
CC
C
CC
C
BBB
BBB
BBB
BBB
BBB
BBB
B
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
A
II
IMz
IIMz
M
MzM
MzM
M
ijij
ij
c
c
c
c
ij
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 28
Forças 
Hidrodinâmicas
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Tipos de Forças em um Escoamento Permanente
 Forças potenciais 
- Devido à aceleração e desaceleração 
das partículas do fluido ao mudar sua 
trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 Forças viscosas 
- Devido ao aparecimento da camada 
limite, com cisalhamento entre as 
partículas do fluido. 
Slide 29
FORMA FORÇAS POTENCIAIS 
FORÇAS 
VISCOSAS 
≈ 0% ≈ 100% 
≈ 10% ≈ 90% 
≈ 80% ≈ 20% 
≈ 100% ≈ 0% 
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças Hidrodinâmicas Lineares em Ondas
 A teoria linear pode descrever o carregamento hidrodinâmico em estados 
de mar calmo a médio (dependendo do tamanho da embarcação). 
 A linearidade implica que o carregamento e movimentos são proporcionais 
às amplitudes das ondas. 
 A linearidade permite a superposição : os carregamentos e respostas em 
mar irregular podem ser obtidos por sua combinação linear das respostas 
ao mar regular ou senoidal. 
 Devido à hipótese linear, a análise pode ser executada tanto no domínio do 
tempo quanto da frequência. 
Slide 30
Fhid = Fexc + Frad + Frest 
Cargas
Lineares
Equações
Lineares do
Movimento
movimentoondas
Presenter
Presentation Notes
Algumas das cargas dependem da excitação causada pelas ondas, outras dependem do movimento da embarcação, e outras dependem do feedback da estrutura.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças Hidrodinâmicas Não Lineares
 Uma vez que temos um modelo linear no domínio do tempo, cargas não 
lineares podem ser adicionadas pela hipótese de superposição de forças : 
 
 
 
 
 
 
 
 O modelo linear não deve ser encarado como uma limitação : na verdade 
ele é a base sobre a qual podemos construir modelos não-lineares 
baseado na hipótese da superposição de forças. 
Slide 31
Cargas
Lineares
Equações
Lineares do
Movimento
movimentoondas
Cargas
Não-Lineares
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
forças de 
excitação
Forças Atuantes em uma Unidade Flutuante
m.a = Fexc - c.v - k.x
M.a
forças de radiação e 
restauração (massa 
adicional, amortecimento e 
hidrostática)
força resultante no 
sistema flutuante
= Fm + Ffk + Fd – A.a – B.v – B2.v.|v| - C.x
amortecimento viscoso
Slide 32
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças de Excitação
• Ffk : Força de Froude-Krilov 
- Considera a pressão devido à 
ação da onda não perturbada 
pelo corpo. 
• Fd : Força de Difração 
- Considera a modificação da 
pressão da onda devido à 
presença do corpo. 
Forças atuantes sobre a unidade quando ela tem seu movimento restringido, 
ao mesmo tempo em que é sujeita à ondas incidentes. 
 1ª Ordem 
- Forças grandes 
- Mesma frequência da onda 
- Relacionada à elevação da onda 
- Proporcional à amplitude da onda (linear) 
 
 
 
