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MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Eduardo Dias
Lidiane Farias Costa
Démerson André Polli
Usiara Britto
Juliani Karsten Alves
Robinson Panaino
Centro Universitário Adventista de São Paulo
Fundado em 1915 — www.unasp.br
Missão Educar no contexto dos valores bíblicos para um viver pleno e para 
a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
Administração da Entidade
Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
Diretor-Secretário: Emmanuel Oliveira Guimarães
Diretor Depto. de Educação: Ivan Góes
Administração Geral
do Unasp
Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
Vice-Reitor Executivo Campus HT: Afonso Ligório Cardoso
Vice-Reitor Executivo Campus SP: Douglas Jeferson Menslin
Pró-Reitor Administrativo: Telson Bombassaro Vargas
Pró-Reitor Acadêmico: Afonso Ligório Cardoso
Pró-Reitor de Educação a Distância: Fabiano Leichsenring Silva
Pró-Reitor de Pesquisa e Desenvolvimento Institucional: Allan Macedo de Novaes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual, Comunitário e Estudantil: Martin Kuhn
Secretário-Geral: Marcelo Franca Alves
Faculdade Adventista
de Teologia
Diretor: Reinaldo Wenceslau Siqueira
Coordenador de Pós-Graduação: Vanderlei Dorneles da Silva
Coordenador de Graduação: Adriani Milli Rodrigues
Órgãos Executivos 
Campus Engenheiro Coelho
Pró-Reitor Administrativo Associado: Murilo Marques Bezerra
Pró-Reitor Acadêmico Associado: Everson Muckenberger
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Bruno de Moura Fortes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Ebenézer do Vale Oliveira
Órgãos Executivos 
Campus Hortolândia
Pró-Reitor Administrativo Associado: Claudio Valdir Knoener
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Suzete Araújo Águas Maia
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Daniel Fioramonte Costa
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Wanderson Paiva
Órgãos Executivos 
Campus São Paulo
Pró-Reitor Administrativo Associado: Flavio Knöner
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Silvia Cristina de Oliveira Quadros
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Ricardo Bertazzo
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Robson Aleixo de Souza
Editor-chefe Rodrigo Follis
Gerente de projetos Bruno Sales Ferreira
Editor associado Alysson Huf
Supervisor administrativo Werter Gouveia
Gerente de vendas Francileide Santos
Editores Adriane Ferrari, Gabriel Pilon Galvani,Jônathas Sant’Ana e � amires Mattos
Designers grá� cos Felipe Rocha e Kenny Zukowski
Imprensa Universitária Adventista
Centro Universitário Adventista de São Paulo
Fundado em 1915 — www.unasp.br
Missão Educar no contexto dos valores bíblicos para um viver pleno e para 
a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
Administração da Entidade
Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
Diretor-Secretário: Emmanuel Oliveira Guimarães
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Administração Geral
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
Vice-Reitor Executivo Campus HT: Afonso Ligório Cardoso
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Pró-Reitor Administrativo: Telson Bombassaro Vargas
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Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual, Comunitário e Estudantil: Martin Kuhn
Secretário-Geral: Marcelo Franca Alves
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Diretor: Reinaldo Wenceslau Siqueira
Coordenador de Pós-Graduação: Vanderlei Dorneles da Silva
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Pró-Reitor Administrativo Associado: Murilo Marques Bezerra
Pró-Reitor Acadêmico Associado: Everson Muckenberger
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Bruno de Moura Fortes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Ebenézer do Vale Oliveira
Órgãos Executivos 
Campus Hortolândia
Pró-Reitor Administrativo Associado: Claudio Valdir Knoener
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Suzete Araújo Águas Maia
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Campus São Paulo
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Pró-Reitora Acadêmica Associada: Silvia Cristina de Oliveira Quadros
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Ricardo Bertazzo
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a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
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Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
Vice-Reitor Executivo Campus HT: Afonso Ligório Cardoso
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Pró-Reitor Acadêmico: Afonso Ligório Cardoso
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Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
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Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
Diretor-Secretário: Emmanuel Oliveira Guimarães
Diretor Depto. de Educação: Ivan Góes
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
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Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
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Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Daniel Fioramonte Costa
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Wanderson Paiva
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Campus São Paulo
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Imprensa Universitária Adventista
1ª Edição, 2020
MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Imprensa Universitária Adventista
Engenheiro Coelho, SP
Eduardo Dias
Lidiane Farias Costa
Démerson André Polli
Usiara Britto
Juliani Karsten Alves
Robinson Panaino
Dias, Eduardo
Métodos quantitativos [livro eletrônico] / Eduardo Dias; Lidiane Farias Costa; Démerson
André Polli; Usiara Britto; Juliani Karsten Alves; Robinson Panaino. Engenheiro Coelho:
Unaspress, 2020.
1 Mb, PDF
ISBN 978-85-8463-172-8
1. Carreira pro� ssional 2. Contabilidade 3. Contabilidade como pro� ssão 4. Contabilidade como 
pro� ssão - Leis e legislação 5. Formação pro� ssional 6. Negócios I. Título.
20-33026 CDD-370.113
Dados Internacionais da Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Índices para catálogo sistemático:
1. Contabilidade : Educação pro� ssional 370.113
Maria Alice Ferreira - Bibliotecária - CRB-8/7964
Métodos quantitativos
1ª edição – 2020
e-book (PDF)
OP 00123_034
Editora associada:
Todos os direitos reservados para a Unaspress - Imprensa Universitária Adventista. 
Proibida a reprodução por quaisquer meios, sem prévia autorização escrita da editora, 
salvo em breves citações, com indicação da fonte.
Preparação: Matheus Cardoso
Revisão: Giovanna Finco
Projeto grá� co: Ana Paula Pirani 
Capa: Jonathas Sant’Ana
Diagramação: William Nunes
Caixa Postal 88 – Reitoria Unasp
Engenheiro Coelho, SP CEP 13.448-900
Tels.: (19) 3858-5222 / (19) 3858-5221
www.unaspress.com.br
Imprensa Universitária Adventista
Validação editorial cientí� ca ad hoc:
Robertson Campelo Panaino
Mestre em Engenharia de Produção pela
Universidade Federal de São Carlos
Conselho editorial e artístico: Dr. Martin Kuhn, Esp. 
Telson Vargas, Me. Antônio Marcos, Dr. Afonso Cardoso, 
Dr. Douglas Menslin, Dr. Rodrigo Follis, Dr. Lélio Lellis, Dr. 
