AD1-A1-2018-1-Gabarito

Prévia do material em texto

Álgebra I
AD1 - Primeira Avaliação a Distância - 2018.1 - Aulas 1 a 5
O Princı́pio de Indução Matemática é um dos principais tópicos da disciplina de Álgebra 1. É
importante que você tenha clareza do seu enunciado e de como aplicá-lo, a questão a seguir tem
como objetivo reforçar o aprendizado desse importante conteúdo.
1a Questão:
(a) (1,5 pontos) Prove por indução matemática que
2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + ... + 2 · n = n2 + n,
qualquer que seja o n maior ou igual a 1.
(b) (1,5 pontos) Prove por indução matemática que
n−1∑
i=1
i (i + 1) = n (n− 1) (n + 1)3 , ∀ inteiros n ≥ 2.
(c) (1,5 pontos) Ache a fórmula fechada para a soma
n∑
i=2
1
(i− 1)i , ∀ inteiros n ≥ 2
e prove o seu resultado por indução matemática.
(d) (1,5 pontos) Prove a seguinte afirmação P (n) usando indução matemática.
P (n) : Qualquer inteiro positivo n ≥ 8 pode ser escrito como a soma de 3’s e 5’s.
Solução:
(a) Primeiramente precisamos verificar que a afirmação é válida para o primeiro n, isto é, para
n = 1. De fato,
2 · 1 = 12 + 1 = 2.
Como hipótese de indução, iremos admitir que a afirmação é válida para n = k, isto é,
2 · 1 + 2 · 2 + ... + 2 · k = k2 + k.
1
A partir disso vamos mostrar que a afirmação é válida para n = k + 1.
2 · 1 + 2 · 2 + ... + 2 · k + 2 · (k + 1) = k2 + k + 2k + 2 =
= (k + 1)2 + (k + 1) ,
que é a expressão correspondente a n = k + 1.
(b) Verifiquemos que a expressão é verdadeira para n = 2. De fato,
2−1∑
i=1
i (i + 1) = 1 · 2 = 2 · (2− 1) · (2 + 1)3 = 2.
Como hipótese de indução, admitimos que a afirmação é verdadeira para n = k, ou seja,
k−1∑
i=1
i (i + 1) = k · (k − 1) · (k + 1)3 .
Mostremos que o resultado vale para n = k + 1.
k∑
i=1
i (i + 1) =
k−1∑
i=1
i (i + 1) + k (k + 1) = k · (k − 1) · (k + 1)3 + k (k + 1) =
= k (k + 1)3 [(k − 1) + 3] =
(k + 1) k (k + 2)
3 .
(c) Nossa suposição é de que
n∑
i=2
1
(i− 1) i = 1−
1
n
, ∀ n ≥ 2.
Vamos provar que tal suposição é verdadeira usando indução matemática sobre n.
Inicialmente devemos verificar que a afirmação é verdadeira para n = 2. De fato,
2∑
i=2
1
(i− 1) i =
1
2 = 1−
1
2 .
Como hipótese de indução, vamos admitir que:
k∑
i=2
1
(i− 1) i = 1−
1
k
.
Provemos, a partir da nossa hipótese de indução, que o resultado vale para n = k + 1.
k+1∑
i=2
1
(i− 1) i =
k∑
i=2
1
(i− 1) i +
1
k (k + 1) =
= 1− 1
k
+ 1
k (k + 1) = 1−
1
k + 1
(
k + 1
k
− 1
k
)
= 1− 1
k + 1 .
2
(d) Para n = 8, temos que 8 = 3 + 5 e assim a afirmação é verdadeira.
Nosso passo indutivo é: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser verdadeira para
n = k + 1, isto é, se vale
P (k) : k = 3a + 5b,
para a ≥ 0 e b ≥ 0. [hipótese de indução]. Então devemos mostrar que
P (k + 1) : k + 1 = 3a′ + 5b′
para a′ ≥ 0 e b′ ≥ 0.
Temos dois casos a considerar parak + 1:
• b 6= 0. Nesse caso é possı́vel substituir um 5 por dois 3′s.
k + 1 = 3a + 5b + 1 + 5− 5 =
= 3a + 5 (b− 1) + 6 =
= 3a + 3 · 2 + 5 (b− 1) =
= 3 · (a + 2) + 5 · (b− 1) = 3a′ + 5b′.
• b = 0. Neste caso, devemos adicionar e subtrais 9 = 3 · 3.
k + 1 = 3a + 1 = 3a + 3 · 3− 3 · 3 + 1 =
= 3 (a− 3) + 3 · 3 + 1 = 3a′ + 5 · 2 =
= 3a′ + 5b′.
Para todo m ∈ N, seja
tm =
m(m + 1)
2
tm chama-se o m−ésimo número triangular. A partir daı́ responda a questão seguinte.
2a Questão: (2,0 pontos) Prove que para todo número natural n vale:
n é um número triângular se, e somente se, 8n + 1 é um quadrado perfeito.
3
Solução: Primeiramente vamos mostrar que se n é um número triangular então 8n + 1 é um
quadrado perfeito. Seja então n tal que n = tm para algum m ∈ N. Então
8n + 1 = 8tm + 1 = 8
[
m (m + 1)
2
]
+ 1 = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2
é um quadrado perfeito.
Provemos agora a afirmação contrária, ou seja, se 8n + 1 é um quadrado perfeito, então n é um
número triangular. Seja então 8n + 1 = k2 um quadrado perfeito. Como k é ı́mpar e k ≥ 3, então
k − 1
2 ∈ N. Se fizermos m =
k − 1
2 então
tm = tk−1
2
=
k − 1
2
(
k − 1
2 + 1
)
2 =
k2 − 1
8 = n,
mostrando que n é um número triangular.
3a Questão: (2,0 pontos) Prove que se a = bq + r, então mdc(a, b) = mdc(b, r).
Note que o Algoritmo de Euclides consiste na aplicação sucessiva do resultado acima, em que q e
r são o quociente e o resto na divisão de a por b.
Solução: Chamemos de Da e Db os conjuntos respectivamente dos divisores de a e b. Veja que
mostrar que mdc (a, b) = mdc (b, r) é equivalente a mostrar que Da ∩ Db = Db ∩ Dr, uma
vez que se esses conjuntos forem iguais seus máximos também serão iguais. Veja agora que, se
d ∈ Da ∩ Db então d | a e d | b, como r = a − bq então d | r. Logo d ∈ Db ∩ Dr. Mostramos
assim que Da ∩ Db ⊂ Db ∩ Dr. De modo análogo, se d ∈ Db ∩ Dr então d | b e d | r, e como
a = bq + r então d | a, donde concluimos que d ∈ Da ∩Db.
4