Princípio da conservação do momento linear

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DEFINIÇÃO
Conceitos qualitativos e quantitativos de dinâmica e impulso, definição de momento linear e sua relação
com a força, conservação do momento linear e suas aplicações, colisões totalmente elásticas,
parcialmente elásticas e colisões plásticas.
PROPÓSITO
Relacionar os conceitos de momento linear e impulso a aplicações práticas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Fonte: Por pluie_r / Shutterstock
Identificar momento linear e impulso
MÓDULO 2
Fonte: Por pluie_r / Shutterstock
Reconhecer o princípio da conservação do momento linear
MÓDULO 3
Fonte: Por pluie_r / Shutterstock
Identificar os tipos de colisões
Fonte: Por pluie_r / Shutterstock
MOMENTO LINEAR
O MOMENTO LINEAR OU QUANTIDADE DE MOVIMENTO É
UMA GRANDEZA VETORIAL REPRESENTADA PELO VETOR
→
P. ESSE VETOR PODE SER UNIDIMENSIONAL,
BIDIMENSIONAL OU TRIDIMENSIONAL.
O momento linear é definido como sendo o produto da massa de um corpo pela velocidade por ele
desenvolvida, como mostra a equação (1):
→
P = �
→
� 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também pode existir uma variação infinitesimal da velocidade, o que faz com que a equação (1) se
torne:
→
P = �∫�
→
� 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A unidade no Sistema Internacional de Medidas (S.I.) para o impulso é o quilograma metros por segundo
kg .m
s
. Note que, na equação (1) e na equação (2), o momento é uma grandeza vetorial, desta forma
ela possui módulo, direção e sentido.
 ATENÇÃO!
O momento tanto se aplica a uma única partícula ou a um único corpo, como a um conjunto de partículas
ou de corpos.
Vamos entender melhor. Se você está vendo um carro se locomover, esse carro possui momento linear.
E para determiná-lo, vamos considerar a velocidade desse carro e a sua massa. Viu? Um exemplo
simples e cotidiano da observação do momento linear.
Agora, vamos exemplificar o momento linear de um conjunto de corpos. Imagine um soldado prestes a
( )
( )
( )
arremessar uma granada. No momento em que a granada sai da mão do soldado, ela é um único corpo.
Todavia, após alguns segundos, essa granada explode e se transforma em diversos fragmentos, que
continuam a trajetória do arremesso.
ENTÃO, ANTES DA EXPLOSÃO, TÍNHAMOS O MOMENTO
LINEAR DE UM CORPO, E APÓS A EXPLOSÃO, PASSAMOS
A TER UM MOMENTO LINEAR REFERENTE AO CONJUNTO
DOS FRAGMENTOS DA GRANADA APÓS A EXPLOSÃO.
A figura a seguir ilustra este exemplo:
Fonte: Por DiPetre, FlashMovie, Vandathai / / Shutterstock
Figura 1: Representação da explosão de uma granada e da trajetória de seus fragmentos.
A representação da figura 1 demonstra que os fragmentos da granada continuam a trajetória original do
lançamento da granada. Desta forma, o momento linear do conjunto após a explosão é igual ao
somatório dos momentos lineares de cada fragmento, como mostra a equação 3, que é a equação do
momento linear para um conjunto de partículas:
→
P = ∑�
→
� 3( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que essa granada de massa M é arremessada com uma velocidade →v.
Desta forma, temos como momento linear 
→
P = �
→
�0
Agora, vamos considerar que 3 segundos depois a granada explode, e se divide em 100 fragmentos de
massas iguais a m, com velocidades coplanares, paralelas e de mesmo módulo.
Assim, o momento linear após a explosão passa a ser:
VELOCIDADES COPLANARES:
Velocidades existentes no mesmo plano cartesiano.
→
P = �
→
� + �
→
� + �
→
�…. .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as massas e as velocidades são iguais, e são 100 fragmentos, podemos escrever:
→
P = 100�
→
�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
No vídeo a seguir, o professor fará uma demonstração do cálculo relacionado ao momento linear do
arremesso da granada:
IMPULSO
Um corpo, ao ser deslocado pela ação de uma força, realiza trabalho, mas não só isso. A sua mudança
de velocidade também faz com que haja um impulso no bloco. E esse impulso é definido como sendo o
produto da força pelo tempo em que ela atua sobre o corpo. Desta forma:
→
� = ∫ t
t0
→
� �� 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao contrário da energia e do trabalho, o impulso é uma grandeza vetorial, e não uma grandeza escalar, e
a sua unidade no (S.I.) é o quilograma-metro por segundo (kgm/s), como na determinação do momento
linear, ou o newton segundo (N.s.).
( )
 IMPORTANTE
O impulso representa a variação da quantidade de movimento que um corpo sofre e, por isso, ele
também pode ser definido por esta variação de quantidade de movimento, ou por seu outro nome:
variação do momento linear. Vamos demonstrar:
DEMONSTRAÇÃO
Temos que o impulso é:
→
� = ∫ t
t0
→
� ��
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da Segunda Lei de Newton, temos que 
→
� = �
→
� , e da Cinemática sabemos que 
→
� =
� �
� � , assim:
→
� = m∫ t
t0
� �
� � dt
→
� = m∫ v
v0
�
→
�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, integrando:
→
� = �
→
� | v
v0
→
� = �
→
� − �
→
� 0 5
→
� =
→
� −
→
� 0
→
� = ∆
→
�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
COMO O IMPULSO É UMA GRANDEZA VETORIAL, ELA
POSSUI DIREÇÃO, MÓDULO E SENTIDO, PORÉM, APESAR
DISTO, O IMPULSO NÃO DEFINE A DIREÇÃO, MÓDULO,
NEM SENTIDO DO TRABALHO.
Vamos exemplificar sua aplicação:
TEORIA NA PRÁTICA
Um automóvel de 700kg se locomove a uma velocidade constante de 72km/h, quando percebe que outro
automóvel se aproxima dele com uma velocidade relativa de 36km/h. Qual deve ser o impulso aplicado
ao primeiro automóvel para que ele iguale a sua velocidade à do segundo automóvel?
Resposta:
Como o segundo automóvel está se aproximando do primeiro com velocidade de 36km/h, significa que
ele possui uma velocidade maior que a do primeiro automóvel, a superando em 36 km/h, ou seja, o
segundo automóvel está a 108 km/h.
Para que o primeiro automóvel iguale a sua velocidade à do segundo automóvel é necessário que o
primeiro chegue à velocidade de 108km/h, porém, com unidades no (S.I.). Assim:
→
�0 = 72
� �
ℎ = 20
�
s
e
→
� = 108
� �
ℎ = 30
�
s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Deste modo, o impulso é:
→
� = �
→
� − �
→
�0
→
� = 700. 30 − 700. 20 = 7000�. �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DEMONSTRAÇÃO
Na verdade, a Segunda Lei da Mecânica Clássica, que é a Segunda Lei de Newton, teve sua dedução a
partir do conceito de impulso. Essa lei assumiu forma quando Newton variou o impulso em função do
tempo. Newton percebeu que, ao oferecer certo impulso a um corpo por alguns instantes, uma força atua
no corpo, fazendo-o realizar trabalho.
Matematicamente, temos:
ISAAC NEWTON (1643 – 1727)
Astrônomo, alquimista, filósofo natural, teólogo e cientista inglês.
∆
→
P =
→
� . ∆ �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na forma diferencial, temos:
d
→
P =
→
� . d�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, podemos isolar a força e obter:
→
� =
d
→
P
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note na equação 1 que o vetor 
→
� = ��, então:
→
� =
� m→v
� �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como m é uma grandeza escalar e constante:
( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
→
� = m
� →v
� � 7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
 ATENÇÃO
A equação (7) é a Segunda Lei de Newton em sua forma diferencial, uma vez que sabemos da
Cinemática que a aceleração é a variação da velocidade em função do tempo:
→
� =
∆
→
�
∆ � =
d
→
�
d �
GRÁFICO DE IMPULSO
O gráfico de impulso é um gráfico do tipo Força por tempo 
→
F x t . A figura a seguir mostra um exemplo
genérico deste tipo de gráfico:
( )
Fonte: Producão interna.
