Matemática Básica de um Ponto de Vista Avançado

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA (UNESP)
CAMPUS DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO
Matemática Básica de um Ponto de Vista
Avançado
a2 = b2 + c2
a
b
c
Pedro Henrique Muller Bortolucci
Notações
∈ Pertence
3 Elemento de
6∈ Não pertence
⊂ Contido em
⊃ Contém
* Não está contido
∀ Para todo, qualquer
∃ Existe
∃! Existe um único
; Tal que
| Divide
- Não divide
∴ Portanto
∵ Porque
∧ E
∨ Ou
Conteúdo
1 Conjuntos 3
1.1 O que é um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Relações entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Descrição pictória das relações entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Conjuntos Numéricos 11
2.1 O Conjunto dos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 O Conjunto dos Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Critérios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Conjunto dos Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.1 Classes de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Fração Geratriz e Dízimas Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Polinômios 29
3.1 Definição de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Operações Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Produto de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Composição de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Avaliação de Polinômios e Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Divisão Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7 Resultados Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Soluções 43
4.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
Capítulo 1
Conjuntos
1.1 O que é um conjunto
A todo momento em nossas vidas trabalhamos com conjuntos, sejam conjuntos de
roupas (aquelas que combinam), sejam conjuntos de comidas, por exemplo, comidas
veganas, comidas vegetarianas e comidas para animais. Porém os matemáticos, como
sempre, inventaram uma forma de generalizar esse conceito de uma maneira bem sim-
ples.
Definição 1.1.1. Definimos um conjunto, como uma coleção de elementos distintos.
Ou seja, tomando por exemplo todas as camisetas de seu guarda roupa, podemos
formar nosso primeiro conjunto: o conjunto de suas camisetas. Bom, temos que re-
presentar isso no papel de alguma forma, já que estamos falando de camisetas, vou
denotar por C o conjunto de todas as suas camisetas. Ou seja, se colocarmos todas as
suas camisetas dentro de uma caixa, essa caixa é o que chamamos de C (ou caixa C, ou
melhor ainda, conjunto C).
Outro exemplo de conjunto é o conjunto dos números naturais, lembre-se que um
número natural é aquele que usamos para contar, como o 1, 2, 3 e assim por diante.
Colocando todos esses números num conjunto (como colocamos as camisetas na caixa)
podemos dar um nome à ele, esse recebe um nome especial N. Uma forma especial-
mente comum e útil de representar esse conjunto é escrever todos os seus elementos
dentro de chaves, assim:
N = {1, 2, 3, 4, . . .}
é claro que não podemos escrever todos os números, então as retcências indicam que
eles continuam infinitamente.
O próximo exercício, para alguns é de memória, para outros, de pesquisa, mas é ex-
tremamente importante para o desenvolvimento do conteúdo e não pode ser deixado
de lado.
Exercício. Pesquise, estude e caracterize, como fizemos para os números naturais,
quem são os conjuntos:
3
1.2. RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 4
(a) dos números inteiros, denotado por Z;
(b) dos números racionais, denotado por Q;
(c) dos números reais, denotado por R;
(d) dos números irracionais, que aqui será denotado por R−Q, tente explicar o mo-
tivo dessa notação. (Você pode encontrar o conjunto dos irracionais denotado
por I.
Exercício. Tente montar um conjunto qualquer, por exemplo, A = {a, b, c, d} é um
conjunto. (Não vale qualquer variação do conjunto exemplo A)
1.2 Relações entre conjuntos
Observe que falamos na seção anterior, sobre os elementos de um conjunto. Usamos
na matemática uma certa notação para indicar que um certo objeto é elemento de um
conjunto ou não, essa notação é ∈ que se lê "pertence"e 6∈ que se lê "não pertence". As-
sim, é claro que o número −1 é um elemento dos números inteiros, mas não é elemento
dos números naturais, portanto escrevemos −1 ∈ Z e −1 6∈ N.
Além disso, observe que, ao montarmos uma caixa com suas camisetas, podemos
colocar lá dentro também alguns relógios (para que eles não se quebrem na viajem),
assim, temos um novo conjunto, que chamarei de D, cujos elementos são relógios e
camisetas. Mas observe que poderíamos ter colocado esses relógios numa caixinha
só para eles (ao invés de por junto com as camisetas), ou seja, estaríamos criando o
conjunto R (de relógios).
Vamos viajar na maionese por um momento. Suponha que somos organizados e
temos dois conjuntos, o das camisetas C e o dos relógios R. Mas nós viajamos através
de um portal, para um universo onde nós não somos organizados e a nossa versão
nesse universo, colocou tudo numa caixa só, ou seja, eles tem o conjunto D (camisetas
e relógios). Observe que TODOS os elementos do nosso conjunto R estão contidos no
conjunto D deles, porém, é claro que se considerarmos todos os elementos de D ao
mesmo tempo, eles não estão contidos em nenhum de nossos conjuntos (se dividirmos
tudo bem, mas estamos comparando todos os elementos ao mesmo tempo e os nossos
estão separados em dois conjuntos diferentes). Quando acontecerem essas situações,
temos também notações: ⊂ que se lê "contido"e 6⊂ que se lê "não contido", ou seja,
temos a seguinte situação C ⊂ D e R ⊂ Dmas D 6⊂ C e D 6⊂ R.
Outra nomenclatura que damos a conjuntos que estão contidos em outros conjuntos
é a de subconjunto. Dizemos então que B é um subconjunto de um conjunto A, quando
B ⊂ A. Veja que para um dado conjunto A com n elementos nós podemos formar uma
certa quantidade de subconjuntos, nosso objetivo agora é determinar essa quantidade
de subconjuntos, para tanto consideremos os exemplos
• A = {a,b}, temos os subconjuntos {a}, {b}, {a,b} e não podemos esquecer de ∅,
uma vez que ∅ sempre está contido em A para qualquer que seja A. Assim,
1.2. RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 5
montamos um novo conjunto formado por todos os subconjuntos de A que de-
notaremos por P(A), i.e., os elementos de P(A) são precisamente os subconjuntos
de A, assim
P(A) = {∅, {a}, {b}, {a,b}
Veja que esse conjunto possui 4 elementos, nós vamos representar por | • | o nú-
mero de elementos de um conjunto também chamado de cardinalidade do con-
junto, assim |P(A)| = 4.
• Considere A = {a,b, c} temos que o conjunto P(A) de todos os subconjuntos de
A é dado por
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a, c}, {b, c}, {a,b, c}}
ou seja, |P(A)| = 8.
Veja que para 2 elementos, temos 4 subconjuntos, para 3 elementos, 8 subconjuntos,
se repetissemos o processo para 4 elementos, encontrariamos 16subconjuntos, assim,
fica fácil observar que seA tem n elementos então |P(A)| = 2n isto é, dado um conjunto
de n elementos, podemos formar um total de 2n subconjuntos de A.
Exercício. Determine se é verdadeiro (V) ou falso (F).
(a) Z ⊂ N;
(b) Q ⊂ R;
(c) Todos os elementos que pertencem à Z e à N, também pertencem à R e à Q.
(d) Alguns dos elementos que pertencem à Q também pertencem à R−Q;
(e) Denote por ∅ o conjunto sem nenhum elemento, chamado de Conjunto Vazio,
ou seja, ∅ = { }. Então podemos dizer que todos os elementos que pertencem à Q
e à R−Q AO MESMO TEMPO são também elementos de ∅.
(f) ∅ ⊂ A, ∀A conjunto. (O símbolo ∀ se lê "para todo").
Perceba que na letra (c) do exercício anteorior, nos referimos à todos os elementos
de Z e de N juntos, ou seja, estamos fazendo a união dos conjuntos, estamos criando
um novo conjunto contendo todos os elementos dos dois conjuntos Z e N, denotamos
a união pelo símbolo ∪ e assim, podemos reformular o item (c) para "Z ∪ N ⊂ R e
Z ∪ N ⊂ Q."
Análogamente, na letra (d) do mesmo exercício, mencionamos os elementos que es-
tão ao mesmo tempo em Q e em R−Q, isso significa que estamos tomando a intersecção
entre esses dois conjuntos, ou seja, todos os elementos que estão em um e também es-
tão no outro, o símbolo que representa intersecção é ∩, ou seja, a última frase do item
(c) pode ser reformulada para "então podemos dizer que Q ∩ (R−Q) ⊂ ∅."
Existe também uma terceira forma de operar conjuntos que já foi introduzida e você
pode não ter percebido, essa operação é a diferença de conjuntos. Definimos a diferença
1.2. RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 6
entre um conjunto A e um conjunto B como sendo todos os elementos do conjunto A
que não são elementos do conjunto B. Por exemplo, voltando aos nossos conjuntos
de camisetas e relógios, se nos perguntarmos "qual a diferença entre o conjunto D de
relógios e camisetas, para o conjunto das camisetas", a resposta é quase imediata: OS
RELÓGIOS! A única coisa que difereD de C são os elementos de R, ou seja,D−C = R.
Agora, escreveremos em notação matemática a definição de difereça, união e inter-
secção, é indicado ao leitor começar a se adequar com essa notação.
Definição 1.2.1. Sejam A e B conjuntos quaisquer, então definimos a união de A e B
como sendo o conjunto:
A ∪ B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}1.
Definimos também a intersecção entre esses dois conjuntos como sendo o conjunto:
A ∩ B = {x; x ∈ A e x ∈ B}2.
Definição 1.2.2. Definimos a diferença entre dois conjuntos A e B como sendo o con-
junto:
A− B = {x; x ∈ A e x 6∈ B}.
O próximo exercício te ensinará a como operar com conjuntos, onde as operações
em questão são a intersecção de conjuntos, a união de conjuntos e a diferença de con-
juntos.
Exercício. Resolva:
(a) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {a, c, e} então determine: A∪B, A∩B, A−B e B−A;
(b) Determine Z− N;
(c) Determine N−Q;
(d) Escreva em palavras a definição de diferença de conjuntos;
Exercício. Para provar que um conjunto se iguala ao outro, por exemplo A = B a
estratégia mais comum é provar que A ⊂ B e B ⊂ A, ou seja, quebrar um problema
em dois. Pra mostrar que A ⊂ B tomamos um elemento genérico de A e mostramos
que ele está em B, como esse elemento é genérico, isso significa que qualquer elemento
de A está em B, ou seja, A ⊂ B, um processo análogo mostra que B ⊂ A. Observe
que nem sempre isso funciona (apenas quando a igualdade relamente ocorrer). De
fato, sabemos que N 6= Z, mas para ver isso, tome n ∈ N, então é claro que n ∈ Z (por
definição de Z), entretanto, tome por exemplo −5 ∈ Z, como N só tem termos positivos,
então −5 6∈ N, ou seja, Z 6⊂ N, como uma das inclusões não vale, então os conjuntos
não são iguais. Prove que se A, B ⊂ X, então A − B = A ∩ (X − B). (Obs. Geralmente,
X − B é denotado por B{, ou até mesmo {XB, e é chamado de complementar de B em
X.)
1Leia-se: "A união B é o conjunto formado pelos elementos x tais que (o ponto e vírgula significa ’tal
que’) x é um elemento de A ou x é um elemento de B.
2Leia-se: "A interesecção com B é o conjunto formado pelos elementos x tais que x é elemento de A e
x é elemento de B.
