Oscilações e Ondas

Prévia do material em texto

PERÍODO E FREQUÊNCIA 
 
A frequência f da oscilação é o número de vezes por unidade de tempo 
que a partícula descreve uma oscilação completa (um ciclo). A unidade de 
frequência do SI é o hertz (Hz), definido da seguinte forma: 
 
1ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧 = 1𝐻𝑧 = 1𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 = 1𝑠−1 
 
Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de 
um certo instante começa a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento 
é periódico. O tempo que o corpo gasta para voltar a percorrer os mesmos 
pontos da trajetória é chamado de Período T. O período está relacionado à 
frequência pela equação abaixo. 
𝑇 =
1
𝑓
 
Movimento Harmônico Simples – MHS 
 
O movimento harmônico simples – MHS é um movimento periódico onde 
o objeto passa novamente por uma dada posição depois de um período T. Esse 
movimento é uma função senoidal do tempo t, ou seja, pode ser escrito como 
uma função do seno ou cosseno de t. 
 
Um exemplo típico de um sistema que utiliza o MHS é sistema massa-
mola, figura 1. Uma mola tem uma de suas extremidades presa em uma parede 
e a outra extremidade está presa em um corpo que está sobre uma superfície 
sem atrito. Quando deslocado de sua posição de equilíbrio o corpo começa a 
oscilar. 
 
Figura 1 - MHS massa-mola. Fonte: Halliday, 2009. 
. 
 
A mola ganhará velocidade à medida que se move para a posição de 
equilíbrio, já que a aceleração é na direção de sua velocidade. Quando a mola 
está na posição de equilíbrio a sua aceleração é zero. Ao passar da posição de 
equilíbrio a mola começará a desacelerar, já que a aceleração é no sentido 
oposto ao sentido da velocidade. 
Desprezando o atrito, ele parará quando a mola estiver comprimida por 
uma distância d da posição de equilíbrio e então se acelerará de volta para a 
posição de equilíbrio. Ela novamente passa pela posição de equilíbrio e para na 
posição inicial quando a mola está esticada de uma distância d. O movimento se 
repete. 
Considerando um sistema massa-mola que obedeça à Lei de Hooke e 
supondo que a resultante das forças que atuam na massa é a força restauradora 
da mola, temos que: 
𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑚𝜔2𝑥 
Onde 𝑘 = 𝑚𝜔2, assim: 
𝐹 = −𝑘𝑥 
Logo 
𝑘 = 𝑚𝜔2
{
 
 
 
 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 (𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟)
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 (𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜)
 
 
Assim: 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −𝑘𝑥 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝜔2𝑥 = 0 = 𝑓(𝑡) 
A equação acima é uma EDO homogênea linear e de segunda ordem com 
coeficientes constantes, logo aplicando um método numérico para a sua 
resolução temos: 
1 – Mudança de variável 
{ 𝑥
′ = 𝑣
𝑣′ = 𝑥′′
→ { 𝑥
′ = 𝑣
𝑥′′ = −𝜔2𝑥
 
Matricialmente da forma: 
[𝑥
′
𝑣′
] = [
0 1
−𝜔2 0
] [
𝑥
𝑣
] 
Determinando os valores da matriz dos coeficientes, calculando o polinômio 
característico det(𝐶 − 𝜆𝐼) = 0 
𝐶 = [
0 1
−𝜔2 0
] 
det(𝐶 − 𝜆𝐼) = {
[
−𝜆 1
−𝜔2 −𝜆
] = 0
𝜆2 + 𝜔2 = 0
𝜆1 = 𝑖𝜔 𝑒 𝜆2 = −𝑖𝜔
 
Obtemos os valores próprios imaginários conjugados, associados aos 
vetores próprios, V e Z, tais que: 
|𝐶 − 𝜆𝐼|𝑉 = 0 = {
−𝜆𝑣1 + 𝑣2 = 0
−𝜔2𝑣1 − 𝜆𝑣2 = 0
𝑣2 = 𝜆𝑣1
 
