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1. (Uem 2015) Dois carros A e B partem no 
mesmo instante t=0. de um mesmo ponto O 
em movimento retilíneo uniforme, com 
velocidades, respectivamente, vA e vB e em 
direções e sentidos que fazem entre si um 
ângulo de 60° Considerando St o triângulo 
com vértices dados pelas posições de A e de 
B, num instante t>0 e pelo ponto O, assinale 
o que for correto. 
01) Se vA = vB então St é um triângulo 
equilátero. 
02) Se vA=2vB então St é um triângulo 
retângulo. 
04) Se vA=3VB então St tem um ângulo interno 
obtuso. 
08) Para qualquer instante t>0 a área do 
triângulo St é dada por (VA.VB.t²) / 4 
16) A distância entre os carros A e B, num 
instante t>0 é dada por t. √(vA².vB²) 
 
2. (Ufg 2010) O GPS (sigla em inglês para 
sistema global de posicionamento) é 
composto por uma malha de 24 satélites que 
orbitam a Terra a uma altitude fixa e com 
velocidade constante. Nesses satélites estão 
instalados relógios atômicos que podem 
aferir o tempo com precisão de 
nanossegundos. Os satélites emitem ondas 
eletromagnéticas que se propagam com a 
velocidade da luz c. Essas ondas são 
codificadas de modo a fornecer as 
coordenadas do satélite e o instante em que 
o sinal foi emitido. Num certo instante t, o 
receptor capta os sinais de vários satélites e, 
a partir dos sinais obtidos de quatro satélites 
distintos, calcula as coordenadas (x, y, z) do 
receptor e o instante de tempo da recepção. 
A figura a seguir representa uma versão 
unidimensional de um GPS, na qual os 
satélites foram substituídos por duas antenas 
fixas que emitem sinais informando suas 
posições e os instantes da emissão (X1, t1) e 
(X2, t2). Um veículo equipado com um GPS, 
que se move em uma dimensão, pode ter sua 
localização X e o instante t conhecidos, 
obtendo simultaneamente os sinais das duas 
antenas. 
 
 
 
Considerando o exposto, determine: 
a) as equações que fornecem a posição e o 
instante de tempo do veículo (X e t) em 
função das coordenadas das antenas, dos 
instantes de emissão e da velocidade da luz 
c; 
b) a posição do veículo e sua distância da 
antena mais próxima, quando t1 = 2T e t2 = T, 
em função de X1, L e T. 
 
3. (Fgv 2009) Comandada com velocidade 
constante de 0,4 m/s a procissão iniciada no 
ponto indicado da Praça Santa Madalena 
segue com o Santo sobre o andor por toda a 
extensão da Av. Vanderli Diagramatelli. 
 
 
 
 
Para garantir a segurança dos devotos, a 
companhia de trânsito somente liberará o 
trânsito de uma via adjacente, assim que a 
última pessoa que segue pela procissão 
atravesse completamente a via em questão. 
 
Dados: A Av. Vanderli Diagramatelli se 
estende por mais de oito quarteirões e, 
devido à distribuição uniforme dos devotos 
sobre ela, o comprimento total da procissão é 
sempre 240 m. 
Todos os quarteirões são quadrados e têm 
áreas de 10.000 m². 
A largura de todas as ruas que atravessam a 
Av. Vanderli Diagramatelli é de 10 m. 
 
Do momento em que a procissão teve seu 
início até o instante em que será liberado o 
trânsito pela Av. Geralda Boapessoa, 
decorrerá um intervalo de tempo, em 
minutos, igual a: 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
01 + 02 + 04 = 07. 
 
[01] CORRETO. Se A Bv v= então têm-se dois 
lados iguais de um triângulo separados por 
um ângulo de 60 . Sabendo-se que a soma 
dos ângulos internos de um triângulo 
qualquer é 180 , e que os ângulos possuem 
relação com os seus lados, logo tem-se um 
triângulo com dois lados iguais (de 
comprimento qualquer) e dois ângulos iguais 
a 60 . Essas condições exigem que o terceiro 
ângulo também seja 60 , e que o terceiro lado 
seja igual aos dois primeiros. Assim, o único 
triângulo possível quando A Bv v= é o 
triângulo equilátero. A alternativa é correta. 
 