1.3. DESCRIÇÃO PICTÓRIA DAS RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 7
1.3 Descrição pictória das relações entre conjuntos
Até aqui, vimos tudo muito abstrato, falamos de camisetas, relógios, definimos ma-
temática e verbalmente cada uma das operações de conjuntos, mas agora vamos dar
uma olhada no que significa visualmente cada um desses conceitos. Existe uma forma
extremamente comum de representar conjuntos a partir de diagramas, chamados de
diagramas de Venn-Euler (ou as vezes, só diagramas de Venn). Basicamente, esses dia-
gramas consistem em representações dos conjuntos como formas geométricas (geral-
mente círculos, quadrados ou elipses).
Veja que quando falamos de camisetas e relógios, nós poderíamos ter considerado
tudo isso num conjunto maior ainda, o de vestimentas, por exemplo (onde estão in-
cluídos sapatos, calças, roupas íntimas, etc). Este "conjuntão"eu chamarei, para nos
familiarizarmos com o termo, de Espaço. Ou seja, os conjuntos C de camisetas e R de
relógios, estão no espaço de vestimentas, que denotarei por V. É claro que o conjunto
D de relógios e camisetas, também está contido em V, bem como qualquer conjunto
formado por relações entre eles, também estará. Assim, representaremos da seguinte
forma o espaço V que contém os conjuntos, R e D:
R C
V V
D
Figura 1.1: Representação de conjuntos
Observe que os conjuntso R e C são representados "separados", isso por que não
existem elementos deC que estão em R (nem vice versa), ou seja, não existem camisetas
que sejam relógios e nem relógios que sejam camisetas, chamamos conjuntos com essa
propriedade (de serem "separados") de conjuntos disjuntos. Entretanto, note que o
conjunto D é a união desses dois conjuntos, então podemos representar ele como um
conjunto só.
Agora, observe que do que fizemos na seção anterior, percebemos que existe inter-
secção entre os conjuntos D e C e os conjuntos D e R, nós podemos resumir tudo isso
numa única figura:
1.3. DESCRIÇÃO PICTÓRIA DAS RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 8
R C
V
D
Figura 1.2: Resumo da situação
Observe que dessa figura, tiramos que R ⊂ D, C ⊂ D, R ∩ C = ∅, R ∩ D = R e
C ∩D = C. Basta relembrar as defições de de intersecção e união. Observe que iden-
tificar a união é identificar os elementos que estão em um dos conjuntos em questão, a
intersecção é identificar quais elementos estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Seguindo por essa linha de raciocínio, perceba que existem elementos de V que não
estão em nenhum dos três conjuntos, esses elementos estão representados na região
verde da figura. Esses elementos, são os que foram definidos no exercício anterior, o
chamado complemento de um conjunto.
Definição 1.3.1. Seja X um conjunto (espaço) eA um subconjunto de X, ou seja, B ⊂ X,
então definimos o complemento de A em X como:
{XA = A
{ = {x ∈ X; x 6∈ A} = X−A.
Perceba que não há nada de espetacular nessa definição, o complemento nada mais
é que a diferença entre dois conjuntos.
Para finalizar nossa passagem inicial pela teoria dos conjuntos, vamos colocar mais
uma figura de representação de conjuntos, e identificar nela algumas coisas:
X
R Y B
T
G
Observe as seguintes coisas nessa figura:
• R ∩ Y 6= ∅;
• Y ∩ B 6= ∅;
1.3. DESCRIÇÃO PICTÓRIA DAS RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 9
• R ∩ B = ∅;
• R ∩ Y ∩ B = ∅;
• T é disjunto de R, Y e B, mas não é disjunto de G e do espaço X;
• {X(R ∪ Y ∪ B ∪ T) = G.
1.4. EXERCÍCIOS 10
1.4 Exercícios
Ex 1. Em um jogo de videogame há uma etapa em que o personagem, para se livrar
do ataque de monstros, precisa subir pelo menos 1 dos 20 andares de um prédio,
utilizando, necessariamente, um elevador. O personagem encontra-se no térreo
e pode escolher e acionar um dos 3 elevadores ali existentes. Todos eles estão em
perfeito funcionamento e são programados de modo a parar em andares diferen-
tes, conforme esquema a seguir:
Eleveador Programado para parar apenas nos andares de números
P pares
T múltiplos de 3
Cmúltiplos de 5
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa, apenas
para os andares de 1 até 20
( ) Não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores P, T e
C;
( ) Em 6 andares desse prédio, chegam, exatamente, 2 elevadores;
( ) Se em x andares desse prédio chega apenas 1 elevador, então, x é menor que
7.
Ex 2. Um conjuntoA tem n elementos e p subconjuntos e um conjunto B tem 3 elemen-
tos a mais do que o conjunto A. Se q é o número de subconjuntos de B, então,
analise e justifique se certo ou errado cada uma das seguintes afirmações:
(a) q = 3p;
(b) p = 8q;
(c) p = q+ 8;
(d)
p
q
=
1
8
;
(e) q = p+ 8.
Capítulo 2
Conjuntos Numéricos
2.1 O Conjunto dos Naturais
Começaremos nossos estudos olhando para o conjunto mais simples e natural dentre
todos os demais que ainda estudaremos. O conjunto dos números Naturais possuem
esse nome justamente pelo fato de ser constituido dos números que surgem da forma
mais natural possível quando realizamos a maneira mais primitiva de matemática, a
contagem.
Nos primórdios da história da matemática, os homens tinham a necessidade de
contabilizar coisas, contabilizar quantidades, para tanto existiam diversos métodos, o
mais famoso diz que para cada ovelha que um pastor via saindo do cercado, uma
pedra era colocada em um saco, após a pastagem, para cada ovelha que entrasse no
cercado, o pastor retirava uma pedra do saco, assim ele mantinha um controle se uma
de suas ovelhas havia desaparecido.
Este é um princípio de contagem eficiente para esta situação, mas para outras si-
tuações talvez não seja o melhor. Com o tempo, os homens atribuíram símbolos para
representar certas quantidades, os romanos tinham uma forma de representar essas
quantidades (por exemplo a quantidade três, era representada por III) enquanto os
indo-arábicos tinham outra forma (por exemplo, a quantidade três era representada
por 3). Com isso surgem os números naturais.
Ainda há muita discussão acerca da quantidade nula, ou zero, ser um número na-
tural ou não, aqui assumiremos que não, assim, temos que o conjunto dos números
naturais é o conjunto
N = {1, 2, 3, . . .}.
As operações mais usuais dentro desses conjuntos são a de soma e multiplicação. O
leitor mais crítico, pode se perguntar acerca da subtração e divisão, voltaremos nesses
tópicos mais tarde. A soma, para nosso propósito, é definida da seguinte forma:
Definição 2.1.1. Definimos o sucessor de um número natural a como sendo o número
imediatamente seguinte à a, denotamos por a+ 1.
Definição 2.1.2. A soma de um número natural a com um número natural b é definida
como o b-ésimo sucessor de a. Representamos essa soma por a+ b.
11
2.2. O CONJUNTO DOS INTEIROS 12
Assim, podemos escrever a soma de a+ b como
a+ b = a+ 1 + 1 · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸
b vezes
.
Agora, podemos definir a multiplicação, em termos da operação de soma.
Definição 2.1.3. Defininos a multiplicação, ou o produto dos números naturais a e b
como sendo a soma de b, a vezes. Denotamos por a× b ou a · b.
Assim, podemos escrever:
a× b = b+ b+ · · ·+ b︸ ︷︷ ︸
a vezes
.
Vamos definir a potência de n-ésima ordem de um número natural m como sendo
o produto de n parcelas do númerom, e denotamos iss pormn, assim
mn = m× · · · ×m︸ ︷︷ ︸
n vezes
.
Vamos agora avançar um pouco no nosso raciocínio, veja que a partir do conceito
de sucessor, podemos pensar no conceito de antecessor, como sendo o número natural
imediatamente anterior ao número dado, denotaremos o antecessor de n por n−1. Por
exemplo, o antecessor de 5 é 5 − 1 = 4. Assim, de forma análoga a que fizemos para
definir soma, podemos definir uma nova operação:
Definição 2.1.4. Definimos a subtração de um número a por um número b, como sendo
o b-ésimo antecessor de a e denotamos por a− b.
Assim, podemos escrever a subtração de a− b como
a− b = a− 1 − 1 · · ·− 1︸ ︷︷ ︸
b vezes
.
Exemplo 2.1.1. 5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9.
Exemplo 2.1.2. 5× 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 10 + 5 + 5 = 15 + 5 = 20
Exemplo 2.1.3. 5 − 4 = 5 − 1 − 1 − 1 − 1 = 4 − 1 − 1 − 1 = 3 − 1 − 1 = 2 − 1 = 1.
2.2 O Conjunto dos Inteiros
Veja que dadas as definições anteriores, uma pergunta que surge de maneira natural
é "e se subtrairmos 5 de 4?". Descobriremos aqui se faz diferença invertermos a or-
dem das operações expostas anteriormente, isto é, descobriremos se as operações são
comutativas.
2.2. O CONJUNTO DOS INTEIROS 13
Veja que se perguntar sobre a diferença (ou subtração) de 4 − 5, é equivalente à se
perguntar qual o antecessor do antecessor de 1, de fato, veja que
4 − 5 = 4 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 = 1 − 1 − 1
Ora, sabemos que o antecessor de 1 é o número 0, mas aí caímos no nosso primeiro
problema, o número 0 não é um número natural (lembre-se da definição de números
naturais), o segundo problema que surge e, esse de maneira ainda mais problemática,
é de determinar o antecessor de 0, ou seja, 0 − 1.
Para resolver todos esses problemas, vamos recorrer a um novo conjunto, chamado
de Conjunto dos Números Inteiros, que é o conjunto constituido de todos os números
naturais, o zero e também todos os números negativos.
Z = {. . . ,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Vejamos agora com mais cuidado o que são os números negativos. Veja que agora
estamos introduzindo ao nosso conjunto inicial o número 0. Assim, os números nega-
tivos vêm com o intuito de "completar"o conjunto no sentido de fazer cada elemento
do conjunto satisfazer a seguinte importante propriedade: para todo número inteiro
m, existe um outro inteiro, denotado por −m tal que quando somados obtemos 0, i.e.,
m+ (−m) = 0 (é comum omitirmos a soma nesse caso apenas para que a notação não
fique carregada, esrevendo assimm−m = 0.
Esses elementos do tipo −m são chamados de elementos opostos, enquanto o ele-
mento 0 é chamado elemento neutro da soma. O zero possui esse nome, pois quando
somado com qualquer outro número inteiro ele não muda seu valor, por exemplo
9 + 0 = 9.
Agora, estamos munidos para resolver nosso problema inicial, veja que o número
−1 é o elemento oposto de 1, ou seja, 1 + (−1) = 1 − 1 = 0, mais ainda temos que 0 é
elemento neutro, logo, 0 − 1 = −1, e assim, concluimos que 4 − 5 = −1. É claro que
podemos realizar um processo parecido para qualquer par de números, por exemplo
2 − 4 = 2 − 1 − 1 − 1 − 1 = 1 − 1 − 1 − 1 = 0 − 1 − 1 = −1 − 1 = −2, observe que
−1 − 1 indica o antecessor de −1 e da forma que os números inteiros estão ordenados,
o número que vem imediatamente antes de −1 é o −2 (veremos isso com mais cuidado
na sessão de desigualdades).