 2ª Ordem 
- Forças pequenas 
- Baixa frequência 
- Relacionadas ao grupo de ondas 
- Proporcional ao quadrado da amplitude da onda 
• Fm : Força de Morison 
- Considera a parte viscosa da força. 
Slide 33
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Excitação : Força de Froude-Krylov
É a força induzida pelo campo de pressões gerado pelas ondas não pertur-
badas pelo corpo (o corpo é suficientemente pequeno para não influenciar 
as ondas). 
Onde Ffk = força de Froude-Krilov 
 Sw = área da superfície molhada do corpo flutuante 
 p = pressão da onda não perturbada p = ρ g ekz ζa sin (ωt - kx) 
 n = vetor normal ao corpo, apontando para a direção da água
Ffk = - p n ds∫∫
Sw
 Esta expressão é corrigida através de coeficientes que são determinados 
experimentalmente 
 Importante quando a amplitude do movimento é grande. 
 Em termos práticos ela pode ser aplicada quando a dimensão do corpo é 
bem menor que o comprimento de onda. 
 Se for integrada ao longo da superfície molhada instantânea do corpo, pode 
ser considerada não linear. 
William Froude
Engenheiro inglês 1810-1879
Alexei Nikolaievich Krylov
Engenheiro naval russo 1863-1945
Integração da pressão da água ao longo 
da superfície molhada média do corpo
Slide 34
Presenter
Presentation Notes
Krylov ou Kriloff
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Excitação : Força de Difração
Difração é o fenômeno que ocorre quando as on-
das contornam um objeto cuja dimensão é da mes-
ma ordem de grandeza do seu comprimento. A 
onda ao contornar um obstáculo sofre uma varia-
ção na trajetória, podendo então se combinar com 
outras linhas de fluxo e dessa forma produzir máxi-
mos e mínimos diferentes daqueles que iriam ocor-
rer se o corpo não estivesse presente. 
Slide 35
Como resultado a pressão da onda é 
modificada devido à presença do cor-
po. Deve ser tratada com cuidado 
especialmente quando λ < 5 D. 
 Integral da pressão ao longo do corpo, 
com condições de contorno associa-
das à presença do corpo e diferentes 
das condições para massa adicional e 
teoria potencial. 
Gibraltar
Presenter
Presentation Notes
Na primeira figura (imagem de radar do satélite ERS 1) as ondas não são visíveis a olho nu, pois não são de superfície. Elas são o resultado de diferenças de temperatura e de salinidade entre o Oceano Atlântico e no Mediterrâneo. O intercâmbio entre essas duas massas de água de características diferentes que geram distúrbios chamados de "ondas internas", que são difratados pelo Estreito de Gibraltar.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Formulação semi-empírica para a força em um corpo submetido a um fluxo 
oscilatório, aplicável a corpos com dimensões muito menores que o compri-
mento da onda (D < 0.05ʎ) - a onda “não sente” a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
Formulação semi empírica para a força em umum corpoum corpoum
Excitação : Força de Morison 1
Slide 36
componente inercial componente viscosa
uuCD
dt
duCAF dmm .....2
1.. ρρ +.=
(soma de uma componente inercial em fase com a aceleração local do fluxo e uma componente viscosa de arrasto proporcional 
ao quadrado da velocidade do fluxo) 
Inicialmente desenvolvida para força de onda em cilindro vertical fixo, posteriormente 
ampliada para cilindro inclinado, cilindro livre, cilindro livre em correnteza, cilindro 
livre em ondas e cilindro livre em ondas e correnteza. 
ʎ
z
u(z,t)
D
d
H
Área
seccional
Coeficiente
de massa
adicional Diâmetro
Coeficiente
de arrasto
Força horizontal 
por unidade de 
comprimento
Presenter
Presentation Notes
DNV-RP-C205 Environmental Conditions and Environmental Loads fornece os coeficientes para uma grande variedade de geometrias.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
 Aplicações : Risers, umbilicais, linhas de ancoragem, jaquetas, pilares, 
pernas de jackups, bracings, etc. 
 Aplicações : Risers, umbilicais, linhas de ancoragem,de ancoragem,ancoragem,ancoragem,
Excitação : Força de Morison 2
 Fatores que afetam Cm e Cd
- Número de Reynolds (para escoamento com velocidade constante) : Re = v.D / ν
- Número de Keulegan-Carpenter (para escoamento oscilatório) : KC = vm.T / D
- Rugosidade : ∆ = k / D
Onde D = diâmetro [m] 
 T = período da onda ou de oscilação [s] 
 k = altura da rugosidade [m] 
 v = velocidade total do escoamento [m/s] 
 ν = viscosidade cinemática do fluido [m2/s] 
 vm = velocidade orbital máxima da partícula[m/s] 
- Efeitos de parede 
- Vibração induzida por vórtices (VIV) 
- Comprimento finito 
- Distância à superfície livre 
- Efeito de sombra 
- Forma da seção transversal 
Slide 37
Presenter
Presentation Notes
Keulengan-Caroenter descreve a impoirtância das forças de inércia (potenciais) sobre a forças de arrasto (viscosas) em um movimento oscilatório do fluido.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Quiz
 Em um cilindro vertical com massa desprezível, diâmetro D=1m e compri-
mento submerso L=5m, em água salgada, em movimento oscilatório com 
amplitude de ζ=1m e período de T=10s, qual é a força medida no topo ? 
Considere Cd=1 e Cm=2. 
Slide 38
LuuCD
dt
duCAF dm 