Fonte: Producão interna.
Figura 4: Representação genérica de um gráfico de impulso - (A) um corpo sofrendo um impulso positivo
e (B) um corpo sofrendo um impulso negativo.
Ambos os gráficos são lineares. O gráfico em (A) é um gráfico linear de uma função afim crescente, e o
gráfico em (B) é um gráfico linear de uma função afim decrescente.
TUDO BEM, MAS COMO A GENTE DETERMINA O IMPULSO
ATRAVÉS DESSE GRÁFICO?
 RESPOSTA
Nós retiramos o impulso através da área embaixo dessa reta. Vamos demonstrar como?
Veja a figura 5:
A figura 5 mostra um gráfico com escalas de força e
tempo. A força está em Newtons e o tempo em
segundos.
Fonte: Producão interna.
Figura 5: Gráfico de impulso com escala.
Vamos agora aprender a determinar o impulso através da observação do gráfico.
Primeiro, devemos definir o intervalo de tempo ao qual queremos determinar o impulso. Vamos primeiro
fazê-lo de 0 a 3 segundos.
Agora que o intervalo de tempo foi definido,
determinar o impulso é simples. Basta calcular a
área embaixo da curva existente entre 0 e 3s.
A figura a seguir demonstra essa área:
Fonte: Producão interna.
Figura 6: Área selecionada para o cálculo do
impulso.
A área escolhida está em azul. Note que ela forma um trapézio em que a base menor (b) tem uma
medida de 3N, a base maior (B) uma medida de 5N e a altura (h) de 3s. Da Geometria Plana, sabemos
que a área de um trapézio é:
� � � � �é � � � =
( � + � ) . ℎ
2
8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores em (8), temos como área o valor de 12N.s ou 12kgm/s. Assim:
� � � � �é � � � =
( 3+5 ) . 3
2
12
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O que nos mostra que o impulso é de:
� = 12�. �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, vamos determinar o impulso entre 3 e 6 segundos. Note que também estamos tratando de um
trapézio, em que �=3�, �=8�, e ℎ=6−3=3�.
Utilizando a equação (8), temos como área o valor de 16,5, assim, o impulso nessa região do gráfico é:
� � � � �é � � � =
( 3+8 ) . 3
2
= 16, 5
� = 16, 5�. �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Note que as forças atuantes nos gráficos não são forças constantes, mas ao invés disso, são forças que
mudam seus módulos com o passar do tempo. Desta forma, a única maneira que temos de identificar o
impulso atuante no sistema é através da análise gráfica. Neste caso, se você tentar utilizar as equações
(4) ou (5) para determinar o impulso, você obterá um valor não verdadeiro. Isso porque ambas as
equações levam em conta que a força atuante no sistema é uma força constante.
A TEORIA DE IMPULSO NOS PERMITE REALIZAR
IMPORTANTES ANÁLISES SOBRE UM SISTEMA, TODAVIA,
PARA ANÁLISES MAIS COMPLETAS, ESSA TEORIA
NORMALMENTE É COMBINADA COM A TEORIA DE
ENERGIA MECÂNICA.
MÃO NA MASSA
1. UM OBJETO DE 2KG SE LOCOMOVE COM VELOCIDADE DE 25M/S. SEU
MOMENTO LINEAR É IGUAL A:
A) 50kgm/s
B) 12,5kgm/s
C) 100kgm/s
D) 625kgm/s
GABARITO
1. Um objeto de 2kg se locomove com velocidade de 25m/s. Seu momento linear é igual a:
A alternativa "A " está correta.
a) 50kgm/s
No vídeo a seguir o professor apresenta a solução da questão.
2. UM OBJETO DE 30KG SE MOVE COM VELOCIDADE CONSTANTE DE TAL
MODO QUE SEU MOMENTO LINEAR É EQUIVALENTE A 78KGM/S. SUA
VELOCIDADE É IGUAL A:
A) 0,8m/s
B) 1,1m/s
C) 1,9m/s
D) 2,6m/s
GABARITO
2. Um objeto de 30kg se move com velocidade constante de tal modo que seu momento linear é
equivalente a 78kgm/s. Sua velocidade é igual a:
A alternativa "D " está correta.
O momento linear é dado por:
� = ��
78 = 30.�
� = 2,6�/�
3. UM AUTOMÓVEL PERCORRE 30KM EM 15 MIN. O PESO DELE SOMADO AO
DO MOTORISTA É DE 721KG. SUPONDO A VELOCIDADE CONSTANTE, O
MOMENTO LINEAR DESTE AUTOMÓVEL É IGUAL A:
A) 24.033,33kgm/s
B) 22.022,33kgm/s
C) 25.055,55kgm/s
D) 21.230,88kgm/s
GABARITO
3. Um automóvel percorre 30km em 15 min. O peso dele somado ao do motorista é de 721kg.
Supondo a velocidade constante, o momento linear deste automóvel é igual a:
A alternativa "A " está correta.
a) 24.033,33kgm/s
No vídeo a seguir o professor apresenta a solução da questão.
4. UM VEÍCULO QUE SE MOVIMENTA A UMA VELOCIDADE DE 0,5M/S E TEM
MOMENTO LINEAR DE 2 X 106KGM/S TEM MASSA IGUAL A:
A) 4 x 106kg
B) )8 x 106kg
C) 12 x 106kg
D) 5 x 106kg
GABARITO
4. Um veículo que se movimenta a uma velocidade de 0,5m/s e tem momento linear de 2 x
106kgm/s tem massa igual a:
A alternativa "A " está correta.
Solução:
O momento linear é dado por:
� = ��
2 � 106= �.0,5
� = 4 � 106��
5. UM OBJETO VOADOR SE MOVE DE ACORDO COM A FUNÇÃO: V(T) =
3T²-2T+5. SE ESTE OBJETO TEM MASSA DE 840KG, SEU MOMENTO LINEAR, EM
T = 30S, É IGUAL A:
A) 1,6 x 106kgm/s
B) )1,8 x 106kgm/s
C) 2,2 x 106kgm/s
D) 2,0 x 106kgm/s
GABARITO
5. Um objeto voador se move de acordo com a função: v(t) = 3t²-2t+5. Se este objeto tem massa de
840kg, seu momento linear, em t = 30s, é igual a:
A alternativa "C " está correta.
c) 2,2 x 106kgm/s
No vídeo a seguir o professor apresenta a solução da questão.
6. UM CARRO DE 700KG VIAJA A 80KM/H, QUANDO FREIA POR UM ESPAÇO DE
50M, E ENTÃO PASSA A TRAFEGAR COM 55KM/H. O IMPULSO APLICADO
PELOS FREIOS AO CARRO É DE:
A) 4.300N.s
B) 4.500N.s
C) 4858N.s
D) 5.000N.s
GABARITO
6. Um carro de 700kg viaja a 80km/h, quando freia por um espaço de 50m, e então passa a
trafegar com 55km/h. O impulso aplicado pelos freios ao carro é de:
A alternativa "C " está correta.