Veja que o conjunto dos números inteiros satisfaz as seguintes propriedades:
• É associativo: a+ (b+ c) = (a+ b) + c;
• Tem elemento neutro: a+ 0 = 0 + a = a;
• Tem elemento oposto: a+ (−a) = a− a = 0;
• É comutativo: a+ b = b+ a;
O último item é delicado, veja que o conjunto dos inteiros é comutativo com a ope-
ração de soma, ou seja, se somarmos a com b é o mesmo que somar b com a, mesmo
2.3. DIVISÃO 14
que a e b sejam números negativos, como segue:
4 + (−3) = 4 − 3 = 1
(−3) + 4 = −3 + 4 = 1
Agora, se considerarmos a subtração como uma operação, então Z com essa operação
não é comutativo, como segue:
4 − 3 = 1
3 − 4 = −1 6= 1
ou seja, 4 − 3 6= 3 − 4. Por isso é comum dizermos que subtração não é uma operação,
mas sim que a soma é uma operação e que pode ser aplicada em números negativos (o
que acaba formando a subtração).
Curiosidade. Uma nomenclatura comum, mas que o leitor ainda não terá contato
é dizer que (Z,+) (leia "Z munido da operação de soma") é um grupo e por ser
comutativo (com a soma) dizemos que é um grupo abeliano.
Para encerrar esta seção, vamos extender agora o conceito de potência para potên-
cias de ordem negativa. Se n é um númro negativo e m um número inteiro, então
definimos
mn =
(
1
m
)−n
=
1
m
× . . .× 1
m︸ ︷︷ ︸
−n vezes
.
Tome cuidado com a notação aqui, n é um número negativo, logo −n é positivo (se,
por exemplo, n = −5 então −n = 5). Além disso, a notação
1
m
denota o inverso de
m, ou seja,o valor pelo qual m deve ser multiplicado para obter 1. Você pode utilizar
seus conhecimentos prévios para entender esta afirmação, mas caso não possua tal
conhecimento, a seção de número racionais irá te ajudar.
A partir daqui, para evitar o uso excessivo de frações, usaremos a notação
1
m
= m−1
já que pela definição de expoente negativo, temos que essa igualdade é válida.
2.3 Divisão
Introduzimos na seção anterior uma forma de "operação inversa"da soma, podemos
fazer isso também para a multiplicação. Veja que a subtração foi definida como sendo
a operação formada quando somamos um inteiro com o elemento oposto de outro
inteiro, por exemplo −5 − 3 = (−5) + (−3) é o inteiro −5 somado com o elemento
2.3. DIVISÃO 15
oposto de 3. Da mesma forma queremos definir a divisão, como sendo um número
inteiro, multiplicado por uma espécie de elemento "oposto", mas que aqui chamaremos
de elemento inverso.
Assim, vamos pensar na divisão de a por b como sendo a multiplicação de um
número a com o elemento inverso de b. Vamos ver um exemplo:
4÷ 2 = 4× 1
2
=
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
= 1 +
1
2
+
1
2
= 1 + 1 = 2
Veja que o inverso de 2 é
1
2
, uma vez que 2 × 1
2
=
1
2
+
1
2
=
1 + 1
2
=
2
2
= 1. É claro
que se pensarmos desta forma vamos nos complicar muito para realizar os cálculos,
entretantp, para os nossos propósitos é bom que o leitor compreenda bem este conceito
antes de sair dividindo qualquer número.
O que o leitor conhece como o algorítimo de divisão, a forma mais usual de dividir
números, é baseado no famoso algorítimo de Euclides que foge ao escopo deste texto,
mas é importante termos em mente que o algorítimo deve ser sim compreendido, mas
o conceito da divisão não deve ser ignorado.
Importante: A partir daqui será assumido conhecido o algorítimo da divisão.
Falaremos um pouco agora sobre divisibilidade. Veja que existem alguns números
não podem ser divididos em Z, já que após a aplicação do algorítimo da divisão, temos
um resto. É o caso, por exemplo, de 5 ÷ 2, que pelo algorítimo da divisão, temos
5 = 2 · 2 + 1, onde 1 é o resto da divisão. Assim, diremos que um número é divisível
por outro, quando o resto da divisão, após a aplicação do algorítimo, é zero. Caso
contrário dizemos simplesmente que os números são indivisíveis.
Temos alguns critérios de divisibilidade que, aqui, enunciaremos, mas não vamos
nos esforçar para deduzilos, pois seria um esforço acima do que estamos procurando
e não nos agregaria muita coisa para nossos objetivos, entretanto, ao leitor mais entu-
siasta recomendamos tentar deduzir esses critérios.
2.3.1 Critérios de Divisibilidade
Vejamos agora os critérios de divisibilidade para os números de 1 à 10. Fica como um
desafio ao leitor determinar critérios de divisibilidade para outros números.
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Todo número terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8, é divisível por 2. Os números que são di-
visíveis por 2 são chamados de números pares, caso contrário, são chamados números
ímpares. (Importante notar que estamos falando de números inteiros, assim, podemos
2.3. DIVISÃO 16
falar de paridade de números negativos e também da paridade de zero).
Divisibilidade por 3
Todo número cuja soma dos algarismos é um número divisível por 3, é um nú-
mero divisível por 3. Apesar de parecer um pouco redundante, note que essa frase
é extremamente forte, por exemplo, não sabemos se 321 é divisível por 3, entretanto,
3 + 2 + 1 = 6 e sabemos que 6 é divisível por 6 pois 6 = 2 · 3 + 0, logo, 321 é divisível
por 3 e, de fato, 321 = 107 · 3 + 0.
Divisibilidade por 4
Todo número cujos dois últimos algarísmos são divisíveis por 4, é um número di-
visível por 4. Assim como no critério de divisibilidade por 3, veja que não sabemos se
3008 é um número divisível por 4, entretanto note que os últimos dois algarismos de
3008 é 08 e 8 = 2 · 4 + 0, logo 3008 é divisível por 4 e, de fato, 3008 = 752 · 4 + 0.
Divisibilidade por 5
Todo número terminado em 5 ou 0 é divisível por 5.
Divisibilidade por 6
Todo número que é ao mesmo tempo divisível por 3 e 2, é divisível por 6. Por
exemplo, 222, tem soma 2 + 2 + 2 = 6 que é divisível por 6 e é um número par, logo, é
divisível por 2, assim 222 é divisível por 6, de fato, 222 = 37 · 6 + 0.
Divisibilidade por 8
Todo número cujos três últimos algarismos formam um número divisível por 8 é
divisível por 8. Apesar de parecer complicado, veja que mesmo números muito "com-
plicados"são fáceis de avaliar divisibilidade por 8, como é o caso de 49056. Veja que
056 = 7 · 8+ 0, que é divisível por 8, logo 49056 também o é, de fato, 49056 = 6132 ·+0.
Divisibilidade por 9
Assim como no caso 3, todo número cuja soma dos algarismos forma um número
divisível por 9, é um número divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Todo número terminado em 0 é divisível por 10.
2.4. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 17
2.4 Mínimo Múltiplo Comum
Seguindo a linha do conceito de multiplicação, podemos pensar na idéia de um mpulti-
plo. Se lembrarmos da observação feita no critério de divisibilidade por 2 no momento
em que definimos números pares, podemos usar o mesmo raciocínio e definirmos múl-
tiplos dos demais números.
Lembre-se que os números pares são aqueles que são divisíveis por 2, ou seja, são
escritos como 2k para algum k inteiro. Nessa mesma linha, um múltiplo de um número
n inteiro é um número que pode ser escrito como nk para algum k inteiro. Assim,
temos que 8 é múltiplo de 4 já que 8 = 4 × 2, 39 é múltiplo de 13 já que 39 = 13 × 3 e
assim para todos os inteiros.
Veja que alguns números são múltiplos de mais de um número, nos casos anteri-
ores, temos que 8 é múltiplo de 2 e de 4, 39 é múltiplo de 3 e de 13, isso vem do fato
de a multiplicação ser comutativa. Quando esse tipo de coisa ocorre, dizemos que
esses múltiplos são múltiplos comum, já que são comums à dois ou mais1 números
diferentes.
Dessa forma, podemos observar que sempre que tomarmos uma coleção finita de
números (i.e., pares, triplas, quadruplas, etc.) temos infinitos múltiplos comums para
essa coleação. Vejamos por exemplo o caso de 2 e 3, temos que 6 é múltiplo de comum
de 2 e 3, mas 12, 24, 36, 48, · · · , também são. Assim, faz sentido falarmos no mínimo
múltiplo comum que é definido como sendo o menor número que é, ao mesmo tempo,
múltiplo de todos os números na nossa coleção.
Vamos observar que para nossos fins consideraremos apenas mínimo múltiplos co-
muns de no máximo 3 números distintos, mas o leitos deve ter em mente que esse
conceito se estende à qualquer coleção finita de números. A notação para este conceito
é simplesmente mmc(a,b) com a e b inteiros.
Exemplo 2.4.1. O mínimo múltiplo comum de 39 e 45 é mmc(39, 45) = 585.
39, 45 3
13, 15 13
1, 15 3
1, 5 5
1, 1 585
2.5 Máximo Divisor Comum
Vejamos agora o conceito de divisor. Dizemos que um número d é divisor de um
número a (a,d ∈ Z), quando a é um múltiplo de d. Em outras palavras, se um número
é um dos fatores na decomposição em produtos de um dado número, então este é um
divisor do dado número.
Assim, se observarmos nos exemplos vistos na seção anterior, temos que 13 é um
divisor de 39 pois 39 = 13× 3, bem como 4 é um divisor de 8 pois 8 = 2× 4. Veja que
1Veja que por exemplo, 30 é múltiplo comum de 2, 3 e 5, já que 30 = 2× 15 = 3× 10 = 5× 6.
2.6. CONJUNTO DOS RACIONAIS 18
dizer que d é divisor de a é equivalente à dizer que d divide a, denotamos isso por d|a,
ou em termos de divisibilidade, a é divisível por d.
Observe que, dos critérios de divisibilidade, temos que todo número é divisível por
1 e, portanto, não é tão interessante pensarmos no menor divisor comum à dois (ou
mais) números inteiros como fizemos para o caso dos múltiplos. Entretanto, podemos
pensar no maior inteiro que, ao mesmo tempo, divide uma coleção finita de números
(de novo a partir daqui falaremos em no máximo triplas de números). Por exemplo,
observe que 2 é um divisor de 8 e também de 16 pois 8 = 2 × 4 e 16 = 2 × 8, mas será
que esse é o maior divisor comum?
Chamamos o maior divisorcomum entre dois (ou mais) números distintos de má-
ximo divisor comum entre a e b e denotamos por mdc(a,b). Para computarmos, faze-
mos uma decomposição como a que foi feita para computarmos o mmc, observamos
todos os números que dividem ao mesmo tempo a e b e multiplicamos eles, o resultado
será o mdc entre a e b.
Aproveitando a oportunidade, vamos introduzir o seguinte conceito:
Definição 2.5.1. Dizemos que um número inteiro maior que 1, p, é primo quando seus
únicos divisores são 1 e p.
