Estática das Construções_ Estruturas Hiperestáticas

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Indaial – 2021
Estática das 
construçõEs: 
Estruturas HipErEstáticas
Prof. Madeleing Taborda Barraza 
2a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Prof. Madeleing Taborda Barraza
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
B269e
Barraza, Madeleing Taborda
Estática das construções: estruturas hiperestáticas. / Madeleing 
Taborda Barraza – Indaial: UNIASSELVI, 2021.
219 p.; il.
ISBN 978-65-5663-725-9
ISBN Digital 978-65-5663-721-1
1. Estruturas hiperestáticas. - Brasil. II. Centro Universitário 
Leonardo da Vinci.
CDD 620
aprEsEntação
A montagem de estruturas na engenharia obedece a um grupo de 
critérios que validam o comportamento mecânico dela, todos eles radicados 
na análise prévia das alternativas de projeto que levam a avaliar a tipologia 
estrutural, os materiais que pretendem ser empregados, as dimensões dela e 
os métodos de construção possíveis. Assim, fazer a análise é tão importante 
que determinará se algo pode ou não ser executado. 
A realidade é que nem todas as estruturas são simples como uma 
viga com dois apoios nos extremos e uma carga pontual ou distribuída sobre 
sua secção. A realidade mostra que as estruturas formam uma rede contínua, 
pelos médios mecânicos, para receber as cargas para as quais foi projetada. 
Desta forma, sua funcionalidade atinge um espaço tridimensional com nu-
merosos apoios de diversos tipos e com diferentes orientações, e não consti-
tuídas de uma única peça em um espaço bidimensional, como são concebi-
dos na estática determinada. Estas condições fazem com que sejam geradas 
mais incógnitas de reação (força ou momento) atuando sobre os apoios, as 
quais não são possíveis de conhecer pelas técnicas habituais. Assim, estudar 
o comportamento das estruturas estaticamente indeterminadas, ou também 
chamadas hiperestáticas, é necessário para compressão real das estruturas.
Neste livro didático serão abordados os conceitos, princípios e métodos 
associados à análise das estruturas hiperestáticas, esperando que, na medida 
que cada um deles seja compreendido, os cálculos para a análise das estruturas 
sejam mais rápidos. Este livro didático está estruturado da seguinte forma:
Na Unidade 1 são abordados os conceitos de indeterminação está-
tica e cinemática, a forma de determinar esse grau em certas estruturas, os 
princípios de comportamento linear e superposição de efeitos que ajudam a 
limitar movimentos das estruturas e, finalmente, identificar que a tipologia 
das estruturas. Adicionalmente são mostrados alguns métodos aproximados 
que não introduzem os conceitos de compatibilidade ainda que são aplica-
dos para estruturas hiperestáticas. 
Consecutivamente, na Unidade 2 são explicados dois métodos de aná-
lise, que se contrapõem, para resolver as incógnitas geradas pela continuidade 
e o tipo de carregamento das estruturas, o método das forças e o método dos 
deslocamentos, cada um deles com seus fundamentos e formas de cálculo. 
Finalmente, na Unidade 3, você aprenderá a utilizar softwares que 
auxiliam nos cálculos das incógnitas geradas pela indeterminação estática, 
cada um com a sua configuração e suas limitações. Será mostrada a interface 
e os comandos (passo a passo) que facilitam e comprovam todos os princí-
pios abordados nas unidades anteriores. 
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui 
para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilida-
de de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assun-
to em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
É importante indicar que na atualidade os cálculos associados à com-
pressão de deslocamento, reação ou deformação dos pontos de conexão en-
tre seções de uma estrutura ou uma peça da mesma não são exclusivos de 
um método. A utilização de modelos computacionais tem o intuito de abor-
dar o maior número de variáveis possíveis, porém, o efeito combinado de 
distribuição de cargas, dimensões e qualidade dos materiais é o que melhor 
representa a análise das estruturas.
 
Muito ânimo e bons estudos!
Prof. Madeleing Taborda Barraza 
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
sumário
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO ................................................... 1
TÓPICO 1 — ESTRUTURAS INDETERMINADAS ....................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 ESTRUTURAS RETICULADAS E NÃO RETICULADAS .......................................................... 3
3 REPRESENTAÇÃO DAS FORÇAS E RESPOSTA DA ESTRUTURA ...................................... 5
3.1 EQUILÍBRIO GERAL ..................................................................................................................... 7
3.2 INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA ................................................................................................ 7
4 VANTAGENS E DESAVANTAGES DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ...................... 8
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 13
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 14
TÓPICO 2 — CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE ................................... 17
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 17
2 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ........................................................................................................ 17
2.1 EQUILÍBRIO GLOBAL ................................................................................................................ 17
2.2 EQUILIBRIO LOCAL .................................................................................................................. 18
3 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE ......................................................................................... 19
3.1 COMPATIBILIDADEDAS DEFORMAÇÕES .......................................................................... 20
4 EQUAÇÕES DE ELASTICIDADE ................................................................................................. 22
4.1 EQUILÍBRIO DOS ESFORÇOS ................................................................................................... 23
5 EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE EM ESTRUTURAS SIMÉTRICAS ........................... 24
5.1 CONDIÇÕES DE CONTORNO EM ESTRUTURAS SIMÉTRICAS ...................................... 25
6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO ........................................................................................................... 28
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 32
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 33
TÓPICO 3 — COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO ............. 35
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 35
2 COMPORTAMENTO LINEAR ....................................................................................................... 35
3 PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS ......................................................................... 37
3.1 EFEITO DA TEMPERATURA E RECALQUE EM APOIOS ................................................... 39
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ......................................................................................................... 40
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 48
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 49
TÓPICO 4 — ANÁLISE APROXIMADA ......................................................................................... 51
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 51
2 ARMADURAS .................................................................................................................................... 51
2.1 HIPÓTESES APLICADAS ........................................................................................................... 52
2.2 EXEMPLO DE APLICAÇÃO ...................................................................................................... 52
3 PÓRTICOS .......................................................................................................................................... 54
3.1 HIPÓTESES APLICADAS ........................................................................................................... 55
3.2 EXEMPLO DE APLICAÇÃO ...................................................................................................... 56
4 MÉTODOS ALTERNATIVOS ......................................................................................................... 58
4.1 MÉTODO APROXIMADO PARA ANÁLISE ESTATICA DE EDIFICIOS ALTOS .............. 58
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 60
RESUMO DO TÓPICO 4..................................................................................................................... 65
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 66
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 68
UNIDADE 2 — MÉTODOS DE CÁLCULO .................................................................................... 71
TÓPICO 1 — PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL ............................................................... 73
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 73
2 ESPECIFICAÇÕES DO PRINCÍPIO .............................................................................................. 73
2.1 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E CONSERVAÇÃO ............................................................... 74
2.2 CONDIÇÕES DE DEFORMAÇÃO ........................................................................................... 75
3 FORMULAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL ............................................................................ 76
4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO ........................................................................................................... 79
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 83
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 84
TÓPICO 2 — MÉTODO DAS FORÇAS (MÉTODO DA FLEXIBILIDADE) ............................ 87
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 87
2 FUNDAMENTOS DO MÉTODO .................................................................................................. 87
3 CONCEITOS AUXILIARES ............................................................................................................. 88
4 EQUAÇÕES DO MÉTODO ............................................................................................................. 93
4.1 ANÁLISE DE CASOS ................................................................................................................. 93
4.2 RESTABELECENDO AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ........................................ 95
4.3 SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE ............................... 102
4.4 REAÇÕES E DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES FINAIS ...................................... 102
5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ....................................................................................................... 103
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 123
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 124
TÓPICO 3 — MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS (MÉTODO DA RIGIDEZ) .................. 127
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 127
2 FUNDAMENTOS DO MÉTODO ................................................................................................ 127
3 EQUAÇÕES DO MÉTODO ........................................................................................................... 128
3.1 CONDIÇÕES A SER APLICADAS NO MÉTODO ................................................................ 128
3.2 CONSOLIDAÇÃO DE EQUAÇÕES ........................................................................................ 131
4 APLICAÇÃO DO MÉTODO EM ESTRUTURAS SIMÉTRICAS .......................................... 132
5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ....................................................................................................... 137
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 147
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 152
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 153
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................155
UNIDADE 3 — USO DE FERRAMENTAS DIGITAIS ............................................................... 157
TÓPICO 1 — USO DO FTOOL ........................................................................................................ 159
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 159
2 ESPECIFICAÇÕES DO PROGRAMA ......................................................................................... 159
2.1 INTERFACE DO PROGRAMA ................................................................................................. 160
2.2 ESPECIFICAÇÕES DE OPÇÕES AGRUPADAS .................................................................... 161
2.3 ESPECIFICAÇÕES PARA DESENHO ..................................................................................... 163
2.4 ATRIBUTOS PARA NÓS E MEMBROS ESTRUTURAIS ..................................................... 164
2.5 ATRIBUIR CARGAS PARA NÓS E MEMBROS ESTRUTURAIS ........................................ 168
3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ....................................................................................................... 171
3.1 VIGA HIPERESTÁTICA ............................................................................................................ 171
3.2 PÓRTICO HIPERESTATICO ..................................................................................................... 180
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 183
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 184
TÓPICO 2 — USO DO MASTAN2 ................................................................................................. 185
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 185
2 ESPECIFICAÇÕES DO PROGRAMA ......................................................................................... 185
2.1 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 ................................................................................................. 187
2.2 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2 ................................................................................................. 199
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 201
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 202
TÓPICO 3 — USO DO ACADFRAME ........................................................................................... 205
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 205
2 INTERFACE DO PROGRAMA ..................................................................................................... 205
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 210
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 217
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 218
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 219
1
UNIDADE 1 — 
GENERALIDADES DA 
INDETERMINAÇÃO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender a necessidade de analisar as estruturas hiperestáticas;
• calcular o grau de indeterminação;
• aprender as equações de equilíbrio e compatibilidade aplicadas para re-
solver estruturas hiperestáticas;
• reconhecer as condições que definem uma estrutura reticulada como 
hiperestática;
• aplicar o princípio de comportamento linear e superposição dos efeitos;
• conhecer métodos aproximados para a análise de estruturas.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No decorrer da 
unidade, você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o 
conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – ESTRUTURAS INDETERMINADAS
TÓPICO 2 – CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
TÓPICO 3 – COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO DA
 SUPERPOSIÇÃO
TÓPICO 4 – ANÁLISE APROXIMADA
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
ESTRUTURAS INDETERMINADAS
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, nós vamos conhecer o que significam os conceitos comu-
mente aplicados às estruturas como tipologia, equilíbrio, compatibilidade e in-
determinação estática. Será visualizado o estado que representa cada um deles.