Convertendo as velocidades para metros por segundo, temos:
�0 =
80 � �
ℎ = 22, 22� /�
� =
55 � �
ℎ = 15, 28� /�
O impulso é dado por:
� = � � − �0
� = 700(22, 22 − 15, 28) = 4858�. �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA BOLA DE GOLFE DE 0,5KG ESTÁ ROLANDO NO GRAMADO COM
VELOCIDADE DE 0,5M/S, QUANDO UMA PESSOA COM UM TACO DE GOLFE LHE
APLICA UMA FORÇA PELO INSTANTE DE TEMPO DE 0,5S, DE TAL MANEIRA
QUE ELA PASSA A ROLAR COM VELOCIDADE DE 1,5M/S. ASSINALE A
ALTERNATIVA QUE REPRESENTA CORRETAMENTE A FORÇA APLICADA PELO
TACO DE GOLFE, AO TOCAR NA BOLA.
A) 1N
B) 2N
C) 5N
D) 7,5N
2. UM FOGUETE ESTÁ SENDO LANÇADO COM UM ÔNIBUS ESPACIAL. DE
INÍCIO, ELE ESTÁ PARADO EM SUA PLATAFORMA DE LANÇAMENTO, QUANDO,
ENTÃO, COMEÇA A SE MOVIMENTAR COM UMA ACELERAÇÃO DE 12M/S². 74
SEGUNDOS APÓS O SEU LANÇAMENTO, O FOGUETE LIBERA UM
( )
COMPARTIMENTO, QUE REDUZ A SUA MASSA EM 25%, E 180 SEGUNDOS APÓS
O LANÇAMENTO, LIBERA OUTRO COMPARTIMENTO QUE CORRESPONDE A
50% DA MASSA QUE RESTOU APÓS LIBERAR O PRIMEIRO COMPARTIMENTO.
APÓS ISTO, O ÔNIBUS ESPACIAL ENTRA EM ÓRBITA. ASSINALE A
ALTERNATIVA QUE REPRESENTA CORRETAMENTE O VALOR DO IMPULSO
SOFRIDO PELO FOGUETE, DO MOMENTO DO SEU LANÇAMENTO ATÉ O
MOMENTO EM QUE O ÔNIBUS ESPACIAL ENTRA EM ÓRBITA (CONSIDERE G =
9,8M/S²):
A) 1400 �0
B) 1485 �0
C) 1390 �0
D) 1455 �0
GABARITO
1. Uma bola de golfe de 0,5kg está rolando no gramado com velocidade de 0,5m/s, quando uma
pessoa com um taco de golfe lhe aplica uma força pelo instante de tempo de 0,5s, de tal maneira
que ela passa a rolar com velocidade de 1,5m/s. Assinale a alternativa que representa
corretamente a força aplicada pelo taco de golfe, ao tocar na bola.
A alternativa "A " está correta.
Temos como momento linear inicial:
→
�0 = �
→
�0
→
� 0 = 0, 5 ��. 0, 5
�
� = 0, 25�. �
Temos como momento linear final:
→
� = �
→
�
→
� = 0, 5 ��. 1, 5 �� = 0, 75�. �
Então, podemos escrever o impulso:
� =� �→ − � �→0
� = 0, 75 − 0, 25 = 0, 50 � . �
Agora que temos o impulso, podemos determinar a força da seguinte maneira:
� = �
→
∆ �
Substituindo:
0, 50 � . � = �
→
. 0, 5 �
�
→
= 1 �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um foguete está sendo lançado com um ônibus espacial. De início, ele está parado em sua
plataforma de lançamento, quando, então, começa a se movimentar com uma aceleração de
12m/s². 74 segundos após o seu lançamento, o foguete libera um compartimento, que reduz a sua
massa em 25%, e 180 segundos após o lançamento, libera outro compartimento que corresponde
a 50% da massa que restou após liberar o primeiro compartimento. Após isto, o ônibus espacial
entra em órbita. Assinale a alternativa que representa corretamente o valor do impulso sofrido
pelo foguete, do momento do seu lançamento até o momento em que o ônibus espacial entra em
órbita (considere g = 9,8m/s²):
A alternativa "B " está correta.
Temos um sistema em que a aceleração é mantida constante, porém a massa do corpo é variável, e ela
diminui com o passar do tempo. Desta forma, se a massa muda, a força muda e, assim, para descobrir o
impulso, devemos calcular as forças e gerar um gráfico de força por tempo.
Vamos, primeiro, calcular as forças.
1° No momento do lançamento:
�
→
0 = �0 �
→
�
→
0 = 12 �0
2° No momento da liberação da primeira carga:
�1 = � �0 − 0, 25 �0 � �
→
�0
→
= 12 . 0, 75 �0 = 9 �0
3° No momento da liberação da segunda carga:
�2
→
= �0, 75 �0 − 0, 5 . 0, 75 �0 � �
→
�2
→
= 4, 5 �0
Temos não somente os valores das forças como também os valores dos tempos decorridos até elas,
assim, podemos montar uma tabela para poder montar o gráfico de impulso, como mostra abaixo:
�
→
� � � t(s)
12�0 0
9�0 74
4,5�0 180
Não podemos esquecer que as nossas forças estão em função de m0. Então, para poder determinar o
impulso, temos que determinar a área embaixo da curva, que é um trapézio em que b = 4,5m0, a base
maior é B = 12m0 e a altura é de 180s. Assim:
� =
�� + � �ℎ
2
=
�4,5 �0 +12 �0 �180
2
= 1485 �0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fonte: Por pluie_r / Shutterstock
INTRODUÇÃO
O MOMENTO LINEAR É UMA GRANDEZA FÍSICA QUE SE
CONSERVA QUANDO A FORÇA RESULTANTE SOBRE O
SISTEMA É NULA. NESTE CASO, COMO NÃO HÁ FORÇA, O
IMPULSO É NULO, E POR ISSO PODEMOS DIZER QUE A
QUANTIDADE DE MOVIMENTO INICIAL É IGUAL À
QUANTIDADE DE MOVIMENTO FINAL.
O impulso de um corpo ou de uma partícula é dado por:
�
→
= �
→
� � � � � − �
→
� � � � � � �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para que haja a conservação do momento linear, ou da quantidade de movimento, é necessário que não
haja forças atuantes no sistema, o que faz o impulso ser nulo, uma vez que:
�
→
= �
→
∆ �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a força resultante deve ser nula, para que o sistema seja conservativo, temos que F = 0, o que faz
com que o impulso seja nulo:
�
→
= 0 . ∆ �
�
→
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta maneira, podemos escrever que:
0 = �
→
� � � � � − �
→
� � � � � � �
�
→
� � � � � = �
→
������� �9�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
Com esse entendimento, é possível explicar diversos fenômenos mecânicos envolvendo ação e reação,
como a relação do recuo de uma arma de fogo após disparar um projétil. Após o disparo, qualquer arma
de fogo apresenta um recuo, indo de encontro ao atirador, enquanto o projétil (a bala) segue no sentido
oposto ao deslocamento do recuo. Como a arma recua, existe a chamada velocidade de recuo, que é
maior para quanto maior for o calibre de uma arma.
DISPARO DE UM PROJÉTIL DE UMA ARMA DE
FOGO DE LONGO ALCANCE: O CASO DO
ATIRADOR DE ELITE
Vamos considerar uma cena real, em que um atirador de elite está posicionado com um fuzil IMBEL 308
AGLC, de calibre 308, com massa sem munição de 4,7kg, com capacidade de 4+1 cartuchos de Spitzer,
cada um com 125g. Com essa munição, o projétil deixa a arma com uma velocidade de 3100m/s, como
mostra a figura 7:
Fonte: Por kloromanam, Getmilitaryphotos / Shutterstock
Figura 7: Representação de um atirador de elite disparando um projétil utilizando um fuzil de alta
precisão.
Vamos considerar duas coisas: 1ª, as massas do cartucho do projétil e da pólvora são insignificantes, e
2ª, o projétil percorre um trajeto retilíneo até o seu alvo. Efetuando 2 disparos, vamos determinar as
velocidades de recuo do rifle em cada um deles:
 Arraste as imagens para o lado.
