Raciocinio Lógico

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“SENAI:Iniciativa da CN! - ConfederaçãoNacional da Indústria
 
S
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I
N
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S
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R
I
A
L
Ee
a
RACIOCÍN
IO lógico
EES
E ANÁLISE DE DADO
S
CONFEDERAÇÃO NACIONAL DA INDÚSTRIA - CNI
Robson Braga de Andrade
Presidente
DIRETORIA DE EDUCAÇÃO E TECNOLOGIA - DIRET
Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti
Diretor de Educação e Tecnologia
Julio Sergio de Maya Pedrosa Moreira
Diretor Adjunto de Educação e Tecnologia
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL - SENAI
Robson Braga de Andrade
Presidente do Conselho Nacional
SENAI - Departamento Nacional
Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti
Diretor Geral
Julio Sergio de Maya Pedrosa Moreira
Diretor Adjunto
Gustavo Leal Sales Filho
Diretor de Operações
O 2015. SENAI - Departamento Nacional
O 2015. SENAI - Departamento Regional de Santa Catarina
A reprodução total ou parcial desta publicação por quaisquer meios, seja eletrônico, mecàã-
nico, fotocópia, de gravação ou outros, somente será permitida com prévia autorização, por
escrito, do SENAI.
Esta publicação foi elaborada pela equipe do Núcleo de Educação a Distância do SENAI de
Santa Catarina, com a coordenação do SENAI Departamento Nacional, para ser utilizada por
todos os Departamentos Regionais do SENAI nos cursos presenciais e a distância.
SENAI Departamento Nacional
Unidade de Educação Profissional e Tecnológica — UNIEP
SENAI Departamento Regional de Santa Catarina
Gerência de Educação - GEDUC
FICHA CATALOGRÁFICA
 
S491r
Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional.
Raciocínio lógico e análise de dados / Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial.
Departamento Nacional, Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento
Regional de Santa Catarina. Brasília: SENAI/DN, 2015.
103 p. : il. (Série Aprendizagem Industrial).
ISBN 978-85-7519-827-8
1. Lógica simbólica e matemática. 2. Lógica. 3. Matemática. 4. Planilhas eletrônicas.
1. Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Regional de Santa
Catarina. |l. Título. Ill. Série.
 
CDU: 510.6
SENAI Sede
Serviço Nacional de Setor Bancário Norte « Quadra 1 « Bloco C « Edifício Roberto
Aprendizagem Industrial Simonsen « 70040-903 » Brasília — DF « Tel.: (0xx61) 3317-
Departamento Nacional 9001 Fax: (0xx61) 3317-9190 + http://www.senai.br
MENSAGEM
AO APRENDIZ
 
Conheça aqui a abertura da Uni-
dade Curricular. Explore essa
oportunidade de aprendizagem
e veja quantas descobertas serão
possíveis!
CAPÍTULO 1
O PENSAMENTOLÓGICO
Prepare-se para conheceros prin-
cípios que permeiam a lógica das
soluções de problemas e a lógica
por trás de conjuntos de elemen-
tos.
CARTULO 2
SEQUÊNCIAS
Conheça aqui a lógica por trás das
sequências de elementos. Essas
sequências serão utilizadas para
resolver problemas delógica.
CAPÍTULO 3
MATEMÁTICA PARA RACIOCÍNIO LÓGICO
Você sabia que com o auxílio da ma-
temática, as soluções lógicas podem
ficar ainda mais interessantes! Para
tanto, conheça aqui algumas ferra-
mentas capazes de proporcionar a
resolução de problemas.
 
PALAVRAS
DO AUTOR
99
CONHECENDO
O AUTOR
101
REFERÊNCIAS
103
SUMÁRIO
CAPÍTULO 4
TABELASE PLANILHAS ELETRÔNICAS
Aprenda a dispor informações em
tabelas detal forma que poderá ana-
lisare verificar padrões que auxiliem
a prever respostas e ainda relatar o
grau de exatidão das mesmas.
 
Leia o fechamento que o
autor preparou para você!
Aproveite todos os cami-
nhos que levam ao conheci-
mento.
Conheça mais detalhes so-
bre o autor deste livro, sua
formação e experiências
profissionais, entre outros.
Confira agora as referências
utilizadas nessa Unidade
Curricular. Aproveite e am-
plie seus conhecimentos!
MENSAGEM
AO APRENDIZ
Olá! Seja bem-vindo à Unidade Curricular “Raciocínio Lógico e Análise de Dados”.
Tenho certeza de que você já utilizou a lógica para solucionar algum problema. Prova-
velmente você algum dia já falou “Hoje vai chover!” e choveu, ou adivinhou quem seria o
campeão de uma partida de futebol antes mesmo que esta tivesse acontecido.
Para você que adivinhou que choveria ou quem venceu a partida de futebol, em am-
bas as situações foi utilizado o raciocínio lógico indutivo, tentando prever com base em
acontecimentos passados o que aconteceria no futuro.
Algumas das ferramentas que serão apresentadas nesta Unidade Curricular são utiliza-
das por você de tão forma natural que você nem percebe que se tratam de instrumentos
de resolução da lógica. Você simplesmenteprecisa fazer algo, e então vai aprimorando a
sua capacidade de resolver problemas.
Com o estudo desta Unidade Curricular você será capaz de solucionar problemas e ana-
lisar resultados. Tarefas que lhe dão trabalho para resolverficarão mais simples de serem
concluídas com o auxílio da lógica. Um bom exemplo seria realizar a contagem de balas
presentes em uma grande caixa. Pense a respeito.
Estude esta unidade, mergulhe neste novo mundo e melhore suas capacidades dera-
ciocinar, estudar, aprender e resolver problemas. Você verá que muitas tarefas que você
considera difícil ficarão simples de serem resolvidas.
RENATO PARANAGUÁDASILVA
CAPÍTULO 1
 
 
ENaos60
ui 
 
Estudando
Raciocínio Lógico
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá pessoal! Gostaria de
informar que,à partir de
= agora, todos os funcionários
irão estudar sobre Raciocínio
Lógico e Análise de dados.
 
O que aprenderemos
com isso, Seu Gustavo?
 
 
Isso dará a vocês
outra visão das
situações-problema
dentro da empresa.
Não será ensinada resolução de
problemas específicos, mas métodos
de resolução para determinados
tipos de problema.
 = Vocês aprenderão a visualizar
a natureza das coisas que
acontecem comoalgo passível
de análise e de entendimento.
= 4
 
 
 
r
=
 
 
 
 
 
Pessoal este é o material que
— cada um devocês receberá. mm
Obrigado pela atenção
- detodose bom trabalho. 
Com o estudo deste capítulo,
você será capaz de reconhecer
problemas de lógica, identificar *
a ferramenta mais adequada
para a solução de determinado
problema e solucionar
problemas lógicos de resposta
" absoluta e previsível.
11. INTRODUÇÃO À LÓGICA
Osprincípios da lógica foram organizados por Aristóteles por volta de 370
a.C. A palavra lógica vem do grego logose significa pensamento, razão ou
princípio. A lógica sempre foi e sempre será utilizada, querendo ou não,
entendendoou não, ela sempre acontecerá.
 
:
E
Figura 1 - Estátua de Aristóteles,o pai da lógica clássica
A lógica garante a forma correta e coerente de descobrir, validar e en-
tender fenômenos e soluções que ocorrem de forma natural ou não. Seu
objetivo é descobrir e verificar se a resposta para determinada pergunta é
válida ou não. Ela busca a resposta verdadeira e correta.
Para iniciar seus estudos, acompanhea seguinte situação:
A empresa Lata de Tinta fabrica tintas das seguintes cores: azul, verme-
lho, amarelo, verde e laranja. O funcionário que cuidava desta função está
ausente e os pedidos de tintas estão aparecendo. O chefe, preocupado com
a situação, busca soluções para o problema. Ele precisa saber quais ingre-
dientes devem ser utilizados para produzir as cores. Ele sabe apenas que o
pigmento era o primeiro e principal ingrediente, pois manchava muito as
luvas do funcionário e que esse ingredientefica separado dos demais.Ele
pensa, então, em ver se há manchas de cor espalhadas pelos ingredientes,
assim poderia saber o que seu funcionário utilizou para produzir cada cor.
Chegando ao local onde estavam osrecipientes com os ingredientes, per-
cebeu manchas de diferentes cores em cada embalagem.
O PENSAMENTO LÓGICO O
E) RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS 
Fez então a seguinte anotação:
a
dledds
mea
Aoc
Cores
Ingredientes
————
amarelo
A,D, E
Azul
A,B,E
B,C,D
vermelho
pigmento própri
o
 
para cada cor
existe um
mais os ingred
ientes.
de haver repeti
ção de ingredie
ntes
para a mesma
tinta.
Não po:
 DiegoFernandes(2015)
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s
(2
01
5)Ainda faltam duas cores: verde e laranja.
Ele, então, percebeu que somente o saco do ingrediente E estava man-
chado de verde.
 
D
i
e
g
o
F
e
m
a
n
d
e
s
(2
01
5)
A partir dessa observação,realizou umabreve pesquisa na internet para
descobrir os outros ingredientes desta cor e viu que as cores primárias
(amarelo, azul e vermelho), quando misturadas duas a duas,originam uma
cor secundária comoresultado (laranja, verde e roxo).
Cores primárias Cores secundárias
Amarelo Azul Vermelho SSo) Laranja
oOu:
0:0-0
 
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s
(2
01
5)
Decidiu misturar os ingredientes da cor azul com os da cor amarelo,in-
cluindo os pigmentos e lembrando que não pode haver repetição de ingre-
dientes.
O PENSAMENTO LÓGICO 6)
A
Aliad
os
a
odio
ABDE
EdEATALS] azul
Peru ETELSa()
sem repetição d
e ingredientes DiegoFernandes(2015)
Assim ele fez a cor laranja, misturando o vermelho com o amarelo.
Logo você saberá todas as ferramentas que foram utilizadas aqui para
resolver este problema. Vamoslá!
Para começo de estudo, você precisa aprender alguns conceitos queirão,
posteriormente,lhe auxiliar na resolução de problemaslógicos.
Na sequência você conhecerá o conceito de valor lógico, proposição,in-
dução e dedução.
111. VALOR LÓGICO
Existem afirmações que podem ser classificadas como verdadeira ou
falsa.
 
EXEMPLO:
- Dois é um número par. Verdadeira.
- Três é um número par.Falsa.
- Corte esta árvore. Não é possível classificar como verdadeira ou falsa.
 
Ú RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
As afirmações que podem serclassificadas como verdadeiras ou falsas
são chamadas de proposição.
Toda proposição é umaafirmação que podeserclassificada como verda-
deira ou falsa, mas nem toda afirmação é uma proposição.
T-
EXEMPLO
Você sabe responderse o oposto do oposto de uma proposição verdadei-
ra é verdadeira ou falsa?
Resolvendo em partes, tem-se.
- O oposto do oposto de uma proposição verdadeira.
- O oposto de uma proposiçãofalsa.
 
- Informação verdadeira.
 
