AULA 4 - FÍSICA I

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 29 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
CAPÍTULO 3 – AULA 4 
 
3.0 VETORES 
 
3.1 CONCEITO 
 
Como vimos no capítulo 1, grandezas como massa, tempo e comprimento, 
são chamadas de escalares. Essas grandezas ficam completamente caracterizadas 
quando nos é informado somente o módulo (quantidade) e a unidade de medida. As 
operações envolvendo escalares obedecem às leis da aritmética e da álgebra elemen-
tar. 
 Grandezas como deslocamento, velocidade, aceleração e força por exemplo, 
são chamadas de grandezas vetoriais. Essas grandezas, diferentemente dos escala-
res, necessitam de informações adicionas para que fiquem totalmente compreendi-
das. As grandezas vetoriais possuem módulo, direção e sentido e obedecem às regras 
especiais da álgebra vetorial. Logo este capítulo será dedicado ao estudo dos vetores. 
Como você já deve ter estudado em geometria analítica, um vetor (figura 7) é 
um seguimento de reta orientado que possui módulo direção e sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• O modulo do vetor está associado ao comprimento do seguimento de reta. 
• A direção e o sentido ficam completamente caracterizado pelo ângulo 𝜃 
formado entre o vetor e o eixo positivo da abcissa. 
 
Figura 7: Representação de vetor 
 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 30 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
Grandezas vetoriais são representadas por um símbolo com uma seta apon-
tando para direita, ou por estarem escrito em negrito. Exemplo: 
• Velocidade V⃗⃗ ⃗ = 𝐕 
• Aceleração a⃗⃗ = 𝐚 
• Força F ⃗⃗ = 𝐅 
 
 
3.2 SOMANDO VETORES GEOMETRICAMENTE 
 
Dois vetores 𝑎 e �⃗� podem ser somados geometricamente desenhando-os 
em uma mesma escala e dispondo-os em sequência, com o destino de um coinci-
dindo com a origem do próximo. 
 
 
O vetor que vai da origem do 
primeiro até o destino do último é a 
soma vetorial dos vetores (𝑠 ). 
 
𝑠 = 𝑎 + �⃗� 
 
 
 
Para efetuar a subtração 
basta inverter o sentido de um dos 
vetores e seguir o mesmo procedi-
mento. 
A soma vetorial é comuta-
tiva e obedece a lei associativa. 
𝑎 + �⃗� = �⃗� + 𝑎 
 
 
 
Figura 8: Soma vetorial 
 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
Figura 9: Propriedade comutativa 
 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 31 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Segundo Halliday & Resnick1, em uma aula de orienteering o seu objetivo é se deslo-
car o máximo possível (distância em linha reta) do acampamento base fazendo três 
movimentos em linha reta. Você pode usar os seguintes deslocamentos em qualquer 
ordem: 
 
a) 𝑎 2,0 km na direção leste; 
b) �⃗� 2,0 km a 30º para o Nordeste a partir de leste; 
c) 𝑐 1,0 km na direção oeste. 
 
Qual a maior distância que você pode estar do acampamento base no final do terceiro 
deslocamento? 
 
Resolução: 
 
Usando uma régua e um transferidor e adotando uma escala conveniente (1 centíme-
tro correspondendo a 1 quilometro), basta desenhar os vetores, seguindo a orientação 
descrita no problema. Você pode testar várias combinações, mas lembre-se, sempre 
ligue o destino de um a origem do outro. Nesse caso a melhor orientação está mos-
trada na figura 11. 
 
 
1 Halliday & Resnick, Fundamentos de Física. Vol. 1, 8ª ed. Rio de Janeiro, RJ – 2008 LTC. 
Figura 10: 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 32 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta configuração você encontrará a distância d = 4,8 cm que corresponde 
a 4,8 Km. 
 
