1_Exercicios_de_unioes_por_adaptacao_de_forma

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Exercícios de união por adaptação de forma 1/set/2021 
 
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• Nos exercícios as dimensões estão fornecidas em mm e as figuras estão fora de escala 
• Os diâmetros dos eixos apresentados nos desenhos são dprojeto 
• De tal maneira que o critério de seleção dimensional deve ser: d1 ≥ dprojeto 
• Se for indicado no enunciado o dusinagem, o critério de seleção passa a ser: d2  dusinagem 
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1. Polia de ferro fundido fixada por chaveta retangular 
Para a transmissão segura do torque apresentado no gráfico, a polia de ferro fundido 
(EUAF-0001, item 3) deve ser fixada ao eixo (EUAF-0001, item 1) por meio de uma 
chaveta retangular. Sabe-se que o sistema de transmissão está sujeito à choques fortes. 
 
 
a) Especifique a chaveta de aço 
para realizar a transmissão de 
potência de maneira segura. 
b) Verifique a possibilidade de, ao 
invés de utilizar-se uma chaveta 
retangular, realizar a fixação dos 
elementos através de uma chaveta 
meia-lua. 
c) Calcule para um eixo DIN 5472 
temperado, qual seria o máximo 
torque transmitido pela polia para 
carga III, choques fracos. 
 
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2. Alavanca fixada através de uma união DIN 5471 ou chaveta retangular 
O desenho apresentado a seguir descreve uma parte de um sistema de transmissão de 
potência. Deseja-se estudar a fixação da alavanca de aço (item 2) no eixo de aço (item 1) 
para que a transmissão de potência ocorra de maneira segura. 
 
A variação de carga no domínio do tempo é apresentada no gráfico fornecido abaixo. 
 
a) Verifique se uma união DIN 5471:1974, sujeita à choques fortes, com L=50 mm é 
suficiente para a transmissão do esforço mostrado. 
b) Avalie se é possível transmitir os esforços em segurança através de chaveta retangular 
DIN 6885-1:1968-08 com L=20 mm. 
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3. Polia de ferro fundido fixada com chaveta retangular 
A polia de ferro fundido (desenho: EUAF-0003, mostrado abaixo, item 2) deve ser fixada 
ao eixo de aço (EUAF-0003, item 1) por meio de uma chaveta retangular. 
 
Considere choques fortes. A variação do torque aplicado é apresentada no gráfico a 
seguir. Dimensione a união. 
 
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4. Tensionador de polia fixado por chaveta meia-lua DIN 6888 série A 
 
5. Eixo entalhado DIN 5463 e dentado DIN 5480-2 
A alavanca de aço (desenho EUAF-0005, mostrado abaixo, item 2) deve ser fixada ao 
eixo (item 1) através de uma união ranhurada. A potência transmitida pela alavanca é de 
1,5 CV a uma rotação de 60 rpm. Considere choques fortes e esforço tipo III. 
 
a) Selecione uma união por eixo entalhado série média para a transmissão do esforço 
acima. 
b) Idem para uma união cujo perfil de evolvente segue a DIN 5480-2. 
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6. Alavanca com chaveta retangular, DIN 5472 e DIN 5481 
A alavanca de ferro fundido (desenho EUAF-0006, ilustrado abaixo, item 2) deve ser 
fixada no eixo de aço (item 1) classe 8.8 para a transmissão dos esforços mostrados. 
 
Considere carregamentos alternados e choques fracos. Determine o comprimento mínimo 
normalizado que deve ser utilizado para a fixação das peças e transmissão dos esforços. 
Faça alterações no projeto necessárias considerando: 
a) Chaveta retangular, classe 4.6 temperada. 
b) União dentada com centragem interna DIN 5472. 
c) União ranhurada com perfil triangular DIN 5481. 
7. Chaveta retangular 
Um eixo de aço com d=25 mm deve ser fixado a um cubo de engrenagem de ferro fundido 
por meio de uma chaveta retangular. O sistema recebe choques fortes e carga pulsante. 
Selecione a chaveta considerando torque transmitido no valor de: 
 
a) T=25 Nm 
b) T=50 Nm 
c) T=200 Nm 
d) T=60 Nm, carga III e 
choques fortes. 
 
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8. Chaveta retangular 
Considere na extremidade do eixo de aço d=25 mm da figura abaixo, será fixada uma 
engrenagem de aço por meio de uma chaveta retangular. Calcule qual o máximo torque 
transmissível assumindo que o cubo da engrenagem tem largura de 50 mm. O sistema 
está sob carga II e choques fortes. Considere chaveta de aço classe de resistência 6.8. 
 
9. Chaveta retangular 
Um acoplamento de correntes cujo cubo é de aço (d=70 mm e largura de 150 mm) deve 
ser fixado a um eixo de aço por uma chaveta retangular. O sistema suporte choques fortes 
e carga tipo II. a) Selecione a chaveta para um torque de 300 Nm. b) Qual o máximo 
torque que o sistema pode transmitir? 
 
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10. Projeto de chaveta e eixo 
Deseja-se transmitir uma potência de 10 CV a um eixo que gira a 400 rpm por meio de 
uma chaveta retangular de aço, classe de resistência 5.8. O cubo é de aço, com 
comprimento L=2d. Considere carga II e choques fortes. Qual o diâmetro d mais 
adequado e quais as dimensões da chaveta? 
 
