Matemática para Computação

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Profa. Dra. Karina de Oliveira
UNIDADE I
Matemática para 
Computação 
 A sociedade atual tem tratado o computador com extrema importância. Com ele, 
profissionais como cientistas e engenheiros de computação, programadores, analistas de 
sistemas etc. têm ocupado uma posição de destaque. 
 Todos esses profissionais têm como base disciplinas como Lógica, Algoritmos, Estrutura de 
Dados, Matemática Discreta, Geometria, Estatística, etc., e todas estas disciplinas estão 
fundamentadas na Matemática, descoberta ao longo dos séculos anteriores.
Introdução
 Um profissional de computação que possui conhecimentos em matemática é capaz de 
resolver problemas profundos, oferecendo soluções claras, organizadas, criativas 
e eficientes.
 As empresas têm buscado, cada vez mais, profissionais com esse perfil, pois os desafios 
atuais são maiores e exigem conhecimentos mais sólidos.
 A geometria é uma grande aliada no processo criativo de um profissional em computação, já 
que facilita a abstração do mundo real, permitindo que novos modelos sejam criados com 
muita facilidade e precisão.
Introdução
 Entendemos por conjunto o agrupamento de elementos que possuem características 
semelhantes, coleção de objetos. 
 O conjunto pode ser considerado especial no caso de termos um conjunto vazio (não possui 
elementos) ou conjunto universo (possui todos os elementos do estudo em questão).
Teoria dos conjuntos
Teoria dos conjuntos
Elemento:
Conjunto:
A = {a, e, i, o, u}
X = {x | 0 < x < 1000}
T = { } ou ∅
Teoria dos conjuntos
Pertinência:
𝒂 ∈𝑨
b ∈𝑨
Igualdade:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {3, 2, 5, 1, 4}
A=B
Teoria dos conjuntos
Desigualdade:
D = {a, b, c, d, e, f}
E = {a, b, c, d, e}
Subconjuntos:
𝑬 ⊂𝑫
𝑫⊂𝑬
Operações entre os conjuntos
União:
A = {amarelo, azul}
B = {vermelho, verde}
A U B = {amarelo, azul, vermelho, verde}
A U B = ∀ 𝒙 ∈𝑨, ∀ 𝒙 ∈𝑩
Operações entre os conjuntos
Intersecção:
D = {1, 2, 3, 4}
E = {0, 2, 3, 5}
𝑫 ∩ 𝑬 = {𝟐, 𝟑}
D E
3
1
4
0
5
 Um dos conceitos mais importantes é o de função. Para explicar, partiremos da ideia de 
conjuntos.
 O produto cartesiano A x B é o conjunto cujos elementos são os pares ordenados (x,y) tais 
que x pertence a A e y pertence a B.
 Existe, então, um processo de transformação, de relação, que conecta os elementos de 
A em B.
 A esta relação damos o nome de função.
Relações e funções
Produto cartesiano:
A = {1, 2, 3} e B = {4, 6}
A x B = {(1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,4), (3,6)}
Relações e funções
A B
1
2
3
4
6
Domínio Imagem
Relação
 É importante notar que, para se caracterizar uma função, é necessário que, para todo 
elemento de A, haja apenas uma correspondência em B, ou seja, o exemplo anterior não 
caracteriza uma função.
 A é o domínio e B é o contradomínio. A imagem de f é o subconjunto de B, cujos elementos 
estão associados a algum elemento de A.
 Assim, os pares ordenados são definidos e diz-se que x é a variável independente e y é a 
variável dependente.
Relações e funções
Exemplo de função: 
Relações e funções
Relações e funções
y
6
4
1 2 3 x
 Contudo esta não é uma função, pois a um mesmo 
valor de x, corresponde mais de um valor em y.
Interatividade
Dados os conjuntos A e B abaixo, determine seu produto cartesiano e assinale a alternativa 
correta:
A = {2, 3}
B = {0, 1, 2}
a) {(𝟐,𝟎), (𝟐,𝟏), (𝟐,𝟐), (𝟑,𝟎), (𝟑,𝟏)} = 𝑨𝑿𝑩.
b) {(𝟑,𝟎)} ∈ 𝑨𝑿𝑩.
c) (𝑨 ∩𝑩) ∈ 𝑨.
d) {(𝟐,𝟎), (𝟐,𝟐)} ⊄ 𝑨𝑿𝑩.
e) 𝑨∪𝑩 = 𝑨𝑿𝑩.
Resposta
Dados os conjuntos A e B abaixo, determine seu produto cartesiano e assinale a alternativa 
correta:
A = {2, 3}
B = {0, 1, 2}
a) {(𝟐,𝟎), (𝟐,𝟏), (𝟐,𝟐), (𝟑,𝟎), (𝟑,𝟏)} = 𝑨𝑿𝑩.
b) {(𝟑,𝟎)} ∈ 𝑨𝑿𝑩.
c) (𝑨 ∩𝑩) ∈ 𝑨.
d) {(𝟐,𝟎), (𝟐,𝟐)} ⊄ 𝑨𝑿𝑩.
e) 𝑨∪𝑩 = 𝑨𝑿𝑩.
