Conjunto e Conjunto numérico

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1. CONJUNTOS
Conjuntos são grupos, coleções ou classes de elementos (objetos ou “coisas”).
Exemplos:
a) A = {a, e, i, o, u} ou A = {x/x é vogal do no alfabeto}
b) P = {0, 2, 4, 6, ...} ou P = {x/ x é um número par}
Um conjunto será sempre indicados por letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Pertinência
Observe os conjuntos acima. Temos que:
e A mas e P
4 P mas 5 P
 é usado para representar um elemento pertencente ao conjunto;
 é usado para representar um elemento não pertencente ao conjunto.
1.1. SUBCONJUNTOS
Dizemos que um conjunto B é subconjunto de um conjunto A (B A) se, e somente se, todos os elementos de B pertencerem a A.
Assim, se um conjunto B não for subconjunto de A, indicamos por B A (B não está contido no conjunto A).
Podemos encontrar ainda as seguintes notações:
A B (A contém B)
A B (A não contém B)
1.2. OPERACÕES COM CONJUNTOS
1.2.1. UNIÃO ()
Dados os conjuntos A e B , dizemos que o conjunto união A B = { x/ x A ou x B}.
Exemplo:
{0, 1, 2} { 2, 4, 6 } = { 0, 1, 2, 4, 6}
I. Propriedades imediatas:
1st. A A =A
2nd. A = A
3rd. A B = B A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
4th. A U = U , onde U é o conjunto universo.
1.2.2. INTERSEÇÃO ()
Dados os conjuntos A e B , dizemos que o conjunto interseção A B = {x/ x A e x B}.
Exemplo:
{0, 1, 2} { 2, 4, 6 } ={2}.
I. Propriedades imediatas:
1st. A A = A 
2nd. A = 
3rd. A B = B A ( a interseção é uma operação comutativa)
4th. A U = A onde U é o conjunto universo.
II. São importantes também as seguintes propriedades
1st. P1. A ( B C) = (A B) (A C) (propriedade distributiva)
2nd. P2. A ( B C) = (A B) (A C) (propriedade distributiva)
3rd. P3. A (A B) = A (lei da absorção)
4th. P4. A (A B) = A (lei da absorção) 
Obs: Se A B = , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
1.2.3. DIFERENÇA (-)
Dados os conjuntos A e B , dizemos que o conjunto diferença A - B = {x/ x A e x B}.
Exemplos:
a) { 0, 1, 3} - {0, 2, 4} = {0}.
b) {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 3} = {4,5}.
I. Propriedades imediatas:
1st. A - = A
2nd. - A = 
3rd. A - A = 
4th. A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). 
1.2.4. COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO
É um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Isto é, dados dois conjuntos A e B, sendo B A , a diferença A - B é, o complementar de B em relação a A
Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U (CUB), ou seja , U - B, é indicado pelo símbolo B’. Onde B’ é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B’ = {x/ x B}. É óbvio, então, que:
1st. B B’ = 
2nd. B B’ = U
3rd. ’ = U
4th. U’ = 
I. Partição de um conjunto
Seja A ≠ . Partição de A (part(A)), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1st. part(A);
2nd. a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 
3rd. a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {a, e, i}
P(A) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}, }.
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = {{a}, {e, i}}
Observe que X é uma partição de A ((part(A)) pois:
1st. X
2nd. {a} {e, i} = 
3rd. {a} {e, i} = {a, e, i} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = {{a, i}, {e}}; W = {{i}, {a}, {e}}; S = {{a, e}, {i}} são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: O conjunto Y = {{0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...}} é uma partição do conjunto dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = e {0, 2, 4, 6, 8,...} {1,3,5,7,...} = .
II. Número de elementos da união de dois conjuntos (n(AB))
Sejam A e B dois conjuntos, onde o número de elementos de A é n(A) e o número de elementos de B é n(B), e o número de elementos da interseção A B por n(A B) e o número de elementos da união A B por n(A B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
1.3. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto numérico é qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais.
