Tensões em Meios Contínuos

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Mecânica de Meios Contínuos
TENSÕES
 
Tensões
É uma medida da força distribuída por unidade de área para qualquer seção 
arbitrária de um meio contínuo deformável submetido a ações externas e/ou 
internas.
Noção de TENSÃO
Definiremos em seguida:
1) FORÇAS SUPERFICIAIS
2) FORÇAS VOLUMÉTRICAS
3) VETOR DE TENSÃO 
4) TENSOR DE TENSÃO
 
Tensões
Forças SUPERFICIAIS:
( , )
V V
S Sf df t x t dS
 
  
Cálculo da resultante das forças 
superficiais
0
( , ) lim i
i
S
S
i
f
t x t
S

 


onde:
 
Tensões
Forças VOLUMÉTRICAS:
df v=ρb(x , t)dV
f V=∫
V
dfV=∫
V
ρb(x , t)dV
b(x,t) é o campo vetorial de forças mássicas.
fv é a resultante das forças volumétricas. 
Cálculo da força volumétrica resultante:
Geralmente teremos como força mássica o peso próprio, neste caso ρ é a 
densidade do meio e o vetor das forças mássicas se resume a aceleração da 
gravidade g, então:
V
V
f g dV 
 
Tensões
VETOR DE TRAÇÃO
Considere um plano de corte arbitrário:
Os versores normais n e −n definem o plano de corte.
Os vetores t(X,n) e −t(X,-n) são os vetores de tração em força por unidade de 
área associados ao plano de corte (ação e reação).
 
Tensões
1º - A tração em um ponto material do meio contínuo depende apenas do versor n, 
normal ao plano, e do ponto P considerado.
2º - É a lei de ação e reação aplicada ao ponto P do plano.
t⃗= t⃗ (P, n⃗)
t⃗ (P , n⃗)=− t⃗ (P ,−n⃗)
Considerando o conjunto das infinitas partículas de um meio contínuo, temos:
f i=miai R=∫
V
ρbdV+∫
ΓV
tdS=∫
M
a dm=∫
V
ρa dVe R=∑i=1
n
f i=∑
i=1
n
miai
POSTULADOS DE CAUCHY
 
Tensões
Um ESFORÇO INTERNO pode ser obtido fazendo:
( , )S S
S S
f df t X n dS
 
 
  
Cálculo da força resultante no plano Π
Onde t(X,n) é o VETOR DE TRAÇÃO no plano Π
Para qualquer dos infinitos planos possíveis existirá um vetor de tração que 
assegura a manutenção do equilíbrio de modo que sempre se poderá calcular 
uma resultante de forças associada.
Observe que o vetor de trações poderia ser uma função da posição no plano de 
corte e poderia, portanto, não ser constante nesse plano de corte.
 
Tensões
VETOR DE TENSÃO.
Consideramos o vetor de tração t(X(P),n) em um ponto específico X(P), um sis-
tema de referência com origem em P, com o eixo 1 orientado segundo a normal 
n e os demais eixos coordenados, 2 e 3 contidos no plano Π.
O VETOR DE TENSÕES é formado pelas componentes, normal na direção do 
eixo 1, e tangenciais contidas no plano e orientadas segundo os eixos 2 e 3.
 
Tensões
Componentes do VETOR DE TENSÕES
O vetor de tração no ponto P se decompõe 
em componente normal e tangencial:
1 1 nt t n    
 
nt  
 
A tensão tangencial τ se decompões em:
2 3   
  
VETOR DE TENSÕES →
1
2 2
3 3
nt
t t
t



   
       
   
   

 
Tensões
TENSOR DAS TENSÕES
Considere o equilíbrio do tetraedro elementar.
Os versores n e ni são normais aos planos das faces do tetraedro.
Os vetores de tração t e ti formam um ângulo qualquer com cada um dos versores.
 
Tensões
EQUILÍBRIO DO TETRAEDRO ELEMENTAR
( ) ( )
S iS
i i
V V
bdV tdS t dS adV 
 
     
R=∫
V
ρbdV+ ∫
ΓV
tdS=∫
M
adm=∫
V
ρadV
Observe que: ∫
Γ S i
t(i )dS (i)=−∫
Γ S 1
t(1)dS(1)−∫
Γ S 2
t(2)dS (2)−∫
Γ S3
t(3)dS (3)
 
Tensões
EQUILÍBRIO DO TETRAEDRO ELEMENTAR
O volume de um tetraedro é dado por:
1
3T base
v S h
Então podemos escrever:
(1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1
3 3
hS b t S t S t S hS a    
Si=n⃗iS vem:
1
3 hSρ̄ b̄+ t̄ n⃗S− t̄
(1) n⃗1S− t̄
(2) n⃗2S− t̄
(3) n⃗3S=
1
3 hSρ̄ ā
Cancelando a área S e levando ao limite com h → 0, teremos:
Substituindo os S(i) por:
(1) (2) (3)
1 2 3( , ) 0t P n n t n t n t n   
   