11. Questões complementares sobre uniões por adaptação de forma 
a) Considerando uma união por chaveta côncava DIN6881 qual seria o tipo de solicitação 
(as condições de choques e cargas) se a pressão admissível mínima fosse 15MPa e o cubo 
fosse de Ferro Fundido? 
b) Qual seria o material selecionado para a confecção de uma chaveta retangular se fosse 
aplicada uma carga alternada? Considere que a tensão de cisalhamento admissível fosse 
igual 30 MPa. 
c) Quais as diferenças entre cargas I, II e III? 
d) O cálculo estrutural de uma chaveta apontou que o comprimento recomendado da 
mesma fosse de 132 mm. Qual seria seu comprimento normalizado de acordo com a 
tabela de chavetas retangulares e com a DIN3? 
e) Em um projeto determinou-se que a fixação de um acoplamento em um eixo de 
diâmetro 145mm fosse realizado por uma chaveta retangular. O mínimo comprimento 
para a transmissão de esforço foi calculado como 90mm. De acordo com as 
recomendações da norma quais seriam seus comentários? 
f) Quais seriam as especificações dimensionais (bxh) de chavetas retangulares para fixar 
um cubo em um eixo de diâmetro 22mm? E em um de diâmetro 23mm? 
g) O cálculo estrutural de um eixo segundo a teoria da ASME determinou que o diâmetro 
mínimo do mesmo a fim de resistir aos esforços transmitidos é de 17mm. Se a fixação de 
uma embreagem nesse eixo fosse realizada com uma união ranhurada DIN5480-2 quais 
seriam as características dimensionais dessa união? E se a união fosse a DIN5481? 
h) Quantos entalhes possuiria um eixo DIN5472 necessário para fixar um acoplamento 
capaz de transmitir uma potência de 3,5 CV a uma rotação de 50 rpm? 
i) Para um eixo entalhado, qual a diferença conceitual entre diâmetro de projeto e 
diâmetro de usinagem? 
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12. Uniões por adaptação de forma 
 
 
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13. Questões sobre uniões por adaptação de forma e união por interferência 
A potência de entrada fornecida pelo motor (Pmotor) é integralmente transmitida para a 
elevação da massa m. As ecdr estão identificadas com letras maiúsculas. Entre parênteses 
consta o respectivo número de dentes Z. Considere os seguintes 3 eixos, feitos em aço 
classe de resistência12.9 (G=81 GPa): 
• eixo 0: acoplamento X, rolamento 1 (esquerda), A (20), rolamento 2 (direita); 
• eixo 1: rolamento 3 (esquerda), B (60), C (25), rolamento 4 (direita); 
• eixo 2: rolamento 5 (esquerda), D (50), rolamento 6 (direita); acoplamento Y. 
Informações adicionais: mA=4mm; mD=6mm; D=17º. Considere g=10 m/s
2. Os 
desenhos estão fora de escala, dimensões em mm. 
 
Utilize o sistema de transmissão acima para responder as questões listadas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
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a) Nesse caso, qual a máxima carga M que pode ser elevada à uma taxa de 3m/min para 
Pmotor=1,2 HP? 
 
b) Sabendo que a carga tem 3000 kg, especifique a chaveta retangular que une a ecdr de 
aço D. Considere que o eixo 2 tem diâmetro de projeto 140 mm na seção de fixação. 
O sistema opera com carga III e choques fracos. 
 
 
c) Considere o torque no tambor de 9000 Nm. A ecdr A é 
de FoFo e deve ser fixada por eixo DIN5463 (série 
média). O comprimento do contato entre cubo e eixo é 
de 100 mm. Nessa região, o diâmetro de projeto é 30 
mm. Especifique, para esse equipamento, qual a 
recomendação para o binômio: intensidade dos choques 
x tipo de carga. 
 
Responda as questões “d” e “e” somente após estudar o capítulo de uniões por 
interferência. Coloque-se na posição de responsável pelo departamento de engenharia da 
empresa que produz esse redutor. O diâmetro de projeto do eixo 1, que é maciço, na região 
de fixação da engrenagem é 50mm. Sabe-se que o cubo (H7) sofreu brochamento fino e 
o eixo (s5) é retificado por acabamento finíssimo. Ambas peças são de aço (E=200 GPa; 
=0,3; classe de resistência 4.6). Adote valores intermediários quando necessário. 
 
d) Qual máximo torque que pode ser transmitido pela engrenagem B (Qe=0) cuja largura 
é 75mm, sabendo que ela é montada por interferência axial? 
 
e) Calcule os coeficientes de segurança do cubo e do eixo. 
 
 
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14. Questões sobre uniões por adaptação de forma 
A alavanca de ferro fundido da figura abaixo deve ser fixada em um eixo de aço classe 
8.8 para a transmissão dos esforços mostrados no desenho. Considere carregamento 
alternado e choques fracos. Determine a distância L mínima que deve ser considerada 
para o desenho da alavanca considerando: 
a) chaveta DIN 6885, temperada, confeccionada em aço classe de resistência 4.6 
b) união entalhada DIN 5472 
c) união dentada DIN 5481 
 
15. Questões sobre uniões por adaptação de forma 
A engrenagem de aço da figura abaixo transmite uma potência de 52 kW@1180 rpm e é 
montada no eixo através de um ajuste DIN 5462. Para resistir com segurança aos esforços 
decorrentes da transmissão de potência, o eixo foi projetado para ter um diâmetro de 34 
mm. Selecione o ajuste e calcule o comprimento L utilizando choques fracos e carga III. 
 
 
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16. Questões sobre uniões por adaptação de forma 
As engrenagens de aço do eixo de transmissão de aço, mostrados a seguir, são fixadas 
através das uniões indicadas. Determine a distância L necessária para o ajuste DIN 5481. 
Considere choques fortes e carga III. 
 