Veja que todo número pode ser escrito como um produto finito de fatores primos,
o 8 por exemplo, pode ser escrito como 2× 2× 2 = 23. De modo mais geral escrevemos
o seguinte teorema:
Teorema 2.5.1. Seja m um número inteiro, então existem números primos p1, . . . , pn e intei-
ros positivosm1, . . . , mn, tais que
m =
n∏
i=1
pmii = p
m1
1 × · · · × p
mn
n .
Assim, quando computamos a decomposição de dois números para calcular seja
mmc ou mdc, estamos escrevendo uma lista contendo todos os primos que decompõe
(não ao mesmo tempo) os dois números. Assim, é razoável pensarmos que o produto
de todos eles é o menor múltiplo comum dos dois, e o produto daqueles que decom-
põe ao mesmo tempo os dois, é o máximo divisor comum entre eles. O leitor mais
bem intensionado deve fazer uma pausa aqui e estudar bem essa idéia, para um bom
entendimento desses importantes conceitos.
2.6 Conjunto dos Racionais
Estudamos todas as formas de combinar dois números possíveis. Estudamos proprie-
dades e relações que os números inteiros possuem, entretanto, um problema ainda fica
em aberto. Veja que é simples encontrarmos o resultado da divisão de um número por
seu divisor, uma vez que o resto é zero, logo o quociente da divisão nada mais é que o
2.6. CONJUNTO DOS RACIONAIS 19
termo que múltiplica o dado divisor. Porém alguns números que foram definidos an-
teriormente, como os inversos dos inteiros, não possuem um significado bem explícito
e ainda não temos a resposta para o resultado de 5÷ 3, por exemplo.
Veja que esses números citados não podem ser inteiros, não existe inteiro que seja
igual à 2−1, por exemplo, tampouco existe um inteiro igual à
5
3
. Assim como tivemos
a preucupação de construir um novo conjunto numérico para trabalhar com números
negativos (os antecessores de zero), teremos agora que construir um novo conjunto
numérico, onde podemos tratar esses novos números de maneira mais simples. Ao
invés de os ver como "inversos de inteiros", ou como "divisões sem resposta", os ve-
remos apenas como números num novo conjunto numérico. Definiremos operações e
estudaremos properiedades desses números.
O conjunto que trabalharemos então é o chamado Conjunto dos Números Racionais,
dado da seguinte forma
Q =
{a
b
; a ∈ Z e b ∈ N
}
.
Assim, números como 2−1 ou
5
3
são números racionais.
Uma forma um pouco menos convencional mas que ainda sim aparece em diversos
lugares, de representação de uma fração, é a partir do uso da parte inteira da função
e da parte racional dela, denotamos isso por a
b
c
(sem o ponto de multiplicação), isso
significa que a parte inteira dese número é a e parte decimal, i.e., a parte depois da
vírgula é
b
c
, assim essa fração nessa representação SEMPRE será um número menor
que 1, já que representa apenas as casas decimais do número, lembre-se que dizer que
uma fração é menor que 1 é dizer que o numerador (parte de cima da fração) é menor
que o denominador (parte de baixo).
Assim, temos por exemplo que o número 1
1
4
(lê-se "1 e um quarto") representa o
número decimal 1, 25 já que sua parte inteira é 1 e a parte decimal é
1
4
= 0, 25. Para
convertermos números desse tipo para frações usuais usamos a seguinte identidade
a
b
c
=
a · c+ b
c
.
Então o número 1
1
4
em fração ficaria
4 · 1 + 1
4
=
5
4
.
2.6.1 Classes de Equivalência
Veja que alguns números racionais possuem o mesmo valor. Por exemplo, se tomarmos
4
2
notamos que isso se iguala à 2 (basta utilizar as técnicas introduzidas nas seções
anteriores). Além disso, notamos que algums números, mesmo que não resultem em
2.6. CONJUNTO DOS RACIONAIS 20
inteiros como no caso que citamos agora, podem ser simplificados. Para fazer isso,
devemos primeiro definir o produto de frações.
Sejam
p
q
e
a
b
frações em Q, definimos o produto desses números da mesma forma
que definimos para os inteiros, assim, é um exercício simples mostrar que
p
q
× a
b
=
p× a
q× b
.
Daí, fica fácil ver que podemos simplificar frações fazendo as decomposições em
números primos dos números que estão sendo divididos (os de cima, chamados de
numerador) e dos que dividem (os de baixo, chamados de denominador) e sempre que
aparecerem termos iguais, podemos "cancelá-los", já que
a
a
= a× 1
a
= a× a−1 = 1
basta lembrarmos que a−1 é, por definição, o número pelo qual ao multiplicarmos por
a, obtemos 1.
Exemplo 2.6.1. Podemos simplificar
13
39
. De fato, veja que 13 é primo e 39 = 3 × 13,
logo
13
39
=
��13
3��13
=
1
3
.
Esses números que são iguais após uma simplificação, são ditos estar na mesma
classe de equivalência. Assim, uma forma de pensarmos em classe de equivalência de
um número, é pensarmos que a classe de equivalência é a forma mais cimplificada de
representar o número.
Uma notação comum para a classe de equivalênicia de um número é o uso do sím-
bolo [•]. Ou seja, se tomarmos os exemplos anteriores temos:[
4
2
]
= [2]
[
13
39
]
=
[
1
3
]
[a
a
]
= [1].
Finalmente, definimos a soma de dois números racionais da seguinte forma, dados
os números racionais
p
q
e
a
b
, definimos:
[
p
q
+
a
b
]
=
[
(b× p) + (q× a)
q× b
]
.
Veja que essa é uma fórmula nova, em geral, diz-se para calcular tal soma como
2.7. RADICIAÇÃO 21
p
q
+
a
b
=
(
(mmc(q,b)÷ q)× p
)
+
(
(mmc(p,b)÷ b)× a
)
mmc(q,b)
mas a única vantagem deste processo é obter dirtamente a fração simplificada (também
chamada de representante da classe de equivalência), coisa que pode ser feita em questão
de segundos utilizando a primeira fórmula.
2.7 Radiciação
Nas seções anteriores, falamos de somas, definidas em termos de sucessores, multipli-
cações, definidas em termos de somas e demos uma breve olhada em potências, defi-
nidas em termos de produtos. O estudo que faremos agora, se assemelha ao estudo
das subtrações e das divisões que, de certa forma, podem ser vistas como operações
inversas da soma e multiplicação. Aqui, veremos uma espécie de inversa da potência.
Primeiro, lembremos que a n-ésima potência do número inteirom é definida como
o produto de n parcelas iguais à m. Desta forma, o número m2 pode ser visto como
m ×m. Focaremos por um instante nas potências quadrads, i.e., as potências de ex-
poente2 2. Os números inteiros que podem ser escritos como potências quadradas
recebem um nome especial quadrados perfeitos a palavra "quadrado"aqui se relaciona
com a geometria de uma forma bem interessante que veremos mais adiante.
Esses números têm esse nome especial pois possuem um "inverso"bem definido
(i.e. um número inteiro). Vamos definir agora o conceito de uma "raiz quadrad"e tudo
isso fará mais sentido.
Definição 2.7.1. Seja m um número inteiro, definimos a raíz quadrada de m, denotada
por
√
m como o número r tal que r2 = m, i.e., r =
√
m.
Assim, os números que são quadrados perfeitos tem uma resposta óbvia, é o caso
de 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . .. Esses possuem raízes quadradas iguais à, respec-
tivamente, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9 e 10. Veja, entretanto que alguns números não possuem
raízes bem definidas, ou seja, raízes inteiras como é o caso de 10, por exemplo. Vamos
analisar o caso de 10. Veja que 10 está entre 9 e 16, ou seja, é esperado que a raíz de 10
esteja entre 3 e 4, suponhamos que seja
7
2
, observe que(
7
2
)2
=
49
4
= 12, 25
mas 10 ainda está entre 9 e 12, 25 assim, é esperado que a raíz de 10 esteja entre 3 e 3, 5.
Suponhamos que seja 3, 25 =
13
4
e observe que(
13
4
)2
=
169
16
= 10, 5625
2No númeromn, n chama-se expoente em chama-se base da potência.
2.7. RADICIAÇÃO 22
novamente, temosque 10 está entre 9 e 10, 5625, assim é esperado que a raíz de 10 esteja
entre 3 e 3, 25, suponhamos que seja 3, 125 e vamos parar por aqui. A pergunta que
surge naturalmente é "se continuarmos com esse processo será que vamos encontrar a
raíz exata de 10?"e a resposta correta na nossa atual situação é: NÃO!
Na verdade, temos (usando uma calculadora) que
√
10 ≈ 3, 16227766 . . .. Ora, ob-
serve que nosso "chute"foi próximo já que acertamos a primeira casa decimal depois
de 3. O que ocorre aqui é que não existe nenhum número inteiro e nem sequer racional
que satisfaça a condição de ter o seu quadrado igual à 10, novamente, caímos no pro-
blema de nosso conjunto não dar conta da operação, termos de aumentá-lo, mas isso
será feito mais adiante.
O que faremos agora é generalizar este conceito e, mais que isso, veremos como en-
xergar as raízes como potências. De fato, veja que as potências foram introduzidas no
contexto dos números naturais, quando passamos aoas inteiros, tivemos que extender
p conceito aos expoentes negativos. Agora, estamos no universo dos números racio-
nais, logo, já era de se esperar que o expoente da potência viesse a ser extendido aos
racionais e, isso, nos proporcionará uma forma de ver raízes como potências.
Definição 2.7.2. Seja m um número inteiro, definimos a raíz n-ésima de m, denotada
por n
√
m como o número r tal que rn = m, i.e., r = n
√
m.
As raízes mais interessantes ao nosso contexto, serão as quadradas, de expoente 2
e as cúbicas, de expoente 3. É importante notar que raízes quadradas de quadrados
perfeitos são sempre números inteiros, de maneira semelhante, raízes cúbicas d cubos
perfeitos são números inteiros. As demais combinações podem ser números racionais,
ou algum número que não foi ainda definido.
Curiosidade. O leitos mais atento, deve ter se perguntado qual a raíz quadrada
de um número negativo, como −25, sendo que, se supormos que seja −5, temos
(−5)(−5) = +25 6= −25. No nosso contexto, consideraremos que essa raíz não
existe, entretanto, ela existe, vale 25i e vive no universo dos números complexos
C.
As raízes e as potências têm propriedades muito importantes e interessantes que
serão melhor exploradas na seção dos números reais. Por hora, vejamos como extender
o conceito de potência ao contexto dos racionais.
Definição 2.7.3. Definimos a
p
q
-ésima potência do racionalm como
m
p
q = q
√
mp.
Ou seja, de posse da definição podemos escrever as raízes quadradas de m como
sendo m
1
2 , a raíz cúbica como sendo m
1
3 e assim por diante, com a raíz n-ésima sendo
m
1
n .
2.8. NÚMEROS REAIS 23
Exemplo 2.7.1. Temos que
4
4
2 =
√
44 =
√
256
também, sabemos da teoria de números racionais que
[
4
2
]
= [2], logo, 4
4
2 = 42 = 16.
Assim, juntando essas informações, segue que
√
256 = 16.
