Trabalho 3

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Universidade Federal Fluminense 
 
 
 
 
 
PHILLIPE JUSTINO MARTINS 
 
 
 
 
 
Transformação de Coordenadas Cartesianas para 
Curvilíneas Generalizadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volta Redonda 
2021
1 
 
Exercício #3 
Considere o Sistema de EDP abaixo e transforme usando Coordenadas (ξ, η) Curvilíneas 
Generalizadas: 
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑣
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 𝑋2 + 𝑌2 
𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑣
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
= 𝑋2 − 𝑌2 
 
Podemos reescrever: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= (
𝜕𝑢
𝜕𝜉
) (
𝜕𝜉
𝜕𝑥
) + (
𝜕𝑢
𝜕𝜂
) (
𝜕𝜂
𝜕𝑥
) 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= (
𝜕𝑢
𝜕𝜉
) (
𝜕𝜉
𝜕𝑦
) + (
𝜕𝑢
𝜕𝜂
) (
𝜕𝜂
𝜕𝑦
) 
 
De maneira análoga: 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= (
𝜕𝑣
𝜕𝜉
) (
𝜕𝜉
𝜕𝑥
) + (
𝜕𝑣
𝜕𝜂
) (
𝜕𝜂
𝜕𝑥
) 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= (
𝜕𝑣
𝜕𝜉
) (
𝜕𝜉
𝜕𝑦
) + (
𝜕𝑣
𝜕𝜂
) (
𝜕𝜂
𝜕𝑦
) 
 
Utilizando o Teorema de Schwarz temos: 
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) =
𝜕
𝜕𝜉
[
𝜕𝑢
𝜕𝑥
] 𝜉𝑥 +
𝜕
𝜕𝜂
[
𝜕𝑢
𝜕𝑥
] 𝜂𝑥 
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑣
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝜉
[
𝜕𝑣
𝜕𝑦
] 𝜉𝑦 +
𝜕
𝜕𝜂
[
𝜕𝑣
𝜕𝑦
] 𝜂𝑦 
 
Reescrevendo a equação temos: 
𝑢 [(
𝜕𝑢
𝜕𝜉
) (
𝜕𝜉
𝜕𝑥
) + (
𝜕𝑢
𝜕𝜂
) (
𝜕𝜂
𝜕𝑥
)] + 𝑣 [(
𝜕𝑢
𝜕𝜉
) (
𝜕𝜉
𝜕𝑦
) + (
𝜕𝑢
𝜕𝜂
) (
𝜕𝜂
𝜕𝑦
)] 
+𝑢𝑣 {
𝜕
𝜕𝜉
[(
𝜕𝑢
𝜕𝜉
) (
𝜕𝜉
𝜕𝑥
) + (
𝜕𝑢
𝜕𝜂
) (
𝜕𝜂
𝜕𝑥
)] 𝜉𝑥 +
𝜕
𝜕𝜂
[(
𝜕𝑢
𝜕𝜉
) (
𝜕𝜉
𝜕𝑥
) + (
𝜕𝑢
𝜕𝜂
) (
𝜕𝜂
𝜕𝑥
)] 𝜂𝑥} = 𝑋
2 + 𝑌2 
 
2 
 
Simplificando: 
𝑢 [
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜉𝑥 + 𝑢
𝜕𝜉
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜂𝑥 + 𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝑥
] + 𝑣 [
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜉𝑦 + 𝑢
𝜕𝜉
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜂𝑦 + 𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝑦
] 
+𝑢𝑣 [
𝜕2𝑢
𝜕𝜉2
𝜉𝑥
2 +
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜕𝜉
𝜕𝜉𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜉𝑥𝜂𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝜉𝜕𝑥
𝜉𝑥𝜂𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜉𝑥𝜂𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜕𝜉
𝜕𝜂𝜕𝑥
𝜉𝑥𝜂𝑥
+
𝜕2𝑢
𝜕𝜂
𝜂𝑥
2 +
𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝜂𝜕𝑥
𝜂𝑥
2] = 𝑋2 + 𝑌2 
 
As derivadas de ξ em relação a ξ e η são nulas, pois 𝜉 = 𝜉(𝑥, 𝑦), sendo assim: 
𝑢 [
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜉𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜂𝑥] + 𝑣 [
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜉𝑦 +
𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜂𝑦] 
+𝑢𝑣 [
𝜕2𝑢
𝜕𝜉2
𝜉𝑥
2 + 2
𝜕𝑢
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜉𝑥𝜂𝑥 +
𝜕2𝑢
𝜕𝜂
𝜂𝑥
2] = 𝑋2 + 𝑌2 
 