 
O conceito de indeterminação está associado a um excesso de incógnitas 
que não podem ser solucionadas com as típicas equações de equilíbrio dadas pela 
estática básica. Para garantir a estabilidade da estrutura é necessário conhecer 
como acontece esse equilíbrio. Kassimali (2015) aponta que analisar estruturas hi-
perestáticas implica analisar as dimensões, a ordem ou disposição dos elementos 
na estrutura e a seção transversal, tais como a sua área, momento de inércia e mo-
dulo de elasticidade. Desta forma, desenhá-las pode ser um processo repetitivo, 
pois atribuindo dimensões iniciais às forças internas obtidas, levarão ao ajuste.
A finalidade dos métodos que calculam a tal indeterminação é aplicar um 
procedimento simplificado que permita conhecer os possíveis deslocamentos da es-
trutura, os esforços que acontecem nela e as reações ao longo do corpo rígido. Entre-
tanto, para chegar à aplicação você deve conhecer qual princípio é permitido e quan-
do é permitido e, muito além disso, entender o que ele representa para a estrutura. 
2 ESTRUTURAS RETICULADAS E NÃO RETICULADAS
Para atingir o objetivo de suportar as cargas projetadas, a estrutura deve-
-se constituir de materiais, que precisam ser acoplados. A eficiência das conexões 
entre elementos definirá a resposta da estrutura. Assim, existem diferentes tipo-
logias de estruturas que são analisadas por diferentes métodos. Falar de tipologia 
é se referir ao tipo de conexão entre os membros que a compõem, quando, por 
exemplo, a estrutura é feita como um único corpo rígido, tal como uma placa, a 
análise é pelas deformações que podem acontecer. Entretanto, quando a estrutu-
ra corresponde a um ensamble de peças com membros, a compressão e a flexão 
correspondem a uma estrutura que cada membro atua de modo diferente. 
As estruturas podem ser contínuas, ocupando grandes áreas sem pontos visí-
veis de conexão. Podem ser constituídas de barras, quando as peças são interconectadas 
entre si, por sua vez o tipo de união permite diferenciar dois tipos de estruturas. Quan-
do os nós podem fazer o giro (articulações), a estrutura é indicada como articulada, 
quando eles estão impedidos de girar ou deslocar (o nó é rígido) passa a ser chamada 
reticulada. Nas figuras 1, 2 e 3 podem ser observadas os diferentes tipos de estruturas. 
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
4
FIGURA 1 – ESTRUTURA CONTÍNUA
FONTE: <https://bit.ly/35MofKA>. Acesso em: 22 de nov. 2020
FIGURA 2 – ESTRUTURA ARTICULADA
Na Figura 2 observamos a conexão entre membros, que por sua vez criam 
uma estrutura plana. Estas descontinuidades fazem da estrutura uma aproxima-
ção de peças parcialmente rígidas.
FONTE: <https://bit.ly/3qsiwmE>. Acesso em: 22 nov. 2020.
Comece a observar o entorno em que você vive e poderá e poderá identificar 
que existem diferentes formas e conceitos aplicados sobre as estruturas, formas e tama-
nhos variáveis que precisam ser estudadas de modo individual.INTERESSA
NTE
Quando na estrutura não são evidentes essas conexões, por se tratar de 
uniões soldadas ou fundições de peças, existe a possibilidade de realizar curvas 
sutis nos membros, tal como na Figura 3. 
TÓPICO 1 — ESTRUTURAS INDETERMINADAS
5
FIGURA 3 – ESTRUTURA RETICULADA
FONTE: <https://bit.ly/2UxuwY3>. Acesso em: 22 nov. 2020
FIGURA 4 – INTERSEÇÃO VIGA-PILAR
No grupo das estruturas reticuladas podem ser adicionados os pórticos 
planos e espaciais. Nas estruturas de concreto vaziado in situ, a interseção viga-pilar, 
como é vista na Figura 4, representa um nó rígido, pois pela introdução do aço e 
envolvimento com concreto, este ponto deve atuar como continuidade do sistema. 
FONTE: Adaptado de <https://bit.ly/3wSE7qy>. Acesso em: 22 nov. 2020.
3 REPRESENTAÇÃO DAS FORÇAS E RESPOSTA DA ESTRUTURA
A análise de estrutura aplica uma simbologia abreviada para indicar que 
os tipos de apoio possíveis, que suportam a estrutura ou com os quais ela se cruza 
espacialmente. Estas representações são comuns à estática básica, a forma mais 
“fácil” de compreender as reações envolvidas a cada tipo de apoio é identificar 
qual movimento ele não pode realizar (movimento restringido).
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
6
QUADRO 1 – TIPOS DE APOIO E SUAS REPRESENTAÇÕES
Apoio-vínculo Movimento restringido
Nº de 
incógnitas Representativo de
Reação na vertical 1
Rolete
Balancim
Superfície lisa
Reação na 
vertical,
Reação na 
horizontal
2 ArticulaçãoSuperfície áspera
Reação na 
vertical,
Reação na 
horizontal,
Momento (giro)
3 Engastamentoou apoio fixo
FONTE: Adaptado de <https://bit.ly/3zTH1x9>. Acesso em: 21 nov. 2020.
Estas formas de apoio não são os únicos empregados para representar os dife-
rentes tipos de apoio, porém o princípio associado é o mesmo, só será necessário identifi-
car o número de restrições dele.
IMPORTANT
E
Quando uma estrutura é esquematizada mediante linhas verticais e 
horizontais ou diagonais, com seus apoios e com algum tipo de carregamento 
(concentrado ou distribuído) existirá um sistema com equilíbrio (estabilidade), 
exclusivamente quando as dimensões e os esforços de todos os membros sejam 
resistidos pelos materiais que o compõem. Assim, é necessário para o projetista 
conhecer as condições geométricas e os módulos dos materiais para que dessa 
forma possa ter alternativas de implementação. 
TÓPICO 1 — ESTRUTURAS INDETERMINADAS
7
3.1 EQUILÍBRIO GERAL
O equilíbrio pode ser definido como um estado de imobilidade no objeto, 
atingido pela anulação das forças atuantes sobre ele. Em termos estruturais, sig-
nifica que as cargas aplicadas sobre ela são “assumidas” pelas reações nos apoios 
que a suportam, uma convergência de reações e cargas, porém, quando as forças 
aplicadas, distantes do eixo do corpo, podem produzir giro nele, também devem 
existir. Pelo anterior, as reações devem se opor internamente às cargas aplicadas 
para atingir o equilíbrio, e inclusive na ausência delas. 
3.2 INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA
Quando podemos indicar que o sistema é hiperestático? Quando depois de 
fazer uma somatória de forças-reações nos nós e apoios, temos vazios ou desigual-
dades para determinar os valores de todas elas. Não conseguimos quantificar esse 
estado de equilíbrio. Assim, será necessário realizar uma diferença da quantidade 
de equações disponíveis e incógnitas, atuando no sistema, a modo global e local. 
Existirá uma indeterminação externa ou grau de hiperestaticidade externa (Hext) 
quando a diferença de número de reações exteriores desconhecidas (n) e o número de 
equações da estática (e) seja diferente de zero, representado assim na EQ 1.1:
Hext = n - e (EQ 1.1)
Na seguinte Figura 5 podem ser observados diferentes estados estáticos. 
A mudança no tipo de apoio gera incógnitas adicionais que envolvem as reações 
horizontais e de giro. Pela necessidade de buscar outro método que nos permita 
conhecê-las. Aplicando a equação previamente indicada, podemos identificar n =5, 
enquanto e=3, assim o grau de hiperestaticidade desta estrutura é Hext =2.