2.8 Números Reais
Caminhamos agora para o final dos estudos em conjuntos numéricos. Na seção ante-
rior, definimos uma forma de operação inversa em relação à potenciação e vimos que
existem algum valores nos quais não conseguimos encontrar um correspondente racio-
nal, tampouco inteiro ou natural. Agora, assim como anteriormente, construiremos um
novo conjunto contendo todos os números que foram estudados anteriormente, junto
dos números que resolvem os problemas que encontramos. Chamamos esse novo con-
junto de Conjunto dos Núeros Reais e denotamos por R.
Assim, temos que números do tipo
√
2, 3
√
4, 12 , 3, 100, 333 . . . são números reais. Esse
conjunto é tão completo3 que qualquer número que formos capaz de pensar, ou com-
putar, mesmo que de forma não explícita, está contido nele assim como os exemplos
anteriores.
Vamos agora observar que este conjunto é tão "grande"que nele, temos contidos
números que não são nem naturais, nem reais, nem racionais, um exemplo é o pró-
prio
√
2, ou para os mais familiarizados, π e e4 esses números que não se encaixam em
nenhum dos conjuntos anteriormente apresentados, são chamados de Números Irracio-
nais e podemos formar um conjunto inteiramente dedicado à eles (esse conjunto NÃO
forma um grupo com as operações de soma ou multiplicação), denotado por I ou por
R−Q, aqui adotaremos a notação R−Q já que é mais intuitiva.
Assim, podemos desenhar o seguinte diagrama para os conjuntos construídos até
agora:
RQ
Z
R−Q
3O termo completo é comumente utilizado na matemática para se referir a conjuntos com boas propri-
edades.
4e representa o número de Euler e vale aproximadamente e = 71828 . . ..
2.8. NÚMEROS REAIS 24
O nosso objetivo nessa seção é introduzir o conjunto dos números reais e as pro-
priedades de todas as operações que foram introduzidas. De posse do conceito de
números reais, podemos trabalhar livremente com todas as operações, podemos com-
binálas, podemos considerar verdadeiras para os casos em que sabemos calculá-las (o
que, por exemplo, não ocorre com raízes de números negativos), estamos a partir de
agora, permitidos a usar a aritimética que conhecemos da forma que quisermos.
Desafio. Mostre que o conjunto dos números irracionais não é um grupo.
Propriedades das Operações
1. Soma
(i) Associatividade: a+ (b+ c) = (a+ b) + c;
(ii) Comutatividade: a+ b = b+ a;
(iii) Elemento Neutro: a+ 0 = a;
(iv) Elemento Simétrico (ou oposto): a+ (−a) = 0;
2. Multiplicação
(i) Associatividade: a× (b× c) = (a× b)× c;
(ii) Comutatividade: a× b = b× a;
(iii) Elemento Neutro: a× 1 = a;
(iv) Elemento Simétrico (ou inverso): a× (a−1) = 1;
(v) Distributiva: a× (b+ c) = a× b+ a× c.
3. Potenciação e Radiciação
(i) ab+c = ab × ac;
(ii) ab×c = (ab)c;
(iii) ab−c =
ab
ac
;
(iv) a
b
c =
c
√
ab;
(v) b
√
ab = a.
4. Algumas propriedades extra
(i) (a+ b) · (a− b) = a2 − b2;
(ii) (a+ b)2 = a2 + 2 · a · b+ b2;
(iii) (a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3;
(iv) (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3;
(v) (a3 + b3) = a3 + 3 · a2 · b+ 3 · a · b3 + b3.
2.9. FRAÇÃO GERATRIZ E DÍZIMAS PERIÓDICAS 25
2.9 Fração Geratriz e Dízimas Periódicas
Um problema que nos deparamos ao começarmos a trabalhar com o conjunto dos nú-
meros reais é o de existirem números que parecem não ser números racionais mas que
são. É o caso das dízimas periódicas, que são números decimais com repetições depois
da vírgula, são exemplos os números
0, 333 . . . 1, 1333 . . . 0, 252525 . . .
Esses números se parecem muito com números irracionais pois, a priori não se parecem
com frações e claramente não se parecem com números inteiros. Muitas vezes por
conta de números escritos dessa forma, temos problemas computacionais, como é o
caso do cálculo de 270,333....
A solução para esse problema é a introdução do conceito da fração geratriz que são
as frações que geram as dízimas. Uma vez identificada a dízima o processo para encon-
trar sua fração geratriz é bem simples e requer a solução de uma equação de primeiro
grau que será elaborado mas adiante, mas nosso conhecimento prévio já nos permite
fazer isso. Primeiro, para implicidade de notação vamos representar uma dízima com
uma barra acima dos termos que se repetem, assim algmas propriedades da dízima
já ficam mais claras, assim temos as novas notações para os exemplos dados anterior-
mente:
0, 3̄ 1, 13̄ 0, 25.
Estudemos agora como encontrar as funções geratrizes. Primeiro, comece tomando
uma dízima e chamando-a de x, por exemplo x = 0, 25, agora, repare que a dízima
repete de dois em dois números, assim, tome o valor 100x = 25, 25 (se a dízima repete
de um em um, multiplique por 10, de três em três por 1000 e assim por diante). Agora,
basta fazer 100x− x = 25, 25 − 0, 25 = 25 e resolver a equação, obtendo
99x = 25⇒ x = 25
99
portanto,
25
99
é a fração geratriz da dízima 0, 25.
Perceba que o caso x = 1, 17 por exemplo é um pouco mais complicado, mas a
idéia é a mesma. Primeiro note que existe um número que aparece depois da vírgula
e que não faz parte da dízima, então vamos multiplicar o valor 1, 17 por algum valor
de modo a obtermos a dízima começando logo após a vírgula, fazendo por exemplo
10x = 10 · 1, 17 = 11, 7. Podemos agora multiplicar este novo valor por 10 de novo (o
que é equivalente à multiplicar1, 17 por 100 já que estamos multiplicando por 10 duas
vezes), e obtemos assim, 100x = 117, 7, assim
100x− 10x = 117, 7 − 11, 7⇒ 90x = 106⇒ x = 106
90
=
53
45
que é a fração geratriz para a nossa dízima.
2.10. EXERCÍCIOS 26
2.10 Exercícios
Ex 1. Considere em N∗, os seis menores números consecutivos tais que:
• a soma dos três menores é igual ao número A;
• a soma dos três maiores é igual ao número B;
• o número A é divisível por 5;
• o número B é divisível por 6.
Analise as afirmações a seguir, e justifique por que está errada, ou por que está
correta:
(a) A+ B é um número múltiplo de 12.
(b) O máximo divisor comum de A e B é um número maior que 10.
(c) O produto de A por B é um quadrado perfeito.
(d) O múltiplo comum de A e B é igual à 120.
Ex 2. Considere as seguintes afirmações:
• x é o menor número natural de modo de modo que o produto 2520 por x
seja um quadrado perfeito;
• y é o número mínimo de dias para que ocorram novamente os eventos A, B
e C, que acontecem hoje, sendo que A se repete a cada 63 dias, B a cada 60
dias e C a cada 90 dias.
Qual a classe de equivalência de
y
x
?
Ex 3. O produto de um número inteiro A, de três algarismos, por 3 é um número ter-
minado em 721. Determine a soma de todos os algarismos de A.
Ex 4. Um trem percorre certa distância, com velocidade constante. Se a velocidade au-
mentasse 20km/h ele levaria 3h a menos, e, se diminuísse 20km/h ele precisaria
de 5h a mais. Qual a soma dos algarismos que formam a distância percorrida por
esse trem?
Ex 5. Sejam os números inteiros MNPQ e NMPQ, onde M, N, P e Q são algarimos
distintos e diferentes de zero e N > M. Sobre a diferença (NMPQ −MNPQ),
pode-se afirmar que, necessariamente, será (justifique o que estiver correto e ex-
plique o que estiver errado):
(a) ímpar.
(b) divisível por (M−N).
(c) sempre negativa.
2.10. EXERCÍCIOS 27
(d) par e menor que 800.
Ex 6. Considere as expressões P eQ, com os números a, b e c reais positivos e distintos
entre si:
P =
(a6 + b6 + c6)2 − (a6 − b6 − c6)2
b6 + c6
Q =
(b−1 − a−1)−1 − (b−1 + a−1)−1
(a−1 + b−1)−1 − (a−1 − b−1)−1
A expressão
√
Q
√
P é representada por:
(a) b
√
2a.
(b) a
√
2b.
(c) a
√
b
2
.
(d)
1
a
√
b
2
.
Ex 7. Para dinamizar as aulas no oitavo ano, a professora Luiza organizou um jogo
distribuindo duas fichas contendo operações com os números reais.
Dois alunos participaram da primeira rodada do jogo: Yan e Samuel.
Ao jogarem, esses alunos receberam as seguintes fichas
Aluno Ficha 1
Yan A =
[
0, 777 . . . + 29 +
(
5
4
)0
−0, 5 − 4 32 − 2−1
]−1
Samuel C =
(0, 333 . . .)3 · 1 45 + 2, 2
−1, 1333 . . .
Aluno Ficha 2
Yan B =
80,666... + 4
3
2 − 2
√
9 + 90,5
−
(
1
49
)− 12
Samuel D =
((1
6
)−3
· (0, 666 . . .)
) 1
2
+
((
2
3
)0
−
1
1, 333 . . .
) 1
2
−
1
2
2.10. EXERCÍCIOS 28
Depois de resolverem as operações, cada aluno deveria associar corretamente os
resultados obtidos em cada ficha a somente um dos conjuntos abaixo
P = R−Q
W = Z− Z∗+
X = Q∗− ∩ R∗−
T = R−Q+
Os resultados obtidos por Yan e Samuel foram os seguintes:
• Yan afirmou que A ∈ T e B ∈W.
• Samuel afirmou que C ∈ X e D ∈ T .
Se Yan e Samuel acertaram todas as operações nas suas fichas, então
(a) Yan e Samuel acertaram todas as correspondências entre os números
calculados e os conjuntos.
(b) Samuel acertou as duas correspondências e yan errou a correspondência
de um dos números A ou B.
(c) Yan e Samuel erraram uma das correspondências, cada.
(d) Yan acertou as duas correspondências e Samuel errou a correspondência
de u dos números C ou D.
Ex 8. Considere os números reais apresentados na reta real abaixo:
0
x y z
−3 −2 −1 1 2 3
Analise cada proposição abaixo quanto a ser Verdadeira (V) ou Falsa F:
( )
√
y− x
−z2
é, necessariamente, um número que pertence à Q−.
( ) y2 é tal que 0 < y2 < 1.
( ) O inverso do oposto de x é um número compreendido entre 1 e 2.
Capítulo 3
Polinômios
Neste capítulo introduziremos os conceitos de polinômios de uma e duas variáveis, da-
remos um foco bem maior aos de apenas uma variável já que os de duas variáveis não
serão interessantes a priori para os nossos estudos, quanto à esses últimos citaremos
apenas a existência e como curiosidades comentaremos um pouco sobre a construção
de seus gráficos. Sobre os de uma variável serão apresentadas as definições princi-
pais, algumas propriedades e também apresentaremos um algorítimo de divisão de
dois polinômios. Estudaremos os zeros de polinômios de primeiro e segundo grau e
algumas formas de quarto grau, comentaremos sobre a impossibilidade da existência
de uma fórmula para zeros de polinômios de graus maiores ou iguais a 5 e fecharemos
o capítulo com alguns exercícios.
