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MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Eduardo Dias
Lidiane Farias Costa
Démerson André Polli
Usiara Britto
Juliani Karsten Alves
Robinson Panaino
Centro Universitário Adventista de São Paulo
Fundado em 1915 — www.unasp.br
Missão Educar no contexto dos valores bíblicos para um viver pleno e para 
a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
Administração da Entidade
Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
Diretor-Secretário: Emmanuel Oliveira Guimarães
Diretor Depto. de Educação: Ivan Góes
Administração Geral
do Unasp
Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
Vice-Reitor Executivo Campus HT: Afonso Ligório Cardoso
Vice-Reitor Executivo Campus SP: Douglas Jeferson Menslin
Pró-Reitor Administrativo: Telson Bombassaro Vargas
Pró-Reitor Acadêmico: Afonso Ligório Cardoso
Pró-Reitor de Educação a Distância: Fabiano Leichsenring Silva
Pró-Reitor de Pesquisa e Desenvolvimento Institucional: Allan Macedo de Novaes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual, Comunitário e Estudantil: Martin Kuhn
Secretário-Geral: Marcelo Franca Alves
Faculdade Adventista
de Teologia
Diretor: Reinaldo Wenceslau Siqueira
Coordenador de Pós-Graduação: Vanderlei Dorneles da Silva
Coordenador de Graduação: Adriani Milli Rodrigues
Órgãos Executivos 
Campus Engenheiro Coelho
Pró-Reitor Administrativo Associado: Murilo Marques Bezerra
Pró-Reitor Acadêmico Associado: Everson Muckenberger
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Bruno de Moura Fortes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Ebenézer do Vale Oliveira
Órgãos Executivos 
Campus Hortolândia
Pró-Reitor Administrativo Associado: Claudio Valdir Knoener
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Suzete Araújo Águas Maia
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Daniel Fioramonte Costa
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Wanderson Paiva
Órgãos Executivos 
Campus São Paulo
Pró-Reitor Administrativo Associado: Flavio Knöner
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Silvia Cristina de Oliveira Quadros
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Ricardo Bertazzo
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Robson Aleixo de Souza
Editor-chefe Rodrigo Follis
Gerente de projetos Bruno Sales Ferreira
Editor associado Alysson Huf
Supervisor administrativo Werter Gouveia
Gerente de vendas Francileide Santos
Editores Adriane Ferrari, Gabriel Pilon Galvani,Jônathas Sant’Ana e � amires Mattos
Designers grá� cos Felipe Rocha e Kenny Zukowski
Imprensa Universitária Adventista
Centro Universitário Adventista de São Paulo
Fundado em 1915 — www.unasp.br
Missão Educar no contexto dos valores bíblicos para um viver pleno e para 
a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
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Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Administração Geral
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
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Pró-Reitor Administrativo: Telson Bombassaro Vargas
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Diretor: Reinaldo Wenceslau Siqueira
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Pró-Reitor Acadêmico Associado: Everson Muckenberger
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Bruno de Moura Fortes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Ebenézer do Vale Oliveira
Órgãos Executivos 
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Pró-Reitor Administrativo Associado: Claudio Valdir Knoener
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Suzete Araújo Águas Maia
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Campus São Paulo
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Pró-Reitora Acadêmica Associada: Silvia Cristina de Oliveira Quadros
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Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
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Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
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Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
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Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
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Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Wanderson Paiva
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Campus São Paulo
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Imprensa Universitária Adventista
1ª Edição, 2020
MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Imprensa Universitária Adventista
Engenheiro Coelho, SP
Eduardo Dias
Lidiane Farias Costa
Démerson André Polli
Usiara Britto
Juliani Karsten Alves
Robinson Panaino
Dias, Eduardo
Métodos quantitativos [livro eletrônico] / Eduardo Dias; Lidiane Farias Costa; Démerson
André Polli; Usiara Britto; Juliani Karsten Alves; Robinson Panaino. Engenheiro Coelho:
Unaspress, 2020.
1 Mb, PDF
ISBN 978-85-8463-172-8
1. Carreira pro� ssional 2. Contabilidade 3. Contabilidade como pro� ssão 4. Contabilidade como 
pro� ssão - Leis e legislação 5. Formação pro� ssional 6. Negócios I. Título.
