RESUMÃO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Introdução à Resistência dos Materiais 
Desafio 
As tensões e deformações calculadas ao longo das estruturas dependem do carregamento, da 
geometria, da seção transversal dos elementos estruturais e do material a ser analisado. Você é 
comprador de uma empresa de urbanismo e precisa adquirir bancos para uma praça; um 
fornecedor enviou-lhe duas opções, dois bancos de preços similares, porém, de materiais 
totalmente diferentes: um com estrutura em aço e outro com estrutura em madeira. A sabedoria 
popular diz que “ferro é mais resistente que madeira”, mas como você comprovaria isto, 
tecnicamente falando, para justificar sua compra? 
 
Podemos pensar na solução deste desafio observando os diferentes valores de módulo de elasticidade 
destes materiais. O módulo de elasticidade do aço (E) pode ser até 20x maior que o módulo de elasticidade 
de determinadas madeiras. Analisando graficamente a equação da Lei de Hooke (Tensão = E * 
Deformação) para estes materiais, observamos que, para uma mesma tensão, a deformação da madeira 
é 20x maior, ou ainda, para que o aço atinja a mesma deformação da madeira, a tensão (carga aplicada 
no banco) tem de ser consideravelmente maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. De forma geral, qual deve ser a sequência de cálculo para definir a tensão em um determinado ponto 
da estrutura? 
A. Determinar cargas externas, calcular reações externas, calcular solicitações internas. 
2. Conforme a Lei de Hooke, quanto maior o módulo de elasticidade do material, menor será: 
E. A deformação. 
A deformação (Lei de Hooke: tensão = módulo de elasticidade * deformação) quanto maior o módulo de 
elasticidade, menor será a deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. No estudo do projeto de um equipamento mecânico são avaliados três materiais diferentes: o aço, 
o alumínio e a madeira. Sabendo que o aço apresenta um módulo de elasticidade igual a 21.000 kN/cm², 
o alumínio um módulo de elasticidade igual a 7.000 kN/cm² e a madeira um módulo de elasticidade 
igual a 1.400 kN/cm², indique em qual material será observada uma maior deformação, considerando 
a mesma estrutura e a tensão atuando no equipamento. 
B. A deformação será menor se a estrutura for de aço. 
Na estrutura de aço, a deformação será menor, pois apresenta o maior valor de módulo de elasticidade. 
Quanto maior o módulo de elasticidade, menos deformável é a estrutura. 
 
4. Quando o engenheiro projetista estiver dimensionando uma determinada estrutura, necessitará 
encontrar o ponto de maior solicitação e calcular a tensão neste ponto. Caso esta tensão seja menor 
que a tensão limite do material, pode-se dizer que: 
C. A peça está em segurança. 
Se a tensão limite do material é maior que a tensão máxima na peça, então a peça está em segurança. 
 
 
 
 
5. Ao fazer o dimensionamento do cabo de uma estrutura atirantada, verificou-se que a tensão máxima 
que passa nos cabos é de 625 kgf/cm². Sabendo que a tensão limite do material vale 1.500 kgf/cm², 
assinale a alternativa correta: 
C. Os cabos encontram-se em boas condições de segurança, sendo adotado um coeficiente de segurança 
igual a 2,4. 
Os cabos encontram-se em boas condições de segurança, sendo adotado um coeficiente de segurança 
igual a 2,4. Para o cálculo do coeficiente de segurança é feita a seguinte relação: Tensão limite/Tensão 
calculada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão: forças 
Desafio 
Você é Engenheiro em uma indústria de refrigeração e precisa fazer um suporte semelhante ao da figura 
a seguir, para içamento de materiais diversos. O suporte é composto pelas barras AB, BC e BD, conectadas 
por um pino em B, sendo todo este conjunto submetido a um carregamento P no ponto A. Todas as barras 
da estrutura possuirão seção transversal uniforme, com área de 800 mm². Com base nestes dados 
conhecidos, antes mesmo de definir o material da construção, calcule qual seria a máxima carga P que 
você conseguiria aplicar no ponto A da estrutura apresentada, sabendo que a tensão normal na barra BD 
não pode ultrapassar 50 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
Padrão de resposta esperado 
CALCULAR AS REAÇÕES: 
 
 
 
 
 
1. 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DA BARRA BC: 
 
 
 
 
 
Determinados os valores e as direções das forças Dx e Dy, é possível calcular a força atuante na barra B 
 
 
 
 
 
 
A máxima carga que pode ser aplicada (pendurada) é de 62,74kN, ou 6.274kg. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Sabe-se que o perfil I, apresentado a seguir, possui uma tensão normal igual a 400 kPa, quando 
submetido a duas forças de 1500 N. Determine, portanto, qual deverá ser a altura H da seção transversal 
deste perfil para que estas condições sejam atendidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
E. H = 175 mm 
 
 
2. Um medidor de deformação localizado na barra AB indica que a tensão normal nesta barra é de 3,80 
MPa, quando a mesma está submetida a duas forças de 1,2 kN, conforme mostra a figura. Supondo que 
a seção transversal da barra seja vazada e sabendo que seu diâmetro externo é de 25 mm, determine o 
diâmetro interno d da seção transversal. 
 
