AULA 3 - FÍSICA I

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
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Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
CAPÍTULO 2 – AULA 3 
 
2.4 MOVIMENTO UNIFORME 
 
Movimento uniforme (equação 4) é o deslocamento que ocorre em linha reta 
e com velocidade constante, assim, percorre distâncias iguais em intervalos de tem-
pos iguais. 
vtXX t = 0)( (4) 
 
Onde: 
X0, é a posição inicial, v é a velocidade (constante) e t o tempo. 
 
Exemplo 2.8: 
 
Um objeto, parte da posição 20 metros com a velocidade constante de 5m/s de uma 
pista reta e muito longa. Determine: 
 
a) A equação do movimento 
b) As posições do corpo em t = 0 segundos e em t = 6 segundos 
c) Em que tempo o objeto passa pela posição 40metros 
d) O gráfico posição em função do tempo 
 
Resolução: 
 
a) A equação do movimento 
 
Para determinar a equação do movimento, basta substituir a posição inicial e a velo-
cidade na equação geral. 
 
tX
vtXX
t
t
520)(
0)(
+=
=
 
 
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b) As posições do corpo em t = 0 segundos e em t = 6 segundos 
 
Para determinar as posições, basta substituir o tempo na equação do movimento. 
 
mX
X
vtXX t
20
0.520
)0(
)0(
0)(
=
+=
=
mX
X
vtXX t
503020
6.520
)6(
)6(
0)(
=+=
+=
=
 
 
c) Em que tempo o objeto passa pela posição 40 metros 
 
Para determinar o tempo, basta substituir a posição na equação do movimento. 
 
st
t
vtXX t
4
5
20
5
2040
52040
0)(
==
−
=
+=
=
 
 
d) O gráfico posição em função do tempo 
 
A equação do MU é uma equação do primeiro grau, assim seu gráfico é uma 
reta. Basta dois pares ordenados (posição, tempo) pra a construção do gráfico. Nes-
se caso, pode utilizar os pares encontrados nos itens b e c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Gráfico da função horária posição no 
Movimento Uniforme 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020. 
 
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2.5 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 
 
O Movimento Uniforme Variado, é o tipo de movimento onde a aceleração 
do objeto permanece sempre constante. A função da posição em função do tempo 
para esse tipo de movimento é dada pela equação 5. 
 
2
²
00)(
at
tvXX t +=
 (5) 
 
Onde: X0 é a posição inicial, v0 é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o tempo. 
 
2.5.1 VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
 
Velocidade instantânea ou simplesmente velocidade é a diferenciação da 
posição pelo tempo (derivada da posição em função do tempo). 
Se derivarmos a equação de posição do movimento uniformemente variado, 
encontraremos a equação horária de velocidade desse movimento. Assim temos: 
 
atvv
at
tvX
dt
d
dt
dx
v
at
tvXX
ot
t
t
=






+==
+=
)(
00)(
00)(
2
²
2
²
 
 
atvv ot =)( (6) 
 
2.5.2 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 
 
Aceleração instantânea é a derivada segunda da posição em função do tem-
po. Assim temos: 
 
 
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( )
aa
atv
dt
d
a
at
tvX
dt
d
dt
d
dt
xd
a
at
tvXX
t
ot
t
t
=
=






+==
+=
)(
)(
002
2
)(
00)(
2
²
2
²
 
 
Como podemos observar, O movimento uniformemente variado possui a 
aceleração sempre constante. 
 
2.5.3 ACELERAÇÃO CONSTANTE 
 
Quando um movimento apresenta aceleração constante as equações 5 e 6 
podem ser utilizadas para determinar a posição e a velocidade do objeto se souber-
mos em que tempo o evento ocorreu. Caso o tempo não seja informado podemos 
isolar o tempo na equação de velocidade e substituir na equação de posição resul-
tando na equação 7. 
 
xavv = 2² 0 (7) 
Exemplo 2.9: 
 
Um objeto parte da posição 2,0 metros, com velocidade3m/s e começa a desacele-
rar, com uma desaceleração constante de 4 m/s². Determine: 
a) A equação de posição do objeto 
b) O tempo em que o objeto passa pela posição zero metro 
c) O gráfico do movimento 
d) A equação horária de velocidade 
e) O gráfico da velocidade 
 
Resolução: 
 
a) A equação de posição do objeto 
 
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Para determinar a equação de posição, basta substituir os valores dado no problema 
na equação geral (equação 6). 
 
23²2
2
²4
32
2
²
)(
)(
00)(
++−=
−+=
+=
ttX
t
tX
at
tvXX
t
t
t
 
b) O tempo em que o objeto passa pela posição zero metro 
 
023²2
23²2)(
=++−
++−=
tt
ttX t 
 
Usando Bhaskara para determinar a raiz da equação 
 
servenãost
st
t
t
a
acbb
t
→=
=
−
−
=
−
−
=
−
−−−
=
−−
=
5,0
2
4
53
4
253
)2(2
2)2(4²33
2
4²
2
1
 
O objeto passa pela posição zero em 2 segundos. 
 
c) O gráfico do movimento 
 
Para construir o gráfico do movimento, é necessário determinar o ponto on-
de o movimento muda de sentido (vértice da função). Vamos fazer isso fazendo a 
derivada da função igual a zero. 
 