FIGURA 5 – EXEMPLO DE ESTRUTURAS COM DIFERENTES CONDIÇÕES DE DETERMINAÇÃO
FONTE: Adaptado de Cervera e Blanco (2002, p. 16-17)
Da mesma forma, também pode existir uma indeterminação interna ou 
grau de hiperestaticidade interna, quando, apesar de conhecer as reações externas, 
é impossível determinar os esforços em todos os membros. Será necessário 
suprimir apoios internos e substituí-los por reações internas que determinarão o 
grau de hiperestaticidade interna, como pode ser exemplificado na Figura 6.
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
8
FIGURA 6 – EXEMPLO DE ESTRUTURAS COM DIFERENTES CONDIÇÕES HIPERESTATICIDADE
FONTE: Adaptado de Rocha (1964, p. 45)
Conhecer o grau de hiperestaticidade permitirá identificar se a origem da 
indeterminação está nos apoios ou em ligações internas. Para o caso de estruturas 
reticuladas que possuem um fechamento (mais de três barras), é gerado um estado 
de hiperestaticidade porque os pontos de interseção correspondem a um novo ponto 
rígido. Esses valores de reação ou esforço só podem ser determinados ao realizar um 
corte na estrutura. Assim, será liberada uma ligação rígida em uma seção escolhida, 
podendo ser introduzidas três equações associadas aos esforços provocados.
Com base nisso podemos apontar inicialmente que a Figura 6a corresponde a 
uma estrutura isostática externamente, porém ao mesmo tempo é hiperestática interna-
mente. Já, a Figura 6b corresponde a um hiperestaticidade interna e externa. Para calcu-
lar seu grau de hiperestaticidade, em pórticos, empregamos a seguinte equação EQ 1.2:
H = (n + 3a) - (3 + c) (EQ 1.2)
Onde:
H: grau de hiperestaticidade, adimensional
n: número de reações, adimensional
a: número de anéis formados, adimensional
c: número de equações vindas de articulações internas, adimensional
Para os anteriores exemplos podemos aplicar a equação para pórticos e 
determinaremos seu grau de hiperestaticidade:
Estrutura Figura 6a temos que: n = 3, a = 1, c =0, assim, H =3 
Estrutura Figura 6b temos que: n = 6, a = 1, c =0, assim, H =6
4 VANTAGENS E DESAVANTAGES DAS ESTRUTURAS 
HIPERESTÁTICAS
Um projetista não decide se realiza uma estrutura determinada ou inde-
terminada, a realidade é que essas condições são próprias do sistema de apoio e 
da quantidade de membros que compõe o tudo, e que dará o suporte desejado. 
Dessa forma, existem certas vantagens e desvantagens das estruturas hiperestáti-
cas comparadas com as estruturas isostáticas, resumidos na Figura 7.
TÓPICO 1 — ESTRUTURAS INDETERMINADAS
9
FIGURA 7 – VANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
FONTE: Adaptado de Borges (2015, p. 16-17)
Se consideramos duas vigas como as representadas na Figura 8, o dia-
grama do momento fletor, nelas indica que, tendo seu valor máximo em cada 
situação e sua associação ao esforço máximo de flexão, na viga hiperestática é 
significativamente menor que na viga isostática. Da mesma forma, a deflexão as-
sociada a esta viga será menor, considerando que a seção transversal da própria 
viga seja igual em ambos os casos (KASSIMALI, 2015). 
FIGURA 8 – REPRESENTAÇÃO DAS VANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
FONTE: <https://bit.ly/3wWOxFW>. Acesso em: 28 nov. 2020.
Quando uma estrutura hiperestática é desenhada adequadamente, ela tem a 
capacidade de redistribuir as suas cargas quando uma parte da estrutura sofre sobre-
-esforços ou colapsa parcialmente devido a questões climáticas ou geológicas como 
sismos, furacões e explosões. Tendo mais elementos e/ou reações nos apoios requeri-
dos pela estabilidade estática, a ausência de algum elemento de continuidade ou de 
apoio levará a um ajuste, situação que pode ser justificada pela redundância destes. 
Tomando o exemplo uma viga como a indicada na Figura 9. Elas supor-
tam uma ponte sobre um riacho e o pilar central, representado pelo ponto B, 
é destruído por um navio acidentalmente. Devido à viga isostática só possuir 
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO10
um número suficiente de reações requeridas para sua estabilidade, eliminar o 
apoio B levará ao colapso da estrutura, tal como é representado na segunda parte 
da figura. Entretanto, na viga hiperestática acontece uma reação extra no senti-
do vertical, pelo tanto esta estrutura não irá a colapso obrigatoriamente e pode 
permanecer estável, mesmo que o apoio B esteja ausente. Isso considerando que 
a viga tenha sido dimensionada adequadamente para suportar a carga morta, 
assim a ponte poderá ser reparada fechando a circulação e logo colocada em fun-
cionamento após reforma do pilar B.
FIGURA 9 – EFEITO DE TER REDUNDANCIA DE APOIOS DE UMA VIGA HIPERESTÁTICA
FONTE: Adaptado de Kassimali (2015, p. 443)
FIGURA 10 – DESVANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Na mesma linha de discussão, também existem algumas desvantagens 
relacionadas ao cálculo de estruturas hiperestáticas em comparação com as estru-
turas isostáticas, o resumo dessas desvantagens é registrado na Figura 10.
FONTE: Adaptado de Fadu (2018, p. 7)
Em estruturas isostáticas é muito comum ter articulações, que permitem 
o trabalho individual de cada membro. Quando é produzido algum tipo de es-
forço, seja por causa de um assentamento do apoio ou recalque pela temperatura, 
como pode ser observado na Figura 11, os membros da estrutura atuariam como 
TÓPICO 1 — ESTRUTURAS INDETERMINADAS
11
FIGURA 11 – EFEITOS DE ASSENTAMENTO SOBRE VIGAS
um corpo rígido sem produzir flexão, é dizer, a viga permanece reta. No entanto, 
quando o assentamento acontece na viga hiperestática, por ela ser contínua, a 
seção transversal sofre um esforço de flexão nos diferentes pontos.
FONTE: Kassimali (2015, p. 444)
Pelo fato de as estruturas hiperestáticas terem continuidade nos seus 
apoios e/ou nos membros, até criar uma espécie de rede plana, o cálculo da mes-
ma obriga a usar diferentes métodos que facilitem a obtenção de dados, pois na 
medida em que o número de elementos seja incrementado assim mesmo será 
incrementado o número de incógnitas do sistema. É por isso que são aplicadas 
simplificações geométricas, em muitos casos o uso de matrizes, que geram uma 
associação mais rápida das variáveis.
Por último, as muitas representações registradas podem fazer parecer 
que as estruturas hiperestáticas são “difíceis” de achar ou que são casos especial, 
quando na real, as estruturas estaticamente determinadas são as especiais, tal 
como pode ser observado na seguinte Figura 12.
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
12
FIGURA 12 – CONFIGURAÇÃO REAL DE DUAS ESTRUTURAS E A REPRESENTAÇÃO DO SEU 
COMPORTAMENTO
FONTE: Adaptado de <https://bit.ly/3wWOxFW>. Acesso em: 28 nov. 2020.
13
Neste tópico, você aprendeu que:
RESUMO DO TÓPICO 1
• A identificação de uma estrutura como indeterminada indica que se devem 
empregar outros métodos para calcular as reações ou esforços produzidos 
pelo carregamento das cargas, que inclusive pode ser o peso próprio.
• Existem diferentes tipos de estruturas que são analisadas segundo as condi-
ções de espaço, que predominam nela, assim como o tipo de conexão que ela 
tem entre seus membros.
• Há dois tipos de indeterminação, a estática e a cinemática, conceitos introdu-
zidos para prover equações que ajudem a resolver essa indeterminação.
• Pode ser atribuído um grau de indeterminação associando o número de nós e 
o número de reações desconhecidas.
14
1 Com a resolução dos valores das incógnitas de força e momento que partici-
pam numa estrutura é possível criar, sobre um eixo por membro contínuo, o 
diagrama respectivo. Assim, como você estudou em disciplinas anteriores, as-
sinale a alternativa CORRETA que apresenta o diagrama de momentos fletores 
(DMF), correspondente à viga contínua hiperestática representada a seguir:
AUTOATIVIDADE
a)
b)
c)
d)
2 Quanto mais apoios e secções tiver uma estrutura, maior grau de indeterminação 
terá. Com base nos conceitos previamente explicados e aplicando a consideração 
de simetria, determine o grau de hiperestaticidade das seguintes estruturas:
3 Foram definidas várias frases, que bem organizadas constituem um pará-
grafo que resume os conceitos de estruturas iso, hiper e hipoestáticas. Sobre 
o exposto, ordene os itens a seguir: 
15
I- É uma estrutura hipoestática. 
II- Uma estrutura é hiperestática quando, ao ser analisada, 
III- A serem determinadas do que as incógnitas que 
IV- Podem ser resolvidas pelas equações de equilíbrio. 
V- É chamada estrutura isostática e,
VI- Possui mais reações externas e/ou mais forças internas 
VII- É menor ao número de equações de equilíbrio se diz que 
VIII- Quando o número de reações em apoios 
IX- Quando esse número de equações é igual 
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) I – V – II – VII.
b) ( ) II – VI – III – IV – IX – V – VIII – VII – I.
c) ( ) I – II – VIII – IV – VII – III – V – III.
d) ( ) II – IV – VI – III – VIII – I – VII – V – IX. 
