EM_V03_MATEMÁTICA LIVRO DE ATIVIDADES

Prévia do material em texto

©
Sh
ut
te
rst
oc
k/
An
dr
ey
_P
op
ov
Livro do Professor
Saymon Michel Sanches
Volume 3
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades / Saymon Michel Sanches. – 
Curitiba : Positivo, 2017.
 v. 3 : il.
 ISBN 978-85-467-1925-9 (Livro do professor)
 ISBN 978-85-467-1926-6 (Livro do aluno)
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
06
Semelhança e 
trigonometria
Semelhança de triângulos
Em triângulos semelhantes, lados correspondentes (ou homólogos) 
são aqueles que se opõem a ângulos congruentes. 
Casos de semelhança de triângulos
1º. caso: Ângulo-Ângulo (AA) 
Se dois triângulos apresentam dois ângulos correspondentes con-
gruentes, então eles são semelhantes.
A
C
B E
D
F
A D
B E
ABC DEF
� �
� � ∼
≡
≡
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ Δ Δ
2º. caso: Lado-Ângulo-Lado (LAL) 
Se dois triângulos apresentam dois pares de lados proporcionais e 
se os ângulos formados por esses lados são congruentes, então eles 
são semelhantes.
A
b
a
C
B
F
D
e
d
E
a
d
b
e
C F
ABC DEF
=
≡
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ Δ Δ
� �
∼
3º. caso: Lado-Lado-Lado (LLL) 
Se dois triângulos apresentam os três pares de lados proporcionais, 
então eles são semelhantes.
A
C
Bc
a d
f
b e
DE
F
a
d e
c
f
ABC DEF= = ⇒ Δ Δb
Relações métricas no 
triângulo retângulo
b2 = am
c2 = an
h2 = mn
bc = ah
B C
A
c
H
b
n m
h
a
Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipote-
nusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
a2 = b2 + c2
2 Volume 3
Razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
C
B
A
α
tg
medid do cateto oposto a
medida do cateto adjacente a
AB
AC
α α
α
= =a
sen
medida do cateto oposto a
medida da hipotenusa
AB
BC
α α= =
cos α α= =medida do cateto adjacente a
medida da hipotenusa
AC
BC
Essas razões possibilitam a obtenção de todos os elementos de um 
triângulo retângulo, desde que sejam conhecidos um ângulo, além do 
reto, e um de seus lados. 
30° 45° 60°
Seno 1
2
2
2
3
2
Cosseno 3
2
2
2
1
2
Tangente 3
3
1 3
Lei dos senos
Em um triângulo ABC qualquer, as medidas dos lados são proporcio-
nais aos senos dos respectivos ângulos opostos.
B
C
A
B
a
C
b
c
A
a
senA
b
se
c
senCˆ ˆ ˆ
= =
n B
Lei dos cossenos
Em um triângulo ABC qualquer, temos:
B
C
A
B
a
C
b
c
A
a2 = b2 + c2 – 2bc ⋅ cos Â
b2 = a2 + c2 – 2ac ⋅ cos B̂
c2 = a2 + b2 – 2ab ⋅ cos Ĉ
Área de um triângulo
Podemos calcular a área de um triângulo por meio da seguinte fórmula:
S
b h= ⋅
2
 (b é a medida da base e h é a altura relativa a essa base)
Veja, a seguir, outras duas maneiras para calcular a área de um triângulo.
Dois lados e o ângulo formado por eles 
 
Em um triângulo qualquer ABC, a área é igual:
B
C
A
B
a
C
b
c
A
S
b c senA
S
a c senB
S
a b senC
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
2
Três lados
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo qualquer ABC 
e p o semiperímetro. A área do triângulo ABC é dada pela relação 
conhecida como Fórmula de Heron:
B
A C
b
a
c
S p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
Sendo: p
a b c
=
+ +
2
Matemática 3
Atividades
2. (FGV – SP) Um retângulo em que a razão entre as 
medidas do maior e do menor lado é 
1 5
2
 é 
chamado retângulo de ouro. 
 Do retângulo de ouro da figura, retiramos um quadrado 
de lado 2a. 
 Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo 
de ouro.
As dimensões do retângulo resultante são: 2a e ( )1 5 2+ −a a
Razão entre as medidas do maior e do menor lado do retângulo 
resultante:
2
1 5 2
2
1 5 2
2
5 1
2
5 1
5 1
5 1
2 5 1
5 1
5 1
2
a
a a( )
( )
+ −
=
+ −
=
=
−
=
−
⋅ +
+
=
= ⋅ +
−
= +
 
Portanto, como a razão obtida é 1 5
2
+
, o retângulo resultante 
é um retângulo de ouro. 
Semelhança de triângulos
1. Mariana pretende ampliar uma foto de família para fa-
zer um quadro em sua sala. 
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/m
on
ke
yb
us
in
es
sim
ag
es
14 cm
21 cm
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/m
on
ke
yb
us
in
es
sim
ag
es
1,20 m
X
 Para que as proporções da foto original sejam mantidas, 
qual deve ser a medida, em metros, da nova largura da 
foto? 
21
120
14
21 12 14
16 8
21
0 8
cm
m
cm
x
x
x
x m
,
,
,
,
=
= ⋅
=
=
 
A nova largura deve ser de 0 8 80, .m cm=
4 Volume 3
3. Calcule o valor de p na figura a seguir.
B
A C
D E
p
3,3 cm
8 cm
4,4 cm
Δ Δ
=
+ =
+ =
=
=
ABC DBE
AB
DB
AC
DE
p
p
p
p
3 3
3 3
8
4 4
4 4 14 52 26 4
4 4 1188
,
, ,
, , ,
, ,
22 7, cm
4. Com base na figura a seguir, responda às questões 
propostas.
A B
C
D
E
30o
60o
a) Justifique a semelhança entre os triângulos ABC e 
ADE.
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é 180°, a medida do ângulo interno B do triângulo 
ABC é 180o – 30o – 60o = 90o. Portanto, pelo caso de 
semelhança AA, os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
b) Calcule o perímetro do quadrilátero BCDE, sabendo 
que BC AB e BE DE= = =1 3 2, .
No triângulo retângulo ABC, utilizamos o Teorema de 
Pitágoras para obter a medida AC.
( ) ( ) ( )
( )
( )
AC AB BC
AC
AC AC
2 2 2
2
2
2
2
3 1
4 2
= +
= +
= ⇒ =
 
Como os triângulos ABC e ADE são semelhantes, temos:
AB
AD
AC
AE
BC
DE
= =
Sendo DE = x, temos:
3 2
3 2
1
2
3 2
1
2 3 2
4 3
3
4
3 1
3
3
4
3
4
AD x x
x x
x x
x x
AD x
AD
AD
=
−
=
−
=
= −
= ⇒ =
=
= ⋅
=
Perímetro do quadrilátero BCDE:
BC CD
DE EB
BC CD DE EB
= = − =
= = ⋅ =
+ + + = + + + = +
1 2
3
4
5
4
3
4
2
3
4
3
2
1
5
4
3
4
3
2
9 3 3
;
;
44
5. Observe a figura a seguir:
B
A
C
E
D
Matemática 5
 Sabe-se que BC cm BE cm AC cm= = =12 20 15, , e 
AB // ED. Determine a medida do segmento AD.
Os triângulos ABC e DEC são semelhantes.
AC
DC
BC
EC
DC
DC
DC cm
=
=
−
⋅ = ⋅
= =
15 12
20 12
12 15 8
120
12
10
 
Portanto, AD AC DC cm cm cm= + = + =15 10 25 .
6. Em cada item a seguir, determine a medida solicitada.
a) CD
D
6
G
4,5
12
E
C
F
Os triângulos DFG e ECG são semelhantes pelo caso AA, 
uma vez que:
• os ângulos DGF e EGC são congruentes, pois são 
opostos pelo vértice;
• os ângulos CDF e CEF são congruentes, pois determi-
nam o mesmo arco na circunferência (arco CF);
• os ângulos DFE e ECD são congruentes, pois também 
determinam o mesmo arco na circunferência (arco 
DE).
Assim:
FG
CG
DG
EG
DG
DG DG
=
=
⋅ = ⋅ ⇒ = =
12
4 5 6
4 5 12 6
72
4 5
16
,
,
,
 
Portanto, CD CG DG= + = + =4 5 16 20 5, , .
b) RS e TU
R
2x
V xx + 1
x – 2
U
S
T
Os triângulos TRV e SUV são semelhantes pelo caso AA, 
uma vez que:
• os ângulos TVR e SVU são congruentes, pois são 
opostos pelo vértice;
• os ângulos RTU e RSU são congruentes, pois determi-
nam o mesmo arco na circunferência (arco RU);
• os ângulos TRS e SUT são congruentes, pois também 
determinam o mesmo arco na circunferência (arco ST).
Assim:
TV
SV
RV
UV
x
x
x
x
x x x x
x x x ou x
=
+
−
=
+ = −
− = ⇒ = =
1
2
2
2 4
5 0 0 5
2 2
2
O único valor de x que faz sentido é 5.
Portanto,
RS x x x
TU x x x
= + − = − = ⋅ − =
= + + = + = ⋅ + =
2 2 3 2 3 5 2 13
1 2 1 2 5 1 11
6 Volume 3
c) PD
A
B
D
P
C
10,5 cm
8,5 cm
4,5 cm
x
Os triângulos PBC e PDA são semelhantes pelo caso AA, 
uma vez que:
• o ângulo P é comum aos dois triângulos;
• os ângulos PCB e PAD são congruentes, pois determi-
nam o mesmo arco na circunferência (arco BD).
Assim:
PB
PD
PC
PA
x
x
x x
x x
x
=
= +
+
+ =
+ − =
+
4 5 8 5
4 5 10 5
8 5 67 5
8 5 67 5 0
2 1
2
2
2
, ,
, ,
, ,
, ,
77 135 0
17 17 4 2 135
2 2
17 1369
4
5 13 5
2
x
x
x x ou x
− =
=
− ± − ⋅ ⋅ −
⋅
=
− ±
⇒ = = −
( )
,
 
Portanto, PD = 5 cm.
7. (UFG – GO)Uma fonte luminosa a 25 cm do centro 
de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra 
circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura abaixo.
 Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro 
da esfera até a parede, em cm, é:
X a) 23 b) 25 c) 28 d) 32 e) 35 
Os triângulos ABC e AOD são semelhantes.
AC
AD
BC
OD
d
AD
=
+ =25 14
7
 
No triângulo retângulo AOD, temos:
25 7
625 49
576 24
2 2 2
2
2
= +
= −
= ⇒ =
( )
( )
( )
AD
AD
AD AD cm
 
Assim:
AC
AD
BC
OD
d
d d cm
=
+ =
+ = ⇒ =
25
24
14
7
25 48 23
A
D
B
CO d
7 cm
14 cm
25 cm
8. (UEPB) A projeção da sombra de um poste vertical so-
bre um chão plano mede 14 m. Neste mesmo instante, 
a sombra projetada de uma criança de 1 m de altura 
mede 0,7 m. Qual o comprimento do poste?
a) 24 m
X b) 20 m
c) 18 m
d) 15 m
e) 16 m
comprimento (m) medida da sombra (m)
x
1
14
0 7,
x
x
x
1
14
0 7
0 7 14
20
=
=
=
,
, 
O comprimento do poste é de 20 metros.
Matemática 7
9. (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de 
altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a 
sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais 
tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da 
pessoa passou a medir:
a) 30 cm
X b) 45 cm
c) 50 cm
d) 80 cm
e) 90 cm
comprimento (m) medida da sombra (m)
x
18
2
0 6, ,
x
x x
18
2
0 6
0 6 3 6 6
, ,
, ,
=
= ⇒ =
O comprimento do poste é 6 metros.
Após algum tempo, diminuiu 50 cm. Assim:
comprimento (m) medida da sombra (m)
6
18
15
,
,
y
6
18
15
6 2 7 0 45
,
,
, ,
=
= ⇒ =
y
y y
A sombra da pessoa passou a medir 0 45 45, .m cm=
10. (FGV – SP) Dois triângulos são semelhantes. O períme-
tro do primeiro é 24 m e o do segundo é 72 m. Se a 
área do primeiro for 24 m2, a área do segundo será
a) 108 m2
b) 144 m2
c) 180 m2
X d) 216 m2
e) 252 m2
Usando A e P para indicar área e perímetro, respectiva-
mente, temos:
A
A
P
P
1
2
1
2
2
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
24 24
722
2
A
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
24 1
32
2
A
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
24 1
92A
=
A m2
2
216=
11. (FGV – SP) 
a) Para medir a largura x de um rio sem necessida-
de de cruzá-lo, foram feitas várias medições como 
mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.
Considerando que o ângulo BEDˆ é reto, os triângulos 
ABC e EBD são semelhantes. Assim:
AC
ED
AB
EB
x
x
x m
=
=
=
=
2
24
2 5
2 5 48
19 2
,
,
,
A largura do rio é de 19,2 m.
b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro 
M de um triângulo é o dobro da distância do ponto E 
ao baricentro M.
Como D e E são pontos médios dos lados AB e AC, o 
segmento DE é paralelo ao lado BC. Assim, os triângulos 
ADE e ABC são semelhantes entre si, bem como os 
triângulos DEM e CBM. Portanto: 
AD
AB
DE
BC
=
1
2
= DE
BC
DE
CB
EM
BM
=
1
2
2= ⇒ = ⋅EM
BM
BM EM 
baricentro: o ponto de intersecção das medianas. Mediana é o segmento com extremidades em um vértice do triângulo e no ponto médio do lado oposto.
8 Volume 3
12. (UNISA – SP) Na figura, os pontos M e N pertencem 
respectivamente aos lados AB e AC do triângulo ABC, 
e BC é paralelo a MN .
 O perímetro do triângulo ABC vale
X a) 36. b) 32. c) 40. d) 28. e) 24.
Os triângulos ABC e AMN são semelhantes.
AB
AM
AC
AN
BC
MN
= =
4 8
2
2 4
1
x
x
AC
x
x
x
−
−
= = +
−
• −
−
= +
−
4 8
2
2 4
1
x
x
x
x
4
2 4
1
4 4 2 4 4= +
−
⇒ − = + ⇒ =x
x
x x x
• −
−
=4 8
2
x
x
AC
x
4
4
16= ⇒ =AC AC 
Perímetro do triângulo ABC:
( ) ( )4 8 2 4
6 4 6 4 4 16 36
x x AC
x AC
− + + + =
= − + = ⋅ − + =
 
