Questão resolvida - Limite de Variável Complexa - Calcule o limte_ Limite(z^2-1)_(z-i) com x tendendo a i - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o limte:
lim
 
x i→
z - 1
z - i
4
 
Resolução:
Subtituindo o limite; = = = =lim
 
x i→
z - 1
z - i
4 i - 1
i - i
( )4 - 1
0
-1
4
1 - 1
0
0
0
 
Zero sobre zero não existe, é uma indeterminação, porém, é possível fatorar o numerador 
possibilitando simplificar a expressão e retirar a indeterminação; 
Primeiro, Fazemos: z - 1 = z - 14 2
2
( )2
 Aplicando a regra da diferença de quadrados : z - 1 = z - 1 z + 1 2
2
( )2 2 2
 
Com isso, o limte fica: =lim
 
x i→
z - 1
z - i
4
lim
 
x i→
z - 1 z + 1
z - i
2 2
 
Veja que ainda não é possível simplificar termos, vamos, usando propriedade de números 
complexos, fatorar o termo ;z + 12
 
, das propriedades de números complexos, temos z + 1 = 0 z = - 1 z = ±2 → 2 → -1
que: , então; , com isso, a fatoração do termo fica: = i-1 z = ±i z + 1 = z + i z - i2 ( )( )
 
O limite fica: = = z - 1 z + ilim
 
x i→
z - 1 z + 1
z - i
2 2
lim
 
x i→
z - 1 z + i z - i
z - i
2 ( )( )
( )
lim
 
x i→
2 ( )
 
z - 1 z + i = i - 1 i + i = - 1 2i = -1 - 1 2ilim
 
x i→
2 ( ) 2 ( ) -1
2
( ) ( )( )
= -2 ⋅ 2i = - 4i
 
 
 
 
(Resposta )