4 Nos conceitos anteriormente citados sempre foi usada a palavra equilíbrio para 
referir-se ao estado em que devem estar as estruturas. No entanto, escassamen-
te se falou de estabilidade. Qual é a diferença entre estes dois conceitos? 
5 Considerando que as estruturas são feitas de materiais, que têm diferentes 
coeficientes de dilatação e que podem ter erros de fabricação (dimensiona-
mento), como estas características poderiam causar problemas nas estrutu-
ras hiperestáticas e não isostáticas? 
16
17
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E 
COMPATIBILIDADE
1 INTRODUÇÃO
Tal como Cervera e Blanco (2002) indicam, a mecânica das estruturas des-
cansa sobre os conceitos de equilíbrio e compatibilidade. As condições de equilí-
brio são suficientes nos sistemas estaticamente determinados para fazer cálculo 
de reações, assim, o conceito de compatibilidade e suas condições são introduzi-
dos nos sistemas indeterminados como relações adicionais baseadas na geome-
tria das deformações (KASSIMALI, 2015).
No momento em que a estrutura é carregada, ela se deforma sob essa car-
ga. Os pontos que estavam conectados entre si permanecerão conectados ainda 
que a distância entre eles possa ter sido modificada devido à deformação. Assim, 
todos os pontos de uma estrutura se ajustam de modo que a estrutura permaneça 
encaixada na sua configuração original, conservando o equilíbrio e gerando com-
patibilidade ou equivalência entre as deformações, ou qualquer que seja a forma 
de deslocamento (CAPRANI, 2007).
Neste tópico serão indicadas essas equações e as condições de aplicação 
delas, assim como as representações de uma estrutura deformada e cortada para 
subtrair essas equações.
2 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
O estudo das estruturas indeterminadas é uma extensão das estruturas 
determinadas ou isostáticas, assim, argumentos que foram ditos nessa área con-
tinuam sendo validos. Com a diferença que, considerando perspectivas mais rea-
listas mais informações, podem ser obtidas das estruturas para sua análise. 
2.1 EQUILÍBRIO GLOBAL
Especificamente, o sistema total (interno e externo) das forças que atuam 
sobre uma estrutura devem estar em equilíbrio estático, se isso não acontece a 
estrutura está propensa a qualquer deslocamento na interação dos seus apoios. 
O equilibro é representado por um sistema nulo, produto de uma somatória de 
forças e rotações que se contrapõem entre si. Desta forma, devem ser cumpridas 
aquelas equações da estática, escritas de forma vetorial nas EQ 1.3 e 1.4:
18
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
(EQ 1.3)
(EQ 1.4)
Sendo que: representa cada uma das forças que atuam sobre a estrutu-
ra, podendo ser no sentido horizontal e vertical;
 representa o momento gerado por cada uma das forças, respeito um 
ponto aleatório.
Em vista de que as estruturas podem ter geometrias e estados de carrega-
mento diferentes, estas equações de equilíbrio se extrapolam para as três direções 
(x, y, z), tanto para forças quanto para os momentos. Assim, para uma estrutura 
que sometida a seu próprio peso, como uma laje, é umaestrutura contínua que 
requer outro tipo de análise estrutural para entender a forma de se deformar e 
dar continuidade de suas tensões. Para o caso de estruturas do tipo barras, seus 
elementos podem estar conectados por articulações ou por pontos rígidos (es-
trutura reticulada), nestas situações são suprimidos certos casos de equilibro de 
forças e de momentos, como pode ser visto na Figura 13. 
FIGURA 13 – TIPO DE ESTRUTURAS: A) SUPERFICIAL: UMA PLACA QUE SOFRE ESFORÇOS DE 
FLEXÃO, B) BIDIMENSIONAL: UM PÓRTICO QUE SOFRE ESFORÇOS PREDOMINANTEMENTE 
DE FLEXO-COMPRESÃO
FONTE: Adaptado de Cervera e Blanco (2002, p. 22)
2.2 EQUILIBRIO LOCAL 
Em qualquer apresentação das estruturas deve ser cumprido o equilíbrio em 
cada membro que a constitui, é dizer, o equilibro global pode existir, mas isso não é 
suficiente para que cada membro realmente esteja em equilíbrio. De forma específica, 
as peças que formam uma estrutura de barras devem estar em equilíbrio entre elas, e 
inclusive quando são consideradas as forças e momentos atuando nos extremos delas. 
Analogamente, os nós da estrutura devem estar em equilíbrio sob a ação das forças e 
dos momentos que atuam nos extremos das barras, como pode ser visto na Figura 14. 
De modo geral, a aplicação de uma carga F no membro 2 gera reações do 
tipo H (associada à força axial), V (associada à força cortante) e M (associado ao 
momento atuante) no apoio do membro 1. Na condição de equilibro de forças im-
plica que a reação H e V sejam iguais e opostas às componentes de F. Da mesma 
TÓPICO 2 — CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
19
forma que, o equilibro do momento produzido por F, respeito o ponto C implica 
que, M = V X l - H X h. (EQ 1.5).
FIGURA 14 – EQUILÍBRIO EM CADA MEMBRO DE UMA ESTRUTURA RETICULADA, DE MODO 
GLOBAL E DE MODO UNITÁRIO
FONTE: Adaptado de Cervera e Blanco (2002, p. 33)
Quando começamos a realizar os cálculos e vemos que não é possível identifi-
car os valores das reações e que fazendo um diagrama de corpo livre de cada membro não 
convergem as forças atuantes sobre ele, é momento de introduzir os conceitos de compati-
bilidades, que levarão a gerar mais equações em que estas forças também serão relacionadas.
ATENCAO
3 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE
As condições de equilíbrio não são as únicas que devem ser consideradas 
durante o comportamento de estruturas. É necessário identificar a compatibilidade 
dos membros com relação as suas deformações e deslocamentos. Considerando 
que estas deformações podem acontecer no apoio, nos nós ou nas barras, devem ser 
cumpridas as seguintes condições, em qualquer hipótese de movimento que seja 
adoptada e especificamente quando os deslocamentos sejam pequenos, tais que:
a) A deformação nos apoios deve cumprir a limitação do movimento associado a ele.
b) A deformação nos nós deve cumprir a limitação de movimento nas extremida-
des das barras que convergem neles.
c) A deformação de uma barra para outra deve ter continuidade, de modo que 
não sejam registradas ausência de material e sentido discreteado do corpo.
20
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
Os dois primeiros itens fazem parte da chamada compatibilidade exter-
na, enquanto a última aponta a compatibilidade interna. Todas garantem que a 
estrutura, ao se deformar, permaneça contínua no interior do seu elemento estru-
tural e possua comportamento previsível. 
Tomando a seguinte estrutura reticulada, da Figura 15, podem ser anali-
sadas as deformações que acontecem.
FIGURA 15 – DESLOCAMENTOS EM UMA ESTRUTURA RETICULADA PELA APLICAÇÃO DE UMA CARGA
FONTE: Cervera e Blanco (2002, p. 44)
a) Não existem deformações nem movimento no ponto A, pela sua condição;
b) Os movimentos que acontecem no ponto B, por ser um ponto rígido, são 
idênticos para as barras que chegam até ele. Adicionalmente, não pode 
acontecer um giro relativo entre as mesmas barras.
c) As barras AB e BC sofreram deformações proporcionais de alongamento e 
encurtamento, pelo trabalho de tração e compressão que recai sobre eles. O 
giro diferencial, que produz Φc e consecutivamente produz Φb, acontece por 
causa da flexão pode ser calculado com base a esforços respetivos.
Desta forma, a aplicação de forças gera de modo único reações nos mem-
bros das estruturas. 
3.1 COMPATIBILIDADE DAS DEFORMAÇÕES
Estes deslocamentos podem estar em alguma seção ou nos extremos de 
barras, sendo que também cumprirão a lei de continuidade das deformações e 
destas serão definidas as equações geométricas. Essa continuidade das deforma-
ções estabelece as seguintes condições, tomando como exemplo a Figura 16.
TÓPICO 2 — CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
21
FIGURA 16 – CORTE DE UMA SEÇÃO
FONTE: O autor (2020)
Quando não são aplicados os conceitos de continuidade e compatibilidade 
na seção S, então os deslocamentos da parte I seriam independentes da parte II. As-
sim, por lei da continuidade da deformação pode ser estabelecido que os giros (φ) 
(com unidades angulares) de um lado serão equivalentes em magnitude e com sen-
tido contrário ao outro, da mesma forma a deformação (u) (com unidades de com-
primento sobre comprimento, mm/m ou mm/mm) e o deslocamento horizontal (v) 
(com unidades de comprimento, mm, m ou outras). A Figura 17 mostra esquemas de 
algumas deformações relativas e indica seu sentido segundo o movimento horário. 
FIGURA 17 – ALGUMAS DEFORMAÇÕES RELATIVAS
FONTE: Adaptado de Rocha (1964, p. 67)
Da mesma forma, existirão deformações relativas (com valores conheci-
dos ou indicados) nas quais se deve cumprir que, como apontas as equações EQ 
1.6, EQ 1.7 e EQ 1.8:
φr = φ - φ' (EQ 1.6)
(EQ 1.7)
(EQ 1.8)
ur = u - u'
vr = v - v' 
A compreensão da existência das deformações relativas também permite 
introduzir equações no mesmo sentido do esforço que ela acontece. Conhecer que 
estas deformações acontecem permitirá determinar um grau de hiperestaticidade 
geométrica ou de translação. 