 
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Respostas parciais e respostas finais dos exercícios 
Exercício 1: Considerações: dprojeto=45mm, tabela de chaveta retangular – chaveta 14x9. Padm=40 MPa. 
a) Pelo critério do esmagamento L=0,0936m. Porém o cubo não comporta tal medida então utilizam-se 2 
chavetas dispostas à 120° com altura h=9 mm, largura b=14 mm, Comprimento L=63 mm. Por 
cisalhamento determina-se que tensão de cisalhamento atuante é 13,6 MPa então seleciona-se aço classe de 
resistência 4.6. 
b) Para chavetas meia lua não é possível utilizar em eixo cujo diâmetro é superior à 38 mm. 
c) Eixo entalhado DIN 5472, com dprojeto=45 mm. O critério de seleção dimensional deve ser: d1 ≥ dprojeto , 
então: d1=46 mm; d2=52 mm; Z=6 entalhes. Então r=24,5mm; h=3 mm. Por ser eixo temperado, cubo de 
Ferro Fundido, choques fracos e carga III: padm=1,5x30=45 MPa. O comprimento do contato é L=75 mm. 
Aplicando-se o critério do esmagamento, o máximo torque é: Tmax=1116,3 Nm. 
Exercício 2: a) Considerações: não existe d1=38 mm na tabela de eixos entalhados então utiliza-se d1=42 
mm então eixo com Z=4 entalhes; d1=42 mm; d2=48 mm. padm=35 MPa. Torque máximo é calculado pelo 
binário aplicado. O comprimento proposto é suficiente pois a pressão atuante de 19,75 MPa é menor que a 
admissível 35 MPa. Uma outra forma de responder o exercício seria usar o L como uma incógnita. O cálculo 
culminaria com L ≥ 28,2 mm. Como o cubo dispõe de 50 mm, seria possível transmitir com segurança o 
esforço apresentado no enunciado. Uma forma adicional de resolver esse exercício seria calcular qual o 
torque que causaria esmagamento nos entalhes. Nesse caso, ao isolar a variável T, constatar-se-ia que para 
não haver o esmagamento T≤354,38 Nm. Como torque atuante é 200 Nm, pode-se afirmar que é possível 
transmitir os esforços aplicados em segurança. 
b) O comprimento de L=20 mm é inferior ao comprimento mínimo especificado na norma DIN 6885-
1:1968-08. Portanto esse comprimento não é suficiente para fazer a transmissão de esforços em segurança. 
 
Exercício 3: Considerações: Cubo FoFo, choques fortes e carga II: padm=40 MPa. Torque máximo: T=200 
Nm, Lc=75 mm. União DIN6885, d=35 mm: chaveta 10x8. b=10 mm; h=8 mm; h1=5 mm; Lmin=22 mm e 
Lmax=110 mm. Por esmagamento: L ≥ 67,6 mm. Ao normalizar: L=70 mm. Por cisalhamento determina-se 
que tensão de cisalhamento atuante é 16,9 MPa então seleciona-se aço classe de resistência 4.6. 
 
 
Exercício 4: Cubo de aço, choques fracos e carga III: padm=33 MPa (chaveta côncava). Como é temperada: 
padm=33x1,5=49,5 MPa. DIN6888, d=35mm, L=43,08 mm, série A. b=10mm; h=16mm; h1=12,8mm; 
D=45mm. Pelo critério do esmagamento Tmáx=119,4 Nm. Por cisalhamento determina-se que tensão de 
cisalhamento atuante é 15,8 MPa então seleciona-se aço classe de resistência 4.6. 
 
Exercício 5: a) Eixo entalhado série média: d1=38mm. DIN 5463 não possui nenhuma seção normalizada. 
Utiliza-se o imediatamente acima para não diminuir a resistência da seção transversal do eixo. d1=42mm; 
d2=48mm e Z=8 entalhes. Cubo de aço, choques fortes e carga III: padm=35 MPa. Cálculo do torque 
transmitido pela união: 175,5 Nm. Pelo critério do esmagamento L=13mm. 
b) Eixo dentado DIN5480-2 com d1=38 mm; d2=42 mm; Z=21 dentes; r=19,8 mm; h=1,8 mm. Cubo de 
aço, choques fortes e carga III: padm=35 MPa. Cálculo do torque transmitido pela união: 175,5 Nm. Pelo 
critério do esmagamento L=9 mm. 
 
Exercício 6: a) Chaveta DIN6885, classe 4.6 temperada: como o diâmetro do eixo é 52 mm então b=16 
mm; h=10 mm; h1= 6mm; Lmin=45 mm e Lmax=180 mm. O torque transmitido é 163Nm (note que para o 
cálculo do torque deve-se levar em consideração a força de 350N aplicada à 280mm do CIR mais a força 
de 500 N aplicada à 130mm do CIR). Aplicando-se o critério do esmagamento: cubo de ferro fundido, 
choques fracos e carga alternada III: padm=30 MPa (chaveta retangular). Como é temperada: 
padm=30x1,5=45 MPa. Os cálculos apresentam Fesm=5927,3 N e L maior ou igual a 26,4mm. Aplicando-se 
o critério do cisalhamento: chaveta de aço classe 4.6 e carga alternada III: adm=20 MPa. Os cálculos 
apresentam Q=6269,23 N e L maior que 19,6 mm. O critério do esmagamento é o mais severo e o 
comprimento calculado (superior a 26,4mm) seria o escolhido para normalização. Entretanto esse valor é 
inferior ao valor de comprimento mínimo previsto pela norma DIN6885. Dessa maneira assume-se o 
comprimento mínimocomo o escolhido. L=45mm. 
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b) Eixo entalhado DIN5472, centragem interna: d1=52 mm; d2=60 mm; b=14 mm; Z=6 entalhes. Cubo de 
ferro fundido, choques fracos e carga III: padm=30 MPa. Torque transmitido pela união: 163Nm. Pelo 
critério do esmagamento calcula-se Fesm=1293,65 N. Assim L deve ser maior do que 10,8mm. Eixos 
entalhados e dentados não devem ser verificados por cisalhamento. Normalizando pela DIN3 escolhe-se 
L=11mm. 
c) União ranhurada com perfil triangular DIN 5481 d1=55 mm; d2=60 mm; r=28,8 mm; h=2,5 mm; Z=41 
dentes. Cubo de ferro fundido, choques fracos e carga III: padm=30 MPa. Torque transmitido pela união: 
163 Nm. Pelo critério do esmagamento calcula-se Fesm=185 N. Assim L deve ser maior do que 2,5 mm. 
Eixos entalhados e dentados não devem ser verificados por cisalhamento. Utilizando a tabela de 
comprimentos normalizados escolhe-se L=6 mm. Os comprimentos dos eixos são, conforme esperado, 
muito menores do que o comprimento mínimo da chaveta. Isso ocorre pois os mesmos são capazes de 
transmitir torques mais elevados do que as chavetas. Então, para o mesmo torque, o comprimento necessário 
dos eixos é menor do que o da chaveta. 
 