 
Tensões
desenvolvendo:
TENSOR DE TENSÕES DE CAUCHY
σ(P)=σ ij e⃗ i⊗ e⃗ j
com e⃗ i⊗e⃗ j produto diádico ou tensorial entre os versores ei.
As componentes cartesianas dos t⃗ (i) serão as componentes do tensor das tensões:
t⃗ (i)(P)=σ ij e⃗ j
t⃗ (1)=σ11 e⃗1+σ12 e⃗ 2+σ13 e⃗ 3=σ1 i e⃗ i
t⃗ (2)=σ21 e⃗1+σ22 e⃗2+σ23 e⃗3=σ2 i e⃗ i
t⃗ (3)=σ31 e⃗1+σ32 e⃗2+σ33 e⃗3=σ3 i e⃗ i
ou σ ij(P)=tj
(i)(P)
 
Tensões
Cálculo do VETOR DAS TENSÕES
t⃗ (P ,n)= t¯ (i)(P)n⃗i
t⃗ j(P ,n)= t̄ j
(i)(P)n⃗i=n⃗iσ ij(P)
Dado o ponto P no plano dado pela normal n, o vetor das tensões é dado por:
Na forma indicial com i = 1, 2, 3 podemos escrevemos:
 
Tensões
t⃗ (P ,n)=n⃗σ(P)
Cálculo do VETOR DAS TENSÕES 
O vetor das tensões fornece a informação sobre a tensão normal ao plano e as 
tensões de cisalhamento paralelas ao plano considerado.
 
Tensões
COMPONENTES DO TENSOR DAS TENSÕES
Observe que as componentes que atuam nas faces opostas às mostradas estão 
omitidas na figura por simplicidade.
 
Tensões
Os BALANÇOS DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO e do MOMENTO 
ANGULAR permitem reduzir as 18 componentes iniciais a apenas 6 para um 
estado de tensões completo. 
Os termos σij com i ≠j recebem o nome de tensões cisalhantes e geralmente 
são designadas por τij. Convenciona-se que as tensões normais serão positivas 
quando saindo da face. As cisalhantes serão positivas quando seus sentidos 
concordarem com o sentido positivo ou negativo do eixo da normal positiva no 
mesmo plano. 
 
Tensões
EQUAÇÃO DE CAUCHY
Relação entre forças mássicas, acelerações e o tensor de tensões.
{ ∇⋅σ+ρb=ρa ;∀x∈V∂σ ij∂ xi +ρb j=ρa j ; i , j=1,2,3 b(x,t) com x Є Vt(x,t) com x Є ΓV
Expandindo os termos:
1311 12
1 1
1 2 3
2321 22
2 2
1 2 3
31 32 33
3 3
1 2 3
b a
x x x
b a
x x x
b a
x x x
 
 
   
  
 
  
      
  
      
  
   
  
 
Tensões
{ ∇⋅σ+ρb=0;∀x∈V∂σ ij∂xi +ρb j=0; i , j=1,2,3Se houver equilíbrio teremos:
O equilíbrio no contorno implica em: { n(x , t)⋅σ (x , t)=t (x , t) ,∀x∈ΓVniσ ij=t j; i , j=1,2,3
Considerando o BALANÇO DE MOMENTO ANGULAR demonstra-se a simetria do 
tensor das tensões.
O BALANÇO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO fornece:
{ ∇⋅σ+ρb=σ⋅∇+ρb=ρ a;∀x∈V∂σ ij∂xi +ρb j=∂σji∂x j +ρb j=ρa j; i , j=1,2,3
{ n(x , t)⋅σ (x , t)=σ(x , t)⋅n (x , t )=t (x , t) ,∀x∈ΓVniσ ij=σ ijni=t j(x , t ); i , j=1,2,3
 
Tensões
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
De maneira análoga ao que foi feito para as deformações, também é possível obter 
tensões principais e suas direções aplicando o cálculo dos autovalores e 
autovetores da matriz que corresponde ao tensor de segunda ordem das tensões 
dado anteriormente.
 
Tensões
CÍRCULO DE MOHR DAS TENSÕES
A construção do círculo de Mohr para as tensões é análoga à que foi feita para 
as deformações. No eixo horizontal teremos as tensões normais e no eixo 
vertical teremos as tensões de cisalhamento. Observe que esta última não é 
dividida por dois como são as distorções dos estados de deformação.
 
Tensões
DECOMPOSIÇÃO DAS TENSÕES
É útil para aplicação posterior saber que o tensor das tensões se decompõem em 
parte esférica e parte desviadora:
devesf  
A parte esférica é dada por: σesf=
1
3
Tr (σ)⋅I=σm⋅I=[σm 0 00 σm 00 0 σm]
onde: σm é a tensão média dada por:
σm=
1
3
(σ ii)=
1
3
(σ11+σ22+σ33)
A parte desviadora é dada, portanto, por: σdev=σ−σesf=[σ11−σm 0 00 σ22−σm 00 0 σ33−σm]
A parte esférica corresponde ao estado HIDROSTÁTICO e a parte desviadora é 
uma medida de quanto um determinado estado de tensões se afasta do estado 
hidrostático. 
 