13. (ENEM) O dono de um sítio pretende colocar uma haste 
de sustentação para melhor firmar dois postes de 
comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa 
a situação real na qual os postes são descritos pelos 
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo 
segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é 
indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD 
e BC representam cabos de aço que serão instalados.
 Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m
b) 2 m
X c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 6 m
Das semelhanças entre triângulos retângulos, temos:
• − =
•
−
=
− =
−
= − − +
=
=
4
6
4
6
24 4 6
10 24
2 4
2 2
h
h
x
y
h
h
x
y
h
h
h
h
h h h h
h
h m,
D
BA
C 6 – h
4 – h
h
x y
h
E
h
14. (UNESP – SP) Uma semicircunferência de centro O e 
raio r está inscrita em um setor circular de centro C e 
raio R, conforme a figura.
C
DR
R – r
r
B
A
O
r
R
s
 O ponto D é de tangência de BC com a semicircunfe-
rência. Se AB s= , demonstre que R s R r r s⋅ = ⋅ + ⋅ .
Os triângulos ABC e DOC são semelhantes.
AB
DO
BC
OC
s
r
R
R r
R s r s R r
R s R r r s
=
=
−
⋅ − ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ + ⋅
 
Matemática 9
15. (UEFS – BA) Dois postes verticais estão fincados em 
um terreno plano. Um deles possui ganchos a 0,5 m e 
a 4,5 m de altura, enquanto os ganchos do outro estão 
a 0,75 m e 6,75 m de altura. Dois cabos são esticados, 
indo do gancho mais baixo de cada poste ao mais alto 
do outro, e uma lâmpada é pendurada no ponto de 
interseção dos cabos.
 Essa lâmpada está pendurada a uma altura de
a) 2 m.
b) 2,5 m.
X c) 3 m.
d) 3,5 m.
e) 4 m.
Das semelhanças entre triângulos retângulos, temos:
• 4 5
0 75
,
,
−
−
=h
h
x
y
• h
h
x
y
−
−
=0 5
6 75
,
,
4 5
0 75
0 5
6 75
,
,
,
,
−
−
= −
−
h
h
h
h
4 5 6 75 4 5 6 75 0 5 0 75 0 75 0 52 2, , , , , , , ,⋅ − − + = − − + ⋅h h h h h h
30 375 1125 125 0 375, , , ,− = − +h h
10h = 30
h = 3 m
h
4,5 – h
6,75 – h
h – 0,75
h – 0,5
x y
Relações métricas no triângulo 
retângulo
16. Marcelo vai fazer um chapéu de marinheiro utilizando o 
processo de dobradura de papel. O primeiro passo da 
confecção está descrito nas figuras abaixo.
A D
CB
10 cm
20 cm
A D
CE
16 cm
B
 Determine o perímetro aproximado do triângulo ABE. 
I. O triângulo ABE é retângulo em B.
II. A medida do lado AB é 10 cm.
III. O lado BE mede 4 cm, pois BE = BC – EC. 
Aplicando o Teorema de Pitágoras para determinar a medida 
do lado AE:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
AE AB BE
AE
AE
AE
AE
2 2 2
2 2 2
2
2
10 4
100 16
116
116
= +
= +
= +
=
=
Com uma calculadora, obtemos AE cm10 77, .
Portanto, o perímetro do triângulo ABE é aproximadamente 
10 + 4 + 10,77 = 24,77 cm.
17. Com base no triângulo retângulo a seguir, assinale V 
caso a afirmação seja verdadeira e F caso seja falsa.
c
C
A
B
D
16 cm
8 cm
h
m 12 cm
a) ( V ) A medida do segmento CD é 4 cm. 
b) ( V ) A medida de AB é 8 3 cm. 
c) ( V ) h = 4 3 cm. 
d) ( F ) O perímetro do triângulo ABD é 24 3 cm. 
e) ( V ) O perímetro do triângulo ABC é 8 3 3⋅ +( ) cm.
a) Verdadeira.
CD m cm cm= = −16 12
CD cm= 4 
b) Verdadeira.
16 82 2 2= + c
256 64
192 8 3
2
2
= +
= ⇒ =
c
c c cm
c) Verdadeira.
h2 4 12= ⋅
h h cm2 48 4 3= ⇒ = 
d) Falsa.
12 4 3 8 3+ + =
= + =
= ⋅ +
12 12 3
12 1 3( ) cm
e) Verdadeira.
8 3 16 8+ + =
= + =
= ⋅ +
8 3 24
8 3 3( ) cm
10 Volume 3
18. Calcule os valores desconhecidos na figura a seguir: 
3
2
A
B C
D
y
xz
w
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, 
determinamos o valor de z.
3 2
9 4
5 5
2 2 2
2
2
= +
= −
= ⇒ =
z
z
z z
 
Conhecendo o valor de z, determinamos o valor de x.
z x
x x
2
2
2
5 2 2 5
= ⋅
= ⋅ ⇒ = ,
 
Assim, w x= + = + =2 2 2 5 4 5, , . 
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, 
determinamos o valor de y.
w y
y
y
y y
2 2 2
2 2
2
2
3
4 5 9
20 25 9
1125
45
4
3 5
2
= +
= +
= −
= = ⇒ =
( , )
,
,
 
19. Determine a medida x em cada caso.
a) 
B
A 17 cm
26 cm
39 cm
22 cm
x x
D
C
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, 
temos:
26 22
676 484
192
8 3
2 2 2
2
2
= +
= −
=
=
x
x
x
x cm
 
b) 8 mm 8 mm
A BD
x
C
6 mm
Como o triângulo ABC é isósceles, a altura relativa ao 
lado AB é também mediana. 
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
8 3
64 9
55
55
2 2 2
2
2
= +
= −
=
=
x
x
x
x mm
 
20. Após uma batida, um poste de 12 metros partiu-se, 
comomostra a figura.
 Sabendo que o topo do poste tocou o chão a 6 m de 
sua base, determine o comprimento de cada uma das 
duas partes em que o poste ficou dividido. 
No triângulo retângulo da figura, temos:
( )
,
12 6
144 24 36
24 108
4 5
2 2 2
2 2
− = +
− + = +
=
=
x x
x x x
x
x m
 
Assim, a parte que ficou na vertical mede 4,5 m, e a outra 
parte mede 12 m – 4,5 m = 7,5 m. 
x 12 – x
6 m
Matemática 11
21. (FUVEST – SP) Um lateral L faz um lançamento para 
um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha 
paralela à lateral do campo de futebol.
 A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas 
não paralela à lateral e quando passa pela linha de 
meio do campo está a uma distância de 12 m da linha 
que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha 
de meio do campo está à mesma distância dos dois 
jogadores, a distância mínima que o atacante terá que 
percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:
a) 18,8 m
X b) 19,2 m
c) 19,6 m
d) 20 m
e) 20,4 m
Os triângulos LCO e LBA são semelhantes. Assim:
LC
LB
LO
LA
CO
BA
LB
LO
d
= =
= =16
32
12
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo LCO, 
temos:
( )
( )
( )
LO
LO
LO
LO m
2 2 2
2
2
12 16
144 256
400
20
= +
= +
=
=
 
Portanto,
20
32
12
20 384
19 2
=
=
=
d
d
d m,
A
L
B
C O
d
16 m
16 m
12 m
22. (UNESP – SP) Em uma residência, há uma área de lazer 
com uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa 
área há um coqueiro, representado na figura por um 
ponto Q.
 Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T 
(da piscina) é 6 m, a distância d QP= , do coqueiro à 
piscina, é:
X a) 4 m.
b) 4,5 m.
c) 5 m.
d) 5,5 m.
e) 6 m.
O raio da piscina mede 2,5 metros.
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo retân-
gulo OTQ, temos:
( , ) ,
, ,
d
d d
d d
d ou d
+ = +
+ + = +
+ − =
= = −
2 5 2 5 6
5 6 25 6 25 36
5 36 0
4 9
2 2 2
2
2
 
Como d é uma distância, então d = 4m.
2,5 m
2,5 m
6 m
T
P
QO d
23. (ENEM) 
 Na figura acima, que representa o projeto de uma es-
cada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento 
total do corrimão é igual a: 
12 Volume 3
a) 1,8 m.
b) 1,9 m.
c) 2,0 m.
X d) 2,1 m.
e) 2,2 m.
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
x
x
x
x cm
2 2 2
2
2
90 120
8100 14400
22500
150
= +
= +
=
=
 
Assim, o comprimento do corrimão é:
150 cm + 30 cm + 30 cm = 210 cm = 2,1 m
90 cm
5 . 24 cm = 120 cm
x
24. (FUVEST – SP) No jogo de bocha, disputado num ter-
reno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de 
raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de 
raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer 
com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme 
ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e 
B, em que as bolas tocam o chão, é:
a) 8
b) 6 2
X c) 8 2
d) 4 3
e) 6 3
( ) ( )
( )
( )
( )
8 4 4
12 4
144 16
128
8 2
2 2 2
2 2 2
2
2
+ = +
= −
= −
=
=
AB
AB
AB
AB
AB
4
4
8
4
4
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
25. Em um triângulo retângulo, sabe-se que:
• o perímetro é 150 cm;
• a medida da altura relativa à hipotenusa é 30 cm.
a) Determine a medida da hipotenusa.
Sejam a, b e c, respectivamente, as medidas da hipo-
tenusa e dos catetos e h a medida da altura relativa à 
hipotenusa, todas em centímetros.
a b c I
h II
b c a h III
II em III
b c a
I
+ + =
=
⋅ = ⋅
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⋅ =
150
30
30
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
aa b c
b c a
b c a
b b c c a a
+ + =
+ = −
+ = −
+ ⋅ ⋅ + = − +
150
150
150
2 150 300
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
22 30 22500 300
360 22500 62 5
⋅ = −
= ⇒ =
a a
a a ,
 
A hipotenusa mede 62,5 cm.
b) Calcule a área desse triângulo.
 
a h
Área
2
62,5 30
Área
2
Área 937,5
⋅=
⋅=
=
A área do triângulo é 937,5 cm2.
c) Determine as medidas dos catetos.
b c a
b c
b c a
b c
b c
b
+ = −
+ = − =
⋅ =
⋅ = ⋅ =
+ =
150
150 62 5 87 5
30
30 62 5 1875
87 5
, ,
,
,
⋅⋅ =
⎧
⎨
⎩
+ = ⇒ = −
⋅ =
⋅ − =
−
c
b c c b
b c
b b
b
1875
87 5 87 5
1875
87 5 1875
87 52
, ,
( , )
, bb
b c
b c
+ =
= ⇒ =
= ⇒ =
1875 0
50 37 5
37 5 50
,
,
 