Assim, os vetores próprios são de forma (𝑣1, 𝜆1𝑣1) e (𝑧1, 𝜆2𝑧1), fazendo 𝑣1 = 1 e 
𝑧1 = 1, temos: 
𝑉 = (1,−𝑖𝜔) 𝑒 𝑍 = (1, 𝑖𝜔) 
Os autovalores 𝜆1 𝑒 𝜆2, são respectivamente -i e i 
A solução geral do sistema é dada por: 
𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
𝑣(𝑡) = 𝜔(𝑐2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) − 𝑐1 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)) 
 
Aplicando as condições iniciais, 𝑥(0) = 𝑥0 𝑒 𝑣(0) = 𝑣0 
{
𝑥(0) = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(0) = 𝑐1
𝑣(0) = 𝜔𝑐2
→ {
𝑥0 = 𝑐1
𝑣0
𝜔
= 𝑐2
 
Substituindo c1 e c2 na solução geral, temos: 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) +
𝑣0
𝜔
 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Agora, determinando a amplitude A, isto é, o deslocamento do corpo de massa 
m a partir da posição de equilíbrio. 
𝐴2 = 𝑥0
2 + (
𝑣0
𝜔
)
2
→ 𝐴 = √𝑥0
2 + (
𝑣0
𝜔
)
2
 
E sendo o ângulo de fase 𝜑 ∈ [0,2𝜋], o ângulo de fase que caracteriza as 
condições iniciais, tal que: 
{
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑐1
𝐴
=
𝑥0
𝐴
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
𝑐2
𝐴
=
𝑣0
𝜔𝐴
 
Substituindo, temos: 
𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜑 
Ou através da propriedade do cosseno, a equação pode ser reescrita 
como: 
𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 
Onde 
𝑥𝑀= Amplitude do movimento; 𝜔 = frequência angular de oscilação; (𝜔𝑡 + 𝜑) = 
fase; 𝜑 = constante de fase 
 Quando a constante de fase assume valor de 𝜑 = −
𝜋
2
, a equação da 
posição passa a ser uma função do seno, dada pela equação: 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑀 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
 
A velocidade é encontrada derivando a equação da posição em relação 
ao tempo. 
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑣(𝑡) = −𝜔𝑥𝑀 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
Definindo a amplitude da velocidade 𝑣𝑀 = 𝜔𝑥𝑀, encontramos que: 
𝑣(𝑡) = −𝑣𝑀 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
A aceleração é encontrada derivando a equação da posição duas vezes 
em relação ao tempo, logo derivando a equação da velocidade em relação ao 
tempo temos: 
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑎(𝑡) = 𝜔2𝑥𝑀 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 Como as equações da velocidade e da aceleração são funções da 
posição, os seus valores se alteram a medida que a posição é alterada como 
mostra a figura 2. 
 
Figura 2 – Alteração de velocidade e aceleração em função da posição. Fonte: Tippler, 2006. 
Quando se altera a amplitude de oscilação, o movimento tende a 
deslocamentos máximos diferentes, mas com mesma frequência e mesma 
constante de fase. Desse modo os dois movimentos alcançam os extremos no 
mesmo instante. Figura 3. 
 
Figura 3 - Alteração de Amplitude. Fonte: Tippler, 2006. 
Quando aumentamos a frequência, os movimentos terão a forma descrita 
a seguir onde a função de maior período é a vermelha e a de menor período é 
azul, como na figura 4. 
 
