Guia-do-Vestibulinho4ed

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1 
 
Nessa apostila você vai aprender sobre as matérias mais importantes e que mais caem nos vestibulinhos de 
todo o país, e mais especificamente nas provas da ETEC, FAETEC, COTUCA, Colégio Embraer, SENAI, colégios 
da UNESP, colégios militares, ENCCEJA, provas de bolsa e muito mais. 
Resumi e organizei os principais assuntos que você precisa saber para garantir uma vaga nos melhores colégios 
e cursos técnicos do Brasil. 
Está fácil, está resumido e está divertido para você aprender tudo e mandar bem nas provas para o Ensino 
Médio. 
 
 
Meu nome é Diego William, e minha missão esse ano é fazer você passar em um vestibulinho de Ensino Médio! 
Sou de São José dos Campos/SP, vim de escola pública, nunca tive dinheiro para pagar um colégio particular, 
por isso sempre lutei para passar em um vestibulinho e mudar minha vida. 
Em 2006 passei em 6 vestibulinhos e em 2009, 8 vestibulares de universidades públicas. Posso te garantir que 
seu esforço dará frutos e que as melhores escolas do Brasil estão ao seu alcance. 
Garanto também que estudar em um colégio de qualidade vai mudar 
sua vida. 
Desde 2013 trabalho como professor e mentor para alunos que 
sonham em passar em um vestibulinho... 
Mas em 2018 resolvi fazer diferente: fundei o Guia do Vestibulinho, 
o maior portal de vestibulinhos do Brasil e ajudo alunos a se 
prepararem para as provas de bolsa e vestibulinhos das maiores e 
melhores escolas do país. 
Meu sonho é que todos os alunos talentosos e esforçados realizem 
seu sonho de estudar em colégios de qualidade e mudem de vida 
através da educação. 
 
https://guiadovestibulinho.com.br/
 
 
2 
 
 
Essa apostila contém centenas de páginas divididas por matérias, assuntos, exercícios e gabaritos. Existem 
diversas formas de aproveitar esse material, tudo depende do seu cronograma e das matérias que estiver 
precisando de reforço. 
 
Quanto tempo por dia devo estudar? 
É preciso que você calcule mais ou menos quantos meses você tem até o dia da realização do seu vestibulinho. 
Quanto mais meses, mais tempo para se aprofundar e exercitar mais os conteúdos. E ao contrário, quanto 
menos meses, menos tempo você terá de estudos e por isso deverá “apertar o passo” e estudar muito. 
Nossa sugestão é que reserve pelo menos 2 horas por dia durante a semana e 4h no sábado, deixando o 
domingo como dia de descanso. Estamos considerando aqui que você começou a estudar mais ou menos 4 
meses antes da sua prova. 
 
Por qual matéria começar? 
A nossa sugestão é que você comece a estudar pelo assunto que mais gostar, facilitando assim se acostumar 
com a nova rotina de aprendizado. Após 2 semanas comece a alternar, estudando uma matéria diferente por 
dia. 
 
Como estudar certo? 
Em matemática a ideia é dedicar 20% do seu tempo lendo o texto e 80% resolvendo os exercícios até chegar 
na resposta. Não importa se você levar muito tempo e tiver que tentar várias vezes, o importante é focar nos 
exercícios e chegar na resposta. 
No caso das outras matérias você precisa ler o texto, tentar resolver as questões e naquelas que errar, procurar 
na internet, no Youtube e em outras fontes o conceito que está sendo falado. Esse processo de buscar outras 
fontes e ler é como se aprende português, ciências humanas e ciências naturais. 
(e não vale simplesmente buscar na internet a resposta, você tem que realmente buscar o conceito e entender 
o porquê da resposta ser diferente da sua) 
 
Como saber a dificuldade de uma questão? 
Os exercícios possuem o seguinte código para sua dificuldade: 
• 
Fácil (questões iniciais, apenas para 
compreender os conceitos) 
••• 
Difíceis (questões similares às que caem em 
provas mais avançadas) 
•• 
Normal (questões similares às que mais caem 
nas provas) 
•••• 
Desafio (bem difíceis, envolvem conceitos de 
outras matérias, mas valem a pena tentar) 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
matemática 
simplificação de frações 9 
operações com frações 11 
regra de três simples 15 
conjuntos numéricos 17 
conversões de unidades 21 
equações do primeiro grau 25 
porcentagem 29 
juros simples 33 
sistemas de equações 37 
frações algébricas 39 
equações do segundo grau 43 
geometria plana 45 
retas 47 
noções de ângulos 49 
triângulos 53 
quadriláteros 55 
círculos e circunferências 59 
áreas e perímetros 61 
poliedros 69 
prismas 71 
esferas 73 
volume de sólidos 75 
teorema de pitágoras 79 
teorema de tales 83 
semelhança de triângulos 87 
plano cartesiano 91 
relações trigonométricas 93 
radiciação 97 
racionalização de frações 101 
juros compostos 105 
inequações 107 
equação biquadrada 111 
polinômios 113 
noções de funções 117 
noções de estatística 121 
 
 
 
 
 
 
língua portuguesa 
interpretação de texto 127 
tipos de texto 131 
sinônimos e antônimos 135 
flexão de gênero 137 
flexão de adjetivos 141 
uso de crase 145 
uso de pronomes 149 
verbos 153 
advérbios 157 
preposições 161 
conjunções 165 
concordância nominal 167 
concordância verbal 169 
figuras de linguagem 173 
acentuação e novas regras 177 
sujeito e predicado 181 
termos integrantes da oração 185 
verbos transitivos e intransitivos 191 
 
ciências humanas 
globalização e blocos econômicos 199 
cartografia e coordenadas 207 
fusos horários 213 
biomas brasileiros 217 
evolução da agricultura no Brasil 225 
11 de setembro 229 
industrialização e urbanização 231 
estrutura fundiária 235 
índices de saúde e desenvolvimento humano 237 
subdesenvolvimento 243 
a questão da terra 247 
escravidão no Brasil 251 
direitos trabalhistas 257 
grécia clássica 261 
república romana 265 
feudalismo 269 
revolução francesa 273 
Brasil colônia 277 
Brasil império 281 
Brasil república 285 
segunda guerra mundial 289 
 
 
6 
 
ciências naturais 
desenvolvimento sustentável 297 
relações ecológicas 307 
agricultura orgânica 309 
fatores bióticos e abióticos 313 
petróleo 315 
fontes de energia 319 
lixo e reciclagem 323 
níveis em ecologia 329 
leis de Newton 333 
estados físicos da matéria 337 
peso e densidade 339 
temperatura e calor 343 
propriedades da matéria 345 
pressão atmosférica 349 
fenômenos físicos e químicos 351 
substâncias e misturas 355 
separação de misturas 359 
tratamento de água 363 
elementos químicos 367 
noções de íons 371 
doenças sexualmente transmissíveis 373 
métodos contraceptivos 377 
sistemas do corpo humano 383 
velocidade média 389 
circuitos elétricos 393 
 
redação 
elementos da dissertação 401 
analisando dissertações 407 
propostas de redação 417 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
9 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo.
Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o 
denominador por meio da divisão pelo máximo divisor comum 
aos dois números. 
Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que 
seus termos estão totalmente reduzidos a números que não 
possuem termos divisíveis entre si. 
Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do 
denominador, mas seu valor matemático não é alterado, pois a 
fração, quando tem seus termos reduzidos, torna-se uma fração 
equivalente. 
A fração 
8
16
 possui as seguintesfrações equivalentes: 
𝟖
𝟏𝟔
=
𝟒
𝟖
=
𝟐
𝟒
=
𝟏
𝟐
 
 
Elas são formadas por elementos diferentes, mas todas possuem 
o mesmo valor proporcional. Nesse exemplo, temos que a fração 
1
2
 é a fração irredutível de 
8
16
. 
Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o 
denominador pelo mesmo número. 
Você pode simplificar uma fração por partes. Veja: 
𝟐𝟒
𝟑𝟔
=
𝟐𝟒: 𝟐
𝟑𝟔: 𝟐
=
𝟏𝟐
𝟏𝟖
=
𝟏𝟐: 𝟐
𝟏𝟖: 𝟐
=
𝟔
𝟗
=
𝟔: 𝟑
𝟗: 𝟑
=
𝟐
𝟑
 
 
Você pode também simplificar a fração uma única vez. Para isso, 
você deve identificar o máximo divisor comum aos dois termos. 
Observe: 
𝟐𝟒
𝟑𝟔
=
𝟐
𝟑
 
 
O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é o 12, então, 
simplificamos da seguinte maneira: 
𝟐𝟒: 𝟏𝟐
𝟑𝟔: 𝟏𝟐
=
𝟐
𝟑
 
 
 
 
Observe mais alguns exemplos de simplificação: 
O MDC entre 32 e 40 é 8. 
𝟑𝟐
𝟒𝟎
=
𝟑𝟐: 𝟖
𝟒𝟎: 𝟖
=
𝟒
𝟓
 