22
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
4 EQUAÇÕES DE ELASTICIDADE
Falar de leis constitutivas nos materiais é fazer referência a conceitos da 
resistência/mecânica dos materiais, especificamente, a um grupo de equações que 
associam tensões e deformações. De comportamento elástico-linear, tal como a 
Lei de Hooke (EQ 1.9) aplicada para materiais. 
σ = E . ε (EQ 1.9)
(EQ 1.10)
Sendo que, 
σ, corresponde esforço normal à seção transversal do membro, N/m2
E, corresponde ao modulo de elasticidade, N/m2
ε, deformação associada ao esforço normal, sem unidades.
Esta equação pode ser transformada considerando as informações que fo-
ram previamente discutidas ou conhecidas, como a substituição dos parâmetros 
de esforço e deformação, já que o modulo de elasticidade é uma constante. A 
equação EQ 1.10 pode ser reescrita desta forma: 
Como foi indicado anteriormente, na análise das estruturas, os materiais 
trabalham em regime elástico-linear e assim com a aplicação e posterior ausên-
cia de cargas, o material não registra deformação, em uma análise de primeira 
ordem. Se isto não acontece seriam aplicadas condições de regímen não linear e 
uma análise de segunda ordem deve ser feita, que é valido para cálculos de pro-
jetos de estruturas metálicas ou de concreto armado. 
FIGURA 18 – VISUALIZAÇÃO DO REGIME ELÁSTICO PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS NO DIA-
GRAMA GERAL DE FORÇA-DEFORMAÇÃO 
FONTE: <https://bit.ly/2TVAKAP>. Acesso em: 2 dez. 2020.
TÓPICO 2 — CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
23
4.1 EQUILÍBRIO DOS ESFORÇOS
A continuidade da estrutura é refletida pelas ligações internas que fazem 
dela um todo. Esta pode ser avaliada, de modo abstrato, mediante o equilibro de 
tensões em pontos internos da estrutura, ou, na manifestação anulação entre os 
descolamentos de um ponto. Segundo Martha (2002), a tensão interna, sendo um 
conceito abstrato de força por unidade de área, pode cortar qualquer seção da 
estrutura e separá-la em duas partes iguais da sua seção transversal. 
O efeito da força axial, uma força cortante e um momentofletor, qualquer 
deles atuando na área da seção transversal produzirá um esforço, que vai gerar 
deformações, que podem resultar em encurtamento ou em um alongamento. É 
neste ponto onde são avaliados os esforços, também deve cumprir-se que, toman-
do como exemplo a Figura 19:
MB + MB' = 0
NB + NB' = 0
VB + VB' = 0
(EQ 1.11)
(EQ 1.12)
(EQ 1.13)
FIGURA 19 – ESFORÇOS INTERNOS QUE ACONTECEM EM UMA BARRA
FONTE: <https://slideplayer.com.br/slide/1596224/>. Acesso em: 1 dez. 2020.
Adicionalmente podem existir outros esforços provocados por momentos de 
torsão, num plano perpendicular às estruturas planas (solicitações coplanares), po-
rém estes esforços não são contemplados nestes estudos, ainda que são aplicados a 
estruturas reticulares planas, como as grelhas, que também podem ser hiperestáticas.
24
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
Adicionalmente no entorno da configuração das estruturas hiperestáticas, 
também existem esforços adicionais, que não causam efeito sobre a geometria visível dela, 
mas na configuração interna, por isso invitamos você a ler nossa Leitura Complementar. É 
muito interessante como o concreto protendido e sua representação leva a produzir esfor-
ços internos que, a diferença dos anteriormente nomeados, estão sob controle.
IMPORTANT
E
5 EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE EM ESTRUTURAS 
SIMÉTRICAS
A configuração da geometria das estruturas permite ter uma ideia geral 
do número de incógnitas a serem levantadas, entretanto, se existe uma simetria 
nela podem ser reduzidos o número de incógnitas, aplicando um corte simétrico, 
desta forma, a simplificação no sistema levará à formação de uma estrutura 
equivalente para que no encontro com seu espelho, a compatibilidade continue 
existindo. Tal como pode ser visto na seguinte Figura 20.
FIGURA 20 – ESTRUTURA CARGADA SIMETRICAMENTE E SUA RESPETIVA EQUIVALÊNCIA
FONTE: Cervera e Blanco (2002, p. 33)
Os pontos B, D, D’ e B’ terão possíveis deformações simétricas, ainda que 
ao ser aplicada a simétrica, deve ser substituído o tipo de ligação correta nas barras 
cortadas. Especificamente, o tipo de apoio que representa. Poderia assumir-se que 
para estruturas assimétricas que seria necessário o cálculo total, mas, como foi dito 
anteriormente, o princípio de superposição de efeitos facilita esta mesma subdivisão 
em “novos” sistemas equivalentes ou estrutura auxiliar, como pode ser representado 
na seguinte Figura 21. Assim, basicamente o número de incógnitas é reduzido.
TÓPICO 2 — CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
25
FIGURA 21 – ESTRUTURA HIPERESTÁTICA CARREGADA ASSIMETRICAMENTE
FONTE: Cervera e Blanco (2002, p. 31)
O carregamento de qualquer tipo de estrutura também gera uma defor-
mada associada, que sendo uma estrutura simétrica também pode registrar esfor-
ços solicitantes simétricos, para isso é necessário avaliar as condições de compa-
tibilidade dos membros nos planos de simetria.
Tal como foi visto na Figura 19, as forças geram tensões normais e tan-
genciais, segundo o plano de atuação, que atuam em seções transversais opostas 
e originam esforços solicitantes simétricos ou antissimétricos. Especificamente, a 
força axial e o momento fletor serão esforços simétricos, enquanto a força cortante 
e o momento de torção são esforços antissimétricos (NETO, 2016).
5.1 CONDIÇÕES DE CONTORNO EM ESTRUTURAS 
SIMÉTRICAS
Quando se tem planos simétricos, existe a formação de deslocamentos 
ou rotações nulas dos membros, como pode ser ilustrado na Figura 22. Para 
carregamentos simétricos, o deslocamento u e a rotação φ devem ser nulos. No caso 
de carregamento antissimétrico, o deslocamento ν e a rotação θ devem ser nulos. 
26
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
Essas condições de compatibilidade levaram a uma configuração defor-
mada como registra a Figura 23. Neste caso, a presença de uma articulação na 
metade do membro permite anular o momento fletor em A e rotações relativas 
das extremidades dos membros nesse nó.
FIGURA 22 –CONDIÇÕES DE CONTORNO A) NO CARREGAMENTO SIMÉTRICO, B) NO CARRE-
GAMENTO ANTISSIMÉTRICO
FONTE: Neto (2016, p. 5)
TÓPICO 2 — CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
27
FIGURA 23 – CONFIGURAÇÃO DA DEFORMADA (EM VERMELHO) DURANTE A) CARREGAMEN-
TO SIMÉTRICO, B) CARREGAMENTO ANTISSIMÉTRICO
FONTE: Neto (2016, p. 6-7)
A configuração da deformada obedece a um esquema exagerado da superfície 
neutra da estrutura sob um carregamento específico e pode ser construído sem necessida-
de de atribuir valores às forças ou momentos.
ATENCAO
Neto (2016, p. 7) aponta um passo a passo para simplificar o processo:
i. Identifique os planos de simetria da estrutura.
ii. Divida os esforços concentrados aplicados nas seções de simetria 
e aplique as metades nas seções imediatamente ao lado.
iii. Se o carregamento for assimétrico, decomponha-o em dois: um 
simétrico e um antissimétrico.
iv. Esboce a configuração deformada evidenciando os deslocamentos 
e rotações no plano de simetria. A configuração deve refletir a si-
metria ou assimetria do carregamento que a gerou.
28
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
v. Obtenha uma estrutura similar mediante cortes passando pelos planos 
de simetrias. Levante os esforços solicitantes não-nulos nas seções defi-
nidas pelos planos de simetria e introduza os vínculos fictícios associa-
dos a condições de simetria ou assimetria de carregamento.
vi. Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura auxiliar.
vii. Se ela for isostática, obtenha as reações e os esforços solicitantes 
por equilíbrio.
viii. Se ela for hiperestática, resolva pelo processo dos esforços ou dos 
deslocamentos. 
6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Tomando um exemplo de Neto (2016), que considera a seguinte figura, 
traçamos o diagrama de momento fletor a partir da deformada da viga contínua, 
considerando que o produto do módulo e da inércia (EI) = constante.
FIGURA 24 – EXEMPLO EXPLORATÓRIO
FONTE: Adaptado de Neto (2016, p. 8)
Desenvolvendo o gráfico da deformada, nós podemos ter um gráfico 
como o seguinte (deformada em azul), sobre ele é possível identificar um plano 
de carregamento antissimétrico, traçado pela linha A.
O traçado da deformada segue o sentido de giro dos momentos atuantes na 
estrutura, assim, observa o sentido e começa a avaliar pelos extremos, identificando se é 
possível ou não o deslocamento na estrutura.