Figura 4 - MHS com alteração de frequência. Fonte: Tippler, 2006. 
Como se trata de um movimento periódico, após algum tempo as posições 
irão se repetir, ou seja, após um tempo igual ao período, logo uma relação entre 
a velocidade angular e o período pode ser encontrada, como segue abaixo: 
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇) 
𝑥(𝑡 + 𝑇) = 𝑥𝑀 cos(𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝜑) 
assim 
𝑥𝑀 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝑥𝑀 cos(𝜔𝑡 + 𝜔𝑇 + 𝜑) 
𝜔𝑡 + 2𝜋 = 𝜔(𝑡 + 𝑇) 
𝜔𝑇 = 2𝜋 𝑒 𝜔 =
2𝜋
𝑇
 𝑜𝑢 𝜔 = 2𝜋𝑓 
Exemplo: Se um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com 
a equação, em t = 2,0 s, qual é o deslocamento, a velocidade, aceleração e a 
fase desse movimento? 
𝑥(𝑡) = (6,0𝑚) cos [(
3𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠
) 𝑡 +
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑] 
Resposta: 
Primeiro, observa-se os parâmetros da equação, onde é possível obter 
alguns dados como: 𝑥𝑀 = 6,0𝑚; 𝜔 = 3𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
; 𝜑 =
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑, assim, para um t = 2, a 
equação do oscilador no MHS se torna: 
𝑥(2) = (6,0𝑚) cos [(
3𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠
) (2,0𝑠) +
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑] 
𝑥(2) = (6,0𝑚) cos [6𝜋𝑟𝑎𝑑 +
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑] 
𝑥(2) = (6,0𝑚) cos [
19
3
𝜋𝑟𝑎𝑑] 
𝒙(𝟐) = 𝟑, 𝟎𝒎 
A velocidade 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣(2) = −(3𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
) (6,0𝑚) sen [(
3𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠
) 2 +
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑] 
𝑣(2) = −(3𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
) (6,0𝑚) sen [
19
3
𝜋𝑟𝑎𝑑] 
𝒗(𝟐) = −𝟒𝟖, 𝟗𝟕𝒎/𝒔 
A aceleração 
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
= 𝑎(2) = −(3𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
(6,0𝑚) cos [(
3𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠
) 2 +
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑] 
𝑎(2) = −(3𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
(6,0𝑚) cos [
19
3
𝜋𝑟𝑎𝑑] 
𝒂(𝟐) = −𝟐𝟔𝟔, 𝟒𝟕𝒎/𝒔 
A fase nesse movimento 
𝜙(𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝜑 
𝜙(2) = (3𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)(2,0𝑠) +
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝝓(𝟐) = 𝟑𝟗, 𝟕𝟗 𝒓𝒂𝒅 
 
A energia no MHS 
 
A energia cinética de umapartícula que executa um MHS é calculada por: 
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 𝑒 𝜔2 =
𝑘
𝑚
 
Ou ainda, 
𝐾 =
1
2
𝑘𝑥𝑀
2 𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 
A energia potencial elástica em qualquer instante de tempo é determinada 
pela equação: 
𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2 
Ou ainda, 
𝑈 =
1
2
𝑘𝑥𝑀
2 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝜑) 
A energia mecânica, E, do sistema é dada pela soma de ambas as 
parcelas, cinética e potencial, logo: 
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 
𝐸 =
1
2
𝑘𝑥𝑀
2 𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜑) +
1
2
𝑘𝑥𝑀
2 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝐸 =
1
2
𝑘𝑥𝑀
2 (𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝜑)) 
Como 𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝜑) = 1, logo: 
𝐸 =
1
2
𝑘𝑥𝑀
2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Logo percebe-se que a energia mecânica de um oscilador é linear, 
constante e independe do tempo. 
 
Pêndulos 
Os pêndulos fazem parte de uma classe de osciladores harmônicos 
simples nos quais a força restauradora está associada à gravidade, ao invés das 
propriedades elásticas de um fio torcido ou de uma mola comprimida. 
O pêndulo simples, figura 5, é composto de um corpo suspenso através 
de um fio de massa desprezível, e ele é posto a oscilar em torno de sua posição 
de equilíbrio. No seu movimento a corpo descreve um arco de circunferência. 
 
Figura 5 - Pêndulo Simples. Fonte: Halliday, 2004. 
A componente do peso, tangencial ao deslocamento é a força de 
restauração desse movimento, porque age no corpo de modo a trazê-lo de volta 
à sua posição central de equilíbrio. A componente do peso, perpendicular ao 
deslocamento é equilibrada pela tração exercida pelo fio, de modo que a 
resultante das forças tem a forma: 
𝐹 = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚
𝑑²𝑠
𝑑𝑡²
 
Onde s é o que se chama de deslocamento medido ao longo do arco q 
descreve a oscilação, o sinal negativa significa que é a força age na direção da 
posição de equilíbrio, assim como foi com o sistema massa-mola, o arco s é 
calculado da seguinte maneira: 
𝑠 = 𝐿𝜃 
A frequência angular e o período do pêndulo simples são: 
𝜔 = √
𝑚𝑔𝐿
𝐼
 𝑒 𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝐿
 
Onde I é o momento de inercia da partícula em relação ao ponto de 
suspensão 
O Pêndulo físico, ou pendulo real, não se aproxima do pêndulo simples 
e sua frequência angular e período são determinados por: 
𝜔 = √
𝑔
𝐼
 𝑒 𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔ℎ
 
Onde h é o braço da alavanca da componente restauradora da força 
gravitacional. 
 