Allan Novaes, Esp. Jael Enéas, Esp. José Júnior, Dr. Reinaldo 
Siqueira, Dr. Fábio Al� eri, Dra. Gildene Lopes, Me. Edilson 
Valiante, Me. Diogo Cavalcante, Dr. Adolfo Suárez
SUMÁRIO
ESTATÍSTICA DESCRITIVA....................................... 17
Introdução ........................................................................................18
Conceitos iniciais ..............................................................................20
Fases da estatística ...........................................................................22
Objetivo ...................................................................................23
População e amostra...............................................................24
Medidas de posição .........................................................................32Média aritmética simples .......................................................33
Média ponderada ....................................................................34
Média ponderada para dados agrupados 
com intervalo ..........................................................................38
Mediana ..................................................................................40
Moda .......................................................................................47
Medidas de variação ...............................................................53
Amplitude total ................................................................................54
Variância e desvio padrão .......................................................55
Princípios de probabilidade .............................................................60
Experimento aleatório, espaço amostral 
e eventos: definições ...............................................................62
Operações com eventos ..........................................................65
Eventos complementares, mutuamente 
exclusivos e independentes ....................................................81
Três tipos importantes de eventos ..........................................82
Função de probabilidade e valor esperado .....................................87
Referências .......................................................................................98
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ..................... 101
Introdução .......................................................................................102
Variáveis discretas e contínuas .......................................................104
Variáveis discretas ..................................................................108
Variável contínua ....................................................................109
VO
CÊ
 ES
TÁ
 A
QU
I
Distribuições discretas ....................................................................111
Distribuição binomial .............................................................112
Distribuição de Poisson ..........................................................115
Problemas com distribuição discreta .............................................120
Problemas de distribuição binomial ......................................122
Problemas de distribuição Poisson ........................................129
Distribuição contínua (normal) ......................................................132
Uso da tabela Z ......................................................................136
Problemas de distribuição normal ........................................142
Tamanho de amostra ......................................................................150
Tamanho de amostra para estimativas de proporção ...........157
Referências ......................................................................................171
ESTIMAÇÃO .......................................................... 173
Introdução .......................................................................................174
VO
CÊ
 ES
TÁ
 A
QU
I
Estimação pontual ..........................................................................176
Estimação intervalar ..............................................................179
Intervalo de confiança para média populacional ..........................183
Intervalo de confiança para a proporção ...............................188
Correlação e regressão ....................................................................196
Relações estatísticas ...............................................................197
Gráfico de dispersão ...............................................................202
Diagramas de dispersão.........................................................204
Modelo matemático do cálculo do coeficiente 
de correlação de Pearson ................................................................216
Regressão linear ..............................................................................226
Referências ......................................................................................239
PRINCÍPIOS DE CÁLCULO ATUARIAL ..................... 241
Introdução .......................................................................................242
Cálculos e análises atuariais ...........................................................245
Fundamentos da demografia, taxa de natalidade 
e mortalidade e taxa de crescimento populacional .......................247
Taxa de natalidade .................................................................249
Taxa de mortalidade ..............................................................252
Taxa de crescimento populacional ........................................254
Tábua de mortalidade e suas funções ............................................258
Tábua de sobrevivência e suas funções .................................261
Construção das tábuas de sobrevivência 
ou mortalidade ......................................................................266
Cálculos com taxa de mortalidade .................................................269
Cálculo de vida da população ao nascer................................271
Tópicos importantes para o cálculo de seguros 
na ciência atuarial ...........................................................................280
Seguradora .............................................................................281
Risco .......................................................................................281
Sinistro....................................................................................282
Seguro ....................................................................................283
Cálculo de seguro ...................................................................289
Risco .......................................................................................290
Valor matemático do risco (VMR) .........................................292
Cálculo do valor médio por sinistro .......................................296
Cálculo do prêmio estatístico e do prêmio comercial ...........298
Referências ......................................................................................312
PARA OTIMIZAR A IMPRESSÃO DESTE ARQUIVO, CONFIGURE 
A IMPRESSORA PARA DUAS PÁGINAS POR FOLHA.
Uso da quantificação para coleta e tratamento de dados 
por meio de técnicas estatísticas com vistas à elaboração 
de relatórios e tomada de decisão. Introdução à estatística 
descritiva; estudo de probabilidade e distribuição de dados. 
Introdução à teoria de amostragem, inferência estatística e 
teoria de estimação. Interpretação de testes estatísticos (teste 
de hipóteses, teste de qui-quadrado e não paramétricos, 
análise de variância, correlação e regressão, análise fatorial, 
análise de conglomerados). Noções de cálculo atuarial.
EMENTA
CONHEÇA O CONTEÚDO
Prezado(a) aluno(a),
É um grande privilégio ter você conosco 
para estudarmos os conteúdos de métodos 
quantitativos. Convidamos você a desfrutar 
da leitura desse material onde trataremos, 
ao longo de quatro unidades, de população, 
amostra, variáveis, medidas de posição, 
medidas de variabilidade, princípios de pro-
babilidade, distribuições discretas de pro-
babilidade, distribuições contínuas de pro-
babilidade, tamanho de amostra, estimação, 
coeficiente de correlação e cálculo atuarial.
Vamos iniciar com os conceitos de estatística 
descritiva. Em seguida iremos aprofundar 
nossos conhecimentos de Probabilidade 
trabalhando com as distribuições de proba-
bilidades. Já a unidade três tratará especifi-
camente da estimação de parâmetros para 
algumas distribuições de probabilidade 
conhecidas. Começaremos os estudos com 
a apresentação dos conceitos de estimação 
pontual e intervalar (intervalos de confian-
ça). Além disso, nesta unidade estudaremos 
os principais conceitos que irão basear o 
estudo da correlaçãoe da regressão lineares.
Por fim, na unidade quatro trataremos do 
cálculo atuarial, afinal, um assunto de gran-
de importância no Brasil (e no mundo) é 
quanto dinheiro é necessário para garantir 
as aposentadorias de cerca de 200 mil par-
ticipantes e as devidas pensões a seus fami-
liares no longo de um período estipulado. 
Entre os conhecimentos exigidos dos pro-
fissionais de atuária, estão os conceitos de 
Matemática Financeira, Estatística, Matemá-
tica e as questões de demografia. Também 
abordaremos os seguros e seus elementos. 
A partir de agora, concentração, foco e bons 
estudos para você!
91
ESTATíSTICA DESCRITIVA
O valor esperado é calculado como uma média ponderada 
dos valores possíveis da variável aleatória pelas respectivas 
probabilidades. A lógica é relativamente simples: a contagem 
“0” de caras está mapeada a 1 sequência do espaço amostral 
original, a contagem “1” de caras está mapeada a 3 sequências 
do espaço amostral, a contagem “2” de caras está mapeada 
a 3 sequências do espaço amostral e, finalmente, a contagem 
“3” de caras está mapeada a 1 sequência do espaço amostral. 
Intuitivamente, observando o espaço amostral original, cada 
sequência (ou união destas) que é mapeada para os possíveis 
valores da variável aleatória forma um evento.
Nomeando estes eventos como A0 a sequência que é 
mapeada para a contagem de 0 caras em 3 lançamentos; A1 a 
união das sequências que é mapeada para a contagem de 1 cara 
em 3 lançamentos; A2 a união das sequências que é mapeada 
para a contagem de 2 caras em 3 lançamentos; e A3 a sequência 
que é mapeada para a contagem de 3 caras em 3 lançamentos 
– o retorno médio esperado no jogo da moeda pode ser 
facilmente calculado:
Ou: E(X) = 0 . P(x = 0) + 1 . P(x = 1) + 2 . P(x = 2) + 3 . P(x = 3)
92
MÉTODOS QUANTITATIVOS
O cálculo do valor esperado parte da contagem de 
eventos no espaço amostral original (dos conjuntos de 
resultados das sequências de lançamento) para a probabilidade 
correspondente aos valores da variável aleatória.
No lançamento de uma moeda em sequências de tamanho 
3, se o jogador ganhar R$ 1,00 cada vez que observar uma 
“cara”, terá o ganho esperado, ou seja, o valor médio do ganho 
é dado pelo resultado da figura a seguir:
Ou: 1,5
No exemplo, o retorno médio do jogo é R$ 1,50. Desta 
forma, um jogador deverá ganhar em média este valor cada vez 
que participar do jogo.
O uso do valor esperado para avaliar estratégias é comum 
em diversas áreas de conhecimento e é justificado pelo seguinte 
raciocínio: aplicando a estratégia sob avaliação, em algumas 
tentativas o resultado será negativo e em outras positivo; 
o resultado final após um número grande o suficiente de 
93
ESTATíSTICA DESCRITIVA
tentativas é aproximadamente igual ao ganho médio vezes o 
número de tentativas.