Relações e funções
Função:
y = f(x)
𝒇(𝒙) = {(𝒙,𝒚 ∈ 𝑨𝑿𝑩) | 𝒚 = 𝟐𝒙}
Neste exemplo o Contra Domínio é igual à imagem
Relações e funções
A = {1, 2, 3} 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝒇(𝒙) = {(𝒙,𝒚 ∈ 𝑨𝑿𝑩) | 𝒚 = 𝟐𝒙)
𝑨𝑿𝑩 = {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,0), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}
𝑰(𝒇 ) = {2, 4, 6}
Relações e funções
1
2
3
0
1
2
3
4
5
6
A
Relações e funções
A = {1, 2, 3} 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝒇(𝒙) = {(𝒙,𝒚 ∈ 𝑨𝑿𝑩) | 𝒚 = 𝟐𝒙)
x
y
6
4
1 2 3
3
5
2
1
0
D(f) = A = {1, 2, 3}
CD(f) = B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
I(f) = {2, 4, 6} 
Introdução às funções: polinômios
 Um caso especial de funções são os chamados polinômios.
São funções que podem ser escritas na forma:
 Monômio, binômio, trinômio, polinômio.
 O grau do polinômio é descrito pelos seus coeficientes e apresentam propriedades 
distintas.
Introdução às funções: polinômios
Produtos notáveis
Quadrado da soma de dois termos:
Quadrado da diferença de dois termos:
Produtos notáveis
Produto da soma pela diferença de dois termos:
a) 4x2 + 4xy2 + y2
b) 4x2 + 4xy2 - y2
c) 4x2 - 4xy2 + y4
d) 2x2 + 4xy2 - y4
e) 4x2 + 4xy2 - y4
Interatividade
Escolha, dentre as alternativas a seguir, a que mostra o correto desdobramento do 
produto notável:
a) 4x2 + 4xy2 + y2
b) 4x2 + 4xy2 - y2
c) 4x2 - 4xy2 + y4
d) 2x2 + 4xy2 - y4
e) 4x2 + 4xy2 - y4
Resposta
Escolha, dentre as alternativas a seguir, a que mostra o correto desdobramento do 
produto notável:
Produtos notáveis
Cubo da soma de dois termos:
Produtos notáveis
Cubo da diferença de dois termos:
Seja x2 + y2 = 60. Qual é o valor positivo de x + y, sabendo que xy = 20?
a) 5.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 25.
Produtos notáveis
Seja x2 + y2 = 60. Qual é o valor positivo de x + y, sabendo que xy = 20?
a) 5.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 25.
Produtos notáveis
Observe que:
xy = 20
2xy = 2·20
2xy = 40
x2 + y2 = 60
x2 + y2 + 40 = 60 + 40
x2 + y2 + 2xy = 100
x2 + y2 + 2xy = 100
(x + y)2 = 100
√(x + y)2 = √100
x + y = 10 ou
x + y = – 10
Produtos notáveis
O resultado y2x2 - 4a2 é obtido por meio de qual dos produtos notáveis a seguir?
a) (yx + 2a)(yx - 2a).
b) (yx + 2a)(yx + 2a).
c) (x + a)(y - 2).
d) (y + a)(x + 2).
e) (yx + 2a)2.
Produtos notáveis
O resultado y2x2 - 4a2 é obtido por meio de qual dos produtos notáveis a seguir?
a) (yx + 2a)(yx - 2a).
b) (yx + 2a)(yx + 2a).
c) (x + a)(y - 2).
d) (y + a)(x + 2).
e) (yx + 2a)2.
Fazendo o caminho inverso, da fatoração de
polinômios, poderemos descobrir qual é o produto
notável que gerou a expressão anterior:
y2x2 - 4a2 = (yx + 2a)(yx - 2a)
 A diferença de dois quadrados sempre é o resultado
do produto da soma pela diferença.
Interatividade
:Escolha a alternativa que contém o correto desdobramento do produto notável:
a) 𝟏𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
b) 𝟏𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 𝒚 + 𝟔𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
c) 𝟏𝟔𝒙𝟒 + 𝟑𝟐𝒙𝟑 𝒚 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟖𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
d) 𝟏𝟔𝒙𝟒 − 𝟑𝟐𝒙𝟑 𝒚 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
e) 𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 𝒚 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
Resposta
Escolha a alternativa que contém o correto desdobramento do produto notável:
a) 𝟏𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
b) 𝟏𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 𝒚 + 𝟔𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
c) 𝟏𝟔𝒙𝟒 + 𝟑𝟐𝒙𝟑 𝒚 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟖𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
d) 𝟏𝟔𝒙𝟒 − 𝟑𝟐𝒙𝟑 𝒚 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
e) 𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 𝒚 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙𝒚𝟑 + 𝟏𝒚𝟒
Simplificação e fatoração
Simplificação e fatoração
Diferença de quadrados:
Simplificação e fatoração
Trinômio de segundo grau:
Simplificação e fatoração
Simplificação e fatoração
Simplificação de expressões fracionárias:
Simplificação e fatoração
Simplificação e fatoração
Exemplos:
10x4 ÷ 2x = (10 ÷ 2) e (x4 ÷ x) = 5x³
16x ÷ 4x = (16 ÷ 4) e (x ÷ x) = 4
Simplificação e fatoração
Simplificação e fatoração
8xy + 3xyz - 4xyz + 2xy
10xy - xyz = xy(10 - z)
Simplificação e fatoração
Resumo:
Fator comum em evidência:ax + bx = x . (a + b)
Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)
Trinômio quadrado perfeito (adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Trinômio quadrado perfeito (diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
Cubo perfeito (soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo perfeito (diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
Interatividade
Assinale a alternativa que contém a forma simplificada da expressão:
a) 4x + y2
b) 2x - y
c) 2x + y
d) 2xy
e) 2 + y2
Resposta
Assinale a alternativa que contém a forma simplificada da expressão:
a) 4x + y2
b) 2x - y
c) 2x + y
d) 2xy
e) 2 + y2
ATÉ A PRÓXIMA!