Movimento Harmônico Simples Amortecido 
 
Considerando um sistema composto por uma mola de constante elástica 
k, com uma das extremidades presa ao teto e a outra suspendendo um corpo de 
massa m mergulhado em um liquido, quando corpo se move, o anteparo se move 
no liquido e esse movimento é amortecido por uma força que surge devido à 
viscosidade do líquido, como na figura 6. 
 
Figura 6 - sistema massa mola em mhs amortecido. Fonte: Halliday, 2004. 
 A força dissipativa pode ser descrita pela equação: 
𝐹 = −𝑏𝑣 
Em que b, é a chamada constante de amortecimento, e segundo a 
segunda lei de newton, a força resultante que atua no corpo é: 
𝐹𝑅 = −𝑏𝑣 − 𝑘𝑥 = 𝑚𝑎 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡²
+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 0 
Dividindo a equação por m, e substituindo a similaridade, temos: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡²
+
𝑏
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 =
𝑑2𝑥
𝑑𝑡²
+
𝑏
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝜔0
2𝑥 = 0 
Onde, 𝜔 = √𝑘/𝑚 
A equação 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡²
+
𝑏
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝜔0
2𝑥 = 0, possui solução diferencial na forma de: 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒𝛼𝑡 
Determinando as constantes A e : 
 
1 – Substituindo 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒𝛼𝑡 na equação: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡²
+
𝑏
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝜔0
2𝑥 = 0 → 𝐴𝛼2𝑒𝛼𝑡 + (
𝑏
𝑚
)𝐴𝛼𝑒𝛼𝑡 + 𝜔0
2𝐴𝑒𝛼𝑡 = 0 
𝐴𝑒𝛼𝑡 (𝛼2 + (
𝑏
𝑚
)𝛼 + 𝜔0
2) = 0 
Logo, a equação possui duas soluções e como 𝐴𝑒𝛼𝑡 ≠ 0, a outra solução 
é: 
(𝛼2 + (
𝑏
𝑚
)𝛼 + 𝜔0
2) = 0 
A resolução de uma equação de segundo grau, possui duas raízes, que 
são elas: 
𝛼
{
 
 
 
 
−
𝑏
2𝑚
+√(
𝑏
2𝑚
)
2
− 𝜔0
2
−
𝑏
2𝑚
−√(
𝑏
2𝑚
)
2
− 𝜔0
2
 
 
Movimento Sub-Amortecido 
 
Quando 𝝎𝟐 > (
𝒃
𝟐𝒎
)
𝟐
 
 
A equação da posição é dada por 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑀𝑒
−𝑏𝑡/2𝑚cos (𝜔𝐴𝑡 + 𝜑) 
Onde, 
𝜔𝐴 = √𝜔0
2 − (
𝑏
2𝑚
)
2
 
A equação da posição em função do tempo tem a forma da curva da figura 
7. Ela é um cosseno multiplicado por uma exponencial, e o resultado é um 
cosseno cuja amplitude de oscilação vai diminuindo à medida que as oscilações 
se processam. 
 
Figura 7 - Ilustração da posição em função do tempo de um MHS. Fonte: Tippler, 2006. 
 
 
Movimento Super-Amortecido 
Quando 𝝎𝟐 < (
𝒃
𝟐𝒎
)
𝟐
 
 
A equação da posição é dada por 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑀𝑒
−𝑏𝑡/2𝑚cosh (𝜔𝐵𝑡 + 𝜑) 
Onde, 
𝜔𝐵 = √(
𝑏
2𝑚
)
2
− 𝜔0
2 𝑒 𝛼 = −
𝑏
2𝑚
± 𝜔𝐵 
A equação da posição em função do tempo tem a forma da curva da figura 
8. Ela é um cosseno hiperbólico multiplicado por uma exponencial, e o resultado 
é um decréscimo da amplitude. 
 