NA PRÁTICA
Um jogo consiste em lançar uma moeda 4 vezes e contar quantas caras 
foram observadas. Para cada vez que o resultado é “cara” o jogador ganha 
R$ 1,00. No entanto, para participar do jogo é necessário pagar R$ 2,50. É 
vantajoso participar deste jogo?
RESUMO
Nesta unidade você aprendeu que:
• segundo Magalhães e Lima (2015) a Estatística, 
tem como objetivo apresentar informações 
sobre dados em análise para que se tenha maior 
compreensão dos fatos que eles representam;
• a estatística é uma ferramenta para 
auxiliar na tomada de decisão;
94
MÉTODOS QUANTITATIVOS
• população ou universo de estudo, pode ser definida 
como sendo o conjunto de elementos que têm em 
comum uma característica a ser estudada;
• amostra é uma parcela retirada da população para estudo;
• a colheita de dados será executada, na maioria das vezes, por 
amostra escolhida e geralmente se faz através de um questionário, 
podendo ser feita através de uma observação direta;
• após garantir uma amostragem segura e objetiva, as respostas 
obtidas geram as nossas variáveis que serão estudadas;
• existem alguns tipos de variáveis:
1. quando seus valores são expressos por atributos;
2. são aquelas que caracterizam-se em apresentar 
valores numéricos, em uma escala quantitativa. Essa 
variável também é dividida em duas variações:
a. variáveis discretas: se caracterizam pelo 
fato de o resultado ser uma contagem 
que assume valores inteiros;
95
ESTATíSTICA DESCRITIVA
b. variáveis contínuas: caracterizam-se por assumir 
qualquer valor em um intervalo contínuo. 
• a organização dos dados vem após a amostragem e 
coleta de dados e posteriormente, a realização dos 
cálculos descritivos que nos levarão para a análise;
• é possível resumir uma série de dados coletados 
por meio de tabelas (distribuição de frequência) e 
até mesmo por gráficos em que são transmitidos 
os aspectos importantes desses dados;
• a média aritmética simples é a soma dos valores 
dividido pela quantidade de elementos;
• na média ponderada, o peso é representado pela frequência 
de quantidades de faltas que foram coletadas;
• mediana é o valor que se localiza no centro de 
uma distribuição previamente ordenada;
• moda é o valor que surge com mais frequência se 
os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com 
maior frequência se os dados são contínuos;
96
MÉTODOS QUANTITATIVOS
• as medidas de variação auxiliam as medidas de tendência central 
a descrever o conjunto de dados adequadamente. Indicam 
se os dados estão distantes ou próximos uns dos outros;
• a variância e o desvio padrão são medidas de 
dispersão que mostram o quão distante cada 
valor desse conjunto está da média; 
• quando queremos verificar a variação relativa utilizamos 
o coeficiente de variação que é uma medida de dispersão 
relativa definida como a razão entre o desvio padrão e a média;
• a probabilidade frequentista se refere à frequência com a 
qual um fato ocorre em uma sequência de repetições;
• um experimento é chamado de aleatório quando, mantidas as 
mesmas condições, os resultados apresentados são diferentes;
• ao se realizar um experimento aleatório, como ele admite 
mais do que um resultado, classificamos todos os possíveis 
resultados de um experimento de espaço amostral;
• apesar de termos naturalmente alguma intuição a respeito 
do conceito de probabilidade, a formalização matemática 
deste conceito é necessária para permitir seu uso;
97
ESTATíSTICA DESCRITIVA
• quando realizamos um experimento aleatório, 
selecionamos os eventos de um conjunto chamado 
espaço amostral e esta seleção ocorre de acordo 
com as probabilidades associadas aos eventos;
• a intersecção de eventos é a operação que 
seleciona os elementos que estão simultaneamente 
em todos os eventos relacionados;
• a probabilidade da união dos eventos como a soma 
das probabilidades dos eventos resulta na soma 
duplicada da intersecção entre os eventos;
• as propriedades da probabilidade, também conhecidas 
como axiomas da probabilidade, definem, de 
forma única, como calcular probabilidades;
• a probabilidade de um evento, em sua definição frequentista, é 
igual à razão entre a quantidade de resultados que satisfazem 
o evento de interesse e a quantidade de resultados possíveis;
• as propriedades da probabilidade, também chamadas 
de axiomas da probabilidade, são fundamentais para 
entender a teoria de probabilidade e estatística;
98
MÉTODOS QUANTITATIVOS
• de acordo com Walpole et al. (2009), o evento 
complementar ou complemento é assim definido: 
em relação ao espaço amostral, o complemento 
de um evento A é o subconjunto de todos os 
elementos do espaço que não estão em A;
• os eventos disjuntos são mutuamente exclusivos, mas os 
eventos mutuamente exclusivos não necessariamente são 
complementares, pois podem não formar uma partição;
• se a suposição de independência pode ser confirmada, toda 
a modelagem estatística torna-se bastante simplificada;
• estes conceitos serão de grande utilidade no instante em que 
um modelo estatístico for utilizado para a análise de dados.
REFERÊNCIAS
COSTA, Sérgio Francisco.Introdução ilustrada à Estatística: 
com muito humor! 2. ed. São Paulo: Harbra, 1992.
FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A. Curso de estatística. 6. ed. 
São Paulo: Atlas, 2012. Disponível em: <https://bit.ly/3h1eift>. 
Acesso em: 04 set. 2020.
99
ESTATíSTICA DESCRITIVA
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade 
e estatística. 7. ed. São Paulo: EDUSP, 2010.
SILVA, Ermes Medeiros et al., Estatística para os cursos de 
Economia, Administração e Ciências Contábeis. 2. ed. São 
Paulo: Atlas, 1996. v. 1.
SPIEGEL, M. R.; SCHILLER, J. J.; SRINIVASAN, R. A. 3. ed. 
Probabilidade e estatística. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
Disponível em: <https://bit.ly/3bxcHNk>. Acesso em 04 set. 2020.
SPIEGEL, Murray. Estatística. 2. ed. São Paulo: Mc Graw-Hill 
do Brasil, 1985.
WALPOLE, R. E.; MYERS, R. H.; MYERS, S. L.; YE, K. 
Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. 8. ed. 
São Paulo: Prentice Hall, 2009. Disponível em: <https://bit.
ly/2Gxoks4>. Acesso em 04 set. 2020.
OB
JE
TI
VO
S
- Conhecer os métodos quantitativos normalmente utilizados nas pesquisas teóricas 
e práticas em Ciências Contábeis, bem como desenvolver a capacidade de resolução 
de problemas quantitativos encontrados pelo profi ssional de ciências contábeis; 
- Utilizar os dados estatísticos e econômicos para transformar as informações do 
mundo contemporâneo, em decisões administrativas; 
- Obter conhecimento necessário para aumentar sua competência ao tomar 
decisões organizacionais;
- Planejar e executar os procedimentos administrativos utilizando os métodos 
quantitativos fornecidos pela Estatística;
- Pensar estrategicamente.
DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADE
UNIDADE 2
102
MÉTODOS QUANTITATIVOS
INTRODUÇÃO
Nesta unidade iremos aprofundar nossos conhecimentos 
de Probabilidade trabalhando com as distribuições de 
probabilidades. Primeiramente, iniciaremos os estudos 
conhecendo um importante aspecto para a probabilidade 
em experimentos aleatórios: as classificações das variáveis, 
as quais nos auxiliarão no aprendizado dos modelos de 
distribuição de probabilidade. A classificação das variáveis 
aleatórias entre discretas e contínuas é fundamental, pois 
ela torna possível a escolha de qual modelo de distribuição 
iremos utilizar em cada experimento.