20-33026 CDD-370.113
Dados Internacionais da Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Índices para catálogo sistemático:
1. Contabilidade : Educação pro� ssional 370.113
Maria Alice Ferreira - Bibliotecária - CRB-8/7964
Métodos quantitativos
1ª edição – 2020
e-book (PDF)
OP 00123_034
Editora associada:
Todos os direitos reservados para a Unaspress - Imprensa Universitária Adventista. 
Proibida a reprodução por quaisquer meios, sem prévia autorização escrita da editora, 
salvo em breves citações, com indicação da fonte.
Preparação: Matheus Cardoso
Revisão: Giovanna Finco
Projeto grá� co: Ana Paula Pirani 
Capa: Jonathas Sant’Ana
Diagramação: William Nunes
Caixa Postal 88 – Reitoria Unasp
Engenheiro Coelho, SP CEP 13.448-900
Tels.: (19) 3858-5222 / (19) 3858-5221
www.unaspress.com.br
Imprensa Universitária Adventista
Validação editorial cientí� ca ad hoc:
Robertson Campelo Panaino
Mestre em Engenharia de Produção pela
Universidade Federal de São Carlos
Conselho editorial e artístico: Dr. Martin Kuhn, Esp. 
Telson Vargas, Me. Antônio Marcos, Dr. Afonso Cardoso, 
Dr. Douglas Menslin, Dr. Rodrigo Follis, Dr. Lélio Lellis, Dr. 
Allan Novaes, Esp. Jael Enéas, Esp. José Júnior, Dr. Reinaldo 
Siqueira, Dr. Fábio Al� eri, Dra. Gildene Lopes, Me. Edilson 
Valiante, Me. Diogo Cavalcante, Dr. Adolfo Suárez
SUMÁRIO
ESTATÍSTICA DESCRITIVA....................................... 17
Introdução ........................................................................................18
Conceitos iniciais ..............................................................................20
Fases da estatística ...........................................................................22
Objetivo ...................................................................................23
População e amostra...............................................................24
Medidas de posição .........................................................................32Média aritmética simples .......................................................33
Média ponderada ....................................................................34
Média ponderada para dados agrupados 
com intervalo ..........................................................................38
Mediana ..................................................................................40
Moda .......................................................................................47
Medidas de variação ...............................................................53
Amplitude total ................................................................................54
Variância e desvio padrão .......................................................55
Princípios de probabilidade .............................................................60
Experimento aleatório, espaço amostral 
e eventos: definições ...............................................................62
Operações com eventos ..........................................................65
Eventos complementares, mutuamente 
exclusivos e independentes ....................................................81
Três tipos importantes de eventos ..........................................82
Função de probabilidade e valor esperado .....................................87
Referências .......................................................................................98
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ..................... 101
Introdução .......................................................................................102
Variáveis discretas e contínuas .......................................................104
Variáveis discretas ..................................................................108
Variável contínua ....................................................................109
Distribuições discretas ....................................................................111
Distribuição binomial .............................................................112
Distribuição de Poisson ..........................................................115
Problemas com distribuição discreta .............................................120
Problemas de distribuição binomial ......................................122
Problemas de distribuição Poisson ........................................129
Distribuição contínua (normal) ......................................................132
Uso da tabela Z ......................................................................136
Problemas de distribuição normal ........................................142
Tamanho de amostra ......................................................................150
Tamanho de amostra para estimativas de proporção ...........157
Referências ......................................................................................171
ESTIMAÇÃO .......................................................... 173
Introdução .......................................................................................174
Estimação pontual ..........................................................................176
Estimação intervalar ..............................................................179
Intervalo de confiança para média populacional ..........................183
Intervalo de confiança para a proporção ...............................188
Correlação e regressão ....................................................................196
Relações estatísticas ...............................................................197
Gráfico de dispersão ...............................................................202
Diagramas de dispersão.........................................................204
Modelo matemático do cálculo do coeficiente 
de correlação de Pearson ................................................................216
Regressão linear ..............................................................................226
Referências ......................................................................................239
PRINCÍPIOS DE CÁLCULO ATUARIAL ..................... 241
Introdução .......................................................................................242
Cálculos e análises atuariais ...........................................................245
Fundamentos da demografia, taxa de natalidade 
e mortalidade e taxa de crescimento populacional .......................247
VO
CÊ
 ES
TÁ
 A
QU
I
Taxa de natalidade .................................................................249
Taxa de mortalidade ..............................................................252
Taxa de crescimento populacional ........................................254
Tábua de mortalidade e suas funções ............................................258
Tábua de sobrevivência e suas funções .................................261
Construção das tábuas de sobrevivência 
ou mortalidade ......................................................................266
Cálculos com taxa de mortalidade .................................................269
Cálculo de vida da população ao nascer................................271
Tópicos importantes para o cálculo de seguros 
na ciência atuarial ...........................................................................280
Seguradora .............................................................................281
Risco .......................................................................................281
Sinistro....................................................................................282
Seguro ....................................................................................283
Cálculo de seguro ...................................................................289
VO
CÊ
 ES
TÁ
 A
QU
I
Risco .......................................................................................290
Valor matemático do risco (VMR) .........................................292
Cálculo do valor médio por sinistro .......................................296
Cálculo do prêmio estatístico e do prêmio comercial ...........298
Referências ......................................................................................312
VO
CÊ
 ES
TÁ
 A
QU
I
PARA OTIMIZAR A IMPRESSÃO DESTE ARQUIVO, CONFIGURE 
A IMPRESSORA PARA DUAS PÁGINAS POR FOLHA.