Figura 8 - MHS Super-Amortecido. Fonte: Tippler, 2006. 
 
Oscilação Forçada 
 
Uma oscilação forçada ocorre a medida que um sistema é impulsionado 
por algo ou alguém de fora à este sistema, como é o caso de um balanço por 
exemplo, nesse caso deve-se levar em conta a frequência angular da força 
externa ao sistema, que produz as oscilações forçadas, sendo essa denominada 
de 𝜔𝑓, a equação que propõe a o seu deslocamento é dada por: 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑀 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑓𝑡 + 𝜑) 
Nesse caso, temos o aparecimento do fenômeno chamado de 
ressonância, onde a amplitude da velocidade das oscilações é máxima na 
ressonância, ou seja, quando: 
𝜔𝑓 = 𝜔 
A ressonância é um fenômeno no qual as frequência angulares externas 
e de um material são iguais, quando isso ocorre, diz-se que o material entrou em 
ressonância com o meio, podendo levar até a destruição de uma estrutura. 
 
ONDAS SONORAS 
As ondas podem ser classificadas em dois tipos, ondas mecânicas e 
ondas eletromagnéticas, a diferença entre elas consiste no meio de propagação 
da onda, onde nas ondas mecânicas existe um meio para se propagarem, como 
o som, enquanto as eletromagnéticas não necessitam de um meio para sua 
propagação, como a luz. 
Podem classificadas ainda em outros dois tipos, ondas longitudinais, onde 
a vibração ocorre na mesma direção da sua propagação e ondas transversais 
onde a vibração ocorre perpendicularmente a direção da propagação, como 
mostra a figura 9, onde a primeira representa uma onda longitudinal e a segunda 
uma transversal. 
 
Figura 9 - Classificação de ondas. Fonte: Halliday, 2004. 
A figura 10 mostra alguns elementos a serem estudados em ondas, são 
eles: 
 
Figura 10 - Elementos de um sistema de ondas. Fonte: Tippler, 2006. 
 
Onde, a é a amplitude da onda, V é o vale da onda, C é a crista da onda, 
𝒇 é a frequência de oscilação, T é o período de oscilação e 𝝀 é o comprimento 
de onda. Geralmente ondas periódicas são caracterizadas por uma equação, 
onde leva-se em conta a frequência, o comprimento da onda e sua velocidade, 
essa equação é uma função do seno ou cosseno, representada pela equação 
abaixo. 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
 
Onde, A é a amplitude, 𝜔 é a velocidade. 
A fase da onda é representada por 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡, onde essa fase varia 
linearmente com o tempo, assim o seno assume máximo sempre de -1 a +1, 
onde o valor de –1 corresponde a passagem da onda pelo vale V, e o valor de 
+1 corresponde a passagem da onde pela crista C. 
O comprimento de umaonda, caracterizado pela letra 𝝀, é uma medida 
da distância entre as repetições de duas cristas ou dois vales consecutivos em 
uma propagação, assim podemos utilizar a equação de onda para encontrarmos 
o número de onda, como mostra na figura 11. 
 
Figura 11 - Curva característica de uma onda. Fonte: Halliday, 2004. 
Sabendo que no instante 0 temos: 
𝑦(𝑥, 0) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔0) 
𝑦(𝑥, 0) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) 
Pela figura acima, é possível perceber que o descolamento y, é o mesmo 
para as duas extremidades do comprimento da onda, sendo em x = x1 e x = 
x1+ 𝝀, ambas as posições irão obter o mesmo deslocamento devido a 
periodicidade da onda, assim a equação da função de onda pode se transformar 
em: 
𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥1) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘(𝑥1 + 𝜆) 
𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥1) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥1 + 𝑘𝜆) 
Como a função seno se repete quando o argumento é igual ao 2𝜋, da 
equação acima temos que ter a condição 𝑘𝜆 = 2𝜋, ou seja 
𝑘 =
2𝜋
𝜆
 