 +.= .....
2
1.. ρρ 𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 0.628
𝐴 = 𝜋𝐷2/4 =0.785 
𝑢 = 𝑑𝑑
𝑑𝑑
= ζ.cos(𝜔t) 𝑑𝑑
𝑑𝑑
= -ζ.sin(𝜔t)x=ζ.sin(𝜔t) 
)628.0cos()628.0cos(563.2)628.0sin(04.8 tttF +−=
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Regimes de Forças das Ondas
Slide 39
10510.50.10.050.01
0,01
0.05
0.1
0.5
1
5
10
50
VI
V
III
IV
II
GRANDE ARRASTO
INÉRCIA E ARRASTO
POUCO ARRASTO
GRANDE INÉRCIA
ARRASTO DESPREZÍVEL
DIFRAÇÃO
DESPREZÍVEL
TOTALMENTE INERCIAL
REGIÃO DE
DIFRAÇÃO
DEEP WATER
BREAKING WAVE
CURVE
I
00 ≠≠ dm CC
0=dC
λ
π D
D
H
 Regiões I e II
- Sem separação apreciável do escoa-
mento, efeitos viscosos confinados à 
camada limite, solução do problema via 
teoria potencial. 
- Em I ignore a difração, aproximação de 
FK pode ser utilizada. 
- Em II considere os efeitos de difração 
da onda. 
 Regiões III e IV
- Algum arrasto, porém inércia é mais 
importante. 
- Em III ignore a difração. 
 Região V
 Efeitos viscosos e potenciais importan-
tes. Utilize Morrison. 
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças de Radiação e Restauração
 A.a : Massa adicional 
- Proporcional à aceleração do corpo. 
 B.v : Amortecimento potencial 
- Proporcional à velocidade do corpo. 
 B2.v.|v| : Amortecimento viscoso 
- Proporcional ao quadrado da velocidade 
 C.x : Forças de restauração hidrostática 
- Proporcional ao deslocamento da embarcação em relação à sua posição original 
Slide 40
Forças de inércia potenciais 
Forças atuantes sobre a unidade quando ela é forçada a oscilar em águas 
tranquilas. 
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças Potenciais de Radiação
As forças de radiação aparecem devido ao movimento da embarcação : a 
mudança no momento do fluido devido ao movimento do casco altera a 
distribuição de pressões ao longo do casco, induzindo as ondas. 
 Estas forças tem duas componentes : 
- Proporcional às acelerações 
- Proporcional às velocidades 
 
Slide 41
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
O Problema a Ser Resolvido
corpo em movimentoonda incidente
onda irradiada e refratada
Conservação da massa Equações de campo dentro do fluido 
Conservação do momento Equações do movimento do corpo 
Condições de contorno 
Hipótese básica : fluido invíscido 
Equações : 
Slide 42
U
Presenter
Presentation Notes
Invíscido = sem viscosidade
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Equação da Continuidade (Conservação da Massa)
 Equação geral de Navier-Stokes : 01 =•∇+ v
Dt
D ρ
ρ
 Hipótese 1: Fluido incompressível 
0
0
=•∇
=
v
Dt
D

ρ
 Hipótese 2 : Movimento irrotacional 
ϕ∇=
=×∇
v
v

 0
 Hipóteses 1 e 2 dão a seguinte equação do domínio do fluido : 
( ) 0,,,2 =∇ tzyxϕ
A densidade é constante.
O divergente de velocidades é nulo.
(água que entra = água que sai)
O rotacional de velocidades é nulo.
A velocidade pode ser expressa como o
gradiente de uma função potencial.
O Laplaciano do campo de potencial de
velocidades é nulo.
então 
então 
A variação da massa em um
volume infinitesimal é igual
à massa que nele entra menos
a massa que sai.
Slide 43
Presenter
Presentation Notes
Dro/Dt = derivada total. Ro é função de várias variáveis (x,y,z,t) que por sua vez são funções de uma única variável t (ao seguirmos uma linha de fluxo)
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Condições de Contorno
 No leito do oceano (z = -h) : 0=
∂
∂
=
n
vn
ϕ
radϕϕ =
nVn
=
∂
∂ϕ
Slide 44
 No infinito : 
 No corpo : 
 Na superfície livre (z = 0) : 
– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na 
superfície livre lá permanece. 
– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada 
nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o 
corpo. 
A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.
A onda não sofre perturbação no infinito.
A velocidade normal do fluido se iguala
a velocidade normal do corpo.
0.
2
=
∂
∂
+
∂
∂
z
g
z
ϕϕ
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Cálculo das Forças de Radiação
 Forças e momentos são obtidos integrando a pressão sobre a superfície 
molhada média Sw
45
( )
( )