Os termos verdadeiro e falso são opostos, se uma proposição não é uma
coisa então ela é outra, nunca haverá uma terceira opção para proposições.
O oposto de uma proposição verdadeira é falsa. O oposto de uma pro-
posição falsa é verdadeira.
A
 
LAIO
1. Se uma afirmação (proposição) é verdadeira, então ela não é falsa.
Se uma afirmação não é verdadeira, então ela é falsa.
Se é falso dizer que uma proposição é verdadeira, então a proposição é?
 
A seguir acompanhe um exemplo sobre o oposto do oposto de uma pro-
posição.
Agora veja se você compreendeu a lógica do oposto do oposto classifi-
cando a proposição que segue.
A
 
PRATICANDO
2. O oposto do oposto de uma informação não verdadeira é?
 
O PENSAMENTO LÓGICO O
Q RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
Valores lógicos são elementos capazes de informar se determinada pro-
posição (afirmação) é verdade ou não. Se uma afirmação for verdade,
ela é classificada como verdadeira, se não for verdade,ela é classificada
comofalsa.
Não basta descobrir se uma proposição é verdadeira ou falsa, é necessá-
rio determinarse o resultado está correto ou errado.
Se uma proposição for classificada como verdadeira e isso estiver corre-
to, então a proposição é verdadeira.
Se uma proposição for classificada como verdadeira e isso estiver erra-
do, então a proposição falsa.
Você vai aprofundar seu conhecimento a respeito das proposições no
próximo tópico. Acompanhe!
11.2. PROPOSIÇÃO
As proposições exprimem afirmações — que podem ser verdadeiras ou
falsas — a respeito dos mesmos objetos. (FERREIRA, 2001, p. 5). Ela é uma
afirmação que possui apenas uma classificação: verdadeira ou falsa. Uma
proposição não podeter duas classificações ao mesmo tempo.Sefor ver-
dadeiro é porque nãoé falso, se não for verdadeiro então falso.
Acompanhe um exemplo:
a
EXEMPLO
 
A empresa em que Eduardo trabalha está promovendo uma brincadeira
com seus funcionários. Eles desejam premiar todosos funcionários com
uma quantia em dinheiro de R$10.000,00.
Para ganhar o prêmio, o “sortudo” deverá escolher um dostrês porqui-
nhos. O dinheiro está dentro de apenas um porquinho.
 
zw
ol
af
as
ol
a
([
20
--
7]
)
Todas as proposições abaixo são classificadas como verdadeiras e cor-
retas.
- O prêmio está em um dos porcos.
- É mentira dizer que o prêmio está no porco vermelho.
- O prêmio está imediatamente à esquerda do porco que não está com
prêmio.
Com qual porco está o prêmio?
Analisando as proposições tem-se:
1) O prêmio está em um dos porcos:
Sabe-se com total certeza que o prêmioestá ali.
2) É mentira dizer que o prêmio está no porco vermelho:
O prêmio não está no porco vermelho.
3) O prêmio está imediatamente à esquerda do porco que não está com
prêmio.
Considerando o porco vermelho como o porco sem o prêmio, afirma-se
que o prêmio está imediatamente a sua esquerda. Portanto, será cogitado
o porco amarelo como o premiado.
Considere agora o porco azul como o porco sem o prêmio, segundo a pro-
posição, o prêmio está imediatamente à esquerda, indicando o porco ver-
melho como o premiado. Contradizendo a segunda proposição, que afir-
ma que o prêmio não está no porco vermelho.
 
Para entender melhora classificação e montagem de conclusão de pro-
posições, veja outro exemplo, em que será provado que toda tartaruga é
um ser vivo. Acompanhe!
 
EXEMPLO:
Dadas as proposições verdadeiras p e q, será montada uma proposição
verdadeira capaz de provar que todasas tartarugas são seres vivos.
p: Todo animal é um ser vivo.
q: A tartaruga é um animal.
Listando as proposições e atribuindo um valorlógico a elas, tem-se:
p: Todo animal é um ser vivo. Verdadeira
q: Atartaruga é um animal. Verdadeira
 
r: Toda tartaruga é um ser vivo. Verdadeira
 
As proposições p e q sugerem outra proposição que foi chamada de r,
sendo esta a afirmação queserá utilizada para concluir o raciocínio.
Aproposição foi classificada como verdadeira, pois essa proposição foi
montada com base nas proposições p e q que são verdadeiras, portanto r
também é verdadeira e correta.
Veja, na sequência, comoalterar o valor lógico de proposições utilizando
o operadorTIL (=).
NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO (-)
Você podealterar o valor lógico das proposições, negando-o. Para negar
ou inverter o valor lógico de uma proposição, basta inserir o símbolo TIL
(=) na frente da proposição.
Veja a seguir:
p: O natal será dia 25 de dezembro. Verdadeiro.
-p: O natal não será dia 25 de dezembro. Falso.
O PENSAMENTO LÓGICO O
QD RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
Note que, invertendo o sentido da proposição, consequentemente o seu
valor lógico também será invertido.
Veja o seguinte exemplo:
E
 
[9 aado
Dada a proposição:
q; O natal será dia 21 de dezembro. Falso.
Será escrita a negação de q e a negação da negação de q.
Será atribuído um valor lógico para cada proposição.
Negação de q
-q: O natal não será dia 21 de dezembro. Verdadeiro.
Negação da negação de q
==; Será feita a negação de uma negação resolvendo porpartes.
- -(-q), substituindo q tem-se,
- (O natal não será dia 21 de dezembro), invertendo a negação tem-se,
- O natal será dia 21 de dezembro, portanto,
- ==qg: O natal será dia 21 de dezembro.Falsa.
 
Se q representa a proposição “O natal será dia 21 de dezembro” queé
falsa, e --q representa a proposição “O natal será dia 21 de dezembro”
também, pode-se afirmar que:
=-q-q,
Como q é falsa, então --q também será falsa de fato.
Se o seu objetivo fosse apenas descobrir o valor lógico da proposição
--p, de uma forma mais simples, faria da seguinte forma:
Sabe-se quep é falsa, então -p é verdadeira e --p é falsa.
Agora mostre que você aprendeua inverter o valor lógico e o sentido de
proposições resolvendo as proposições que seguem.
Á
AO
 
3. Dadas as proposições,classifique-as em verdadeira ou falsa.
p: Computador é um eletrônico.
q: Todo eletrônico possui botões.
r:O computador possui botões.
Reescreva as proposições segundo a representação e classifique-asem
verdadeira ou falsa.
=p:
-—g;
meme me pe
 
Você aprendeu que a proposição é uma afirmação que possui apenas uma
classificação, ou ela é verdadeira ou ela é falsa, ou seja, ela não pode ter
duas classificações ao mesmo tempo. A seguir, você vai conhecer as duas
principais ferramentas de raciocínio, a indução e a dedução. Acompanhe!
11.8. INDUÇÃO E DEDUÇÃO
A lógica utiliza duas principais ferramentas de raciocínio para encontrar
respostas corretas ou mais próximas do correto: indução e dedução. Essas
ferramentas aplicam métodos para resolução de problemas, em que o mé-
todo de uma é o inverso da outra. Conheça,a seguir, essas ferramentas.
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO
Esta forma de raciocínio busca a resposta levando em consideração
acontecimentos passados e/ou padrões de repetição.
Parte-se de fatos particulares e chega-se a uma conclusão geral.
Acompanhe o exemplo que segue:
Pessoas envelhecem?
Dadas as proposições verdadeiras p, q, r,s, teu:
p: João é uma pessoa.
q: João envelheceu.
r: Pedro é uma pessoa.
s: Pedro envelheceu.
t: Lucas é uma pessoa.
u: Lucas envelheceu.
vit.
A proposição v será a conclusão generalizada, e será induzida pelas de-
mais proposições que são verdadeiras.
Serão feitas duas afirmações que serão classificadas como verdadeiras.
Será feito de v uma resposta generalizada.
Afinal, qual a conclusão dessas proposições?
As proposições são as seguintes:
1) v: Tudo que envelhece é uma pessoa?
ou
2) v: Toda pessoa envelhece?
Emborajá se saiba a resposta, você aprenderá o método que é capaz de
dizer a resposta verdadeira e correta, mesmo não sendo óbvio como este
exemplo. Você deve aprender o método utilizado para provar que todas
as pessoas envelhecem e não este exemplo específico.
Para a resposta “Tudo que envelhece é uma pessoa”, atribui-se o valor ló-
gico verdadeiro e se tentará provar o contrário, para isso, pode-se utilizar
um contraexemploe fazer dela umaafirmação falsa. Um contraexemplo
é um exemplo que contraria uma proposição. Se a afirmação for verda-
deira, o contraexemplo a tornará falsa e vice-versa. Em resumo, você cria
umaafirmação sobre o problemae a classifica como verdadeira ou falsa,
e então você a contraria de forma a inverter o valor lógico da proposição.
O PENSAMENTO LÓGICO O
20) RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
UM E APENAS UM CONTRAEXEMPLO É O SUFICIENTE PARA FA-
ZER À PROPOSIÇÃO VERDADEIRA TORNAR-SE FALSA OU UMA
PROPOSIÇÃO FALSA SE TORNAR VERDADEIRA.
Acompanhe agora um contraexemplo para v:
“Tudo que envelhece é uma pessoa”.
Vegetais envelhecem. Verdadeiro
Vegetais não são pessoas. Verdadeiro
Logo, a proposição “Tudo que envelhece é uma pessoa” é falsa.
Note que:
A proposição “Tudo que envelhece é uma pessoa” foi classificada como
verdadeira, porém incorreta, portanto esta é uma proposição falsa.
Validando a proposição v: “Toda pessoa envelhece”, tem-se:
A proposição “Toda pessoa envelhece” é verdadeira até que se prove o
contrário. Você pode tentar encontrar um contraexemplo, mas será perda
de tempo.
Pode-se concluir por indução que v: “Toda pessoa envelhece” é verda-
deirae correta.
Pa
 
E
PERGUNTA
Como você sabe se o método utilizado foi realmente o da indução?
 
Porqueas ferramentasutilizadas foram as seguintes.
a) Padrão de acontecimentos
João, Pedro e Lucas envelheceram.
b) Acontecimentos passados
Envelhecer sempre aconteceu.
c) Parte-se do particular para o geral
Viu-se que algumas pessoas envelhecem, então generaliza-se para todas
as pessoas.
Veja a resolução do exercício de forma piramidal:
Lad go)foi[ae
 
[afTIETE
RELRATDs:R
João envelheceu.
 