Onde k é o número de onda, sua unidade no SI é o rad/m ou m-1. 
 O período e frequência angular da onda são determinados assumindo a 
posição em x = 0, logo na equação da onda teremos: 
𝑦(0, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘0 − 𝜔𝑡) 
𝑦(0, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(−𝜔𝑡) 
𝑦(0, 𝑡) = −𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
 O período é o tempo que um elemento leva para completar uma oscilação 
completa, ou seja ele sai de t1 para um tempo T. 
−𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = −𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔(𝑡1 + 𝑇)) 
−𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = −𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡1 + 𝜔𝑇) 
 Sabe-se que a condição da fase é satisfeita após um argumento de 2𝜋, 
que seria a oscilação completa da onda, logo. 
𝜔𝑇 = 2𝜋 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 𝑒 𝜔 =
2𝜋
𝑇
 
 As duas equações representam o período e a frequência angular (𝜔). 
Sabe-se que a frequência é o inverso do período, logo: 
𝑓 =
1
𝑇
=
𝜔
2𝜋
 
 A velocidade de uma onda é determinada em um ponto onde a sua fase 
é considerada constante, ou seja: 
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑘
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝜔
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= 0 
𝑘𝑣 = 𝜔 𝑜𝑢 𝑣 =
𝜔
𝑘
 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑣 =
2𝜋
𝑘𝑇
 
Equação da onda 
 Considerando a equação da onda na sua forma cosseno e derivarmos em 
relação a t, obteremos a velocidade e a aceleração transversal, logo: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝑣𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡𝑥=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
=
𝜕𝑦
𝜕𝑡
= 𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝑎𝑦 =
𝑑²𝑦
𝑑𝑡²𝑥=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
=
𝜕²𝑦
𝜕𝑡²
= −𝜔²𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
 Derivando agora a equação em função de x, tomando o tempo constante. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑡=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= −𝑘𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²𝑡=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
=
𝜕²𝑦
𝜕𝑥²
= −𝑘²𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
Assumindo as identidades, temos que: 
−
𝜕²𝑦
𝜕𝑥²
1
𝑘2
= 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
−
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
1
𝜔2
= 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
Assim, 
𝝏𝟐𝒚
𝝏𝒙𝟐
=
𝝏𝟐𝒚
𝝏𝒕𝟐
𝒌𝟐
𝝎𝟐
 𝒐𝒖 
𝝏𝟐𝒚
𝝏𝒙𝟐
=
𝝏𝟐𝒚
𝝏𝒕𝟐
𝟏
𝒗𝟐
 
Que é a forma diferencial da equação da onda, podendo ser aplicada a 
todos os tipos de ondas. 
 
Princípio da superposição de ondas 
 
Quando duas ondas se propagam no mesmo meio, o deslocamento de 
uma partícula do meio é a soma dos deslocamentos produzidos pelas duas 
ondas, conhecido como superposição de ondas. 
Duas ondas senoidais que se propagam na mesma corda exibem o 
fenômeno da interferência, somando ou cancelando seus efeitos de acordo com 
o princípio de superposição. 
Considerando duas ondas y1 e y2. 
𝑦1(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 
 A onda resultante será a soma das duas ondas, logo: 
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) 
= 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 
Sabemos que 
𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝛼 + 𝛽
2
) cos (
𝛼 − 𝛽
2
) 
Assim, 
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 (
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜙
2
) 
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
𝜙
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝜙
2
) 
Interferência construtiva 
 Quando a constante de fase é igual a 0, 𝜙 = 0, tem-se o efeito 
somatório de ondas, figura 12, ou seja, as ondas se somam em sua trajetória, 
maximizando a amplitude alcançada e a equação da onda se torna: 
 
Figura 12 - Interferência construtiva em ondas. Fonte: Tippler, 2006. 
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
 Quando a constante de fase é igual a 0, 𝜙 = 𝜋, tem-se uma 
interferência destrutiva, figura 13, logo que as ondas passariam a se cancelar, 
como mostra a figura a baixo e sua equação se torna: 
 
Figura 13 - Interferência destrutiva em ondas. Fonte: Tippler, 2006. 
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
𝜙
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
) 
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
𝜙
2
) 0 
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 0 
Outros valores para a constante de fase geram diferentes tipos de 
interferência dependendo do valor assumido. 
Na figura 14 vemos uma onda em uma corda incidindo sobre uma parede, 
onde possui uma extremidade presa. A corda na parte da onda que chega à 
parede exerce uma força para cima sobre a mesma. Pela terceira lei de Newton, 
a parede exerce uma força igual e para baixo sobre a corda, invertendo a 
amplitude da onda, e enviando para trás um pulso igual e invertido. 
 