 
3.3 COMPONENTES VETORIAIS 
 
A soma geométrica de vetores, é uma técnica que nos permite executar soma 
vetoriais utilizando instrumentos de medida. Outra forma de obtermos a soma vetorial 
seria por intermédio da álgebra. A álgebra vetorial é mais eficiente e apresenta menos 
erros durante o processo de execução da soma. Para realizar a soma vetorial usando 
álgebra, é necessário conhecer suas componentes vetoriais. As componentes vetori-
ais de um vetor, são projeções do vetor sobre os eixos cartesianos. 
Para determinar as componentes de um vetor, basta plotar esse vetor com 
sua origem coincidindo com a origem do plano cartesiano mantendo sua inclinação. 
Usando trigonometria podemos determinar as componentes vetoriais. A figura12 mos-
tra a configuração de vetor e suas componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11: Representação gráfica do exemplo 1 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
Figura 12: Componentes de um vetor 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 33 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
Na figura 12, o vetor a possui componentes ax e ay. O vetor a é um vetor bi-
dimensional que faz um ângulo Ɵ (teta) com o eixo das abscissas. Assim temos: 
 
𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
O módulo do vetor a pode ser determinado como: 
 
|𝑎 | = √(𝑎 𝑥)2 + (𝑎 𝑦)² 
 
O ângulo Ɵ(teta) pode ser determinado como: 
 
θ = tan−1
𝑎 𝑦
𝑎 𝑥
 
 
Logo o vetor a pode ser escrito como: 
 
𝑎 = 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 
 
 
Exemplo 2 
 
Segundo Halliday & Resnick2, um pequeno avião parte de um aeroporto em um dia 
de céu encoberto sendo depois avisado a uma distância de 215 km, na direção nor-
deste a 22º a partir da direção norte (figura 13). 
 
 
 
 
 
 
 
2 Halliday & Resnick, Fundamentos de Física. Vol. 1, 8ª ed. Rio de Janeiro, RJ – 2008 LTC. 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 34 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A que distância a leste e a norte do aeroporto está o avião quando é avistado? 
 
Resolução: 
 
A distância leste corresponde a componente x do deslocamento e a distância norte 
corresponde a componente y do deslocamento. 
O ângulo formado entre o vetor deslocamento e o eixo das abscissas pode 
ser calculado fazendo: 900 − 220 = 680 
 
Assim a distância leste é: 
 
𝑑 𝑥 = 𝑑.⃗⃗ ⃗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑑 𝑥 = 215𝑘𝑚 . 𝑐𝑜𝑠68
0 
𝑑 𝑥 = 81𝑘𝑚 
 
Figura 13: Representação gráfica do exemplo 2 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 35 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
A distância norte é: 
 
𝑑 𝑦 = 𝑑 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑑 𝑦 = 215𝑘𝑚. 𝑠𝑒𝑛68
0 
𝑑 𝑦 = 199𝑘𝑚 
 
 
3.4 VETORES UNITÁRIOS 
 
Um vetor unitário, possui módulo igual a um e aponta na direção e sentido de 
um vetor. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eixos x, y e z são chamadosde 𝑖̂, 𝑗̂𝑒 �̂�, onde o acento circunflexo é usado no lugar da seta sobre a letra empregada 
em outros vetores. 
Vetores unitários, são úteis para expressar outros vetores, como por exemplo: 
𝑎 = 𝑎𝑖̂ + 𝑎𝑗̂ + 𝑎�̂� 
 
3.4.1 SOMA DE COMPONENTES VETORIAIS 
 
A soma de componentes vetoriais é a forma mais usual de realizar soma ve-
torial. Na soma de componentes, é necessário somar componentes que apontam na 
mesma direção e sentido. 
 
Exemplo 3 
 
Dados os vetores: 
𝑎 = (4,2𝑚)𝑖̂ − (1,5𝑚𝑗̂) 
�⃗� = (−1,6𝑚)𝑖̂ + (2,9𝑚)𝑗 ̂
𝑐 = (−3,7𝑚)𝑗 ̂
 
Determine a soma vetorial 𝑟 = 𝑎 + �⃗� + 𝑐 
𝑟 = (4,2𝑚)𝑖̂ − (1,5𝑚𝑗̂) + (−1,6𝑚)𝑖̂ + (2,9𝑚)𝑗̂ + (−3,7𝑚)𝑗 ̂
𝑟 = (2,6𝑚)𝑖̂ − (2,3𝑚𝑗̂) 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 36 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
3.5 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
 
Existem três modos de realizar multiplicação envolvendo vetores. 
 