Portanto, os catetos medem 37,5 cm e 50 cm.
Matemática 13
Razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
26. Calcule as medidas m e n indicadas nas figuras a 
seguir:
a) 
30º
n m
5
sen
m
m
m
30
5
1
2
5
10
° =
=
=
 
tg
n
n
n
n
n
30
5
3
3
5
3 15
15
3
15
3
3
3
5 3
° =
=
⋅ =
= = ⋅
=
b) n
m
10
27º
sen
n
n
n
m
m
m
27
10
0 454
10
4 54
27
10
0 891
10
8 91
° =
=
=
° =
=
=
,
,
cos
,
,
A tabela trigonométrica apresenta os 
valores de seno, cosseno e tangente 
com seis casas decimais. Nas 
resoluções, usaremos aproximações 
para duas ou três casas decimais, 
conforme seja necessário, para 
obter maior precisão nos resultados.
c) 
30º
120º60º
30º
n
m
48
O triângulo obtusângulo cujos ângulos internos medem 
30°, 30° e 120° é isósceles. Assim, n = 48.
No triângulo retângulo menor, temos:
sen
m
n
m
m
m
60
3
2 48
48 3
2
24 3
° =
=
=
=
27. Deseja-se construir uma rampa de acesso na entrada 
de um banco. Sabe-se que a diferença de altura entre 
a calçada e o piso do banco é de 1,5 m e que a incli-
nação da rampa é de 5°. Determine o comprimento da 
rampa.
sen
x
x
x
x m
5
15
0 087
15
15
0 087
17 24
° =
=
=
,
,
,
,
,
,
1,5 m
5º
14 Volume 3
28. Um salva-vidas está em seu posto, a uma altura de 
10 m em relação ao nível da praia. Desse ponto de 
observação, ele percebe um banhista se afogando, 
avistando-o sob um ângulo de 73° em relação à verti-
cal. A que distância da base do posto está o banhista?
tg
x
x
x m
73
10
3 27
10
32 7
° =
=
=
,
,
 
O banhista encontra-se a aproximadamente 32,7 metros de 
distância do posto.
73º
10 m
x
29. Determine as medidas de r, s, t e u, indicadas na figura 
a seguir.
30º
30º
30º
40
u
r
s
t
x
sen
x
30
40° =
1
2
40
80= ⇒ =
x
x
cos 30° = x
t
3
2
80 160 3
3
= ⇒ =
t
t
tg
u
x
30° =
3
3 80
80 3
3
= ⇒ =u u
cos 30° = t
s
3
2
160 3
3 320
3
= ⇒ =
s
s
tg
r
t
30° =
3
3 160 3
3
160
3
= ⇒ =r r
30. (UEL – PR) Um indivíduo em férias na praia observa, a 
partir da posição P1, um barco ancorado no horizonte 
norte na posição B. Nesta posição P1, o ângulo de visão 
do barco, em relação à praia, é de 90°, como mostrado 
na figura a seguir.
 Ele corre aproximadamente 1 000 metros na direção 
oeste e observa novamente o barco a partir da posição 
P2. Neste novo ponto de observação P2, o ângulo de 
visão do barco, em relação à praia, é de 45°. Qual a 
distância P2B aproximadamente?
a) 1 000 metros
b) 1 014 metros
X c) 1 414 metros
d) 1 714 metros
e) 2 414 metros
 
Primeira solução:
cos 45
1000
2
2
1000
2 2000
2000
2
2000
2
2
2
2
2
2
2
2
2
° =
=
⋅ =
=
= ⋅
P B
P B
P B
P B
P B
P B ==
⋅
1000 2
1000 1414
1414
2
2
P B
P B metros
,
Segunda solução:
O triângulo P1P2B é retân-
gulo e isósceles. Assim, 
P1B = 1000 m. 
Utilizando o Teorema de 
Pitágoras, temos:
( ) ( ) ( )
( )
( )
P B PB PP
P B
P B
P B
2
2
1
2
1 2
2
2
2 2 2
2
2 2
2
1000 1000
2 1000
2
= +
= +
= ⋅
= ⋅⋅
=
⋅
1000
1000 2
1000 1414
1414
2
2
2
2
P B
P B
P B metros
,
Matemática 15
31. (UFG – GO) Um avião, em procedimento de pouso, 
encontrava-se a 700 m de altitude, no momento em 
que a linha que liga o trem de pouso ao ponto de toque 
formava um ângulo com a pista de pouso, conforme 
a ilustração abaixo.
 Para a aterrissagem, o piloto programou o ponto de 
toque do trem de pouso com o solo para 300 m após a 
cabeceira da pista, indicada por C na figura. Sabendo 
que sen( ) ,θ = 0 28 e que o ponto P é a projeção verti-
cal do trem de pouso no solo, a distância, em metros, 
do ponto P ao ponto C corresponde a
a) 1 700
X b) 2 100
c) 2 200
d) 2 500
e) 2 700
sen
AT
AT
AT m
θ =
=
=
700
0 28
700
2500
,
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
( ) ( ) ( )
( )
( )
(
AT AP PT
dd
d
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2500 700 300
300 2500 700
= +
= + +
+ = −
+ 3300 2500 700 2500 700
300 3200 1800
300 576
2
2
2
) ( ) ( )
( )
( )
= + ⋅ −
+ = ⋅
+ =
d
d ⋅⋅
+ = ⋅
+ = ⇒ =
10
300 24 10
300 2400 2 100
4
2d
d d m
700 m
P d C
A
T
300 m
32. (UNEB – BA) A tirolesa é uma técnica utilizada para o 
transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técni-
ca, a carga é presa a uma roldana que desliza por um 
cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas 
diferentes. A tirolesa também é utilizada como prática 
esportiva, sendo considerado um esporte radical. Em 
certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, 
a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de 
maneira que as alturas das extremidades do cabo por 
onde os participantes deslizam estão a cerca de 52 m e 
8 m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo 
de descida formado com a vertical é de 80°.
 Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e 
que tg 10 0 176° = , , pode-se afirmar que a distância 
horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso, 
é aproximadamente igual a
X 01) 250
02) 252
03) 254
04) 256
05) 258
x
10º
80º
44 m
8 m 8 m
A distância vertical percorrida é de 52 m – 8 m = 44 m.
tg
x
x
x
x m
10
44
0 176
44
44
0 176
250
° =
=
=
=
,
,
 
33. (UFU – MG) O comandante de um navio fez, pela pri-
meira vez, uma rota retilínea AC orientado por um farol 
F, localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as dis-
tâncias do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol 
F. No início da viagem, o comandante obteve a medi-
da FAC = °30 e, após percorrer 6 milhas marítimas, 
localizando-se em B, ele fez a medição do ângulo FBC, 
obtendo 60°. Observe a figura a seguir que ilustra esta 
situação.
30º
y
x
A
F
B D C
30º
120º
60º
6
6
16 Volume 3
 De acordo com as informações, as distâncias, em mi-
lhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F, 
obtidas pelo comandante foram, respectivamente,
a) 2 3 e 
3
2
3 .
b) 2 3 e 4 3 .
X c) 3 3 e 6 3 .
d) 3 3 e 3 .
Observe que o triângulo ABF é isósceles, com AB = BF.
Triângulo BDF:
sen
x
x
x
x milhas
60
6
3
2 6
2 6 3
3 3
° =
=
=
=
 
Triângulo ADF: 
sen
x
y
y
y milhas
30
1
2
3 3
6 3
° =
=
=
34. (IFSP) Ao atender o chamado de um incêndio em um 
edifício, o corpo de bombeiros de uma cidade utilizou 
um veículo de combate a incêndio, dotado de escada 
magirus. Esse veículo possibilita atender a resgates a 
uma altura máxima de 54 metros.
 Na figura, considere que
• A é o ponto de apoio da escada no caminhão;
• C é o ponto de apoio da escada no edifício;
• as retas AB
� ��
 e CD
� ��
 são perpendiculares entre si;
• a distância do ponto A ao solo é de 2 m; e
• a medida do ângulo BACˆ é de 60°. 
 Nessas condições, o comprimento da escada magirus, 
quando totalmente esticada (medida do segmento AC ), 
é, em metros, aproximadamente,
X a) 58.
b) 60.
c) 88.
d) 104.
e) 108.
x
60º
54 m – 2 m = 52 m
sen
x
x
x
x m
60
52
0 9
52
52
0 9
58
° =
=
=
,
,
35. (PUC-Campinas – SP) A figura indica um avião supersônico 
voando de A para C a 12 km de altitude e com velocidade 
constante de 1 872 km/h.
 Desprezando-se a curvatura da Terra e adotando no 
cálculo final 3 17= , , o tempo que esse avião leva 
para ir de B até C, em segundos, é igual a
Adote
sen60 0 9
60 0 5
° =
° =
,
cos ,
Matemática 17
a) 6. b) 8. X c) 10. d) 12. e) 14.
Triângulo APB:
tg
AB
AP
AB
AB km
30
3
3 12
4 3
° =
= ⇒ =
 
Triângulo APC:
tg
AC
AP
AC
AC km
45
1
12
12
° =
= ⇒ =
v
s
t
t
t h
= Δ
Δ
= −
Δ
Δ = − ⋅ =
1872
12 4 3
12 4 17
1872
1
360
,
 
Como 1h = 3 600 s, Δ = ⋅ =t s s1
360
3600 10 .
Lei dos senos 
36. Será instalado um cabo telefônico entre um poste de 
distribuição e uma fazenda. Porém, no trecho em linha 
reta que liga esses dois lugares, existe uma região ala-
gada, impossibilitando a medição direta, como mostra 
a figura.
Fazenda
Poste
 Para tal medição, foi fixado um ponto O e, com o auxílio 
de um teodolito, foram feitas algumas medições indi-
cadas na figura.
52º
98º
1250 m
Fazenda
O
Poste
 Com base nas informações dadas, calcule o compri-
mento mínimo de cabo telefônico necessário para ligar 
o poste à fazenda.
O terceiro ângulo interno do triângulo formado pelo ponto 
O e pelas extremidades do cabo telefônico que será 
utilizado mede 180° – 98° – 52° = 30°. Chamando de d a 
distância entre a fazenda e o poste, temos:
1250
30 52
1250
0 5 0 788
1250 0 788
0 5
1970
sen
d
sen
d
d
d m
°
=
°
=
= ⋅
=
, ,
,
,
 
37. Determine as medidas desconhecidas indicadas nas 
figuras a seguir. 
a) 
100º
35º
12 m
y
x
O terceiro ângulo interno do triângulo mede 
180 100 35 45° − ° − ° = °.
12
35 100
12
0 574 0 985
0 574 1182 2
80
sen
y
sen
y
y y
sen
°
=
°
=
= ⇒
°
��	 
	
�
, ,
, , 00 59
12
35 45
12
0 574 0 707
0 574 8 484 14 78
,
, ,
, , ,
m
sen
x
sen
x
x x m
°
=
°
=
= ⇒ �
18 Volume 3
b) 
y
x
55º
z
x
5 cm
6 cm
5
55
6
5
0 819
6
5 4 914
0 9828 79
sen sen y
sen y
sen y
sen y y
°
=
=
⋅ =
= ⇒ °
,
,
,
Assim, x 46°.
5
55 46
5
0 819 0 719
0 819 3 595 4 39
sen
z
sen
z
z z
°
=
°
=
= ⇒
, ,
, , ,
38. Um terreno com formato triangular tem dois de seus la-
dos medindo 60 m e estes formam entre si um ângulo 
de 50°. Calcule o perímetro desse terreno. 
Como temos dois lados medindo 60 m, o triângulo é 
isósceles e seus ângulos internos medem 50°, 65° e 65°.
50º
65º
60 m 60 m
x
65º
x
sen sen
x
x
x
x
50
60
65
0 766
60
0 906
0 906 45 96
45 96
0 906
50
°
=
°
=
=
=
, ,
, ,
,
,
,,7 m
 
Perímetro aproximado do terreno:
60 60 50 7 170 7m m m m+ + =, ,
39. (MACKENZIE – SP) Três ilhas A, B e C aparecem num 
mapa, em escala 1:10 000, como na figura. Das al-
ternativas, a que melhor aproxima a distância entre as 
ilhas A e B é:
a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
X e) 1,7 km
No triângulo ABC, a medida do ângulo interno C é 
180 30 105 45° − ° − ° = °. Assim:
12
30 45
12
1
2
2
2
12 2
12 141 16 92
sen
AB
sen
AB
AB cm
AB cm cm
°
=
°
=
=
⋅ =, ,
 