Figura 14 - Pulso de uma corda em uma parede fixa. Fonte: Halliday, 2004. 
Se a corda não estiver presa à parede o pulso retorna a partir do extremo 
aberto, mas não há inversão do mesmo, pois não existe força exercida neste 
extremo. Como mostra a figura 15: 
 
Figura 15 - Pulso de uma corda com extremidades livres. Fonte: Halliday, 2004. 
 
Ondas estacionários 
Ao serem sobrepostas duas ondas iguais, mas com velocidades 
diferentes, obtemos as chamas ondas estacionários e sua equação é descrita na 
forma: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) + 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
 Na figura 16 temos uma onda estacionária com dois nós intermediários. 
O nó é um ponto onde a corda não se movimenta, as extremidades são dois nós. 
Numa onda estacionária, essa situação define que nesses pontos o sem(kx) = 
0, ou seja, kx = n𝜋, sendo n = 0, 1, 2,.. Logo, esses nós acontecem em situações 
onde 
𝑥 =
𝑛𝑙
2
 
 Nos pontos onde não ocorrem os nós, ocorrem os valores máximos do 
sen(kx), sendo assim, 
𝑥 =
(𝑛 +
1
2) 𝑙
2
 
Onde l, representa o comprimento da corda. A figura 16 representa 
 
Figura 16 - Movimentação de ondas, com diferentes n. Fonte: Tippler, 2006. 
 
Ondas sonoras 
As ondas sonoras são produzidas por deformações provocadas pela 
diferença de pressão em um meio qualquer, precisando deste meio para se 
propagar. Assim, entende-se que o som é uma onda mecânica, não se 
propagando no vácuo. A maioria dos sons acaba sendo obtido através de objetos 
que estão vibrando, como é o caso do alto-falante. A onda sonora se propaga 
em todas as direções. 
O ouvido humano é sensível aos sons com frequências compreendidas 
entre 20 e 20. 000 Hz, que delimitam o intervalo audível, mas também usamos 
a palavra som no caso de frequências maiores (ultrassom) ou menores 
(infrassom) que os l imites do intervalo audível. 
Vale notar que a propagação de uma onda sonora é feita sem se propagar 
o meio, ou seja, as partículas do meio não se propagam, apenas a onda, como 
mostra a figura 17. 
 
Figura 17 - Ilustração da propagação do som no meio, com particula em posição de equilibrio. 
Fonte: Halliday, 2004. 
À medida que uma onda sonora avança num tubo, cada volume elementar 
do fluido oscila em torno de sua posição de equilíbrio. Os deslocamentos se 
realizam para direita e para esquerda sobre a direção x , na qual a onda se 
propaga.Uma onda sonora de comprimento de onda λ e frequência f produz um 
deslocamento longitudinal s de um elemento de massa do ar que pode ser 
descrito pela equação. 
𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑀cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
Onde sM é a amplitude do deslocamento, s(x,t) representa o 
deslocamento, e o termo do cosseno é o termo oscilatório. 
A intensidade de uma onda é definida como a potência média transmitida 
por unidade de área. Quando no nosso cotidiano dizemos que o som está alto, 
estamos na realidade dizendo que é alta a intensidade som emitido pelo 
aparelho. Os músicos dizem que um som é alto quando a sua frequência é alta, 
representado pela equação: 
𝐼 =
1
2
𝜌𝑣²𝑘𝜔𝑠² 
As características físicas de uma onda sonora estão diretamente 
relacionadas com a percepção desse som pelo ouvinte. Para um a determinada 
frequência, quanto maior for a amplitude da pressão de uma onda sonora 
senoidal, maior será a intensidade sonora percebida 
A aplicação mais importante de ondas sonoras estacionárias é a produção 
de tons musicais em instrumentos de som. Podemos ter dois casos: Tubo Aberto 
e Tubo Fechado. 
 