 
 
 
 
Pedro é uma pessoa.
Pedro envelheceu,
 ET:EDreR
Lucas envelheceu.
F
l
u
x
o
d
o
ra
ci
oc
ín
io
 
 
 
 
Somos pessoas.
EEEESATcoR
Conclusão geral
Figura 2 - Pirâmide de resolução pelo método da indução
Fonte: Do autor (2015)
 DiegoFemandes(2015)
Acompanhe mais uma situação.
O problema dos lobos
Como se pode provar que um lobo é um ser vivo?
Sabe-se apenas que o lobo é um mamífero e que todo animal é um ser
vivo, ora, se todo mamífero é um animal e todo animal é um ser vivo, pode-
se concluir que os lobos são seres vivos por serem mamíferos.
Veja como pode-se facilitar o raciocínio organizando o texto em propo-
sições.
É IMPORTANTE LEMBRAR QUE CADA PROPOSIÇÃO SERÁ RE-
PRESENTADA POR UMA LETRA MINUSCULA DO NOSSO ALFA-
BETO E SERÁ CLASSIFICADA COMO VERDADEIRA OU FALSA.
Voltando ao problema do lobo,eles são seres vivos?
Sabe-se que:
p: O lobo é um mamífero. Definição específica do lobo.
q: Todo mamífero é um animal. Definição geral dos mamíferos.
q: Todo animal é um servivo. Definição geral dos animais.
r: Todo lobo é um mamífero. Argumento específico da questão.
c: Logo, todo lobo é um ser vivo. Resposta generalizada.
O PENSAMENTO LÓGICO
E» RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
Agora avaliam-se as proposições e atribui-se o valor de verdadeiro ou
falso.
p: Verdadeiro
q: Verdadeiro
r: Verdadeiro
 
c: Esta proposição é a resposta da questão. É necessário verificar se ela
também é verdadeira.
Note que as proposições p, qer são verdadeiras.
A proposição c foi montada a partir de proposições verdadeiras, portan-
to, a proposição c também é verdadeira e está correta.
Pode-se complementara resolução atribuindo as proposições de acordo
com sua grandeza em seus devidos espaços numa pirâmide hierárquica.
Isso em relação à quantidade de seres por classificação.
Proposições
particulares
Sou um lobo e
) ETRDuTuiIieA
a] *”
ETTALILI) m VS
e por isso
somos animais.
Somos animais
E efeSeiae E)
seres vivos.
Somos lobos e
somos mamíferos.
Os lobos são seres vivos por serem mamiferes, pois todo mamifero é um
animale todo animal é um ser vivo, portanto, os lobos são seres vivos.
Conclusõesgerais
Figura 3 - Pirâmide invertida para resolução do problema do lobo pelo método indutivo.
Fonte: Do autor (2015)
 
D
i
e
g
o
F
e
r
n
a
n
d
e
s
(2
01
5)
Você conheceu o princípio de indução e acompanhou alguns exemplos
desse método de resolução de problemas. Na sequência irá estudar outra
forma deraciocínio, o princípio de dedução.
PRINCÍPIO DE DEDUÇÃO
Esta forma deraciocínio parte de conceitos gerais e chega a conclusões
particulares. Vale a pena lembrar que o método da indução parte de con-
ceitos particulares e chega a conclusões gerais.
O método da dedução faz essencialmente o contrário do método da indu-
ção, partindo de proposições gerais e chegando a conclusões específicas.
Observe:
p: Todo homem é mamífero. Contexto geral.
q: Você é um homem. Proposição específica da questão.
r: Logo, você é mamífero. Resposta particular.
Proposições gerais
 
 
 
 
Todo homem é mamifero.
 
 
Você é homem.
Você é mamifero,
D
i
e
g
o
F
e
r
n
a
n
d
e
s
(2
01
5)
Conclusão específica
Figura 4 - Resolução do problema de forma dedutiva em pirâmideinvertida
Fonte: Do autor (2015)
SILOGISMO
A sis Eis sos Segundo dicionário
Para este método, geralmente,utiliza-se uma técnica chamada silogismo. silogismo é: Dedução
Acompanhe um exemplo desilogismo. formal em que, pos-
tas duas proposições
as premissas, delas
se tira uma terceira, a
conclusão. (FERREIRA,
2000)
O PENSAMENTO LÓGICO E
w RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
 
EXEMPLO:
p: Todo homem émortal. Proposição maior.
q: Você é homem. Proposição menor.
r: Logo, você é mortal. Conclusão particular.
 
O silogismo é um método de dedução, em quese parte de uma proposi-
ção maior e chega-se a uma conclusão particular.
Chegou a sua vez de praticar resolvendo a proposição que segue.
D
PRATICANDO
4. Deduza que uma galinha põe ovo. Sabendo que a proposição maior é
“Toda ave põe ovo”.
p:
q:
É
 
Você conheceu as principais ferramentas utilizadas por matemáticos e
filósofos para a conclusão e validação de soluções de problemas,a indução
e a dedução.
Na sequência você estudará os princípios lógicosutilizados também como
ferramentas para a descoberta e validação de soluções de problemas.
1.2. PRINCÍPIOSLÓGICOS
A lógica aplica princípios fundamentais para a resolução de problemas.
Esses princípios são:
- princípio da identidade;
- princípio da não contradição;
- princípio do terceiro excluído.
Na sequência você conhecerá cada um deles. Acompanhe!
1.2.1, PRINCÍPIO DAIDENTIDADE
Este princípio sugere que todo objeto é igual a si mesmo; mesmo que
você afirme o contrário, não pode fugir desteprincípio.
 
EXEMPLO:
- A palavra cachorro éigual à palavra cachorro.Isso é verdadeiro e sem-
pre será.
» 2=2. Isso sempre será verdade, mesmo que você afirme que 3=2, o nú-
mero dois ainda continuará sendo iguala dois (2=2).
 
Agora que você já conhece princípio da identidade, veja como funciona
o princípio da não contradição.
1.2.2.PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO
Ao formulareste princípio, Aristóteles afirma que uma proposição verda-
deira não podeser falsa e uma proposição falsa não podeser verdadei-
ra. Duas afirmações contraditórias não podem ser verdadeiras ao mesmo
tempo.
r
 
EXEMPLO
Ao deixar uma moeda cairno chão, uma das duas faces ficará voltada para
cima. Propõem-se então:
p: A moeda caiu com “COROA”para cima.
q: A moeda caiu com “CARA” para cima.
Apenas uma das duas proposiçõesestá correta, pois é impossívela moeda
cair e permanecer com “CARA” e “COROA” voltados para cima ao mesmo
tempo.
Embora não se saiba a resposta correta, sabe-se de antemão que as duas
não podem ser verdadeiras e nem falsas ao mesmo tempo,pois estas são
contraditórias.
Se afirmar que a proposiçãop é falsa e isso estiver correto, então q é ver-
dadeira. Portanto a proposição “A moeda caiu com “CARA! para cima” é
verdadeira, porque sabe-se que a outra proposição é falsa.
 
Você acabou de estudara lógica do princípio da identidade e do princípio
da não contradição. A seguir conheça o princípio do terceiro excluído.
1.2.8.PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
Este princípio sugere que para uma proposição qualquer, ou ela é verda-
deira ou sua negaçãoé.
 
EXEMPLO:
Dada a proposição p: “Hoje choveu!”, se p não for verdadeira então -p
(negação de p) é verdadeira, logo “Hoje não choveu” é verdadeira.
Para entender melhor, veja o texto organizado em proposições:
p: Hoje choveu! Falso.
-p: Hoje não choveu! Verdadeiro.
 
Apenas uma delas é verdadeira e apenas uma delas é falsa. Se você des-
cobrir o valor lógico de uma delas, poderá descobrir o valorlógico da outra.
Sabe-se que p não é verdadeira, então a proposição p é falsa, portanto
-p é verdadeira.
O PENSAMENTO LÓGICO €)
Agora que você conhece osprincípios lógicos, aplique esses conhecimen-
tos para realizar a atividade do praticando.
Á
 
PRATICANDO
5. O desafio das caixas
Hoje é seu aniversário e seus colegas de trabalho não deixarão passar em
branco.
Seus colegas compraram um presentinho para você e colocaram dentro
de um cofre chaveado.
 
kt
si
ma
ge
([
20
--
?]
)
Para deixar mais emocionante ainda, seus amigos pegaram três caixas e
colocaram a chave dentro de uma delas. Em cada caixa existe umapista
quete levará até a chave.
Caixal Caixa 2 Caixa 3
Qual caixa você abrirá?
o. Caixal
». Caixa 2
c. Caixa3
“. Impossível saber a resposta.
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s
(2
01
5)
 
(26) RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
Você conheceu as principais ferramentas utilizadas para raciocínio lógico.
Agora você utilizará todo o conhecimento adquirido para aprender outros
conteúdosqueirão lhe auxiliar na resolução de problemas. Acompanhe!
13. CONJUNTOS DE ELEMENTOS
Um conjunto representa uma coleção de objetos que se caracterizam
por determinadas similaridades predefinidas e são representados mate-
maticamente por letras maiúsculas do nosso alfabeto. Os objetos de um
conjunto são chamados de elementos (IEZZI; DOLCE; DEGENSZAJN, 2011).
Observe, no exemplo a seguir, comoeles são representados:
 
EXEMPLO:
CP= (Azul, Amarelo, Vermelho), onde:
CP - nomedo conjunto em letras maiúsculas.
1) - local onde os elementos são listados, separando-os porvírgula.
Azul, Amarelo e Vermelho - elementos do conjunto chamado CP.
O conjunto CP na realidade é o conjunto das cores primárias.
 
Um conjunto pode ser vazio, possuir apenas um, dois, três e até mesmo
infinitos elementos.
Conjuntos e elementos são munidos de operações que podem ser reali-
zadas entre conjuntose entre elemento e conjunto.
Conheça, a seguir, como você pode representar um conjunto e seus ele-
mentos. Confira!
1.3.1. REPRESENTAÇÕES DE CONJUNTOS
Um conjunto podeser representadode três formasprincipais:
- listagem dos elementos;
- Compreensão ou expressão matemática;
- representação geométrica.
Na sequência você conhecerá mais detalhes dessas três formas de repre-
sentação de conjuntos.
REPRESENTAÇÃO POR LISTAGEM
Os elementos de um conjunto podem ser representadosrealizandoa lis-
tagem dos componentes do conjunto. Esses elementos podem serlistados
se estes forem finitos e/ou enumerados, sendo escritos entre chaves “[Pe
 
separadosporvírgula “”. Um conjunto é dito enumerado se seus elementos
respeitarem uma ordem lógica de posicionamento e sequência. Você sem-
pre saberá qual será o próximo elemento.
Veja um exemplo de representação de elementos porlistagem e nomen-
clatura de conjuntos.
 
ENUMERAR
Relacionar metodica-
mente. (PRIBERAM,
2013).
O PENSAMENTO LÓGICO E
=
EXEMPLO
Lembra-se da história da Empresa Lata de Tinta no início deste capítulo?
Observeas anotações que foram feitas pelo chefe:
 
TOMidi
a
do
id
o
PEEE!
i óprio
Para cada cor
existe um pigm
ento prop
mais os ingredientes.
ção de ingredientes
Não pode haver repeti
paraa mesma tinta.
 DiegoFernandes(2015)
Agora serão criados três conjuntos para o agrupamento dos ingredientes
de cada cor. Serão feitas as representações de cada conjunto pelo método
da listagem dos elementos.
O conjunto AM agrupará os ingredientes que compõem a tinta AMARELA.
AM=(A, D,E, Pigmento Amarelo)
O conjunto AZ agrupará os ingredientes componentesda tinta AZUL.
AZ=(A, B, E, Pigmento Azul)
O conjunto VM agrupará os ingredientes da tinta VERMELHA.
VM= (B,C, D, Pigmento Vermelho)
 
Agora exercite indicando os ingredientes necessários para fabricação da
tinta verde.
w RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
A
PRATICANDO
 
6. Com base no exemplo anterior, descubra os ingredientes que compõem
a tinta verde. Dê um nomepara este conjunto e represente-o pelo método
da listagem.
 