Reescrevendo os termos 
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑣
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 𝑢(𝑢𝜉𝜉𝑥 + 𝑢𝜂𝜂𝑥) + 𝑣(𝑢𝜉𝜉𝑦 + 𝑢𝜂𝜂𝑦) + 𝑢𝑣(𝑢𝜉𝜉𝜉𝑥
2 + 2𝑢𝜉𝜂𝜉𝑥𝜂𝑥 + 𝑢𝜂𝜂𝜂𝑥
2)
= 𝑋2 + 𝑌2 
 
Sendo: 𝜉 = 𝜉(𝑥, 𝑦), 𝜂 = 𝜂(𝑥, 𝑦) 
 
Os diferenciais em cada eixo coordenado são determinados através da derivada das 
equações de transformação. Os diferenciais em cada eixo coordenado no domínio transformado 
são dados por: 
𝑑𝜉 = 𝜉𝑥𝑑𝑥 + 𝜉𝑦𝑑𝑦 
𝑑𝜂 = 𝜂𝑥𝑑𝑥 + 𝜂𝑦𝑑𝑦 
 
Em forma matricial: 
[
𝑑𝜉
𝑑𝜂
] = [
𝜉𝑥 𝜉𝑦
𝜂𝑥 𝜂𝑦
] [
𝑑𝑥
𝑑𝑦
] 
 
Na sua forma indicial: 
[𝑑𝑇] = [𝐴][𝑑𝐹] 
3 
 
Sendo que F denota o domínio físico e T denota o domínio transformado. De forma 
análoga, o sistema de coordenadas cartesianas se relaciona com o sistema de coordenadas 
curvilíneas através das seguintes equações de transformação 𝑥 = 𝑥(𝜉, 𝜂) e y= 𝑦(𝜉, 𝜂) e obtêm-
se os diferenciais em cada eixo coordenado no domínio físico. 
𝑑𝑥 = 𝑥𝜉𝑑𝜉 + 𝑥𝜂𝑑𝜂 
𝑑𝑦 = 𝑦𝜉𝑑𝜉 + 𝑦𝜂𝑑𝜂 
 
Em forma matricial: 
[
𝑑𝑥
𝑑𝑦
] = [
𝑥𝜉 𝑥𝜂
𝑦𝜉 𝑦𝜂
] [
𝑑𝜉
𝑑𝜂
] 
 
Na sua forma indicial: 
[𝑑𝐹] = [𝐵][𝑑𝑇] 
 
Usando a: 
[𝑑𝑇] = [𝐴][𝑑𝐹] 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 1 𝑒 [𝑑𝐹] = [𝐵][𝑑𝑇] 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 
Substituindo equação 1 e equação 2 temos: 
[𝑑𝐹] =
[𝑑𝑇]
[𝐴]
⟹ [𝐵] = [𝐴]−1 
[𝑑𝑇] =
[𝑑𝐹]
[𝐵]
⇒ [𝐴] = [𝐵]−1 
 
Sendo a matriz [A] a matriz Jacobiana da transformação de coordenadas cartesianas em 
coordenadas curvilíneas e [B] é a matriz Jacobiana da transformação de coordenadas curvilíneas 
em coordenadas cartesianas. Como [𝐴] = [𝐵]−1 e [𝐵] = [𝐴]−1 pode-se afirmar que o 
determinante Jacobiano J é: 
𝐽 = 𝑑𝑒𝑡[𝐴] =
1
𝑑𝑒𝑡[𝐵]
 
Ou 
𝐽 = [(𝑥𝜉𝑦𝜂) − (𝑥𝜂𝑦𝜉)]
−1
 
 
Para a determinação das métricas da transformação do sistema cartesiano para o 
curvilíneo, deve-se calcula a inversa da matriz [B] e compara-la com a matriz [A]. A matriz 
inversa de [B] é calculada da seguinte maneira: 
4 
 
[𝐵]−1 =
1
𝑑𝑒𝑡[𝐵]
𝑎𝑑𝑗[𝐵] 
 
E sendo a matriz adjunta a transposta da matriz cofator, deve-se calcular os cofatores 
dos quatro elementos de [B] para obter-se a matriz inversa. Sendo: 
𝐶𝐵 = [
𝑦𝜂 −𝑦𝜉
−𝑥𝜂 𝑥𝜉
] 
 