[02] CORRETO. Se A Bv 2v ,= pode-se 
desenhar a seguinte figura: 
 
 
 
Sendo Av representado por a e Bv 
representado por b, e sabendo que a relação 
entre eles é A Bv 2v ,= pode-se assumir, para 
fins de cálculo, que a 2= e b 1.= Sendo o 
ângulo entre eles de 60 , pode-se deduzir 
que: 
cateto b 1
cos 60 ,
hipotenusa 2
 = =
 que representa, de 
fato, o cosseno de 60 . A alternativa é correta. 
 
[04] CORRETO. Da alternativa anterior, 
percebe-se que sempre que a assumir valor 
maior que 2, teremos um triângulo com 
ângulo obtuso. Ou ainda, desenhando 
conforme figura abaixo. A alternativa é 
correta. 
 
 
 
[08] INCORRETO. Da Física, sabe que no 
movimento retilíneo uniforme a distância d é 
dada por d v t.=  Assim, utilizando ainda o 
triângulo retângulo da alternativa [02] como 
exemplo, pode-se escrever o comprimento da 
base b como Bb v t.=  Sendo c a altura de um 
triângulo qualquer num instante t 0, área do 
triângulo tS será dada por: 
( )
( )
B
t
A
A
A
B 2
A B
t t
v t cb c
S
2 2
v t 3c 3
sen 60 c
v t 2 2
v t 3
v t
2 v v t 3
S S
2 4
 
= =
 
 = = → =

  
        
= → =
 
 
A alternativa é incorreta. 
 
 
[16] INCORRETO. Da Física, sabe que no 
movimento retilíneo uniforme a distância d é 
dada por d v t.=  Assim, utilizando ainda o 
triângulo retângulo da alternativa [02] como 
exemplo, sendo c a distância entre Av e Bv 
num instante t 0, temos que as distâncias a 
e b podem ser escritas como: Aa v t=  e 
Bb v t.=  Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
A B
2 2 2 2
A B A B
c v t v t
c v t v t c t v v
=  − 
=  −  → =  − 
 
A alternativa é incorreta. 
 
Resposta da questão 2: 
Do movimento uniforme: S = vt, sendo v é 
a velocidade da luz: v = c. Assim:  = X c t 
Para a antena 1: 
X – X1 = c(t – t1)  X = X1 + c(t – t1) (equação 
I) 
 
Para a antena 2: 
X – X2 = -c(t = t2)  X = X2 – c(t – t2) (equação 
II) 
 
Somando essas duas equações (I + II), vem: 
X + X = [X1 + c(t – t1)] + [ X2 – c(t – t2)]  2X 
= X1 + X2 + c(t – t1 – t + t2)  X = 
+ + −1 2 2 1X X c(t t )
2  
X = 
( )
+
+ −1 2 2 1
X X c
t t
2 2 . 
 
Subtraindo essas equações (I – II), vem 
X – X = [X1 + c(t – t1)] – [X2 – c(t – t2)]  
0 = X1 – X2 + c(t – t1 + t – t2)  
0 = X1 – X2 + 2ct + c(-t1 – t2). 
 
Da figura dada: X1 = X2 – L. Então: 
0 = X2 – L – X2 + 2ct – c(t1 + t2)  
L + c(t1 + t2) = 2ct  
t = 
+
+ 1 2
t tL
2c 2 
 
b) Para t1 = T e t2 = 2T, basta substituir esses 
valores nas equações encontradas para X e t. 
Então: 
X = 
( )
+
+ −1 2 2 1
X X c
t t
2 2 . Sendo X2 = X1 + L, vem: 
X = 
( )
+ +
+ −1 1
X X L c
T 2T
2 2  X =
+
−1
2X L cT
2 2  
X = X1 + 
−L cT
2 
 
t = 
+
+ 1 2
t tL
2c 2  t = 
+
+ 
L 2T T
2c 2 
= +
L 3T
t
2c 2 . 
 
Resposta da questão 3: 
[E] 
 
Esta questão é equivalente a um trem 
ultrapassando uma ponte. No caso o trem é a 
procissão e a ponte o espaço desde a saída 
até a rua solicitada. 
 
Como os quarteirões são quadrados: 
2A L 10.000 L 100 m.= =  = 
 
Assim, a procissão de 240 m, deve atravessar 
um trecho de: 
100 10 10 120 m.+ + = 
 
O tempo total de travessia então será: 
S 120 240 360
v 0,4 t 900 s 15 min.
t t 0,4
Δ
Δ
Δ Δ
+
=  =  = = =