O método dalistagem podeser contextualizado de outras formas.
Conjunto infinito e enumerável
O conjunto P será representado como sendo o conjunto dos números pa-
res e positivos.
P=(2,4,6,8,10,...).
O conjunto P possui infinitos elementos, porém, seus elementos são
enumerados de tal forma que sempre se consegue saber qual o próximo
elemento.
Conjunto finito e enumerável
Pode-se representaras letras do nosso alfabeto.
A=(a,b,c,...,z).
Neste caso nosso conjunto A é enumerável e possui uma quantidadefi-
nita de elementos.
Teste seu conhecimento resolvendo a seguinte atividade.
Â
A
 
7. Represente por listagem o conjunto dos números pares e positivos até
1000 e chame de B este conjunto.
 
Agora que você sabe como representar um conjunto por listagem, apro-
fundará seu conhecimento aprendendo outra forma de representar um
conjunto, a representação por compreensão ou expressão matemática.
Vamoslá!
REPRESENTAÇÃO POR COMPREENSÃO OU EXPRESSÃO MATEMÁTICA
Os elementos de um conjunto podem ser representados de acordo com
umaafirmação clara e objetiva de seus elementos ou por uma expressão
matemática.
Representação por compreensão
A= (Dias da semana)
B= (Funcionários da empresa Lata de Tinta)
O PENSAMENTO LÓGICO €
30) RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
É fácil imaginar os elementos dos conjuntos A e B, pois as afirmações
não oferecem margem para duplo sentido (ambiguidade). Todo e qualquer
elemento que fuja da proposição não pertencerá a este conjunto.
Representação por expressão matemática
C = (x: x é um número ímpar)
Neste caso, x representa os elementos do conjunto e ao lado é informadoo critério para queeste x faça parte do conjunto.
Suponha x=3, 3 é ímpar, portanto para x = 3, x pertence ao conjunto C.
Sex=2, 2é par, portanto para x= 2, xnão pertence ao conjunto € por não
satisfazer a condição imposta de o número ser fundamentalmente ímpar.
Entendeu essa forma de representação? Então pratique realizandoa ati-
vidade proposta sobre representação de elementose relação de pertinên-
cia.
Â
 
PRATICANDO
8. Dado oconjuntoD=(x:x>0ex<10ex é inteiro), responda:
Para os valores 2,5, 10 e 11, verifique quais destes valores pertencem ao
conjunto D.
Para x=2, deve-se verificar se este valor se encaixa noscritérios estabele-
cidos.
Veja as proposições:
x>0: 2 é maior que 0. Verdadeiro.
x<10:2 é menor que 10. Verdadeiro.
xé inteiro: 2 é inteiro. Verdadeiro.
x=2. Verdadeiro.
 
Logo, x=2 pertence ao conjunto D. Verdadeiro.
Resposta descritiva:
2 pertence ao conjunto D.
Resposta formal ou matemática:
2€ED
Agora é com você.
Verifique se os demais valores (5, 10 e 11) fazem parte do conjunto D.
 
Você conheceu a representação de conjuntos por listagem e por com-
preensão ou expressão matemática. A seguir será apresentada outra forma
de representação de conjuntosutilizando formas geométricas,a represen-
tação geométrica. Confira!
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Lembrando-se da história da empresa Lata deTinta no início deste capí-
tulo, após as anotações realizadas pelo chefe, ele demonstrou os conjuntos
dos ingredientes das cores azule amarelo para, posteriormente, montar o
conjunto dos ingredientes da cor verde.
aodooo|
A
bloco!
Lad)
ABE
ATA
EVA
[NAS
TAS azul
ido amarelo
Sem repetição
de ingredientes DiegoFemandes(2015)
Figura 5 - Resolução do chefe para o problema das cores
Fonte: Do autor (2015)
Agora serão representados de forma geométrica os conjuntos dos ingre-
dientes das tintas azul e amarelo, que anteriormente foram representados
com a listagem dos elementos.
Relembre:
AM= (A, D,E, Pigmento Amarelo)
AZ=(A,B, E, Pigmento Azul)
Será utilizada a forma geométrica da circunferência para a representação
dos conjuntos AM AZ.
AM
Pigmento azul Diego Fernandes(2015)
Figura 6 - Representação geométrica de conjuntos
Fonte: Do autor (2015)
O PENSAMENTO LÓGICO E)
QB RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
Entendeu como representar os conjuntos por meio de formas geométri-
cas? A seguir você aprenderá a realizar operações entre conjuntos e ele-
mentos. Acompanhe!
1.8.2. OPERAÇÕES ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO
As operações que podem ser aplicadas entre elemento e conjunto per-
tencem à chamada relação de pertinência, em que é possível exprimir se
um elemento pertence ou não pertence a um determinado conjunto.
O operadorpertence e não pertence será representado com os símbolos
Ee é, respectivamente.
Veja o exemplo e entenda a aplicação da operação relação de pertinên-
cia.
 
EXEMPLO:
Dado o conjunto dos números pares positivos P = (2,4, 6,8, 110,...;, pode-
se afirmar que o número 10 é um elemento deste conjunto, portanto 10
pertence ao conjunto P.
Aafirmação 10 pertence ao conjunto P pode ser escrita de seguinte forma:
10€P
Para o número 15, pode-se afirmar o seguinte:
15 &P
Lê-se a expressão da seguinte forma: quinze não pertence ao conjunto P.
 
Verifique se você entendeu a utilização do operadorrelação de pertinên-
cia praticando.
Da
AO!
9. Dado o conjunto A = (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35; e B = (Cachorro, Gato,
Rato), ambosfinitos,crie a relação de pertinência para cada um dos se-
guintes elementos: Queijo, Gato, Cavalo, Rato,20, 24 e 55.
Relação de pertinência do Queijo
Queijo ÉA
Queijo & B
Agora é com você!
 
Você estudou a operação entre elemento e conjunto de elementos. Na
sequência você verá que é possível realizar operações entre conjuntos.
Confira!
1.3.3. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
É possível realizar operações de relacionamento entre conjuntos. As ope-
rações são realizadas sempre entre dois conjuntos, independentemente da
quantidade de conjuntos na operação, e tem como resultado outro con-
junto.
As operações que você irá aprender são as seguintes:
- intersecção;
- União;
- diferença;
- complemento.
INTERSECÇÃO
Esta operação permiteverificar os elementos comunsa dois conjuntos.
Realizando a intersecção entre dois conjuntos, produz-se um terceiro
conjunto com os elementos que pertencem aos dois conjuntos simulta-
neamente.
Esta operação é representada com o símbolo n.
Veja o exemplo que foi preparado para contextualizar a operação inter-
secção entre conjuntos.
Lembrando quea intersecção acontece em pares e o resultado será um
novo conjunto.
E
EXEMPLO
 
Dados os conjuntos A = (1,2,3,4) eB = (3,4, 5), será calculada a intersec-
çáoentreAeB.
Pode-se expressar o conjunto A N B da seguinte forma:
ANB-(x:xe Aex€EB), ou seja, para qualquer x que você atribuir um
valor este deverá ser encontrado em ambosos conjuntos.
Avaliando os elementos de forma individual você terá:
 
 
1ceAel&B
2€Ae2€B Elementos 3e4
3€Ae3€eB <-| Pertencem aos conjuntos A e B
sEAC4EB simultaneamente.
5EAe5 EB
Dos elementoslistados, os que pertencem ao conjunto A e B ao mesmo
tempo serão os elementos do novo conjunto.
Portanto, ANB=(3,4), então esse novo conjunto será chamado de
ANB,
 
O PENSAMENTO LÓGICO €&
Note que você poderesolver o exemplo anterior de outra forma:
ANB=(1,2,3,4)N(3,4,5)
Verificando os elementos em comum você terá
ANB=(3,4)
Avaliando a expressão ANB=(x:x E Aexe BJ, veja se o resultado será
compatível com o anterior.
Realizandoa validação para:
x=1, 1€Ael&B
x=2,2€Ae2€B
x=3,3€Ae3€eB
x-=4,4€EAe4€EB
x=5, 5gAe5EB
Representando essa operação de forma geométrica, você terá:
Di
eg
o
F
e
m
a
n
d
e
s
(2
01
5) 
Figura 7 - Operação deintersecção
Fonte: Do autor (2015)
O RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
Os elementos 3 e 4 pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Lembrando que não pode haver repetição de elementos, exceto em casos
particulares para contagem populacional e outros que sugerem uma res-
trição específica.
Se você tiver mais de um conjunto e desejar agrupar todos os elementos
num único conjunto, você podeutilizar a operação união entre conjuntos
para formar um conjunto contendo todos os elementos agrupados.Veja!
UNIÃO DE CONJUNTOS
União entre dois ou mais conjuntos permite que seja criado um terceiro
conjunto com todos os elementos, de forma que os elementos deste con-
junto pertençam a pelo menos um dos conjuntosutilizados na operação.
Esta operação é representada pelo símbolo U.
Veja um exemplo de utilização do operador união entre conjuntos.
 
EXEMPLO:
Dadosos conjuntos A = (1, 2,3,4je B=(3, 4,5), calcule a união entreA e B.
AUB=(1,23,4)U(3,4,5
AUB=(123,344,5)
AUB=[12,3,4,5)
Você pode expressar o conjunto AU B=(1,2,3,4,5) da seguinte forma:
AUB=([x:xeAe/ouxe B
É fácil perceber que todos os elementos da UNIÃO pertencem ao conjunto
Ae/ou B.
 
Se houver um x com valor diferente dos elementos do conjunto união,
então este elemento não pertence a nenhum dosconjuntos utilizados no
cálculo. Por exemplo:
O PENSAMENTO LÓGICO €&O
36) RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
 
x=6 x=6
x€E A= Falso x É A= Verdadeiro
ou ou
xe= Falso x É B= Verdadeiro 
Quadro 1 - Avaliando um elemento extemo ao conjunto
Fonte: Do autor (2015)
Para x = 6, x não pertence a nenhum dos conjuntos, então ele não fará
parte da união destes.
Portanto, parax=6,x É (AU B) 5 xnão pertence ao conjunto AU B.
Para você fixar os conhecimentos estudados, pratique.
Á
 
AO
10. Dados os conjuntos A = (10, 20, 30, 40, 50) e B = (5,10, 15, 25, 35,30,
35), calcule:
a) AUB
b) ANB
Verifique a relação de pertinência entre o elemento 15 e a intersecção.
Verifique a relação de pertinência entre o elemento 10 e a união.
 
