Trabalho 4

Prévia do material em texto

Universidade Federal Fluminense 
 
 
 
 
 
PHILLIPE JUSTINO MARTINS 
 
 
 
 
 
Resolução de EDP, Classificação de Comportamento e 
Cálculo de Autovalores e Autovetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volta Redonda 
2021
1 
 
Exercício #4 
Considere o Sistema de EDP abaixo e calcule os autovalores e autovetores. Para u maior 
que C (constante) qual o comportamento desse sistema (elíptico, parabólico ou hiperbólico)? 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑥
= 0 
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑡
+ 𝐶
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑢
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑥
= 0 
 
Obs.: 
A. Escreva o sistema acima na forma de fluxo conservativo ou lei de conservação 
B. Determine a Matriz Jacobiana 
C. Calcule os autovetores e autovalores 
 
Podemos reescrever a primeira equação como: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 
 
Assim temos em sua forma conservativa: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 2𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 
 
Para a segunda equação reescrevemos da seguinte maneira: 
𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝐶
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑢𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑢𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 
 
Assim temos em sua forma conservativa: 
𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ (𝑢2 + 𝐶)
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑢𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 
 
Satisfazendo a questão (A) como: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 2𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 
2 
 
𝑢
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ (𝑢2 + 𝐶)
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑢𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 
 
Utilizando o método geral de classificação de equações parciais diferenciais, chamado 
de método de autovalor segundo (ANDERSON, JR., 1995, p. 102), temos que: 
𝑎1
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝑏1
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑑1
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 
𝑎2
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝑏2
𝜕𝜌
𝜕𝑥
+ 𝑐2
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑑2
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 
 
Definindo W como o vetor coluna e escrevendo em sua forma de matriz dado por: 
𝑊 = {
𝜌
𝑢
} 
[
𝑎1 𝑐1
𝑎2 𝑐2
]
𝜕𝑊
𝜕𝑡
+ [
𝑏1 𝑑1
𝑏2 𝑑2
]
𝜕𝑊
𝜕𝑥
= 0 
[𝐾]
𝜕𝑊
𝜕𝑡
+ [𝑀]
𝜕𝑊
𝜕𝑥
= 0 
 
Temos: 
[
1 0
𝑢 𝜌
]
𝜕𝑊
𝜕𝑡
+ [
2𝑢 𝜌
𝑢2 + 𝐶 𝑢𝜌
]
𝜕𝑊
𝜕𝑥
= 0 
 
Considerando que J (Jacobiano) é a inversa da matriz K multiplicada pela matriz M, 
temos: 
[𝐾]−1 = [
1 0
𝑢 𝜌
] [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = ln [
1 0
0 1
] 
⇒ [𝐾]−1 = [
1𝑎 + 0𝑐 1𝑏 + 0𝑑
𝑢𝑎 + 𝜌𝑐 𝑢𝑏 + 𝜌𝑑
] = ln [
1 0
0 1
] 
 
Resolvendo o sistema: 
1𝑎 = 1 ⇒ 𝑎 = 1 
1𝑏 = 0 ⇒ 𝑏 = 0 
𝑢𝑎 + 𝜌𝑐 = 0 ⇒ 𝑢 + 𝜌𝑐 = 0 ⇒ 𝑐 =
−𝑢
𝜌
 
𝑢𝑏 + 𝜌𝑑 = 1 ⇒ 𝜌𝑑 = 1 ⇒ 𝑑 =
1
𝜌
 
 
3 
 
Obtendo a matriz inversa de K e multiplicando por M temos a matriz Jacobiana J e 
satisfazendo a questão B. 
[𝐾]−1 = [
1 0
−𝑢
𝜌⁄
1
𝜌⁄
] 
[𝐽] = [𝐾]−1[𝑀] = [
1 0
−𝑢
𝜌⁄
1
𝜌⁄
] [
2𝑢 𝜌
𝑢2 + 𝐶 𝑢𝜌
] 
⇒ [𝐽] = [
2𝑢 𝜌
𝐶 − 𝑢2
𝜌⁄ 0
] 
 
A determinação dos autovalores são dados por: 
|[𝐽] − 𝜆[𝐼]| = 0 
⇒ [
2𝑢 − 𝜆 𝜌
𝐶 − 𝑢2
𝜌⁄ −𝜆
] = 0 
⇒ 𝐷𝑒𝑡 [
2𝑢 − 𝜆 𝜌
𝐶 − 𝑢2
𝜌⁄ −𝜆
] = 0 
⇒ 𝜆2 − 2𝑢𝜆 + 𝑢2 − 𝐶 
 