Exercício 7: a) como o diâmetro do eixo é 25 mm então b=8 mm, h=7 mm, h1=4 mm, Lmin=18 mm e 
Lmax=90 mm. O torque transmitido é 25 Nm. Aplicando-se o critério do esmagamento: cubo de ferro 
fundido, choques fortes e carga pulsante II: padm=40 MPa. Calculando L conclui-se que deva ser maior ou 
igual a 13mm. Normalizando: L=18mm (pois o mínimo é 18mm). Aplicando-se o critério do cisalhamento 
(usando o L calculado como 13mm): calcula-se que a adm deva ser maior ou igual a 19,3 MPa (na tabela o 
valor imediatamente superior é de 40 MPa relativo a uma chaveta de aço 4.6 sob carga II). Seleciona-se 
uma chaveta 8x7, L=18mm, de aço classe de resistência 4.6. 
b) Repetem-se os cálculos acima porém com torque de 50 Nm. O valor de L necessário é 26 mm. 
Normalizando-se pela tabela de chavetas, adota-se L=28 mm. Aplicando-se o critério do cisalhamento com 
o L de 28 mm calcula-se que a adm deva ser maior ou igual a 17,9 MPa (na tabela o valor imediatamente 
superior é de 40 MPa relativo a uma chaveta de aço 4.6 sob carga II). Então seleciona-se uma chaveta 8x7, 
L=28mm, de aço classe de resistência 4.6. 
c) Repetem-se os cálculos do item a porém com torque de 200 Nm. O valor de L necessário seria de 103,9 
mm. Porém está acima do máximo recomendado. Então empregam-se duas chavetas dispostas a 120º. De 
acordo com a regra, multiplica-se o valor mínimo por 2/3. Assim calcula-se um L de 69,3 mm. 
Normalizando: L=70 mm. Aplicando-se o critério do cisalhamento com o L de 103,9 mm calcula-se que a 
adm deva ser maior ou igual a 19,3 MPa (na tabela o valor imediatamente superior é de 40 MPa relativo a 
uma chaveta de aço 4.6 sob carga II). Então selecionam-se duas chavetas dispostas a 120º, perfil 8x7, 
L=70mm, de aço classe de resistência 4.6. 
d) critério do esmagamento: cubo de ferro fundido, choques fortes e carga III: padm=20 MPa. Calculando L 
conclui-se que deva ser maior ou igual a 62,3 mm. Normalizando: L=63 mm. Aplicando-se o critério do 
cisalhamento: calcula-se que a adm deva ser maior ou igual a 9,6 MPa (na tabela o valor imediatamente 
superior é de 20 MPa relativo a uma chaveta de aço 4.6 sob carga III). Seleciona-se uma chaveta 8x7, L=63 
mm, de aço classe de resistência 4.6. 
 
Exercício 8: Os dados dimensionais da chaveta são os mesmos do item a do exercício 7. Aplicando o 
critério do esmagamento (padm=80 MPa), calcula-se Fesm=14kN. Então o torque máximo parcial é T=192,5 
Nm. Aplicando o critério do cisalhamento (adm=64 MPa), calcula-se Q=25,6 kN. Então o torque máximo 
parcial é T=320 Nm. Considerando-se os dois critérios, deve-se limitar o torque do sistema pelo 
esmagamento. Tmax=192,5 Nm. 
 
Exercício 9: Chaveta retangular 
a) como o diâmetro do eixo é 70 mm então b=20 mm, h=12 mm, h1=7,5 mm, Lmin=56 mm e Lmax=220 mm. 
O torque transmitido é 300 Nm. Aplicando-se o critério do esmagamento: cubo de aço, choques fortes e 
carga pulsante II: padm=80MPa. Calculando L conclui-se que deva ser maior ou igual a 17,12mm. Está 
abaixo do mínimo recomendado então seleciona-se o mínimo: L=56 mm. Aplicando-se o critério do 
cisalhamento: calcula-se que a adm deva ser maior ou igual a 7,7 MPa (na tabela o valor imediatamente 
superior é de 40 MPa relativo a uma chaveta de aço 4.6 sob carga II). Seleciona-se uma chaveta 20x12, 
L=56 mm, de aço classe de resistência 4.6. 
b) O máximo torque será transmitido quando utilizarmos uma chaveta que possui o maior comprimento 
possível (existem 150mm disponíveis no cubo). Deve-se escolher o maior valor recomendado de chavetas 
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até 150 mm. Seleciona-se L=140 mm. No esmagamento temos Fesm=67,2 kN e Tmax parcial=2452,8 Nm. No 
cisalhamento Q=112 kN e Tmax parcial=3920 Nm. Então limita-se o torque à T=2452,8 Nm. 
 