 
 
3. Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia, AB e BC, são soldadas uma à outra em B e 
submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que a tensão normal não pode 
exceder 200 MPa na barra AB e 150 MPa na barra BC, determine os menores valores admissíveis de d1 
e d2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à outra em B e 
submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que d1 = 50 mm e d2 = 30 mm, 
calcule a tensão normal no ponto médio da barra AB e barra BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma barra está carregada e apoiada como mostra a figura. Determine a tensão normal na barra AB: 
 
 
 
 
Tensão, deformação e módulos de elasticidade 
 
Desafio 
Tendo em vista que o cobre tem maior tensão máxima e maior dureza, geralmente, as máquinas 
apresentam um eixo de alumínio e de cobre com a intenção de garantir baixo peso e, na área mais crítica, 
maior resistência. 
Sabendo disso, considere o seguinte problema: 
 
Como projetista dessa máquina, determine as máximas forças P1 e P2. Utilize Ecobre = 124GPa e Eal = 70GPa. 
 
 
 
 
Padrão de resposta esperado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Pontes rolantes são utilizadas na indústria para a movimentação de grandes cargas. Os operadores 
desses equipamentos precisam passar por treinamento e devem ter habilidade e capacidade de se 
orientar no espaço, pois, por meio de alavancas e botões, fazem a movimentação de cargas de várias 
toneladas. A ponte rolante tem um carro que se desloca sobre grandes vigas e, para erguer a carga, são 
utilizados cabos de aço adequados a esse fim. 
 
Determine o diâmetro mínimo dos cabos e assinale a alternativa correta: 
C. d = 19,7mm. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um eixo circular vazado de aço cilíndrico tem comprimento L = 2 m e diâmetros interno e externo 
iguais a 30 e 50 mm, respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento não deve exceder 110 
MPa, qual é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento no eixo circular? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine o torque T que causa uma tensão de cisalhamento máxima de 70 MPa no eixo cilíndrico 
de aço mostrado na figura. 
 
 
 
4. Determine a tensão de cisalhamento máxima provocada por um torque de intensidade T = 800 
N.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Para o eixo vazado e o carregamento mostrado, determine a máxima tensão de cisalhamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Torção I 
 
Desafio 
No projeto ou na verificação de uma peça submetida à torção, deve-se fazer o cálculo da tensão máxima 
que ocorre na estrutura e comparar estatensão com a tensão limite do material. Para o cálculo desta 
tensão máxima, será necessário fazer o cálculo do momento polar de inércia da seção transversal da barra. 
 
 
 
Considerando o eixo indicado na figura a seguir, com seção transversal circular vazada, calcule o momento 
polar de inércia. Verifique também qual é o aumento da rigidez do eixo se ele fosse com seção plena. 
Explique suas respostas 
 
Padrão de resposta esperado 
Para um eixo com seção circular vazada, utiliza-se a seguinte equação para determinar o momento de 
inércia polar: 
J = 1 2 . π . (raio4e - raio4i) = 1 2 . π . (304 - 204) = 1.020.987,5 mm4 
 
 
 
 
Se o eixo fosse com seção plena, a seguinte formulação seria usada: 
J = 1 2 . π . (raio4) = 1 2 . π . (304) = 1.272.307,5 mm4 
Calculando as áreas das seções transversais de cada tipo de eixo: 
Acircular plena = π . (raio2) = π . (302) = 2.827,35 mm2 
A
circular vazada = π . (raio2e - raio2i) = 1.570,75 mm2 
Desta forma, conclui-se que a rigidez de um eixo com seção transversal circular é 1,25 vezes maior do 
que a de um eixo com seção transversal circular vazada. 
Calculando as áreas das seções transversais: 
Acircular plena = 1,8 x Acircular vazada. 
Ou seja, para ter um aumento de rigidez de 1,25, haverá, também, um aumento de 1,8x no custo com 
material para fabricar o eixo. 
 