=×





∂
∂
−
=





∂
∂
−
−∫∫
∫∫
4,5,6i 
1,2,3i 
dsnr
t
dsn
t
i
S
rad
i
S
rad
irad
w
w
.
.
3
,
ϕ
ϕ
τ
1
2
3
4 5
6
força ou momento
Slide 45
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças de Radiação para Movimento Regular
Se o movimento da embarcação na direção i for harmônico podendo ser des-
crito por : 
 
Então, após integrar a pressão sobre a superfície do casco, as forças de ra-
diação na direção j devido ao movimento na direção i tomam a seguinte for-
ma : 
 
 Os coeficientes que multiplicam às acelerações são chamados de 
coeficientes de massa adicional, embora nem todos tenham unidade de 
massa (alguns são inércia). Os termos de massa adicional nos dão as 
forças devido às acelerações do fluido a medida em que a embarcação 
oscila. 
 Os coeficientes proporcionais às velocidades são chamados de 
coeficientes de amortecimento potencial, e representam a energia 
transportada para longe com as ondas geradas pelo movimento do casco. 
Slide 46
( )ti ωξξ cos=
( ) ( ) iijiijjrad BA ξωξωτ  −−=,
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Massa Adicional e Amortecimento 1
 A.a : Massa adicional 
- O movimento do corpo em aceleração irá mover 
algum volume do fluido. 
 B.v : Amortecimento potencial 
- Energia transportada para longe devido às ondas 
geradas pelo movimento do corpo. 
Slide 47
Mesmo na ausência de on-
da incidente, um corpo em 
movimento cria ondas e 
portanto, forças de inércia 
potenciais. 
Relembrando, devido ao aumento movimento forçado do corpo, teremos : 
 Os coeficientes de massa adicional e 
amortecimento dependem da : 
- Forma da embarcação 
- Velocidade de avanço 
- Profundidade da água 
Massa adicional e amortecimento em 
afundamento para barcaça retangular simétrica
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Massa Adicional e Amortecimento 2
Slide 48
 As matrizes de massa adicional e amortecimento têm dimensões 6 x 6, por-
tanto temos 36 coeficientes de massa adicional e 36 de amortecimento a 
serem calculados. 
 Se a estrutura não tem velocidade de avanço (ou sua velocidade é longitu-
dinal), e tem um plano de simetria longitudinal, metade dos coeficientes é 
nulo. 
 Se a estrutura tem velocidade nula e não há correnteza, as matrizes de 
massa adicional e amortecimento são simétricas. 
 ( ) ( )
( ) ( )ωω
ωω
jiij
jiij
BB
AA
=
=
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças de Amortecimento Viscoso
 Em um fluido real, a fricção também causa amortecimento, vórtices e o 
fenômeno da separação da camada limite. 
 B2.v.|v| : Amortecimento viscoso 
- Importante quando a amplitude do movimento é grande. 
- Devido à geração de vórtices e fricção. 
- Proporcional ao quadrado da velocidade. 
Slide 49
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças de Restauração
 C.x : Forças de restauração 
- Em um contexto físico, forças de restauração são forças variáveisque tentam 
levar um sistema perturbado de volta ao seu equilíbrio. 
- As forças são proporcionais ao deslocamento do corpo em torno do seu equilíbrio. 
- Forças hidrostáticas 
- Linhas de ancoragem 
- Risers e umbilicais 
- Cabos de reboque 
- Mangotes de transferência 
- Etc. 
 Algumas forças de restauração podem 
ser idealizadas de modo diferente : 
- Leme 
- Estabilizadores ativos 
- Impelidores laterais 
Slide 50
para pequenos 
deslocamentos
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Propriedades Hidrostáticas do Casco
Slide 51
x
y
dx
F
y
x
 Área da linha d’água 
 Volume de deslocamento da embarcação 
 Centro de flutuação F (centro de flutuação) : 
 Momento de inércia longitudinal 
 Momento de inércia transversal 
 Raios metacêntricos 
∫= dxyAwl .2
wl
F A
dxyx
x ∫= ..
∫= dxyxIL ..2 2
∫= dxyIT 33
2
 ∇=∇= TTLL IBMIBM
LC
Centro de 
carena
Centro de 
gravidade
Metacentro
∇
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Forças de Restauração Hidrostáticas
 Não há restauração no plano horizontal. 
- C33 : Restauração do heave devido ao heave 
- C35 : Restauração do heave devido ao pitch 
- C44 : Restauração do roll devido ao roll 
- C53 : Restauração do pitch devido ao heave 
- C55 : Restauração do pitch devido ao pitch 
Slide 52
M
wlgAC ρ=33
GMgC ∇= ρ44
LGMgC ∇= ρ55
wlF AgxC ρ=35
3553 CC −=
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Quiz
Slide 53
Avalie os períodos naturais de uma semi-submersível com as seguintes caracterís-
ticas :
• 6 colunas cilíndricas (3 por bordo) com 10m de diâmetro
• 2 pontões retangulares com 15m largura, 6m altura e 90m comprimento
• Calado 21m
• GMT=GML=1.5m
• Raio de giração x = y = 15m
• Cmad22=0.7. Cmad44=Cmad55=0.3
• K33=ρgAwl
• K44=ΔgGM
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
T
Slide 54
Determinando 
a Resposta
Teste de Modelo em Peersless Pool (Londres – 1761)
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Teoria da Radiação-Refração
 As partes estruturais tem dimensões comparáveis ao comprimento da 
onda (grandes volumes). 
 Efeitos viscosos são negligenciados. 
 É incluída a distorção nas ondas devido à presença da estrutura. 
 São criadas ondas devido ao movimento da estrutura. 
 Teoria linear. 
 
