Apostila - Conducao_de_Calor

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Condução de Calor
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Lei de Fourier
Considerações sobre a lei de Fourier
𝑞𝑥 = 𝑘𝐴
∆𝑇
∆𝑥
A lei de Fourier é fenomenológica, isto é,
desenvolvida de fenômenos observados
Fazendo Δx  0
q  taxa de calor [J/s] ou [W]
q” fluxo de calor [W/m2]
k  condutividade térmica do material [W/mK]
A  área normal a direção da transferência de calor [m2]
T  temperatura [K]
Taxa de transferência 
de calor por condução 
[W]
𝑞"𝑥 =
𝑞𝑥
𝐴
= −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Fluxo de transferência 
de calor por condução 
[W/m2]
• Para o caso unidimensional de uma parede plana
q”x>0 q”x<0
Sinal de menos é necessário porque o calor é sempre transmitido no 
sentido da diminuição da temperatura 
𝑞" = −𝑘𝛻𝑇 = −𝑘 𝑖
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
Forma Geral da Lei de Fourier
Operador gradiente (vetorial)
Temperatura (escalar)
𝑞" = 𝑞"𝑥 𝑖 + 𝑞"𝑦 𝑗 + 𝑞"𝑧𝑘
𝑞"𝑥 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞"𝑦 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑞"𝑧 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
O fluxo térmico pode ser decomposto, de modo que em coordenadas cartesianas:
Propriedades Termofísicas da Matéria
Propriedades 
Termofísicas
Propriedades 
de Transporte
Propriedades de 
Termodinâmicas
k  transferência de calor
ν  transferência de Q.M.
ρ massa específica
cp calor específico
T  temperatura
p  pressão
i  Entalpia 
ρ.cp =C [J/m3K]  capacidade 
calorífica volumétrica
Capacidade do 
material de 
armazenar energia 
térmica
Capacidade Calorífica Volumétrica (C)
Gases (ρ.cp) ≈ 1 MJ/m3k
Sólidos e Líquidos (ρ.cp) > 1 MJ/m3k
Massa específica elevada
Massa específica baixa
Os sólidos e líquidos possuem 
maior capacidade de 
armazenar energia térmica se 
comparado aos gases. Sendo 
que muitos sólidos e líquidos 
são considerados meios bons 
para armazenar energia 
Condutividade Térmica (k)
Em geral:
k do sólido > k líquido > k gás
Nos fluidos o espaçamento
molecular é maior que no
sólidos, por isso a
condutividade térmica é
menor.
𝑘𝑥 = −
𝑞"𝑥
𝜕𝑇/𝜕𝑥
Para materiais 
isotrópicos a 
condutividade não 
depende da 
direção de 
transferência 
k = kx = ky = kz
Difusividade Térmica
𝛼 =
𝑘
𝜌𝑐𝑝
Relação entre o calor
transportado por
condução (k) e a energia
armazenada (ρ.cp)
α elevados  resposta rápida a mudanças 
nas condições térmicas.
α baixos  resposta lenta, mais tempo 
para atingir nova condição de equilíbrio.
Difusividade térmica [m2/s]
Exemplo 1
A difusividade térmica α é a propriedade de transporte que controla
processos de transferência de calor por condução em regime
transiente. Usando valores apropriados de k, ρ e cp, calcule α para os
seguintes materiais nas temperaturas indicadas: alumínio puro, 300 e
700 K; carbeto de silício, 1000 K ; parafina, 300 K.
Equação da Difusão Térmica
• Objetivo: obter o campo de temperatura
Campo de temperatura 
Fluxo de calor
Integridade estrutural  tensões, expansões e 
deflexões térmicas
Otimização de um isolante térmico 
Aplicando o princípio da Conservação de Energia
 𝐸𝑒 + 𝐸𝑔 − 𝐸𝑠 = 𝐸𝑎𝑐 =
𝑑𝐸𝑎𝑐
𝑑𝑡
𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧 + 𝐸𝑔 − 𝑞𝑥+𝑑𝑥 − 𝑞𝑦+𝑑𝑦 − 𝑞𝑧+𝑑𝑧 =
𝑑𝐸𝑎𝑐
𝑑𝑡
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
2
𝜕𝑥2
(𝑑𝑥)2
2!