 
Exercícios 
1. Considerando o sistema estrutural abaixo, calcule o valor do momento torsor gerado na barra AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
E. Mt = 40 kN.m 
Mt = 20 kN . 2m = 40 kN.m (ao longo da barra AB) 
2. Analisando a placa indicada na figura abaixo, solicitada por uma carga P = 10 kN, calcule o valor do 
momento torsor no poste do outdoor. 
 
E. Mt = 0 kN.m 
Mt = 10 kN . 0m = 0 kN.m 
 
Como a carga está aplicada exatamente na parte central da placa, ela não gera torção no poste. 
 
3. Dependendo da geometria de uma ponte estaiada, as cargas móveis, que são aplicadas ao longo do 
seu eixo longitudinal, podem gerar esforços de torção. 
Logo abaixo representamos a seção transversal do tabuleiro de uma ponte estaiada com suas 
respectivas dimensões. 
Sabendo que a carga do veículo vale P = 45 kN, calcule o valor do momento torsor gerado pela carga do 
veículo no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. Mt = 180 kN.m 
Mt = 45 kN . 4m = 180 kN.m 
4. Um eixo circular conectado a um suporte rígido em uma das extremidades é submetido a um torque 
T na extremidade livre. 
Sabendo que este eixo apresenta diâmetro de 6 cm, comprimento de 2 m e gira com um ângulo de 
torção de 0,5 radianos, determine a deformação máxima de cisalhamento que ocorrerá na peça. 
 
 
C. Deformação máxima de cisalhamento=0,0075 radianos 
 
 
 
 
 
5. Um eixo circular conectado a um suporte rígido em uma das extremidades é submetido a um torque 
T na extremidade livre. 
Sabendo que este eixo apresenta comprimento de 3 m, deformação máxima de cisalhamento de 0,002 
radianos e gira com um ângulo de torção de 0,3 radianos, determine o diâmetro do eixo. 
 
 
 
A. Diâmetro do eixo = 4 cm 
 
 
Flexão I 
Desafio 
A empresa em que trabalha venceu uma licitação de construção de paradas de ônibus para a cidade. Você 
foi contratado para projetar a cobertura metálica cuja estrutura deve resistir a flexão suportando seu 
peso. Conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
O serralheiro comentou ter 3 formatos diferentes de barras para serem aplicados ao projeto e lhe pediu 
para escolher a melhor opção, ou seja, qual serial o perfil mais adequado entre o perfil quadrado /caixão, 
o perfil tubular redondo e o perfil em “I”. 
 
 
Tendo a apresentação das geometrias e dimensões dos perfis conforme as figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
Neste contexto: Qual é a mais adequada na construção de uma parada de ônibus? 
Para este cálculo, considere que a tensão de flexão, depende da inércia da seção transversal. Ou seja, 
quanto maior a inércia, menor será a tensão e, consequentemente, menor será a deformação por flexão. 
Padrão de resposta esperado 
a) Perfil Quadrado / Caixão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Perfil Tubular Redondo 
 
 
 
 
 
 
 
c) Perfil 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tendo como resultados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que o perfil quadrado /caixão é o melhor, perante o maior Momento de Inércia. Entretanto 
caso os cálculos do projeto permitam utilizar o perfil em “I”, ao qual possui Ix = 2187,46 cm^4, sendo 
percentualmente bem próximo ao valor do quadrado. Se aplicado na estrutura na posição em que se 
aproveita este máximo Momento de Inércia, será mais vantajoso frente ao perfil quadrado /caixão. 
O ponto positivo principal do Perfil em “I” é de ter área menor, ou seja, mais leve, logo terá um custo-
benefício melhor. 
Exercícios 
 
1. A estrutura de barra abaixo está suportando uma carga distribuída de forma uniforme. Indique que 
tipo de solicitação principal ela está submetida e o que ocorre nas fibras superiores e inferiores quando 
a estrutura encontra-se deformada. 
 
E. Flexão; Fibra inferior: tração; Fibra superior: compressão. 
Veja na figura a seguir o comportamento das fibras superiores e inferiores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A estrutura de barra abaixo está suportando uma carga distribuída de forma uniforme. Indique que 
tipo de solicitação principal ela está submetida, que ocorre nas fibras superiores e inferiores, quando a 
estrutura encontra-se deformada, e em qual ponto ocorre o maior deslocamento vertical. 
 
