UNIDADE III - TRANSFERÊNCIA DE CALOR - CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO

Prévia do material em texto

08/05/2020
1
UNIDADE III: CONDUÇÃO 
UNIDIMENSIONAL EM REGIME 
ESTACIONÁRIO
UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E 
ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Profª. Luana Santana E-mail: profaluanass@gmail.com
CONDUÇÃO
 Unidimensional: os gradientes de temperatura são
significativos só em uma direção.
 Regime Estacionário: temperatura em cada ponto 
independe do tempo. 
Figura 1- Experimento de condução térmica em regime permanente
08/05/2020
2
EQUAÇÃO DO CALOR
 Coordenadas Cartesianas
 Coordenadas cilíndricas
 Coordenadas esféricas
EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO
 Parede plana
A equação geral da condução sem geração de
energia interna, 1D, regime estacionário é:
Figura 2- Representação do fluxo térmico na parede plana
08/05/2020
3
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Para k constante e resolvendo a equação, temos:
Aplicando as condições de contorno:
Logo: 
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Então como distribuição de temperatura , temos:
Assim, a taxa de calor será:
Desta equação surge a analogia do fluxo de calor 
com o fluxo de corrente elétrica:
08/05/2020
4
RESISTÊNCIA TÉRMICA
 Assim, a resistência térmica na condução será:
A taxa será: 
Portanto, para a convecção, pode se escrever a 
resistência como:
COEFICIENTE GLOBAL DE TC
 Os fluxos de calor serão iguais nas fronteiras.
Figura 3- Transferência de calor através de uma parede
08/05/2020
5
COEFICIENTE GLOBAL DE TC
 Na fronteira x=0, temos:
 Logo, em x=L, será:
 E na parte interior da parede, teremos:
COEFICIENTE GLOBAL DE TC
 Somando-se os termos, teremos:
Na qual:
É o coeficiente global de transferência de calor
08/05/2020
6
EXEMPLO 01
 Considere uma placa de espessura L. Um fluido à
temperatura T1= 130 ºC com um coeficiente
h1=250 W/(m
2 ºC), flui sobre a superfície em x=0,
e um fluido diferente, com h2=500 W/(m
2 ºC), flui
sobre a superfície em x=L, sob T2= 30 ºC. Dados:
k= 20 W/(m ºC) e L= 4 cm. Deduza a expressão
da taxa de calor e calcule a taxa de transferência
de calor através de A=1 m2.
EXEMPLO 01
 Representação do fenômeno
08/05/2020
7
EXEMPLO 01
 Representação do fenômeno
EXEMPLO 01
 Equação para determinar a taxa
08/05/2020
8
PAREDES COMPOSTAS
Figura 3- Fluxo em parede composta 
 Circuitos térmicos equivalentes em paredes
compostas:
PAREDES COMPOSTAS
 Sabemos que as taxas são iguais, portanto
08/05/2020
9
PAREDES COMPOSTAS
 Podemos escrever:
 Por analogia com a resistência elétrica, verifica-se 
que:
EXEMPLO 02
 Represente o circuito de resistências térmicas
equivalentes da figura abaixo.
08/05/2020
10
EXEMPLO 02
EXEMPLO 03
08/05/2020
11
EXEMPLO 03
CONDUÇÃO EM SISTEMAS RADIAIS
 O cilindro
Figura 4- Volume de controle diferencial para coordenadas cilíndricas
08/05/2020
12
EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO
Figura 5- Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies
EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO
 Distribuição de temperatura: A equação geral da
condução sem geração de energia interna, 1D,
regime estacionário é:
 O resultado da integral é:
08/05/2020
13
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Aplicando as condições de contorno:
 Logo, a distribuição de temperatura será: 
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Então, a taxa de calor será:
Assim, a resistência térmica na condução será:
08/05/2020
14
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
Figura 6- Distribuição de temperatura em uma parede cilíndrica composta
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 A taxa de transferência será dada por:
 Que pode ser escrita na forma:
08/05/2020
15
EXEMPLO 04
 Através de um fio de 1mm de diâmetro e 10 cm de
comprimento passa uma corrente elétrica, esse fio está
imerso em água à pressão atmosférica. A corrente é
aumentada até a água entrar em ebulição. Para essa
situação o coeficiente convectivo é 5.000 W/m2 ºC e a
temperatura da água é 100 ºC. Sabendo que a
potência elétrica fornecida ao fio equivale à taxa de
calor, determine essa quantidade de energia para
manter a temperatura da superfície em 114 ºC. Em
seguida, determine qual será a temperatura no fio na
metade do seu raio, sabendo que k= 31 W/(m ºC)
EXEMPLO 04
08/05/2020
16
EXEMPLO 05
 Um tubo de aço inoxidável (AISI 304), com
condutividade 14,4 W/(m.K) usado para
transportar um fluido farmacêutico refrigerado, tem
um diâmetro interno de 36mm e uma espessura de
parede de 2 mm. O fluido farmacêutico e o ar
ambiente estão, respectivamente, nas temperaturas
de 6ºC e 23 ºC, enquanto os coeficientes
convectivos interno e externo são 400 W/(m2.K) e
6 W/(m2.K), respectivamente.
EXEMPLO 05
 Considere uma condução unidimensional, com
propriedades constantes e em estado estacionário.
 Qual é o ganho de calor por unidade de comprimento
do tubo?
 Qual é o ganho de calor por unidade de comprimento,
se uma camada da 10 mm de isolante for colocada
sobre a superfície externa do tubo? Sabendo que a
condutividade do isolante é 0,050 W/(m.K)?