+ ⋯ Expansão em 
série de Taylor
0
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 𝑞𝑦+𝑑𝑦 = 𝑞𝑦 +
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦 𝑞𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞𝑧 +
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧
Então
Energia Acumulada
𝑑𝐸𝑎𝑐
𝑑𝑡
=
𝑑𝑈
𝑑𝑡
=
𝑚𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 𝜌𝑉
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 𝜌𝑉𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝐸𝑎𝑐
𝑑𝑡
= 𝜌𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧 + 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑞𝑥 −
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 − 𝑞𝑦 −
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦 − 𝑞𝑧 −
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Substituindo na Equação da Energia 
 𝐸𝑔 = 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Energia Gerada
Energia térmica gerada 
por unidade de volume
 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 −
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 −
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦 −
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Sabendo que as taxa são dadas pela Lei de Fourier
𝑞𝑥 = −𝑘𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞𝑦 = −𝑘𝑑𝑥𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑞𝑥 = −𝑘𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Substituindo na equação da Energia
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ 𝑞 = 𝜌𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑡
Fluxo líquido de energia conduzida 
para o interior do V.C (Ee – Es)
Energia 
gerada (Eg) 
Energia 
acumulada (Eac)
Finalmente a Equação da Difusão Térmica é:
-Essa equação é a forma geral, coordenadas cartesianas, da equação da difusão 
térmica, frequentemente chamada de equação do calor
-A partir dessa equação podemos calcular o campo de temperatura T(x,y,z,t)
Simplificações
1) para k = cte
2) para k = cte, regime estacionário e sem geração de energia ( 𝑞 = 0)
3) regime estacionário, sem geração de energia ( 𝑞 = 0) e condução 
unidimensional
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+
 𝑞
𝑘
=
1
𝛼
𝑑𝑇
𝑑𝑡
Eq. de Poisson
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
= 0 Eq. De Laplace
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 0
𝑑𝑞𝑥
"
𝑑𝑥
= 0
ou Fluxo de calor é constante 
na direção de análise
Coordenadas Cilindricas (r, φ, z) 
𝑞𝑟
′′ = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑞∅
′′ = −
𝑘
𝑟
𝑑𝑇
𝑑∅
𝑞𝑧
′′ = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑧
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑘𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜙
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝜙
+
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ 𝑞 = 𝜌𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Coordenadas Esféricas (r,θ,φ)
𝑞𝑟
′′ = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑟 𝑞∅
′′ = −
𝑘
𝑟𝑠𝑒𝑛θ
𝑑𝑇
𝑑∅
𝑞θ
′′ = −
𝑘
𝑟
𝑑𝑇
𝑑θ
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑘𝑟2
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2𝑠𝑒𝑛2θ
𝜕
𝜕𝜙
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝜙
+
1
𝑟2𝑠𝑒𝑛θ
𝜕
𝜕θ
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ 𝑞 = 𝜌𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Exemplo 2
A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m, em
determinado instante de tempo, é dada por:
Na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a = 900 ⁰C, b = -300 C ⁰C/m e c =
-50 ⁰C/m2 . Uma geração de calor uniforme 𝑞 = 1000 𝑊/𝑚3, está presente na parede,
cuja área é de 10 m2. O seu material apresenta as seguintes propriedades: ρ = 1600 kg/m3,
k = 40 W/(m.K) e cp = 4 kJ/(kg.K)
a)Determinar a taxa de transferência de calor que entra na parede (x = 0) e que deixa a
parede (x = 1m)
b)Determinar a taxa de variação da energia acumulada na parede.
c)Determinar a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo nas posições x = 0;
0,25; e 0,5 m.