 
 
 
A. Flexão; Fibra inferior: compressão; Fibra superior: tração; Ponto de maior deslocamento vertical: B. 
O principal esforço que ocorre é a flexão. Na fibra inferior temos compressão (encurtamento da fibra) e 
na fibra superior temos tração (alongamento da fibra). O ponto de deslocamento máximo ocorrerá no 
ponto B, conforme indicado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule o ponto onde passa a linha neutra na seção semicircular indicada abaixo: 
 
 
D. Linha neutra = 5,1 mm (em relação à base) 
 
4. Calcule o ponto onde passa a linha neutra na seção perfil T, indicada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
B. Linha neutra = 38 mm (em relação à base) 
 
5. Calculando as seções (a) e (b), diga qual a relação entre os centroides e entre os momentos de inércia 
das seções indicadas abaixo. 
 
 
 
 
 
C. Centroide: (1) = (2); Momento de Inércia: (1) = 1,77*(2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões 
Desafio 
 
Em um projeto de estruturas e componentes de máquinas, é de extrema importância conhecer as tensões 
normais e as tensões de cisalhamento dos elementos que compõem esses sistemas. 
No desenvolvimento de projeto de um mecanismo, seu supervisor solicitou que você utilizasse o Círculo 
de Mohr para fazer os cálculos de um determinado componente de face perpendicular ao eixo x (figura 
anexa), com tensão normal de tração e tensão de cisalhamento que, por sua vez, tende a girar o elemento 
no sentido horário. 
 
A partir das informações e da figura acima, você deverá: 
a) Desenvolver o Círculo de Mohr. 
b) Determinar os planos e as tensões principais. 
c) Determinar os componentes de tensão. 
Padrão de resposta esperado 
a) Círculo de Mohr: 
 
 
 
 
 
b) Planos e tensões principais: 
σméd = (σx + σy) / 2 = (100 + 60) / 2 = 80 MPa 
R = √((Cf)^2 ) + (Fx)^2 = √((20)^2 ) + (48)^2 = 52 MPa 
tg 2θp = Fx / Cf = 48 / 20 = 2,4 tg 2θp = 67,4º θp = 33,7º 
σmáx = OA = OC + CA = 80 + 52 = 132 MPa 
σmín = OB = OC – BC = 80 – 52 = 28 MPa 
c) Componentes de tensão que atuam no elemento obtido pela rotação do elemento dado no sentido 
anti-horário de 30º: 
ϕ = 180° – 60° – 67,4° ϕ = 52,6° 
σx' = OK = OC – KC = 80 – 52 cos ⁡52,6° σx'= 48,4 MPa 
σy'= OL = OC – CL = 80 + 52 cos ⁡52,6° σy' = 111,6 MPa 
τx'y' = Kx' = 52 sen 52,6° τx'y' = 41,3MPa 
Exercícios 
1. Qual o objetivo principal de utilizar o Círculo de Mohr para análise de falhas ? 
C. Prever falhas de materiais frágeis que apresentam tensões resistentes últimas diferentes quando 
solicitados à tração e à compressão. 
Este critério de análise de falhas foi proposto por Mohr para a previsão de falha de materiais frágeis que 
apresentam tensões resistentes quando solicitados à tração e à compressão. Dessa forma, alguns 
materiais frágeis rompem diferentemente quando submetidos a estados de tensão sob tração e sob 
compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
2. A ideia de Mohr, na análise de falhas, baseia-se em três ensaios simples. Quais são eles? 
C. Tração, compressão e cisalhamento. 
A ideia de Mohr baseia-se em três ensaios “simples”: tração, compressão e cisalhamento por torção, até 
o escoamento, se o material puder escoar, ou até a ruptura do material. 
3. Qual fórmula é utilizada para determinar a tensão média (σméd) no Círculo de Mohr? 
D. σméd = σx + σy / 2 
No Círculo de Mohr, o ponto x é representado à direita do eixo vertical e abaixo do eixo horizontal. De 
forma análoga, o ponto y representa a face oposta e deve ser representado a 180° de x. Traçando a linha 
xy, obtemos o centro C do Círculo de Mohr; sua abscissa é a tensão média, representada por: σméd = σx + 
σy / 2. 
4. Analisando a figura a seguir, quais são a tensão de x(σx), a tensão de y(σy) e a tensão de cisalhamento 
(τxy), respectivamente? 
 
A. σx = –12 / σy = 0 / τxy= –6 
As cargas combinadas da figura produzem um estado de tensão. Analisando a figura por meio do Círculo 
de Mohr, a tensão principal que age em σx é de –12 MPa, em σy é de 0 MPa e em τxy é de –6 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Analisando a figura abaixo, qual será o valor do raio (MPa) no desenvolvimento do Círculo de 
Mohr? 
 
C. 8,48 MPa 
R = √((6)2+(6)2 ) = 8,48 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Desafio
	Desafio
	Tensão, deformação e módulos de elasticidade
	Desafio
	Exercícios
	Torção I
	Desafio
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