Como o mapa está em escala 1 10000: , temos:
AB cm km= ⋅ = =16 92 10000 169200 1692, , .
Das alternativas, o valor mais próximo é 1,7 km.
Observação: Outra maneira possível para determinar 
a distância AB é dividir o triângulo ABC em dois 
triângulos retângulos, por meio da altura relativa ao 
lado BC. Desse modo, determinamos inicialmente a 
medida dessa altura e, posteriormente, a medida do 
lado AB.
40. (UFG – GO) Observe a figura a seguir, em que estão 
indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e 
alguns dos ângulos. 
Matemática 19
 O seno do ângulo indicado por α na figura vale:
X a) 
4 3 3
10
b) 
4 3
10
c) 
4 3 3
10
d) 
4 3 3
10
e) 
4 3 3
10
Calculamos inicialmente a medida do cateto oposto ao 
ângulo de 30° no triângulo retângulo menor.
tg
x
x
x x
30
6
3
3 6
3 6 3 2 3
° =
=
= ⇒ =
Cálculo do seno do ângulo indicado por α:
8 2 3 10
120
10 8 2 3
3
2
10 4 3 3
60
− =
°
⋅ = −( ) ⋅
⋅ = −
°
sen sen
sen
sen
sen
α
α
α
��	 
	
ssen α = −4 3 3
10
10
8 – x
6
x
120º
60º
30º
α
41. (IFSP) Uma empresa de fornecimento de energia, ao 
instalar a rede elétrica em uma fazenda, precisou 
colocar dois postes em lados opostos de um lago 
para permitir a passagem da fiação. Com isso, surgiu 
um pequeno problema: para fazer o projeto da rede, 
seria necessário saber a distância entre os postes, e 
a presença do lago impedia a medição direta dessa 
distância. Um dos engenheiros posicionou-se em um 
local onde era possível visualizar os dois postes e medir 
a distância entre eles.
 Com um aparelho apropriado, ele mediu o ângulo entre 
a linha de visão dele e os postes, obtendo 120°. Um 
auxiliar mediu a distância do poste mais afastado do 
engenheiro e obteve 100 m; outro auxiliar mediu o ân-
gulo entre a linha do poste mais próximo doengenheiro 
e a linha entre os postes, obtendo 45°.
 Com essas informações, o engenheiro sorriu. Ele já 
conseguiria calcular a distância aproximada entre os 
postes. Assinale a alternativa que a apresenta.
a) 300 m.
b) 150 m.
X c) 122,47 m.
d) 112,17 m.
e) 95,26 m.
Podemos calcular a distância d entre os postes 
utilizando a lei dos senos. 
x
sen sen
sen
120
100
45
60
°
=
°
°
��	 
	
x
3
2
100
2
2
=
x ⋅ =2 100 3
x = = ⋅ =100 3
2
100 3
2
2
2
50 6 
Usando 2,45 como aproximação para 6 , obtemos 
x m= ⋅ =50 2 45 122 5, , . Outra opção é usar 1,41 e 
1,73 como aproximações para 2 e 3 . Nesse caso, 
obtemos x m= ⋅ ⋅ =50 141 173 121965, , , . Com uma cal-
culadora, obtemos a medida aproximada de 122,47 m. 
20 Volume 3
Lei dos cossenos
42. Determine o valor de x em cada caso.
a) 
60º
x
18
10
x
x
x
x
2 2 2
2
2
2
10 18 2 10 18 60
100 324 2 10 18
1
2
424 180
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= −
cos
==
=
=
244
244
2 61
15 62
x
x
x ,
b) 
x
120º
8 cm
8 cm
x
x
2 2 2
2
8 8 2 8 8 120
64 64 2 8 8
1
2
60
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− °
cos
cos
��	 
	
xx
x
x
x cm
2
2
128 64
192
192
8 3
= +
=
=
=
c) 
x
3 cm
7 cm
8 cm
7 3 8 2 3 8
49 9 64 48
48 24
1
2
60
2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅
⋅ =
=
= °
cos
cos
cos
cos
x
x
x
x
x
d) 
60º
5 cm
7 cm
X
7 5 2 5 60
49 25 10
1
2
5 24 0
5 5
2 2 2
2
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅
− − =
=
− − ± −
x x
x x
x x
x
cos
( ) ( )22 4 1 24
2 1
5 121
2
5 11
2
8 3
− ⋅ ⋅ −
⋅
= ±
= ± ⇒ = = −
( )
x
x x ou x
Como x é uma medida, então x = 8 cm.
43. Os navios A e B partem ao mesmo tempo de um porto 
em direções que formam entre si um ângulo de 35°.
 As velocidades dos navios são constantes e iguais a 
V km hA = 70 / e V km hB = 80 / . Qual a distância entre 
eles após 2 h 30 min?
 Se necessário, use as seguintes aproximações:
 
sen 35 0 57
35 0 82
° =
° =
,
cos ,
 
Matemática 21
Após 2 h 30 min = 2,5 horas
Navio A: 70 2 5 175⋅ =, km
Navio B: 80 2 5 200⋅ =, km
d
d
2 2 2
2
200 175 2 200 175 35
40000 30625 2 200 175 0 82
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
cos
,
dd
d
d
d km
2
2
70625 57400
13225
13225
115
= −
=
=
=
35º
175 km
d
200 km
44. (UNIFOR – CE) Um terreno de forma triangular tem 
frentes de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre 
si, um ângulo de 120°. A medida do terceiro lado do 
terreno, em metros, é:
a) 10 5
b) 10 6
X c) 10 7
d) 26
e) 20 2
x
x
x
2 2 2
2
2
10 20 2 10 20 120
100 400 2 10 20
1
2
5
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
cos
000 200
700
700
10 7
2
+
=
=
=
x
x
x m
x
10 m
20 m
120º
45. Determine o valor de x, sabendo que x, x + 2 e x + 4 
são, respectivamente, as medidas dos lados AB, BC e 
AC de um triângulo ABC cujo ângulo interno B̂ mede 
120o.
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:
( ) ( ) ( ) cosx x x x x
x x x x x x
+ = + + − ⋅ ⋅ + ⋅ °
+ + = + + + − ⋅ ⋅
4 2 2 2 120
8 16 4 4 2
2 2 2
2 2 2 (( )x
x x x x x x
x x
x x
+ ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + = + + + +
− − =
− − =
2
1
2
8 16 2 4 4 2
2 2 12 0
6 0
2 2 2
2
2
xx ou x= = −3 2
 
Como x é uma medida, então x = 3. 
x + 4
A
C
B
x
x + 2
120º
46. (UNIMONTES – MG) Considere o triângulo isósceles 
ABC da figura abaixo. É correto afirmar que o cosseno 
do ângulo  vale
a) 
2
9
. b) 
1
3
. X c) 
1
9
. d) 
2
3
.
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:
2
2 2
2
2 2
4a ˆa a 2 a a cos A
3
16a ˆ2a 2a cos A
9
8ˆcos A 1
9
1ˆcos A
9
⎛ ⎞ = + − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
= − ⋅
= −
=
22 Volume 3
47. (INSPER – SP) Considere o quadrilátero convexo ABCD 
mostrado na figura, em que AB = 4 cm, AD = 3 cm e 
m(Â) = 90°.
 Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo 
ABCˆ e BD BC= , então a medida do lado CD, em cen-
tímetros, vale
a) 2 2
X b) 10
c) 11 
d) 2 3
e) 15 
Triângulo retângulo ABD:
( )
( )
cos
BD
BD
BD cm
AB
BD
2 2 2
2
3 4
25
5
4
5
= +
=
=
= =α
 
Triângulo BCD:
BC = 5 cm
( ) ( ) ( ) cos
( )
( )
CD BC BD BC BD
CD
CD
2 2 2
2 2 2
2
2
5 5 2 5 5
4
5
25
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
=
α
++ −
=
=
25 40
10
10
2( )CD
CD cm
 
48. (UFPR) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. 
O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um 
curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. 
O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um cur-
so de 105° em relação ao norte, também no sentido 
horário. Após uma hora de viagem, a que distância se 
encontrarão separados os navios, supondo que eles te-
nham mantido o mesmo curso e velocidade desde que 
deixaram o porto? 
a) 10 km.
X b) 14 km.
c) 15 km.
d) 17 km.
e) 22 km.
Após uma hora de viagem, o primeiro navio percorrerá 
16 km e o segundo, 6 km. Observe a figura, na qual P indica 
o porto e d a distância entre os navios uma hora após a 
partida.
 
d
P
6 km
16 km
Norte
60º
45º
Utilizando a lei dos cossenos, temos:
d
d
d
d
d
2 2 2
2
2
2
16 6 2 16 6 60
256 36 2 16 6
1
2
292 96
196
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= −
=
cos
==
=
196
14d km
49. (UECE) Se a medida de um dos ângulos internos de um 
paralelogramo é 120° e se as medidas de dois de seus 
lados são respectivamente 6 m e 8 m, então a medida, 
em metros, da diagonal de maior comprimento deste 
paralelogramo é
X a) 2 37
b) 3 37
c) 2 48
d) 3 48 
Utilizando a lei dos cossenos em um dos triângulos determi-
nados pela diagonal maior, de medida D, temos:
D
D
D
D
2 2 2
2
2
2
6 8 2 6 8 120
36 64 2 6 8
1
2
100 48
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +
=
cos
1148
148
2 37
D
D m
=
=
D
6 m
8 m
120º
Matemática 23
50. (FGV – SP)
a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal 
aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum 
destes dados: 352 = 1225; 362 = 1296; 372 = 1369. 
Seja x a medida do terceiro lado do triângulo, temos:
x
x
x
x
x
2 2 2
2
2
2
6 8 2 6 8 60
36 64 2 6 8
1
2
36 64 48
52
2 1
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + −
=
=
cos
33 cm
Como 12 96 13 13 69, , ,< < então:
12 96 13 13 69
3 6 13 3 7
, ,
, ,
< <
< <
Assim, a aproximação até os décimos de 13 é 3,6.
O perímetro aproximado do triângulo é
6 8 2 3 6 212cm cm cm cm+ + ⋅ =, , . 
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em 
cartolina. Decidiu construir o triângulo com as se-
guintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm e 16 cm. Ele 
conseguirá fazer o cartaz? Por quê?
Não, pois em todo triângulo a medida de qualquer lado 
é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. 
Como 8 6 14 16cm cm cm cm+ = < , não existe um 
triângulo com essas medidas. 
Área de um triângulo
51. Calcule a área dos triângulos a seguir.
a) 
B C
A
8 cm
12 cm
60º
S sen
S
S cm
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
12 8 60
1
2
12 8
3
2
24 3 2
b) 
D
E F
7 cm
6 cm 5 cm
p
p cm
S
S
S cm
= + +
=
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅
=
5 6 7
2
9
9 9 5 9 6 9 7
9 4 3 2
6 6 2
( ) ( ) ( )
c) 
G
H I
6 cm
60º
2√19 cm
Sendo x a medida do lado HI, temos:
2 19 6 2 6 60
76 36 2 6
1
2
6 40 0
10
2
2 2
2
2
( ) = + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
− − =
=
x x
x x
x x
x ou
cos
xx = −4
 
Como x é uma medida, então x = 10 cm.
S sen
S
S cm
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
10 6 60
1
2
10 6
3
2
15 3 2
24 Volume 3
52. Calcule a área dos polígonos a seguir.
a) 
A
B C
D20 cm
10 cm
60º
 AB DC// e AD BC//
O quadrilátero ABCD é um paralelogramo. A diagonal BD 
divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes.
Área do triângulo ABD:
S sen
S
S cm
ABD
ABD
ABD
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
20 10 60
1
2
20 10
3
2
50 3 2
Área do paralelogramo ABCD:
S
S cm
ABCD
ABCD
= ⋅
=
2 50 3
100 3 2
b) 
45º
A
D
E
B
C
4
1
3
5
O quadrilátero ABCD é dividido em quatro triân-
gulos, ABE, BCE, CDE e ADE. Os ângulos BECˆ e 
AEDˆ medem 45°. Os ângulos AEBˆ e CEDˆ medem 
180 45 135° − ° = ° . 
S S S S SABCD ABE BCE CDE ADE= + + +
S senABE = ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⋅ =
1
2
4 5 135 10
2
2
5 2
S senBCE = ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⋅ =
1
2
5 3 45 7 5
2
2
3 75 2, ,S senCDE = ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⋅ =
1
2
3 1 135 15
2
2
0 75 2, ,
S senADE = ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⋅ =
1
2
1 4 45 2
2
2
2
SABCD = + + +5 2 3 75 2 0 75 2 2, ,
SABCD = 10 5 2,
c) 
A
E
B
P
C
D
26 35
25
30 40
 Observação: Os pontos A, P e B estão alinhados.
O pentágono ABCDE está dividido em três polígonos, o 
retângulo AEDP e os triângulos PCD e PBC.
Área do retângulo AEDP: 
SAEDP = ⋅ =30 26 780 
Área do triângulo PBC:
p
S
S
PBC
PBC
= + + =
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅
40 35 25
2
50
50 50 40 50 35 50 25
50 10 15
( ) ( ) ( )
⋅⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
25
5 10 10 5 3 25
250 3
S
S
PBC
PBC
 