Slide 55
John Nicholas Newman
Engenheiro naval americano 1935-
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Teoria Linear
 Assume que a amplitude da onda é “pequena”. 
 Expande todas as condições de superfície livre em torno no nível médio do 
mar e mantém somente os termos proporcionais à amplitude da onda. 
 O movimento da estrutura é da mesma ordem de grandeza da amplitude 
da onda. 
 Expande todas as condições da estrutura em torno de sua posição média e 
mantém somente os termos proporcionais ao movimento da embarcação. 
⇒ A grade computacional (modelo de painéis) é a mesma o tempo todo. 
Slide 56
Modelo linear – vista superior Modelo linear – vista inferior Modelo não-linear – vista inferior
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Análise no Domínio da Frequência
 As cargas induzidas por um mar irregular podem ser obtidas por 
superposição linear de componentes regulares. 
 Assumindo um regime permanente, com todos os efeitos transientes 
negligenciados, as cargas e a resposta dinâmica da estrutura está 
oscilando harmonicamente com a mesma frequência de encontro das 
ondas incidentes. 
 Este tipo de análise é conhecida como “análise no domínio da frequência”, 
e os resultados são apresentados em função da frequência de encontro. 
Slide 57
S(
f)
f f f
RA
O
(f
) 2 Z(f)
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Operador de Amplitude de Resposta 1
O RAO (Response Amplitude Operator), também conhecido como Função de 
Transferência, é um conjunto de estatísticas da unidade flutuante, 
normalmente calculados para todos os seus movimentos, em todas as 
direções e frequências de onda ω. 
 Efetivamente é utilizado para determinar o efeito que um determinado 
estado de mar acarretará sobre o movimento da unidade. 
 RAO só tem sentido se assumirmos que os movimentos da unidade são 
lineares, ou seja, proporcionais à altura da onda, e que o princípio da 
superposição funciona. 
 Pode ser obtido de : 
- Predições numéricas (software) 
- Experimentos em tanques de prova 
Slide 58
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Operador de Amplitude de Resposta 2
 Se considerarmos a equação do movimento 
então 
 RAO é a resposta à onda unitária como função do período de onda e sua 
direção. 
Slide 59
[ ] )()()( ωωω FCxxBxAM =+++ 
ωωωωζ
ω
)()]([
)RAO( 2
0
iBAMC
Fx
a ++−
==
RAO Entrada : MAR Saída : MOVIMENTO X 
2
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
 Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes 
para avaliar as acelerações e movimentos em um ponto da embarcação. 
 Exemplo : a aceleração vertical em um ponto do bordo da embarcação 
depende da conjugação dos movimentos de heave, pitch e roll. 
Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes 
Operador de Amplitude de Resposta 3
Slide 60
Está difícil 
embarcar na 
baleeira ! Precisamos também dos ângulos de fase das 
respostas de modo a combiná-las adequada-
mente. 
 A função de transferência RAO é mais facilmente 
tratada como uma variável complexa 
Entrada 
Saída 
CR
i iFFeFH +== ),(),(),( βωδβωβω
)Re()cos( tiet ωω =
)),(Re( tieH ωβω
Presenter
Presentation Notes
Se d é positivo a resposta atinge seu pico após onda.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
RAOs de Forças e Movimentos 1
Slide 61
RAO de 
Carregamento 
RAO de 
Carregamento para 
Movimento 
RAO de Movimento 
( )tiς( )tς
( )tς ( )tiς
Movimento
Elevação da superfície do mar
Combinação
excτ
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
RAOs de Forças e Movimentos 2
Slide 62
 RAOs de forças são representados por F(j,ω). 
 RAOs de movimentos são representados por H(j,ω). 
RAOs de forças 
sobre barcaça.
RAOs de movimentos 
sobre barcaça.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
RAO de Forças
 Para uma onda regular 
 
as forças lineares de excitação serão : 
 
