Aula 1 Conjuntos numéricos e frações

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 1: Conjuntos numéricos e frações
Apresentação
De�nimos como conjunto o agrupamento de termos com características parecidas. No caso da Matemática, os
números são agrupados em conjuntos numéricos. Ao longo da história da disciplina, de acordo com a necessidad
de representar certas situações, o homem buscou símbolos capazes de satisfazer suas necessidades. Os primeir
números a surgirem foram os naturais, que tinham como objetivo de representar quantidades.
Com o aumento da atividade comercial, os cálculos começaram a ser utilizados de forma intensa. Novos símbolo
surgiram para suprir as necessidades operatórias do momento. Com isso, surgiu um novo conjunto numérico:
números inteiros.
Veremos que esse conjunto tem como objetivo a indicação de situações de ganho e perda, com os números posit
representando os ganhos e os números negativos indicando as perdas. Os números inteiros eram escritos na
companhia de símbolos, os positivos recebiam o sinal de + (mais) e os negativos o sinal de – (menos).
Também apresentaremos o conjunto dos números racionais, que surgiram da necessidade de demonstrar partes 
um inteiro, divisões que obtinham resultados decimais, e a união de todos os conjuntos numéricos dando origem 
criação do conjunto dos números reais, responsável por representar e organizar os números em um único conjunt
Objetivos
Reconhecer a teoria dos conjuntos, sua importância para a matemática e seus principais conceitos;
Interpretar os diferentes problemas e operações envolvendo numéricos;
Praticar problemas de razão e proporção.
Conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos menores formados por números. São eles:
Clique nos botões para v
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo 
zero) e é in�nito.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5..., n, ...}
Naturais (N)
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N)
seus opostos negativos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z, pois podemos dizer o conjunto dos
números naturais N está contido no conjunto dos números inteiros Z (N ⊂ Z):
Subconjuntos dos Números Inteiros:
Z = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...}
Inteiros (Z)
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Ele engloba todos os números que podem ser escritos n
forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q
Racionais (Q)
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Esse conjunto contém os números decimais não exatos
com uma representação in�nita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decim
Irracionais (I)
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https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/aula1.html#collapse01-03
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https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/aula1.html#collapse01-04
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Um número real é racional. Portanto, ele não pode ser também irracional. Da mesma
maneira, se ele for irracional, não poderá ser racional.Podemos representar o conjunto dos números reais pelo seguinte diagrama:
 Fonte: Diagrama do conjunto dos números reais. Fonte: Autoria própria.
 Reais
 Racionais
 Naturais
 Irracionais
 Inteiros
O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros.
Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números rea
Atividade
1. Faça a leitura das frases sobre conjuntos numéricos (IESES – IGP – SC).
I. O número natural N pode ser chamado antecessor de N+1.
II. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.
III. A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par.
IV. Entre dois números racionais, A e B, com A diferente de B, existe sempre outro número racional.
Marque a única alternativa correta:
a) Apenas as assertivas I, III e IV estão corretas.
b) Apenas as assertivas III e IV estão corretas.
c) As assertivas I, II, III e IV estão corretas.
d) Apenas as assertivas I e II estão corretas.
Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas, realizamos, primeiramente, as operações de multiplicação e divisão, na ordem 
que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações.
Nas expressões em que aparecem sinais de reunião, efetuam-se as operações eliminando-as dos sinais interiores pa
exteriores, ou seja:
caroline.gomes
Realce
Devemos resolver essa questão verificando a validade de cada afirmação.

A afirmação I é verdadeira, pois o sucessor de um número N qualquer é dado por N+1, logo, N é o antecessor.

A afirmação II é verdadeira, pois o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

A afirmação III é verdadeira, pois a soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par.

A afirmação IV é verdadeira, pois, entre dois números racionais, A e B, com a diferente de B, existe sempre outro número racional.

A = 1,02
B = 0,02
A – B = 1,02 – 0,02 = 1

O número 1 obtido como resposta faz parte do conjunto dos números racionais, pois o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais.
Chaves
Quando o sinal negativo estiver à frente do sinal da reunião eliminado, todos os sinais dos termos internos são troca
No produto e divisão entre números:
(-) x (-) = +
(-) x (+) = -
(+) x (-) = -
(+) x (+) = +
Exemplo
a) 2 + [2 – (3 + 2) – 1] = 2 + [2 – 5 – 1] = 2 + [2 – 6] = 2 - 4 = -2
b) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 11
c) { 2 – [3 * 4 ÷ 2 – 2 *( 3 – 1) ] } + 1 = {2 – [12 ÷ 2 – 2 * 2] } + 1 = {2 – [6 – 4] } + 1 = 1
O sinal * representa multiplicação.
Atividade
2. Leia essa situação, arme uma expressão numérica e determine o valor da expressão.
Milena foi a uma loja de bijuteria com R$ 100 reais comprar alguns presentes. Ela comprou um cordão para dar a su
caroline.gomes
Sublinhado
caroline.gomes
Caixa de texto
Milena foi a uma loja de bijuteria com R$ 100 reais comprar alguns presentes. Ela comprou um cordão para dar a sua tia, que custou R$ 22,30 reais, comprou cinco pares brincos para dar as suas amigas, sendo que cada par custou R$ 13,20. 