Nesse mesmo triângulo, vamos determinar a medida do 
ângulo BPCˆ . Podemos fazer isso utilizando a lei dos cos-
senos (e obtendo o cosseno do ângulo) ou a fórmula da 
área (e obtendo o seno do ângulo).
BPCS 250 3
1 ˆ40 25 sen(BPC) 250 3
2
3ˆ ˆsen(BPC) BPC 60
2
=
⋅ ⋅ ⋅ =
= ⇒ = °
 
Assim, o ângulo CPDˆ mede 30°.
Área do triângulo PCD:
S sen
S
S
PCD
PCD
PCD
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
26 25 30
1
2
26 25
1
2
162 5,
Portanto, a área do pentágono ABCDE é igual a 
780 250 3 162 5 250 3 942 5+ + = +, , . Usando 
1,73 como aproximação para 3, obtemos a área 
igual a 1 375.
Matemática 25
53. Determine a área do quadrilátero ABCD abaixo 
sabendo que ABC ADC AB AD cm eˆ ˆ ,= = ° = =150 4
BC DC cm= = 10 .
A C
D
B
Podemos dividir o quadrilátero ABCD em dois triângulos 
congruentes por meio da diagonal AC.
150º
A C
D
B
4 cm 10 cm
Área do triângulo ABC:
S sen
S
S cm
ABC
ABC
ABC
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
4 10 150
1
2
4 10
1
2
10 2
 
Portanto, a área do quadrilátero ABCD é igual a
2 10 202 2⋅ =cm cm .
54. Em um triângulo ABC, de área 3 3 2cm , o lado BC 
mede 2 3 cm e o ângulo ABCˆ mede 30°. Assinale V 
para as afirmações verdadeiras e F para as falsas.
a) ( V ) O triângulo ABC é isósceles.
b) ( V ) O triângulo ABC é obtusângulo.
c) ( F ) O perímetro do triângulo é maior que 14 cm.
d) ( V ) A altura relativa ao lado AB mede 3 cm.
e) ( V ) A medida da bissetriz interna relativa ao lado BC 
mede 3 2 cm. 
a) Verdadeira. Como conhecemos a medida do lado BC 
e do ângulo formado pelos lados AB e BC, podemos 
escrever que a área S do triângulo é dada por:
S A BC sen
AB
AB cm
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
30
3 3
1
2
2 3
1
2
6
B .
Para determinar a medida do lado AC, utilizamos a lei 
dos cossenos.
( ) cos
( )
( )
AC
AC
AC
2 2
2
2
2
6 2 3 2 6 2 3 30
36 12 2 6 2 3
3
2
48
= + ( ) − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= − 336 12 2 3= ⇒ =AC cm
Portanto, o triângulo ABC é isósceles.
b) Verdadeira. Como AC = BC, os ângulos ABCˆ e BACˆ 
são congruentes e medem 30°. Assim, o ângulo ACBˆ 
mede 120° e o triângulo é obtusângulo.
c) Falsa. O perímetro do triângulo é
2 3 2 3 6 4 3 6cm cm cm cm Como+ + = +( ) . 
3 2< , o perímetro é menor que 14 cm. 
d) Verdadeira. Seja h a medida da altura relativa ao 
lado AB. Como a área do triângulo ABC é 3 3
2cm e 
AB = 6 cm, temos:
AB h
h
h cm
⋅ =
⋅ = ⇒ =
2
3 3
6
2
3 3 3
 
e) Verdadeira. Observe, na figura, o esboço do triângulo 
ABC:
30º
135º
15º
6 cm
x
C D
B
A
2√3 cm
Utilizando a lei dos senos no triângulo ABD, temos:
x
sen sen
x x cm
30
6
135
2
2
6
1
2
3 2
°
=
°
⋅ = ⋅ ⇒ =
 
26 Volume 3
55. (UEM – PR) Dois carros A e B partem no mesmo instante t = 0, de um mesmo ponto O em movimento retilíneo 
uniforme, com velocidades, respectivamente, vA e vB, e em direções e sentidos que fazem entre si um ângulo de 
60°. Considerando St o triângulo com vértices dados pelas posições de A e de B, num instante t > 0, e pelo ponto O, 
assinale o que for correto.
X (01) Se vA = vB, então St é um triângulo equilátero. 
X (02) Se vA = 2vB, então St é um triângulo retângulo.
X (04) Se vA = 3vB, então St tem um ângulo interno obtuso.
(08) Para qualquer instante t > 0 a área do triângulo St é dada por 
v v tA B⋅ ⋅
2
4
.
(16) A distância entre os carros A e B, num instante t > 0, é dada por t v vA B⋅ +
2 2 .
Somatório: 07 (01 + 02 + 04).
Seja S o espaço percorrido no tempo t. Assim:
v
S
t
S t v
v
S
t
S t v
A
A
A A
B
B
B B
= ⇒ = ⋅
= ⇒ = ⋅
Observe, na figura, o triângulo St.
(01) Correto. Se vA = vB, então OA = OB. Como o ângulo formado pelos lados OA e OB mede 60°, o triângulo OAB é equilátero.
(02) Correto. Se vA = 2vB, então OA = 2t ⋅ vB e OB = t ⋅ vB. Utilizando a lei dos cossenos no triângulo OAB, temos:
( ) ( ) ( ) cos
( )
AB t v t v t v t v
AB t v t
B B B B
B
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 60
4
= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ + ⋅⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ ⇒ = ⋅
v t v
AB t v AB t v
B B
B B
2 2 2
2 2 2
4
1
2
3 3( )
Observe que o triângulo é retângulo, uma vez que satisfaz o Teorema de Pitágoras.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
OA OB AB
t v t v t v
t v t v
B B B
B B
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 3
4 3
= +
⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ + tt v verdadeiroB
2 2⋅ ( )
 
(04) Correto. Se vA = 3vB, então OA = 3t ⋅ vB e OB = t ⋅ vB. Utilizando a lei dos cossenos no triângulo OAB, temos:
( ) ( ) ( ) cos
( )
AB t v t v t v t v
AB t v t
B B B B
B
2 2 2
2 2 2 2
3 2 3 60
9
= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ + ⋅⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ ⇒ = ⋅
v t v
AB t v AB t v
B B
B B
2 2 2
2 2 2
6
1
2
7 7( )
Como ( )3 92 2 2t v t vB B⋅ = ⋅ e ( ) ( )t v t v t vB B B⋅ + ⋅ = ⋅
2 2 2 27 8 , o triângulo é obtusângulo.
(08) Incorreto.
S OA OB sen
S t v t v
v v t
OAB
OAB A B
A B
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
1
2
60
1
2
3
2
3
4
2
 
(16) Incorreto. Utilizando a lei dos cossenos, temos:
( ) ( ) ( ) cos
( ) ( ) ( )
AB OA OB OA OB
AB t v t v tA B
2 2 2
2 2 2
2 60
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ vv t v
AB t v t v t v v
AB t v v v
A B
A B A B
A B
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ + −
1
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( )
( ) ( AA B
A B A B
v
AB t v v v v
⋅
= ⋅ + − ⋅
)
2 2
60º
B
AO
t . v
B
t . v
A
Matemática 27
07
Função 
exponencial
Potenciação
Sejam a um número real e n ≥ 2 um número inteiro. Definimos 
potência de base a e expoente n o produto de n fatores iguais a a.
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
Para n = 1, não existe produto e definimos que a1 = a.
� �	 
	
n fatores
Propriedades
• am ⋅ an = am + n
• 
a
a
a
m
n
m n= −
• (am)n = am ⋅ n (potência de potência) 
• (a ⋅b)n = an ⋅ bn
• 
a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
Potência de expoente racional
Sejam a um número real positivo e m
n
 um número racional, com 
m ∈ e n ∈ ∗ . Então:
a a
m
n mn=
Observações
 • Quando m
n
 é um número racional maior que zero, 0 0
m
n = .
 • Quando a é negativo, nem sempre a potência a
m
n tem sentido.
Potência de expoente irracional
 • Quando α é um número irracional maior que zero, 0α = 0. 
Função exponencial
Toda função f: → +
∗
 é denominada função exponencial 
quando pode ser escrita na forma f(x) = ax, com a real, a > 0 e a ≠ 1.
Gráfico da função exponencial
A base de uma função exponencial é um número maior que zero e 
diferente de 1, ou seja, a > 0 e a ≠ 1.
 • Quando a base é maior que 1, a função é crescente.
y
2
y
1
x
1
x
2
0 x
y
a > 1
x2 > x1 ⇔ y2 > y1
A função é crescente.
 • Quando a base é um número entre 0 e 1, a função é decrescente.
y
1
y
2
x
1
x
2
0 x
y
0 < a < 1
x2 > x1 ⇔ y2 < y1
A função é decrescente.
Equações exponenciais
Toda equação que apresenta a incógnita no expoente é chamada de 
equação exponencial.
Inequações exponenciais
Para a > 1:
ax2 > ax1 ⇔ x2 > x1
o sentido da 
desigualdade 
é mantido
��	 
	
Para 0 < a < 1:
ax2 > ax1 ⇔ x2 < x1
o sentido da 
desigualdade 
é invertido
��	 
	↑ ↑ ↑ ↑
28 Volume 3
Atividades
Potenciação
1. Calcule o valor de cada uma das potências abaixo.
a) (–2)3 = –8 
b) (–3)4 = 81 
c) –43 = –64 
d) (–5)2 = 25 
e) −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
4
2
 = 
f) 
2
7
3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
= 
g) −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
2
3
2
 = 
h) − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
3
= 
i) (0,2)3 = 0,008 
j) (–0,1)5 = –0,00001 
k) (0,17)0 = 1 
l) –8–2 = 
2. Escreva em notação científica os números a seguir.
a) 75 000 000 = 
b) 2 150 000 000 = 
c) 0,000000000000045 = 
3. Determineo valor de 
( )
( )
3 3 3
3
7 10 2
5 7
⋅ ⋅
.
( )
( )
( )
( )
3 3 3
3
3
3
3
3
3
3
3
7 10 2
5 7
7 10 1 2
5 7
18 2
35
36
35
36 35
⋅ ⋅ = =
= = =
= =
+ +
⋅
− 33
9
16
7
2
343
8
3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=3
2
9
4
2
− −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=1
8
1
8
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −1
8
1
64
2
7 5 107, ⋅
2 15 109, ⋅
4 5 10 14, ⋅ −
4. Sendo a b⋅ ≠ 0, simplifique a expressão 
 
( ) ( )
( )
a b a b
a b
3 2 2 2 3
1 2 4
⋅ ⋅ ⋅
⋅
− − −
− − .
( ) ( )
( )
a b a b
a b
a b a b
a b
a
3 2 2 2 3
1 2 4
6 4 3 6
4 8
6 3 4
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
=
− − −
− −
− −
−
− + − ⋅⋅ =
= ⋅ =
− − −
−
b
a b
b
a
4 6 8
7 6
6
7
( )
5. Simplifique as expressões a seguir.
a) 
3 3
3 3
2
1 1
n n
n n
+
+ −
−
+
 
3 3
3 3
3 3 3
3 3
3
3
3 3 1
3 3
1
3
2
1 1
2
1
1
2
n n
n n
n n
n
n
n
n
+
+ −
−
+
= ⋅ −
⋅ +
=
= ⋅ −
⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠
( )
⎟⎟
=
= −+ = ⋅ =
9 1
9 1
3
8
3
10
12
5
b) 
2 4
3 2
2 1
2
n n
n
+ −
⋅
 
2 4
3 2
2 2 2
3 2
2 2 2
3 2
2 2 1
2 1
2
2 1 2
2
2 2
2
2
n n
n
n n
n
n n
n
n
+ −
⋅
= ⋅ −
⋅
=
= ⋅ −
⋅
=
= ⋅ −
( )
( )
33 2
1
32⋅
=
n
c) 
5 5
5 5
2 1
1
n n
n n
+ +
−
−
+
 