Uso da quantificação para coleta e tratamento de dados 
por meio de técnicas estatísticas com vistas à elaboração 
de relatórios e tomada de decisão. Introdução à estatística 
descritiva; estudo de probabilidade e distribuição de dados. 
Introdução à teoria de amostragem, inferência estatística e 
teoria de estimação. Interpretação de testes estatísticos (teste 
de hipóteses, teste de qui-quadrado e não paramétricos, 
análise de variância, correlação e regressão, análise fatorial, 
análise de conglomerados). Noções de cálculo atuarial.
EMENTA
CONHEÇA O CONTEÚDO
Prezado(a) aluno(a),
É um grande privilégio ter você conosco 
para estudarmos os conteúdos de métodos 
quantitativos. Convidamos você a desfrutar 
da leitura desse material onde trataremos, 
ao longo de quatro unidades, de população, 
amostra, variáveis, medidas de posição, 
medidas de variabilidade, princípios de pro-
babilidade, distribuições discretas de pro-
babilidade, distribuições contínuas de pro-
babilidade, tamanho de amostra, estimação, 
coeficiente de correlação e cálculo atuarial.
Vamos iniciar com os conceitos de estatística 
descritiva. Em seguida iremos aprofundar 
nossos conhecimentos de Probabilidade 
trabalhando com as distribuições de proba-
bilidades. Já a unidade três tratará especifi-
camente da estimação de parâmetros para 
algumas distribuições de probabilidade 
conhecidas. Começaremos os estudos com 
a apresentação dos conceitos de estimação 
pontual e intervalar (intervalos de confian-
ça). Além disso, nesta unidade estudaremos 
os principais conceitos que irão basearo 
estudo da correlação e da regressão lineares.
Por fim, na unidade quatro trataremos do 
cálculo atuarial, afinal, um assunto de gran-
de importância no Brasil (e no mundo) é 
quanto dinheiro é necessário para garantir 
as aposentadorias de cerca de 200 mil par-
ticipantes e as devidas pensões a seus fami-
liares no longo de um período estipulado. 
Entre os conhecimentos exigidos dos pro-
fissionais de atuária, estão os conceitos de 
Matemática Financeira, Estatística, Matemá-
tica e as questões de demografia. Também 
abordaremos os seguros e seus elementos. 
A partir de agora, concentração, foco e bons 
estudos para você!
OB
JE
TI
VO
S
- Conhecer os métodos quantitativos normalmente utilizados nas pesquisas teóricas 
e práticas em Ciências Contábeis, bem como desenvolver a capacidade de resolução 
de problemas quantitativos encontrados pelo profi ssional de ciências contábeis; 
- Utilizar os dados estatísticos e econômicos para transformar as informações do 
mundo contemporâneo, em decisões administrativas; 
- Obter conhecimento necessário para aumentar sua competência ao tomar 
decisões organizacionais;
- Planejar e executar os procedimentos administrativos utilizando os métodos 
quantitativos fornecidos pela Estatística;
- Pensar estrategicamente.
DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADE
UNIDADE 2
OB
JE
TI
VO
S
- Conhecer os métodos quantitativos normalmente utilizados nas pesquisas teóricas 
e práticas em Ciências Contábeis, bem como desenvolver a capacidade de resolução 
de problemas quantitativos encontrados pelo profi ssional de ciências contábeis; 
- Utilizar os dados estatísticos e econômicos para transformar as informações do 
mundo contemporâneo, em decisões administrativas; 
- Obter conhecimento necessário para aumentar sua competência ao tomar 
decisões organizacionais;
- Planejar e executar os procedimentos administrativos utilizando os métodos 
quantitativos fornecidos pela Estatística;
- Pensar estrategicamente.
PRINCÍPIOS DE
CÁLCULO ATUARIAL
UNIDADE 4
242
MÉTODOS QUANTITATIVOS
INTRODUÇÃO
Nesta unidade veremos que a matemática atuarial e a 
demografia estão relacionadas. A ciência atuarial utiliza-se 
dos fundamentos da demografia, como a taxa de nascimentos 
e mortes, para a criação do cálculo de seguros, por exemplo. 
Assim, é possível direcionar o que é mais viável para a região, 
de acordo com o gênero, a idade e até mesmo a sazonalidade.
A metodologia de cálculo atuarial, na prática, é um modo 
de medir riscos. Isso envolve conhecimento multidisciplinar, 
como matemática, estatística, fundamentos econômicos, 
legislação, entre outros. Na previdência complementar, 
o cálculo atuarial considera o regulamento do plano, que 
determina como serão calculados os benefícios, o cadastro 
de participantes e as premissas atuariais mais adequadas à 
população em estudo.
Aprenderemos também sobre as tabelas de mortalidade 
(ou de expectativas de vida), que são importantes em virtude 
de as populações estarem sobrevivendo cada vez mais tempo. 
Essas tabelas servem para a tomada de decisão pelos fundos de 
pensão privados, pelas seguradoras no cálculo das apólices e 
243
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
pelo ente público para fins de aposentadoria e políticas públicas 
para uma população que está vivendo mais tempo.
Dentro desse panorama veremos o papel fundamental das 
seguradoras na proteção financeira e patrimonial das pessoas 
e das empresas contra eventos futuros improváveis, como 
roubos, mortes, acidentes etc. O mercado segurador no Brasil 
está estruturado na seguinte ordem hierárquica: Conselho 
Nacional de Seguros Privados (CNSP); Superintendência 
de Seguros Privados (SUSEP); Instituto de Resseguros do 
Brasil (IRB Brasil RE); seguradoras, previdência privada; 
capitalizadoras e corretoras.
Para realizar a cobertura de seguros, temos elementos 
importantes, tais como: risco, sinistro, prêmio e seguro, 
pois eles são utilizados no cálculo tanto dos valores a serem 
cobrados quanto das indenizações.
Toda operação financeira envolve, necessariamente, um 
componente de risco derivado de elementos aleatórios ao 
contrato. Isso ocorre em investimentos em ações ou quando 
seguramos algum bem. Para o estudo atuarial, é necessário que 
o risco seja mensurado economicamente, possibilitando cálculos 
244
MÉTODOS QUANTITATIVOS
técnicos que possibilitem a uma seguradora, por exemplo, 
cobrar determinado prêmio para segurar um veículo. Entre 
esses cálculos técnicos estão o cálculo do VMR e o cálculo do 
valor médio por sinistro, ambos importantes para que sejam 
determinados o preço ou o valor de um prêmio comercial.
Quando tratamos do prêmio a ser cobrado para um 
seguro, temos de estar atentos a tudo, porque isso refletirá no 
sucesso das operações da seguradora. Quanto aos prêmios, 
temos o estatístico e o comercial. Enquanto o prêmio 
estatístico representa o valor que precisa ser cobrado de cada 
participante para que os objetos expostos aos riscos cubram 
as possibilidades de sinistros existentes no caso, o prêmio 
comercial indica o prêmio estatístico acrescido das demais 
despesas de carregamento.