Gabarito comentado
100 – 22,30 – 5*13,20 = 11,70.
Rotineiramente somos obrigados a lidar com frações. Quando uma receita pede 1/2 tablete de manteiga ou quando
precisamos dividir uma pizza entre seis pessoas, trabalhamos com partes de um todo, ou seja, com frações.
A palavra fração vem do
latim fractus, que signi�ca
partido ou quebrado.
 Fonte: Por artnLera / Shutterstock
Número racional fracionário (fração)
É todo o número escrito na forma , onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero.
Termos da fração:
a
b
→a
b
numerador
denominador
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
caroline.gomes
Sublinhado
caroline.gomes
Caixa de texto
Frações ordinárias
caroline.gomes
Sublinhado
caroline.gomes
Caixa de texto
Conceito de fração

Toda fração indica uma divisão - ainda não efetuada – de um número inteiro (o numerador) por outro inteiro (o denominador), sendo este diferente de zero.
O numerador indica quantas partes do inteiro estamos utilizando.
O denominador indica em quantas partes iguais esse inteiro foi dividido.
Dica
Uma fração pode ser representada das seguintesformas:
3 ÷ 5 → 3/5 → 35
Veja mais um exemplo a seguir:
Saiba mais
Assista ao vídeo na página Frações em uma reta numérica <https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-
arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line> .
Atividade
4. Cinco amigos foram para uma pizzaria, pediram uma pizza tamanho família e dividiram em 10 partes. Uma das am
estava fazendo uma dieta e só quis comer as outras duas moças comeram cada uma e um dos rapazes com
. Responda às questões abaixo.
a) Qual é a fração que representa a pizza inteira?
b) Qual parte da fração que �cou para o outro amigo?
1
10
2
10
3
10
5. Identi�que qual fração representa um número natural.
a) 5/4
b) 18/6
c) 20/3
d) 28/5
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
caroline.gomes
Sublinhado
Gabarito comentado

Pizza inteira = 10/10.

Moça de dieta comeu - 1/10.

Moça 2 comeu - 2/10.

Moça 3 comeu - 2/10.

Rapaz 1 comeu - 3/10.

Totalizando: soma = 8/10.

Para o outro rapaz sobrou 2/10, pois:

1010−810−210
caroline.gomes
Sublinhado
caroline.gomes
Caixa de texto
a) 5 ÷4= 1,25
b) 18 ÷6= 3
c) 20 ÷3= 6,7
d) 28 ÷5= 5,6
3 é um número natural. Portanto, a B é a alternativa correta.
 
Adição e subtração entre frações
A soma ou a subtração de duas ou mais frações com o mesmo denominador é igual a uma nova fração, que tem co
numerador a soma dos numeradores das frações dadas e o denominador é o mesmo das frações envolvidas na ope
Veja os exemplos a seguir:
+ =28
3
8
5
8
− = =2120
15
20
6
20
3
10
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para somar ou subtrair frações heterogêneas (denominadores diferentes), deve-se, antes, transformar as frações da
em frações homogêneas (denominadores iguais).
Veja os exemplos a seguir:
+ = =23
3
4
(12÷  numerador  3) ×  numerador  2 + (12÷numerador  4) ×  numerador  3
3×4=12
4×2+
12
− = =57
4
9
(63 ÷  numerador  7) ×  numerador  5 − (63÷numerador  9) ×  numerador  4
7×9=63
9×5−
63
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Multiplicação
Nas operações de multiplicação de fração, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si, o pr
obtido deve ser simpli�cado para apresentação do resultado.
× = = =23
4
10
2×4
3×10
8
30
4
15
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal

Divisão
Nas operações de divisão de fração, multiplicamos a primeira fração pela segunda com os termos invertidos. O quoc
obtido deve ser simpli�cado para apresentação do resultado.
÷ = ×   ( )  = × = =23
4
10
2
3 inverter
4
10
10
4
2
3
10
4
20
12
5
3
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Atividade
7. Efetue os produtos abaixo (simpli�que se for possível).
a) 1 2
8. Ache o quociente das frações abaixo.
a) 
b) 
c) 
d) 
÷27
8
14
÷69
4
15
÷ ÷23
10
12
1
15
÷75
3
10
 Fonte: Por rawf8 / Shutterstock).
Proporcionalidade
Veja a seguir conceitos relacionados à proporcionalidade.
Razão
Considerando dois números genéricos a e b, a razão entre eles é representada por , a/b ou a:b, sendo ba
b
 Fonte: Fonte: Autoria própria.
Propriedade fundamental
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Considerando as proporções:
Então, a *d = b *c
=a
b
c
d
Então, 4*6 = 3*8
=43
Então, 5*x = 4*20
x= 80/5 ou x = 16
=x2
3
5
Saiba mais
Diretamente proporcionais
Quando a razão entre x e y é constante.
, então x = k*y= kx
y
Inversamente proporcionais
Quando o produto delas é constante.
x*y = k ou 
Sendo k denominada constante de proporcionalida
Saiba mais
Assista ao vídeo Introdução às relações proporcionais <https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ra
rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships > .
Depois, pratique com a lista de exercícios <galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf> . e con�ra o Gabarito
/a1_doc2.pdf> .
Atividade
9. Qual das proposições abaixo é verdadeira:
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) Todo número real é negativo.
c) O número 2/3 é um número irracional.
d) O número -1 pode ser classificado somente como número racional.
e) O número +5 pode ser classificado como número real.
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships
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https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf
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https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc2.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc2.pdf
Números decimais;
Regra de três simples;
Regra de três composta.
Explore mais
Exercícios de números decimais e frações negativas na Khan Academy <https://pt.khanacademy.org/math/cc-s
grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-ona-number-line> .
Exercícios de proporções para concursos <//www.gabaritodematematica.com/exercicios-de-proporcoes-para-
concursos/> .
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line
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