 
O MDC entre 63 e 81 é 9. 
𝟔𝟑
𝟖𝟏
=
𝟔𝟑: 𝟗
𝟖𝟏: 𝟗
=
𝟕
𝟗
 
 
O MDC entre 90 e 120 é 30. 
𝟗𝟎
𝟏𝟐𝟎
=
𝟗𝟎: 𝟑𝟎
𝟏𝟐𝟎: 𝟑𝟎
=
𝟑
𝟒
 
 
O MDC entre 36 e 66 é 6. 
𝟑𝟔
𝟔𝟔
=
𝟑𝟔: 𝟔
𝟔𝟔: 𝟔
=
𝟔
𝟏𝟏
 
 
Portanto, para que uma fração se torne irredutível, devemos 
dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum 
ou realizar a simplificação por partes. 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Simplifique as frações 
a) 
2
4
 
b) 
9
45
 
c) 
21
36
 
d) 
16
48
 
e) 
45
80
 
 
 
10 
f) 
6
48
 
g) 
64
56
 
h) 
33
27
 
i) 
34
14
 
j) 
121
55
 
k) 
39
26
 
l) 
18
81
 
m) 
96
48
 
n) 
77
88
 
o) 
49
56
 
p) 
19
133
 
q) 
20
140
 
r) 
99
45
 
s)4 
12
48
 
t) 1
19
57
 
u) 7
13
117
 
v) 3
56
72
 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 - 
a) 
1
2
 
b) 
1
5
 
c) 
7
12
 
d) 
1
3
 
e) 
9
16
 
f) 
1
8
 
g) 
8
7
 
h) 
11
9
 
i) 
17
7
 
j) 
11
5
 
k) 
3
2
 
l) 
2
9
 
m) 2 
n) 
7
8
 
o) 
7
8
 
p) 
1
7
 
q) 
1
7
 
r) 
11
5
 
s) 4
1
4
 
t) 1
1
3
 
u) 7
1
9
 
v) 3
7
9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo.
Números Naturais 
Os números naturais são aqueles que usamos diariamente para 
contar objetos, números. Por exemplo: 1, 2, 55, 325 e assim por 
diante. Com os números naturais e possível realizar diversas 
operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação e 
divisão. Veja: 
24 + 50 = 74 
 
Você iguala as casas das dezenas e faz a conta, adicionando 
números. A ordem dos números na adição não influencia no 
resultado. 
89 – 70 = 19 
 
Na subtração, é preciso retirar de um número para o outro. Pode 
ser que dê negativo também, entretanto, na maioria das vezes é 
preciso verificar se deve“emprestar”do número esquerdo para 
realizar a operação corretamente. A ordem dos números 
influencia o resultado em uma expressão maior. 
5 x 100 = 500 
 
A multiplicação dos números naturais envolve adicionar novos 
números, dobrando, triplicando o valor. Logo, 5 vezes o número 
100 é a mesma coisa que 100 + 100 + 100 + 100 + 100. A ordem 
não influencia o resultado. O número um é um elemento neutro, 
não alterando o resultado. 
𝟑𝟎
𝟐
= 𝟏𝟓 
 
Percebe-se que na divisão é possível descobrir qual o valor 
multiplicado leva ao primeiro número. Veja: 15 x 2 = 30. Essa 
divisão é exata. Há divisões que sobram o “resto”e há vírgulas, 
com números decimais também. 
 
Números fracionários 
Os números fracionários são aqueles representados por frações. 
No momento de realizar as operações, é preciso rever algumas 
dicas práticas. 
 
 
Adição e Subtração 
Se as frações tiverem o mesmo denominador, basta somar os 
numeradores. 
𝟐
𝟓
+
𝟏𝟎
𝟓
=
𝟏𝟐
𝟓
 
 
O mesmo vale para a subtração de denominadores iguais. Porém, 
se tiver o denominador diferente, é necessário descobrir o 
denominador comum. 
Veja: 
𝟐
𝟓
+
𝟓
𝟏𝟎
+
𝟗
𝟐
 
 
Faça o MMC (mínimo múltiplo comum) com os denominadores 
e veja com quantos números é possível chegar a um denominador 
comum. 
2, 5, 10 | 2 
1, 5, 5 | 5 
1, 1, 1 | 1 
2 x 5 = 10 é o denominador comum. 
 
Em seguida divida o denominador comum pelos denominadores 
𝟏𝟎
𝟓
= 𝟐 ; 
𝟏𝟎
𝟏𝟎
= 𝟏 ; 
𝟏𝟎
𝟐
= 𝟓 
 
Agora basta multiplicar o quociente em cada divisão pelo 
numerador e encontrar o resultado (vale também para 
subtração): 
𝟐 ∗ 𝟐
𝟏𝟎
+ 
𝟏 ∗ 𝟓
𝟏𝟎
+ 
𝟓 ∗ 𝟗
𝟏𝟎
=
𝟓𝟒
𝟏𝟎
 𝒐𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟐:
𝟐𝟕
𝟓
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Multiplicação 
Na multiplicação dos números fracionários, basta multiplicar 
denominador com denominador e numerador com numerador. 
Exemplo: 
𝟓
𝟖
∗
𝟗
𝟏𝟓
=
𝟒𝟓
𝟏𝟐𝟎
 
 
Com os números fracionários, você pode reduzi-los até uma 
fração mais simples, se ambos numerador e denominador 
conseguirem ser divididos pelo mesmo número. 
𝟒𝟓: 𝟏𝟓
𝟏𝟐𝟎: 𝟏𝟓
=
𝟑
𝟖
 
 
Divisão 
Na divisão é preciso multiplicar a primeira fração pela inversão da 
outra. Por exemplo: 
𝟖
𝟗
: 
𝟑
𝟐𝟒
=
𝟖 ∗ 𝟐𝟒
𝟗 ∗ 𝟑
=
𝟏𝟗𝟐
𝟐𝟕
 
 
Simplificando: 
𝟏𝟗𝟐: 𝟑
𝟐𝟕: 𝟑
=
𝟔𝟒
𝟗
 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Calcule as somas abaixo, simplificando o resultado sempre que 
possível. 
a) 3/2 + 2/3. 
b) 1/3 + 4/6. 
c) 3/4 + 5/6. 
d) 1/2 + 1/3 + 1/5. 
 
• QUESTÃO 2 
Efetue as subtrações abaixo, simplificando o resultado quando 
possível. 
a) 3/2 – 2/3. 
b) 4/6 – 1/3. 
c) 5/6 – 3/4. 
d) 1/2 – 1/3 – 1/6. 
•• QUESTÃO 3 
Dos moradores de Piraporinha, 1/3 deve votar em João Valente 
para prefeito e 3/5 devem votar em Luís Cardoso. Que fração da 
população não votará em um desses dois candidatos? 
 
•• QUESTÃO 4 
Roberto e Marina juntaram dinheiro para comprar um 
videogame. Roberto pagou por 5/8 do preço e Marina contribuiu 
com R$ 45,00. Quanto custou o videogame? 
 
• QUESTÃO 5 
Efetue os produtos, simplificando as frações quando possível. 
 
a) 
1
3
∗
1
5
 
b) 
1
3
∗
3
5
 
c) 
2
3
∗
1
3
 
d) 
2
9
∗ 2 
e) 
4
3
∗ 3 
f) 
8
6
∗ 5 
g) 
7
5
∗
5
7
 
h) 
4
9
∗
3
7
 
i) 
4
15
∗
3
8
 
j) 
1
5
∗
2
6
∗
3
7
 
 
•• QUESTÃO 6 
Calcule as expressões: 
a) 
1
3
∗ (
3
5
+
1
2
) 
b) 
5
2
∗ (
4
3
−
3
4
) 
c)(
5
4
−
1
2
) ∗ (
1
3
−
2
5
) 
 
 
 
 
 
 
 
13 
• QUESTÃO 7 
Efetue as divisões: 
a) 
1
3
: 2 
b) 
2 5⁄
3
=
2
5
: 3 
c) 
3 4⁄
6
 
d) 
4
1 3⁄
 
e) 
6
3 2⁄
 
f) 
4
5 4⁄
 
g) 
1 4⁄
1 5⁄
 
h) 
2 3⁄
3 2⁄
 
i) 
1
4
3
4
 
j) 
35
3
7
6
 
k) (
1
4
+
1
2
) : (
3
2
+ 3) 
l) 
(
1
2
−
1
6
)
(
1
3
−
1
4
)
 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 – 
a. 13/6 
b. 1 
c. 19/12 
d. 31/30. 
 
2 – 
a. 5/6 
b. 1/3 
c. 1/12 
d. 0. 
 
3 - 1/15. 
4 - R$ 120,00. 
5 – 
a. 1/15 
b. 1/5 
c. 2/9 
d. 4/9 
e. 4 
f.20/3 
g. 1 
h. 4/21 
i. 1/10 
j. 1/35. 
 
6 – 
a. 11/30 
b. 35/24 
c. 11/20 
 
7 – 
a. 1/6 
b. 2/15 
c. 1/8 
d. 12 
e. 4 
f. 16/5 
g. 5/4 
h. 4/9 
i. 1/3 
j. 10 
k. 1/6 
l. 4. 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando o aumento de uma implica o aumento da outra. Ao 
dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada,ao 
triplicarmos uma, a outra também será triplicada. 
Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam 
sempre na mesma razão. 
Veja o exemplo: 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o 
aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, quando 
dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando 
triplicamos uma delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc. 
 
Veja o exemplo: 
 
Razão: 
𝟏𝟐
𝟔
=
𝟐
𝟏
 
𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟎
=
𝟏
𝟐
 
 
Note que 
𝟏𝟐
𝟔
 e 
𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟎
 possuem razões inversas, isto é, 
𝟐
𝟏
 é o inverso 
de 
𝟏
𝟐
. 
 
Regra de três simples 
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três 
valores de um problema e desconhecemos apenas um, 
poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da regra 
de três simples. 
 