DICAS
FIGURA 25 – DEFORMADA DO EXEMPLO A SER ANALISADO
FONTE: Adaptado de Neto (2016, p. 8)
TÓPICO 2 — CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
29
FONTE: Adaptado de Neto (2016, p. 8)
FONTE: Adaptado de Neto (2016, p. 8)
FIGURA 26 – APLICAÇÃO DE NOVO PLANO DE SIMETRIA E SINALIZAÇÃO DE UM APOIO 
FICTÍCIO PARA COMPRENDER O TIPO DE DESLOCAMENTO NA DEFORMADA
FIGURA 27 – SEGMENTO DA ESTRUTURA PARA ANALISAR POR COMPATIBLIDADE
Sobre as partes da seção (Lado direito de A e lado esquerdo de A), podemos 
aplicar novamente um plano simétrico, fazendo um novo corte S, que torna a deforma-
da simétrica a cada lado, como pode ser visto na seguinte figura. A deformada cortada, 
terá apoio fictício que permite unicamente o giro, com reação horizontal nula.
Analisando a parte geometria da deformada, sabemos que, independen-
temente dos valores dos momentos, a rotação nesse ponto se deve a dois efeitos 
(φs1 e φs2), que relacionados devem cumprir que sejam iguais a zero (0), situações 
representadas da seguinte forma:
Lembrando que: (EQ 1.16)
(EQ 1.17)O valor do momento no ponto S, 
Podemos criar o diagrama de momentos em termos de Mo, ou seja, como se 
fosse um valor conhecido, ou unitário. Assim, o momento no extremo corresponderá 
a , e quando o valor for conhecido só será necessário multiplicar a fração indicada 
pelo valor associado. Sequencialmente, pode ser explicado da seguinte forma, 
avançando do ponto S até o extremo direito da viga, onde o momento se faz zero: 
O valor de ¼ será constante até se encontrar com o Mo, no apoio localizado a uma 
distância a, sendo Mo a unidade inteira, o gráfico descenderá até ¾ e continuarádecaindo até zero para o último apoio, tal como a Figura 28 o representa:
30
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
FIGURA 28 – CRIAÇÃO PARCIAL DO DIAGRAMA DE MOMENTO EM TERMOS DE Mo 
FONTE: ADAPTADO DE NETO (2016, P. 8)
Já conhecendo esta seção, que é simétrica, pode ser construído o diagrama até 
o ponto de assimetria, pois atua na forma de espelho porque temos o Mo existindo 
no mesmo ponto de aplicação, na mesma distância a, assim teremos o lado direito da 
seção A (ver Figura 29), inicialmente apontada como o plano de assimetria. 
FIGURA 29 – CONTINUAÇÃO DA CRIAÇÃO DO DIAGRAMA DE MOMENTO
FIGURA 30 – DIAGRAMA DE MOMENTO TOTAL DA VIGA
FONTE: Adaptado de Neto (2016, p. 8)
FONTE: ADAPTADO DE NETO (2016, P. 8)
Finalmente, sendo A o plano de assimetria, sabemos que os valores 
registrados do lado direito terão sentido inverso do lado esquerdo, cumprindo-se 
que no último apoio o valor do momento será zero e na metade da distância 2a a 
fração do valor do momento corresponderá a ¼.
Também pode ser criado o digrama de cortante, considerando que a 
curva que o representa é um grau menor que o diagrama de momento, tendo 
magnitudes associadas à divisão do Mo pela distância a.
TÓPICO 2 — CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
31
FIGURA 31 – DIAGRAMA DE CORTANTE PARA O EXMPLO ANTERIOR
FONTE: Adaptado de Neto (2016, p. 8)
32
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Existe a necessidade de cumprir as condições de equilíbrio, de compatibilida-
de e das leis constitutivas para facilitar a análise das estruturas.
• As deformações e os deslocamentos assumidos pelo efeito de superposição e 
linearidade são pequenos, em comparação com a dimensão da peça estrutural.
• Os conceitos de resistência de materiais são aplicados para auxiliar ou com-
plementar as condições de equilíbrio interno, manifestados pelos esforços in-
ternos dos membros das estruturas.
• Aplicar eixos simétricos podem simplificar os cálculos de deslocamentos, re-
ações e esforços nas estruturas hiperestáticas.
• Os princípios de superposição e compatibilidade devem ser devidamente sa-
tisfeitos quando a estrutura é simplificada simetricamente. 
33
1 Anteriormente foram avaliadas as possibilidades de transformar estruturas 
com simetria de cargas em um sistema equivalente reduzido. Com base 
nisso, desenhe a estrutura equivalente para a seguinte figura:
AUTOATIVIDADE
2 A seguinte figura representa um pórtico plano e sua deformada. Pode-se 
afirmar que essa deformada corresponde à real deformada, considerando 
que a carga seja o peso próprio da estrutura.
a) ( ) Sim, porque todos se mantêm rígidos e a deformada é correspondente 
em todos as seções.
b) ( ) Sim, porque os nós foram deformados e a deformada é correspondente 
em todas as seções.
c) ( ) Não, porque os nós foram deformados e a deformada na seção H-I não 
é correspondente a essa deformada.
d) ( ) Não, porque os nós estão rígidos e a deformada na seção E-F não é cor-
respondente a essa deformada. 
3 O sentido em que os momentos atuam nos membros está definido pela re-
gra da mão direita, aplicados sobre um plano em específico. Quando se 
trata de momentos fletores que atuam nos pórticos, a análise passa a ser 
num plano bidimensional, porém, quando o terceiro plano é introduzido, 
os momentos torsões podem surgir. Sobre um modelo de estrutura no qual 
podem ocorrer esforços de torsão, assinale a alternativa CORRETA:
34
a) ( ) Pórtico plano.
b) ( ) Tirante.
c) ( ) Viga.
d) ( ) Grelha.
4 Relacionado os conceitos de força, deslocamento, deformação e esforço 
pode ser construída uma frase. Algumas premissas não relacionam correta-
mente estes conceitos, existe então uma relação válida na análise das defor-
mações e cargas de um membro estrutural. Escolha a resposta correta: 
a) ( ) Um esforço produz uma força entre os membros que conecta, sendo 
que gera deformações na forma de deslocamentos.
b) ( ) Um deslocamento produz um esforço entre os membros que conecta 
que só pode ser recuperado quando a força seja retirada e assim a de-
formação é recuperada.
c) ( ) Uma força produz um deslocamento, que produz uma deformação que 
leva à formação de esforços que só pode ser reduzida na ausência da força.
d) ( ) Uma força pode produzir um esforço que levará à formação de defor-
mações, uma das quais pode ser um deslocamento.
5 Um usuário fez a seguinte afirmação: o equilíbrio é necessário, a compatibili-
dade é opcional, de modo que certas deformações podem acontecer e mesmo 
assim o sistema será mantido em equilíbrio. Disserte sobre essa justificativa.
35
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO 
DA SUPERPOSIÇÃO
1 INTRODUÇÃO
O objetivo da análise das estruturas é determinar as reações e desloca-
mentos que acontecem nela e permitem manter o equilíbrio, porém esse objetivo 
não é único para os pontos de apoio delas senão em qualquer ponto da mesma 
(CAMBA; CHACÓN; PEREZ, 1982). Por isso, são criados os diagramas de forças 
e momentos, que permitem visualizar baixo em que condições o sistema pode 
ficar mais carregado que em outros. 
 
Para atingir esse objetivo, quando a estrutura sofre um deslocamento/de-
formação, essa configuração geométrica resultante deve ser previsível. Por co-
nhecer melhor as relações lineares, a hipótese de comportamento linear entre a 
força e o deslocamento é assumido na análise estrutural. 
Em virtude das relações lineares, que acontecem entre cargas e deslocamen-
tos ou deformações, pode admitir-se que um efeito produzido por alguma situação 
de carregamento pode ser analisado em modo simples e unitário para analisar sis-
temas de cargas menos complicados, uma superposição de efeitos unitários. Assim, 
este princípio é um dos conceitos mais importantes da análise de estruturas. 
Neste tópico será vista a aplicação desses princípios e como ajudam na 
resolução dos problemas da análise de estruturas. 
2 COMPORTAMENTO LINEAR
Como já foi dito antes, a linearidade é uma hipótese aplicada à análise dos 
materiais das estruturas para auxiliar a construir mais equações que dão solução às 
incógnitas das estruturas. Se não fosse assumida essa condição, os deslocamentos 
poderiam ter qualquer tipo de valor aos quais estaria associado um valor de proba-
bilidade de ocorrência, complicando ainda mais os cálculos. A Figura 32 representa 
o significado matemático de uma relação linear entre a força e o deslocamento: 
proporcionalidade, muito diferente de um comportamento não linear que é repre-
sentado por curvas de um grau polinômio maior que 1; um desvio a uma linha reta. 
36
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
FIGURA 32 – COMPORTAMENTO LINEAR E NÃO LINEAR ENTRE FORÇA E DESLOCAMENTO
FONTE: <https://bit.ly/3ql5ZRE>. Acesso em: 3 dez. 2020.