3.5.1 MULTIPLICAÇÃO DE VETOR POR UM ESCALAR 
 
Se multiplicarmos um vetor a por um escalar s, obteremos um novo vetor. Seu 
módulo é o produto do modulo do vetor a pelo valor absoluto de s. Sua direção e 
sentido são os mesmos a do vetor a se s for positivo. 
 
 
3.5.2 PRODUTO ESCALAR 
 
O produto escalar dos vetores a e b escrito como 𝑎 ∙ 𝑏 é definida como: 
 𝑎 . �⃗� = 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 
Onde, 𝑎 ∙ 𝑏 é a multiplicação dos módulos dos vetores a e b e Ɵ (teta) é o 
ângulo formado entre os vetores a e b. 
No produto escalar o resultado da operação é um escalar (um número) 
 
Exemplo 4: 
 
Dados os vetores 𝑎 = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ e �⃗� = −2𝑖̂ + 3�̂�, determine o ângulo entre os dois veto-
res. 
 
Resolução: 
 
Primeiro vamos fazer o produto escalar entre a e b. 
𝑎 ∙ 𝑏 = (3𝑖̂ − 4𝑗̂) ∙ (−2𝑖̂ + 3�̂�) 
 
Para realizar o produto escalar basta multiplicar as componentes iguais e somar 
os produtos. 
𝑎 ∙ 𝑏 = (3𝑖̂ − 4𝑗̂) ∙ (−2𝑖̂ + 3�̂�) = −6 + 0 + 0 = −6 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 37 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
Em seguida calculamos o módulo dos vetores a e b. 
 
|𝑎 | = √(𝑎 𝑥)² + (𝑎 𝑦)² 
𝑎 = √(3𝑖̂)² + (−4𝑗̂)² 
= √9 + 16 = √25 
= 5 
𝑏 = √(−2𝑖̂)² + (3�̂�)² 
= √4 + 9 
= √13 
 
Calculando o ângulo entre a e b. 
 
𝑎 ∙ �⃗� = 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 
−6 = 5√13 cos 𝜃 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
−6
5√13
 
 
Usando uma calculadora científica. 
 
𝜃 = cos−1
−6
5√13
= 1090 
 
 
3.5.3 PRODUTO VETORIAL 
 
O produto vetorial de a e b escrito como 𝑎 𝑥 𝑏⃗⃗ , produz um vetor c cujo modulo é dado 
por: 
 
𝑐 = 𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 38 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
Onde, ab é a multiplicação dos módulos dos vetores a e b e Ɵ (teta) é o ângulo 
formado entre os vetores a e b. 
No produto vetorial o resultado é um vetor perpendicular ao plano formado pe-
los vetores a e b. A direção e sentido do vetor 𝑐 = 𝑎 𝑥 𝑏⃗⃗ são dados pela regra da mão 
direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 
 
Dados os vetores 𝑎 = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ e �⃗� = −2𝑖̂ + 3�̂�, determine o produto vetorial 𝑐 = 𝑎 𝑥�⃗� 
 
Resolução: 
 
Para determinar o produto vetorial é necessário calcular o determinante da matriz en-
tre os vetores a e b e as componentes unitárias. 
 
𝑐 = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
3 −4 0
−2 0 3
| = −12𝑖̂ − 9𝑗̂ − 8�̂� 
 
 
 
 
Figura 14: Regra da mão direita 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em 12/06/2020 
Resolva os EXERCÍCIOS PROPOSTOS DO CAPÍTULO 3 que estão em ATI-
VIDADE COMPLEMENTAR.