Exemplo: 
Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De 
quanta farinha necessito para fazer 18 pães? Vamos chamar o 
valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os 
valores. 
 
 
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de 
farinha de trigo e número de pães são inversa ou diretamente 
proporcionais. 
- Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade 
de pães também duplicará. Se triplicarmos a farinha, os pães 
também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, 
somos levados a concluir que essas duas grandezas são 
diretamente proporcionais; 
- Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de 
acordo com o quadro acima e partir para sua solução; 
- As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são 
diretamente proporcionais. 
 
 
 
16 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de 
– açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 
15 000 kg de cana 
 
• QUESTÃO 2 
Um muro de 12 metros foi construído utilizando 2 160 tijolos. 
Caso queira construir um muro de 30 metros nas mesmas 
condições do anterior, quantos tijolos serão necessários? 
 
• QUESTÃO 3 
Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um mês 
seria de R$ 2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês, 
qual seria o valor dos juros? 
 
• QUESTÃO 4 
Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as 
provas de um vestibular. Considerando a mesma proporção, 
quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas? 
 
• QUESTÃO 5 
Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada 
um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos 
obter? 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 – 1250 litros de álcool 
2 – 5400 tijolos 
3 – R$10,50 
4 – 2 dias 
5 – 135 pães 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem 
características semelhantes. Eles nasceram como resultado das 
necessidades da humanidade em determinado período histórico. 
Veja quais são eles: 
 
Conjunto dos Números Naturais 
O conjunto dos Números Naturais foi o primeiro de que se teve 
notícia. 
Nasceu da simples necessidade de se fazer contagens, por isso, 
seus elementos são apenas os números inteiros e positivos. 
Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os 
seguintes elementos: 
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...} 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto 
dos números naturais. Ele é formado pela união do conjunto dos 
números naturais com os números negativos e o zero. Em outras 
palavras, o conjunto dos números inteiros, representado por Z, 
possui os seguintes elementos: 
Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Conjunto dos Números Racionais 
O conjunto dos números racionais nasceu da necessidade de 
dividir quantidades. Portanto, esse é o conjunto dos números que 
podem ser escritos na forma de fração. Representado por Q, o 
conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos: 
Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N} 
 
A definição acima é lida da seguinte maneira: x pertence aos 
racionais, tal que x é igual a a dividido por b, com a pertencente 
aos inteiros e b pertencente aos naturais. 
Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser 
escrito na forma de fração, então é um número racional. 
Os números que podem ser escritos na forma de fração são: 
1 – Todos os números inteiros; 
2 – Decimais finitos; 
3 – Dízimas periódicas. 
Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito 
de casas decimais. Observe: 
1,1 
2,32 
4,45 
 
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a 
sequência final de suas casas decimais. Observe: 
2,333333... 
4,45454545... 
6,758975897589... 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
A definição de números irracionais depende da definição de 
números racionais. Portanto, pertencem ao conjunto dos 
números irracionais todos os números que não pertencem ao 
conjunto dos racionais. 
Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não 
existe possibilidade de um número pertencer a esses dois 
conjuntos simultaneamente. Dessa maneira, o conjunto dos 
números irracionais é complementar ao conjunto dos números 
racionais dentro do universo dos números reais. 
Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é a 
seguinte: Os números irracionais são aqueles que não podem ser 
escritos na forma de fração. 
São eles: 
1 – Decimais infinitos 
2 – Raízes não exatas 
 
Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas 
decimais e que não são dizimas periódicas. Por exemplo: 
0,12345678910111213... 
π 
√𝟐 
 
 
18 
Conjunto dos Números Reais 
O conjunto dos números reais é formado por todos os números 
citados anteriormente. Sua definição é dada pela união entre o 
conjunto dos números racionais e o conjunto dos números 
irracionais. Representado por R, esse conjunto pode ser escrito 
matematicamente da seguinte maneira: 
𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰 = {𝑸 + 𝑰} 
 
I é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os 
números citados anteriormente são também números reais. 
 
Relação entre conjuntos numéricos 
Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. 
Algumas dessas relações foram evidenciadas no decorrer do 
texto, contudo, todas elas serão expostas a seguir: 
1. O conjunto dos números naturais é subconjunto do 
conjunto dos números inteiros; 
2. O conjunto dos números inteiros é subconjunto do 
conjunto dos números racionais; 
3. O conjunto dos números racionais é subconjunto do 
conjunto dos números reais; 
4. O conjunto dos números irracionais é subconjunto do 
conjunto dos números reais; 
5. O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos 
números racionais não possuem nenhum elemento em 
comum; 
6. O conjunto dos números reais é subconjunto do 
conjunto dos números complexos. 
 
Indiretamente, é possível estabelecer outras relações. É possível 
dizer, por exemplo, que o conjunto dos números naturais é 
subconjunto do conjunto dos números complexos. 
Também é possível fazer a leitura contrária das relações citadas 
anteriormente e das relações indiretas que podem ser 
construídas. Para tanto, basta dizer, por exemplo, que o conjunto 
dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais. 
Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações 
podem ser escritas da seguinte maneira: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Marque cada afirmação como verdadeira ou falsa. 
1– Todo número natural é inteiro? ( ) 
2 – Todo número inteiro é natural? ( ) 
3 – Todo número inteiro é racional? ( ) 
4 – Todo número irracional é racional? ( ) 
5 – Todo número inteiro é real? ( ) 
6 – Todo número é real? ( 
 
•• QUESTÃO 2 
Dados os números: 
𝟎; 𝟏𝟒𝟒; −𝟏𝟒𝟒; 𝟐𝟓; −𝟐𝟓; 𝟐, 𝟒𝟓; 
−𝟐, 𝟒𝟓;
𝟏
𝟒
;
−𝟏
𝟒
; √𝟕; √−𝟕 
 
a) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números 
naturais? 
b) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números 
inteiros? 
c) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números 
racionais? 
d) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números 
irracionais? 
e) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números 
reais? 
f) Quais desses números não pertencem a nenhum dos conjuntos 
acima? 
 
 
19 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 – 
1 – Verdadeira 
2 – Falsa 
3 – Verdadeira 
4 – Falsa 
5 – Verdadeira 
6 – Falsa 
 
2 
a) 144 e 25. 
b) 0; 144; – 144; 25 e – 25. 
c) 
0;144; –144;25; –25; 
2,45; –2,45;1/4;(–1)/4 
d) √7 
e) 
0;144; –144;25; –25; 
2,45; –2,45;1/4;(–1)/4;√7 
 
f) √(–7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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cai nos vestibulinhos: ETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, 
Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e 
Bolsas de Estudo. 
 
As unidades podem ser convertidas, de acordo com a sua 
respectiva grandeza. Nas próximas subseções serão expostos os 
quadros de conversão para as grandezas mais utilizadas. 
 
Convertendo unidades de comprimento 
 
 
No SI, a medida padrão para o comprimento é o metro. Porém, 
como se pode observar na figura, existem outras unidades. Para 
realizar a conversão dessas unidades, segue-se uma regra bem 
simples, que envolve multiplicação ou divisão por dezenas. 
De acordo com a figura, para transformar metros em 
quilômetros, divide-se o valor por mil (103), basicamente, pode-
se afirmar que o número de casas andadas é igual ao número de 
zeros do denominador. De forma semelhante, para transformar 
metros em milímetros, multiplica-se o valor em metros por mil 
(103). 
 
Convertendo unidades de área 
 
 
No SI, a medida padrão para a área é o metro quadrado. Porém, 
como se pode observar na figura, existem outras unidades para 
expressarmos essa grandeza. Para realizar a conversão dessas 
unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve 
multiplicação ou divisão por dezenas. 
De acordo com a figura, para transformar metros quadrado em 
quilômetros quadrados, divide-se o valor por um milhão (106). 
De forma semelhante, para transformar metros quadrados em 
milímetros quadrados, multiplica-se o valor em 6 metros 
quadrados por um milhão (106). 
Convertendo unidade de volume 
No SI, a medida padrão para o volume é o metro cúbico. Porém, 
observa-se na Figura que existem outras unidades para 
expressarmos essa grandeza. Para realizar a conversão dessas 
unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve 
multiplicação ou divisão por dezenas. 
 
 
De acordo com a figura, para transformar metros cúbicos em 
quilômetros cúbicos, divide-se o valor por um bilhão (109). De 
forma semelhante, para transformar metros cúbicos em 
milímetros cúbicos, multiplica-se o valor em metros cúbicos por 
um bilhão (109). 
 
Convertendo unidades de tempo 
No SI, a medida padrão para o tempo é o segundo. Porém, 
observa-se na figura que existem outras unidades para 
expressarmos essa grandeza. Para realizar a conversão dessas 
unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve 
operações de multiplicação ou divisão. 
 
De acordo com a Figura, para transformar segundos em minutos, 
divide-se o valor por sessenta, basicamente, pode-se afirmar que 
um minuto equivale a sessenta segundos. De forma semelhante, 
para transformar horas em minutos, multiplica-se o valor em 
horas por sessenta. Desse modo, tem-se que uma hora equivale 
a sessenta minutos. 
 
 
22 
Convertendo unidades de massa 
No SI, a medida padrão para a massa é o grama. Porém, observa-
se na Figura que existem outras unidades para expressarmos essa 
grandeza. 
Para realizar a conversão dessas unidades, segue-se uma regra 
bem simples, que envolve operações de multiplicação ou divisão 
por dezenas. 
 