3.1 Definição de Polinômios
Imagine que um carro está viajando numa rodovia à uma certa velocidade. Em deter-
minado momento este carro deve diminuir sua velocidade para passar por um pedá-
gio. Depois o carro volta a acelerar e continua seu percurso. Perceba que a velocidade
deste carro está variando com relação ao tempo, esta velocidade não é conhecida ao
longo de todo o percurso já que ela varia, assim se dizermos que a velocidade é v,
então v é uma variável. Uma variável em termos mais técnicos é um objeto matemá-
tico que pode assumir certos valores de acordo com nossa necessidade. Definimos um
polinômio a partir do conceito de variável.
Definição 3.1.1. Um polinômio de uma variável é uma combinação de números reais e
uma variável t de tal modo que t assume apenas expoentes naturais. Denotamos um
polinômio na variável t por p(t) e dizemos que p(t) ∈ R[t].
Veja que como p(t) é uma combinação de números reais e a variável t, podemos
escrever um polinômio da seguinte maneira
p(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + · · ·+ antn =
n∑
i=0
ait
i
29
3.2. OPERAÇÕES BÁSICAS 30
onde os números a0, . . . ,an ∈ R são chamados coeficientes de p e n é um número natu-
ral. O símbolo R[t] simplesmente serve para explicitar que os coeficentes de p são reais
e sua variável é t. Em termos técnicos dizemos que R[t] é o conjunto dos polinômios com
coeficientes reais e variável t.
Um exemplo de polinômio é p(t) =
2
3
t2 − 3. Neste caso temos que a0 = −3, a1 = 0,
a2 =
2
3
e n = 2.
Veja que como os polinômios são dados em termos de variáveis, podemos atribuir
valores reais à essas variáveis e obter o valor do numérico do polinômio para aquele
valor específico atribuido para t. No caso do nosso exemplo, se atribuirmos à t o valor
3, por exemplo, temos que (já introduzindo a notação p(3) que indica que o polinômio
p está sendo avaliado no número t = 3):
p(3) =
2
3
· (3)2 − 3 = 2
��3
· ���
3
9 − 3 = 2 · 3 − 3 = 6 − 3 = 3.
Observe agora que como os polinômios são definidos como combinações aritiméti-
cas de números e a variável t e, mais que isso, a variável t pode também ser vista, de
certa forma, como um número, então todas as operações estudadas nos capítulos ante-
riores são verdadeiras para polinômios. Assim, podemos estudar soma de polinômios,
multiplicação de polinômios, divisão e potências, as raízes de polinômios não serão in-
teressantes, pois como as variáveis devem ter expoentes naturais e, como vimos, raízes
podem ser entendidas como expoentes racionais, então evitaremos os usos de raízes
de polinômios.
Curiosidade. (R[t],+) é um grupo.
Pode ser surpreendente para alguns leitores, mas até mesmo as definições de mmc
e mdc podem ser aplicadas para polinômios, bem como o algorítimo da divisão. Esses
serão os tópicos que estudaremos neste capítulo.
3.2 Operações Básicas
Vamos então começar a estudar as operações básicas de polinômios. Primeiro consi-
dere dois polinômios p(t) e q(t) em R[t]. A soma desses polinômios fica denotada por
(p + q)(t) e é definida utilizando a propridade da distributiva dos números reais. O
leitor mais curioso deve se perguntar "como usar a disributiva se falamos de soma?".
Ora, perveba que se tomarmos apenas as parcelas de p(t) e q(t) que têm t no mesmo
expoente, por exemplo pntn de p(t) e qntn de q(t) e tentarmos somar essas duas pa-
recelas temos:
pnt
n + qntn = (pn + qn)t
n.
Veja que essa é a "passagem contrária"da propriedade 3(v) do capítulo 2 seção 9,
ou seja, é a "passagem contrária"da distributiva, que fica carinhosamente apelidada
3.2. OPERAÇÕES BÁSICAS 31
de "colocar um termo em evidência". Como temos tn nas duas parcelas, podemos
colocá-lo em evidência e obter a expressão acima. Fazemos isso com cada termo dos
polinômios, assim, a soma polinomial fica geralmente conhecida como soma termo-a-
termo.
Exemplo 3.2.1. A soma dos polinômios
p(t) = 4t2 + 2t− 3 e q(t) = 4t2 − 2t+ 10
é
(p+ q)(t) = (4 + 4)t2 + (2 − 2)t+ (−3 + 10) = 8t2 + 0t+ 7 = 8t2 + 7.
Veremos agora uma técnica para somar (e subtrair) polinômios. Chamaremos essa
técnica de técnica vetorial, essa é uma técnica utilizada geralmente em textos universitá-
rios, mas ela facilita demais a soma de polinômios e é tão simples que não existe motivo
para não ser introduzida ao nosso nível, entretanto, o leitor ficará livre para utilizar a
técnica que melhor lhe convir. Trabalharemos com os polinômios do exemplo anterior.
• Primeiro, montamos uma n-upla ordenada dos coeficientes do polinômio, isto é
no caso de p(t) = 4t2 + 2t− 4, o primeiro coeficiente é 4, o segundo 2 e o terceiro
−3, assim p(t) expresso na forma de n-upla ordenada fica
p(t) = (4, 2,−3)
Fazemos o mesmo para q(t) e obtemos
q(t) = (4,−2, 10)
à essas n-uplas, damos o nome de vetores;
• Depois, somamos coordenada à coordenada de cada vetor,
(p+ q)(t) = (4 + 4, 2 + (−2),−3 + 10) = (8, 0, 7);
• O vetor resultante pode ser passado de volta para a notação polinomial LEMBRE-
SE a primera coordenada representa o coeficiente de t2, a segunda de t e a terceira
o coeficiente que não acompanha nenhum t, assim,
(p+ q)(t) = 8t2 + 7.
Se observarmos a definição de produto dada no capítulo anterior, percebemos fa-
cilmente que multiplicar um número natural n por um polinômio p(t) é o mesmo que
somar este polinômio com ele mesmo n vezes, assim, ambas técnicas mencionadas an-
teriormente, podem ser utilizadas para notar que ao multiplicar p(t) por n (ou n por
p(t)), obtemos o novo polinômio (np)(t) que tem cada um de seus coeficientes multi-
plicado por n.
3.3. PRODUTO DE POLINÔMIOS 32
Exemplo 3.2.2. Se p(t) = 5t5 + 2t2 + 3t e n = 4, temos que
4 · p(t) = (4p)(t) = (4 · 5)t5 + (4 · 2)t2 + (4 · 3) = 20t5 + 8t2 + 12.
Agora, a subtração sai de forma simples, já que p(t) − q(t) = p(t) + (−1 · q(t)) =
p(t) + (−q)(t). De novo, chamamos essa subtração de subtração termo-a-termo.
Para Treinar. Resolva a diferença dos polinômios p(t) = 3t5 + 2t2 +
3
4
t +
√
2 e
q(t) = 2t2 + 1 pelo método vetorial e pelo método usual.
Curiosidade. Os nomes vetor e vetorial, vem do fato de que R[t] é o que na ma-
temática chamamos de Espaço Vetorial, neste espaço, seus elementos são vetores.
Como no nosso caso, os elementos de R[t] são os polinômios, então visto como
espaço vetorial, R[t] tem seus elementos chamos de vetores.
3.3 Produto de Polinômios
Como vimos e comprovamos nas seções anteriores, os polinômios não só são combi-
nações de números reais (em termos de produtos potências e somas) como também
obedecem todas as leis das operações desenvolvidas nas seções anteriores. Assim, de-
finir o produto entre dois polinômios passa a ser "mais do mesmo". A diferença aqui
é que não vamos usar a propriedade de deixar os termos em evidência, já que agora
estamos mutiplicando expressões inteiras umas pelas outras, então não teremos mul-
tiplicação do tipo termo-a-termo. Considere por exemplo o polinômio p(t) = 3t + 2 e
o polinômio q(t) = 2t2 +
√
2, vamos denotar por (p · q)(t) o polinômio resultado de
p(t) · q(t) (i.e., (p · q)(t) = p(t) · q(t), temos
(p · q)(t) = p(t) · q(t) = (3t+ 2) · (2t2 +
√
2)
usando as propriedades de distributiva já estudadas temos:
(p · q)(t) = 3t · 2t2 + 2 · 2t2 + 3t ·
√
2 + 2 ·
√
2 = 3t3 + 4t2 + 3
√
2t+ 2
√
2.
Definimos o grau de um polinômio p e denotamos por deg(p) como sendo o va-
lor do maior expoente que aparece na expressão do polinômio. No caso do exemplo
anterior, temos que deg(p) = 1 e deg(q) = 2. Assim, o leitor mais atento e com bom
domínio das propriedades de potências, já deve ter notado o seguinte
deg(p+ q) = max{deg(p), deg(q)}
deg(p · q) = deg(p) + deg(q).
Isso ocorre pois quando somamos os polinômios não alteramos os expoentes das
variáveis, assim, fica preservado o maior grau dentre os dois expoentes. Quando mul-
tiplicamos, eventualmente chegamos no produto entre a parcela de maior expoente
do primeiro polinômio e a parcela de maior expoente do segundo polinômio, como
estamos multiplicando essas parcelas, das propriedades de potência, os expoentes se
somam, e daí o resultado.
3.4. COMPOSIÇÃO DE POLINÔMIOS 33
3.4 Composição de Polinômios
Um dos exercícios propostos nesse capítulo, envolve o conceito de composição de po-
linômios. Falaremos brevemente sobre este conceito apenas para que o leitor já se
acostume com o termo e a definição. Considere dois polinômios quaisquer p(t) ∈ R[t]
e q(s) ∈ R[s]. Nós denotaremos a composição de p(t) com q(s), como o polinômio
(p ◦ q)(s) = p
(
q(s)
)
.
Veja que o que estamos fazendo, nada mais é que substituir a variável t do polinô-
mio p(t) pelo valor que q assume em s, i.e., q(s), assim, é comum dizermos que a
composição de polinômios nos permite passar de um espaço de polinômios na variá-
vel t, para um espaço de polinômios na variável s. Essencialmente, esses espaços são
idênticos, o que muda é precisamente a variável. De modo geral definimos:
Definição 3.4.1. Sejam p(t) =
n∑
k=0
akt
k ∈ R[t] e q(s) =
m∑̀
=0
b`s
` ∈ R[s] polinômios
quaisquer, definimos a composição desses dois polinômios como o polinômio
(p ◦ q)(s) = p
(
q(s)
)
=
n∑
k=0
m∑
`=0
akb`s
`·k.
A definição parece bem mais complicada do que realmente é, como veremos no
próximo exemplo.
Exemplo 3.4.1. Considere p(t) = 2t+ 2 e q(s) = s3 + 2s+ 4. Assim, temos que
(p ◦ q)(s) = p
(
q(s)
)
= 2(s3 + 2s+ 4) + 2 = 2s3 + 4s+ 10
Nos exercícios propostos, veremos uma expressão para deg(p ◦ q), mas, após a re-
solução de alguns exercícios o leitor já pode conjecturar (provavelmente corretamente)
a expressão correta para tal expressão. Fica como desafio a demonstração formal de tal
expressão.