Tensões
INVARIANTES DO TENSOR DAS TENSÕES
Os invariantes fundamentais são: I1=Tr (σ)=σ ii=σ11+σ22+σ33I2=
1
2
(σ :σ−(I1)
2)=−(σ11σ22+σ22σ33+σ33σ11)
I3=det (σ)
Os invariantes de um tensor de tensões puramente desviador são:
J '1=0
J '2=
1
2
(σ ' :σ ')=1
2
σ 'ijσ ' ji
J '3=
1
3
(σ 'ijσ 'ijσ 'ij)
A soma de invariantes também é invariante.
 
Tensões
Tensão e tração verdadeiras de CAUCHY
Considere os vetores de tração t e T respectivamente nas configurações de 
referência e deformada mostrados na figura abaixo.
Diferencial de força df
df=t ds=TdS
t → tração verdadeira de Cauchy
T → vetor tração nominal de Piola-
 Kirchoff
t=t (x , t ,n)
T=T(X , t ,N)
Configuração 
de referência
t=0
Configuração 
atualizada
t=t
 
Tensões
TEOREMA DE CAUCHY
Os vetores de tração t e T das configurações de referência e atualizada, se 
relacionam com as normais aos respectivos planos n e N, por meio dos 
tensores de segunda ordem, TENSÃO VERDADEIRA DE CAUCHY (σ) e 
PRIMEIRO TENSOR DE TENSÕES DE PIOLA-KIRCHOFF (P).
Teorema de CAUCHY: { t (x , t ,n)=σ(x , t )nT (X , t ,N )=P (X , t )N
Ou em componentes: { t i=σ ijn jT i=P iJNJ
 
Tensões
t(x , t ,n)ds=T(X , t ,N)dS →σ(x , t)nds=P(X , t)N dS
Lembrando que podemos escrever: ds=JF
−T dS
P(X , t)=J σF−T
Ou ainda: σ=J
−1PFT=σT que obriga a ter: PF
T=FPT
O tensor de tensões de Cauchy é simétrico e o primeiro de Piola-Kirchoff 
geralmente não será simétrico.
Relação entre TENSÃO VERDADEIRA DE CAUCHY (σ) e PRIMEIRO TENSOR 
DE TENSÕES DE PIOLA-KIRCHOFF (P).
 
Tensões
Exercício: A deformação de um corpo é dada por:
x1=−6X 2 x2=
1
2
X 1 x3=
1
3
X 3
Sabendo que em um certo ponto, o tensor de tensões de Cauchy é dado por:
[σ]=[0 0 00 50 00 0 0] (kN /cm2)
Calcule os vetores de tração de Cauchy e primeiro de Piola-Kirchoff que atuam 
em um plano que na configuração atual é definido pela normal n = e2.
Primeiro obtemos o gradiente F e seu inverso:
[F ]=[ 0 −6 01/2 0 00 0 1/3] [F−1]=[ 0 2 0−1/6 0 00 0 3]
Em seguida obteremos P, sabendo que det F = J = 1 e [P] = J [σ] [F -T]
 
Tensões
Calculando o primeiro tensor de Piola-Kirchoff:
[P ]=J [σ][F−t ]=[ 0 0 0100 0 00 0 0] (kN /cm2)
Vamos obter agora o versor N normal ao plano na configuração de referência:
N dS=J−1F tnds=12 e1ds que fornece: N=e1
Usando o teorema de Cauchy calculamos agora os dois vetores de tração:
[t ]=[σ][n ]=[ 0500 ] (kN /cm2)e[T ]=[P ][N ]=[
0
100
0 ] (kN /cm2)
Observe que a área na configuração deformada (ds) será o dobro da área da 
configuração de referência (dS).
Observe que a área dobrou e a tensão caiu pela metade como era esperado.
→ Não simétrico
 
Tensões
SEGUNDO TENSOR DE TENSÕES DE PIOLA-KIRCHOFF
Vimos antes que o primeiro tensor de tensões de Piola-Kirchoff é, geralmente, 
não simétrico. Em aplicações numéricas não lineares se opera com tensores de 
tensão geralmente simétricos. A transformação seguinte permite obter um tensor 
simétrico. S=J [F−1 ][σ ][F−t ]
Vejamos para o exemplo anterior:
[S ]=1([ 0 2 0−1/6 0 00 0 3][0 0 00 50 00 0 0][0 −1/6 02 0 00 0 3])
A relação entre o primeiro e segundo tensores de Piola-Kirchoff é dada por:
S=J [F−1][σ ][F−t ]=[F−1] [P ]=S t
→ [S ]=[200 0 00 0 00 0 0]
O segundo tensor de Piola-Kirchoff não admite interpretação física em termos 
de vetor de tração em um plano. 
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