 
De acordo com a Figura, para transformar gramas em 
quilogramas, divide-se o valor por mil, basicamente, pode-se 
afirmar que o número de casas andadas equivale ao número de 
zeros após o algarismo um. 
Desse modo tem-se que um quilograma equivale a mil gramas. De 
forma semelhante, para transformar gramas em miligramas, 
multiplica se o valor em gramas por mil. 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Transforme: 
a) 2 km em m 
b) 1,5 m em mm 
c) 5,8 km em cm 
d) 0,4 m em mm 
e) 27 mm em cm p 126 mm em m 
 
• QUESTÃO 2 
Agora converta as unidades de área: 
a) 8,37 dm² em mm² 
b) 3,1416 m² em cm² 
c) 2,14 m² em mm² 
d) 125,8 m² em km² 
e) 12,9 km² em m² 
f) 15,3 m² em mm² 
g) 12 m em km 
 
• QUESTÃO 3 
Depois converta as de volume: 
a) 8,132 km³ em hm³ 
b) 180 hm³ em km³ 
c) 1 m³ em mm³ 
d) 5 cm³ em m³ 
e) 78,5 m³ em km³ 
f) 12 m³ em cm' 
g) 139 mm³ em m³ 
 
• QUESTÃO 4 
Converta em litros: 
a) 3,5 dm³ 
b) 5 m³ 
c) 3400000 mm³ 
d) 28 cm³ 
e) 4,3 km² 
f) 13 dam³ 
 
•• QUESTÃO 5 
Expresse em metros cúbicos o valor da expressão 3540dm³ + 
340.000cm³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 – 
a) 2000m 
b) 1500mm 
c) 580000cm 
d) 400mm 
e) 2,7cm 
f) 0,126m 
g) 0,012km 
2 – 
a) 83700 mm² 
b) 31416 cm² 
c) 2140000 mm² 
d) 0,0001258 km² 
e) 12900000 m2² 
f) 15300000 mm² 
 
3 – 
a) 8132 hm³ 
b) 0,180 km³ 
c) 1 x 109 mm³ 
d) 5 x 10-6 m³ 
e) 78,5 x 10-9 km³ 
f) 12 x 106 cm³ 
g) 139 x 10-9 m³ 
 
4 – 
a) 3,5L 
b) 5000L 
c) 3,4L 
d) 0,028L 
e) 4,3 x 1012 L 
f) 13000000L 
 
5 – 
3,88 m³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
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cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade. 
Ela foi criada para ajudar as pessoas a encontrarem soluções para 
problemas nos quais um número não é conhecido. Sabendo que 
a soma de dois números consecutivos é igual a 11, por exemplo, 
é possível encontrar esses dois números por meio de equações. 
Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o 
significado da definição dada acima. 
 
Expressões algébricas 
Expressões algébricas são um conjunto de operações 
matemáticas básicas aplicadas a números conhecidos e a 
números desconhecidos. Para representar esses números 
desconhecidos, são utilizadas letras. É mais comum utilizar as 
letras x e y, mas isso não significa que elas são as únicas. 
Em alguns casos, são utilizadas letras do alfabeto grego e até 
símbolos diversos. 
 
Observe os exemplos de expressões algébricas abaixo: 
𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒂𝒃 
𝒙 + 𝒚 
𝟒 + 𝟕𝒂 
 
Todas essas expressões possuem letras representando números 
e números sendo somados e multiplicados. 
 
Igualdade 
Toda expressão algébrica que possuir uma igualdade em sua 
composição será chamada de equação. 
Observe alguns exemplos: 
𝒙 + 𝟐 = 𝟕 
𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟒𝒂𝒃 = 𝟕 
𝟏
𝒙
= 𝟑 
 
A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma 
equação. É a igualdade que relaciona uma operação matemática 
aplicada em alguns números com o seu resultado. Portanto, a 
igualdade é peça fundamental ao procurar osresultados de uma 
equação. 
Por exemplo: Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x? 
Ora, sabemos que x é um número que, subtraído por 14, tem 8 
como resultado. 
Observe que é possível pensar em um resultado“de cabeça”ou 
pensar em uma estratégia para resolver essa equação. A 
estratégia pode ser obtida da seguinte maneira: Se x é um 
número que, subtraído de 14, resulta em 8, então, para encontrar 
x, basta somar 14 com 8. 
 
Desse modo, podemos escrever a seguinte linha de raciocínio: 
𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟖 
𝒙 = 𝟖 + 𝟏𝟒 
𝒙 = 𝟐𝟐 
 
Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado. 
 
Grau de uma equação 
O grau de uma equação está relacionado com a quantidade de 
incógnitas que ela possui. Dizemos que uma equação é de grau 1 
quando o maior expoente das suas incógnitas é 1. Uma equação 
possui grau 2 quando o maior expoente das suas incógnitas é 2 e 
assim por diante. 
O grau também pode ser dado pelo produto de incógnitas 
diferentes. Por exemplo: a equação xy + 2 = y é uma equação de 
grau 2 porque possui um produto entre duas incógnitas de 
expoente 1. 
O grau de uma equação determina quantas soluções a equação 
possui. Desse modo, uma equação de grau 1 possui apenas 1 
resultado (um valor possível para a incógnita); uma equação de 
grau 2 possui dois resultados e assim sucessivamente. 
 
Solução de equações 
Uma das estratégias de resolução de uma equação faz uso do 
pensamento acima. Repare que, observando as duas equações (x 
– 14 = 8 e x = 8 + 14), é possível imaginar que o número 14 trocou 
de lado da igualdade com um efeito colateral: trocou o seu sinal 
 
 
26 
de negativo para positivo. Essa é uma das regras para solução de 
equações que estão listadas a seguir: 
Do lado direito da igualdade, só permanecem números que não 
possuem incógnita; do lado esquerdo, apenas números que 
possuem; 
Para trocar números de lado, possuindo ou não incógnita, é 
necessário trocar o sinal deles; 
Feitos os passos 1 e 2, realize os cálculos que forem possíveis. 
Lembre-se de que os números que possuem incógnita podem ser 
somados se a incógnita for a mesma. Para isso, some apenas o 
número que as acompanha. 
Ao final, deve-se isolar a incógnita. Para isso, o número que a 
acompanha deverá ser passado para o lado direito da equação 
dividindo os seus componentes. 
Se for necessário trocar de lado um número que está no 
denominador de uma fração, ele deverá passar para o outro lado 
multiplicando. 
 
Exemplo 
1) Qual o valor de x na equação: 
𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟖 
 
Solução: Seguindo a primeira e segunda regras, obteremos a 
seguinte linha de raciocínio: 
𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟖 
𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 = −𝟖 − 𝟒 
 
Agora, realize a terceira regra para obter: 
𝟐𝒙 = −𝟏𝟐 
 
Por fim, realize a regra 4: 
𝟐𝒙 = −𝟏𝟐 
𝒙 =
−𝟏𝟐
𝟐
 
𝒙 = −𝟔 
 
Portanto, o valor de x é –6. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• Resolva as equações em R 
1) 2x + 6= x + 18 
2) 5x – 3 = 2x + 9 
3) 3(2x-3) + 2(x+ 1) = 3x+ 18 
4) 2x+3(x-5) = 4x+9 
5) 2(x + I) - 3(2x — 5) = 6x — 3 
6) 3x - 5 = x - 2 
7) 3x - 5 = 13 
8) 3x + 5 = 2 
9) x - (2x - 1) = 23 
10) 2x - (x - 1) = 5 - (x - 3) 
 
•• QUESTÃO 11 
Considere a equação 2(3x-2) + m(x-1) = m, na incógnita x. 
Obtenha a constante real m de modo que o número -1 seja 
solução dessa equação. 
 
•• QUESTÃO 12 
A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade 
B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 
habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? 
 
•• QUESTÃO 13 
Uma casa com 260m² de área construída possui 3 quartos de 
mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras 
dependências da casa ocupam 140m²? 
 
•• QUESTÃO 14 
Luís e Maria resolveram comprar suas coleções de "compact disc" 
. Descobriram que têm ao todo 104 CDs e que se Maria tivesse 12 
CDs a menos teria o triplo do número de CDs do Luís. Qual é a 
quantidade de CDs que Luís possui? 
 
•• QUESTÃO 15 
Meu irmão é cinco anos mais velho do que eu. O triplo da minha 
idade, somando ao dobro da idade dele, dá 100 anos. Qual a 
minha idade? 
 
 
 
27 
••• QUESTÃO 16 
Eu tenho o dobro da idade de minha filha, se a diferença de 
nossas idades é 23 anos, minha idade é: 
 
••• QUESTÃO 17 
Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por 
exercícios que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. 
Quanto exercício acertou? 
 
••• QUESTÃO 18 
Uma pessoa retira R$70,00 de um banco, recebendo 10 notas, 
algumas de R$10,00 e outras de R$5,00. Calcule quantas notas de 
R$ 5,00 a pessoa recebeu. 
 
••• QUESTÃO 19 
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um 
produto é dada pela equação: Q = 100 —4p. Determinar a 
quantidade de produtos vendidos para p = R$ 15,00. 
 
