Mat Ensino - Sistemas Lineares 2011-02-01
27 pág.

Mat Ensino - Sistemas Lineares 2011-02-01


DisciplinaÁlgebra Linear I18.685 materiais277.463 seguidores
Pré-visualização10 páginas
2z \u2013 t = \u2013 8 
 
A sequência (2, 1, \u20131, 5) é uma das infinitas soluções, pois: (2) \u2013 3(1) + 2(\u20131) \u2013 (5) = \u2013 8. 
 
 
\uf0b7 Sistema Linear: 
 
É o conjunto de m (m \uf0b3 1) equações lineares: Que também tem sua apresentação na forma matricial: 
 
a11x1 + a12x2 + ..............+ a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + ..............+ a2nxn = b2 
 
 
am1x1 + am2x2 + ............+ amnxn = bm 
 
 
Exemplos: 
a) 
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf03d\uf0d7
\uf02d
\uf0db
\uf02d\uf03d\uf02d
\uf03d\uf02b
2
1
y
x
14
31
2y4x
13yx
 b) 
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf0d7
\uf02d
\uf02d\uf02d
\uf0db
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02d
0
1
z
y
x
512
121
05zy2x
1z2yx 
 
NÃO são 
equações 
lineares: 
 
x3 \u2013 5y = 0 
 
2xy + z = 10 
 
1/x + 
1/y \u2013 3z = 12 
\uf04d
 
\uf04d
 
\uf04d
 
\uf04d
 
\uf04d
 
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d\uf0d7
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
m
2
1
n
2
1
mnm2m1
2n2221
1n1211
\uf04d\uf04d
\uf04c
\uf04d\uf04d\uf04d\uf04d
\uf04c
\uf04c
 
Sistemas Lineares Professor Júlio César Tomio 
 
 
5 
\uf0b7 Solução de um sistema de equações: 
 
A seqüência ordenada ( \uf0611, \uf0612, ... , \uf061n ) será solução do sistema (ou uma das), se for solução de todas as equações 
envolvidas no mesmo. 
 
 
 
\uf0b7 Sistemas Equivalentes: 
 
São sistemas que admitem a mesma solução. Veja abaixo, dois sistemas equivalentes: 
 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02d
5y2x
1yx
 e 
\uf0ef\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d
\uf03d\uf02d
0y
2
x
13y7x Observe que o conjunto solução de ambos é: S = {(2, 1)} 
 
 
\uf0b7 Métodos \u201cBásicos\u201d para resolução de sistemas lineares: 
 
Consideramos métodos básicos de resolução, como sendo os métodos mais usados para sistemas lineares de duas equações. 
São eles: método da substituição, método da adição e método da comparação (este último, não será descrito aqui). 
 
 
 
- Método da substituição: 
 
Consideremos o sistema: 2x \u2013 y = 0 
 x + 3y = 7 
 
Inicialmente, isolamos (convenientemente) uma das incógnitas. Neste caso, escolhemos a incógnita \u2015x\u2016 da equação (II): 
 
 2x \u2013 y = 0 (I) 
 x + 3y = 7 (II) \uf0de x = 7 \u2013 3y (III) 
 
 
Agora, na equação (I), substituiremos (III): 
 
(I) 2x \u2013 y = 0 
 2(7 \u2013 3y) \u2013 y = 0 
 14 \u2013 6y \u2013 y = 0 
 14 \u2013 7y = 0 
 \u2013 7y = \u2013 14 \uf0de y = 2 
 
 
Então, substituímos o valor [y = 2] na equação (III). 
 
(III) x = 7 \u2013 3y 
 x = 7 \u2013 3(2) 
 x = 7 \u2013 6 
 x = 1 
 
Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 2)} 
 
 
 
- Método da adição: 
 
Vamos considerar o mesmo sistema do exemplo anterior, para propor uma comparação entre os métodos. 
 
2x \u2013 y = 0 
x + 3y = 7 
 
Este método consiste em somarmos os termos semelhantes (com mesmas incógnitas) das equações de modo que uma das 
incógnitas desapareça. Para tanto, o sistema deve estar organizado (como é o caso do exemplo em questão) e, em certos 
casos, necessitamos multiplicar uma ou mais equações por valores numéricos (diferentes de zero) para que, após a soma 
dos termos semelhantes aconteça o desaparecimento de uma das incógnitas. 
No sistema em questão, a soma \u2015direta\u2016 dos termos não resulta no desaparecimento de uma das incógnitas. Então 
multiplicaremos uma das equações por um valor numérico adequado, gerando um sistema equivalente. 
 
Sistemas Lineares Professor Júlio César Tomio 
 
 
6 
 
 2x \u2013 y = 0 2x \u2013 y = 0 
 x + 3y = 7 .(\u20132) \u20132x \u2013 6y = \u201314 Escolhemos multiplicar por (\u20132) a 2ª equação para eliminarmos a incógnita \u2015x\u2016. 
 