 
 A amplitude e fase das forças de excitação dependem de : 
- Ângulo de encontro (frequência das ondas, velocidade da embarcação, ângulo de 
aproamento relativo às ondas) 
- Amplitude das ondas 
- Velocidade de avanço 
Slide 63
( )ςϕωςς += ti cos
( ) ( )[ ]ωϕωωττ τiiiexc t += cos,
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Frequência de Encontro
Slide 64
( )
βωωω
β
λ
πω
β
λλ
β
cos
cos2
cosencontroderelativavelocidade
cosencontroderelativavelocidade
2
U
g
Uc
Uc
T
Uc
e
e
e
−=
−=
−
==
−=
em águas profundas 
Quando estudamos o comportamento de embarcações é importante 
considerar a frequência no qual ela encontra as ondas fe. Esta frequência 
depende da velocidade das ondas c, da velocidade da embarcação U e da 
direção das ondas em relação à embarcação β. 
β
c
U
c
λ
β
λ
cos
 Portanto, frequência de encontro é a frequência 
das ondas experimentada pelo navio. 
Johann Cristian Andreas Doppler
Físico austríaco 1803-1853
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Espectro de Encontro
Slide 65
βω
ωω
ω
ω
ωω
ωωωω
cos21
)()(
)()(
)()(
00
g
U
SS
d
d
SS
dSdS
e
e
e
ee
−
=
=
=∫∫
∞∞
em águas 
profundas 
ω [rad/s]
Do ponto de vista da embarcação, o espectro da onda é transformado quando 
ela se encontra em movimento. Entretanto, a energia total do oceano deve ser 
constante,seja visto de um observador estacionário ou um que esteja se 
movendo. 
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Outros Efeitos da Velocidade de Avanço
 Afundamento 
 Mudança no trim 
 Queda da pressão no corpo paralelo 
 
Slide 66
Ernest Oliver Tuck
Matemático australiano 1939-2009
Sem velocidade de avanço
Velocidade de avanço 13 nós
RAO Heave PSV
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Recomendações para Análise no Domínio da Frequência
 Para uma análise no domínio da frequência pelo menos 30 frequências 
devem ser analisadas. 
 Um espaçamento entre frequências não maior que ζω0 deve ser utilizada 
 Na região da ressonância um menor espaçamento ainda deve ser utilizado. 
 
Slide 67
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Carregamento Não-Linear de Ondas
 Existem alguns problemas relacionados à interação ondas-estrutura que 
não podem ser descritos unicamente pela teoria linear. 
 Os problemas não lineares tentam descrever mais precisamente as 
condições na superfície livre e no corpo em valores instantâneos ao invés 
de valores médios. 
 Um modo conveniente de resolver este tipo de problema é utilizando a 
análise de perturbação. 
 Na teoria de segunda ordem os problemas são resolvidos até a segunda 
ordem da amplitude da onda incidente, ou seja, termos potenciais e de 
pressão proporcionais à amplitude e ao quadrado da amplitude da onda 
são considerados. 
 Os efeitos do carregamento de segunda ordem são importantes para 
estruturas que são mantidas em posição através de linhas de ancoragem 
ou sistemas de DP, ou para embarcações que sigam trajetórias definidas. 
Slide 68
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Efeitos Não-Lineares de Onda 
 Forças de deriva média : Determina a posição de equilíbrio de sistemas na-
corados (juntamente com o efeito de vento e correnteza). São importantes 
no projeto de linhas de ancoragem e sistemas de posicionamento dinâmi-
co. 
 Forças de deriva lenta : Estas forças tem frequências muito menores que a 
frequência de elevação das ondas. Elas podem excitar modos de resso-
nância na posição horizontal da embarcação, com períodos típicos de 1 a 2 
minutos. 
 Forças de alta frequência : Estas forças tem componentes em frequências 
superiores à frequência das ondas, podendo excitar modos de ressonância 
na estrutura, com períodos de 2 a 4 segundos. 
Slide 69
Tempo
Fo
rça Componente de baixa frequência
Componente de alta frequência
Componente médio
Presenter
Presentation Notes
Forças de alta frequência não são importantes para o movimento da embarcação.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Evidências do Carregamento Não-Linear 1
 Uma maneira simples de evidenciar os efeitos de segunda ordem no 
problema é olhando o termo quadrático na equação de Bernoulli : 
 