••• QUESTÃO 20 
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um 
produto é dada pela equação: Q = 120 — 2p. Determinar o preço 
"p" correspondente a 30 unidades de produtos vendidos. 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 - x = 12 
2 - x = 4 
3 - x = 5 
4 - x = 24 
5 - x = 2 
6 - x = 3/2 
7 - x = 6 
8 - x = -1 
9 - x = -22 
10 - x = 7/2 
11 – -10/3 
12 – 25.000 
13 – 40 
14 – 23 CDs 
15 – 18 anos 
16 – 46 anos 
17 – 35 
18 – 6 
19 – 40 
20 – 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois 
é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar 
índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, 
taxas de juros, entre outros. No campo da Estatística, possui 
participação ativa na apresentação de dados comparativos e 
organizacionais. 
Os números percentuais possuem representações na forma de 
fração centesimal (denominador igual a 100) e, quando escritos 
de maneira formal, devem aparecer na presença do símbolo de 
porcentagem (%). 
Também podem ser escritos na forma de número decimal. 
Observe os números a seguir, que serão demonstrados por meio 
das três formas possíveis: 
 
 
A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à 
porcentagem é com a utilização de exemplos que envolvem 
situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir: 
 
Exemplos de aplicação da Porcentagem 
1) Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações 
mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja 
adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor 
a prazo. Qual é o preço da mercadoria na compra à vista? 
Solução: 
Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal 
correspondente: 
𝟏𝟐% =
𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟐 
 
Razão centesimal 
𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟎
∗ 𝟗𝟎𝟎 =
𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟎𝟖 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟕𝟗𝟐 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
Número decimal 
𝟎, 𝟏𝟐 ∗ 𝟗𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟖 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟕𝟗𝟐 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
A utilização de qualquer procedimento fica a critério próprio, pois 
os dois métodos chegam ao resultado de forma satisfatória e 
exata. No caso do exemplo 1, o desconto no pagamento à vista é 
de R$ 108,00, portanto, o preço é de R$ 792,00. 
 
2) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito 
do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é 
obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica 
Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse 
dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de 
demissão sem justa causa. 
Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador 
sabendo que o salário bruto do funcionário era R$ 1.200,00. 
Solução: 
𝟖% =
𝟖
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟖 
 
 
 
30 
Razão centesimal 
𝟖
𝟏𝟎𝟎
∗𝟏𝟐𝟎𝟎 =
𝟗𝟔𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟗𝟔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
Número decimal 
𝟎, 𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟗𝟔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
O depósito efetuado foi de R$ 96,00. 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Responda aos itens abaixo. Quanto vale 
a) 1% de 100 
b) 50% de 200 
c) 10% de 1000 
d) 25% de 4 
e) 30% de 150 
f) 5% de 50 
g) 2% de 80 
h) 45% de 175 
i) 33% de 75 
j) 90% de 1800 
k) 70% de 1735 
I) 0,5% de 200 
m) 2,5% de 45 
n) 7,2% de 2 
o) 13,4% de 1 
p) 20% de 20% 
q) 2% de 10% 
r) 10% de 75% 
 
 
 
• QUESTÃO 2 
Suponha que o salário de certa pessoa seja de R$1000,00. Qual o 
valor do novo salário dela se: 
a) Ela tiver um aumento de 100% 
b) Tiver um aumento de 25% 
c) Tiver uma redução de 50%? 
 
• QUESTÃO 3 
Suponha agora que a pessoa tenha um salário de R$1250,00. Qual 
o valor do novo salário dela se: 
a) Tiver um aumento de 10,5%. 
b) Tiver redução de 12,8%. 
c) Tiver um aumento de 10%, seguido de uma redução de 20%. 
d) Tiver duas reduções seguidas de 10%, seguida de um aumento 
de 20%. 
e) Tiver dois aumentos de 20% seguidos de uma redução de 40%. 
 
•• QUESTÃO 4 
Responda: 
a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 
2540,00? 
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. 
Qual a distância x? 
C) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam 
Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa 
escola? 
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter 
feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo 
aparelho, qual era seu o preço original? 
 
•• QUESTÃO 5 
Responda aos exercícios abaixo: 
a) Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 
5% no valor original dele. Se o vestido custa R$ 60,00, quanto 
Maria pagou? 
b) João comprou uma TV e resolveu pagar à prazo, pois não podia 
pagar à vista. Sabendo que o valor à vista é de R$ 1500,00 e que 
o valor total à prazo é 15% maior que o valor à vista, responda: 
Quanto João vai pagar no total? 
 
 
•• QUESTÃO 6 
 
 
31 
(Cotuca) Em outubro, uma família pagou R$12,00 de energia 
elétrica. Ao saber que haveria um acréscimo de 20% na tarifa a 
ser paga em novembro, a família reduziu de 15% seu consumo. 
Quanto pagará em novembro? 
 
•• QUESTÃO 7 
(Bradesco) Uma pessoa contrata um advogado e este consegue 
receber 90% do valor de uma questão avaliada em R$300.000,00. 
O advogado cobra a título de honorários 15% da quantia recebida. 
Portanto quanto o advogado deve receber? 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1- 
a) 1 
b) 100 
c) 100 
d) 1 
e) 50 
f) 2,5 
g) 1,6 
h) 78,75 
i) 25 
j) 1620 
k) 1214,5 
l) 1 
m) 1,125 
n) 1,144 
o) 0,134 
p) 4% = 0,04 
q) 0,2% = 0,002 
r) 7,5% = 0,075 
 
2- 
a) R$2000,00 
b) R$1250,00 
c) R$500,00 
3- 
a) R$1381,25 
b) R$1090,00 
c) R$1100,00 
d) R$1215,00 
e) R$1080,00 
 
4- 
a) 45% 
b) 1600m 
c) 6 professores 
d) R$120,00 
 
5- 
a) R$57 
b) R51725 
 
6- R$12,24 
7- R$40.500,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação 
financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma 
prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. 
Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros 
compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram 
utilizados nas situações de curto prazo. Hoje não utilizamos a 
capitalização baseada no regime simples, mas, de qualquer 
forma, vamos entender como ele funciona. 
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com 
base no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos 
juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida. 
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações 
envolvendo juros simples é a seguinte: 
J=C*i*t 
 
Onde, 
J = juros 
C = capital 
i = taxa de juros 
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, 
ano...) 
 
M = C + J 
 
Onde, 
M = montante final 
C = capital 
J = juros 
 
Exemplo 1 
Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 
1200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal 
de 2% durante 10 meses? 
Capital: 1200 
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) 
t = 10 meses 
J = C * i * t 
J = 1200 * 0,02 * 10 
J = 240 
 
M = C + j 
M = 1200 + 240 
 
O valor do montante é de R$1440,00. 
 
Exemplo 2 
Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a 
uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2688,00. 
J = C * i * t 
2688 = C * 0,06 * 14 
2688 = C * 0,84 
C = 2688 / 0,84 
C = 3200 
O valor do capital é de R$ 3200,00. 
 
Exemplo 3 
Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende 
R$3000,00 de juros em 45 dias? 
J = 3000 
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 
t = 45 dias = 45/30 = 1,5 
 
J = C * i * t 
3000 = C * 0,015 * 1,5 
3000 = C * 0,0225 
C = 3000 / 0,0225 
 
 
34 
C = 133333,33 
O capital é de R$133333,33. 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao 
mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa 
aplicação. 
 
• QUESTÃO 2 
Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de 
juros de 5% ao mês, gerou um montante de R$ 26.950,00. 
Determine o valor do capital aplicado. 
 
• QUESTÃO 3 
Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de 
investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 meses 
o investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. Qual a 
taxa de juros desse fundo de investimento? 
 
•• QUESTÃO 4 
Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 
5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 
meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o 
novo montante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantia aplicada 
inicialmente? 
 
• QUESTÃO 5 
Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 
3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é 
de 3% ao mês? 
 
•• QUESTÃO 6 
Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa 
de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo 
ano. 
 
• QUESTÃO 7 
Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a 
ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos? 
 
• QUESTÃO 8 
A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 
meses? 
 
•• QUESTÃO 9 
Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses 
e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00. Qual foi esse capital? 
 
•• QUESTÃO 10 
Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve 
o rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente 
a essa aplicação? 
 
•• QUESTÃO 11 
Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao 
ano? 
 
••• QUESTÃO 12 
Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano 
para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital? 
 
•• QUESTÃO 13 
Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa 
de 2% ao mês, durante 2 anos. 
 
•• QUESTÃO 14 
Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a 
que taxa foi empregado esse capital? 
 
••• QUESTÃO 15 
É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 
3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano? 
 
••• QUESTÃO 16 
Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% 
ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00. Qual 
é o valor desse capital? 
 
 
 
 
 
35 
••• QUESTÃO 17Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, 
acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 
586.432,00. 
 
••• QUESTÃO 18 
Duas pessoas têm juntas R$ 261.640,00 e empregam o que tem à 
taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 
de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma? 
 
••• QUESTÃO 19 
O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00; por 
9 meses a mesma taxa, é de R$ 46.256,00. Calcule a taxa comum 
e a aplicação inicial. 
 
GABARITO ................................................................................. 
1 - R$ 1.536,00. 
2 - R$ 12250,00. 
3 - 2%. 
4 - R$ 150,00. 
5 - 1.728,00 
6 - 4.380,00 
7 - 40% aa 
8 - 0,75% am 
9 - 27.000,00 
10 - 30% aa 
11 - 10 anos 
12 - 2 anos 
13 - 7.400,00 
14 - 12,5% aa 
15 - indiferente 
16 - 32.400,00 
17 - 313.600,00 
18 - 174.406,00; 87.234,00 
19 - 2% am; 39.200,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
37 
cai nos vestibulinhos: ETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, 
CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo.
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é 
formado por duas equações, onde cada equação possui duas 
variáveis x e y. Veja o exemplo: 
{
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
 
 
A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y 
que satisfazem as equações do sistema. A solução de um sistema 
pode ser feita através de dois métodos resolutivos: adição e 
substituição. 
 