 
 2x \u2013 y = 0 
 \u20132x \u2013 6y = \u201314 Adicionando as \u2015colunas\u2016 temos: 
 
 \u2013 7y = \u201314 
 y = 2 
 
Agora, basta substituir o valor encontrado [y = 2] em qualquer uma das equações do sistema. 
Então: 
x + 3y = 7 
 x + 3(2) = 7 
 x = 7 \u2013 6 
 x = 1 
 
Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 2)} 
 
 
\uf0b7 Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções: 
 
Sendo que: 
 
SP \uf0ae Admite solução 
SI \uf0ae Não admite solução 
 
SPD \uf0ae Admite solução única 
SPI \uf0ae Admite infinitas soluções 
 
 
 
 
 
 
 
Sem perda de generalidade, usaremos sistemas lineares no R2 para representar os 3 casos. 
 
a) 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02d
73yx
0y2x
 b) 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
126y2x
63yx
 c) 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d
36y2x
13yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SPD \uf0de S = {(1, 2)} SPI \uf0de S = {todos os pontos da reta} SI \uf0de S = { } 
 
Retas concorrentes 
s][r \uf0b4
 Retas (paralelas) coincidentes 
s][r \uf0ba
 Retas paralelas distintas 
s][r //
 
 
Observações: \uf0b7 A idéia é similar para outras dimensões. 
\uf0b7 Note que se organizarmos as equações dos sistemas (a), (b) e (c), exemplificados acima, na forma 
baxy \uf02b\uf03d
 facilmente poderemos classificar os sistemas. 
 
a) 
\uf0ef\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02b\uf02d\uf03d
\uf03d
3
7
3
x
y
2x y b) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02b\uf02d\uf03d
\uf02b\uf02d\uf03d
2
3
x
y
2
3
x
y c) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02b\uf03d
\uf02d\uf03d
2
1
3
x
y
3
1
3
x
y 
 
Caso desejássemos 
eliminar primeiro a 
incógnita \u2015y\u2016, 
multiplicaríamos a 
1ª equação por (3). 
\uf0de 
+ 
Determinado (SPD) Indeterminado (SPI) 
Sistema Linear 
Possível (SP) Impossível (SI) 
x 
y 
P 
1 
2 
x 
y 
x 
y r 
s 
r \uf0ba s 
r 
s 
Sistemas Lineares Professor Júlio César Tomio 
 
 
7 
Para exemplificar de forma mais ampla, vamos considerar um sistema de três variáveis e três equações de forma genérica: 
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
33333
22222
11111
:
:
:
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
\uf070
\uf070
\uf070
 
 
Denominamos 
1\u3c0
, 
2\u3c0
 e 
3\u3c0
 para cada uma das equações do sistema, respectivamente. 
Vale observar que, no R3, cada uma das equações representa um plano. 
 
Assim: 
 
 
\uf0b7 Se o sistema em questão for do tipo SPD, terá solução única que será 
dada por uma tripla ordenada 
),,( zyx
 e que no R3 representará um único 
ponto. Geometricamente temos: 
 
 
Os três planos se interceptam segundo um único ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
\uf0b7 Se o sistema em questão for do tipo SPI, terá infinitas soluções que serão 
definidas por triplas ordenadas 
),,( zyx
 e, que no R3, são os infinitos 
pontos de uma reta comum aos planos. Geometricamente temos: 
 
 
Os três planos se interceptam segundo uma reta. 
 
 
 
 
 
\uf0b7 Se o sistema em questão for do tipo SI, não haverá solução 
),,( zyx
. Isso significa que não existirá uma interseção para 
os três planos no R3. Geometricamente teremos várias situações. Algumas delas são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 01 Figura 02 Figura 03 
 
Figura 01: Os três planos interceptam-se dois a dois. 
Figura 02: Os três planos são paralelos distintos [não se interceptam]. 
Figura 03: Dois dos planos são paralelos distintos [não se interceptam]. 
 
Aplicando um método de resolução de sistemas lineares convenientemente, pode-se identificar cada um dos casos 
mencionados acima [SPD, SPI ou SI]. A escolha do \u2015melhor\u2016 método será um dos objetivos do nosso estudo. 
 
 
Métodos para resolução de sistemas lineares: 
 
Existem vários métodos para resolução de sistemas lineares, tais como: Regra de Cramer, Método do Escalonamento 
(Gauss), Método de Castilho, Método da Matriz Inversa, Eliminação de Gauss-Jordan, entre outros. Destacaremos apenas 
alguns neste momento. A busca por outros métodos de resolução fica a cargo do leitor. 
Sistemas Lineares Professor Júlio César Tomio 
 
 
8 
REGRA DE CRAMER 
 
Seja um sistema linear quadrado (número de equações