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Propriedades
Daremos a seguir as principais propriedades que uma relação R sobre E pode verificar. 
a) Reflexiva
Definição: Dizemos que R é reflexiva quando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo. Ou
seja, quando, para todo x∈E , vale xRx .
Se designarmos por ΔE o conjunto de todos os pares (x, x), com x∈E , então R é
reflexiva quando ΔE⊂R .
Exemplos:
1. A relação R={(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)} sobre E = {a, b, c} é reflexiva, pois aRa, bRb e
cRc.
2. A relação R de igualdade sobre o conjunto ℤ dos números xRy se, e somente se, x = y é
reflexiva pois x = x para todo x∈ℤ.
3. A relação R de paralelismo definida sobre o conjunto E das retas do espaço euclidiano xRy se, e
somente se, x // y é reflexiva, pois x // x, para toda reta x.
Contra – exemplo:
Notemos que uma relação R sobre E não é Reflexiva quando existe um elemento x em E tal
que xRx.
Assim, por exemplo, a relação 
R = {(a, a), (a, b), (b, a),(b, b), (b, c)}
Sobre E = {a, b, c} não é reflexiva, pois cRc. 
b) Simétrica
Definição: Dizemos que R é simétrica se vale yRx sempre que vale xRy. Ou seja, se xRy, estão yRx.
Exemplos:
1. A relação R = {(a, a), (a, b), (b, a), (c, c)} é uma relação simétrica sobre E = {a, b, c}.
2. A relação R de perpendicularismo definida sobre o conjunto E das retas do espaço
xRy se, e somente se, x⊥ y 
é simétrica, pois, para duas x e y quaisquer, x⊥ y ⇒ y ⊥x .
3. A relação R sobre o conjunto ℚ dos números racionais, definida por
xRy se, e somente se, x ²=y ²
é simétrica, pois, para dois racionais x e y quaisquer, x ²=y ²⇒ y ²=x ² .
Contra – exemplo: 
Notemos que uma relação R sobre E não é simétrica se existirem x e y em E tais que
xRy e yRx .
Assim, por exemplo a relação
R = { (a,a) ,(a , b),(b,b) ,(c ,c) } sobre E = {a, b, c} não é simétrica, pois aRb e bRa.
c) Transitiva
Definição: Dizemos que R é transitiva se vale xRz sempre que vale xRy e xRz. Ou seja, se xRy e
xRz, então xRz.
Exemplos:
1. A relação R = {(a, b),(b, b),(b, c),(a, c),(c, c)} sobre E = {a, b, c} é transitiva.
2. A relação R de semelhança (~) definida sobre o conjunto E dos triângulos do espaço
xRy se, e somente se, x ~ y
é transitiva, pois, sendo x, y e z triângulos quaisquer, tem-se:
x ~ y e y ~ z ⇒ x ~ z
3. A relação R sobre o conjunto ℕ dos números naturais definida por
xRy se, e somente se, x≤ y
é transitiva, pois, dados três naturais x, y e z, tem-se:
x≤ y e y≤z⇒ x≤z
Contra – exemplo: 
Notemos que uma relação R sobre E não é transitiva se existirem x, y e z em E tais que xRy,
yRz e xRz.
Assim, por exemplo, a relação 
R={(a , a),(a,b),(b, c),(c ,c)} sobre E={ a,b , c}
não é transitiva, pois aRb, bRc e aRc.
Da mesma forma, a relação 
S={(a, b),(b ,a)} sobre E={ a , b ,c } não é transitiva, pois aSb ,bSa e aSa .
d) Anti – simétrica
Definição: Dizemos que R é anti – simétrica se x = y, sempre que xRy e yRx. Ou seja, se xRy e yRx,
então x = y.
É importante destacar a contrapositiva da definição: se x≠ y ,então xRy ou yRx .
Exemplos:
1. A relação R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, a)} sobre E = {a, b, c} é anti – simétrica.
2. A relação R de divisibilidade sobre o conjunto ℕ dos números naturais
xRy se, e somente se, 
x
y
(lê-se x é divisor de y )
é anti – simétrica, pois, dados dois números naturais, x e y se x |y e y|x, então x= y .
3. A relação R sobre o conjunto ℝ dos números reais dada por
xRy se, e somente se, x≤ y
é anti – simétrica, pois, sendo x e y números reais quaisquer, se x≤ y e y≤x , então x = y.
Contra – exemplos: 
Notemos que um relação R sobre E não é anti – simétrica se existirem x e y em E tais que
x≠ y e xRy e yRx .
R={(a , a),(b ,b),(c ,c ),(b ,c),(c, b)} sobre E={ a,b , c} não é anti – simétrica, pois
b≠c ,bRc e cRb .