Método da Adição 
Consiste em somarmos as variáveis semelhantes das duas 
equações no intuito de obter resultado igual à zero. Veja a 
resolução do sistema a seguir: 
{
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕
𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏
 
{
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕
𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏
+
𝟐𝒙 − 𝟎𝒚 = 𝟔
 
 
Identificando o x 
𝟐𝒙 − 𝟎𝒚 = 𝟔 
𝟐𝒙 = 𝟔 
𝒙 =
𝟔
𝟐
 
𝒙 = 𝟑 
 
Substituindo o x e identificando o y 
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 
𝟑 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 
𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 − 𝟑 
𝟐𝒚 = 𝟏𝟒 
𝒚 =
𝟏𝟒
𝟐
 
𝒚 = 𝟕 
 
Método da Substituição 
Consiste em isolar x ou y em qualquer uma das equações do 
sistema, e substituir o valor isolado na outra equação. Observe: 
{
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑𝟒
𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟐
 
 
Isolando o X 
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑𝟒 
𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝒚 
 
Substituindo na 2 equação 
𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟐 
𝟐(𝟑𝟒 − 𝟑𝒚) − 𝒚 = −𝟐 
𝟔𝟖 − 𝟔𝒚 − 𝒚 = −𝟐 
−𝟔𝒚 − 𝒚 = −𝟐 − 𝟔𝟖 
−𝟕𝒚 = −𝟕𝟎 
(−𝟕𝒚 = −𝟕𝟎) ∗ (−𝟏) 
𝟕𝒚 = 𝟕𝟎 
𝒚 =
𝟕𝟎
𝟕
 
𝒚 = 𝟏𝟎 
 
Substituindo o y e identificando o x 
𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝒚 
𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑 ∗ 𝟏𝟎 
𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝟎 
𝒙 = 𝟒 
 
Podemos observar através dos exemplos resolvidos que, de 
acordo com a configuração do sistema, podemos resolvê-lo 
utilizando o método da adição ou o método da substituição. 
A solução de um sistema consiste em um resultado que é 
chamado de par ordenado, o gráfico de uma equação do 1º grau 
é dado por uma reta. Um sistema de duas equações possui duas 
 
 
38 
retas representadas no plano e a intersecção dessas retas é a 
solução geométrica do sistema. 
Concluímos que a solução de um sistema pode ser apresentada 
de duas formas matemáticas, uma algébrica outra geométrica 
(graficamente). 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
•• QUESTÃO 1 
João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo 
dia um amigo perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos 
ele tinha. 
Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma 
do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos 
é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos 
é apenas 1”. 
Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir 
quantos cachorros e quantos gatos João possui? 
 
•• QUESTÃO 2 
Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, 
dentre motos e carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 
rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na 
rua de André? 
 
•• QUESTÃO 3 
Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. 
A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos 
em cada caixa. 
Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a 
mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos 
entregues, no aroma limão, foi: 
a) 110 
b) 120 
c) 130 
d) 140 
e) 150 
 
•• QUESTÃO 4 
Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; 
se empata, marca 1 ponto e se perde não marca nenhum ponto. 
Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado de 16 
jogos e perdido apenas dois jogos. 
Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diferença 
entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos 
que empatou, nessa ordem, é 
a) 8 
b) 4 
c) 0 
d) -4 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 – 3 gatos e 4 cachorros 
2 – 13 motos e 7 carros 
3 – C 
4 – D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
cai nos vestibulinhos: ETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, 
CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Em Matemática, a palavra “algébrico” é reservada para 
expressões e operações numéricas que possuem pelo menos um 
número desconhecido, chamado de incógnita. As expressões 
algébricas que possuem uma incógnita no denominador são 
chamadas de frações algébricas. 
Desse modo, qualquer expressão algébrica que, expressa na 
forma de fração, possua uma letra no denominador é uma fração 
algébrica. Como ela é formada por números (alguns conhecidos, 
outros não), valem as propriedades das operações de números 
reais para elas. 
 
Multiplicação de fração algébrica 
A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da 
multiplicação de frações: multiplique numerador por numerador 
e denominador por denominador. 
De forma prática, multiplique primeiramente os coeficientes, 
coloque o resultado numérico e parta para a multiplicação das 
incógnitas. Elas devem ser multiplicadas por meio das 
propriedades de potência. 
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
∗
𝟖𝒙𝒛
𝟐𝒙𝒌
=
𝟑𝟐𝒙𝟐𝒚𝒛
𝟏𝟔𝒌𝟐𝒙
 
 
Observe que incógnitas diferentes, que aparecem apenas uma 
vez em um fator, não devem ser multiplicadas entre si, mas 
apenas repetidas. 
Observe também que existe uma multiplicação implícita entre 
números e incógnitas nas frações acima, portanto: 4xy = 4*x*y. 
 
Divisão de fração algébrica 
Essa operação é exatamente igual à divisão de frações. Portanto, 
para realizá-la, multiplique a primeira fração algébrica pelo 
inverso da segunda. 
Observe: 
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
:
𝟖𝒙𝒛
𝟐𝒙𝒌
=
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
∗
𝟐𝒙𝒌
𝟖𝒙𝒛
=
𝟖𝒙𝟐𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
 
 
 
 
 
Adição e subtração de fração algébrica 
De agora em diante utilizaremos apenas a palavra “adição” 
para representar as operações de soma e subtração, pois elas são 
realizadas da mesma maneira, levando em conta as regras de 
sinais para números inteiros, que também valem para os números 
reais. 
A adição de frações algébricas é dividida em dois casos e deve ser 
realizada do mesmo modo que a adição de frações numéricas. 
 
1º caso: Quando os denominadores são iguais Se os 
denominadores forem iguais, realize a operação indicada (soma 
ou subtração) apenas com os numeradores e repita o 
denominador no resultado: 
𝟕𝒙𝒚
𝒙
−
𝟒𝒙𝒚
𝒙
=
𝟕𝒙𝒚 − 𝟒𝒙𝒚
𝒙
=
𝟑𝒙𝒚
𝒙
 
 
2º caso: Quando os denominadores são diferentes 
Nesse caso, é necessário igualá-los antes. Para tanto, o 
procedimento é igual ao da soma de frações com denominadores 
diferentes: 
1 – Encontre o MMC dos denominadores. No caso das frações 
algébricas, eles podem ser monômios ou polinômios. Clique aqui 
para aprender a calcular o MMC dessas expressões; 
2 – Reescrever o mínimo múltiplo comum encontrado comodenominador das frações e encontrar os respectivos 
numeradores da seguinte maneira: 
- Dividir o MMC pelo denominador da fração original e multiplicar 
o resultado por seu numerador; 
- Repetir o último procedimento para todas as frações. 
 
Observe o exemplo de adição de frações algébricas com 
denominadores diferentes a seguir 
𝟐𝒙𝟐
𝟑𝒚
−
𝟒𝒙
𝟐𝒚𝟐
 
 
O MMC entre 3y e 2y é 6y², logo: 
⋯
𝟔𝒚𝟐
−
⋯
𝟔𝒚𝟐
 
 
 
40 
Para preencher as lacunas, basta dividir 6y2 pelo denominador da 
primeira fração e multiplicar o resultado pelo seu numerador. Isso 
dará o numerador para a primeira lacuna. 
Para a segunda, repita o procedimento com a segunda fração. 
𝟒𝒙²𝒚
𝟔𝒚𝟐
−
𝟏𝟐𝒙
𝟔𝒚𝟐
 
 
Simplificação de fração algébrica 
A simplificação de fração algébrica é feita pela eliminação de 
fatores iguais no numerador e no denominador. Muitas vezes, 
esses fatores não estão explícitos e precisam de algum cálculo 
para evidenciá-los. Observe o exemplo a seguir: 
𝟖𝒙²𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
 
 
Observe que os fatores x e k aparecem no numerador e no 
denominador. 
Entretanto, x está elevado ao quadrado (isso é o mesmo que x·x) 
e, no denominador, existe apenas um x. Pois bem, é possível 
simplificar apenas um x do numerador e um x do denominador. O 
mesmo ocorre com k, resultando em: 
𝟖𝒙²𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
=
𝟖𝒙𝒚
𝟔𝟒𝒛
 
 
A parte das incógnitas já foi finalizada, entretanto, ainda 
podemos simplificar a fração formada apenas pelos coeficientes 
por 8. O resultado final será: 
𝟖𝒙𝒚
𝟔𝟒𝒛
=
𝒙𝒚
𝟖𝒛
 
 
Sempre que frações algébricas forem operadas (multiplicação, 
divisão, adição, subtração, potenciação e radiciação), será 
necessário simplificá-las, se for possível. 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Simplifique as frações, admitindo que os denominadores sejam 
diferentes de zero. 
a) 12x/15 
b) 12m/6a 
c) 8x/10x² 
d) 4x³/10xy 
e) (4x4a)/6x³ 
f) (6a5)/(7a3x) 
g) 8ay/2xy³ 
h) 4x²y/10xy³ 
i) 8am/(-4am) 
j) (-14x³c)/2x 
k) 64a³n²/4an² 
 
••• QUESTÃO 2 
Simplifique as frações, admitindo que os denominadores sejam 
diferentes de zero. 
 
a) (3a-3b)/12 
b) (2x+4y)/2a 
c) (3x-3)/(4x-4) 
d) (3x-3)/(3x+6) 
e) (5x+10)/5x 
f) (8x-8y)/(10x-10y) 
g) (3a+3b)/(6a+6b) 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 - 
a) 4x/5 
b) 2m/a 
c) 4/5x 
d) 2x/5y 
e) 2x/5 
f) 6a²/7x 
g) 4a/xy² 
h) 2x/5y² 
i) –2 
j) –7x²c 
k) 16 
 
 
 
41 
2 - 
a) (a–b)/4 
b) x+2y 
c) 3/4 
d) (x–1)/(x–2) 
e) (x+2)/x 
f) 4/5 
g) ½ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
43 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo.
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua 
composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de 
igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior 
expoente de uma das incógnitas. 
Veja: 
𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
 
O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação 
é classificada como do 1º grau. 
𝟐𝒙³ + 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
 
Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 
2. Essa equação é classificada como do 2º grau. 
𝒙³ − 𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟒 = 𝟎 
 
Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, 
expoente 3 – torna a equação como do 3º grau. 
 