Exercício 10: Projeto de chaveta e eixo 
Esse exercício requer certo tempo para ser realizado uma vez que sua solução não é direta. Deve-se assumir 
algumas variáveis e testar as soluções. Com as restrições impostas define-se o conjunto de soluções. De 
mesma forma como é feito em grande parte dos projetos mecânicos. De fato o projeto de eixos é muito 
mais complexo e abrangente do que simplesmente definir o eixo baseado na chaveta. Inclusive o projeto de 
eixos é feito segundo os critérios da ASME evitando que essa peça sofra fadiga. Porém no início do curso 
os alunos ainda não foram apresentados à teoria de fadiga tampouco ao projeto de eixos. 
Calculando-se o torque que deve ser transmitido: T=175,7 Nm (fator de conversão 1cv=736W). 
Pelo critério do esmagamentos somente a chaveta de perfil 8x7 seria capaz de transmitir o torque necessário 
e respeitar as restrições. Resposta: 44 mm < L8x7 < 60 mm e 22 mm < deixo < 30 mm. 
O L necessário seria algum valor entre 39mm e 51 mm (cálculo feito utilizando-se o critério do 
esmagamento para dmin e dmax da tabela de dimensões de chavetas). Porém como o dmin é 22 mm o 
comprimento deve ser o dobro. Então a chaveta deveria ter entre 44mm e 60mm. E o diâmetro deveria ser 
entre 22mm e 30mm. 
Uma planilha de cálculo foi feita para simular todas as opções. Os valores de Lmin, Lmax, dmin, dmax, b, h e h1 
são extraídos das tabelas dimensionais. As colunas L=2*dmin e L=2*dmax foram calculadas de acordo com 
essa fórmula. A coluna L> foi calculada isolando-se o valor de L no critério do esmagamento e usando o 
dmax como o diâmetro. A planilha foi feita apenas para mostrar aos alunos que somente a 8x7 poderia servir. 
 
 
Exercício 11: Questões complementares 
a) Deve-se consultar a tabela de pressão admissível para chavetas, eixos entalhados e dentados. Como o 
enunciado prevê que a mínima deve ser 15 MPa e o cubo é de Ferro Fundido encontra-se uma padm de 
20MPa (o primeiro valor imediatamente superior). Assim na coluna de tipo de solicitação determina-
se que essa união pode ser sujeita a choques fracos e carga III. 
b) Com as informações do texto carga alternada (carga) e a tensão de cisalhamento admissível de 30 MPa 
consulta-se a tabela de tensão de cisalhamento admissível e escolha-se um valor prático de 32 MPa (o 
primeiro valor imediatamente superior). Assim na coluna material da chaveta determina-se aço classe 
de resistência 6.8 (limite de resistência 600 MPa e de escoamento 480 MPa). 
c) Carga I: estática (módulo e sentido constantes no domínio do tempo. Carga II: pulsante (módulo 
variável e sentido constante no domínio do tempo. Carga III: alternada (módulo e sentido variam no 
domínio do tempo. 
Lmin Lmax L=2*dmin L=2*dmax dmin dmax b h h1 L> Serve?
6 20 12 16 6 8 2 2 1,2 510,8 Não. L necessário está forados limites.
6 36 16 20 8 10 3 3 1,8 268,7 Não. L necessário está fora dos limites.
8 45 20 24 10 12 4 4 2,5 168,9 Não. L necessário está fora dos limites.
10 56 24 34 12 17 5 5 3 95,0 Não. L necessário está fora dos limites.
14 70 34 44 17 22 6 6 3,5 61,0 Não. O d seria 31 mm e estaria fora.
18 90 44 60 22 30 8 7 4 38,6 Sim
22 110 60 76 30 38 10 8 5 27,5 Não. O d seria 13 mm e estaria fora.
28 140 76 88 38 44 12 8 5 23,9 Não. L necessário está fora dos limites.
36 160 88 100 44 50 14 9 5,5 18,6 Não. L necessário está fora dos limites.
45 180 100 116 50 58 16 10 6 14,4 Não. L necessário está fora dos limites.
50 200 116 130 58 65 18 11 7 11,8 Não. L necessário está fora dos limites.
56 220 130 150 65 75 20 12 7,5 9,4 Não. L necessário está fora dos limites.
63 250 150 170 75 85 22 14 9 7,1 Não. L necessário está fora dos limites.
70 280 170 190 85 95 25 14 9 6,4 Não. L necessário está fora dos limites.
80 320 190 220 95 110 28 16 10 4,8 Não. L necessário está fora dos limites.
90 360 220 260 110 130 32 18 11 3,6 Não. L necessário está fora dos limites.
100 400 260 300 130 150 36 20 12 2,8 Não. L necessário está fora dos limites.
150 170 42 22 13 2,3
170 200 45 25 15 1,7
200 230 50 28 17 1,3
230 260 56 32 20 1,0
260 290 63 32 20 0,9
290 330 70 36 22 0,7
330 380 80 40 25 0,6
380 400 90 45 28 0,5
400 500 100 50 31 0,3
Valores dimensionais Critério do esmagamento
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16 
 
d) Dado que o comprimento calculado é de 132 mm sua normalização de acordo com a tabela de chavetas 
retangulares seria de 140 mm e de acordo 135 mm com a DIN3. 
e) O texto propõe fixar um acoplamento em um eixo de diâmetro 145mm com uma chaveta DIN 6883 
cujo mínimo comprimento calculado é 90mm. De acordo com as prescrições estabelecidas nas tabelas 
para esse diâmetro de eixo deve-se usar uma chaveta 36x20 (bxh). Para essa seção o comprimento 
recomendado varia entre 100 e 400 mm. Por isso deve-se verificar se o rasgo no eixo comporta uma 
chaveta com L=100 mm. Esse é o mínimo permitido. 
f) As especificações dimensionais da seção (bxh) de chavetas retangulares para fixar um cubo em um 
eixo de diâmetro 22 mm seria 6x6. Já para um eixo de diâmetro 23 mm seria 8x7. 
g) O cálculo estrutural de um eixo segundo a teoria da ASME determinou d=17 mm. Nesses casos o 
engenheiro deve saber que esse é diâmetro mínimo do eixo para que o mesmo resista aos esforços 
transmitidos. Se a fixação de uma embreagem fosse realizada com uma união ranhurada DIN5480-2 
deve-se procurar nas tabelas um d1≥17mm. Então a união escolhida seria d1=17 mm; d2=20 mm; Z=12 
dentes e m=1,6 mm. Se a união fosse a DIN 5481 adota-se d1=17 mm; d2=20 mm; Z=33 dentes e 
=60. 
h) Uma união realizada por eixo entalhado DIN 5472 sempre tem 6 entalhes independente das condições 
de uso. O número de entalhes é determinado pela norma DIN que rege o projeto desse tipo de elemento. 
i) No projeto de um eixo pelo método da ASME calcula-se o diâmetro mínimo que o eixo deve ter para 
resistir aos esforços. Dessa forma, se o enunciado te fornecer o diâmetro de projeto, deve-se selecionar 
um eixo ranhurado que tenha d1>dprojeto. Caso o enunciado forneça o diâmetro de usinagem permite-se 
que no processo de confecção do eixo, seja retirado material. Então dinterno<dusinagem. 
 