Condições Iniciais e de Contorno
A equação da difusão térmica 
• Parcial de 2º ordem no espaço (necessário 2 condições de contorno
em cada coordenada)
• Parcial de 1º ordem no tempo (necessário uma condição inicial) 
Condições Iniciais e de Contorno
• Condição Inicial 
Especifica a distribuição de temperatura na origem do tempo t=0
Ex: T(x,0) = T0
• Condições de Contorno
Especifica as condições térmicas nas fronteiras. Três tipos de condições são 
usualmente encontradas em Transferência de Calor
- Temperatura conhecida
- Fluxo térmico conhecido
- Convecção na superfície
1) Temperatura conhecida (condição de contorno de Dirichlet ou de 1ª 
espécie)
𝑇 0, 𝑡 = 𝑇1
𝑇 𝐿, 𝑡 = 𝑇2
Onde a temperatura é especificada em 
x = 0 e x = L
2) Fluxo de calor conhecido (condição de contorno de Newmann ou de 
2ª espécie)
 −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥=0
= 𝑞𝑜
"
a)Fluxo térmico diferente de zero b) Superfície isolada 
 −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥=0
= 0
3) Convecção na superfície (condição de contorno de 3ª espécie)
Balanço de energia na superfície (x=0)
 𝐸𝑒 − 𝐸𝑠 = 0
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
" − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
" = 0
ℎ 𝑇∞ − 𝑇(0, 𝑡) + 𝑘
𝜕𝑇(0, 𝑡)
𝜕𝑥
= 0
ℎ 𝑇∞ − 𝑇(0, 𝑡) = −𝑘
𝜕𝑇(0, 𝑡)
𝜕𝑥
Exemplo 3
Uma longa barra de cobre com seção transversal retangular, cuja largura w é muito
maior do que sua espessura L, é mantida em contato com um sumidouro de calor
na superfície inferior e a temperatura ao longo da barra é aproximadamente igual à
do sumidouro, T0. Subitamente, uma corrente elétrica é passada através da barra e
uma corrente de ar, com temperatura Tꚙ, é passada sobre sua superfície superior,
enquanto a superfícieinferior continua mantida a T0. Obtenha a equação
diferencial e as condições iniciais e de contorno que podem ser usadas para
determinar a temperatura em função da posição e do tempo na barra.
Exemplo 4
Considere uma grande parede plana de espessura L = 0,2 m, condutividade térmica 
k = 1,2 W/m.K e área A = 15 m2. Os dois lados da parede são mantidos a 
temperatura constante de T1 = 120 
0C e T2 = 50 
0C, respectivamente. Determine:
a) a variação de temperatura na parede e o valor da temperatura em x = 0,1 m
b) a taxa de condução de calor pela parede sob condições permanentes.
Exemplo 5
Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa
parede de espessura L e condutividade térmica constante k, sem geração de calor.
Obtenha expressões para a variação da temperatura não interior da parede para os
seguintes pares de condições de contorno
Exemplo 6
Considere que a placa da base de um ferro de passar de
1200 W tenha espessura L = 0,5 cm, área da base A = 300
cm2 e condutividade térmica k = 15 W/(m.K). A superfície
interna da placa é submetida a um fluxo de calor
uniforme gerada pela resistência interna, enquanto a
superfície externa perde calor para o meio (temperatura
𝑇∞ = 20 ⁰C) por convecção. Considerando que o
coeficiente de transferência de calor por convecção é h =
80 W/m2K e desprezando a perda de calor por radiação,
obtenha a expressão para a variação de temperatura na
placa da base de ferro e avalie as temperatura nas
superfícies interna e externa.
Exemplo 7
Considera uma tubulação de comprimento L = 20 m, raio interno r1 = 6 cm, raio
externo r2 = 8 cm e condutividade térmica k = 20W/m.K. As superfícies interna e
externa da tubulação são mantidas a temperaturas médias T1 = 150 ⁰C e T2 = 60 ⁰C,
respectivamente. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no
interior da tubulação sob condições permanentes e determine a taxa de perda de
calor do vapor pelo tubo.
Exemplo 8
Considere um contêiner esférico de raio interno r1 = 8 cm, raio externo r2 = 10 cm e
condutividade térmica k = 45 W/mK. As superfícies interna e externa do contêiner
são mantidas a temperatura constante T1 = 200 ⁰C e T2 = 80 ⁰C, respectivamente,
como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior.
Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no inteiro da casca sob
condições permanentes e determine a taxa de perda de calor.