O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau? 
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. 
Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau 
por meio do método de Bháskara. 
Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir 
suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. 
As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, 
são x = 4 ou x = 6, pois: 
Substituindo x = 4 na equação, temos: 
𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟒² − 𝟏𝟎 ∗ 𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟏𝟔 − 𝟒𝟎 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 
𝟎 = 𝟎 
 
Ou seja, é uma igualdade verdadeira para a raiz 4. 
 
Substituindo x = 6 na equação, temos: 
𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟔² − 𝟏𝟎 ∗ 𝟔 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟑𝟔 − 𝟔𝟎 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 
𝟎 = 𝟎 
 
Ou seja, é uma igualdade verdadeira também para a raiz 6. 
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas 
como podemos determinar os valores que tornam a equação uma 
sentença verdadeira? 
É essa forma de determinar os valores desconhecidos que 
abordaremos a seguir. 
 
Método de Bháskara 
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bháskara os valores 
da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0. 
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + 
bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os 
coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3. 
 
Na fórmula de Bháskara, utilizaremos somente os coeficientes. 
Veja: 
𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 
 
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (Δ) 
∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 
∆= (−𝟐)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟏 ∗ (−𝟑) 
 
 
44 
∆= 𝟒 + 𝟏𝟐 
∆= 𝟏𝟔 
 
2º passo: substituir na fórmula de Bháskara 
𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−𝟐) ± √𝟏𝟔
𝟐 ∗ 𝟏
 
𝒙 =
𝟐 ± 𝟒
𝟐
 
𝒙𝟏 =
𝟐 + 𝟒
𝟐
= 𝟑 
𝒙𝟐 =
𝟐 − 𝟒
𝟐
= −𝟏 
 
Os resultados são x1 = 3 e x2 = –1. 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é 
completa ou não: 
a) 5x² - 3x - 2 = 0 
b) 3x² + 55 = 0 
c) x² - 6x = 0 
d) x² - 10x + 25 = 0 
 
• QUESTÃO 2 
Achar as raízes das equações: 
a) x² - x - 20 = 0 
b) x² - 3x -4 = 0 
c) x² - 8x + 7 = 0 
 
• QUESTÃO 3 
Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação 
x² - 2x - 8 = 0? 
 
 
•• QUESTÃO 4 
O número -3 é a raíz da equação x² - 7x - 2c = 0. Nessas condições, 
determine o valor do coeficiente c: 
 
•• QUESTÃO 5 
Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do 
resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. 
Qual é esse número? 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 - 
 
Resposta a 
a = 5; b = –3; c = –2 Equação completa 
 
Resposta b 
a = 3; b = 0; c = 55 Equação incompleta 
 
Resposta c 
a = 1; b = –6; c = 0 Equação incompleta 
 
Resposta d 
a = 1; b = –10; c = 25 Equação completa 
 
2 – 
a) 5 e -4 
b) 4 e -1 
c) 7 e 1 
 
3 – c=15 
4 – x²-5x-14=0 
 
5 – 7 e -2 
 
 
 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Ponto, reta e plano 
Ponto, reta, plano e espaço são as noções primitivas da 
Geometria. Esses objetos não possuem definição, mas precisam 
existir para dar base para as definições geométricas. Embora não 
seja possível definir esses objetos, é possível discutir suas 
características, propriedades e suas utilidades para a Geometria. 
 
Ponto 
O ponto não possui forma nem dimensão. Isso significa que o 
ponto é um objeto adimensional. Um dos usos mais importantes 
do ponto refere-se à localização geográfica. Os pontos são os 
objetos que melhor representam as localizações porque 
oferecem precisão. Se, no lugar de ponto, usássemos um 
quadrado, em que lugar do quadrado estaria a localização 
precisamente? 
 
Reta 
As retas são conjuntos de pontos que não fazem curvas. Elas são 
infinitas para as duas direções. Como esses pontos não estão no 
mesmo lugar, é possível medir a distância entre eles. Entretanto, 
como os pontos continuam não tendo dimensão ou forma, não é 
possível medir sua largura. Sendo assim, dizemos quea reta 
possui apenas uma dimensão ou que é unidimensional. 
 
A figura a seguir mostra a tentativa de desenhar um quadrado 
sobre uma reta. Note que a maior parte do quadrado“não cabe
”na reta. Por essa razão, é necessário definir um novo local onde 
ele possa ser desenhado. 
 
 
 
Plano 
O plano é um conjunto de retas alinhadas e, portanto, também é 
um conjunto de pontos. O objeto formado por esse alinhamento 
de retas é uma superfície plana que não faz curva e infinita para 
todas as direções. 
 
 
 
Em um plano, é possível desenhar figuras que, além de 
comprimento, possuem largura. 
 
A figura abaixo mostra um cubo sobre um plano. Note que a base 
do cubo, que é um quadrado e possui duas dimensões, encaixa-
se perfeitamente no plano. Todavia, a profundidade desse sólido 
não é contemplada. 
 
 
 
 
 
 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Na Geometria, as retas são definidas apenas como conjuntos de 
pontos. Sabemos, além disso, que as retas são linhas que não 
fazem curvas e que são ilimitadas e infinitas. Desse modo, as retas 
possuem infinitos pontos e nenhum espaço entre eles. 
As retas são objetos que possuem uma dimensão apenas, assim, 
só é possível tomar uma medida em qualquer objeto que esteja 
definido dentro de uma reta: o comprimento. 
As retas normalmente são representadas por uma linha finita 
que, às vezes, possui setas em suas pontas para indicar a sua 
direção. 
 
 
Semirretas 
As semirretas podem ser encontradas “dentro” de uma reta. 
Elas possuem um ponto inicial, mas não possuem ponto final. 
É como se, em algum ponto de sua extensão, a reta sofresse um 
corte. A notação usada para as semirretas é a SAB, em que A é o 
ponto inicial e B é a direção para onde a semirreta segue. 
 
 
É evidente que as semirretas também são unidimensionais e 
possuem infinitos pontos. 
 
Segmento de reta 
Um segmento de reta é a parte de uma reta que pode ser medida. 
Isso significa que, embora possua infinitos pontos, não é 
ilimitado. Assim, um segmento de reta é uma parte da reta que 
possui ponto inicial e ponto final. 
Supondo que esses pontos sejam A e B, o segmento de reta será 
representado geometricamente da seguinte maneira: 
 
 
Esses pontos são chamados de extremidades do segmento de 
reta, que é denotado apenas por AB. 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS 
 
Retas concorrentes 
Dizemos que duas retas são concorrentes quando elas possuem 
apenas um ponto em comum. Isso significa que existe um ângulo 
entre essas duas retas justamente no ponto de encontro entre 
elas. Quando esse ângulo é de 90°, essas retas também são 
chamadas de perpendiculares. 
 
 
Retas paralelas 
Duas ou mais retas são ditas paralelas quando não existe ponto 
de encontro entre elas. Assim, elas não formam ângulo nem se 
encontram em qualquer parte de sua extensão infinita. 
 
 
48 
 
Figura 1 - Retas paralelas nunca se cruzam 
 
Retas coincidentes 
São retas que possuem pelo menos dois pontos em comum. 
Como reta alguma faz curva, se duas retas possuem dois pontos 
em comum, elas possuem todos os pontos em comum. O 
resultado disso é visto geometricamente como uma reta só. 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
A respeito das dimensões necessárias para existência de uma 
reta, assinale a alternativa correta: 
a) As retas são figuras adimensionais, ou seja, sua dimensão é 
zero. Isso acontece porque as retas são conjuntos de pontos, e os 
pontos são figuras que não possuem dimensão. 
b) As retas são figuras unidimensionais, ou seja, existem em uma 
única dimensão. 
c) As retas são as únicas figuras unidimensionais que existem. 
d) As retas são bidimensionais. Assim, é possível medir tanto o 
comprimento quanto a largura de figuras sobre uma reta. 
e) As retas são figuras tridimensionais, por isso, é possível 
encontrar retas no espaço tridimensional. 
 