 
então 
 Considere o caso onde 
então 
Slide 70
C
t
p =∇∇++ φφρ
δ
δφρ .21
2
3
2
2
2
1. VVV ++=∇∇ φφ
2
3
2
2
2
1. VVV ++=∇∇ φφ
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]tAAtAA
tAtA
AAV
21212121
2
2
2
1
2
1
2
2
2
12
1
coscos
2cos
2
2cos
2
22
ωωωω
ωω
++−+
++
+= Componente médio Componentes de variação rápida
Componente de 
variação lenta
Presenter
Presentation Notes
Esta formulação indica que há a presença de componentes de pressão de segunda ordem.
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Evidências do Carregamento Não-Linear 2
 Ancoragem em SPM de petroleiro 200.000 TDW 
Em mar irregular as forças de deriva contém
componentes com frequências coincidindo
com a frequência natural dos movimentos ho-
rizontais de navios ancorados. Como o amor-
tecimento destes movimentos é pequeno,
sua amplitude tende a ser grande.
Slide 71
Presenter
Presentation Notes
Source : Pinkster 1979
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Análise no Domínio do Tempo
 Se o sistema é linear, de modo que seu comportamento seja linearmente 
dependente do seu deslocamento, velocidade e aceleração, então seu 
comportamento pode ser estudado no domínio da frequência. 
 Entretanto, há casos mais complicados que violam estas hipóteses linea-
res, tais como amortecimento viscoso, forças e momentos devido à cor-
renteza, vento, ancoragem, sem mencionar os efeitos de segunda ordem 
das ondas. 
 Nestes casos, o princípio da super-
posição não se aplica, e somos for-
çados a solucionar as equações do 
movimento em função do tempo. 
 É importante para predição de car-
gas extremas, slamming, slow drift, 
ringing e análise acoplada. 
Slide 72
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Massa Adicional
 Em fluidodinâmica, massa adicional ou massa virtual é a inércia adicionada 
ao sistema pois um corpo acelerando movimenta algum volume de fluido a 
medida em que se move. 
 Por simplicidade ela é modelada como algum volume do fluido se movendo 
com o corpo, mas na realidade “todo” o fluido é acelerado em vários graus. 
 O coeficiente de massa adicional é a massa adicional dividida pelo volume 
do fluido deslocado. 
 Para embarcações, a massa adicional pode facilmente atingir de 25 a 35% 
da massa da embarcação, representando uma inércia significativa. 
Slide 74
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Método das Faixas (Teoria Potencial 2D)
 Para corpos esbeltos o movimento do fluido pode ser formulado como um 
problema 2D, onde a variação do fluxo no plano trasversal da embarcação 
é muito maior que a variação na sua direção longitudinal. 
 O princípio da teoria das faixas envolve a divisão da parte submersa do 
corpo em um número de fatias definido. Então, os coeficientes para massa 
adicional podem ser calculados para cada fatia e então integrados ao longo 
do comprimento do corpo para obter os coeficientes 3D. 
Slide 75
 Como calcular os coeficientes para 
uma seção transversal de um casco 
real ? 
Plano de Balisas Cargueiro Convencional – Série BSRA
Odd Magnus Faltisen
Matemático norueguês 1944-
Presenter
Presentation Notes
Salvesen, Tuck e Faltinsen
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Transformação Conforme 1
 Ela envolve uma função de transformação utilizando nú-
meros complexos, que preserva os ângulos e formas 
locais infinitesimais. 
Slide 76
utilizando nú-
É uma técnica matemática usada para relacionar 
o escoamento conhecido de um fluido (seja 
matematicamente ou experimentalmente) em 
torno de uma forma conhecida com o escoamento 
em torno de outra forma a qual se quer analisar. 






+++++++=+= −13
4
2
32
10 ... n
naaaaaaizyX
ζζζζ
ζ
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
 Primeira aproximação (Lewis 1929) 
- A transformação era aproximada por dois coeficientes da seção : a proporção en-
tre a meia boca e o calado e o coeficiente de área da seção. 
 