3.5 Avaliação de Polinômios e Zeros
Nas seções anteriores, introduzimos o conceito de variável. Perceba que ao longo de
todo o desenvolvimento anterior não fizemos a coisa mais natural a respeito das variá-
veis, atribuir valores à elas. Veja que todo polinômio depende de uma variável. Vamos
tomar por exemplo o polinômio p(t) = 2t + 1, este é um polinômio que depende da
variável t. Sabemos também que essa variável pode assumir valores em R, mas o que
significa dizer isso?
Se atribuirmos um valor real qualquer à variável t, por exemplo t = 2, notamos que
podemos calcular um valor numérico para o polinômio, de fato, do nosso exemplo,
teríamos que
p(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5.
3.5. AVALIAÇÃO DE POLINÔMIOS E ZEROS 34
Fica evidente, fazendo isso, que o polinômio deixa de ter sua característica que o
define como polinômio, que é o fato de depender de uma variável, e se torna um valor
real. À este valor real que o polinômio assume quando substituímos a sua variável
por um valor real, damos o nome de avaliação do polinômio, também dizemos que o
polinômio está sendo avaliado naquele número real. Importante observar aqui que a
avaliação de um polinômio vive no mundo dos números reais e, portanto, deixa de ser
um polinômio e passa a ser um número real.
Veja que muitas vezes, é possível determinar, através de uma equação, em quais
valores um polinômio deve ser avaliado, de tal forma que ele assuma um certo valor
dado. Por exemplo, tomemos o nosso exemplo p(t) = 2t + 1, para que valor de va-
riável, o polinômio assume o valor 9? Veja que como queremos que p(t) = 9, basta
escrevermos
p(t) = 9⇒ 2t+ 1 = 9⇒ 2t = 8⇒ t = 4
ou seja, ao avaliarmos p em 4, obtemos o valor pedido, 9. Quando falarmos de funções,
daremos uma noção do que significa geométricamente falar em encontrar os valores
nos quais a avaliaçãode um polinômio assume um dado número.
Um valor muito especial que nos será interessante, é o 0. Nosso interesse maior,
é encontrar os valores da variável t, nos quais um dado polinômio em R[t] avaliado
nos resulta em 0. Não é coincidência que o nome que esses valores especiais recebem
é zeros do polinômio. Assim, encontrar o zero de um polinômio, é encontrar o valor de t
que satisfaz a equação
p(t) = 0.
Novamente em nosso exemplo, veja que o zero de p(t) = 2t+ 1 é dado em
p(t) = 0⇒ 2t+ 1 = 0⇒ 2t = −1⇒ t = −1
2
.
Neste caso, o zero de p se encontra em t = −
1
2
.
Veja que os valores do zero de um polinômio pode não ser único, de fato, observe
o seguinte exemplo.
Exemplo 3.5.1. Se p(t) = t2 − 4, temos que se t = 2 ou t = −2 então p(2) = 22 − 4 =
4 − 4 = 0 e p(−2) = (−2)2 − 4 = 4 − 4 = 0. Ou seja, 2 e −2 são os zeros do polinômio
p(t) dado.
De fato, a quantidade de zeros de um polinômio está intimamente ligado com seu
grau, como afirma o Teorema Fundamental da Álgebra:
Teorema 3.5.1 (Teorema Fundamental da Álgebra). Seja p(t) um polinômio em R[t], então
p tem, no máximo deg(p) zeros.
3.6. DIVISÃO POLINOMIAL 35
Veja que a frase "no máximo"no teorema anterior é importantíssima, visto que, a
quantidade de zeros de um polinômio pode ser menor que seu grau, mas nunca maior,
como é o caso de q(t) = t2 cujo zero é apenas t = 0, embora seu grau seja igual
à 2. Uma observação importante à respeito de nomenclatura é que os zeros de um
polinômio podem ser chamados também de raízes do polinômio e, embora tentemos
utilizar o termo zero sempre que possível, o leitor deve se lembrar que raíz é um termo
equivalente.
Curiosidade O Teorema Fundamental da Álgebra possui cerca de mais de 300
demonstrações diferentes. Eu mesmo conheço apenas 3, uma utilizando conceitos
de Cálculo, uma conceitos de Álgebra Moderna e uma utilizando conceitos de
Análise Complexa.
3.6 Divisão Polinomial
Começaremos agora a olhar para a parte mais delicada do estudo de polinômios, tam-
bém a mais requisitada em concursos, entretanto não menos importante que as que
já foram estudadas. Falaremos da divisão de polinômios. Assim como os números
reais, polinômios também podem ser divididos. Observe que no caso de números re-
ais, perguntar qual o resultado de p ÷ q é equivalente à perguntar qual número que,
multiplicado por q, resulta em p, isso vem de
p
d
= q⇔ p = d · q.
O mesmo tipo de pensamento pode ser extendido à polinômios, i.e., perguntar o
resultado de p(t)÷d(t) é perguntar qual o polinômio que, ao ser multiplicado por d(t)
resulta em p(t). Vejamos agora um exemplo. Considere o polinômio p(t) = t2+2t+1 e
o polinômio d(t) = (t+ 1). Note que encontrar
p(t)
d(t)
é encontrar um polinômio q(t) tal
que (q · d)(t) = p(t). Mas veja que, se observarmos bem, p(t) é um quadrado perfeito,
i.e., p(t) = (t+ 1)2 (para ver isso, basta usar a expansão de quadrado perfeito vista nas
propriedades dos números reais). Assim, para que q(t) · d(t) seja igual à p(t), basta
que multipliquemos d(t) por (t+ 1), de fato, temos
d(t) · (t+ 1) = (t+ 1) · (t+ 1) = t2 + 2t+ 1 = p(t)
ou seja, q(t) = (t+ 1), i.e.
t2 + 2t+ 1
(t+ 1)
= (t+ 1).
É claro que as divisões nem sempre serão exatas, de fato, se lembrarmos bem, al-
gums números reais não são divisíveis por outros, e temos que escrevê-los em termos
do resto, por exemplo 5 = 2 · 2 + 1, onde 1 é o resto da divisão. O mesmo ocorre com
3.6. DIVISÃO POLINOMIAL 36
polinômios.
Se tomarmos um polinômio p(t) e um polinômio d(t), podemos escrever
p(t) = q(t) · d(t) + r(t)⇔ p(t)
d(t)
= q(t) +
r(t)
q(t)
onde r(t) é o polinômio resto da divisão de p(t) por d(t) e q(t) é o polinômio quoci-
ente da divisão de p(t) por q(t). Algumas propriedades importantes da divisão de
polinômios seguem
• deg
(p
d
)
= deg(p) − deg(d);
• deg(r) é sempre menor que deg(p), podendo ser 0;
• deg(q) é um número tal que deg(d) + deg(q) = deg(p).
Assim como nos números reais, temos também uma forma de algorítimo da divisão
para encontrar q(t) e r(t) na divisão do polinômio p(t) por d(t). Façamos um exem-
plo e, depois, esse método será explicado. Consider o polinômio p(t) = 4t3 − t2 + 2 e
d(t) = t2 + 1.
4t3 − t2 + 0t+ 2 t2 + 1
−(4t3 + 0t2 + 4t+ 0) 4t− 1
0t3 − t2 − 4t+ 2
−(0t3 − t2 + 0 − 1)
0t3 + 0t2 − 4t+ 3
Para alpicar tal algorítimo façamos o seguinte
• Primeiro escrevemos como no algorítimo da divisão de números reais o divisor e
o dividendo;
• Agora, observamos o primeiro termo do divisor e determinamos por qual polinô-
mio devemos multiplicálo para que ele seja igual ao primeiro termo1, no nosso
caso, temos que 4t · t2 = 4t3 que é o que queremos;
• Escrevemos esse termo (4t2) logo abaixo o divisor como se fosse o primeiro alga-
rismo do quociente de uma divisão de números primos;
• Fazemos o produto deste "primiro algarismo"pelo polinômio divisor, resultando
em 4t · (t2 + 1) = 4t3 + 4t;
• Escrevemos o resultado encontrado logo abaixo do dividendo e realizamos a sub-
tração entre os dois. Para facilitar essa subtração, vamos escrever todos os termos
do polinômio, mesmo que sejam nulos;
1Vamos sempre considerar os termos na ordem decrescente de expoente.
3.6. DIVISÃO POLINOMIAL 37
• Repetimos o processo, agora olhando para o resultado da subtração no item an-
terior, no nosso caso temos que −1 satisfaz o requerimento, veja: −1 · (t2) = −t2,
e somamos este valor −1 ao antigo termo (4t) embaixo do divisor;
• Vamos repetir esse processo, até que o dividendo tenha um grau menor que o
grau do divisor, pois nesse caso, não conseguimos continuar a conta. O polinô-
mio abaixo do divisor é o polinômio quociente q(t) e o polinômio de menor grau,
abaixo do dividendo é o polinômio resto r(t).
Ao final do processo, chegamos que q(t) = 4t−1 e r(t) = −4t+3. Ou seja, podemos
escrever
4t3 − t2 + 2 = (t2 + q) · (4t− 1) − 4t+ 3⇔ 4t
3 − t2 + 1
t2 + 1
= 4t− 1 +
−4t+ 3
t2 + 1
.
De novo, comparando com números reais, temos que se um polinômio é divisível
por outro, então o resto nessa divisão deve ser zero. Mas isso significa que p(t) =
q(t) · d(t). Ou seja, se α for uma raíz de q(t), o quociente de p(t)
d(t)
, então, devemos ter
que α é também raíz de p(t). De fato, se α é raíz de q(t), então q(α) = 0. Mas como
p(t) = d(t) · q(t), então p(α) = q(α) · d(α) = 0 · d(α) = 0. Mas note que isso só ocorre
quando p(t) é divisível por d(t), do contrário isso não ocorre.
Por exemplo, se considerarmos p(t) e q(t) como no exemplo anterior, temos que
t =
1
4
é raíz de q(t) = 4t− 1. Mas veja que
4
(
1
4
)3
−
(
1
4
)2
+ 2 = 2 6= 0
isso ocorre pois r(t) = −4t+ 3 6= 0, i.e., p(t) não é divisível por d(t).
Exemplo 1. Considere o polinômio p(t) = t3 − t2 − 22t+ 40. Observe que, a priori, não
sabemos as raízes de p(t). Vamos tentar descobrir uma delas. Primeiro, note que como
p(t) tem o termo a0 (que não depende de t) diferente de zero, i.e., 0 não pode ser raíz
de p(t). Veja também que
p(1) = 1 − 1 − 22 + 40 = 18 6= 0
ou seja 1 também não é raíz de p(t). Agora, veja que
p(2) = 23 − 22 − 22(2) + 40 = 8 − 4 − 44 + 40 = 0
assim, 2 é uma raíz de p(t). Assim, como t0 = 2 é também raíz do polinômio q(t) =
(t − 2), então devemos ter que q(t)|p(t), i.e., (t − 2)|p(t). Ou seja, se dividirmos p(t)
por (t− 2), obteremos resto na divisão, zero.
Além disso, lembrando que deg
(
p
q
)
= deg(p)−deg(q), ou seja, dividindo p(t) por
(t−2), podemos reduzir o grau de p(t) para 2, e é claro que sabemos resolver equações
3.7. RESULTADOS EXTRAS 38
de segundo grau, assim, podemos encontrar as raízes restantes de p(t). Assim, fazendo
a conta (faça!), obtemos que
p(t)
(t− 2)
= t2 + t− 20.