Você aprendeu, até o momento, dois tipos de operação de conjuntos, a
intersecção e a união. A seguir você aprenderá comocalcular a diferença
entre conjuntos.
DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS (A-B)
A diferença entre conjuntos acontece subtraindo/eliminando os elemen-
tos deum conjunto do outro. Dados dois conjuntos,verifica-se os elemen-
tos comum aos doise eliminam-se os do primeiro conjunto.
Essa operação é representada pelo símbolo chamado dehífen (-).
T-
EXEMPLO
Dados os conjuntos A = (1, 2,3, 4)eB = (3,4, 5), será calculada a diferença
entreAÃeB.
A-B=(1,2,3,4)- (3,4,5) Os elementos (3,4) fazem parte da intersecção,
então esses elementosserão eliminados do conjunto A.
A-B
 
 
A B
aha
(1,2,3,4) = (3,4,5)
 
A ANB
(1,2,3,4)- (3,4
A-B
(1,2)
A-B=(1,2)
Os valores que o conjunto B conseguiu diminuir de A foram 03e04.
Você expressará o conjunto (A - B) = (1,2) da seguinte forma:
(A-B)=(xxeAexé&B)
 
 
 
Agora que você já saberealizar a operação dediferença entre conjuntos,
mostre a você mesmo que consegueresolver. Pratique!
À
 
PRATICANDO
11. Com base nos conjuntosA e B do exemplo anterior, calcule a diferença
entreBea.
Compare o resultado do exemplo com o resultado que você calculou, e
avalie a seguinte igualdade em verdadeira ou falsa.
(A-B)=(B-A)
 
O PENSAMENTOLÓGICO €
38) RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
Até aqui você aprendeu as seguintes operações entre conjuntos: inter-
secção, união e diferença, agora irá conhecer o operador contém. Confira!
OPERADOR CONTÉM
Este operadoré utilizado para verificar se determinado conjunto faz par-
te de outro ou não. Representa-se a operação com o operador representa-
do pelo símbolo c.
Suponha A e B conjuntos quaisquer.
Afirma-se que todos os elementos do conjunto A estão presentes no con-
junto B, então há duas possibilidades de leitura:
- O conjunto A está contidoem B-Ac B;ou
- O conjunto B contémo conjunto A - BD A.
9
 
FIQUE POR DENTRO
Conjuntos são considerados iguais quando UM está contido em OUTRO
e o OUTROestá contigo no UM, ou seja, os elementos que compõem os
conjuntos deverão ser os mesmos.
SeP=(1,2)eQ=(2,1), e, todos os elementos de P estão em Q e todos os
elementos de Q também estão em P, então Pe Q são iguais. Portanto:
P=Q
 
Quando o problema que você estiver tentando resolver sugerir agrupa-
mento de informações, inicie sua resolução aplicando conjuntos de ele-
mentose suas respectivas operações.
Lembrando que você aprendeu operação entre elemento e conjuntos e
operaçõesentre conjuntos.
No próximo capítulo você estudará sequências, que é a ordenação de ele-
mentos dentro de conjuntos.
[=|
e
O
Princípio da indução
Princípio da dedução
 me, Conjuntos de elementos
 
 
D
i
e
g
o
F
e
r
n
a
n
d
e
s
(2
01
5)
 
[US dO RTPARROTO
 
1. A proposição terá valor lógico falso.
2. Informaçãofalsa.
3. -p: Computador não é um eletrônico. Falso
--q: Todo eletrônico possui botões. Verdadeira
=--r: O computador não possui botões. Falso
4. p: Toda ave põe ovo.
q: Toda galinha é umaave.
r: Portanto, toda galinha põe ovo.
5. Caixa 1: O aviso da caixa 2 é falso. Verdadeiro
Caixa 2: O aviso da caixa 3 é verdadeiro. Falso
=Caixa 2: O aviso da caixa 3 é falso. Verdadeiro
Caixa 3: A chave não está na caixa 2. Falso
=Caixa 3: A chaveestá na caixa 2. Verdadeiro
Letra B.
6. VE=(A,B, D, E, Pigmento Azul, Pigmento Amarelo)
7.P=(2,4,6,..., 1000)
ou
P=(2,4,6,..., 100,..., 500,..., 1000)
O PENSAMENTO LÓGICO O
w RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
5ED
10 &L
11 &L
9.
Gato É A
Gato e B
Cavalo & À
Cavalo & B
Rato É A
Rato E B
20€ A
20€B
246A
24éB
S5EA
s5EB
10.
a)AUB=(5,10, 15, 20, 25,30, 35, 40, 50)
b)ANB=(10,30)
c) Verifique a relação de pertinência entre o elemento 15 e a intersecção.
I5EANB
d) Verifique a relação de pertinência entre o elemento 10 e a união.
10€AUB
11.
A-B
(1,2,3,4) - (3,4,5)
(1,2)
B-A
(3,4,5] - (1,2,3,4)
(5)
(A-B)=(B-A) é falso
 
OAog
SEQUÊNCIAS
À mes
ae
KkLo
 
SAANOTANO1GS
9315)0HORA [=(ODOR aDO
 
Gustavo percebe que algumas etiquetas das gavetas do armário de arquivos estão
efaltando ou estão gastas. Então, ele chama Marcela para queela ajude a organizá-las.
 
 
Marcela observa e tenta descobrir a lógica
utilizada para sequenciar as gavetas. ow E q 
 
 
 
 
 
 
Cada gaveta tem um código |
formado por uma letra eum |
número. As letras estão em ordem
alfabética e os números em ordem
crescente de valor.
Considerando cada fileira horizontal|
de gavetas como um conjunto e |
listando os elementos de cada
conjunto posso tentar descobrir
o padrão...
l
 
CC Duranteeste capítulo, você
= irá reconhecer uma
sequência, notar padrões de
repetição em conjuntos de
elementos sequênciais. Além
de classificar sequências
pela natureza dos
elementos e aplicar estas
para resolução de
problemas, assim como
Marcela fez para resolver o
problema das etiquetas.
2.1. CONCEITO DE SEQUÊNCIA
Sequência é um conjunto no qual se estabelece uma ordem,de tal forma
que cada elemento é associado a uma posição dentro do conjunto (YOUS-
SEF:; FERNANDEZ, 1993,p. 8). Em outras palavras, sequências são conjun-
tos de elementos que respeitam um determinado padrão de repetição.
O padrão de repetição pode ser encontrado em duas formas: elementos
repetidos; método repetido.
Acompanhea seguir comoidentificar o padrão na repetição dos elemen-
tos.
2.1.1. PADRÃO NA REPETIÇÃO DOS ELEMENTOS
Os elementos deste tipo de conjunto apresentam-se iguais. Sabendo o
valor de um elemento, pode-se afirmar que todos os demais são iguais a
este.
2
E
ae
Dado conjunto A=(1,1,1,1,...)
Qualo valor do último elemento do conjunto A?
 
Sabendo que os elementos do conjunto A são repetidos, é possível de-
terminar que o valor do último elemento terá valor igual ao de todos os
outros. Pode-se concluir que o ultimo elemento será o 1.
Veja o seguinte exemplo e entenda melhor o padrão de repetição deele-
mentos dentro de um conjunto.
MÉTODO
Princípios utilizados
para a dedução do va-
lor dos elementos. Es-
tes princípios podem
ser matemáticos ou
lógicos.
SEQUÊNCIAS O
Q RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
 
EXEMPLO:
O problema docanil
Deseja-se saber que animal habita a CASA 4.
 
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s
(2
01
5)
O problema é montar um conjunto com os animais que estão nas casi-
nhas. Será chamado de AC o conjunto dos animais que habitam as casi-
nhas. Este conjunto terá quatro elementos.
AC = (cachorro, cachorro, cachorro, cachorro)
 
É fácil notar o padrão quando há repetição de elementos na sequência,
ou seja, todos os elementos são iguais.
Agora serão estudadas as sequências em que o padrão de repetição é o
do método repetido.
2.1.2.PADRÃO NA REPETIÇÃO DO MÉTODO
Os elementos deste tipo de sequência podem se apresentardistintos uns
dos outros. Mesmo sendo diferentes em valor, eles possuem algo em co-
mum: o método utilizado para encontrar o elemento seguinte ou anterior.
Comoassim?
 
sh
vi
li
([
20
--
2)
Veja o exemplo e entenda melhor.
Dada a sequência A = (10,15, 20, 25,...), deverá ser encontrado o valor do
sexto elemento da sequência.
Antes de tudo,é preciso resolver os seguintesitens:
a. Um valor conhecido da sequência. Pode-se utilizar o valor do 1º, 2º,
3º ou 4º elemento.
b. O padrão de repetição - elemento ou método.
É fácil perceber que não há repetição de elementos, portanto o padrão
que for encontrado será no método.
Note que o segundovalor da sequência é formado pela soma do primei-
ro elemento com o número5.
Como o valor do primeiro elemento é conhecido e possui valor igual a 10,
então o segundo elemento será o resultado da soma do seu valor como 5,
ou seja:
SEQUÊNCIAS O
 
Aplicando o
método ao
primeiro elemento
Valor do primeiro
 
ATato 
10+5
15
Valor do segundo elemento DiegoFernandes
(2
01
5)
 
 
Figura 8 - Cálculo do segundo elemento aplicando o método ao elemento conhecido
Fonte: Do autor (2015)
Como o valor encontrado foi do segundo elemento, pode ser aplicado
novamente o método e encontrar o valor do terceiro elemento.
Você deve pegaro valor do segundo elementoe adicionar 5 unidades a ele:
 
Aplicando o
Valor do segundo ”
método ao
elemento
segundo elemento
15+5
20
Valor do terceiro elemento
Di
ego
Fe
rn
an
de
s
(
2
0
1
5
)
 
Figura 9 - Cálculo do terceiro elemento aplicando o método ao elemento conhecido
Fonte: Do autor(2015)
Voltando à questão, você deve determinaro valor do sexto elemento, que
será o valor do quinto elemento acrescido de 5 unidades.
Como você não sabeo valor do quinto elemento, precisará calculá-lo.
Calculando o valor do quinto elemento:
Sabendo o valor do quarto elemento (25), será adicionado5 a ele:
2545
30
Agora que você tem o valor do quinto elemento, pode calcular o valor do
sexto elemento, que será a soma do quinto elemento da sequência (30) com 5:
30+5
35
Q RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
Você encontrou o valor para o sexto elemento, que é iguala 35.
Reescrevendo a sequência, você terá: A= (10, 15, 20, 25, 30, 35,...).
O MÉTODO UTILIZADO PARA RESOLVER ESTE PRO-
BLEMA DE BAIXA COMPLEXIDADE PODE SER USA-
DO PARA RESOLVER PROBLEMAS MAIS COMPLEXOS.
VOCÊ NÃO DEVE SE APEGAR AO CONTEÚDO DO EXEMPLO, MAS
SIM AO MÉTODO UTILIZADO PARA RESOLVÊ-LO.
Agora que você já sabe os tipos de repetição que uma sequência pode possuir,
aprenderá comoencontrar os padrõesde repetição e classificar as sequências.
2.1.3. PRINCÍPIOS DA BUSCA PELO PADRÃO DE REPETIÇÃO
Princípios matemáticos utilizam um valor determinado e operação arit-
mética para formar todosos valores dos elementos de uma sequência.
O valor determinadoseria um elemento conhecido da sequência. Aplica-
se então uma operação aritmética com o valor determinadoe encontra-se
o valor do próximo elemento da sequência.
Acompanhe o passo a passo para descobrir outros elementos de uma se-
quência.
1º Descubra o valor de um elemento.
2º Descubra o métodoutilizado para descobrir o próximovalor.
3º Descubra a operação aritmética capaz de gerar o próximoelemento da
sequência.
4º Realize a operação sobre o valor determinado conhecido e encontre o
próximo elemento da sequência.
No exemplo anterior foi utilizado deste conhecimento para resolver o
problema proposto.
Querverificar se compreendeu o que acabou de estudar? Então pratique
realizando a atividade proposta.
À
LsO
 
1. Dada a sequência B = (1,1, 2,3,5,8,13,21,..), encontre o valor do 11º
elemento.
Elabore toda a linha de raciocínio conforme o exemplo anterior.
 