 
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( )
sst
t
tt
dt
d
X
ttX t
75,0
4
3
034
23²2'
23²2)(
==
=+−
++−=
++−=
 
 
Substituindo esse tempo na equação de posição determinaremos a posição do vérti-
ce. 
 
mX
X
ttX t
125,3
2)75,0(3)²75,0(2
23²2
)75,0(
)75,0(
)(
=
++−=
++−=
 
 
Agora plotamos no plano cartesiano as raízes e o vértice teremos o gráfico do mo-
vimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) A equação horária de velocidade 
A equação de velocidade é a derivada da posição 
 
Figura 5: Gráfico da função horária das posições 
para o MUV. 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020, 
Adaptado. 
 
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( )
tv
tt
dt
d
v
ttX
t
t
t
43
23²2
23²2
)(
)(
)(
−=
++−=
++−=
 
e) O gráfico da velocidade 
Como a função horária da velocidade é uma equação do primeiro grau podemos 
usar somente dois pontos para construir o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.10: 
Um corpo se desloca segundo a equação 832 23)( ++= ttX t , determine: 
a) A equação que determina a velocidade do corpo 
b) A equação que determina a aceleração do corpo 
c) A aceleração docorpo é uniforme? Justifique 
 
Resolução: 
 
a) A equação que determina a velocidade do corpo 
 
( )
ttv
tt
dt
d
v
ttX
t
t
t
66
832
832
2
)(
23
)(
23
)(
+=
++=
++=
 
Figura 6: Gráfico da função horária da velocidade 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020. 
 
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b) A equação que determina a aceleração do corpo 
( )
( )
612
66
832
832
)(
2
)(
23
)(
23
)(
+=
+=
++=
++=
ta
tt
dt
d
a
tt
dt
d
dt
d
a
ttX
t
t
t
t
 
c) A aceleração do corpo é uniforme? Justifique 
 
A aceleração do corpo não é uniforme, pois a aceleração depende do tempo. 
 
2.6 MOVIMENTOS VERTICAIS 
 
As equações apresentadas até aqui, são equações aplicadas para objetos 
que estão se movendo na horizontal, ou seja, ao longo do eixo X. Porém também 
pode ser aplicada a movimento que ocorram na vertical (eixo y), apenas fazendo 
uma mudança na notação. Como não existe movimento uniforme na vertical e a gra-
vidade é uma aceleração constante que atua sobre todos os corpos na superfície do 
planeta podemos reescrever as equações 5,6 e 7, para ser aplicadas em movimen-
tos uniforme variado que ocorram na vertical. 
2
²
00)(
gt
tvYY t +=
 (8) 
gtvv ot =)( (9) 
ygvv = 2² 0 (10) 
 
Exemplo 2.11: 
 
Um projetil de massa 2kg é lançado verticalmente para cima com velocidade de 
80m/s. Calcule: 
a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima. 
b) A altura máxima atingida 
c) A velocidade de retorno à posição inicial. 
 
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d) O tempo que leva para o objeto retornar a posição de lançamento 
 
Resolução: 
 
a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima. 
Vamos tomar que a velocidade ao atingir a altura máxima seja nula e aplicar isso na 
equação 10. 
sst
t
gtvv ot
2,816,8
8,9
80
8,9800
)(
===
−=
−=
 
A altura máxima atingida 
Como já sabemos o tempo necessário para atingir a altura máxima, pode-
mos utilizar a equação 8, para determinar a altura máxima vamos tomar que a posi-
ção inicial de lançamento seja zero. 
 
( )
mY
Y
gt
tvYY t
531,326
2
²2,88,9
)2,8(800
2
²
)2,8(
)2,8(
00)(
=
−+=
+=
 
 
b) A velocidade de retorno à posição inicial. 
 
O projetil retorna ao ponto de lançamento por queda livre. Nesse caso vamos utili-
zar a equação 10 para determinar a velocidade de retorno. Em queda livre a veloci-
dade inicial do projetil é zero. 
 
smv
v
v
ygvv
/80
6400
)531,326)(8,9(2²0
2² 0
=
=
+=
=
 
 
 
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Como pode ser observado, o tempo de que levou para atingir a altura máxi-
ma é igual ao tempo de retorno. 
 
c) O tempo que leva para o projetil retornar à posição de lançamento 
 
O projetil retorna ao ponto de lançamento por queda livre. Vamos agora uti-
lizar a equação 10 para determinar o tempo de retorno do projetil. Para isso vamos 
tomar a velocidade inicial como zero 
 
sst
t
gtvv ot
2,816,8
8,9
80
8,9080
)(
===
+=
=
 
 
O tempo de retorno é igual ao tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima. 
 
 
 Resolva os EXERCÍCIOS PROPOSTOS DO CAPÍTULO 2 que estão em 
ATIVIDADE COMPLEMENTAR.