Para as variáveis discretas, vamos estudar dois modelos de 
distribuição: o Binomial e o Poisson. Vamos ver que cada um 
possui sua fórmula e que, apesar dos dois tratarem de variáveis 
discretas aleatórias, possuem uma diferença significativa no 
motivo de usar um ou outro em experimentos.
Já para as variáveis contínuas, vamos nos ater ao modelo 
de distribuição normal, pois esse é o mais importante e 
utilizado dentro do cálculo da probabilidade estatística em 
experimentos. Aqui, estudaremos, além do modelo, a Tabela Z, 
103
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
que é uma tabela estatística utilizada para facilitar os cálculos 
das probabilidades nesse modelo de distribuição, bem como 
um conceito muito importante que é o cálculo do tamanho de 
amostra utilizando esta mesma tabela. Esperamos que ao fim da 
unidade você tenha compreendido que:
• quando ocorrem os fenômenos determinísticos 
os resultados são sempre os mesmos;
• quando ocorrem os fenômenos aleatórios 
os resultados não são previsíveis;
• as variáveis qualitativas referem-se a 
atributos, em número limitado;
• as variáveis quantitativas referem-se a 
dados expressos numericamente; 
• a distribuição normal é o modelo de 
distribuição de probabilidade mais utilizado; 
• é muito importante saber utilizar de 
forma eficiente a tabela Z.
104
MÉTODOS QUANTITATIVOS
VARIÁVEIS DISCRETAS E 
CONTÍNUAS
Na natureza, podemos observar dois 
tipos de fenômenos: os determinísticos 
e os aleatórios. Para os determinísticos, 
os resultados são sempre os mesmos, 
independentemente de quantas vezes 
ocorra, pois conhecemos o resultado 
que será obtido todas as vezes que ele 
for realizado, mesmo que realizado 
uma ou dez vezes, desde que mantidas 
as mesmas condições. Já os aleatórios 
possuem resultados não previsíveis, 
mesmo se repetirmos muitas vezes. 
Para esses fenômenos aleatórios, realiza-
se o experimento tentando conhecer 
o “comportamento probabilístico do 
resultado observável” (LOESCH, 2012, 
p. 30), ou seja, qual a probabilidade do 
resultado a ser obtido.
Assim, os eventos aleatórios são 
eventos em que os resultados não 
são previsíveis. Nesses eventos não 
Na natureza, 
podemos 
observar 
dois tipos de 
fenômenos: os 
determinísticos 
e os aleatórios.
105
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
se pode determinar que os resultados sempre serão os 
mesmos, apenas sendo possível calcular a probabilidade 
dos resultados. Fonseca (2012) explica que em um espaço 
associado ao experimento (S) tem-se a variável aleatória, 
que é o evento que pode ser o resultado do experimento 
realizado. Esse conceito é exposto na Figura 16.
Figura 16 – A variável aleatória no experimento
Variável 
aleatória
X
S R
s X(s)
Fonte: Fonseca (2012, p. 37)
Assim, para os experimentos probabilísticos aleatórios que 
podemos analisar, haverá as variáveis aleatórias de acordo com 
os resultados possíveis. Na Figura 17 são apresentados exemplos 
de experimentos probabilísticos aleatórios e suas variáveis.
Figura 17 - Exemplos de experimentos probabilísticos
EXPERIMENTO ESPAÇO AMOSTRAL ASSOCIADO
E1: lançamento de um dado; observar número da face superior Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E2: sortear 4 assinantes de uma lista telefônica e contar o 
número de assinantes sorteados que sejam do gênero feminino
Ω2 = {0, 1, 2, 3, 4}
106
MÉTODOS QUANTITATIVOS
EXPERIMENTO ESPAÇO AMOSTRAL ASSOCIADO
E3: lançar uma moeda até que saia cara pela primeira vez; 
contar o número de lançamentos
Ω3 = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
E4: a partir de determinado instante, registrar o tempo 
necessário até que ocorra a primeira ligação telefônica 
Ω4 = {O, + ∞}
E5: registrar a temperatura em um determinado momento
Ω5 = {m, M} em que m e M são as, em 
temperaturas mínima e uma determinada 
localidade máxima possíveis
E6: uma moeda é lançada duas vezes. Observar a sequência 
de considerar E = cara e K = resultados coroa)
Ω6 = {(F, F), (F, K), (IC, F), (IC, K)}
Fonte: Loesch (2012, p. 30)
Segundo Loesch (2012, p. 8), “Variáveis são 
características que podem ser observadas ou medidas em 
cada elemento da populac ̧ão, sob as mesmas condic ̧ões”. 
Na estatística, essas variáveis são as características dos 
elementos da amostra que se deseja averiguar. Assim, 
seriam variáveis: número de filhos, número de chamadas 
telefônicas, altura, peso, salário, entre outras.
As variáveis possuem duas classificações distintas: as 
variáveis qualitativas, também denominadas de categóricas ou 
atributos, e as variáveis quantitativas. As variáveis qualitativas 
referem-se a atributos, em número limitado, exclusivas entre si e 
que sempre cobrem todas as possibilidades, sendo classificadas 
107
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
em não ordinárias, que são as que não possuem ordenação, 
e ordinárias, que são as que possuem ordenação estabelecida 
(LOESCH, 2012). Por exemplo, podemos afirmar que profissão, 
sexo e religião seriam variáveis qualitativas não ordinárias. Já 
a avaliação de desempenho (bom, regular e ótimo) e os graus 
de escolaridade (ensino fundamental, médio, superior, pós-
graduação) seriam variáveis qualitativas ordinárias.
E as variáveis quantitativas referem-se a dados expressos 
numericamente, ou seja, com números. Como por exemplo, 
peso, altura e salário seriam variáveis quantitativas. Para 
as variáveis aleatórias, também há a seguinte classificação: 
variáveis discretas e contínuas. Para essas variáveis, a chance 
de ocorrência pode ser quantificada numericamente, através do 
cálculo da probabilidade. 
Assim, quando calculamos a probabilidade de obtermos 
em um experimento determinado resultado (HH, HT, TH, TT), 
estamos fazendo uso de variáveis aleatórias que podem ser 
obtidas na realização do experimento. Já oresultado estatístico 
terá de representar um número, ou seja, ser quantificado. Por 
exemplo, no caso de o resultado do experimento de jogar duas 
moedas e obter-se as duas com cara é de 1
4
 ou 25%.
108
MÉTODOS QUANTITATIVOS
VARIÁVEIS DISCRETAS
Quando quantificamos, através de cálculos, as 
probabilidades de resultado para um experimento com 
variáveis aleatórias expressas em número finito de valores 
ou infinito contável, estaremos tratando de variável aleatória 
discreta. Podemos também dizer que a variável é discreta 
quando o processo para obter as variáveis se faz através de 
contagem. Por exemplo, trata-se de uma variável discreta 
quando calculamos a probabilidade de números de filhos por 
família. Os valores dos possíveis resultados é representado em 
número de filhos, que será 0, 1, 2, 3, 4, 5 [...].
IMPORTANTE
Diz-se que a variável discreta refere-se a variáveis aleatórias contá-
veis. Isso não significa que para você assegurar-se de que está lidando 
com uma variável discreta terá de realizar essa contagem. Apenas 
será necessário ter a ideia de que seria possível realizar a contagem.
Os principais modelos de distribuições de probabilidade 
para variáveis discretas são: distribuição de Bernoulli, 
distribuição Binomial, distribuição Multinomial e distribuição 
109
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
de Poisson (FONSECA; MARTINS, 2012). Em nossos estudos 
vamos apenas nos deter na distribuição Binomial e Poisson.