Fonte: Por SolidMaks / Shutterstock
1º disparo:
Antes de efetuar o primeiro disparo, o fuzil estava carregado com 5 cartuchos, cada um com 125g, o que
equivale a uma massa de: � ������ℎ�=5 . 0,125=0,625kg. Então, nesse momento, antes do disparo, nós
verificamos o momento linear inicial, o nosso P01 , em que o subíndice 1 é referente ao primeiro disparo.
Como não houve o disparo, tanto o projétil quanto a arma estão parados, logo, ambas as suas
velocidades são nulas. Com isso, pode-se escrever:
�
→
01 = 0 �10�
Fonte: Por SolidMaks / Shutterstock
Porém, ao efetuar o disparo, tanto o projétil quanto a arma adquirem velocidade. A arma agora fica
somente com 4 cartuchos, o que faz a sua massa total ser de �=4 . 0,125+4,7=5,2kg. Sabendo disso,
podemos escrever o momento final do sistema como:
�
→
1 = �� � � �é � � � �
→
� � � �é � � � + � �
→
� � � � � � � � � � � �
�11�
Fonte: Por SolidMaks / Shutterstock
Substituindo os valores, temos:
�
→
1 = 0, 125 . 3100 + 5, 2 . �
→
� � � � � � � � � � � � �12�
Uma vez que a força resultante no sistema é nula, podemos aplicar o princípio da conservação do
momento linear, como na equação (9):
�
→
1 = �
→
01
0, 125 . 3100 + 5, 2 . �→� � � � � � � � � � � � = 0
�→� � � � � � � � � � � � = − 74, 52�/�
 ATENÇÃO!
Note que o resultado da velocidade é negativo, o que era de se esperar quando estamos falando de uma
velocidade de recuo que está indo no sentido oposto ao do disparo. Todavia, se invertermos o sistema
de coordenadas, podemos descrever a velocidade do projétil como negativa e a velocidade de recuo
como positiva.
VIRAM? COM O CONCEITO DA CONSERVAÇÃO DO
MOMENTO LINEAR, CONSEGUIMOS DETERMINAR A
VELOCIDADE DE RECUO DO FUZIL. AGORA, VAMOS
CONTINUAR CALCULANDO AS VELOCIDADES DE RECUO
ATÉ OS CARTUCHOS ACABAREM:
4
Fonte: Por La Gorda / Shutterstock
2° DISPARO:
Antes de efetuar o segundo disparo, o fuzil estava carregado com 4 cartuchos, cada um com 125g, o que
equivale a uma massa de: � ������ℎ�=4 . 0,125=0,500kg.
De forma análoga à dedução do primeiro disparo, �
→
02 = 0. Porém, ao efetuar o disparo, tanto o projétil
quanto a arma adquirem velocidade, mas, agora, a arma fica somente com 3 cartuchos, o que faz a sua
massa total ser de �=3 . 0,125+4,7=5,075kg.
Fonte: Por La Gorda / Shutterstock
3
2
Fonte: Por La Gorda / Shutterstock
Sabendo disso, podemos escrever o momento final do sistema como:
�
→
2 = �� � � �é � � � �
→
� � � �é � � � + � �
→
� � � � � � � � � � � � �13�
Substituindo os valores, temos:
�
→
1 = 0, 125 . 3100 + 5, 075 . �
→
� � � � � � � � � � � � �14�
Uma vez que a força resultante no sistema é nula, podemos aplicar o princípio da conservação do
momento linear, como na equação (9):
�
→
2 = �
→
02
0, 125 . 3100 + 5, 075 . �→� � � � � � � � � � � � = 0
�→� � � � � � � � � � � � = − 76, 35�/�
Fonte: Por La Gorda / Shutterstock
1
 ATENÇÃO
Note que a velocidade de recuo neste segundo disparo é maior, mesmo com a velocidade do projétil
sendo mantida. Isso ocorre devido à diminuição da massa do sistema fuzil-cartucho. O que significa que,
quanto menos cartuchos houver no fuzil, maior será a velocidade de recuo, e por sua vez, maior o tranco
a ser aguentado pelo atirador.
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR EM UM
JOGO DE BILHAR
Vamos agora a um exemplomais palpável, que acontece em uma mesa de bilhar, popularmente
chamada de mesa de sinuca. Em um jogo de bilhar, existe uma bola branca e mais 15 bolas, numeradas
de 1 a 15, todas de cores diferentes. Utiliza-se um taco de madeira para bater na bola branca, e então,
esta deve bater nas demais bolas, a fim de colocá-las no interior de uma das seis caçapas, que se
localizam nas bordas da mesa, como mostra a figura 8:
Fonte: Por RomanR / Shutterstock
Figura 8: Representação de um jogo de bilhar.
Temos que considerar que as bolas diferem somente em cores e numerações. Elas são iguais em
geometria e massa. Vamos considerar a seguinte situação de jogo. Restam somente duas bolas, uma
vermelha e uma amarela, e elas estão encostadas uma na outra. O jogador, então, resolve tentar matar
as duas bolas em caçapas distintas, com uma única tacada. A figura a seguir exemplifica o caso:
 Arraste a seta para os lados.
Fonte:Por andrewvect / Shutterstock
Fonte:Por andrewvect / Shutterstock
Figura 9: Representação da colisão de uma bola com outras duas, de mesma massa.
Vamos supor que todas as bolas possuam massa m, e que o jogador, ao bater na bola branca com o
taco, a fez se movimentar com velocidade de 12m/s. Consideremos também que as bolas vermelha e
amarela se movimentem com a mesma velocidade após a colisão, todavia, a bola branca inverte o seu
sentido, com uma velocidade de módulo de 1m/s. Então, após tantas definições, vamos determinar as
velocidades das bolas vermelhas e amarelas.
 Arraste as imagens para o lado.
Fonte:Por andrewvect / Shutterstock
Fonte:Por andrewvect / Shutterstock
Fonte:Por andrewvect / Shutterstock
TEORIA NA PRÁTICA
O princípio da conservação de momento linear também nos permite analisar, por exemplo, acidentes de
trânsito, podendo determinar a velocidade de um automóvel ao colidir com outro, distância de arremesso
de uma pessoa em um atropelamento etc.
No vídeo a seguir, vamos considerar um cenário de acidente de carro, no qual um carro em alta
velocidade se choca com um carro que estava parado. Assista:
MÃO NA MASSA
1. UMA BOLA DE SINUCA AMARELA DE 1,3KG VIAJA À VELOCIDADE DE 0,3M/S,
QUANDO COLIDE COM OUTRA BOLA DE SINUCA VERMELHA DE MESMA
MASSA, DAÍ A BOLA AMARELA PARA, ENQUANTO A BOLA VERMELHA PASSA
A SE MOVIMENTAR. A VELOCIDADE DA BOLA VERMELHA É IGUAL A:
A) 0,3m/s
B) 0,4m/s
C) 0,2m/s
D) 0,15m/s
GABARITO
1. Uma bola de sinuca amarela de 1,3kg viaja à velocidade de 0,3m/s, quando colide com outra
bola de sinuca vermelha de mesma massa, daí a bola amarela para, enquanto a bola vermelha
passa a se movimentar. A velocidade da bola vermelha é igual a:
A alternativa "A " está correta.
a) 0,3m/s
No vídeo a seguir o professor apresenta a solução da questão.
2. UMA BOLA DE GUDE DE 50G ROLA COM VELOCIDADE DE 0,1M/S, E COLIDE
COM UMA BOLA DE GUDE DE 100G. NA COLISÃO, A BOLA DE 50G E PARA, E A
BOLA DE 100G COMEÇA A ROLAR. A VELOCIDADE DA BOLA DE 100G É:
A) 0,03m/s
B) 0,04m/s
C) 0,02m/s
D) 0,05m/s
GABARITO
2. Uma bola de gude de 50g rola com velocidade de 0,1m/s, e colide com uma bola de gude de
100g. Na colisão, a bola de 50g e para, e a bola de 100g começa a rolar. A velocidade da bola de
100g é:
A alternativa "D " está correta.