5 5
5 5
5 5 5 5
5
5
5
5 25 5
5 1
1
5
2 1
1
2 1
1
n n
n n
n n
n
n
n
n
+ +
−
−
+
= ⋅ − ⋅
+
=
= ⋅ −
⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠
( )
⎟⎟
=
= = ⋅ =20
6
5
20
5
6
50
3
Matemática 29
6. (FGV – SP) A soma dos algarismos do resultado da ex-
pressão numérica 5 223 30⋅ é igual a
X a) 11. b) 18. c) 25. d) 26. e) 40.
5 2 5 2 2
5 2 128
128 10
23 30 23 23 7
23
23
⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
= ⋅
( )
O número 128 1023⋅ é formado por 26 algarismos, sendo 
1, 2, 8 e 23 zeros. Assim, a soma dos seus algarismos é 
igual a 1 + 2 + 8 = 11.
7. (IFSP) Fernando, preocupado em deixar sua família 
amparada financeiramente após a sua morte, resolveu 
fazer um plano de previdência privada. Consultou um 
corretor e ficou sabendo que, nos planos de previdência 
privada, é possível escolher o valor da contribuição e a 
periodicidade em que ela será feita. Uma pessoa pode 
contribuir com R$ 100,00 uma vez por ano, por exemplo. 
É claro que o valor que receberá quando começar a 
fazer uso dessa previdência será proporcional ao que 
contribuiu. Além disso, o valor investido em um plano de 
previdência privada pode ser resgatado pela pessoa se 
ela desistir do plano. Após escolher o plano, Fernando 
perguntou ao corretor quantos anos demoraria para 
começar a fazer uso do plano. Como o corretor tinha 
conhecimentos matemáticos e era muito brincalhão, 
respondeu: “O senhor poderá usufruir do plano, daqui 
a 
2 2 2 7
5 2
3 1
4
n n
n
+ −
−
⋅ − ⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 anos”. É correto afirmar que 
a resposta do corretor foi
a) 30 anos.
X b) 40 anos.
c) 50 anos.
d) 55 anos.
e) 60 anos. 
2 2 2 7
5 2
2 2 2
2
2
7
5
2
2
2 16
7
2
5
1
3 1
4
3
1
4
n n
n
n
n
n
n
+ −
−
⋅ − ⋅
⋅
=
⋅ ⋅ − ⋅
⋅
=
=
⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
66
2
25
2
5
16
25
2
16
5
40
⋅
=
= = ⋅ =
n
A resposta do corretor foi 40 anos.
8. (IFSC) 
Site faz internautas experimentarem a 
distância entre Marte e Terra com pixels
Um site criativo propõe aos internautas expe-
rimentarem a distância entre a Terra e Marte por 
meio de pixels. Para isso, o criador do site Distance 
to Mars, David Paliwoda, assume uma escala que 
coloca a Terra com 100 pixels de largura.
Na realidade, o planeta possui 12.756,2 km 
aproximadamente de diâmetro. Para uma primeira 
experiência da distância, por meio de page downs 
automáticos, quem acessar o site será levado à 
Lua, a qual, pelas correlações, encontra-se 3 000 
pixels abaixo. Após isso, o internauta também é 
convidado a ir a Marte. Ao clicar no botão, uma 
descida bastante rápida pelas estrelas revela quão 
distante o planeta está de nós. Se você decidir cli-
car para percorrer a distância, não desista no meio 
do caminho. Pode parecer que não mas, em algum 
momento, a viagem termina. Testamos por aqui e 
leva cerca de 1 minuto, pela escala, para chegar ao 
planeta, cerca de 428 mil pixels distante. O cami-
nho é percorrido a uma velocidade de 7 mil pixels 
por segundo. Enquanto você passeia até Marte, 
algumas informações aparecem na tela dizendo 
que, pelo atual estágio da tecnologia espacial, le-
varia em torno de 150 dias para chegar lá. Até o 
momento, o prazo estimado para que a primeira 
viagem tripulada ocorra é 2030.
Adaptado: http://revistagalileu.globo.com/RevistaCommon/0,E
MI335018-17770,00.html. Acesso em: 22 de set. 2014.
 Com base no texto acima, leia e analise as seguintes 
afirmações:
 I. O diâmetro da Terra, em metros, pode ser represen-
tado por 127562 107, .× m
 II. Usando o diâmetro da Terra em pixels, como padrão, 
podemos afirmar que a distância em km entre a 
Terra e Marte é de aproximadamente 5 5 107, .× km
30 Volume 3
 III. O diâmetro da Terra, em metros, pode ser represen-
tado por 127562 108, .× cm 
IV. Segundo o texto, pelo atual estágio da tecnologia 
espacial, a duração do percurso Terra - Marte levaria 
em torno de 1296 107, × segundos.
V. A distância, em pixels, entre a Terra e Marte, segundo 
o texto, é de cerca de 4 28 10, × pixels.
 Assinale a alternativa correta.
a) Apenas as afirmações I, III e V são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações II, III e V são verdadeiras.
X c) Apenas as afirmações I, II e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações II, III, IV e V são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
I. Verdadeira.
12756 2 12756 2 10
127562 10
3
7
, ,
,
km m
m
= ⋅ =
= ⋅
 
II. Verdadeira.
pixels
100
428000
12756 2
100
428000
12756 2
54596536
5
km
x
x
x km
x
,
,=
=
= ,,
,
4596536 10
5 5 10
7
7
⋅
⋅
km
x km
 
III. Falsa. O diâmetro da Terra é igual a 127562 109, .⋅ cm
Observação: Provavelmente, a intenção do autor da 
questão era escrever “O diâmetro da Terra, em centí-
metros, pode ser representado por 127562 108, × cm ”. 
De qualquer forma, a afirmação é falsa.
IV. Verdadeira.
150 150 24
150 24 60
150 24 60 60
dias horas
utos
segundo
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅
min
ss
segundos
segundos
=
= =
= ⋅
12960 000
1296 107, 
V. Falsa.
428 000 4 28 105pixels pixels= ⋅, 
9. (UEPB) Efetuando 
2
2
2
6
6
0 25
2
3
3 1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( ) − ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
+
, , 
temos por resultado:
X a) 
17
36
b) − 71
2
c) 
36
35
d) 1
e) − 1
2
 
2
2
2
6
6
2
2
2 60 25
2
3
3 1
1
2
0 5 1 3
3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( ) − ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⋅ − ( )−
+
− −
+
, ,
11
1
2
1
1
2 1 3 3 1
1 1 3
2 6
2 6
1
2
1
36
18 1
36
17
36
=
= − =
= − =
= − = − =
− − − ⋅ +
− −
( ) ( )
10. (ESPM – SP) Escrevendo-se o número N = ⋅8 520 54 
em notação científica, isto é, N a b= ⋅10 , com 
1 10≤ <a e b ∈ , o valor de a + b é igual a
a) 63,2
b) 48,5
c) 51,7
X d) 61,4
e) 58,6
N
N
N
N
N
N
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
8 5
2 5
2 5
2 2 5
64 2 5
6
20 54
3 20 54
60 54
6 54 54
54
( )
( )
,44 10 10
6 4 10
54
55
⋅ ⋅
= ⋅N ,
Portanto, a = 6,4, b = 55 e a + b = 6,4 + 55 = 61,4 .
Matemática 31
Função exponencial
11. Um veículo novo sofre desvalorização de tal forma que 
seu valor, em reais, depois de t anos, com 0 ≤ t ≤ 5, 
será dado por V t t( ) ( , )= ⋅50000 0 9 .
 Determine:
a) o valor do veículo novo;
V t
V
V
V re
t( ) ( , )
( ) ( , )
( )
( )
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
50000 0 9
0 50000 0 9
0 50000 1
0 50000
0
aais
b) o valor do veículo depois de 4 anos;
V t
V
V
V
t( ) ( , )
( ) ( , )
( ) ,
( )
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
50000 0 9
4 50000 0 9
4 50000 0 6561
4 32
4
8805 reais
c) a depreciação do veículo em 5 anos. 
V t
V
V
V
t( ) ( , )
( ) ( , )
( ) ,
( )
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
50000 0 9
5 50000 0 9
5 50000 0 59049
5 2
5
99524 5, reais
A depreciação do veículo será de
R R R$ . , $ . , $ . ,50 000 00 29 524 50 20 475 50− = . 
12. (ENEM) O sindicato de trabalhadores de uma empresa 
sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1.800,00, 
propondo um aumento percentual fixo por cada ano 
dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à 
propostasalarial (s), em função do tempo de serviço 
(t), em anos, é s t t( ) ( , )= ⋅1800 103 . De acordo com a 
proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa 
empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,
a) 7.416,00.
b) 3.819,24.
c) 3.709,62.
d) 3.708,00.
X e) 1.909,62.
s t
s
s
s
t( ) ( , )
( ) ( , )
( ) ,
( )
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
1800 103
2 1800 103
2 1800 10609
2 190
2
99 62,
De acordo com a proposta, o salário será de R$ 1.909,62.
13. Classifique as seguintes funções em crescente ou 
decrescente.
a) f x x( ) = −2 
b) g x
x
( ) = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
2
 Como a > 1, a função é crescente. 
c) h x x( ) ( , )= 0 25 Como 0 < a < 1, a função é decrescente. 
d) m x x( ) ( , )= −0 03 
e) p x
x
( ) = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
3
4
 
f) n x
x
( ) =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
2
 Como 0 < a < 1, a função é decrescente.
14. Determine para quais valores de m a função 
f x m x( ) ( )= −2 4 é decrescente.
0 4 12< − <m
m
m
2
2
4 0
4 1
− >
− <
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
m I
m II
2
2
4 0
5 0
− >
− <
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
( )
( )
 
A solução de (I) é m < –2 ou m > 2.
A solução de (II) é − < <5 5m .
Portanto, a função é decrescente para − < < −5 2m ou 
2 5< <m .
15. (UCS – RS) Considere as funções a seguir que repre-
sentam quantidades de substâncias no tempo t.
 I. Q t t( ) ( , )= ⋅100 107
 II. Q t t( ) ( , )= ⋅300 0 25
 III. Q t e t( ) ,= ⋅5 0 08
 Das funções acima, indica(m) crescimento
a) apenas I.
b) apenas I e II.
X c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
f x
x
( ) = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
. Como 0 < a < 1, a função é
decrescente.
m x
x x
( ) = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
3
100
100
3
. Como a > 1, 
a função é crescente.
p x
x
( ) = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
3
. Como a > 1, a função é
crescente.
I. A função é crescente, pois a base, 1,07, 
é maior que 1.
II. A função é decrescente, pois a base, 
0,25, está compreendida entre 0 e 1.
III. Considerando que e 2 718, , a função 
é crescente, pois a base é maior que 1. 
32 Volume 3
16. Suponha que uma pessoa tenha ingerido 80 mg de 
um medicamento para um tratamento e que, na bula, 
havia a informação de que o tempo de meia-vida era de 
3 horas.
a) Escreva uma expressão que relaciona a quantidade 
desse medicamento, em miligramas, presente no 
organismo e o tempo decorrido, em horas.
Sendo m a massa, em miligramas, e t o tempo, em ho-
ras, temos:
m t
t
( ) = ⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
80
1
2
3
 