VARIÁVEL CONTÍNUA
Por outro lado, quando realizado um experimento com 
resultado aleatório, também podemos ter uma variável 
aleatória que pode assumir qualquer valor em certo intervalo 
da reta real. Para esse caso, estaremos tratando de uma variável 
aleatória contínua (FONSECA; MARTINS, 2012). Também 
podemos dizer que a variável contínua se obtém através de 
uma medida, como nos exemplos da Figura 18.
Figura 18 - Exemplos de experimentos com variável aleatória contínua
ESTUDO REALIZADO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Peso 1,3 Kg; 1,8 Kg; 2,4 Kg; 2,5 Kg; 3,3 Kg
Altura 1,5 m; 1,56 m; 1,63 m; 1,81 m
Temperatura 2 °C; 2,4 °C; 3,5 °C; 4,2 °C
Fonte: elaborado pelo autor
Os principais modelos de distribuições de probabilidade 
para variáveis contínuas são: distribuição uniforme ou 
retangular, distribuição normal e distribuição exponencial, 
110
MÉTODOS QUANTITATIVOS
distribuição qui-quadrado, distribuição T de Student e 
distribuição F (FONSECA, MARTINS, 2012). Assim sendo, 
quando se trata de um experimento em que são identificadas 
variáveis aleatórias contínuas, temos de fazer uso de um desses 
modelos de distribuição de variáveis contínuas. Geralmente, 
o mais utilizado pela estatística é a distribuição normal, a qual 
daremos ênfase em nossos estudos.
Vimos até agora que os experimentos aleatórios são 
os que fornecem resultados diferentes, por mais que as 
condições do experimento sejam mantidas. Para esses, 
a estatística consegue apenas calcular a probabilidade 
dos resultados testados. Esses resultados esperados são 
as variáveis aleatórias, que são os resultados possíveis e 
podem ser classificadas como variável aleatória discreta 
ou variável aleatória contínua. A variável aleatória será 
discreta quando a variável esperada como resultado é 
um número finito de valores ou um infinito contável de 
variáveis. Já a variável aleatória contínua nos traz como 
resultado qualquer valor em certo intervalo da reta real. 
Assim, enquanto a discreta nos traz uma variável aleatória 
como número de peças defeituosas, a variável aleatória 
contínua traz o peso.
111
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
MATERIAL COMPLEMENTAR
O experimento aleatório é um processo que se pode re-
petir várias vezes nas mesmas condições, é conhecido o 
conjunto de todos os resultados possíveis e não se pode 
prever o resultado. Para se aprofundar sobre o tema, in-
dicamos a leitura da unidade II do livro Curso de estatísti-
ca inferencial e probabilidades: teoria e prática, de Giovani 
Gláucio de Oliveira Costa.
Disponível em: <https://bit.ly/3i4bvOV>. Acesso em: 06 set. 2020.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Pelo que estudamos até aqui, você já deve saber que 
nos experimentos em que não se pode afirmar o resultado, a 
estatística faz o uso da probabilidade para calcular a chance 
de ocorrência dos resultados obtidos na realização dos 
experimentos. As variáveis aleatórias numéricas envolvidas 
nesses experimentos categorizam-se em dois grupos: discretas 
e contínuas. O que caracteriza as discretas é o fato delas serem 
variáveis inteiras e contáveis. Para o grupo de experimentos 
que faz uso de variáveis aleatórias discretas há mais de um 
modelo de distribuição de probabilidade.
112
MÉTODOS QUANTITATIVOS
As distribuições discretas de probabilidade são os 
modelos que fazem uso das variáveis aleatórias discretas 
(SPIEGEL, 2015). Essas são as variáveis aleatórias 
expressas em número finito de valores ou infinito contável, 
representando números naturais (FONSECA; MARTINS, 
2012). Ainda de acordo com Fonseca e Martins (2012), 
os principais modelos de distribuições de probabilidade 
para variáveis discretas são: distribuição de Bernoulli, 
distribuição Binomial, distribuição Multinomial e 
distribuição de Poisson.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A distribuição Binomial é o tipo de distribuição discreta de 
probabilidade “adequadas aos experimentos que apresentam 
apenas dois resultados (sucesso ou fracasso)” (FONSECA; 
MARTINS, 2012, p. 64). Pelo nome dessa distribuição já 
podemos perceber esse conceito, pois “bi” significa “dois” e 
“nominal” significa “relativo a nome”.
A distribuição Binomial é o modelo matemático adequado 
para situações em que há apenas dois resultados ou resultados 
que podem ser agrupados em apenas dois grupos ou categorias 
113
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
(Sucesso e Fracasso). Além disso, esses dois resultados devem 
ser mutuamente excludentes e ter-se a certeza de não haver 
resultado diferente desses dois.
SAIBA MAIS
É fácil perceber que um produto fabricado pode ser clas-
sificado como perfeito ou defeituoso, ficando evidente 
a possibilidade do modelo de distribuição Binomial. E, 
se há maiores categorias (defeituoso, mediano, bom, 
perfeito), essas teriam de ser classificadas em duas ca-
tegorias para que possa ser utilizado o modelo de distri-
buição Binomial. Já outro caso, o de velocidade de um 
automóvel, há diversas velocidades que o carro pode se 
enquadrar quando ocorre a medição, entretanto pode-
-se classificar em duas categorias, como dentro ou fora 
do limite imposto legalmente, assim, podendo também 
fazer uso da distribuição Binomial nesse caso.
Essa exigência de as variáveis aleatórias serem apenas duas 
consiste em uma das hipóteses/fundamentos do modelo de 
distribuição Binomial. Além dessa, há outras duas hipóteses: o 
número de provas “n” deve ser independente e do mesmo tipo, 
e a probabilidade de sucesso ser o 100% menos a probabilidade 
de fracasso, já que são dois resultados possíveis apenas. Essas 
três hipóteses são apresentadas na Figura 19.
114
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 19 - Hipóteses que fundamentam a distribuição Binomial 
HIPÓTESE FUNDAMENTO
H1 n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas.
H2 Cada prova admite dois resultados, de sucesso ou fracasso.
H3 A probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso é 1 – p = q
Fonte: Fonseca e Martins (2012)
Assim sendo, a equação que representa esse modelo é 
apresentada a seguir:
P (x = k)= pk qn-k
Onde:
• n = número de repetições feitas no experimento;
• k = número de sucessos esperado;
• p = probabilidade de sucesso;
• q = probabilidade de fracasso.
Para tanto, o “k” é o número de sucesso nas “n” provas, 
que pode tomar valores 0, 1, 2, 3, [...] n .Por este motivo 
percebemos que a distribuição Binomial é uma distribuição 
discreta de probabilidade. 
115
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
A probabilidade de sucesso é representada pela letra “p” 
e a probabilidade de fracasso é representada em “q” e obtemos 
quando fazemos 1 – p (ummenos a probabilidade de sucesso).
k! . (n - k)!
n!
SAIBA MAIS
Como o próprio nome já diz, a distribuição Binomial se 
refere a situações em que há apenas dois resultados pos-
síveis. Se uma equação trata de um experimento de mais 
de dois resultados possíveis (sucessos e fracassos), não 
poderemos utilizar a equação de distribuição Binomial 
para resolução. Assim, é adequado adotar a distribuição 
Binomial quando desejamos obter o número de suces-
sos e fracassos que ocorrem em um número repetido de 
provas/ensaios/experimentos.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Pelo que foi estudado, a distribuição Binomial faz uso 
de um número de provas (hipótese 1). Mas, e se tivermos 
um experimento em que a probabilidade que se deseja 
116
MÉTODOS QUANTITATIVOS
conhecer está em um intervalo de tempo ou área e não 
em número de tentativas ou provas? Nesse caso, iremos 
fazer uso do modelo de distribuição Poisson que, apesar 
de também usar variáveis discretas, possui fundamentos 
diferentes da distribuição Binomial. 