Solução:
O momento total antes da colisão é de:
�0 = �50�0 + �100�0
�0 = � �50�0 + � �100�0
�0 = 0, 05 . 0, 1 + 0, 1 . 0
�0 = 0, 005 � . �
Após a colisão, temos:
� = �50� + �100�
� = � �50� + � �100�
� = 0, 05 . 0 + 0, 1 �
� = 0, 1 �
Pelo princípio da conservação:
�0 = �
0, 005 = 0, 1 �
� = 0, 05 � / �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. UMA BOLA DE SINUCA DE 1,3KG BRANCA COLIDE COM UMA BOLA DE
SINUCA DE 1,3KG PRETA. ANTES DA COLISÃO, A BOLA BRANCA SE MOVIA A
0,4M/S E A BOLA PRETA ESTAVA PARADA. APÓS A COLISÃO, A BOLA BRANCA
CONTINUA O SEU CAMINHO, AGORA COM VELOCIDADE V, ENQUANTO A BOLA
PRETA SEGUE ADIANTE COM UMA VELOCIDADE 2V. AS VELOCIDADES DAS
BOLAS BRANCA E PRETA APÓS A COLISÃO, RESPECTIVAMENTE, SÃO IGUAIS
A:
A) 0,15m/s e 0,22m/s
B) 0,13m/s e 0,26m/s
C) 0,26m/s e 0,13m/s
D) 0,13m/s e 0,22m/s
GABARITO
3. Uma bola de sinuca de 1,3kg branca colide com uma bola de sinuca de 1,3kg preta. Antes da
colisão, a bola branca se movia a 0,4m/s e a bola preta estava parada. Após a colisão, a bola
branca continua o seu caminho, agora com velocidade v, enquanto a bola preta segue adiante
com uma velocidade 2v. As velocidades das bolas branca e preta após a colisão,
respectivamente, são iguais a:
A alternativa "B " está correta.
b) 0,13m/s e 0,26m/s
No vídeo a seguir o professor apresenta a solução da questão.
4. UM OBJETO COM PROPRIEDADES ELÁSTICAS VIAJA EM DIREÇÃO A UMA
PAREDE COM VELOCIDADE DE 40CM/S, QUANDO RICOCHETEIA E RETORNA
COM O MESMO MOMENTO LINEAR. É CORRETO AFIRMAR QUE SEU VETOR
VELOCIDADE NO RETORNO É IGUAL:
A) 0cm /s
B) -20cm/s
C) -40cm/s
D) 20cm/s
GABARITO
4. Um objeto com propriedades elásticas viaja em direção a uma parede com velocidade de
40cm/s, quando ricocheteia e retorna com o mesmo momento linear. É correto afirmar que seu
vetor velocidade no retorno é igual:
A alternativa "C " está correta.
c) -40cm/s
Solução:
Ao retornar com mesmo momento linear, o módulo da velocidade se mantém, todavia, o sentido do vetor
muda. Dessa maneira, se antes da colisão o vetor era de 40cm/s, ao mudar o sentido o vetor passou a
ser de -40cm/s.
5. UM CORPO DE 7KG LOCOMOVE-SE COM VELOCIDADE CONSTANTE DE 8M/S,
QUANDO AGE SOBRE ELE UMA FORÇA DE 0,07N, NA MESMA DIREÇÃO E
SENTIDO DO VETOR VELOCIDADE, POR 10 SEGUNDOS. A VELOCIDADE FINAL
DESTE CORPO É IGUAL A:
A) 8,1m/s
B) 8,0m/s
C) 9,5m/s
D) 9,6m/s
GABARITO
5. Um corpo de 7kg locomove-se com velocidade constante de 8m/s, quando age sobre ele uma
força de 0,07N, na mesma direção e sentido do vetor velocidade, por 10 segundos. A velocidade
final deste corpo é igual a:
A alternativa "A " está correta.
a) 8,1m/s
No vídeo a seguir o professor apresenta a solução da questão.
6. UM ATIRADOR DE ELITE POSSUI UM RIFLE DE 4,2KG, E ATIRA UM PROJÉTIL
DE 300G, COM VELOCIDADE DE 340M/S. A VELOCIDADE DE RECUO DE SUA
ARMA É DE:
A) - 16,35m/s
B) -24,29m/s
C) -30,00m/s
D) -45,55m/s
GABARITO
6. Um atirador de elite possui um rifle de 4,2kg, e atira um projétil de 300g, com velocidade de
340m/s. A velocidade de recuo de sua arma é de:
A alternativa "B " está correta.
Solução:
Antes do disparo, não há momento linear, pois tanto o rifle quanto o projétil estão parados, logo:
�0 = 0
Porém, após o disparo, temos:
� = �� � � � � �� � � � � + �� � � �é � � � �� � � �é � � � = 4, 2 �� � � � � + 0, 3 . 340 = 4, 2 � � � � � � + 102
Pelo princípio da conservação:
�0 = �
0 = 4, 2 �� � � � � + 102
�� � � � � = − 24, 29 � / �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
 ATENÇÃO!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda corretamente a uma das
seguintes questões.
1. EM UM JOGO DE BILHAR, O JOGADOR OFERECE À BOLA BRANCA DE
0,250KG UM IMPULSO DE 0,5N.S. ESSA BOLA, ENTÃO, COLIDE COM A BOLA
PRETA, DE MESMA MASSA. APÓS ESSA COLISÃO, A BOLA BRANCA CONTINUA
A SE DESLOCAR NA MESMA DIREÇÃO E SENTIDO, COM MOMENTO LINEAR DE
0,19N.S. DIANTE DO CONTEXTO APRESENTADO, ASSINALE A ALTERNATIVA
QUE REPRESENTA A VELOCIDADE COM A QUAL A BOLA PRETA SE DESLOCA:
A) a) 1,24m/s
B) b) 1,33m/s
C) c) 2,00m/s
D) d) 3,50m/s
2. UM CORPO ESTÁ SE LOCOMOVENDO COM UMA VELOCIDADE CONSTANTE
DE 3M/S, QUANDO UMA FORÇA DE 0,087N AGE SOBRE ELE, NA MESMA
DIREÇÃO E SENTIDO DO VETOR VELOCIDADE, POR 10 SEGUNDOS, PORÉM,
DURANTE A AÇÃO DA FORÇA, POR CONTA DO ATRITO, O CORPO PERDE 10%
DE SUA MASSA, NA FORMA DE UM PEQUENO PEDAÇO QUE SE DESPRENDE
COM A MESMA VELOCIDADE QUE O CORPO DESENVOLVE APÓS A AÇÃO DA
FORÇA. ASSINALE A OPÇÃO QUE REVELA O VALOR DA VELOCIDADE DO
PEDAÇO QUE SE DESPRENDE, CONSIDERANDO A MASSA INICIAL DO CORPO
COMO 0,1 KG.
A) 3, 6m/s
B) 9, 9m/s
C) 11,7m/s
D) 12,5m/s
GABARITO1. Em um jogo de bilhar, o jogador oferece à bola branca de 0,250kg um impulso de 0,5N.s. Essa
bola, então, colide com a bola preta, de mesma massa. Após essa colisão, a bola branca continua
a se deslocar na mesma direção e sentido, com momento linear de 0,19N.s. Diante do contexto
apresentado, assinale a alternativa que representa a velocidade com a qual a bola preta se
desloca:
A alternativa "A " está correta.