b) Qual a quantidade de medicamento presente no 
organismo do paciente após 6 horas?
m
m
m
m mg
( )
( )
( )
( )
6 80
1
2
6 80
1
2
6 80
1
4
6 20
6
3
2
= ⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅
=
c) Depois de quantas horas o medicamento presente 
no organismo do paciente se reduz a 5 miligramas?
m t
t
t
t
( ) =
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
80
1
2
5
1
2
5
80
1
2
1
16
1
2
3
3
3
44
3
4
12
t
t h
=
=
d) Depois de quantas horas haverá 1,25 mg desse 
medicamento no organismo do paciente?
m t
t
t
t
( ) ,
,
,
=
⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
125
80
1
2
125
1
2
125
80
1
2
1
64
3
3
3
== ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
=
1
2
3
6
18
6
t
t h
17. (IFG – GO) Um reservatório de água possui um 
vazamento. Através de experimentos, um especialista 
modelou esse fenômeno por V t t( ) = −512 2 , onde 
V é o volume de água existente no reservatório, em 
m3, após t horas de vazamento. Assinale a alternativa 
correta:
a) Antes de começar a vazar, o reservatório possuía 
512 m3 de água. 
b) t pode assumir qualquer valor real. 
c) t pode assumir qualquer valor maior ou igual a zero. 
X d) O reservatório ficará vazio após 9 horas de 
vazamento. 
e) O reservatório nunca ficará vazio.
a) Incorreta.
V
V
V m
( )
( )
( )
0 512 2
0 512 1
0 511
0
3
= −
= −
=
b) Incorreta. t pode assumir qualquer valor real não ne-
gativo tal que V t( ) .≥ 0
c) Incorreta.
d) Correta.
V
V
V
( )
( )
( )
9 512 2
9 512 512
9 0
9= −
= −
=
Assim, t pode assumir qualquer valor real de 0 a 9.
e) Incorreta. O reservatório ficará vazio após 9 horas.
Matemática 33
18. (UFPR) Uma pizza a 185 °C foi retirada de um forno 
quente. Entretanto, somente quando a temperatura 
atingir 65 °C será possível segurar um de seus pe-
daços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha 
que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa 
ser descrita em função do tempo t, em minutos, pela 
expressão T t= × +− ×160 2 250 8, . Qual o tempo ne-
cessário para que se possa segurar um pedaço dessa 
pizza com as mãos nuas, sem se queimar? 
a) 0,25 minutos.
b) 0,68 minutos.
X c) 2,5 minutos. 
d) 6,63 minutos.
e) 10,0 minutos. 
T
t
t
t
t
=
⋅ + =
⋅ =
=
=
− ⋅
− ⋅
− ⋅
− ⋅
65
160 2 25 65
160 2 40
2
40
160
2
1
4
0 8
0 8
0 8
0 8
,
,
,
, ==
− ⋅ = −
=
−2
0 8 2
2 5
2
,
, min
t
t utos
19. (UEL – PR) A espessura da camada de creme formada 
sobre um café expresso na xícara, servido na cafeteria 
A, no decorrer do tempo, é descrita pela função 
E(t) = a2bt, onde t ≥ 0 é o tempo (em segundos) e a 
e b são números reais. Sabendo que inicialmente a 
espessura do creme é de 6 milímetros e que, depois 
de 5 segundos, se reduziu em 50%, qual a espessura 
depois de 10 segundos?
 Apresente os cálculos realizados na resolução da 
questão.ques ão
Sabemos que E(0) = 6 e E(5) = 3. 
E t a
E a
a a
E a
bt
b
b
b
b
( )
( )
( )
=
= ⋅ =
⋅ = ⇒ =
= ⋅ =
⋅ =
= =
⋅
⋅
2
0 2 6
1 6 6
5 2 3
6 2 3
2
3
6
0
5
5
5 11
2
2
5 1
1
5
1=
= − ⇒ = −
−
b b
Assim:
E t
E
E
E
t
( )
( )
( )
( ) ,
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅ =
− ⋅
− ⋅
−
6 2
10 6 2
10 6 2
10 6
1
4
15
1
5
1
5
10
2
Portanto, depois de 10 segundos, a espessura do creme 
é de 1,5 milímetro.
20. (UFPR) Suponha que o número P de indivíduos de uma 
população, em função do tempo t, possa ser descrito 
de maneira aproximada pela expressão
P
t
=
+ × −
3600
9 3 4
 Sobre essa expressão, considere as seguintes 
afirmativas:
34 Volume 3
1. No instante inicial, t = 0, a população é de 360 
indivíduos.
2. Com o passar do tempo, o valor de P aumenta.
3. Conforme t aumenta, a população se aproxima de 
400 indivíduos.
 Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
X c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
1. Falsa.
t
P
P
=
=
+ ⋅
=
+ ⋅
= =
0
3600
9 3 4
3600
9 3 1
3600
12
300
0
 
No instante inicial, a população é de 300 indivíduos.
2. Verdadeira.
P
t
t
=
+ ⋅
=
+ ⋅
−
3600
9 3 4
3600
9 3
1
4
Com o passar do tempo, o valor de t aumenta. Assim:
• o valor de 1
4t
 diminui;
• o valor de 3
1
4
⋅
t
 diminui; 
• o valor de 9 3
1
4
+ ⋅
t
 diminui; 
• o valor de 3600
9 3
1
4
+ ⋅
t
 aumenta.
Portanto, o valor de P aumenta. 
3. Verdadeira. Aumentando o valor de t indefinidamente, 
o valor de 1
4t
 se aproxima de zero. Assim, o valor de 
P se aproxima de 3600
9 3 0
400
+ ⋅
= indivíduos.
21. (UFRN) A pedido do seu orientador, um bolsista de um 
laboratório de biologia construiu o gráfico abaixo a partir 
dos dados obtidos no monitoramento do crescimento 
de uma cultura de micro-organismos.
 Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador 
que a cultura crescia segundo o modelo matemático, 
N = k ⋅ 2at, com t em horas e N em milhares de micro-
-organismos.
 Para constatar que o modelo matemático apresentado 
pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos 
dados com t = 4 horas e t = 8 horas. 
 Para que o modelo construído pelo bolsista esteja 
correto, nesse período, o orientador deve ter obtido um 
aumento na quantidade de micro-organismos de
a) 80.000.
b) 160.000.
c) 40.000.
X d) 120.000.
N k
k
k
N k
a
a
a
a
( )
( )
0 10 2 10
1 10
10
2 20 2 20
10 2 20
2 2
0
2
2
2
= ⇒ ⋅ =
⋅ =
=
= ⇒ ⋅ =
⋅ =
=
⋅
⋅
⇒⇒ = ⇒ =2 1 1
2
a a
Assim:
N t
N
NN N
t
( )
( )
( )
( )
= ⋅
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
−
10 2
4 10 2 10 2 40
8 10 2 10 2 160
8
2
4
2 2
8
2 4
(( )4 160 40 120= − =
Como N é dado em milhares de micro-organismos, o 
orientador deve ter obtido um aumento de 120 000 
micro-organismos.
Matemática 35
Equações exponenciais
22. Resolva as seguintes equações exponenciais.
a) 2a = 2048
2 2
11
11
11a
a
S
=
=
= { }
b) 7
1
7
b = 
7 7
1
1
1b
b
S
=
= −
= −
−
{ }
c) 3c = 81
3 3
4
4
4c
c
S
=
=
= { }
d) 0,1d = 0,01
( )
{ }
10 10
2
2
2
1 2− −=
− = −
=
=
d
d
d
S
e) 4e = 32
( )2 2
2 5
5
2
5
2
2 5e
e
e
S
=
=
=
= ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
f) 2 81 4f+ = 
2 2
2 2
1
3
4
1
4
1
4
1 34
1
3
4
f
f
f
f
S
+
+
=
=
+ =
= −
= −⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
g) 2
8
2
2
3
g
g
−
−=
2 2 2
2 2
2 5 3
4
4
2 3 3
2 5 3
g g
g
g
g
S
− −
−
⋅ =
=
− =
=
= { }
h) 3 27
1
81
4 1 3h h+ − +⋅ =
3 3 3
3 3
10 4
14
14
4 1 3 3 4
4 1 3 9 4
h h
h h
h
h
S
+ − + −
+ − + −
⋅ =
=
+ = −
= −
= −
( )
{ }
36 Volume 3
i) 125 252 1 1
3i i+ −=
( ) ( )5 5
5 5
6 3
2 2
3
18 9 2 2
16 11
3 2 1 2 13
6 3
2 2
3
i i
i
i
i
i
i i
i
i
+ −
+
−
=
=
+ = −
+ = −
= −
= −−
= −⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
11
16
11
16
S
j) 
4
5
256
625
25
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
j j
 
4
5
4
5
5
4
4
5
4
5
4
4 2
4 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ = −
+ −
j j
j j
j 22
3 4
4
3
j
j
S
= −
= −⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
k) 3 9
2 4k k− − =
3 3
4 2
6 0
1 1 4 1 6
2 1
1 25
2
2 4 2
2
2
2
k k
k k
k k
k
k
− − =
− − =
− − =
=
− − ± − − ⋅ ⋅ −
⋅
= ±
( ) ( ) ( )
kk k ou k
S
= ± ⇒ = = −
= −
1 5
2
3 2
2 3{ , }
l) ( )3 91l l+ =
3 3
2
2 0
1 1 4 1 2
2 1
1 9
2
1 3
2
2 2
2
2
2
l l
l l
l l
l
l
l l
+ =
+ =
+ − =
=
− ± − ⋅ ⋅ −
⋅
= − ±
= − ± ⇒ =
( )
11 2
1 2
ou l
S
= −
= −{ , }
m) 5 3 5 351 52 1m m m− ++ ⋅ = +
5 3 5 351 5
5
5
3 5 5 351 5
2 1
2
m m m
m
m m
− ++ ⋅ = +
+ ⋅ ⋅ = +
Mudança de variável: 5m = y 
y
y y
y y y
y y
ym
m
25
3 5 351
375 351 25 25
351 351 25 25
5
5 25
5
+ ⋅ ⋅ = +
+ = ⋅ +
= ⋅ ⇒ =
=
=
mm m
S
= ⇒ =
=
5 2
2
2
{ }
n) 2 2 344n n− + = 
2 2 34
2
2
2 34
4
4
n n
n
n
− + =
+ =
Mudança de variável: 2n = y
y
y
y y
y y
y
n
S
n
n
n
16
34
16 34 16
17 34 16 32
2
2 32
2 2 5
5
5
+ =
+ = ⋅
= ⋅ ⇒ =
=
=
= ⇒ =
= { }
Matemática 37
o) 4 4 4 4 6301 2 1 2o o o o+ + − −+ − − =
4 4 4 4 630
4 4 4 4
4
4
4
4
630
1 2 1 2
2
2
o o o o
o o
o o
+ + − −+ − − =
⋅ + ⋅ − − =
Mudança de variável: 4o y= 
y y
y y
y y y y
y y
o
⋅ + ⋅ − − =
+ − − = ⋅
= ⋅ ⇒ =
=
4 16
4 16
630
64 256 4 630 16
315 630 16 32
4 yy
o o
S
o
o
4 32
2 2
2 5
5
2
5
2
2 5
=
=
= ⇒ =
= ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
( )
p) 25 30 5 125 0p p− ⋅ + = 
( )
( )
5 30 5 125 0
5 30 5 125 0
2
2
p p
p p
− ⋅ + =
− ⋅ + =
Mudança de variável: 5p = y
y y
y
y
y y
2
2
30 125 0
30 30 4 1 125
2 1
30 400
2
30 20
2
− + =
=
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅
= ±
= ± ⇒ =
( ) ( )
225 5
5
5 5 1
5 25 5 5 2
1 2
2
ou y
y
p
p
S
p
p
p p
=
=
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
= { , }
q) 2 3 15 3 272⋅ − ⋅ =q q 
2 3 15 3 27 02⋅ − ⋅ − =( )q q 
Mudança de variável: 3q = y 
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −
=
⋅
±=
±= ⇒ = = −
=
=
= ⇒ =
=
2
2
q
q
q 2
2y 15y 27 0
( 15) ( 15) 4 2 ( 27)
y
2 2
15 441
y
4
15 21 3
y y 9 ou y (não convém)
4 2
3 y
3 9
3 3 q 2
S {2}
23. Resolva os sistemas de equações exponenciais.
a) 
3 9
3 3
2x y
y x
+
−
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3 9
3 3 2 2
3 3
3 3
1
2
2 2
1
2
2
2 2
1
2
x y
x y
y x
y x
x y
y x
x y
x y
+
+
−
−
=
= ⇒ + =
=
= ⇒ − =
+ =
− + =
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪
⇒ = =
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
x e y
S
1
2
1
1
2
1,
38 Volume 3
b) 
7 7
2 1024
2
7 3
x y x
x y
−
−
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
7 7
7 7
2
2
4 2 3 2 0
2 1024
2 2
2
2 2
7 3
7 3
x y
x
x y
x
x y
x y
x y
x
x y x x y
−
−
−
−
=
=
− =
− = ⇒ − =
=
= 110 7 3 10
3 2 0
7 3 10
4 6
4 6
⇒ − =
− =
− =
⎧
⎨
⎩
⇒ = =
=
x y
x y
x y
x e y
S {( , )}
24. (FGV – SP) Se 
m
n
 é a fração irredutível que é solução 
da equação exponencial 9 9 19441x x− =− , então, 
m – n é igual a 
a) 2. b) 3. c) 4. X d) 5. e) 6.
9 9 1944
9
9
9
1944
1x x
x
x
− =
− =
−
Mudança de variável: 9x = y
y
y
y y
y y
y
x
x
x
x
− =
− = ⋅
= ⋅ ⇒ =
=
=
=
=
9
1944
9 1944 9
8 1944 9 2187
9
9 2187
3 3
2
2 7( )
77
7
2
⇒ =x
Sendo 
m
n
 a fração irredutível que é solução da 
equação exponencial, temos que m
n
= 7
2
. Portanto, 
m n− = − =7 2 5.
25. (UFAM) Sendo a e b raízes distintas da equação 
2 4 4 3 22 2⋅ + = ⋅ +x x . Então, a b5 5+ :
a) 64 X b) 33 c) 32 d) 31 e) 0
2 2 16 3 2 2
2 2 16 12 2
2 2
2
⋅ + = ⋅ ⋅
⋅ + = ⋅
( )
( )
x x
x x
Mudança de variável: 2x = y
2 16 12
6 8 0
6 6 4 1 8
2 1
6 4
2
6 2
2
4
2
2
2
y y
y y
y
y
y y o
+ =
− + =
=
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅
= ±
= ± ⇒ =
( ) ( )
uu y
y
x
x
x
x x
x
=
=
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
2
2
2 4 2 2 2
2 2 1
2
Portanto, a b5 5 5 52 1 32 1 33+ = + = + = . 
26. (UEFS – BA) Uma cultura bacteriana tem dois tipos 
de bactérias, cujas populações variam em função do 
tempo t (em horas) de acordo com P t
t
1
2
23 8( )
( )
= ⋅
+
 e 
P t t2
326 2( ) = ⋅ .
 O tempo até que o total de bactérias atinja 51.200 será de
X a) 6 h 40 min
b) 6 h 50 min
c) 7 h 00 min
d) 7 h 10 min
e) 7 h 20 min 
Matemática 39
P t P t
t
t
t t
1 2
2
2 3
3
2
2
3
2
51200
3 8 26 2 51200
3 2 26 2
( ) ( )
( )
+ =
⋅ + ⋅ =
⋅ ( ) + ⋅ =
+
+
551200
3 2 2 26 2 51200
2 24 26 51200
2 1024
2
3
2 3
3
2
3
2
3
2
3
⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ + =
=
t t
t
t
( )
tt
t
t h
Port to t h h h h
2 102
3
2
10
20
3
20
3
6
2
3
6 40
= ⇒ = ⇒ =
= = + =an , min.
27. (PUC-Campinas – SP) Considere o gráfico abaixo.
 O gráfico da função exponencial real dada por 
y x x= + −16 4 6 intersecta os eixos x e y nos pontos 
A e B. Sendo C(0, 0) a origem do sistema de coorde-
nadas, então a área do triângulo ABC, em unidades de 
área, será igual a
a) 2.
X b) 1.
c) 1,75.
d) 1,5.
e) 2,25.
y
x y
y B
y
x x
x x
= + −
= ⇒ = + −
= + − = − → −
= ⇒ + − =
16 4 6
0 16 4 6
1 1 6 4 0 4
0 16 4 6 0
4
0 0
( , )
( 22
2
4 6 0
4 4 6 0
)
( )
x x
x x
+ − =
+ − =
Mudança de variável: 4x = m 
2
x
x 2x
m m 6 0
m 2 ou m 3 (não convém)
4 m
1 1
4 2 2 2 x A , 0
2 2
+ − =
= = −
=
⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = → ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Portanto, a área do triângulo ABC é igual a 
1
2
4
1
2
1⋅ ⋅ = unidade de área. 
40 Volume 3
28. (ESPM – SP) O valor de x na equação 4 2 8 2x x x+ ⋅ = 
é: 
a) Irracional
b) Racional não inteiro positivo 
c) Racional não inteiro negativo
d) Racional inteiro positivo 
X e) Racional inteiro negativo 
4 2 8 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3
2 3
x x x
x x x
x x x
+ ⋅ =
+ ⋅ =
+ ⋅ =
( ) ( )
( ) ( )
Mudança de variável: 2x = y 
2 3
3 2
2
2
x
x
x 1
y 2y y
2y y y 0
y (2y y 1) 0
y 0 (não convém)
ou
1
2y y 1 0 y 1 (não convém) ou y
2
2 y
1
2
2
2 2 x 1−
+ =
+ − =
⋅ + − =
=
+ − = ⇒ = − =
=
=
= ⇒ = −
Portanto, o valor de x é racional inteiro negativo.
29. (UNIFOR – CE) A trajetória de um salto de um golfi-
nho nas proximidades de uma praia, do instante em 
que ele sai da água (t = 0) até o instante em que ele 
mergulhou (t = T), é descrita através da equação: 
h t t t t( ) ,,= − ⋅4 20 2 onde o tempo t é medido em se-
gundos e a altura h é medida em metros. O tempo em 
que o golfinho esteve fora d’água durante o salto é de:
a) 2 segundos.
b) 4 segundos.
c) 6 segundos.
d) 8 segundos.
X e) 10 segundos. 
Vamos determinar os valores de t para os quais a altura 
é zero.
4 2 0
4 2 0
0
0 2
0 2
t t
t
t
t
t
− ⋅ =
⋅ − =
=
,
,( )
ou
4 2 0
2 4
2 2 0 2 2 10
0 2
0 2
0 2 2
− =
=
= ⇒ = ⇒ =
,
,
, ,
t
t
t t t
Portanto, o golfinho esteve fora d’água durante 
10 segundos.
30. (PUCSP) Num mesmo instante, são anotadas as popu-
lações de duas culturas de bactérias: P1, com 32 000 
elementos, e P2, com 12,5% da população de P1. Su-
pondo que o número de bactérias de P1 dobra a cada30 minutos enquanto que o de P1 dobra a cada 15 
minutos, quanto tempo teria decorrido até que as duas 
culturas igualassem suas quantidades de bactérias?
a) 2 horas e 30 minutos.
b) 2 horas. 
c) 1 hora e 45 minutos.
X d) 1 hora e 30 minutos.
e) 1 hora. 
Como o valor inicial de P2 é 
12 5
100
32000 4000
,
,⋅ = 
temos: 
P t
P t
t
t
1
30
2
15
32000 2
4000 2
( )
( )
= ⋅
= ⋅
 