Exercício 12: Uniões 
a) Por se tratar de uma chaveta meia lua com deixo=20 mm, temos que: L=?; b=6 mm; h- h1=2,4 mm 
(independe); Lcubo=?; Lmin=18,57 mm; Lmax=27,35 mm. Cubo de Ferro Fundido, eixo de aço, não tem 
tratamento térmico da chaveta. O T=120 Nm, tipo de carga II, choques fracos então: padm=40 MPa. A 
estratégia de solução é aplicar o critério do esmagamento, determinar o L, e com esse valor determinar a 
classe da chaveta ao encontrar a menor tensão admissível no critério do cisalhamento. 
2 ∙ 120 ∙ 103
20 ∙ (2,4) ∙ 𝐿
≤ 40 → 𝐿 ≥ 125 𝑚𝑚 
O maior L disponível para esse diâmetro é 27,35mm, portanto, não é possível transmitir esse torque com 
esse tipo de união. 
 
b) Se trata de uma chaveta retangular. Os dados do enunciado são: cubo de aço; eixo de aço; sem tratamento 
térmico da chaveta. Com deixo=36 mm; L=?; b=10 mm; h=8 mm; h1=5 mm; 22 mm < L < 110 mm; Lcubo=42 
mm. Tmáx→35 hp @ 360 rpm; Tmín=nulo; Tipo de carga: III; Choques: fracos; padm=50 MPa e adm=?. 
Calcula-se o torque por: 𝑇 =
𝑃
2∙𝜋
60
∙𝑛
=
35∙746
2∙𝜋
60
∙360
→ 𝑇 = 692,6 𝑁𝑚. Aplica-se o critério do esmagamento: 
2 ∙ 692,6 ∙ 103
(
36
2
− 5 +
3
4
∙ 8) ∙ 8 ∙ 𝐿
≤ 50 → 𝐿 ≥ 182,3 𝑚𝑚 
Constata-se que: L>Lcubo e L>Lmax. É impossível transmitir essa potência com apenas 1 chaveta DIN6885. 
Então realiza-se uma tentativa de tratamento térmico na chaveta (padm=1,5x50=75 MPa). Aplicando-se o 
critério do esmagamento: 
2∙692,6∙103
(
36
2
−5+
3
4∙
8∙)8∙𝐿
≤ 1,5 ∙ 50 → 𝐿 ≥ 121,5 𝑚𝑚. Conclusão: L>Lcubo e L>Lmax. É 
impossível transmitir essa potência com apenas 1 DIN6885 temperada. Portanto deve-se tentar outra 
solução (eixos entalhados ou dentados, ou até mesmo união por interferência). 
 
c) DIN5471 = eixo entalhado . Verifica-se apenas o esmagamento. d2≤36mm→ Z=4 entalhes; d1=28mm; 
d2=32mm; choques fracos; carga III, cubo em aço e união entalhada temperada. : padm=1,5x50=75 MPa. 
Então: 
𝑇
0,75∙4(
28+32
4
)∙42∙(
32−28
2
)
≤ 75 → 𝑇 ≤ 283,5 𝑁𝑚. Calcula-se a potência: 
𝑇 =
𝑃
2 ∙ 𝜋
60
∙ 𝑛
→ 283,5 =
𝑃
2 ∙ 𝜋
60
∙ 360
→ 𝑃 = 10,7 𝑘𝑊 
 
 
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Exercício 13: Uniões por adaptação de forma e por interferência 
a) Máxima carga a ser transportada 
 
𝑣𝑐𝑎𝑏𝑜 = 2 ∙ 𝑣𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 2 ∙ 3 𝑚 𝑚𝑖𝑛⁄ = 6 𝑚 𝑚𝑖𝑛⁄ 
 
𝑃𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 =
𝑚 ∙ 𝑔
2
𝑣𝑐𝑎𝑏𝑜 
 
1,2 ∙ 745 =
𝑚∙10
2
∙
6
60
→ 𝑚 = 1788 𝑘𝑔 
 
b) Chaveta da ecdr D 
 
𝐹𝑐𝑎𝑏𝑜 =
𝑚 ∙ 𝑔
2
=
3000 ∙ 10
2
= 15000 𝑁 
 
𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 2 = 𝑇𝑡𝑎𝑚𝑏𝑜𝑟 = 𝐹𝑐𝑎𝑏𝑜 ∙
∅𝑡𝑎𝑚𝑏𝑜𝑟
2
= 15000 ∙
600
2
= 4500 𝑁𝑚 
 
Diâmetro do eixo 140 mm. Dimensões da chaveta [mm]: b=36; h=20; h1=12; 
Lmin=100; Lmax=400. Choques fracos; carga III; cubo de aço: padm=50 MPa. 
 