Primeiramente, devemos determinar qual a velocidade de deslocamento da bola branca, para definir a
velocidade antes da colisão com a bola preta. Estabeleceremos essa velocidade através da teoria de
impulso:
�
→
⃗ = �
→
− �
→
0
Como antes da tacada a bola branca estava parada, seu momento linear era �0=0, assim:
�
→
= � �→
0, 5 = 0, 250 �→
�→� � � � � � � � � � = 2 � / �
Então, temos como momento linear anterior à colisão � �
→
1 �:
�
→
1 = 0, 250 . 2 = 0, 5 � . �
Após a colisão, ambas as bolas continuam se locomovendo na mesma direção e sentido. A bola branca
com momento linear de 0,19N.s. Porém, não sabemos a velocidade da bola preta, assim, temos que o
momento linear total após a colisão é:
�
→
2 = �
→
� � � � � � � � � � � �ó� � � � � � �ã� + �
→
� � � � � � � � � � �ó� � � � � � �ã�
Já sabemos o momento linear da bola branca, mas não o da bola preta, então:
�
→
2 = 0, 19 + 0, 250 . �
→
2 � � � � � � � � �
Assim, pelo princípio da conservação do momento linear, temos:
�
→
1 = �
→
2
0, 5 = 0, 19 + 0, 250 . �→2 � � � � � � � � �
�→2 � � � � � � � � � = 124�/�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um corpo está se locomovendo com uma velocidade constante de 3m/s, quando uma força de
0,087N age sobre ele, na mesma direção e sentido do vetor velocidade, por 10 segundos, porém,
durante a ação da força, por conta do atrito, o corpo perde 10% de sua massa, na forma de um
pequeno pedaço que se desprende com a mesma velocidade que o corpo desenvolve após a ação
da força. Assinale a opção que revela o valor da velocidade do pedaço que se desprende,
considerando a massa inicial do corpo como 0,1 kg.
A alternativa "C " está correta.
Como temos a informação da força e do período que ela atuou, podemos determinar o impulso causado
ao corpo, assim:
�=�∆�
�=0,087.10
�=0,87�.�
Sabemos que o impulso também pode ser descrito como:
� = �1 − �0
0, 87 = �1 − �0 �0
�1 = 0, 87 + 3 . 0, 1 = 1, 17 � . � � � �
Uma vez que a velocidade de deslocamento antes da ação da força é 3m/s.
Continuando:
�1 = �1 � � � � � �1 � � � � � + �1� � � �ç� �1� � � �ç�
A massa do pedaço é de 0,1m0 = 0,01kg e a massa do corpo após a ação da força é 0,9m0 = 0,09kg,
assim:
�1 = 0, 09 � + 0, 01 � = 0, 1 � � � � �
Note que o enunciado informa que �1 � � � � � = �1� � � �ç� . Para facilitar a notação, ambas foram
chamadas de �. Então, igualaremos (I) a (II), assim:
0,1�=1,17
�=11,7�/�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fonte: Por pluie_r / Shutterstock
COLISÕES
As colisões fazem parte do nosso cotidiano. Moléculas de oxigênio que compõem o ar que respiramos
estão o tempo todo se chocando umas com as outras.
Se você parar para pensar, em nossos corpos, o tempo inteiro, também estão ocorrendo colisões, por
exemplo, entre as pálpebras em um piscar de olhos, entre os dedos que se chocam ao gesticularmos,
entre os dentes ao mastigarmos, entre a língua e o resto da boca etc.
Diante de tantos exemplos, é importante entendermos a mecânica da colisão entre corpos.
COLISÃO ENTRE CORPOS
As colisões podem ser de caráter elástico, parcialmente elástico e inelástico.
 Clique nos tipos de colisão.
COLISÃO ELÁSTICA
Dizemos que uma colisão é elástica quando toda a energia se conserva. Neste caso, temos a
transferência completa de um corpo para o outro, sem nenhum tipo de perda por calor, som, atrito,
deformação do corpo ou perdas de massa.
COLISÃO PARCIALMENTE ELÁSTICA
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Dizemos que uma colisão é parcialmente elástica quando somente parte da energia é transferida de
um corpo para outro.
COLISÃO INELÁSTICA
Dizemos que a colisão é inelástica quando, ao se chocarem, os corpos grudam um no outro, e passam
a se locomover juntos.
A Física classifica esses três tipos de colisão através do coeficiente de restituição (e).
COLISÃO ELÁSTICA
Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
COLISÃO PARCIALMENTE ELÁSTICA
Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
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COLISÃO INELÁSTICA
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Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO
O coeficiente de restituição é uma grandeza adimensional dependente das velocidades relativas de
aproximação e afastamento, sendo definida como:
� =
� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
|
||
|
�� � � � � � � � � � � � � � � � � �çã� �
�15�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas velocidades relativas correspondem ao instante um pouco antes da colisão e um pouco depois da
colisão. Através desse coeficiente, conseguimos entender se houve conservação da energia totalmente,
parcialmente, ou se houve completa dissipação da energia cinética.
 ATENÇÃO!
Se a velocidade relativa de afastamento for igual à velocidade relativa de aproximação, a razão na
equação (15) resultará em 1. Nesse caso, temos a total conservação da energia cinética total do sistema
observado.
Para compreender este fenômeno, considere uma mesa de bilhar onde somente existem duas bolas,
uma branca e outra preta, de mesma massa m.
A bola branca se aproxima da bola preta que está parada, com velocidade v, choca-se com a bola preta
e então fica parada, enquanto a bola preta passa a se movimentar, afastando-se da bola branca,
também com velocidade v.
Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
Vamos analisar matematicamente.
Antes da colisão, temos a bola branca se movendo e a bola preta parada. Então, a energia cinética total
do sistema é:
�0 = �0� � � � � � + �0� � � � � �16�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a bola preta está parada e a bola branca possui massa m e velocidade v:
�0 =
� �2
2
+ 0 = � �
2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo após a colisão, a bola branca para, e a bola preta de massa m passa a se mover com velocidade v,
dessa forma:
� = �� � � � � � + �� � � � � �17�
� = 0 + � �
2
2
= � �
2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que, nesse caso, tanto a energia cinética inicial do sistema como a energia cinética final do sistema
possuem o mesmo valor, que é � �
2
2
, o que demonstra que a energia cinética se conservou.
Agora, vamos avaliar o fator de restituição. Antes da colisão, a bola branca se move com velocidade v se
aproximando da bola preta que está parada. Logo, a velocidade de aproximação é v.
Após a colisão, a bola branca fica parada e a bola preta se afasta da bola branca com velocidade v.
Logo, a velocidade de afastamento é v. Então, o fator de restituição é:
� =
�� �
�� �
= 1 �18�
 ATENÇÃO!
Esse resultado indica que a colisão é perfeitamente elástica, pois há a completa conservação da energia
cinética do sistema. Note que o sistema é constituído pelos dois corpos.
Agora, se a velocidade relativa de afastamento for menor do que a velocidade relativa de aproximação
há uma colisão parcialmente elástica, pois, neste caso, não há conservação total da energia cinética,
mas apenas parcial. Então, o coeficiente de restituição possui um valor entre 0 e 1:
0 < � < 1 (19)
Vamos voltar a considerar as duas bolas de bilhar branca e preta de mesma massa. Considere agora
que a bola de bilhar branca se aproxima da bola de bilhar preta, inicialmente parada, com velocidade de
2v.
Daí,então, a bola de bilhar branca se choca com a bola de bilhar preta, e ambas passam a se mover na
mesma direção e sentido, com velocidades .
������� = �/2, � ������ = 3�/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
Essa direção e sentido são os mesmos nos quais a bola branca se movia antes da colisão. Pois bem,
vamos analisar a energia cinética do sistema. Primeiro, temos a bola branca se movendo com
velocidade 2v e a bola preta parada. Assim:
�0 = �0� � � � � � + �0� � � � � �20�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a bola preta está parada e a bola branca possui massa m e velocidade 2v:
�0 =
� �2� �2
2
+ 0 = 2 � �2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo após a colisão, a bola branca continua se movendo na mesma direção e sentido, porém, agora,
com a velocidade v/2, e a bola preta de massa m passa a se mover também com velocidade 3v/2.