• QUESTÃO 2 
A respeito das figuras geométricas unidimensionais, assinale a 
alternativa correta: 
a) As retas são definidas como um conjunto de pontos colocados 
lado a lado, de modo que não haja espaços entre os pontos, e a 
linha formada por eles não faça curva. 
b) Um segmento de reta é uma parte da reta que possui início, 
mas não possui fim. 
c) As retas podem ser compreendidas como um conjunto de 
pontos ncolocados lado a lado, de modo que não haja espaços 
entre os pontos, e a linha formada por eles não faça curva. 
d) Uma semirreta é uma parte da reta que possui início e fim. 
e) Só é possível calcular distâncias sobre semirretas. 
 
• QUESTÃO 3 
Sobre as classificações possíveis entre retas, também conhecidas 
como posições relativas entre duas retas, assinale a alternativa 
correta: 
a) Retas perpendiculares são as concorrentes que formam pelo 
menos um ângulo reto. Quando isso acontece, todos os ângulos 
no encontro também são de 90°. 
b) Retas concorrentes são as que possuem dois pontos de 
encontro. Quando isso acontece, podemos dizer que essas retas 
possuem todos os pontos comuns e, por isso, são concorrentes. 
c) Retas perpendiculares são aquelas que possuem apenas um 
ponto de encontro. 
d) Retas paralelas só se encontram nas proximidades do infinito. 
e) Retas concorrentes encontram-se em apenas um ponto, 
formando um ângulo qualquer, exceto o ângulo reto. Para os 
casos em que esse ângulo é formado, as retas recebem o nome 
de perpendiculares. 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 B 
2 C 
3 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas 
semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de 
lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo. 
 
 
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema 
internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º
, e seus submúltiplos são o minuto (') e o segundo (''). 
Temos que 1º (grau) equivale a 60' (minutos) e 1' equivale a 60'' 
(segundos). 
 
O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de 
transferidor, podendo ele ser de "meia volta" (180º) ou volta 
inteira (360º). 
 
 
Classificação de ângulos 
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: 
 Agudo: ângulo com medida menor que 90º. 
 Reto: ângulo com medida igual a 90º. 
 Obtuso: ângulo com medida maior que 90º. 
 Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º. 
 
 
Bissetriz de um ângulo 
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se 
origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois 
ângulos com medidas iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
Retas paralelas cortadas por uma transversal 
 
Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g - Congruentes 
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g - Suplementares 
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f - Suplementares 
Ângulos alternos externos: a e g, b e h - Congruentes 
Ângulos alternos internos: d e f, c e e - Congruentes 
 
EXERCÍCIOS ................................................................................ 
 
• QUESTÃO 1 
Um arquiteto, em um de seus projetos, fez algumas medições e 
dentre elas mediu dois ângulos complementares. Um desses 
ângulos mediu 65° e o outro, 
(A) 115° 
(B) 90° 
(C) 180° 
(D) 25° 
(E) 60° 
 
•• QUESTÃO 2 
Dois quadrados foram construídos sobre os lados de um losango 
e um triângulo foi construído a partir dos lados desses quadrados, 
conforme mostra a figura. 
 
 
A medida do ângulo α é 
a)50° 
b) 55° 
c) 60° 
d) 65° 
e) 70° 
 
•• QUESTÃO 3 
A figura mostra um canteiro retangular dividido em quatro partes 
onde a, b e c são as medidas dos ângulos assinalados. 
 
 
Os valores de a, b e c, são, respectivamente, 
a) 80°, 90° e 100°. 
b) 80°, 90° e 110°. 
c) 90°, 80° e 100°. 
d) 90°, 100° e 80°. 
e) 110°, 90° e 80°. 
 
 
 
51 
•• QUESTÃO 4 
Analise a figura abaixo, classifique o ângulo indicado e assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
a) Ângulo obtuso. 
b) Ângulo agudo 
c) Ângulo reto. 
d) Nenhuma das alternativas. 
 
•• QUESTÃO 5 
Considere que a figura abaixo representa um relógio analógico 
cujos ponteiros das horas (menor) e dos minutos (maior) indicam 
3 h e 40 min. 
 
 
 
Nestas condições, a medida do menor ângulo, em graus, formado 
pelos ponteiros deste relógio, é: 
a) 120° 
b) 126° 
c) 130° 
d) 132° 
 
 
 
 
••• QUESTÃO 6 
Dois ângulos suplementares medem respectivamente 3x − 40° e 
2x + 60°. O menor desses ângulos mede: 
a) 108° 
b) 132° 
c) 124° 
d) 56° 
 
GABARITO ................................................................................. 
 
1 D 
2 E 
3 A 
4 A 
5 C 
6 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se 
encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, 
formando três lados e três ângulos. 
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a 
soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos 
é sempre 180º. 
 
Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus 
elementos: 
- A, B e C são os vértices. 
- Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos 
vértices (pontos de encontros): AB, BC AC segmentos de retas. 
 
Tipos de triângulos 
O triângulo pode ser classificado segundo a medida de seus lados. 
Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes. 
Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses 
lados iguais. 
 
 
Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos 
que seus ângulos serão de 60º. 
 
 
Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Quadriláteros são figuras geométricas planas, poligonais e 
formadas por quatro lados. Em outras palavras, essa definição 
implica as seguintes características: 
Quadriláteros são figuras definidas em um plano, por isso, não 
existem pontos dessa figura fora do plano (no que chamamos de 
espaço); 
São formados por segmentos de reta que se encontram em suas 
extremidades, por isso, são figuras fechadas; 
Possuem três classificações básicas: 
 Outros: Não possuem lados paralelos; 
 Trapézios: Possuem um par de lados paralelos; 
 Paralelogramos: Possuem dois pares de lados paralelos. 
 
O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é perceptível 
quando se observa seus lados opostos. Lados que possuem ponto 
em comum não podem ser paralelos justamente por possuírem 
ponto em comum. 
 
 
Paralelogramos 
Para ser paralelogramo, é necessário que o polígono seja um 
quadrilátero e que seus lados opostos sejam paralelos. Essa 
definição implica uma série de resultados, chamados aqui de 
propriedades. Elas são válidas para todo paralelogramo e serão 
discutidas a seguir: 
1 – ângulos opostos são congruentes; 
2 – ângulos não opostos são suplementares; 
3 – Lados opostos são congruentes; 
4 – As diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto 
médio. 
 
 
OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui lados 
opostos paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo. 
 
Retângulos 
Os retângulos são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um 
resultado direto disso é que seus lados opostos são paralelos. 
Para ver isso, basta considerar qualquer um de seus lados como 
uma reta transversal e observar que ela corta outros dois lados 
formando o mesmo ângulo: 90°. 
 
Todo retângulo, portanto, é também um paralelogramo. 
Entretanto, nem todo paralelogramo é um retângulo. Assim, para 
o retângulo, valem as quatro propriedades dos paralelogramos 
citadas acima, além da seguinte: 
 
Todo retângulo possui diagonais congruentes 
O resultado mais direto dessa propriedade é o seguinte: Se um 
paralelogramo possui diagonais congruentes, então ele é um 
retângulo. 
 
 
 
 
 
56 
Losangos 
Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados 
congruentes. 
Desse modo, todo losango é um paralelogramo, mas nem todo 
paralelogramo é um losango. 
 
Esse quadrilátero possui as mesmas propriedades dos 
paralelogramos, além da seguinte: As diagonais de um losango 
formam um ângulo reto. 
Assim, se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, 
então ele é um losango. 
 
Quadrado 
Um quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados 
iguais e, além disso, possui ângulos retos. Dessa maneira, um 
quadrado é, ao mesmo tempo, um losango e um retângulo. 
Entretanto, nem todo losango é quadrado e nem todo retângulo 
é quadrado. 
 
 
 
 
A propriedade específica do quadrado é a seguinte: 
As diagonais de um quadrado formam ângulos retos e são 
congruentes. 
Assim, se um paralelogramo possui diagonais que formam um 
ângulo reto e que são congruentes, então esse paralelogramo é 
um quadrado. 
Observe que o critério acima é exatamente uma junção dos 
discutidos para o losango e para o retângulo. 
 
Trapézios 
São os quadriláteros que possuem apenas um par de lados 
opostos paralelos. 
Esses lados são chamados de bases do trapézio. Os trapézios não 
são paralelogramos, por isso, as propriedades dos 
paralelogramos não são válidas para os trapézios. 
Existem três classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os 
trapézios retângulos e os trapézios isósceles. 
 
Trapézios retângulos 
São trapézios que possuem dois ângulos internos com medida de 
90°. 
 
 
Trapézios isósceles 
São os trapézios em que os lados que não são paralelos possuem 
a mesma medida (são congruentes). 
 
 
É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do corte 
feito em um triângulo isósceles, desde que esse corte descreva 
uma reta paralela à base desse triângulo. Quando isso é feito, o 
resultado é outro triângulo isósceles semelhante ao primeiro e 
um trapézio isósceles. 
 
 
57 
 
As propriedades específicas para o trapézio isósceles são as 
seguintes: 
1 – Os ângulos da base maior do trapézio isósceles são iguais; 
2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes. 
 
Trapézios quaisquer 
São trapézios que não seguem quaisquer regras e não possuem 
semelhança entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Circunferência e Círculo 
É muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. 
Embora utilizamos esses termos como sinônimos, eles 
apresentam diferença. 
Enquanto a circunferência representa a linha curva que limita o 
círculo (ou disco), este é uma figura limitada pela circunferência, 
ou seja, representa sua área interna. 
 
 
Raio e Diâmetro da Circunferência 
Lembre-se que o raio da circunferência é um segmento que liga o 
centro da figura a qualquer ponto localizado em sua extremidade. 
Já o diâmetro