Marcos Bongio 8,75

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1. 
 
 
Seja o campo 
vetorial →F(x,y,z)=2yz^x+(x2z−y)^y+x2^zF→(x,y,z)=2yzx^+(x2z−y)y^+x2z^. 
Determine o valor do produto entre o divergente do campo vetorial →FF→ pelo seu 
rotacional para o ponto (1,0,2) 
 
 
 
 ⟨1,2,0⟩⟨1,2,0⟩ 
 ⟨2,−2,1⟩⟨2,−2,1⟩ 
 ⟨1,−2,1⟩⟨1,−2,1⟩ 
 ⟨−1,2,4⟩⟨−1,2,4⟩ 
 ⟨−3,2,1⟩⟨−3,2,1⟩ 
 
 
 
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2. 
 
 
Determine o momento de Inércia em relação ao eixo y de um objeto na forma de um 
quarto da circunferência no plano XZ, de raio 2, com centro na origem, e com x e z 
maiores ou iguais a zero. Sabe-se que a densidade linear de massa do objeto 
vale δ(x,y,z)=zδ(x,y,z)=z 
 
 
 
 
128 
 
8 
 
64 
 
32 
 
16 
 
 
 
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3. 
 
 
Seja a região B desenhada na figura abaixo. Sabe-se 
que: ∮C1xdy=20,∮C2ydx=4,∮C3(ydx−xdy)=−8∮C1xdy=20,∮C2ydx=4,∮C3(ydx−xdy)=−8
. Determine a área de B 
 
 
 
 
 
28 
 
30 
 
20 
 
12 
 
24 
 
 
 
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4. 
 
 
Seja o campo 
vetorial →F(x,y,z)=⟨2x(y+2)ez,x2ez,x2(y+2)ez⟩F→(x,y,z)=⟨2x(y+2)ez,x2ez,x2(y+2)ez⟩. 
Determine a integral de linha deste campo vetorial em relação a 
curva γ(t)=(√ 16t2+9 ,t+1,3√ 27−19t3 )γ(t)=(16t2+9,t+1,27−19t33) desde o ponto inicial 
( 3,1,3) até o ponto final (5,2,2). Sabe-se que este campo é conservativo e apresenta 
uma função potencial dada pelo campo escalar f(x,y,z)=x2(y+2)ezf(x,y,z)=x2(y+2)ez. 
 
 
 
 50e3−37e250e3−37e2 
 10e5−7e210e5−7e2 
 100e3−27e2100e3−27e2 
 27e3−100e227e3−100e2 
 10e2−17e10e2−17e 
 
 
 
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5. 
 
 
Uma Integral de linha é uma integral cuja seja representação se assemelha com uma 
integral unidimencional. 
Das opções a seguir qual representa um integral de linha em campo vetorial. 
 
 
 
 ∫cF⋅dr∫cF⋅dr 
 ∫2π0∫42∫20rdzdrdθ∫02π∫24∫02rdzdrdθ 
 ∫20∫10∫42dxdydz∫02∫01∫24dxdydz 
 ∫20∫π/2πrdrdθ∫02∫ππ/2rdrdθ 
 ∫32∫2xxxdxdy∫23∫x2xxdxdy 
 
 
 
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6. 
 
 
As integrais de linha são semelhantes à integral unidimensional. Mas, em vez de 
integrar sobre um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. Se uma 
curva C é parametrizada por uma função vetorial →r(t),r→(t), entre os valores t 
= a, e t = b, a integral de linha da função f é escrita da seguinte forma: 
∫Cfds=∫baf(→r)|→r′|dt∫Cfds=∫abf(r→)|r′→|dt 
Neste caso, f é uma função escalar, então denominamos esse processo de 
integração de linha em um campo escalar. 
A partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta a integral de 
linha da função f(x,y) = xy, sobre a curva definida pela 
equação →r(t)=<3t²,3t>r→(t)=<3t²,3t> com 0⩽t⩽1.0⩽t⩽1. 
 
 
 
 ∫1027t3√ 4t2+1 dt∫0127t34t2+1dt 
 ∫1027t3√ t+1 dt∫0127t3t+1dt 
 ∫109t2√ t2+1 dt∫019t2t2+1dt 
 ∫1027t2√ t2+1 dt∫0127t2t2+1dt 
 ∫109t3√ 4t2+9 dt∫019t34t2+9dt 
 
 
 
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7. 
 
Na matemática, integral de linha é uma integral em que a função que deverá ser 
integrada é calculada ao longo de uma curva. Esta função poderá ser um campo 
 
escalar ou um campo vetorial. Sendo assim, calcule a integral de 
linha∫CF⋅dr∫CF⋅dr onde C é dada pela função vetorial r(t).r(t). Considere: 
F(x,y)=x2i−xyjF(x,y)=x2i−xyj 
r(t)=t3i+t4j,0≤t≤1r(t)=t3i+t4j,0≤t≤1 
 
 
 
 71437143 
 411411 
 313313 
 −9143−9143 
 91469146 
 
 
 
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8. 
 
 
Na Física, há campos vetoriais, como o gravitacional e o elétrico, em que a 
determinação do trabalho realizado para deslocar uma partícula de um ponto A para 
um ponto B independe do caminho, isto é, depende somente das posições inicial e 
final dessa partícula (BROCHI, 2015). 
Tal conceito define: 
 
 
 
 
Divergente 
 
Rotacional 
 
Campos Não Conservativos 
 
Campos Conservativos 
 
Gradiente