Agora, descobrir as duas raízes de t2 + t− 20 é fácil, basta utilizar Báskara:
∆ = 12 − 4(1)(−20) = 81⇒

t1 =
−1 +
√
81
2(1)
= 4
t2 =
−1 −
√
81
2(1)
= −5
.
Ou seja, as três raízes de p(t) são t0 = 2, t1 = 4 e t2 = −5, portanto, (t− 4) e (t+ 5)
também dividem p(t), pelo Teorema Fundamental da Álgebra, segue que p(t) tem, no
máximo 3 raízes distintas, como encontramos exatamente 3, então essas são todas as
raízes de p(t). Assim, p(t),pode ser fatorado como
p(t) = (t− 2)(t− 4)(t+ 5).
Exemplo 2. Considere o polinômio p(t) = t4 − 5t2 + 6. Veja que, a priori, não sabemos
quais as raízes de p(t), mas sabemos pelo Teorema Fundamental do Cálculo, que esse
polinômio tem, no máximo deg(p) = 4 raízes. Observe que se tomarmos x = t2, então
temos que x2 = t4, assim, substituindo por x os valores t2 e t4 em p(t), obtemos um
novo polinômio p(x) dado por
p(x) = x2 − 5x+ 6
mas, esse polinômio tem no máximo 2 raízes, que podem ser encontradas utilizando
Báskara, obetendo (resolva!) x0 = 2 ou x1 = 3.
Mas, lembrando que x = t2, obtemos que t2 = 2, e neste caso (passando a raíz
quadrada dos dois lados), obtemos t0 =
√
2 ou t1 = −
√
2. No caso em que t2 = x1,
temos t2 = 3 e (passando a raíz quadrada dos dois lados), obtemos, t2 =
√
3 ou t3 =
−
√
3. Assim, obtemos quatro (e portanto todas) as raízes de p(t), são elas t0 =
√
2,
t1 = −
√
2, t2 =
√
3 e t3 = −
√
3, assim, o polinômio p(t) pode ser escrito como
p(t) = (t−
√
2)(t+
√
2)(t−
√
3)(t+
√
3).
OBSERVAÇÃO. Pode ocorrer de, quando encontrarmos os valores x0 e x1, um (ou os
dois), sejam negativos. Nesse caso, aso fazermos t2 = x0, por exemplo, teríamos que
tirar raíz quadrada de número negativo, o que, por enquanto, não conseguimos, assim,
dizemos apenas que a raíz em questão não existe em R.
3.7 Resultados Extras
Falaremos agora de algums resultados extras nessa linha de estudo dos polinômios.
Primeiro, vamos Olhar para toda a construção que fizemos fazer um paralelo com o
3.7. RESULTADOS EXTRAS 39
estudo dos conjuntos numéricos. Veja que no estudo de números, definimos conjuntos
cujos elementos são números e dentro desses conjuntos definimos operações que asso-
ciavam dois elementos com um terceiro. Assim também fizemos para os polinômios,
definimos um conjunto R[t] cujos elementos são polinômios, e estabelecemos relações
que associam dois polinômios à um terceiro.
Assim, falamos de soma e multiplicação de polinômios, bem como produto e divi-
são. Dentro do estudo das divisões podemos falar em divisores de polinômios, ou seja,
dado um polinômio p(t), um divisor deste polinômio, é um outro polinômio d(t) tal
que a divisão de p(t) por d(t) tem resto zero. Se nos lembrarmos, tínamos uma forma
de decomposição em números primos para números inteiros, aqui também temos.
De fato, se tomarmos um polinômio p(t) de grau n e com n raízes reais, α1, . . . ,αn
podemos decompor esse polinômio no que chamamos de fatores lineares da seguinte
forma
p(t) = (t− α1) · (t− α2) · · · (t− αn).
Cada polinômio pi(t) = (t−αi) é chamado um fator linear e é análogo à um número
primo na decomposição de inteiros. Observe que podemos ter alguns polinômios que
não possuem todas as suas raízes reais, neste caso, tomamos todas as raízes reais que
temos conhecimento, fazemos o produto dos fatores lineares correspondentes à essas
raízes e depois dividimos o polinômio por esse produto, o resultado será um fator que
não será linear, mas é um dos fatores na decomposição.
Para o raciocínio anterior ficar mais claro, seja p(t) um polinômio com deg(p) = n
e seja r < n. Se α1, . . . ,αr são as raízes reais de p(t) e q(t) =
p(t)
p1(t) · · ·pr(t)
, então a
decomposição de p(t) fica
p(t) = q(t) · p1(t) · · ·pr(t).
A primeira vista, toda essa linguagem pode parecer muito confusa e de difícil con-
preensão mas veremos que não tem nada absurdo aqui. Vamos considerar o polinômio
p(t) = t6−t4−22t2+40 as únicas raízes reais desse polinômios são t0 =
√
2, t1 = −
√
2,
t2 = 2 e t3 = −2. Veja que o grau de p(t) é deg(p) = 6 mas r = 4 < 6 que é o número
de raízes reais. Os fatores lineares relacionados à cada raíz são
p0(t) = (t−
√
2) p1(t) = (t+
√
2) p2(t) = (t− 2) p3(t) = (t+ 2).
Agora, o produto desses fatores lineares é o polinômio (p0·p1·p2·p3)(t) = t4−6t2+8.
Assim, calculando o polinômio q(t) =
p(t)
(p0 · p1 · p2 · p3)(t)
, obtemos
q(t) = t2 + 5
ou seja, a decomposição de p(t), fica
p(t) = (t−
√
2)(t+
√
2)(t− 2)(t+ 2)(t2 + 5).
3.7. RESULTADOS EXTRAS 40
Esse processo de decompor um polinômio em fatores de graus menores nos per-
mite extender os conceitos de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum para
polinômios. Veja que nos algorítimos introduzidos para números inteiros, primeiro
decompomos os números em fatores primos e depois:
• Para mdc, selecionamos aqueles que aparecem na decomposição dos dois núme-
ros ao mesmo temo e os multiplicamos;
• Paraa mmc, multiplicamos todos os fatores que aparecem (sem contar as respeti-
ções).
Assim, considere o polinômio p̄(t) = t4 − 2t3 − 3t2 − 10t − 40 tem decomposição
p̄(t) = (t2 + 5)(t − 4)(t + 2). Daí, comparando com p(t), temos que os fatores da
decomposição que aparecem em p(t) e p̄(t) ao mesmo tempo se resume são (t2 + 5) e
(t+ 2), portanto
mdc(p(t), p̄(t)) = (t2 + 5)(t+ 2) = t3 + 2t2 + 5t+ 10
Agora, os termos que aparecem nas decomposições dos dois, sem repetições são
(t−
√
2), (t+
√
2), (t− 2), (t+ 2), (t− 4) e (t2 + 5). Assim,
mmc(p(t), p̄(t)) = (t−
√
2) · (t+
√
2) · (t− 2) · (t+ 2) · (t− 4) · (t2 + 5)
= t7 − 4t6 − t5 + 4t4 − 22t3 + 88t2 + 40t− 160
3.8. EXERCÍCIOS 41
3.8 Exercícios
Ex 1. Encontre (p+ q)(t) e (p · q)(t) em cada caso:
(a) p(t) = 4t2 + 1 e q(t) = 9t3 + 3t2 + 12t+ 4;
(b) p(t) =
√
2t3 e q(t) =
√
2t3 + t2 + 2t+ e;
(c) p(t) =
1
2
t2 +
3
4
e q(t) = πt3 +
3
2
t2 +
1
4
;
(d) 0, 3t3 + πt2 + 7t4 + 8 e q(t) = 3t2 + 9t5 + 5
√
5t+ e.
Ex 2. Qual o grau de cada polinômio encontrado em cada item da questão anterior?
Ex 3. Dados os polinômios p(t) = 2t3 + 3t2 + 1 e q(t) = 3t2 + 5t − 15, determine de
duas maneiras diferentes as somas e produtos nos items (a) e (b):
(a) p(2) + q(2), p(2) · q(2);
(b) p(
√
2) + q(
√
2) e p(
√
2) · q(
√
2);
Ex 4. Seja o polinômio p(t) = t2 + 2t+ 1, se o polinômio q(s) = 3s3 + s você consegue
determinar qual é o polinômio p◦q(s) = p
(
q(s)
)
? Qual o grau dessse polinômio?
É possível determinar uma fórumla para o grau de um polinômio dado desta
maeneira? Se sim, qual é?
Ex 5. As caixas na figura abaixo têm a forma de paralelepípedo reto retângulo e os
polinômios ao lado de cada aresta representam suas respectivas medidas, todas
na mesma unidade.
Observa-se que há valores específicos de t para que as caixas existam e que as
dimensões estão fora de escala. O polinômio q(t) ∈ R[t] indica a quantidade de
vezes que a caixa 2 (vermelha) cabe dentro da caixa 1 (laranja). Para que caibam,
exatamente, 120 caixas 2 na caixa 1, ou seja, q(t) = 120, determine a soma das
dimensões da caixa 1 e da caixa 2. Dê um exemplo de valor de t tal que pelo
menos uma das caixas nem sequer exista.
−t+ 1
−3t− 3
t2 − 2t− 8
−t− 1
1
−t+ 1
3.8. EXERCÍCIOS 42
Ex 6. O polinômio p(t) = at3+bt2+ct é divisível por (t−1). O que você pode concluir
sobre p(p(1))?
Ex 7. O polinômio p(t) = 6t3+mt2−18t+n em R[t] é divisível por (x−α) e possui raízes
simétricas, i.e., se β é uma raíz de p(t), então −β também o é. Se p(p(α)) = 9,
então quanto vale p(1)?
Ex 8. Considere polinômio p(t) = (t + 2)(t + 1)(t + 3). Qual a soma e o produto das
raízes (ou zeros) desse polinômio? Quais seus divisores?
Ex 9. Qual o polinômio que, ao ser multiplicado por g(t) = 3t3 + 2t2 + 5t− 4 tem como
resultado o polinômio h(t) = 3t6 + 11t5 + 8t4 + 9t3 − 17t2 + 4t?
(a) p(t) = t3 + t2 + t;
(b) p(t) = t3 + t2 − t;
(c) p(t) = t3 + 3t2 + t;
(d) p(t) = t3 + 3t2 + 2t;
(e) p(t) = t3 + 3t2 − t.
0 é um zero de h(t)?
Ex 10. Utilize as técnicas introduzidas nos exemplos anteriores, para encontrar (se pos-
sível), todas as raízes do polinômio
p(t) = t6 − 6t4 − 22t2 + 40.
Quantas raízes foram possíveis encontrar?
Ex 11. Faça uma pesquisa, e
• Defina mmc e mdc entre dois polinômios;
• Escreva as etapas necessárias para encontrar o mmc e o mdc de dois polinô-
mios;
• Dê pelo menos 3 exemplos de cada um;
• Utilize as propriedades de polinômios estudadas na Apostila, para calcular
mdc
(
p(t),q(t)
)
e mdc
(
p(t),q(t)
)
, onde p(t) = (t3−1)(t+1) e q(t) = (t3+1).
Capítulo 4
Soluções
4.1 Capítulo 1
Ex 1. Vamos primeiramente escrever