Princípios lógicos utilizam a busca no padrão de repetição sem que este
possa ser representado na forma matemática.
Descoberto o padrão lógico de uma sequência, é possível descobrir todos
os seus elementos.
SEQUÊNCIAS
Acompanhe o exemplo:
ER
[ig
 
Dada a sequência C = (Abelha, Borboleta, Cachorro, Dragão,...), qual das
alternativas corresponde aos próximostrês elementos da sequência?
Flamingo; Gato; Hipopótamo.
Cachorro; Dragão; Elefante.
Elefante; Formiga; Gato.
Estante; Folha; Garfo.
e. Esquilos; Focas;Girafas.
a
o
T
o
Para resolver esse problema,será analisado o padrão de repetição.
É fácil notar que o padrão de repetição não será matemático e sim lógico.
Então é necessário descobrir o método utilizado para formular os elemen-
tos da sequência.
Note que a lógica adotada para escrita dos elementos desta sequência
adota outra sequência como método para escrita do próximo elemento.
Com base na sequência do alfabeto A =(A, B, C, D,...,Z), é possível deduzir
o próximo elemento da sequência.
C=(Abelha, Borboleta, Cachorro, Dragão,...)
Agora você sabe que os próximostrês elementos devem começar com a
letras (E,F, G), desde que estes elementos tenham relação com os anterio-
res, que indicam uma sequência de animais.
Avaliandoasalternativas, tem-se dois candidatos à resposta correta.
a. Flamingo; Gato; Hipopótamo.
b. Cachorro; Dragão;Elefante.
c. Elefante; Formiga; Gato.
d. Estante; Folha; Garfo.
e. Esquilos; Focas; Girafas.
Ambas as alternativas indicam animais que começam com asdevidas le-
tras, porém em uma das alternativas o nomedos animais está escrito no
plural, sendo que na sequência nenhum dositens foi escrito no plural.
Portanto,a alternativa correta é a €.
 
Você conheceu aqui os princípios da busca pelo padrão de repetição. O
próximo assunto a ser estudado é sequência numérica. Confira!
Q RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
2.2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Primeiramente você precisa entendero real significado de número.
Onúmero é um símboloutilizado para mensurar uma determinada quan-
tidade ou ordem.
Observe:
 
iS
to
ck
([
20
-7
])
Quantos sapos estão desenhadosna figura?
* Dois sapos. Representaçãotextual.
- 2 Sapos. Representação numérica.
- Il Sapos. Representação numérica, utilizando números romanos.
Agora que você já conhece mais sobre os elementos deste tipo de se-
quência, observe a exemplificação de algumas sequências numéricas, que
utilizam o métodode repetição é o matemático.
a
 
[Naig!
Dada a sequência P = (2,4,6,8,...), informe o valor do centésimo elemen-
to.
Você sabe que é uma sequência numérica sem repetição de elementos.
O métodoutilizado para composição dos demais elementos é um método
matemático.
Você precisa descobrir a operação que,realizada sobre um valor determi-
nado,é possível calcular o valor do elemento desejado.
Analisando a sequência, segundo a posição e o valor de cada elemento,
tem-se:
 
Posição do elemento 1 2 3 4 Es 100
 
Valor do elemento 2 4 6 8 os 7 
Quadro 2 - Posicionamento dos cem primeiros números pares positivos
Fonte: Do autor (2015)
SEQUÊNCIAS O
O RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
Você precisa encontrar o método utilizado para encontrar o valor de cada
elemento e assim aplicá-lo de forma a encontrar o valor do centésimo ter-
mo.
Note que o valor do elemento pode ser conseguido multiplicando por 2 a
posição do elemento. Veja:
 
 
 
 
Posição do
1 2 3 4 gi 100
elemento
Métodoapli-
21 2.2 23 24 dis 2. 100
cado
Valor do ele-
2 4 6 8 Em 200
mento
 
Quadro 3 - Aplicação do método para formulação dos cem primeiros números pares
positivos segundo posicionamento no conjunto
Fonte: Do autor (2015)
Organizando no pensamento lógico tem-se:
|. o método sugere multiplicar a posição do elemento por 2;
Il. quer-se descobrir o valor do centésimo termo, que correspondeaoele-
mento de posição 100;
Ill. para responder, será multiplicado por 2 o número correspondente à
posição do elemento em questão;
Iv. 2.100 = 200
 
Você estudou o real significado de números, o que são sequências nu-
méricas e como encontrar o padrão de repetição da sequência. Agora pra-
tique, resolvendoa atividade sugerida.
A
PRATICANDO
 
2. Seu chefe deseja saber sua opinião a respeito dos lucros anuais que a
empresa possui.
 
=
4
a
sy
e
E
Ss
|
Ele deseja saber a previsão de lucros que a empresa terá nos próximos
dois anos.
Você sabe que a empresa já atua no mercado há sete anos e que oslucros
(em reais) de cada ano de funcionamento estão representados pelo con-
junto LC.
LC = (10.000, 10.500, 11.500, 13.000, 15.000, 17.500, 20.500...)
Seu chefe deseja saber a previsão dos lucros que a empresa terá no oitavo
e nono anosde funcionamento.
Dica: analise a diferença entre os elementos da sequência representada
pelo conjunto LC.
 
Você acabou de aprender sobre sequências numéricas, a seguir vai estu-
dar a sequência das palavras. Confira!
SEQUÊNCIAS O
QB RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
2.3. SEQUÊNCIASDE PALAVRAS
Sequências de palavras são conjuntos formados por palavras. Os ele-
mentos deste tipo de conjunto devem respeitar um padrão de repetição.
O padrão de repetição deste tipo de sequência geralmente será o padrão
lógico, em que não há expressão ou método matemático capaz de repre-
sentar determinado padrão.
Você já utilizou este conhecimento quando foi resolvido o exemplo do
conjunto dos animais, está lembrado?
Observe o exemplo a seguir:
+
 
[ig
Dada a sequência de palavras P = (Um,Dois, Três, Quatro,...), será informa-
do o valor do centésimo termo.
 
Posição do elemento 1 2 3 4 a 100
 
Valor do elemento Um Dois Três Quatro jo ? 
É fácil notar que os elementos desta sequência possuem umaforte ligação
com seu posicionamento. Transformandoem texto, o número correspon-
de à ordem do elemento dentro da sequência.
Desta forma, o valor do elemento da posição 100 (centésimo termo) será
cem.
 
Que tal praticar? Verifique se compreendeu esse conceito resolvendo a
Á
atividade proposta.
PRATICANDO
 
3. Crie um conjunto capaz de abrigar os seguintes elementos:
Fernando, Fernanda, Douglas, Joana, Pedro, Paulo, Paula, Renata, Cami-
la, Bernardo e Renato.
Coloque-os em uma sequência lógica de posicionamento e descrevaa li-
nha de raciocínio utilizada para agrupar e ordenar os elementos do con-
junto criado por você.
 
Até aqui você conheceu sequências numéricas e de palavras. Veja a se-
guir comotrabalhar com sequências de figuras.
2.4. SEQUÊNCIA DE FIGURAS
Um conjunto de elementos é caracterizado como uma sequência defi-
guras quando os seus elementos estão dispostos em uma determinada or-
dem que respeite a uma regra lógica, um padrão lógico de repetição.
Esses elementos são representados por elementosvisuais, em que é pos-
sível expressar o elemento em formadefigura ou imagem.
 
dA
 
di
de
cs
,
([
20
--
7]
)
Quando você utiliza sua máquina fotográfica, você possui armazenada
na memória uma sequência de figuras, que representam os elementos do
conjunto e possuem um padrão de posicionamento.
 
In
gr
am
Pu
bl
is
hi
ng
([
20
--
7]
)
O padrão se aplica ao horário em quea foto foi tirada.
 
SEQUÊNCIAS (59)
Observe a sequência defiguras:
 
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s
(
2
0
1
5
)
Agora qual seria o próximo elemento da sequência?
Pense um pouco.
 
J
u
p
i
t
e
r
i
m
a
g
e
s
([
20
--
?]
),
F
u
s
e
([
20
--
7]
),
Gl
ob
al
iP
([
20
--
?]
),
B
o
b
Ea
st
ma
n
([
20
--
7]
),
Pr
ap
as
so
ng
([
20
--
7]
)
Os elementos da sequência sugerem um conjunto de animais que estão
em sequência segundo algum critério. Então é preciso descobrir o critério
de ordenação adotadopara dispor as figuras conforme o conjunto A.
Pode-se transformar a sequência de figuras em uma sequência de pala-
vras. Após transforma-se a próxima palavra da sequência em uma imagem,
que provavelmente corresponderá a uma dasalternativas.
A=(Abelha, Borboleta, Cachorro, Dromedalho,...)
Foi possível perceber uma ordenação alfabética, portanto o próximoani-
mal da sequência deve começar com a letra E de Elefante.
A palavra Elefante pode ser representada pela segundafigura do conjun-
to das alternativas.
QB RACIOCÍNIO LÓGICOE ANÁLISE DE DADOS
Elefante =
 
 Fuse([20--7])
Conseguiu compreendera lógica? Então pratique fazendo a sugestão de
atividade que segue.
k
LAÇO
 
4. Dada a sequência de figuras:
 
 
 
 
 
00.00.00):
0.0. 0.0 |:
“0. 0 co |:
e e e é
Figura 10 - Sequencia de figuras
Fonte: Elaborado pelo autor
Qual a quantidade de pontos que a próxima figura terá?
 
Neste capítulo você estudou o que é sequência, aprendeu a reconhecer
uma sequência, a identificar padrões de repetição em conjuntos que pos-
suem elementos sequenciais, a classifica-las quanto a natureza de seus
elementose a utiliza-la para resolver problemas.
No próximo capítulo você estudará a matemática para raciocínio lógico.
Siga em frente!
SEQUÊNCIAS O
56) RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
S
e
q
u
ê
n
c
i
a
s
TO!
[ET
[Tu feto
teta
esas[e(o
Teto
matemático
 
 
4)
RESPOSTAS DO PRATICANDO
 
1.B=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89...) O décimo primeiro elemento é o 89.
2. R$24.000 e R$28.000,respectivamente.
3. A = (Bernardo, Camila, Douglas, Fernanda, Fernando, Joana, Paula,
Paulo, Pedro, Renata, Renato).
4. A quarta figura terá 15 pontos.
 
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s(
2
0
1
5
)
 
DAE(OARDOR VAO
a(oaoSoro GRANDEZAS. 
Resolvendo
problemas
Seu Gustavo, estou com dificuldade
para resolver um problema aqui.
O senhor pode me ajudar?
*
 
Depois de analisar o problema...
 