 Despreze a resistência do isolamento e os efeitos de
radiação.
08/05/2020
17
EXEMPLO 05
EXEMPLO 05
 Ganho de calor por unidade de comprimento do 
tubo:
08/05/2020
18
EXEMPLO 05
 Ganho de calor por unidade de comprimento do
tubo se uma camada da 10 mm de isolante for
colocada sobre a superfície externa
EXEMPLO 05
08/05/2020
19
CONDUÇÃO EM SISTEMAS RADIAIS
 A esfera
Figura 7- Volume de controle diferencial para coordenadas esféricas
EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO
 Distribuição de temperatura: A equação geral da
condução sem geração de energia interna, 1D,
regime estacionário é:
 O resultado da integral é:
08/05/2020
20
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Aplicando as condições de contorno:
 Logo, a distribuição de temperatura será: 
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Então, a taxa de calor será:
, na qual 
Assim, a resistência térmica na condução será:
08/05/2020
21
EXEMPLO 06
 A superfície externa de uma esfera oca de raio r2
está sujeita a um fluxo térmico q’’2 uniforme em sua
superfície externa. A superfície interna em r1 é
mantida a uma temperatura constante Ts1, ou seja,
a uma temperatura uniforme na superfície interna
Desenvolva uma expressão para a distribuição de
temperatura T(r) radial.
EXEMPLO 06
 A conservação de energia diz que as taxas são 
iguais, sob as condições citadas, a lei do Fourier é:
08/05/2020
22
EXEMPLO 06
 Em seguida determine o fluxo q’’2 sabendo que os
raios externo e interno são, respectivamente, 100
mm e 50mm para manter a Ts2 = 50 ºC, estando a
superfície Ts1 = 20 ºC. Dado: a condutividade
térmica do material da parede é 10 W/(m ºC)
EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO
 Parede plana
A equação geral da condução com geração de
energia interna, 1D, regime estacionário é:
Figura 8- Parede plana com geração de calor uniforme
08/05/2020
23
EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO
 Parede plana
A equação geral da condução com geração de
energia interna, 1D, regime estacionário é:
Figura 9- Representação na parede plana 2L
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Para k constante e resolvendo a equação, temos:
Aplicando as condições de contorno:
Logo: 
08/05/2020
24
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 1º caso: Suponha que as faces estejam a mesma
temperatura T1= T2= Ts
Logo:
Figura 10- Representação da distribuição na parede plana
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Ou
Geração de calor>0→processo exotérmico 
Geração de calor<0→processo endotérmico
No plano central x=0, o fluxo de calor é nulo é
devido a simetria e as condições de contorno. Dessa
forma, age como uma parede adiabática.
08/05/2020
25
LEI DE FOURIER
LEI DE FOURIER
 2º caso: Suponha que as faces estejam sob
temperaturas diferentes T1> T2
Figura 11- representação da distribuição na parede plana
08/05/2020
26
LEI DE FOURIER
Assim,
CONDUÇÃO E CONVECÇÃO
Figura 12- condições de contorno assimétricas- temperaturas e fluidos diferentes
08/05/2020
27
CONDUÇÃO E CONVECÇÃO
Figura 13- condições de contornosimétricas- temperaturas e fluidos iguais
Distribuição de temperatura T1= T2= Ts
A temperatura máxima ou mínima é x=0
CONDUÇÃO E CONVECÇÃO
Para as duas últimas situações podemos relacionar as 
equações de fluxo
Figura 13- superfície adiabática no plano central
08/05/2020
28
EXEMPLO 07
 Ar no interior de uma câmara está a 50 ºC é
aquecido por convecção por uma parede com
geração uniforme de calor a uma taxa de 1000
W/m3. Para evitar que qualquer calor gerado no
interior da parede seja perdido para a parte
externa da câmara, uma fita aquecedora é coloca
sobre a superfície externa da parede para
fornecer um fluxo térmico uniforme.
EXEMPLO 07
 Determine a distribuição de temperatura na
parede para a condição na qual nenhum calor
gerado seja perdido para fora da câmara.
 Quais são as temperaturas nas superfícies da
parede, T (0) e T (L)?
08/05/2020
29
EXEMPLO 07
 Sabemos que a distribuição tem um perfil 
parabólico
CONDUÇÃO EM SISTEMAS RADIAIS
 O cilindro
Figura 14- Condução em um cilindro sólido com geração uniforme 
08/05/2020
30
CONDUÇÃO EM SISTEMAS RADIAIS
 A equação geral da condução com geração de 
energia interna, 1D, regime estacionário é:
 Para k constante e resolvendo a equação, temos:
 Aplicando as condições de contorno:
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Logo:
 Para a condição de convecção na superfície, pode 
–se escrever:
08/05/2020
31
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
 Logo, a temperatura da superfície pode ser obtida 
por : 
 Para se obter a distribuição de temperatura para a 
condição de convecção, substitui a equação anterior 
na relação geral obtida para sistemas radiais.
EXEMPLO 08
 Considere um tubo sólido longo, isolado no raio externo
e resfriado no raio interno, como geração uniforme de
calor. Obtenha a solução geral para a distribuição
geral de temperatura no tubo.
 Em uma aplicação prática, um limite seria fixado para
a temperatura máxima permitida na superfície isolada,
identificada como Ts2, identifique as condições de
contorno apropriadas que podem ser usadas para
determinar as constantes da equação geral.
08/05/2020
32
EXEMPLO 08
EXEMPLO 08
 Escreva a lei de Fourier para se encontrar a taxa
de calor retirado do tubo.