Dessa forma:
� = �� � � � � � + �� � � � � �21�
� =
� �� /2�2
2
+
� ��3/2�2
2
+ 5� �
2
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO!
Note que a energia cinética final do sistema corresponde à metade da energia cinética inicial do sistema,
o que indica a perda parcial de energia. Vamos agora analisar o coeficiente de restituição.
Antes da colisão, a bola branca se aproxima da bola preta, que está parada, com velocidade 2v, logo,
sua velocidade de aproximação é 2v.
Já após a colisão, a bola branca se move com velocidade v/2 e a bola preta com velocidade 3v/2, o que
faz a velocidade relativa de afastamento ser:
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � = �� � � � � � � � � − �� � � � � � � � � � =
3�
2
− �
2
= �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, o coeficiente de restituição é:
� = ��2 −
1
2
= 0, 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
UMA COLISÃO INELÁSTICA, OU COMO TAMBÉM É
CHAMADA, COLISÃO PLÁSTICA, É UMA COLISÃO EM
QUE OS CORPOS SE UNEM E PASSAM A SE
MOVIMENTAR JUNTOS. ENTÃO, MESMO QUE HAJA
UMA ENERGIA CINÉTICA FINAL REFERENTE AO
MOVIMENTO DOS DOIS CORPOS UNIDOS, A
VELOCIDADE DE AFASTAMENTO É NULA, O QUE FAZ
O COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO SER NULO.
� = 0 �22�
Voltemos a analisar as duas bolas branca e preta, ambas com massa m.
Vamos considerar que a bola branca se aproxima da bola preta que está parada com velocidade v,
colide com a bola preta e que, logo após a colisão, ambas continuam se movimentando na mesma
direção e sentido, porém, agora, com velocidade v/10 cada uma.
Fonte: Por andrewvect / Shutterstock
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Nessa situação, a velocidade relativa de aproximação é v, porém a velocidade relativa de afastamento é
0. Vamos ver:
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � = �� � � � � � � � � − �� � � � � � � � � � =
�
10
− �
10
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta maneira:
� = 0� = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar agora a energia cinética do sistema nesse caso. De maneira análoga aos dois casos
anteriores:
�0 =
� �� �2
2
+ 0 = � �
2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo após a colisão, as bolas se unem e passam a se mover juntas com velocidade v/10, assim:
� = �� � � � � � + �� � � � � �21�
� =
� �� /10�2
2
+
��� /10�2
2
= � �
2
100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Você consegue enxergar o quão menor a energia cinética final é do que a energia cinética inicial?
Devido à colisão ser inelástica, a energia cinética final é 50 vezes menor do que a energia cinética inicial,
ou seja: �=�_0/50.
Apesar de muito útil, o fator de restituição é um fator de análise qualitativa, fornecendo a você somente a
informação se houve conservação da energia cinética total, parcial ou completa dissipação da energia.
A tabela abaixo resume as condições do coeficiente de restituição:
Coeficiente de
restituição
Relação entre as velocidades relativas Tipo de colisão
e = 1
��������� �� ����������� = � �������� ��
��������çã�
Elástica
0 < e < 1
��������� �� ����������� < � �������� ��
��������çã�
Parcialmente
elástica
e = 0 ��������� �� ����������� = 0 Inelástica ou plástica
Tabela 1: Resumo das condições do coeficiente de restituição.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
CONDIÇÕES RELEVANTES PARA ANÁLISE DE
COLISÕES
Apesar de o coeficiente de restituição ser uma poderosa ferramenta, ele não lhe permite realizar uma
análise quantitativa. Somente qualitativa. Para analisar as reais condições de uma colisão, é necessário
levar em consideração dois fenômenos físicos.
O primeiro é o princípio da conservação da energia cinética do sistema
O segundo é o princípio da conservação do momento linear do sistema.
Com essas duas informações, é realizável montar um sistema possível e determinado (S.P.D.) para
poder retirar informações importantes, como velocidades e valores de massa.
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos considerar novamente as duas bolas de bilhar branca e preta.
Consideremos que, antes da colisão, a bola branca se movia com velocidade v, e a bola preta estava
parada. Lembre-se de que as massas de ambas as bolas são iguais a m.
Após a colisão, a bola branca muda o seu sentido de deslocamento e retorna com uma velocidade v1.
Será que nessa colisão a bola preta se move? Vamos descobrir no vídeo a seguir:
MÃO NA MASSA
1. EM UMA COLISÃO, A VELOCIDADE DE APROXIMAÇÃO ENTRE DOIS CORPOS
É DE 650M/S E A DE AFASTAMENTO É DE 300M/S. O COEFICIENTE DE
RESTITUIÇÃO DA COLISÃO É IGUAL A:
A) 0,44
B) 0,45
C) 0,46
D) 0,47
GABARITO
1. Em uma colisão, a velocidade de aproximação entre dois corpos é de 650m/s e a de
afastamento é de 300m/s. O coeficiente de restituição da colisão é igual a:
A alternativa "C " está correta.
c) 0,46
Solução em vídeo:
2. EM UMA COLISÃO, A VELOCIDADE DE AFASTAMENTO É DE 0,20M/S E O
COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO É 0,99. A VELOCIDADE DE APROXIMAÇÃO É
IGUAL A:
A) 0,19m/s
B) 0,20m/s
C) 0,21m/s
D) 0,22m/s
GABARITO
2. Em uma colisão, a velocidade de afastamento é de 0,20m/s e o coeficiente de restituição é 0,99.
A velocidade de aproximação é igual a:
A alternativa "B " está correta.
Solução:
� =
� �� � � � � � � � � � � �
� �� � � � � � � �çã� �
0, 99 =
0,2
� �� � � � � � � �çã� �
� �� � � � � � � �çã� � = 0, 20�/�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. DUAS BOLAS ESTÃO SE LOCOMOVENDO UMA EM DIREÇÃO A OUTRA. A
PRIMEIRA BOLA TEM VELOCIDADE IGUAL A 4M/S E A SEGUNDA VELOCIDADE
DE -3M/S. APÓS A COLISÃO, A PRIMEIRA BOLA PASSA A SE MOVER COM
VELOCIDADE DE -1M/S E A SEGUNDA COM VELOCIDADE DE 2,5M/S. O
COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO DESSA COLISÃO PARCIALMENTE ELÁSTICA É
IGUAL A:
A) 0,5
B) 0,4
C) 0,3
D) 0,2
GABARITO
3. Duas bolas estão se locomovendo uma em direção a outra. A primeira bola tem velocidade
igual a 4m/s e a segunda velocidade de -3m/s. Após a colisão, a primeira bola passa a se mover
com velocidade de -1m/s e a segunda com velocidade de 2,5m/s. O coeficiente de restituição
dessa colisão parcialmente elástica é igual a:
A alternativa "A " está correta.
a) 0,5
Solução em vídeo:
4. UM CORPO DE MASSA M SE APROXIMA DE UM CORPO DE MASSA M QUE
ESTÁ PARADO COM VELOCIDADE DE 1M/S. AO COLIDIREM, O CORPO DE
MASSA M SE MOVE COM VELOCIDADE DE –(0,5)M/S E O CORPO DE MASSA M
COM VELOCIDADE DE 0,5M/S. O COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO DESSA
COLISÃO É IGUAL A:
A) 1
B) 0,98
C) 0,96
D) 0,5
GABARITO
4. Um corpo de massa m se aproxima de um corpo de massa M que está parado com velocidade
de 1m/s. Ao colidirem, o corpo de massa m se move com velocidade de –(0,5)m/s e o corpo de
massa M com velocidade de0,5m/s. O coeficiente de restituição dessa colisão é igual a:
A alternativa "A " está correta.