 
Daniel, você consegue imaginar o
tamanho de um átomo de hidrogênio?
E se eu disser a você que ele mede
aproximadamente 0,000000000] metros?
Não ajudou muito não é mesmo?
 É isso Daniel, há inúmeras
formas de representar uma
mesma quantidade.
Se de uma forma você não
entender seu significado,
mude a forma de representar, 
 
 
Então imagine um pedaço de madeira de um
metro de comprimento. Divida esse pedaço
de madeira em dez bilhões de partes.
Um pedaço destes é capaz de representar
o tamanho de um átomo de hidrogênio.
Fique atento!
O estudo deste capítulo
possibilitará a você
realizar operações com
frações, bem como
aplicar frações a
equivalentes para
porcentagem, resolver
problemas com
igualdade de frações e
classificar igualdade de
frações em razão ou
proporção.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. FRAÇÕES
O números fracionários surgiram da necessidade de representar uma
medida que não tem uma quantidade inteira de unidades,isto é, da ne-
cessidade de se repartir a unidade de medida. (GIOVANNI; CASTRUCCI; GIO-
VANNI JUNIOR, 2007, p. 164).
Frações são elementos capazes de representar parte ou partes de um
todo. Elas também facilitam o entendimento de determinadas grandezas
ou valores que não nos fazem sentido.
Por exemplo, um átomo de hidrogênio pode ser representado dividindo
um pedaço de madeira de 1 metro em 10 bilhões de partes. Da mesma for-
ma, pode ser representado por meio de uma fração da seguinte forma:
1
10.000.000.000
Lê-se: um sobre dez bilhões.
Que significa pegar 1 pedaço dos 10 bilhões existentes.
Todas as partes Umadas 10 bilhões
CERigR de partes.
 
1
10.000.000.000 
Este operador pode representar uma divisão.
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s
(
2
0
1
5
)
 
Figura 11 - Representação de umafração
Fonte: Do autor (2015)
Umafração possui dois componentes: numerador e denominador.
Tate[ota
1
10.000.000.000
Denominador
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s
(2
01
5)
Figura 12 - Representação dos componentes de umafração
Fonte: Do autor (2015)
Pensando ainda nos pedacinhos da madeira, se você juntar todos os 10
bilhões de pedaços ele voltará a ser um pedaço de madeira.
Veja:
MATEMÁTICAPARA RACIOCÍNIO LÓGICO E
Somando todas as 10 bilhões de partes:
1 1 1
10.000.000.000 * 10.000.000.000 """"* 10.000.000.000
 
O resultado da conta será:
10.000.000.000
10.000.000.000
Realizandoa divisão:
10.000.000.000 é
10.000.000.000 —
O resultado faz referência ao pedaço da madeira que foi dividido.
Acompanhe o exemplo e veja como é possível representar partes de um
todo por meio de frações.
 
EXEMPLO:
Observe a parte pintada da figura.
 
Di
eg
o
Fe
rn
an
de
s
(2
01
5)
Este quadradofoi dividido em 4 partesiguais, e 2 delas foram pintadas.
2
4
 
A fração ?/, indica que 2 das 4 partes foram pintadas, ou seja, metade dos
quadrados, correspondendo a 50% dototal.
Entendeu o que é umafração? A seguir você aprenderá a realizar opera-
ções com frações. Acompanhe!
O RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
3.2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Pode-se realizar a operação de divisão entre numerador e denominador
a fim de transformara representaçãofracionária em representação nu-
mérica.
 
EXEMPLO:
Observe significado numérico dado para as seguintesfrações:
a); =>1+2=05
b)
e
i
m > 2+:4=0,5
co) ->3+4=0,75
»
I
w
 
Você estudou como transformar uma fração em uma representação nu-
mérica. A seguir você conhecerá como produzir diferentes frações com
mesmosignificado numérico.
3.2.1. FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são frações que apresentam a mesma representa-
ção numérica.
Se você retornar ao exemplo anterior, perceberá que os itens “a” e “b”
são frações equivalentes por representarem o mesmo significado ou o
mesmo valor numérico (a metade de algo).
As frações podem ser classificadas segundo a comparação feita entre
seus componentes: numerador e denominador. Veja a seguir.
3.2.2. CLASSIFICAÇÃO DE FRAÇÕES MÓDULO
Asfrações podem ser classificadas de duas maneiras: próprias e impró- O módulo de um valor
nos retoma este mes-
 
rias. es
P x E ” , mo valor pos
itivo.
As frações próprias são aquelas que possuem o módulo do seu valor nu- O módulo de um valor
mérico entre 0 e 1, ouseja, o numeradorda fração deve ser menor ou igual negativo é o valor po-
ao denominador. sitivo deste.
ii e ” , O módulo de um valor
As frações impróprias são aquelas que possuem o módulo do seu valor positivo é o valorposi-
numérico maior que 1, portanto o numeradorda fração deve ser maior que tivo deste.
o denominador.
As frações impróprias conseguem representar uma parte maior que o
todo. Observe:
MATEMÁTICA PARA RACIOCÍNIO LÓGICO 61)
 
Ch
uh
ai
l
([
20
--
2]
)
Esta pizzafoi dividida em 6 partes iguais.
:/, de pizza representa 1 parte de 6 pedaços de pizza. Fração própria.
“/. de pizza representa 6 partes de 6 pedaços, a pizza inteira. Fração pró-
pria.
'/, de pizza representa 7 partes de 6 pedaços. Uma pizza inteira mais 1
pedaço. Fração imprópria.
2/. de pizza representa 12 partes de 6 pedaços. Duas pizzas inteiras. Fra-
ção imprópria.
Acompanhe, na sequência, mais alguns exemplos defração própria e fra-
ção imprópria.
 
EXEMPLO:
a) : Própria. (Numerador menor que o denominador)
b) Ts Própria. (Numerador menor que o denominador)
c) : Imprópria. (Numerador maior que o denominador)
d) - =3 Imprópria. (Resultado da divisão é maior que 1)
e) i =0,4 Própria. (Resultado da divisão é menor que 1)
 
QB RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
Agora que você conhece melhorasfrações, a seguir aprenderá comorea-
lizar algumas operações com elas.
3.2.3. SOMA DE FRAÇÕES COM MESMO DENOMINADOR
Asoma de frações podeserfeita quando o denominadordestas for igual.
O resultado da operação irá gerar uma nova fração cujo denominador
será igual ao das frações somadas e o numerador será o resultado da soma
dos numeradores.
T=
[Nag
 
Três amigos foram a uma pizzaria e pediram umapizza de 8 fatias.
 
zi
tr
am
on
([
20
--
7]
)
João comeu */, da pizza.
Pedro comeu */, da pizza.
Maria comeu /, da pizza.
Qual percentual de pizza foi comido e quantos pedaços de pizza sobra-
ram?
Para descobrir a quantidade de pedaços consumidos, você precisa somar
o que cada um comeu.
Realizando a soma você tem:
MATEMÁTICAPARA RACIOCÍNIO LÓGICO (63)
MÍNIMO MÚLTIPLO
COMUM (MM.C]
O mínimo múltiplo
comum é um valor ex-
traído de dois ou mais
0,75 é o mesmo que = = 75%.
Você sabe que aototal foram consumidos 6 pedaços de8, portanto, sobra-
ram 2 pedaços.
 
Entendeu como somarfrações com mesmo denominador? A seguir você
vai aprender comorealizar a soma de frações com denominadores diferen-
tes. Confira!
3.2.4.SOMAPARA FRAÇÕES DE DENOMINADORES DIFERENTES
Se os denominadores das frações a serem somadas forem diferentes,
você terá que utilizar frações equivalentes para deixá-las com mesmo de-
nominadore, assim, aplicar o método da somade frações de mesmode-
nominador.
Para você conseguir frações equivalentes que possuam o mesmo deno-
minador, precisa realizar o mínimo múltiplo comum (M.M.C) entre os deno-
 
valores. O resultado
calculado faz referên-
cia ao menor valor
que todos os números
utilizados para o cál-
culo consigam realizar
numa divisão inteira.
QB RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
minadores das frações a serem somadas.
Para compreender melhor a soma de frações de denominadoresdiferen-
tes, acompanhea resolução do exemplo que segue.
a
Naig
 
' E i 3,2
Você sabe comoresolvera fração corresponde à soma? +?
Para resolver essa soma,é preciso encontrar frações equivalentes às so-
madas e que possuam o mesmo denominador.
O denominador comum é encontrado realizando o M.M.Centre5 e 3.
Realizam-se divisões sucessivas com os valores até que o resultado de to-
dos as divisõesseja 1.
O denominador comum será a multiplicação dos valores utilizados para
as divisões.
Agora que você sabe os denominadores, precisa calcular os numeradores
de forma queo valor numérico da expressão nãose altere.
Para o cálculo dos novos numeradores, você deve seguir os seguintes pas-
sos:
- Dividir o novo denominador(15) pelo antigo (5).
15=3
5
- Como resultado da divisão, multiplicar pelo antigo numerador.
3.3=9
Aplicando a segundafração
- Dividir o novo denominador(15) pelo antigo (3).
15=5
3
- Como resultado anterior, multiplicar pelo antigo numerador.
5.2=10
Portanto,
 
 
Conseguiu compreender a somapara frações de denominadores diferen-
tes? Então você avançará mais um pouco e aprenderá a multiplicação de
frações.
3.2.5. MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Amultiplicação defrações resulta em uma nova fração cujo numerador é
o resultado da multiplicação dos numeradores e o denominadoro resulta-
do da multiplicação dos denominadores.
Acompanhe o exemplo que segue.
 