A distribuição de Poisson é aplicável quando o número de 
possíveis ocorrências discretas é muito maior do que o número 
médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo 
ou espaço. O número de possíveis ocorrências, muitas vezes 
não se sabe exatamente. Os resultados devem ocorrer de forma 
aleatória, ou seja, totalmente por acaso e a probabilidade de 
ocorrência não deve ser afetada pelos resultados ocorridos 
anteriormente, de modo que as ocorrências são independentes. 
Assim, percebemos que neste tipo de distribuição a 
probabilidade de sucesso num intervalo é proporcional ao 
tamanho do intervalo. Pois, quanto maior o intervalo, maior 
será o número de sucessos (ocorrências) a serem obtidos. Outro 
aspecto que difere esse modelo do Binomial é o conhecimento 
sobre o número de não ocorrências. Pois, enquanto no modelo 
de distribuição Binomial obtemos o número de sucesso e 
fracasso, no modelo de distribuição Poisson obtemos apenas o 
número de ocorrência dentro do intervalo, não podendo saber o 
número de não ocorrências.
117
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Por exemplo, podemos fazer uso do modelo Binomial 
para saber entre 10 carros que passam, quantos estão 
acima (sucesso) e quantos abaixo (fracasso) do limite de 
velocidade. Já se analisarmos a probabilidade através do 
modelo Poisson, saberemos a probabilidade de ocorrer 
o evento de carros acima da velocidade (sucesso) em 10 
minutos. A seguir é apresentada a fórmula de cálculo de 
variáveis com a distribuição Poisson:
P (x = k) =
k!
Onde: 
• x = número de ocorrências do evento em 
um intervalo de tempo, espaço, área;
• λ = coeficiente de probabilidade;
• e = 2,71828 (constante natural);
• k = número esperado de sucesso.
Para elucidar quando utilizar essa distribuição, veja 
alguns exemplos nos quais a distribuição de Poisson é 
frequentemente usada:
118
MÉTODOS QUANTITATIVOS
• número de ligações recebidas em um 
departamento em um período de tempo;
• clientes que chegam ao caixa de um 
banco em um período de tempo; 
• acidentes ocorridos em um determinado 
trecho de uma estrada;
• número de falência de empresas 
em um período de tempo. 
Fonseca (2012, p. 68) traz uma situação prática para calcular 
a probabilidade usando a distribuição Poisson: “Em média há 2 
chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade 
de se receber no máximo 3 chamadas em 2 horas”. Desse modo, 
esse problema seria resolvido da seguinte forma:
P (x < 3,2h) = P (x = 1,2) + P (x = 1,2) + P (x = 2,2) + P (x = 3,2)
P (x < 3,2h) = 0,0183 + 0,0732 + 0,1464 + 0,1952 + 0,4331 = 43,31%
P (x < 3,2h) = . e -4 + . e -4 + . e -4 + . e -4 
0!
(4)0
1!
(4)1
2!
(4)2
3!
(4)3
Como percebemos na equação, há a presença do 
elemento “e” , que está presente em todas as calculadoras 
119
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
científicas e consiste numa constante natural com valor de 
aproximadamente 2,71828. O modelo de distribuição de Poisson 
também faz uso de um intervalo (t), que apesar de geralmente 
referir-se a tempo, também pode representar outro intervalo, 
como por exemplo área (LOESCH, 2012). Atenção:
• a distribuição Poisson é utilizada em experimentos 
em que é testada a possibilidade num intervalo 
de tempo. Ainda assim, esse modelo só poderá 
ser utilizado em experimentos em que a 
variável seja um número inteiro e contável, 
por ser um modelo de distribuição discreta.
Quando analisamos a probabilidade de ocorrência de 
resultados em eventos, precisamos nos atentar para as variáveis 
aleatórias envolvidas. Quando se trata de variáveis aleatórias 
que representam resultados contáveis ou inteiros, estamos nos 
referindo a variáveis discretas.
Vimos que existem modelos de distribuição de 
probabilidade que são específicos para experimentos que 
trabalham com esse tipo de variável, entre os quais estão o 
modelo de distribuição Binomial e o de distribuição Poisson. 
Embora ambos trabalhem com variáveis discretas, possuem 
aplicações diferentes, pois enquanto o primeiro traz nos seus 
120
MÉTODOS QUANTITATIVOS
fundamentos ser um experimento que 
apresenta apenas dois resultados possíveis 
(sucesso ou fracasso) e um número de 
provas a ser realizado, o segundo traz em 
seus fundamentos um intervalo de tempo, 
espaço, área a ser considerado para 
acontecimento do evento (sucesso).
PROBLEMAS COM 
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
Nos tópicos anteriores, vimos que 
os principais modelos de distribuição de 
probabilidade que envolvem variáveis 
aleatórias discretas são a distribuição 
Binomial e a distribuição Poisson, 
cada uma tendo os seus fundamentos 
(hipóteses) e aplicabilidade.
Agora estudaremos os problemas 
de distribuição discreta. Você sabia 
que, além das diferenças teóricas 
entre esses dois modelos, há também 
diferenças na prática? Você saberia 
APLICABILIDADE
Segundo o site Dicio, aplica-
bilidade é a “qualidade do que 
ocasiona um efeito; carac-
terística do que se consegue 
aplicar, empregar, colocar em 
prática: aplicabilidade da lei. 
Característica ou particulari-
dade do que é aplicável: apli-
cabilidade das normas.”
Fonte: <https://bit.ly/332mx5G>. 
Acesso em: 08 set. 2020.
121
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
aplicar esses modelos de probabilidade? 
Sabe realizar a aplicação da fórmula 
de cada um desses modelos para 
descobrir a probabilidade dos resultados 
calculados? Após a leitura do conteúdo 
apresentado neste tópico, você poderá 
responder a essas questões.
Somente relembrando os principais 
modelos de probabilidade com variáveis 
aleatórias discretas, que são as variáveis que 
apresentam valores internos, seja de sucesso 
e fracasso, ou números inteiros contáveis, 
são: distribuição Binomial e distribuição 
Poisson. Enquanto o Binomial é utilizado 
em experimentos em que o resultado é 
associado a variáveis aleatórias de sucesso 
ou fracasso, o Poisson faz o cálculo dos 
sucessos em um intervalo.
Assim, por serem modelos diferentes, 
seu raciocínio e forma de cálculo, por 
consequência, também são diferentes. 
Vamos estudar como calcular cada um 
desses em situações práticas.
A probabilidade é o estudo 
das chances de obtenção 
de cada resultado de um 
experimento aleatório.
Fonte: Shuttestock (https://shutr.bz/3bJ2ai1)
122
MÉTODOS QUANTITATIVOS
PROBLEMAS DE DISTRIBUIÇÃO 
BINOMIAL
A distribuição Binomial é o modelo 
matemático adequado para situações 
em que há apenas dois resultados, ou 
resultados que podem ser agrupados 
em apenas dois grupos ou categorias. 