 
Tubo Aberto 
Na figura 18, ambas as extremidades do tubo são abertas, portanto, 
ambas as extremidades são ventres de deslocamento. A frequência fundamental 
f1 corresponde ao padrão de onda estacionária com ventre de deslocamento em 
cada extremidade e um nó de deslocamento no meio. 
A distância entre ventres adjacentes é sempre igual a meio comprimento 
de onda, e nesse caso é igual ao comprimento L do tubo. 
 
 
Figura 18 - Propagação de onda sonora em tubo aberto. Fonte: Tippler, 2006. 
 
Tubo Fechado 
A figura 19 mostra o comportamento das condas em um tubo fechado. 
 
Figura 19 - Propagação de onda sonora em tubo Fechado. Fonte: Tippler, 2006. 
Interferência em sons 
O termo interferência agrupa os fenômenos ondulatórios que ocorrem 
quando duas ou mais ondas sobrepõem-se na mesma região do espaço. Como 
vimos, uma onda estacionária é um exemplo simples de um efeito de 
interferência: Duas ondas que viajam em sentidos opostos em um meio se 
combinam para produzir uma onda estacionária com nós e ventres que não se 
movem. A figura 20 mostra a interferência construtiva em ondas sonoras. 
 
Figura 20 - Interferência construtiva em amplificadores de som. Fonte: Tippler, 2006. 
Interferência construtiva ocorre sempre que as distâncias percorridas 
pelas duas ondas diferem por um inteiro do comprimento de onda, 0, λ, 2λ, 3λ,...; 
em todos esses casos as ondas chegam ao microfone em fase. Se as distâncias 
dos dois alto-falantes até o microfone diferir de número inteiro do comprimento 
de onda, λ/2, 3λ/2, 4λ/2,...; as ondas chegam ao microfone fora de fase e haverá 
interferência destrutiva, como mostra a figura 21. 
 
Figura 21 - Interferência destrutiva em amplificadores de som. Fonte: Tippler, 2006. 
 
O efeito Doppler é a alteração da frequência sonora percebida pelo 
observador em virtude do movimento relativo de aproximação ou afastamento 
entre a fonte e esse observador. Um exemplo típico do efeito Doppler é o caso 
de uma ambulância com a sirene ligada, durante a aproximação ou afastamento 
de um observador. 
Se o detector ou a fonte está se movendo, ou ambos estão se movendo, 
a frequência emitida f e a frequência detectada f′ estão relacionadas pela 
equação. 
𝑓′ = 𝑓
𝑣 ± 𝑣𝐷
𝑣 ± 𝑣𝐹
 
Onde vD é a velocidade do detector em relação ao ar e vF é a velocidade 
da fonte em relação ao ar. Duas situações devem ser levadas em conta: 
Quando o detector está se movendo em relação ao ar e a fonte está 
parada em relação ao ar, o movimento altera a frequência com a qual o detector 
intercepta as frentes de onda e, portanto, a frequência da onda sonora detectada. 
A equação geral para este caso é: 
𝑓′ = 𝑓
𝑣 ± 𝑣𝐷
𝑣
 
Quando a fonte está se movendo em relação ao ar e o detector está 
parado em relação ao ar, o movimento altera o comprimento de onda da onda 
sonora e, portanto, a frequência detectada. 
A equação geral para este caso é: 
𝑓′ = 𝑓
𝑣
𝑣 + 𝑣𝐹
 
 
REFERÊNCIAS 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. 
8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2009 vol 4; 
SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; 
FREEDMAN, Roger A. 12. ed. São Paulo, SP: Pearson Addison Wesley, c2008-
2009 vol 4; 
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene, Física para Cientistas e Engenheiros - Vol. 2, 
5a ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A., FISICA IV - ÓTICA E FÍSICA 
MODERNA, 12a ed. São Paulo, Addison Wesley, 2008;