De modo específico, o cumprimento simultâneo de três condições permitirá atri-
buir o comportamento linearmente elástico a uma estrutura (GERE; WEAVER, 1987):
i. O material segue a Lei de Hooke, a relação entre as tensões e as deformações 
é elástica e linear – linearidade no material;
ii. Os deslocamentos da estrutura são pequenos, comparados com dimensões 
das peças estruturais; espessura, comprimento, sendo assim a linearidade 
geométrica. Esta hipótese estabelece que a geometria da estrutura deformada 
não é muito diferente da estrutura original, o que possibilita continuar aplicando 
as condições de equilíbrio no lugar de ser aplicada sobre a deformada;
iii. Não é relevante o efeito axial sobre o momento fletor nos membros. Este último 
requisito implica que, as forças axiais não sejam grandes e que a interação 
desta força com alguma possível deformação, não contribui para incremento 
ou decréscimo do momento fletor atuante. 
FIGURA 33 – EXEMPLO DA HIPÓTESE DE PEQUENOS MOVIMENTOS
FONTE: Cervera e Blanco (2002, p. 64)
Estas hipóteses permitirão:
i. Oferecer solução para o problema estrutural, que satisfaz as condições de equilíbrio 
e de compatibilidade, tendo aplicação para qualquer método de análiseescolhido.
ii. Permitem simplificar postulações do problema estrutural, na indicação de 
equilíbrio tanto compatibilidade.
Segundo Martha (2010), existe um grande número de estruturas civis que 
tem descolamentos pequenos, mas indica um contraexemplo de estrutura na qual 
não é possível adotar essa hipótese, representado pela Figura 34: 
TÓPICO 3 — COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
37
FIGURA 34 – ESTRUTURA COM DESCOLAMENTOS TOTAIS MAIORES
FIGURA 35 – EXEMPLO DE ESTRUTURA COM TENDÊNCIA À INSTABILIDADE OU EQUILÍBRIO 
APÓS DEFORMAÇÃO
FONTE: Martha (2010, p. 96)
FONTE: Martha (2010, p. 103)
Isso não exclui a existência de modelos estruturais que, possivelmente, só 
após a deformação acontecer, alcancem um equilíbrio, como na Figura 35, onde 
se pode observar que quando os momentos atuam, a estrutura dificilmente vai 
encontrar equilíbrio. Após as reações deixar de concorrer no ponto o equilíbrio 
seria atingido, o que deixaria em um estado de iminente instabilidade.
3 PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
Como consequência de postular o comportamento linear, pode ser aplica-
do o conceito de superposição, é dizer, o efeito de um sistema de forças aplicadas 
sobre uma estrutura é igual à somatória dos efeitos produzidos por cada uma 
das forças analisadas individualmente na mesma estrutura. Especificamente, os 
deslocamentos produzidos pela aplicação de forças podem ser produto de uma 
coexistência de deslocamentos produzidos pelas mesmas forças analisadas indi-
vidualmente. A sequência de representação deste princípio, como a combinação 
linear de duas forças isoladas, que produzirão deslocamento final com o efeito 
conjunto da sua existência e mostrado nas seguintes figuras. 
38
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
FIGURA 36 – EFEITO FINAL DE DUAS CARGAS SOBRE UMA VIGA ENGASTADA NO EXTREMO
FONTE: Adaptado de Martha (2010, p. 96)
FONTE: Adaptado de Martha (2010, p. 96)
FIGURA 37 – EQUIVALÊNCIA DE APLICAÇÃO DAS CARGAS DE MODO ISOLADO
Para analisar o efeito individual de toda força, separamos cada uma das forças 
e avaliamos a deslocamento provocado separadamente, como se observa na Figura 37.
FIGURA 38 – RESULTADO FINAL DE DESLOCAMENTO COMO PRODUTO DAS CONSIDERA-
ÇÕES INDIVIDUAIS DAS CARGAS
FONTE: Adaptado de Martha (2010, p. 96)
Outro exemplo com a presença de giro pode ser observado na Figura 39. 
Nela, a atuação conjunta de A1 e A2 gera uma condição de deformada D, que é 
uma equivalência quando são analisados o momento e a força de modo separado, 
cada um gerando uma deformada singular.
TÓPICO 3 — COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
39
FIGURA 39 – EXEMPLO DE PRINICÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO CONSIDERANDO O GIRO
FONTE: Adaptado de Gere e Weaver (1987, p. 121)
O princípio de superposição não só indica que os deslocamentos lineares pro-
duzidos por forças são produto de uma somatória de forças determinada, também indica 
que existirão deslocamentos angulares por causa dos momentos que atuem nela.
IMPORTANT
E
3.1 EFEITO DA TEMPERATURA E RECALQUE EM APOIOS
Em uma estrutura isostática, a variação de temperatura produz, exclusi-
vamente, deslocamentos devido a que, na estática básica, os corpos são conside-
rados rígidos. Abaixo dessa mesma condição estão os deslocamentos produzidos 
pelo recalque em apoio, já que vários deles o permitem. Não obstante, numa es-
trutura hiperestática, este tipo de situações gera esforços internos, que devem ser 
contemplados para a análise dos esforços, deslocamentos ou deformações, como 
é representado na Figura 40.
40
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
FIGURA 40 – EFEITO DA TEMPERATURA SOBRE A) ESTRUTURA ISOSTÁTICA, B) ESTRUTURA 
HIPERESTÁTICA
FONTE: Martha (2010, p. 105)
Você, acadêmico, poderia se perguntar: com que frequência acontece o recal-
que ou a variação de temperatura nas estruturas? Pois a realidade é que com muita 
frequência. Mesmo que o encontro entre vigas e pilares, ou o próprio solo, seja con-
siderado um ponto rígido, está susceptível a assentamentos parciais diferenciais, que 
causam esforços internos na peça. Assim mesmo, durante o processo de cura do con-
creto com as condições ambientais e o volume de concreto pode gerar tensões internas 
nos membros estruturais, devido a isso é importante que as considerações construtivas 
sejam tomadas em conta durante o planejamento dos projetos e de modo vice-versa. 
A visualização de possibilidade de recalque unitário no apoio também é 
uma hipótese que pode ser aplicada para achar reações e/ou esforços na estrutu-
ra, encaixado dentro de métodos de deslocamento ou de flexibilidade. 
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Uma estrutura hiperestática pode ser resolvida aplicando equações de 
compatibilidade quando possui um grau hiperestático 1 ou 2. E pode ser reali-
zada uma única substituição, de modo que uma condição de deslocamento ou 
rotação seja conhecida. Apresentaremos dois exemplos, considerando que quan-
do surgem muitas incógnitas outros métodos (que serão explicados em unidades 
próximas) serão necessários. 
EXEMPLO 1
Como temos dito anteriormente, as equações de equilíbrio não são su-
ficientes para determinar as reações nas estruturas hiperestáticas, assim, forças 
desconhecidas aparecerão nas equações, enquanto nas condições de compatibi-
lidade aparecerão deslocamentos desconhecidos, que serão utilizados para rela-
cionar força-deformação para expressar as forças desconhecidas em termos dos 
deslocamentos desconhecidos ou vice-versa. O sistema resultante de equações 
com um único tipo de incógnita que permite resolver as incógnitas, que depois 
são substituídas nas relações fundamentais para determinar as características de 
resposta faltantes da estrutura.
 
Vamos considerar o exemplo da seguinte figura:
TÓPICO 3 — COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
41
FIGURA 41 – EXEMPLO DE APLICAÇÃO
FONTE: Adaptado de Kassimali (2015, p. 448)
FONTE: Kassimali (2015, p. 448)
FIGURA 42 – DIAGRAMA DO CORPO LIVRE
O digrama do corpo livre no ponto A, pode ser estabelecido na seguinte 
Figura 42:
As equações de equilíbrio estão dadas assim:
, ou seja
(EQ 1.19)
(EQ 1.18)
42
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
Agora, considerando as equações de compatibilidade podem ser 
relacionados os deslocamentos verticais dos três elementos no ponto A com o 
deslocamento vertical do ponto A, assim, pode ser criado um diagrama de 
deslocamento como mostra a Figura 43, assumindo que esse deslocamento é 
pequeno, podemos indicar que os deslocamentos δAB e δAC são simétricos:
δAB = δAC = Δ sin θ = 0.8 Δ
δAB = δAC = 0.8δAD
(EQ 1.20)
(EQ 1.21)
(EQ 1.22)
δAD = Δ
Fazendo uma substituição de EQ 1.21 em EQ 1.20 podemos obter a relação 
para a deformação axial do elemento:
FIGURA 43 – DIAGRAMA DE DESLOCAMENTO
FONTE: Adaptado de Kassimali (2015, p. 448)
Da mesma forma podemos expressar a equação anterior em termos das for-
ças axiais nos elementos utilizando as relações de força-deformação dos elementos:
(EQ 1.25)
(EQ 1.26)
(EQ 1.24)
(EQ 1.23)
Relacionando novamente com a deformação, podemos obter, substituindo 
na EQ 1.22:
TÓPICO 3 — COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
43
Podemos determinar a força axial nos três elementos da armação resol-
vendo simultaneamente a última equação gerada (EQ 1.26) com as equações de 
equilíbrio iniciais (EQ 1.19). Como resultado teremos a representação na Figura 
44 e seus valores são: 
FAB = FAC = 61.68 t
FAD = 128.5 t
(EQ 1.27)
(EQ 1.28)
Pelo anterior, as deformações também podem ser substituídas ingressando 
os valores obtidos na EQ 1.24 e EQ 1.25 e seus valores seriam:
δAB = δAC = 0.041 m e δAD = 0.051 m
FIGURA 44 – REPRESENTAÇÃO FINAL DAS FORÇAS
FONTE: Adaptado de Kassimali (2015, p. 448)
Finalmente, substituindo valores de deformação axial nas condições de 
compatibilidade iniciais, podemos encontrar o valor do deslocamento no ponto 
A: Δ = 0.051 m.