Solução:
� =
� �� � � � � � � � � � � �
� �� � � � � � � �çã� �
�� � � � � � � �çã� = 1 − 0 = 1 � / �
� �� � � � � � � � � � � � = 0, 5 — 0, 5 = 1 � / �
� = 0,5
0,5
= 1
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5. UMA MASSA DE 45 KG VIAJA A 23 KM/H, QUANDO COLIDE COM UM CORPO
DE MASSA M QUE ESTAVA PARADO. APÓS A COLISÃO, O CORPO DE MASSA M
SE LOCOMOVE COM VELOCIDADE DE 1M/S. QUAL DEVE SER A MASSA M PARA
QUE A COLISÃO SEJA COMPLETAMENTE ELÁSTICA?
A) 100,20kg
B) 530,10kg
C) 200,16kg
D) 1.000,00kg
GABARITO
5. Uma massa de 45 kg viaja a 23 km/h, quando colide com um corpo de massa M que estava
parado. Após a colisão, o corpo de massa M se locomove com velocidade de 1m/s. Qual deve ser
a massa M para que a colisão seja completamente elástica?
A alternativa "B " está correta.
b) 530,10kg
Solução em vídeo:
6. UM PROJÉTIL DE MASSA 300G SE APROXIMA DE UMA PLACA DE MADEIRA
DE MASSA 6KG, COM VELOCIDADE DE 780M/S. AO ATINGIR ESSA PLACA, O
PROJÉTIL SE ALOJA NELA E ARRASTA A PLACA POR 5CM, EM UM INTERVALO
DE TEMPO DE 0,39S. PODEMOS AFIRMAR QUE O SEU COEFICIENTE DE
RESTITUIÇÃO É IGUAL A:
A) 1
B) 0,66
C) 0,33
D) 0,00
GABARITO
6. Um projétil de massa 300g se aproxima de uma placa de madeira de massa 6kg, com
velocidade de 780m/s. Ao atingir essa placa, o projétil se aloja nela e arrasta a placa por 5cm, em
um intervalo de tempo de 0,39s. Podemos afirmar que o seu coeficiente de restituição é igual a:
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Como o projétil se aloja, temos uma colisão completamente elástica, devido ao fato de não haver
velocidade de afastamento. Assim:
� =
� �� � � � � � � � � � � �
� �� � � � � � � �çã� �
= 0
780
= 0
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UMA BOLA QUICANDO. ESSA BOLA É ABANDONADA DE UMA
ALTURA DE 1,50M, BATE NO CHÃO E ENTÃO RETORNA A UMA ALTURA DE
1,45M. PODEMOS AFIRMAR SOBRE ESSA COLISÃO QUE ELA É:
A) Totalmente elástica, uma vez que a bola é feita de um material elastômero, e esses materiais sempre
conservam a energia.
B) Totalmente inelástica, pois a bola precisa se deformar para poder quicar.
C) Totalmente elástica, pois a velocidade de aproximação da bola com o chão é igual à velocidade de
afastamento da bola com o chão.
D) Parcialmente elástica, pois o fato de a bola retornar a uma altura máxima mais baixa do que a altura
que ela foi largada indica perda de parte da energia inicial.
2. UMA BOLA DE 400G SE LOCOMOVE A UMA VELOCIDADE DE 20M/S QUANDO
SE CHOCA COM UM CUBO DE 550G, QUE ESTÁ PARADO. DESCONSIDERANDO
O ATRITO, ASSINALE A OPÇÃO QUE APRESENTA RESPECTIVAMENTE AS
VELOCIDADES DA BOLA E DO CUBO APÓS A COLISÃO:
A) 0m/s e 20m/s
B) – 20m/s e 0m/s
C) 2,87m/s e -16,84m/s
D) -2,87m/s e 16,84m/s
GABARITO
1. Considere uma bola quicando. Essa bola é abandonada de uma altura de 1,50m, bate no chão e
então retorna a uma altura de 1,45m. Podemos afirmar sobre essa colisão que ela é:
A alternativa "D " está correta.
Quando a bola é largada, ela possui energia potencial, que se transforma toda em energia cinética no
momento da colisão com o chão. Então, se essa energia fosse conservada, a bola deveria retornar a
uma altura igual a 1,50m. Como essa energia não foi conservada, a velocidade de afastamento da bola
em relação ao chão é menor do que a velocidade de aproximação.
2. Uma bola de 400g se locomove a uma velocidade de 20m/s quando se choca com um cubo de
550g, que está parado. Desconsiderando o atrito, assinale a opção que apresenta
respectivamente as velocidades da bola e do cubo após a colisão:
A alternativa "D " está correta.
Antes da colisão, temos energia e momento do sistema como:
�0 =
� �2
2
=
0,4 .202
2
= 80 �
�0 = � � = 0, 4 . 20 = 8 � . �
Após a colisão:
� =
0,4 �2� � � �
2
+
0,55 �2 � � � �
2
� = 0, 4 �� � � � + 0, 55 � � � � �
Utilizando o princípio de conservação e montando o sistema, temos:
0,4 �2� � � �
2
+
0,55 �2 � � � �
2
= 80 ���
0, 4 �� � � � + 0, 55 � � � � � = 8 ����
Isolando ����� em (II) e substituindo em (I), temos:
0,4
8−0,55 � � � � �
0,4
2
2
+
0,55 � � � � �
2
= 80
� � � � � = 16, 84 � / �
Substituindo esse resultado em (II), temos:
�� � � � = − 2, 87 � / �
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CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Identificamos aqui o conceito de momento linear, o qual se remete ao produto da massa pela velocidade
desenvolvida por um objeto.
Observamos que essa grandeza é vetorial e que a sua variação em função do tempo nos leva à
Segunda Lei de Newton. Verificamos também que o impulso é a variação do momento linear em relação
ao tempo, e que ele é definido considerando o momento linear final e o momento linear inicial do corpo
em movimento.
Consideramos que o momento linear é conservativo em um caso em que a força resultante é nula, e que
também podemos aplicar essa teoria na quantificação de massa ou velocidade em pares ação-reação,
como no caso do atirador de elite. Por fim, percebemos que o conceito de momento linear e sua
conservação é útil para as aplicações reais de perícia, como em acidentes de carro.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
CUTNELL, John D. et al. Física. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
HALLIDAY, David. et al. Fundamentos de Física. 10. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2016, v. 1.
MOSSMANN, V. L. F. et al. Determinação dos Coeficientes de Atrito Estático e Cinético Utilizando-
se a Aquisição Automática de Dados. In: Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, 2002. v.
24, n. 2, p. 146-149.
PEIXOTO, Paulo. Qual é a expressão correta para o trabalho realizado pela força de atrito
cinético? In: Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, 2018, v. 41, n. 1, p. 1-9, 6.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2014. v. 1.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos explorados neste tema, leia:
Investigando o impulso em crash tests utilizando vídeo-análise. In: Revista Brasileira de
Ensino de Física. São Paulo: 2014. v. 36, n. 1. Para verificar uma aplicação da teoria de impulso
em colisões.
Proposta experimental do estudo de colisões entre bolas de borracha e superfície plana. In
Revista Brasileira de Ensino de Física. São Paulo: 2017. v. 40, n. 2. Sobre colisão entre dois
corpos.
Uma discussão sobre o coeficiente de restituição. In Revista Brasileira de Ensino da Física.
São Paulo: 2017. v. 39, n. 4. Sobre as colisões e a importância do coeficiente de restituição.
CONTEUDISTA
Gabriel Burlandy Mota de Melo
 CURRÍCULO LATTES
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