322 3:2:2
75 /3/7-:5:3
12
70
Agora você já sabe como multiplicar frações. Na sequência verá como
simplificá-las. Acompanhe!
3.2.6.SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Simplificar uma fração significa gerar uma fração equivalente com nume-
rador e denominador de valor menor.
Uma fração é dita irredutível quando não há frações equivalentes de nu-
merador e denominador com menor valor numérico.
MATEMÁTICAPARA RACIOCÍNIO LÓGICO O
E RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
A simplificação acontece quando consegue-sedividir os dois termos da
fração pelo mesmovalor simultaneamente.
Veja:
Comosimplificar a fração s?
Note que é difícil compreender o significado desta fração, então é
necessário simplificá-la até torná-la irredutível, ou seja, até não haver mais
possibilidades de divisão.
Inicia-se dividindo os termos por 2:
36+2 18
48:2 24
É possível continuardividindo por 2:
18+2 9
24+2 12
Agora já não é mais possível dividi-la por 2 simultaneamente, mas pode-
se continuar dividindo agora por 3:
9+
12+
w
B
l
w
B
i
t
w
w
Não há mais possibilidade de dividir os dois termos por um mesmo valor.
Com isso, calcula-se uma fração equivalente simplificada e irredutível.
Portanto,
8
8 "
B
I
i
w
Você estudou o que são frações e comorealizar operações com elas. Viu
também o que são frações equivalentes e como classificá-las. Aprendeu
ainda como somar frações com o mesmo denominador e com denomina-
dores diferentes e a multiplicar e simplificá-las. Na sequência vocêirá estu-
dar a porcentagem.
3.3. RAZÃO
Razão é um valor encontrado por meio de uma divisão representada em
forma defração. Este valor representa a comparação dos dois valores (nu-
merador e denominador).
Quando se compara dois valores em forma defração, se está responden-
do à seguinte pergunta: Qual dos valores é o maior?
TODA RAZÃO É UMA FRAÇÃO.
SE AS FRAÇÕES CONTEXTUALIZADAS COMO RAZÕES FOREM
CLASSIFICADAS COMO EQUIVALENTES E/OU IRREDUTÍVEIS,
ENTÃO AS RAZÕES SERÃO CLASSIFICADAS COMO TAL.
Existem três possibilidades de resultado.
- Resultado igual a 1 indica que os valores comparadossão iguais.
- Resultado menor que 1 indica que o denominador é maior que o nu-
merador.
- Resultado maior que 1 indica que o denominador é menor que o nu-
merador.
Independentemente do resultado, o significado da razão entre dois valo-
res é a quantidade de vezes que um é maior ou menor que o outro.
E
 
EXEMPLO
João possui um terreno de 200m? enquanto que Pedro possui um terreno
de 800m?, Comparandoosdois terrenos, quanto maior é o terreno de Pe-
dro em relação ao de João?
Para saber quanto maior é o terreno de Pedro em relação ao de João, você
deve calcular a razão entre a área do terreno de Pedro e a área do terreno
de João da seguinte forma:
Logo, o terreno de Pedro évezes que o terreno de João.
400%
 
Agora que você sabe o tamanhodoterreno de Pedro em relação ao tama-
nho do terreno de João, continue seus estudos praticando.
p
PRATICANDO
1. Com base no exemplo anterior, tente representar numericamente quão
menoré o terreno de João em relação ao de Pedro.
 
Agora que você já sabe o queé razão, aproveite para aprofundar um pou-
co mais esse conhecimento aprendendoostiposde razão.
3.3.1. RAZÕES INVERSAS
O conceito de razões inversas remete à comparação entre duas frações/
razões. Diz-se que umarazão é a inversa da outra se o produto entre elas
foriguala 1.
Observeas fraçõesinversas:
o
|
o
a
l
o
MATEMÁTICA PARA RACIOCÍNIO LÓGICO O
Tem-se:c
l
i
o
o o o
b:d
T+
 
EXEMPLO
Em quais das alternativas as frações podem serclassificadas como inver-
sas?
2 7
a) 7 E 2
2 7
T 2
2:17 14
21
14 o
14
Razões inversas.
3 10
b) 5 ç 6
3 10 3:10
5 6 5-6
3-10 30
5-6 30
30
30
Razões inversas.
c) Ses
2 6
3 8 o. 3-8
2 6 2-6
3-8 24
2:6 1
24
—=2
12
Não são razões inversas.
 
O RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
Você aprendeu neste tópico o que são razões inversas, como calculá-las
e analisar o resultado para classificá-las comotal, certo? Na sequência irá
aprender o que é proporção. Siga em frente!
9.4. PORCENTAGEM
Porcentagem é outra forma de representar uma parte de um todo. Para
PORCENTAGEM
Porcentagem: propor-
ção calculada em re-
lação a uma grandeza
 
isso, precisa-se de umafração cujo denominador será o número 100.
Para informar que determinado número faz referência a parte(s) de uma
divisão por 100, é utilizado o símbolo %.
 
EXEMPLO:
O significado de 50%
O valor numérico 0,5 é a representação numérica de qualquer fração cujo
denominador é o dobro do numerador.
Essas frações indicam que 50%de algo está em questão.
50%representa 50 partes de 100.
Divida algo por 100 e pegue 50 partes,então você terá 50% (cinquenta por
cento) de algo, justamente a metade.
sono =US=S= co =q4 his <a
 
Agora que o termo porcentagem foi estudado, você verá comorealizar
umaaplicação financeira utilizando esta ferramenta. Confira!
3.4.1. APLICAÇÃO FINANCEIRA
Você já deve ter ouvido falar em juros, certo? Mas você sabe comoreali-
zar uma aplicação financeira com base em acréscimos e descontos sobre
valores monetários?
Muitas vezes, quando você compra produtos parcelados, está sujeito a
pagar um valor maior que o preço do produto pagoà vista.
Observe o exemplo que segue.
de cem unidades. Seu
símbolo é %. (PRIBE-
RAM, 2013).
MATEMÁTICAPARA RACIOCÍNIO LÓGICO O
w RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
T+
 
EXEMPLO
Suponha que você compre um produto de R$1000,00 com o pagamento
para 60 dias e juros de 5% ao mês.
Lembrando que:
5% =—
“100
Então o valor dos juros mensais será a soma de 5 partes da divisão do va-
lor do produto por 100,então:
5
juros = — * 1000,00juros 100 000,
5000
100
juros = 50,00
 juros =
Você deverá pagar R$50,00 por mês até que o vencimento aconteça.
O juros correu durante dois meses, então o valor a ser pago deverá ser de
R$100,00.
Para o pagamento do total, o valor do produto deverá ser acrescido de
R$100,00, totalizando R$1.100,00.
 
Generalizando o exemplo anterior, pode-se afirmar que o valor a ser pago
ao final será o valor do produto acrescido dos juros mensais, portanto:
montante = preço +juros . período
O montante serefere ao total que deverá ser pago aofinal.
O juro foi calculado multiplicando a taxa de juros (5%) com o valor do
produto (R$1000,00), então:
juros= taxa . preço
Substituindo a fórmula dojuros na fórmula do montante tem-se:
montante = preço + juros . período
montante = preço + (taxa . preço). período
Alterandoalgebricamente a fórmula do montante tem-se:
montante = preço. (1 + taxa. período)
Com essa fórmula, é possível calcular o saldo devedor de uma conta com
base em juros e a quantidade de períodos até o vencimento.
Â
 
AO
2. Tente resolver o exemplo anteriorutilizando a fórmula do montante.
 
Para cálculo de desconto pode-se utilizar e mesma linha de raciocínio
adotada para o acréscimo, exceto que não haverá período na conta e o
montante final será menor que o capital.
Tem-se então:
montante = preço * (1 -taxa)
Veja um exemplo de desconto.
a
EXEMPLO
 
Joana realizou algumas comprase decidiu pagá-las à vista, pois o descon-
to era bom.
O valor a ser pago era de R$300,00 com desconto de 25% no pagamento
à vista.
Quanto Joana desembolsou e quanto de desconto ela conseguiu?
montante = preço + (1 - taxa)
montante 300 (1 e= w[1-——
100
montante = 300 * (1 - 0,25)
montante = 300 + 0,75
montante = 225,00
Joana pagou R$225,00.
Para calcular o valor do desconto, deve-se subtrair o valor inicial da com-
pra pelo valorfinal:
300-225=75
Joana conseguiu R$75,00 de desconto.
 
A aplicação financeira talvez seja o conteúdo que você mais vai utilizar,
vale experimentar outros problemas para resolução. A seguir você estuda-
rá razão. Acompanhe.
3.5. PROPORÇÃO
Frações equivalentes são frações proporcionais umas às outras.
Quando a representação numérica de umafração for igual à representa-
ção de outra, então essas fraçõessão ditas proporcionais.
Os valores utilizados nas frações são chamados de grandezas, em que
uma possui relação com a outra de forma direta ou inversa.
MATEMÁTICAPARA RACIOCÍNIO LÓGICO E)
72) RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
9
 
LTO
Para saber mais sobre proporções e sua origem na Grécia antiga, acesse:
<http://www.cdcc.sc.usp.br/ciencia/artigos/art26/proporcao.html>.
 
É importante ressaltar que frações proporcionais apresentam mesmova-
lor numérico por serem frações equivalentes.
9.5.1. PROPORÇÃO CONTÍNUA
Proporção contínua é uma forma de representar igualdades entre fra-
ções que possuem o mesmo valor numérico.
Essas frações, quando observadas em pares, possuem a seguinte pro-
priedade:
O produto dos meios deve ser igual ao produto dos extremos.
- Produto dos meios: significa o resultado da multiplicação entre o
denominadorda primeira fração e o numerador da segunda fração.
- Produto dosextremos:significa o resultado da multiplicação entre o
numerador da primeira fração e o denominador da segunda.
Matematicamente representa-se da seguinte forma:
Dadosos valores inteiros diferentes de zero: a, b, c, d, tem-se a seguinte
igualdade como verdadeira:
cI
|
o
o
l
o
Pode-se afirmar que:
b-c=a:d
Onde,
b - ccorresponde ao produto dos meios;
a d corresponde ao produto dos extremos.
Ambas possuem o mesmo valor numérico.
Este método é conhecido como o método da multiplicação cruzada ou
multiplicação em XIS.
Veja por que:
b.c
ae
&
3
ad &
E
Ê
b.c=a.d Ê
Este método será utilizado para solucionar diversos tipos de problemas.
Você aprenderá, a seguir, como encontrar valores numéricos desconheci-
dosutilizando a multiplicação cruzada. Siga em frente!
9.0.2. TERCEIRA PROPORCIONAL
É denominadoterceira proporcional um valor proporcional a outros dois,
de modo que se consiga formar uma igualdade de frações utilizando ape-
nas dois valores conhecidos e um terceiro não conhecido.
Matematicamente pode-se representar da seguinte forma:
Dados a e b valores diferentes de zero, tem-se que:
c
I
o
x
i
ou
d
i
j
o
H
x
I
mw
Onde x é a terceira proporcional entre os valores a e b.
Aplicando o método da multiplicação cruzada, tem-se a seguinte expres-
são:
s
|
j
o
H
x
1
0
b:x=a-a
aa
Xx=—
b
a?
+
Veja um exemplo para aplicação do método do terceiro excluído e encon-
tre uma fração proporcional à analisada.
MATEMÁTICAPARA RACIOCÍNIO LÓGICO 6)
74) RACIOCÍNIO LÓGICO E ANÁLISE DE DADOS
T+
 
EXEMPLO
Dadosos valores 10 e 5, será determinada a fração equivalente para õ 5
Encontrando a terceira proporcional dos valores é possível gerar uma se-
gunda fração de mesmovalor numérico.
5 10
10 x
Realizando a multiplicação dos meios e dos extremos tem-se:
5: x=10-10
5: x=100
100
“ss
x=20
5 10
Portanto,q a
Caracterizando umafração equivalente.
 
Entendeu como determinar uma fração equivalente? Então coloque em
prática fazendo a sugestão de exercício do praticando!
Á
PRATICANDO
 
10
3. Dados valores 10 e 5, determinea fração equivalente para =, ! utilizan-
do o método da Terceira Proporcional.
 
Na sequência você irá aprender sobre grandezas, seus tipos e comorela-
cionar umas com as outras, acompanhe!
9.0.9. GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Grandeza são significadosatribuídos à valores numéricos. Tempo, veloci-
dade, distância são exemplos de grandezas.
Imagine que você realiza uma caminhada diária mantendo sempre o
mesmo ritmo de velocidade. Em alguns dias você caminha por 1 hora e
em outros por 30 minutos. Relacionando o tempo de caminhada com a
distância percorrida, nota-se que ao