Esmagamento: 
2∙𝑇
(
𝑑
2
−ℎ1+
3
4
∙ℎ)∙ℎ∙𝐿
≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚. Então: 
2∙4500∙103
(
140
2
−12+
3
4
∙20)∙20∙𝐿
≤ 50. Dessa forma: 𝐿 ≥ 123,3 𝑚𝑚. Está 
aceitável pois 100 ≥ 123,3 ≥ 400. O ideal seria normalizar esse valor pela tabela de chavetas 
normalizadas. O valor normalizado seria de L=125 mm. Para os cálculos subsequentes, deve-se utilizar o 
Lcalculado, a fim de evitar introduzir imprecisões nos cálculos. 
Cisalhamento: 
2∙𝑇
𝑑∙𝑏∙𝐿
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 . Então: 
2∙4500∙103
140∙36∙123,3
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚. Dessa forma: 𝜏𝑎𝑑𝑚 ≥ 14,5 𝑀𝑃𝑎. Analisando-se a 
tabela, adota-se classe de resistência 4.6 (𝜏𝑎𝑑𝑚 ≥ 20 𝑀𝑃𝑎). 
Resposta: chaveta retangular 36x20; L=125 mm; aço classe de resistência 4.6. 
Responda as próximas duas questões somente após estudar o capítulo de união por interferência. 
c) Tipo de carga e intensidade dos choques 
Todos eixos do sistema de transmissão estão em equilíbrio estático. Então se o Ttambor=9000 Nm, TD=9000 
Nm. Como D é maior que C, 𝑖𝑝𝑎𝑟 𝐷−𝐶 =
𝑑𝐷
𝑑𝐶
=
50
25
= 2. Então o torque em C é menor. Assim: 𝑇𝐶 =
𝑇𝐷
𝑖𝑝𝑎𝑟 𝐷−𝐶
=
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18 
 
9000
2
= 4500 𝑁𝑚. Por estarem no mesmo eixo 1, as ecdrs B e C tem mesmo torque: 𝑇𝐵 = 4500 𝑁𝑚. Sabe-
se que a roda B é maior que A, 𝑖𝑝𝑎𝑟 𝐵−𝐴 =
𝑑𝐵
𝑑𝐴
=
60
20
= 3. Então 𝑇𝐴 =
𝑇𝐵
𝑖𝑝𝑎𝑟 𝐵−𝐴
=
4500
3
= 1500 𝑁𝑚. 
Esmagamento: 
𝑇
0,75∙𝑍∙𝑟∙𝐿∙ℎ
≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚. Eixo com dprojeto=30 mm. A seleção da DIN5463 deve ser feita com 𝑑1 ≥
𝑑𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜. Então: d1=32 mm; d2=38 mm; Z=8 entalhes. L=100 mm. 𝑟 = 
𝑑1+𝑑2
4
= 
32+38
4
= 17,5 𝑚𝑚. 
ℎ = 
𝑑2−𝑑1
2
=
38−32
2
= 3 𝑚𝑚. Então: 
1500∙1030,75∙8∙17,5∙100∙3
≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚. De tal forma que 𝑝𝑎𝑑𝑚 ≥ 47,7 𝑀𝑃𝑎. 
Analisando-se na tabela do padm, para eixos ranhurados e cubo de ferro fundido, a única combinação que 
atenda esse requisito é para choques fracos e carga I ou II. Resposta: choques fracos, carga I ou II. 
d) Máximo torque na engrenagem B 
Dimensões: 
• Afastamentos [m]: amin=43; amax=54; Amin=0; Amax=25. 
• Perda de interferência [m]: ∆𝐼 = 1,2 ∙ (𝑅𝑎𝐶𝑈𝐵𝑂 + 𝑅𝑎𝑒𝑖𝑥𝑜) = 1,2 ∙ (
4+2
2
+
1+3
2
) = 6 
• Interferências [m]: 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 43 − 25 − 6 = 12 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 54 − 0 − 6 = 48 
• Fatores elásticos [mm2/N]: 
o 𝐾𝑖 =
1
𝐸𝑖
∙ (
1+𝑄𝑖
2
1−𝑄𝑖
2 − 𝜈𝑖) =
1
200×103
∙ (1 − 0,3) = 3,5 × 10−6 
o 𝐾𝑒 =
1
𝐸𝑒
∙ (
1+𝑄𝑒
2
1−𝑄𝑒
2 + 𝜈𝑒) =
1
200×103
∙ (1 + 0,3) = 6,5 × 10−6 
• Coeficiente de aderência: 𝜇 =
0,05+0,17
2
= 0,11 
• Como só existem ecdrs, não há transferência de força axial 
• Relações de pressão: 𝑝𝑚𝑖𝑛 =
𝑍𝑚𝑖𝑛
(𝐾𝑖+𝐾𝑒)∙𝑑
=
12×10−3
(3,5×10−5+6,5×10−5)∙50
= 24 𝑀𝑃𝑎 
• Critério do escorregamento: 𝜋 ∙ 0,11 ∙ 50 ∙ 75 ∙ 24 ≥ √(
2∙𝑇
50
)
2
 
• Tmax=777,5 Nm 
• Relações de pressão: 𝑝𝑚𝑎𝑥 =
𝑍𝑚𝑎𝑥
(𝐾𝑖+𝐾𝑒)∙𝑑
=
48×10−3
(3,5×10−6+6,5×10−6)∙50
= 96 𝑀𝑃𝑎 
e) Coeficientes de segurança 
• Coeficientes de segurança: 
o 96 ∙ 1,73 ≤ 
240
𝑛𝑚𝑒𝑐𝑒𝑖𝑥𝑜
. Então: 𝑛𝑚𝑒𝑐𝑒𝑖𝑥𝑜 = 1,40 
o 96 ∙ 1,78 ≤ 
240
𝑛𝑚𝑒𝑐𝐶𝑈𝐵𝑂
 Então: 𝑛𝑚𝑒𝑐𝐶𝑈𝐵𝑂 = 1,44 
 