EXEMPLO 2
Na seguinte viga, vista na Figura 45, o valor do momento de engastamento 
quer ser conhecido.Considere EI = 3.5 x 105 T . m2. Aplique as condições de 
superposição e compatibilidade para determinar dito valor. 
FIGURA 45 – EXEMPLO DE VIGA COM GRAU DE HIPERESTATICIDADE 1
FONTE: O autor (2021)
44
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
Identificamos, mentalmente, que a viga tem quatro reações e que com au-
xílio das equações de equilíbrio podemos conhecer três delas, entretanto, também 
sabemos que no ponto A, mesmo existindo um momento, não é possível a rota-
ção. Esse será nosso ponto de partida. Faremos uma substituição do momento 
existente como se fosse uma carga, tal como Figura 46 indica.
FIGURA 46 – EQUIVALÊNCIA DO SISTEMA
FONTE: O autor (2021)
A superposição dos efeitos de rotação produzidos pelo momento da car-
ga distribuída, φA (5), e do momento substituído, φA (M), devem causar o mesmo 
efeito na rotação no ponto A, φA: ser nula. A compatibilidade é representada assim: 
φA = φA (5) + φA (M) = 0 (EQ 1.29)
(EQ 1.30)
(EQ 1.31)
(EQ 1.32)
Pesquisando nas tabelas de flechas e deflexões (inclinação ou rotação) de 
vigas biapoiadas, poderemos obter a rotação máxima no ponto A pela ação da 
carga distribuída e do momento à esquerda; as rotações atribuídas a cada situa-
ção, podemos definir cada uma delas assim: 
Sendo assim: 
Do qual podemos definir que
M = - 10 T . m
As tabelas de vigas biapoiadas com variação no tipo de apoio é um conheci-
mento adquirido no estudo de resistência de materiais. Invitamos você a visitar este link 
para lembrar: https://issuu.com/leandrosousaeng/docs/u_-_apendice_d_flechas_vigas2.
IMPORTANT
E
TÓPICO 3 — COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
45
EXEMPLO 3
Para a estrutura especificada na Figura 47 é solicitado determinar as rea-
ções nos apoios.
FIGURA 47 – EXEMPLO COM PÓRTICO
FONTE: Adaptado de Unican (2013, p. 17)
Para resolver devemos considerar duas condições importantes: 
✔ O giro que é produzido no ponto C deve ser igual na viga quanto no pilar.
✔ Realizar o equilíbrio no nó C.
Aplicando a compatibilidade no ponto C, pode ser separado o pórtico em 
duas partes, tal como a Figura 48 indica. Assim, as rotações relativas a cada parte 
poderão ser igualadas.
Na viga BC – teremos que:
(EQ 1.33)
(EQ 1.34)
(EQ 1.35)
Enquanto no pilar AC – teremos que:
Então, 
46
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
FIGURA 48 – SEPARAÇÃO DO PÓRTICO
FONTE: Adaptado de Unican (2013, p. 17)
Agora, considerando o equilíbrio de momentos no ponto C, identificamos 
as partes, resumidas na Figura 49. 
(EQ 1.36)
(EQ 1.40)
(EQ 1.38)
(EQ 1.37)Ou seja, 
De modo que, 
FIGURA 49 – EQUILÍBRIO GERAL DE MOMENTOS
FONTE: Adaptado de Unican (2013, p. 17)
Para o cálculo das reações, determinamos o equilíbrio em cada membro, 
como indica a Figura 50: 
 (EQ 1.39), que usando a (EQ 1.38) 
permite transformar:
TÓPICO 3 — COMPORTAMENTO LINEAR E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
47
Podemos determinar o valor de YA, aplicando:
(EQ 1.41)
(EQ 1.42)Assim usando a (EQ 1.39), 
FIGURA 50 – EQUILÍBRIO NOS MEMBROS
FONTE: Adaptado de Unican (2013, p. 18)
FIGURA 51 – DIAGRAMAS ESTIMADOS
Isso nos permite criar o diagrama de momentos, cortante e axial estimados assim: 
FONTE: Adaptado de Unican (2013, p. 19)
48
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• É importante de assumir um comportamento linear nos materiais das estruturas.
• Pode ser registrada uma equivalência de um sistema de cargas para vários ana-
lisados individualmente, aplicando o princípio de superposição de efeitos.
• A variação de temperatura e o recalque de apoio não produzem efeitos de 
esforços internos em estruturas isostáticas. 
• A separação de tipo de cargas atuantes para construção dos diagramas é im-
portante para compreensão do efeito individual delas, porém, é importante 
lembrar que a estrutura está submetida a um efeito combinado.
49
1 Com a seguinte figura, crie um modelo sequencial de superposição de efei-
tos que possa dar resposta ao problema de hiperestaticidade:
AUTOATIVIDADE
2 Com os seguintes itens, intenta-se construir um parágrafo para condensar 
a informação sobre comportamento linear das estruturas e as variáveis que 
involucra. Analise as sentenças a seguir: 
I- Dentro do regime elástico a tensão e a deformação são linearmente dependentes. 
II- De modo que, a deformação e a tensão não são proporcionais. 
III- E as tensões, no plano de qualquer seção da estrutura, e os esforços inter-
nos que atuam neste plano, também, são linearmente dependentes. 
IV- Pelo tanto, é possível dizer que as deformações e os deslocamentos são linear-
mente dependentes, exclusivamente, dos esforços que atuam nas estruturas.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) As sentenças I, II e IV estão corretas.
b) ( ) As sentenças II, III e IV estão corretas.
c) ( ) As sentenças I e II estão corretas.
d) ( ) As sentenças I, III e IV estão corretas.
3 A seguinte figura mostra uma situação de carregamento que pretende ser 
analisada a partir de duas estruturas, que em teoria darão lugar ao carrega-
mento original. Realmente, a parte b e c dão lugar à parte a?
50
a) ( ) Sim, o extremo esquerdo das situações dá lugar (em somatória) à defor-
mada da parte a.
b) ( ) Sim, observando a deformada, b e c são congruentes para a parte b.
c) ( ) Não, o extremo direito da parte b e c deveriam permitir o deslocamento, 
mas não permitem.
d) ( ) Não, nenhuma dessas estruturas poderá dar lugar à configuração original. 
4 As estruturas existem para receber as diversas cargas que pretendem circu-
lar o permanecer durante a vida útil de uma edificação. O comportamento 
das deformações que nela acontecem, sua deformada, sempre será uma re-
lação linear dos materiais e as forças?
 
5 A análise de estruturas obedece a uma série de procedimentos e teoremas 
para intentar aproximar os modelos à realidade da estrutura. Nesse senti-
do, qual é a necessidade de introduzir o conceito de superposição de efeitos 
na análise das estruturas?
51
TÓPICO 4 — 
UNIDADE 1
ANÁLISE APROXIMADA
1 INTRODUÇÃO
Existem alguns métodos que permitem analisar armaduras e pórticos, base-
ados no comportamento estrutural, que se aproximam aos valores de força procu-
rados, porém ao não serem considerados métodos analíticos, aplicam certas simpli-
ficações que visam dar entendimento de qual análise aplicado é mais conveniente.
Quando se projeta uma estrutura inicialmente não são conhecidas as di-
mensões dela e por isso não pode ser aplicada uma análise estática sobre ela. De-
vido a isto, se pensa em uma estrutura que possa ser estaticamente determinada, 
levando a determinar um desenho preliminar dos elementos da estrutura e mais 
que isso proporciona informação sobre o comportamento de uma estrutura sob 
carga (HIBBELER, 2012). 
Mesmo assim, é importantíssimo apontar que todos os métodos acabam 
sendo aproximados porque as condições reais das cargas, a geometria, o modulo 
do material e a resistência de juntas ou suportes não são conhecidas absolutamente. 
Quando aplicados estes métodos de aproximação, estaria introduzindo uma 
porcentagem de erro nos cálculos de um possível sistema analisado analiticamente, assim, 
não quer dizer que esteja errado aplicar, porém não é válido para sistemas com muitos 
elementos de grande envergadura.
DICAS
2 ARMADURAS
A Figura 52 mostra um tipo comum de armadura, usada com frequência 
como suporte lateral em prédios ou posicionadas em alguma ponte. Indicando 
que, ela não é indicada como elemento principal e que por ele pode ser analisada 
por um método aproximado. Se é eliminada uma diagonal em cada um dos três 
painéis, a armadura se torna estaticamente determinada, então buscamos deixá-la 
estaticamente determinada para poder analisá-la. Para isso serão inseridas algumas 
hipóteses, com respeito às diagonais, uma das quais possui um estado de tensão e 
52
UNIDADE 1 — GENERALIDADES DA INDETERMINAÇÃO
consequentemente, a sua correspondente estará em estado de compressão. A força 
cortante do painel V será suportada