Além disso, esses dois resultados devem 
ser mutuamente excludentes, e ter-se a 
certeza de não haver resultado diferente 
desses dois. A equação que representa esse 
modelo é a seguinte: 
P (x = k)= pk qn-k
Desse modo o “k” é o número 
de sucesso nas provas, que pode 
tomar valores “n” (0, 1, 2, 3, [...] n) de 
repetições, onde “p” é a probabilidade 
de sucesso e “q” a probabilidade de 
fracasso. Vamos agora visualizar a 
aplicabilidade desta teoriasobre a 
distribuição Binomial. Iniciando com 
A distribuição binomial é 
a distribuição de probabi-
lidade discreta do número 
de sucessos em uma se-
quência de tentativas.
Fonte: Shutterstock (https://shutr.bz/3i9Vmwg)
123
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
uma situação bem simples que trata de jogar uma moeda 
várias vezes.
Primeiramente, podemos ver que se trata de um 
experimento aleatório que trabalha com variável discreta, pois 
estamos tratando de um experimento em que os resultados 
envolvidos são parte de um conjunto fechado contável, de 
cara ou coroa. E neste caso estaremos utilizando a distribuição 
Binomial, porque as variáveis aleatórias nos trazem a apenas 
dois resultados, cara ou coroa, que serão o sucesso ou fracasso 
no resultado. Por exemplo, se eu quero saber a probabilidade 
de jogar uma moeda e obtiver o resultado cara, se eu obtiver 
o resultado cara, estarei tratando de sucesso e, se eu obtiver o 
resultado coroa, estarei tratando de fracasso.
MATERIAL COMPLEMENTAR
Uma variável aleatória é discreta quando o número 
de valores possíveis que a variável assume for fini-
to ou infinito enumerável. Para se aprofundar sobre 
o tema, indicamos a leitura do capítulo 11 do livro 
Estatística: revelando o poder dos dados, dos autores 
Robin H. Lock et al.
Disponível em: <https://bit.ly/325z3SR>. Acesso em: 06 set. 2020.
124
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Para esse caso, se pensarmos nesse exemplo com apenas 
uma tentativa, é evidente que se jogarmos uma moeda 
que não possua vícios, a probabilidade de eu conseguir o 
resultado cara (sucesso) será de P(x) = 0,5 ou 50%. Já para 
a situação de lançarmos duas vezes uma moeda, poderão 
ser apresentados diversos resultados, por mais que as 
variáveis aleatórias sejam 2: cara ou coroa, sendo eles 
cara e cara, cara e coroa, coroa e coroa. Nesse caso nossas 
variáveis aleatórias podem ser entendidas como o sucesso 
ou fracasso do experimento, mas temos mais resultados do 
que quando jogamos apenas uma vez. Assim sendo, nesse 
caso poderia ser aplicada a distribuição Binomial cálculo das 
probabilidades. Na Figura 20 é apresentado o plano amostral 
para o exemplo que estudamos acima.
Figura 20 - Aplicação da distribuição binomial no cálculo de probabilidades de jogo de uma moeda
PONTO AMOSTRAL HH HT TH TT
X 2 1 1 0
Fonte: Spiegel, Schiller e Srinivasan (2012, p. 34)
Esse exemplo trazido pelos autores Spiegel, Schiller e 
Srinivasan (2012), é um experimento em que a distribuição 
Binomial é adequado para resolver o cálculo da probabilidade. 
Você pode perceber que no primeiro caso saiu duas caras, 
125
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
no segundo e terceiro caso saiu uma cara e no último caso 
temos zero caras. Entretanto, os problemas que a estatística 
se propõe a resolver costumam ser mais complexos que esses 
exemplos trazidos acima, envolvendo diversas provas e 
cálculo de diversos resultados prováveis.
Nesse sentido, podemos complicar o exemplo de jogar 
uma moeda ao querermos saber mais do que simplesmente 
a probabilidade de cara ou coroa. Agora vamos apresentar 
um exemplo neste sentido. Se lançarmos uma moeda, não 
viciada, 8 vezes, podemos utilizar a distribuição Binomial para 
calcularmos a probabilidade de obtermos 5 caras (FONSECA, 
2012). Para tanto, deveríamos desenvolver o seguinte cálculo:
P (x = k)= pk qn-k
Sendo n = 8, k = 5, p = 1
2
 e q = 1
2
Substituindo temos:
P (x = k)= 0,55 . 0,58-5
5
8
Primeiramente resolvemos , neste caso temos uma 
combinação de 8 elementos de 5 em 5, portanto usamos o 
126
MÉTODOS QUANTITATIVOS
conceito de combinação aprendido no ensino médio para 
resolver este fator:
k! . (n - k)!
n!
Substituindo os valores temos:
5! . (8 - 5)!
8!
5
8
Resolvendo o parênteses temos:
5! . (3)!
8!
5
8
Para resolver esta expressão é preciso aplicar o conceito 
de fatorial, que é a multiplicação do número pelos seus 
antecessores terminando no número 1.
IMPORTANTE
O conceito de fatorial é muito utilizado no estudo de arranjo, permu-
tação e combinação, a fim de facilitar os cálculos. A ideia é bastante 
simples e de fácil compreensão.
O fatorial de um número inteiro m não negativo, é indicado 
por “m” (lê-se “m fatorial”) e é definido pela relação:
127
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Algumas definições são:
1! = 1
0! = 1
Exemplos:
3! = 3 . 2 . 1 = 6
5! = 5. 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Assim, abrindo o fatorial de 8 no numerador e 
os fatoriais de 5 e 3 no denominador ficamos com essa 
expressão:
8.7.6.5!
5!.3.2.1
Abrimos o valor “8!” do numerador até o “5!” porque 
podemos assim simplificar com o “5!” do denominador 
e resolvemos a multiplicação dos valores que sobram. 
Assim temos:
8.7.6
3.2.1
336 = 56= 
6
Continuando o cálculo temos:
128
MÉTODOS QUANTITATIVOS
P (x = 5)= 0,55 . 0,58-5
5
8
P (x = 5)= 56 . 0,0313 . 0,125 = 0,2191
Assim, conseguimos saber que ao realizarmos 
experimento com 8 provas, a probabilidade de obter 5 
caras seria de aproximadamente 22%. Você percebeu 
como, ao tratarmos de 8 lançamentos de uma moeda, a 
resolução do problema estatístico ficou mais complexa? Por 
isso é importante conhecer o modelo de distribuição e a 
aplicabilidade de sua fórmula.
Vamos a outro exemplo que também faz uso da 
distribuição Binomial. Considere uma prova constituída 
de 10 questões de múltipla escolha. Cada questão tem 
5 alternativas, das quais somente uma é correta. Qual a 
probabilidade de um aluno chutar todas as questões e acertar 
4 questões nessas condições?
Dados:
• n = 10 (número de ensaios);
• k = 4 (sucessos);
129
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
• p = probabilidade de acerto: uma alternativa/
total de cinco alternativas = 15 = 0,20 (sucesso);
• q = probabilidade de erro: quatro alternativas/
total de cinco alternativas = 45 = 0,80 (insucesso).
Aplicando o modelo matemático, tem-se:
P (x = 4)= 0,24 . 0,810-4
4
10
Logo, a probabilidade de um aluno chutar todas as 
questões e acertar 4 questões nessas condições é de 0,1048%.
PROBLEMAS DE DISTRIBUIÇÃO POISSON
A distribuição Poisson também é uma distribuição 
discreta de probabilidade, mas com hipóteses diferentes 
da distribuição Binomial, principalmente no que se refere a 
considerar um intervalo (tempo, área, entre outros) em seus 
fundamentos. Enquanto a distribuição Binomial considera em 
seus fundamentos o número de provas realizadas e não este 
intervalo. A equação que representa esse modelo é:
130
MÉTODOS QUANTITATIVOS
P (x = k) =
k!