 
 
 
 Aproximações atuais 
- Outras formulações para as seções, onde centróides da área e momentos de vá-
rias ordens são utilizados. 
 Vantagens e desvantagens : 
- Soluções suaves em toda a faixa de frequência, sem irregularidades. 
- Cantos vivos não são bem representados. 
- Seções com coeficiente de área seccional muito baixa não são bem representa-
dos. 
- Não trata áreas seccionais totalmente submersas, como proa bulbosa. 
 Primeira aproximação (Lewis 1929)
Transformação Conforme 2
ss
s
s
s
s
TB
A
T
BH
=
=
σ
0
Bs /2
Ts
As
seção real seções de Lewis
Johan M. J. Journeé
Engenheiro naval holandês 1941-
Slide 77
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Método dos Painéis (Teoria Potencial 3D)
 É um método numérico para o cálculo do escoamento potencial em torno 
de um corpo, onde o potencial de velocidades é representado por uma 
distribuição de singularidades (fontes-dipolos) sobre a superfície molhada 
do corpo. 
 Originalmente desenvolvido para quando não havia velocidade de avanço, 
posteriormente foi aperfeiçoado distribuindo-se fontes de Rankine sobre a 
superfície do corpo e a superfície livredo fluido. 
 O métodos dos painéis divide a superfície do navio e do fluido ao redor em 
elementos discretos (painéis). Em cada um destes elementos uma 
distribuição de fontes e sumidouros é definida, satisfazendo a equação de 
Laplace. 
Slide 78
William John Macqueorn Rankine
Engenheiro escocês 1820-1872
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Recomendações DNV RP-C205 Sobre os Painéis
 O comprimento da diagonal dos painéis deve ser menor que 1/6 do menor 
comprimento de onda analisado (1/8 segundo Faltisen). 
 Uma malha mais densa deve ser aplicada em áreas com mudanças 
bruscas de geometria (cantos vivos). 
 Quando modelando estruturas finas de paredes com água em ambos os 
lados o tamanho do painel não deve exceder 3 a 4 vezes a espessura da 
parede. 
 Uma malha mais densa deve ser aplicada na região da linha d’água 
quando calculando forças de deriva de ondas. 
 Devem ser realizados testes de convergência através do aumento 
progressivo do número de painéis. 
 No cálculo de elevação da superfície da água e velocidades do fluido uma 
malha mais densa, da ordem de 1/10 do menor comprimento de onda, deve 
ser utilizada. 
Slide 79
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Cuidados Adicionais
 Interação entre vários corpos (por ex., FPSO e 
aliviador lado a lado). 
 Águas rasas ou restritas (aumento da massa adicional 
e efeitos de difração não lineares). 
 Efeitos do moonpool. Dependendo das suas 
dimensões, o RAO de heave pode ser fortemente 
influenciado pelo movimento do fluido dentro do 
moonpool. 
 Sloshing nos tanques. Dependendo dos movimentos 
do corpo na ressonância e da oscilação do fluido nos 
tanques, pressões de amplificação dinâmica nas 
paredes do fluido podem ocorrer. 
Slide 80
Thor I. Fossen
Engenheiro naval norueguês 1963-
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.
Bibliografia Recomendada
 F. M. Lewis. (1929) “The Inertia of Water Surrounding a Vibrating Ship”, 
Transactions, SNAME. 
 Faltinsen, O.M. (1990) “Sea Loads on Ships and Offshore Structures”, Cambridge 
University Press, Cambridge, UK 
 Newman, J.N. (1977) “Marine Hydrodynamics”, MIT Press, Cambridge, MA, USA 
 Sarpkaya, T (1979) “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van 
Nostrand Reinhold Company, New York, USA 
 Jensen, J.J. (2001) “Load and Global Response of Ships”, Elsevier Science Ltd., 
Oxford, UK 
 Chakrabarti, S.K. (2003) “Hydrodynamics of Offshore Structures”, WIT Press, 
Southampton, UK 
 Fossen, T.I. (1994) “Guindance and Control of Ocean Vehicles”, John Wiley & Sons, 
Chichester, England 
Slide 81
© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 82
• Slide 82
?
João Henrique Volpini Mattos
Engenheiro Naval
DNV Software - Maritime & Offshore Solutions
Regional Sales Manager – South America
 joao.volpini@dnv.com
 +55 21 3722 7337
 +55 21 8132 8927
Salvaguardando a vida, a propriedade e o meio ambiente
Dúvidas
www.dnv.com.br