Formando-se a transposta da matriz dos cofatores, obtêm-se a matriz adjunta de [B] 
𝑎𝑑𝑗[𝐵] = [
𝑦𝜂 −𝑥𝜂
−𝑦𝜉 𝑥𝜉
] 
 
É possível escrever, então: 
[𝐴] = [𝐵]−1 = 𝐽 [
𝑦𝜂 −𝑥𝜂
−𝑦𝜉 𝑥𝜉
] 
 
Logo, comparando [A] com [𝐵]−1, elemento por elemento, as métricas são dadas por: 
𝜉𝑥 = 𝐽𝑦𝜂 𝜉𝑦 = −𝐽𝑥𝜂 
𝜂𝑥 = −𝐽𝑦𝜉 𝜂𝑦 = 𝐽𝑥𝜉 
 
Utilizando as métricas da transformação do sistema de coordenadas cartesianas (x, y) 
para o sistema de coordenadas generalizadas (ξ, η) 
Sendo a equação: 
𝑢(𝑢𝜉𝜉𝑥 + 𝑢𝜂𝜂𝑥) + 𝑣(𝑢𝜉𝜉𝑦 + 𝑢𝜂𝜂𝑦) + 𝑢𝑣(𝑢𝜉𝜉𝜉𝑥
2 + 2𝑢𝜉𝜂𝜉𝑥𝜂𝑥 + 𝑢𝜂𝜂𝜂𝑥
2) = 𝑋2 + 𝑌2 
 
Transformada 
𝑢 (𝑢𝜉𝐽𝑦𝜂 + 𝑢𝜂(−𝐽𝑦𝜉)) + 𝑣(𝑢𝜉(−𝐽𝑥𝜂) + 𝑢𝜂𝐽𝑥𝜉)
+ 𝑢𝑣 (𝑢𝜉𝜉(𝐽𝑦𝜂)
2
+ 2𝑢𝜉𝜂𝐽𝑦𝜂(−𝐽𝑦𝜉) + 𝑢𝜂𝜂(−𝐽𝑦𝜉)
2
) = 𝑋2 + 𝑌2 
 
Simplificando 
𝑢𝐽(𝑢𝜉𝑦𝜂 − 𝑢𝜂𝑦𝜉) + 𝑣𝐽(𝑢𝜂𝑥𝜉 − 𝑢𝜉𝑥𝜂) + 𝑢𝑣𝐽
2(𝑢𝜉𝜉𝑦𝜂
2 − 2𝑢𝜉𝜂𝑦𝜂𝑦𝜉 + 𝑢𝜂𝜂𝑦𝜉
2) = 𝑋2 + 𝑌2 
 
 
 
5 
 
De maneira análoga para a segunda equação temos: 
𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑢𝑣
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
= 𝑢(𝑣𝜉𝜉𝑥 + 𝑣𝜂𝜂𝑥) + 𝑣(𝑣𝜉𝜉𝑦 + 𝑣𝜂𝜂𝑦) + 𝑢𝑣(𝑣𝜉𝜉𝜉𝑦
2 + 2𝑣𝜉𝜂𝜉𝑦𝜂𝑦 + 𝑣𝜂𝜂𝜂𝑦
2)
= 𝑋2 − 𝑌2 
 
Transformada 
𝑢 (𝑣𝜉𝐽𝑦𝜂 + 𝑣𝜂(−𝐽𝑦𝜉)) + 𝑣(𝑣𝜉(−𝐽𝑥𝜂) + 𝑣𝜂𝐽𝑥𝜉)
+ 𝑢𝑣 (𝑣𝜉𝜉(−𝐽𝑥𝜂)
2
+ 2𝑣𝜉𝜂(−𝐽𝑥𝜂)𝐽𝑥𝜉 + 𝑣𝜂𝜂(𝐽𝑥𝜉)
2
) = 𝑋2 − 𝑌2 
 
Simplificando 
𝑢𝐽(𝑣𝜉𝑦𝜂 − 𝑣𝜂𝑦𝜉) + 𝑣𝐽(𝑣𝜂𝑥𝜉 − 𝑣𝜉𝑥𝜂) + 𝑢𝑣𝐽
2(𝑣𝜉𝜉𝑥𝜂
2 − 2𝑣𝜉𝜂𝑥𝜂𝑥𝜉 + 𝑣𝜂𝜂𝑥𝜉
2) = 𝑋2 − 𝑌2