1.3.1. NÚMEROS NATURAIS
Conjunto dos Números Naturais é representado pela letra . 
O conjunto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }, é um conjunto é infinito ou seja não tem fim.
I. Reta Numérica:
Mas qual seria o resultado das contas abaixo:
Conjuntos
6
9-12=?
8-100=?
Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, então houve necessidade de se criar um novo conjunto, o conjunto dos números inteiros, formados por números positivo , zero e os números negativos.
1.3.2. NÚMEROS INTEIROS
O conjunto = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}, é o conjunto dos números inteiros, observe que este conjunto é formado por números negativos e pelo conjunto do números Naturais. Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.
No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros.
· Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo;
· Temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas;
· Também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas;
· No futebol temos gol contra e gol a favor, o gol contra representa o saldo de gol negativo e o gol a favor representa o saldo de gol positivo.
E se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos.
I. Reta Numérica Inteira
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão crescendo da esquerda para a direita. Vamos comparar alguns números inteiros:
c) 
a) -5 > -10
b) +8 > -1000
c) -1 > -200.000
d) -200 < 0
e) -234 < -1
f) +2>-1
g) -9 < +1 
Lembrete:
1st. Zero é maior que qualquer número negativo.
2nd. Um é o maior número negativo. 
3rd. Zero é menor que qualquer número positivo. 
4th. Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo. 
II. Números opostos ou simétricos
Observe que a distância do -4 até o zero é a mesma do +4 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos. 
Logo: 
-4 é oposto ou simétrico do +4, +15 é oposto ou simétrico do -15, -200 é opostohou simétrico de +200.
III. Adição e Subtração de Números Inteiros
Exemplos:
a) 
Retira os parenteses e conseva os sinais após a adição:
b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17
c) (+ 12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 ou 2
Retira os parenteses e troca o sinal após a subtração:
d) (+ 15) - (+25) = + 15 - 25 = -5
e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6
Lembrete:
Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito (número negativo) 
e crédito (número positivo), +3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, -15 + 10, devo 
15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7.
OBS.: SINAIS IGUAIS: Soma-se e repete o sinal (+15 + 13 = + 28)
	SINAIS DIFERENTES: Subtrai-se e repete o sinal do maior valor absoluto (-15 + 12 = -3)
IV. Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
Exemplos:
Sinais Iguais: Positivo
a) (+4) ∙ (+3) = +12 ou 12
b) (+15) : (+3) = +5 ou 5
Sinais Diferentes: Negativo
c) (+5) ∙ (-9) = -45
d) (+45) : (-9) = -5
V. Potenciação de Números Inteiros
Exemplos:
a) (3)2 = (+3) x (+3) = + 9
b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32
c) (-2)2 = (-2) x (-2) = + 4 que é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4
No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado.
OBS.: Todo número elevado a um expoente par é sempre positivo;
	Se um número está elevado a um expoente negativo, conseva-se o sinal.
VI. Radiciação de Números Inteiros
Exemplos:
a) , pois 6 x 6 = 6² = 36
b) ? Lembre-se que “não existe” raíz quadrada de um número inteiro negativo
c) = - 6
d) = 2, pois 2 x 2 x 2 = 2³ = 8
e) = -2, pois -2 x -2x -2 = (-2)³ = 8
VII. Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros
1. Deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto ∙ ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
 (
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
)Lembre-se:
Exemplos:
a) 
b) 3 ∙ 4 + 3 ∙ 5 =
	12 + 15 =
	 27
c) 28 + 7 + 15 x 3 =
 35 + 45 =
 	80
d) 25 + 25 : 25 - 25 =
25 + 1 - 25 = 
	 1
(Observe que 25 e -25 são opostos, logo podemos “eliminá-los”)
e) 36 + 2∙{ + [ 18 – (5² – 2)∙3]} =
36 + 2∙{ + [ 18 – (25 – 2)∙3]} =
36 + 2∙{ + [ 18 – (22)∙3]} =
36 + 2∙{ + [ 18 – 66]} =
36 + 2∙{ + [ 18 – 66]} =
36 + 2∙{ + [ -48]} =
36 + 2∙{ - 48 } =
36 + 2∙{ - } =
36 - 86 =
 -50
2. 