Retirando as raízes de lambda para a obtenção dos autovalores, temos: 
𝜆 =
−(−2𝑢) ± √(−2𝑢)2 − 4(1)(𝑢2 − 𝐶)
2(1)
 
⇒ 𝜆 =
2𝑢 ± √4𝑢2 − 4𝑢2 + 4𝐶
2
⇒ 𝜆 =
2𝑢 ± √22𝐶
2
⇒ 𝜆 =
2𝑢 ± 2√𝐶
2
 
⇒ 𝜆 = 𝑢 ± √𝐶 
 𝜆1 = 𝑢 + √𝐶 𝑒 𝜆2 = 𝑢 − √𝐶 
 
Para 𝑢 > 𝐶, seguindo o princípio de classificação de EDPs, onde: 𝜆 > 0 é hiperbólica, 
𝜆 = 0 é parabólica e 𝜆 < 0 é elíptica, temos para a equação acima uma equação hiperbólica. 
 
Na determinação dos autovetores, temos que a matriz da substituição dos autovalores 
multiplicada pela coluna de vetores v é igual a 0. 
[
2𝑢 − 𝜆 𝜌
𝐶 − 𝑢2
𝜌⁄ −𝜆
] [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
 
 
4 
 
Para 𝜆1 = 𝑢 + √𝐶 temos: 
[
2𝑢 − (𝑢 + √𝐶) 𝜌
𝐶 − 𝑢2
𝜌⁄ −(𝑢 + √𝐶)
] [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
 
Aplicando a Decomposição LU para zerar a linha inferior, temos o valor de 
√𝐶+𝑢
𝜌
: 
[𝑢 − √𝐶 𝜌
0 0
] [
𝑣1
𝑣2
] = 0 ⇒ (𝑢 − √𝐶)𝑣1 + 𝜌𝑣2 = 0 
𝑣1 =
−𝜌𝑣2
(𝑢 − √𝐶)
 𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑣1 𝑒𝑚 𝑣2 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: (𝑢 − √𝐶)
−𝜌𝑣2
(𝑢 − √𝐶)
+ 𝜌𝑣2 = 0 
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑣2 = 1, 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑣2 𝑒𝑚 𝑣1, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣1 =
−𝜌
(𝑢 − √𝐶)
 
 
Substituindo a equação para 𝜆1 = 𝑢 + √𝐶 
[
𝑢 − √𝐶 𝜌
𝐶 − 𝑢2
𝜌⁄ −𝑢 − √𝐶
] [
−𝜌
(𝑢 − √𝐶)⁄
1
] = 0 
 
Para 𝜆2 = 𝑢 − √𝐶 temos: 
[
2𝑢 − (𝑢 − √𝐶) 𝜌
𝐶 − 𝑢2
𝜌⁄ −(𝑢 − √𝐶)
] [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
 
Aplicando a Decomposição LU para zerar a linha inferior, temos o valor de 
√𝐶−𝑢
𝜌
: 
[𝑢 + √𝐶 𝜌
0 0
] [
𝑣1
𝑣2
] = 0 ⇒ (𝑢 + √𝐶)𝑣1 + 𝜌𝑣2 = 0 
𝑣1 =
−𝜌𝑣2
(𝑢 + √𝐶)
 𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑣1 𝑒𝑚 𝑣2 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: (𝑢 + √𝐶)
−𝜌𝑣2
(𝑢 + √𝐶)
+ 𝜌𝑣2 = 0 
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑣2 = 1, 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑣2 𝑒𝑚 𝑣1, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣1 =
−𝜌
(𝑢 + √𝐶)
 
 
Substituindo a equação para 𝜆2 = 𝑢 − √𝐶 
[
𝑢 − √𝐶 𝜌
𝐶 − 𝑢2
𝜌⁄ −𝑢 − √𝐶
] [
−𝜌
(𝑢 + √𝐶)⁄
1
] = 0 
 
5 
 
Referências 
ANDERSON, JR., D. J. Computational Fluid Dynamics - The Basics With Aplications. 
TANNEHILL, John C.; ANDERSON, Dale A.; PLETCHER, Richard H. Computational 
Fluid Mechanics and Heat Transfer. 2ª. ed.