Em que:
• k = número de ocorrências do evento 
em um intervalo de tempo;
• λ= coeficiente de probabilidade;
• e = 2,71828 (constante natural).
A distribuição Poisson, da mesma forma que a distribuição 
Binomial, possui sua equação para o cálculo das probabilidades 
em experimentos que utilizam seu modelo. Uma ressalva para 
a distribuição Poisson é a existência do elemento, que sempre 
tem o valor de 2,71828.
Assim, da mesma forma que para a distribuição Binomial, 
utilizamos a fórmula para facilitar o cálculo das probabilidades 
nos experimentos. A seguir é apresentada outra situação que 
faz uso da distribuição Poisson: o número de chamadas em 
um telefone por meio da equação da distribuição de Poisson, 
trazida por Fonseca (2012).
131
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
NA PRÁTICA
Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a 
probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente? 
• K = número designado de sucessos = 2;
• λ = o número médio de sucessos num intervalo específico (uma hora) = 5
P (x = k) = P (x = k) = e 
-5. 5 2
2!
0,0067.25
2
P (x = k) = 0,0082 = 8,42%
Segundo vimos, a chance de receber duas solicitações em 
uma hora é 8,42%.
Podemos afirmar que a distribuição Binominal tem larga 
aplicação para quaisquer valores da população ou da amostra 
em número de provas realizadas. Já a distribuição de Poisson 
é mais restrita, tendo a aplicação em eventos temporais de 
espaços, às vezes, ínfimos, aplicando-se principalmentena teoria das filas.Com isso, concluímos que é importante 
dominarmos a teoria, para saber em qual experimento deve 
ser aplicado o Binomial ou Poisson, além de saber também 
realizar o cálculo matemático. Tendo esse conhecimento 
teórico e prático, torna-se possível o estudo estatístico da 
probabilidade em diversos experimentos. Cabe a você agora 
132
MÉTODOS QUANTITATIVOS
encontrar outras situações e resolver 
utilizando uma das duas distribuições 
que estudamos.
DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA 
(NORMAL)
Enquanto as probabilidades Binomial 
e de Poisson são modelos de distribuições 
de probabilidade de variáveis aleatórias 
discretas, que consistem nas variáveis 
expressas numa linha reta ou contáveis, 
os experimentos probabilísticos que 
possuem variáveis aleatórias contínuas 
são os que apresentam valores infinitos 
ou incontáveis em uma reta. Como por 
exemplo, as variáveis: peso, altura, salário, 
distância, entre outras.
Para as variáveis aleatórias contínuas, 
os principais modelos de distribuições de 
probabilidade são: distribuição uniforme 
ou retangular, distribuição normal e 
distribuição exponencial, distribuição 
Os 
experimentos 
probabilísticos 
que possuem 
variáveis 
aleatórias 
contínuas 
são os que 
apresentam 
valores infinitos 
ou incontáveis 
em uma reta.
133
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
qui-quadrado, distribuição T de Student e distribuição F 
(FONSECA; MARTINS, 2012). Nesse tópico aprofundaremos 
nossos conhecimentos sobre o modelo de distribuição normal, 
conhecendo como este é conceituado e aplicado.
O modelo de distribuição normal, também denominado 
Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss, é considerado pelos autores 
Fonseca e Martins (2012, p. 73) como o modelo de distribuição de 
probabilidade mais amplamente aplicado, “sendo aplicada em 
inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico 
da estatística” e estando presente como base para concepção da 
maioria dos métodos inferenciais estudados (LOESCH, 2012). 
Assim sendo, é muito importante que você conheça esse modelo 
de distribuição para poder aplicá-lo em seu dia a dia profissional 
ou em pesquisas. A equação desse modelo de distribuição normal 
é apresentada a seguir (FONSECA; MARTINS, 2012).
Sendo que:
• μ = média de distribuição;
• σ = desvio padrão da distribuição;
• π = 3,1416...
• e = 2,7...
134
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Nesse modelo de distribuição, duas variáveis são muito 
importantes: a média e o desvio-padrão, pois a equação da 
curva normal do modelo é elaborada a partir dessas variáveis. 
Já vimos como calcular esses valores na unidade anterior. Antes 
de aplicarmos a fórmula para cálculo da probabilidade, seria 
necessário identificarmos os dados do experimento, calculando 
qual é o valor de média e desvio-padrão ou variância.
IMPORTANTE
É decorrente da Teoria Central do Limite trazer a dispersão dos 
resultados para grandes amostras organizados em torno da média 
de tal forma a vir representar um sino no gráfico. Essas grandes 
amostras são consideradas para amostras com número superior a 
30. Caso estejamos tratando de um experimento com número de 
elementos na amostra inferior a 30, devemos optar por aumentar a 
amostra para chegar ao mínimo de 30, ou então optar por fazer uso 
de outro modelo de distribuição.
Para determinarmos a probabilidade de p[ a < x < b] 
representada pela parte pintada da curva, temos que usar a integral 
desta função no intervalo tornando nossa tarefa um tanto quanto 
complicada. Para superar esta dificuldade, podemos utilizar uma 
tabela que foi construída com os valores positivos de “z” que cobre 
135
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
uma área sob a curva entre 0 e “z”. Essa tabela é conhecida como 
tabela normal ou tabela “z” que facilitará nossos estudos.
A distribuição normal, também denominada Gauss, 
Laplace ou Laplace-Gauss, é o modelo de distribuição de 
probabilidade mais utilizado (FONSECA, 2012). Esse modelo 
traz para o cálculo da probabilidade a dispersão dos dados em 
torno da média e do desvio-padrão. Além disso, a distribuição 
normal conta com uma representação gráfica, importante para 
o cálculo usando a tabela Z. Nessa representação, a média se 
refere ao centro de distribuição do gráfico e o desvio-padrão, 
ao espelhamento da curva para os dois lados, sendo esse 
espelhamento igual para a direita e esquerda. Veja na Figura 21:
Figura 21 - Gráfico da distribuição normal 
(z)ϕ
zi0
100%
Fonte: Fonseca e Martins (2012, p. 75)
136
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Assim, a tabela Z, também denominada de tabela da 
distribuição normal padrão, consiste na tabela padrão utilizada 
para cálculo da probabilidade em experimentos com variáveis 
aleatórias contínuas em que se aplica o modelo de distribuição 
normal. Qualquer outra distribuição normal “x” pode ser 
transformada na distribuição “z”, através da mudança de variável:
x - μz = σ
USO DA TABELA Z
Sobre o conceito da tabela Z, Loesch (2012, p. 9) define que 
uma “tabela é um conjunto de dados estatísticos associados a 
um fenômeno, dispostos em uma ordem de classificação, em 
uma organização racional e prática de apresentação”.
Assim sendo, foi elaborada a tabela Z, também denominada 
tabela de distribuição normal padrão, visando expor a tabulação 
das áreas das curvas normais para facilitar o cálculo das 
probabilidades na distribuição normal. Essa tabela possui valores 
fixos, estruturados por estatísticos, para que sejam aplicados 
nos cálculos de experimentos de distribuição normal. A seguir é 
apresentado o conteúdo dessa tabela (Figura 22).
137
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Figura 22 - Tabela de distribuição normal padrão ou tabela Z
PONTO AMOSTRAL
Área sob a curva normal padronizada compreendida entre os valores 0 e 3,99
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0714
02 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
138
MÉTODOS QUANTITATIVOS
PONTO AMOSTRAL
Área sob a curva normal padronizada compreendida entre os valores 0 e 3,99
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974