Nas expressões anteriores, t é o tempo em minutos. 
Assim:
P t P t
t t
t
t
t t
1 2
30 15
15
30
15 30
32000 2 4000 2
2
2
32000
4000
2
( ) ( )=
⋅ = ⋅
=
=
−
88 2
15 30
3
2 90
90 1 30
3=
− =
− =
= =
t t
t t
t hora e utosmin min
Matemática 41
31. (UEG – GO) Dada a função y x x= − +2 2 , verifica-se 
que ela
a) não possui raiz real.
X b) possui duas raízes reais.
c) possui três raízes reais.
d) possui uma raiz real. 
y
x
x
x
x
f x g x
=
− + =
+ =
0
2 2 0
2 2
( ) ( )
Vamos esboçar os gráficos das funções f e g.
Como os gráficos se intersectam em dois pontos, a equa-
ção tem duas raízes reais.
4
2–1–2 x
y
g
f
2
0
1
Inequações exponenciais
32. Determine o domínio de cada uma das seguintes 
funções:
a) f x x( ) = −2 1
8
3 
2
1
8
0
2
1
8
2
1
2
2 2
3 3 1
1
3
3
3
3
3 3
x
x
x
x
x x
D f x x
− ≥
≥
≥
≥
≥ − ⇒ ≥ −
= ∈ ≥ −
−
( ) { | }
b) g x
x
( ) = − ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
25
1
5
 
25
1
5
0
25
1
5
5 5
2 2
2
2
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≥
≥ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≥
≥ − ⇒ ≥ −
= ∈ ≥ −
−
x
x
x
x x
D x x(g) { | }
42 Volume 3
33. (UNESP – SP) Dada a inequação 3
3
9
2
1
3x
x
x⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≥
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −
, 
o conjunto verdade V, considerando o conjunto univer-
so como sendo o dos reais, é dado por
X a) V x x ou x= ∈ ≤ − ≥{ | }3 2 .
b) V x x e x= ∈ ≤ − ≥{ | }3 2 .
c) V x x= ∈ − ≤ ≤{ | }3 2 .
d) V x x= ∈ ≤ −{ | }3 .
e) V x x= ∈ ≥{ | }2 .
3 3
3 3
2
3
2 6
6 0
2
2
2 1 3
2 3
2
2
2
x x
x
x x
x
x x
x
x x x
x x
−
− −
−
− +
≥
≥
− ≥ − +
− ≥ − +
+ − ≥
( )
Portanto, V x x ou x= ∈ ≤ − ≥{ | }.3 2
–3 2
+++++ +++++– – – – – – – – –
x
34. (UEPB) O conjunto solução da inequação 
( , ) ,0 04 0 008
2 2
2
x x−
> é igual a:
a) S x x= ∈ <{ | }3
b) S x x= ∈ < − >{ | x ou }1 3
c) S x= ∈ < <{ | x }1 3
d) S x x ou x= ∈ > <{ | }1 3
X e) S x= ∈ − < <{ | x }1 3
4
100
8
1000
2
10
2
10
2
2
2
2
2
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
>
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
>
⎛
⎝
−
−
x x
x x
⎜⎜
⎞
⎠⎟
− <
− − <
3
2
2
2 3
2 3 0
x x
x x
Portanto, S x x= ∈ − < <{ | }.1 3
–1 3
+++++ +++++– – – – – – – – –
x
35. (MACKENZIE – SP) O conjunto solução, em , da ine-
quação M Mx x
3 2 1− −≤1 , com M real e M > 1, é
X a) ] ; ]−∞ 1
b) [ ; [1 ∞
c) [ ; ]0 1
d) [ ; [− ∞1
e) [ ; [0 ∞
Como M é um número real maior que 1, temos:
M M
x x
x x
x x
x x3 21 1
3 2
3 2
2
1 1
0
1 0
− −≤
− ≤ −
− ≤
⋅ − ≤( )
Como x2 0≥ para todo x real, então devemos ter 
x − ≤1 0 . Assim, x ≤ 1.
Matemática 43
TABELA TRIGONOMÉTRICA
Ângulo Seno Cosseno Tangente Ângulo Seno Cosseno Tangente
1 0,017452 0,999848 0,017455 46 0,71934 0,694658 1,03553
2 0,034899 0,999391 0,034921 47 0,731354 0,681998 1,072369
3 0,052336 0,99863 0,052408 48 0,743145 0,669131 1,110613
4 0,069756 0,997564 0,069927 49 0,75471 0,656059 1,150368
5 0,087156 0,996195 0,087489 50 0,766044 0,642788 1,191754
6 0,104528 0,994522 0,105104 51 0,777146 0,62932 1,234897
7 0,121869 0,992546 0,122785 52 0,788011 0,615661 1,279942
8 0,139173 0,990268 0,140541 53 0,798636 0,601815 1,327045
9 0,156434 0,987688 0,158384 54 0,809017 0,587785 1,376382
10 0,173648 0,984808 0,176327 55 0,819152 0,573576 1,428148
11 0,190809 0,981627 0,19438 56 0,829038 0,559193 1,482561
12 0,207912 0,978148 0,212557 57 0,838671 0,544639 1,539865
13 0,224951 0,97437 0,230868 58 0,848048 0,529919 1,600335
14 0,241922 0,970296 0,249328 59 0,857167 0,515038 1,664279
15 0,258819 0,965926 0,267949 60 0,866025 0,5 1,732051
16 0,275637 0,961262 0,286745 61 0,87462 0,48481 1,804048
17 0,292372 0,956305 0,305731 62 0,882948 0,469472 1,880726
18 0,309017 0,951057 0,32492 63 0,891007 0,45399 1,962611
19 0,325568 0,945519 0,344328 64 0,898794 0,438371 2,050304
20 0,34202 0,939693 0,36397 65 0,906308 0,422618 2,144507
21 0,358368 0,93358 0,383864 66 0,913545 0,406737 2,246037
22 0,374607 0,927184 0,404026 67 0,920505 0,390731 2,355852
23 0,390731 0,920505 0,424475 68 0,927184 0,374607 2,475087
24 0,406737 0,913545 0,445229 69 0,93358 0,358368 2,605089
25 0,422618 0,906308 0,466308 70 0,939693 0,34202 2,747477
26 0,438371 0,898794 0,487733 71 0,945519 0,325568 2,904211
27 0,45399 0,891007 0,509525 72 0,951057 0,309017 3,077684
28 0,469472 0,882948 0,531709 73 0,956305 0,292372 3,270853
29 0,48481 0,87462 0,554309 74 0,961262 0,275637 3,487414
30 0,5 0,866025 0,57735 75 0,965926 0,258819 3,732051
31 0,515038 0,857167 0,600861 76 0,970296 0,241922 4,010781
32 0,529919 0,848048 0,624869 77 0,97437 0,224951 4,331476
33 0,544639 0,838671 0,649408 78 0,978148 0,207912 4,70463
34 0,559193 0,829038 0,674509 79 0,981627 0,190809 5,144554
35 0,573576 0,819152 0,700208 80 0,984808 0,173648 5,671282
36 0,587785 0,809017 0,726543 81 0,987688 0,156434 6,313752
37 0,601815 0,798636 0,753554 82 0,990268 0,139173 7,11537
38 0,615661 0,788011 0,781286 83 0,992546 0,121869 8,144346
39 0,62932 0,777146 0,809784 84 0,994522 0,104528 9,514364
40 0,642788 0,766044 0,8391 85 0,996195 0,087156 11,43005
41 0,656059 0,75471 0,869287 86 0,997564 0,069756 14,30067
42 0,669131 0,743145 0,900404 87 0,99863 0,052336 19,08114
43 0,681998 0,731354 0,932515 88 0,999391 0,034899 28,63625
44 0,694658 0,71934 0,965689 89 0,999848 0,017452 57,28996
45 0,707107 0,707107 1
44 Volume 3