Exercício 14: Uniões por adaptação de forma 
a) Chaveta retangular DIN 6885-1:1968-08 pode sofrer falha por esmagamento e cisalhamento. O diâmetro 
de projeto é d=52 mm. Então nas tabelas deve-se selecionar d entre 50 a 58: perfil 16 x 10 (b=16 mm; h=10 
mm; h1=6 mm; Lmin=45 mm; Lmax=180 mm). O cubo é de ferro fundido. Então para carga alternada III, 
choques fracos, cubo de FoFo, chaveta retangular: padm=30 MPa. O enunciado informa que a chaveta 
temperada, então: padm=1,5x30=45 MPa. Como no item a chaveta tem classe 4.6: tadm=20 MPa. O torque 
aplicado é calculado pelo binário: 𝑇 = 350 ∙ 280 + 500 ∙ 130 = 163000 𝑁𝑚𝑚 . Através do critério do 
esmagamento: 𝐿 ≥
2∙𝑇
(
𝑑
2
−ℎ1+
3
4
∙ℎ)∙ℎ∙𝑝𝑎𝑑𝑚
=
2∙163000
(
52
2
−6+
3
4
∙10)∙10∙45
= 26,3 𝑚𝑚. Agora pelo critério do cisalhamento: 
𝐿 ≥
2∙𝑇
𝑑∙𝑏∙𝜏𝑎𝑑𝑚
=
2∙163000
52∙16∙20
= 19,6 𝑚𝑚. 
Precisamos escolher o maior valor entre eles. Normalizando o comprimento na tabela de chavetas, o L seria 
de 28 mm. Entretanto, é necessário fazer a verificação a fim de garantir que o comprimento escolhido esteja 
entre os valores mínimos e valores máximos. Como o L normalizado é inferior ao Lmin, então utiliza-se o 
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Lmin como resposta do problema. É interessante fazer uma verificação adicional, se o cubo tem esse 
comprimento útil. No caso desse exercício, não existem informações no enunciado que permitam constatar 
esse tipo dado. Portanto a especificação completa da chaveta é: chaveta retangular DIN 6885, perfil 16 x 
10, L=45mm, temperada, construída em aço classe de resistência 4.6. 
b) DIN5472 para ser usado em eixo com dprojeto=52 mm: d1=52 mm; d2=60 mm; b=14 mm; Z=6 entalhes. 
Calcula-se: r= 28 mm; h=4 mm. Aplica-se o critério do esmagamento: L≥10,8 mm. Normalizando-se 
através da tabela de comprimentos normalizados para eixos ranhurados: L=11 mm. 
c) DIN5481para ser usado em eixo com dprojeto=52 mm: d1=55 mm; d2=60 mm; r=28,8 mm; h=2,5 mm; 
Z=41 dentes. Aplica-se o critério do esmagamento: L≥2,5 mm. Normalizando-se através da tabela de 
comprimentos normalizados para eixos ranhurados: L=6 mm. 
Exercício 15: Uniões por adaptação de forma 
Este exemplo ilustra a diferença entre diâmetro de projeto e diâmetro de usinagem. Uma vez que o diâmetro 
de 34 mm é o diâmetro mínimo do eixo, se as ranhuras fossem obtidas pela retirada de material a partir 
deste diâmetro haveria uma diminuição na resistência exigida do eixo. 
Dessa forma, o critério de seleção na tabela 7.6 é que d1 ≥ 34 mm. Obtém-se, portanto, d1=36 mm, d2 = 40 
mm e Z=8. Na tabela 7.1 seleciona-se padm= 50 MPa. Para esta norma, a altura de contato e o raio médio 
são calculados através de: r =
d2+d1
4
= 19 mm e h =
d2−d1
2
= 2 mm 
O torque transmitido entre eixo e cubo a 1180 rpm é calculado por: 𝑇 =
60∙𝑃
2∙𝜋∙𝑛
=
60 ∙ 52∙103
2∙𝜋∙1180
= 420,8 𝑁𝑚 
Finalmente, pelo critério de esmagamento: 
4 ∙ 𝑇
3 ∙ ℎ ∙ 𝐿 ∙ 𝑍 ∙ 𝑟
≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚 → 𝐿 ≥ 
4
3
 ∙
𝑇
ℎ ∙ 𝑝𝑎𝑑𝑚 ∙ 𝑍 ∙ 𝑟
=
4
3
 
420,8 ∙ 103
2,0 ∙ 50 ∙ 8 ∙ 19
= 36,9 𝑚𝑚 
Normalizando obtém-se o comprimento mínimo L = 38 mm 
Exercício 16: Uniões por adaptação de forma 
Neste exercício despreza-se o atrito nos rolamentos e, em consequência, ambas as engrenagens transmitem 
exatamente o mesmo torque. A análise da união da coroa permite determinar qual o máximo torque que 
pode ser transmitido ao eixo. 
Dessa forma, na tabela 7.2 para cubo fabricado em aço, carga alternada, choques fortes e união ranhurada 
obtém-se padm= 35 MPa. 
Da tabela 7.8 obtém-se Z=6, d1=36 mm e d2=42 mm. Para essa norma o raio médio e a altura de contato h 
são calculados como: r =
d2+d1
4
= 19,5 mm e h =
d2−d1
2
= 3 mm. Pelo critério de esmagamento: 
4 ∙ 𝑇
3 ∙ ℎ ∙ 𝐿 ∙ 𝑍 ∙ 𝑟
≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚 → T ≤ 
3
4
∙ h ∙ L ∙ Z ∙ r ∙ padm =
3
4
∙ 3 ∙ 45 ∙ 6 ∙ 19,5 ∙ 35 = 418618,75 Nmm 
 
Considera-se, então, que o comprimento L da união do pinhão deverá ser tal que permita transmitir um 
torque máximo de 414,62 Nm. Da tabela 7.9 para DIN 5481 26x30 obtém-se d1=26,5 mm, d2=30 mm, r=14 
mm e Z=35 entalhes. A altura de contato h é dada por: h =
d2−d1
2
= 1,75 mm 
Pelo critério de esmagamento: 
 
4 ∙ 𝑇
3 ∙ ℎ ∙ 𝐿 ∙ 𝑍 ∙ 𝑟
≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚 → 𝐿 ≥ 
4
3
 ∙
𝑇
ℎ ∙ 𝑝𝑎𝑑𝑚 ∙ 𝑍 ∙ 𝑟
=
4
3
 ∙
414618,75
1,75 ∙ 35 ∙ 35 ∙ 14
= 18,42 𝑚𝑚 
 
Obtém-se um comprimento normalizado mínimo L=20 mm