2.1.1. NÚMEROS RACIONAIS
O conjundo dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração , onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!
I. Reta Numérica Inteira
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
 
d) 
2, 5
e) 
– 12, 4
Observações:
1st. .
2nd. Toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima 
periódica na forma de uma fração.
Exemplo:
0,4444... = 
2.1.2. NÚMEROS IRRACIONAIS
O conjunto dos números irracionais é formado por números que não admitem representação na forma de fração e também, quando escrito na forma de decimal é um número infinito e não periódico.
Exemplos:
a) 2,102030569...
b) = 3,1415926...
c) = 1, 4142135...
2.1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais = é formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracinais.
I. Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado, caso contrário, o intervalo é aberto. Observe:
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto ) pode ser representado na forma de intervalo como = (-; + ).
EXERCÍCIOS
1) Qual é o conjunto dos números pares maiores que 60 e menores que 80?
2) Qual é o conjunto das consoantes da palavra BALA?
3) Quantos elementos possui o conjunto {3, 33, 333, 3333}?
4) Qual é o conjunto formado pelo números pares do número 31657?
5) 
Faça um diagrama que satisfaça as seguintes condições: 2A, 4A, 3AB, AB = {2, 3, 4}.
6) Como é representado um conjunto vazio?
7) Seja o conjunto A = {a, b, c, d, e , f, g}, determine 3 subconjuntos de A, ou seja, 3 conjuntos que estejam contidos em A.
8) Sendo A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine:
a. 
AB
b. 
AC
c. B - C
d. 
ABC
e. A - B
f. 
AC
g. 
h. 
ABC
9) Determine as operações abaixo para A = {-1, 0, 2}, B = {0, 1, 2 , 3} e C = {-1, 0, 1}
a) A B
b) B A
c) (A B) U (A C)
d) C A
e) A U B U C
10) Represente os conjuntos abaixo de duas maneiras diferentes: 
a) A = {x/ x é vogal}
b) B = {x/ x é impar, positivo, menor e igual a 5}
11) Quais das proposições abaixo são verdadeiras:
12) 
a) –10 Z
b) (2-3) Z
c) ¾ Q
d) 1, 57329... Q
e) N Z Q
f) Z I = Ø
13) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
I. choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
II. quando chove de manhã não chove à tarde;
III. houve 5 tardes sem chuva;
IV. houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a) 
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
f) 11 
14) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I. O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II. O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III. A-metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
a) 
b) 48
c) 35
d) 36
e) 47
f) 37
15) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 
11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram 
também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
a) 
b) 29
c) 24 
d) 11
e) 8
f) 5
16) 
17) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
I. século XIX
II. século XX
III. antes de 1860
IV. depois de 1830
V. nenhuma das anteriores
Pode-se garantir que a resposta correta é:
a) 
b) I
c) II
d) III
e) IV
f) V
18) 
19) Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
a) 
b) 5
c) 6
d) 7
e) 9
f) 10
20) 
21) Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas 
presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. 
Quantas não comeram nenhuma ?
a) 
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
f) 0
22) 
23) O número de elementos de A C é 20 e o número de elementos de A B C é 15. 
Então o número de elementos de A (B C) é igual a:
a) 35
b) 15
c) 50
d) 45
e) 20
24) 
25) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto 
A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:
a) 
b) 2 ou 5
c) 3 ou 6
d) 1 ou 5
e) 2 ou 6
f) 4 ou 5
RESULTADO
11)c 12)a 13)a 14)c 15)e 16)a 17)a 18)a 19)a 
Î
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