Além disso, é importante observar que, para o prêmio 
comercial, podemos calculá-lo a partir do custo ou do preço 
de venda. Por isso, note que esses elementos possibilitam 
aos segurados analisarem os preços a serem cobrados pelos 
seguros que ofertam. Esperamos que ao fim da unidade você 
tenha compreendido que:
• os atuários são os responsáveis pelo 
cálculo das reservas matemáticas; 
245
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
• a demografia tem relação com os princípios 
da área de matemática atuarial;
• a demografia é a ciência que estuda 
a população humana;
• os dados do IBGE apresentam todas as 
informações necessárias aos cálculos atuariais.
CÁLCULOS E ANÁLISES ATUARIAIS
Um assunto de grande importância no Brasil e no mundo 
diz respeito à aposentadoria dos trabalhadores: quanto dinheiro 
é necessário para garantir as aposentadorias de cerca de 200 mil 
participantes e as devidas pensões a seus familiares ao longo de 
um período estipulado. Esse montante, que é o compromisso 
total dos planos com seus participantes (as chamadas reservas 
matemáticas), é obtido por meio do cálculo atuarial, que não é 
uma conta simples.
Os responsáveis pelo cálculo são os atuários, profissionais 
que têm uma formação acadêmica especializada e são 
habilitados conforme a regulamentação da profissão. São eles 
que analisam os números do plano de previdência, o perfil 
da população de associados, as regras dos planos e diversos 
246
MÉTODOS QUANTITATIVOS
cenários com o intuito de estabelecer as reservas matemáticas, 
o custo dos planos e o fluxo de recursos necessários para seu 
equilíbrio. É exigida desse profissional a multidisciplinaridade, 
ou seja, conhecimentos de áreas correlatas, para que ele consiga 
exercer suas funções adequadamente. Isso é reivindicado do 
profissional que atua em escritório, empresas privadas ou 
mesmo como pesquisador.
Nesse sentido, entre os conhecimentos exigidos dos 
profissionais de atuária, estão os conceitos de matemática 
financeira, estatística, matemática e as questões de demografia.
Você já pensou como é estudada a população de uma 
região? Quais dados são apresentados pelos institutos e 
quais as contribuições desses dados para os cálculos de 
seguros e previdências? Essa é uma das contribuições da 
ciência atuarial, pois ela permite cálculos de previdência 
do Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) e de 
previdências privadas.
Além disso, outra contribuição está conectada aos seguros 
e seus elementos. Para os seguros, é necessário ser cobrado um 
valor, mas como calcular esse valor? Isso envolverá cálculos 
e análises que o profissional de atuária tem de conhecer, pois 
247
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
é preciso calcular corretamente os elementos para que seja 
cobrado um valor correto pelo seguro a ser realizado. 
MATERIAL COMPLEMENTAR
O profissional que atua na área de ciências atuárias po-
derátrabalhar com as leis da probabilidade e estatísticas 
em áreas financeiras, áreas de saúde suplementar, pre-
vidência complementar, previdência social, resseguros, 
etc. Para saber mais sobre ciências atuariais, acompanhe 
o canal do TVPUC no YouTube, que apresenta uma série 
de vídeos sobre profissões.
Disponível em: <https://bit.ly/3m7KpxO>. Acesso em: 09 set. 2020.
FUNDAMENTOS DA DEMOGRAFIA, TAXA 
DE NATALIDADE E MORTALIDADE E TAXA 
DE CRESCIMENTO POPULACIONAL
Quando iniciamos nosso estudo em matemática atuarial, 
logo percebemos que a demografia tem relação com os 
princípios dessa área. Contudo, você pode estar questionando: 
por quê? Como a demografia pode ser usada na matemática 
atuarial? Para conseguirmos descobrir essa ligação, serão 
248
MÉTODOS QUANTITATIVOS
necessários conhecimentos sobre os fundamentos da 
demografia e sobre as taxas de natalidade e mortalidade.
Antes do surgimento da matemática atuarial, já havia 
estudos de demografia. Cordeiro Filho (2009, p. 2) define 
que “o termo demografia vem de demo, que significa 
população, e de grafia, que significa estudo”, ou seja, o 
estudo da população.
Podemos assim, dizer que a demografia é a ciência que 
estuda os movimentos das populações humanas em um 
determinado momento. Ela acompanha e analisa as mudanças 
populacionais ao longo do tempo, por meio do número de 
nascimentos e mortes, isto é, levantamentos de situações 
que estão ligadas às causas do crescimento ou da redução 
populacional (CORDEIRO FILHO, 2009).
Com o objetivo de estudar a população e investigar 
cientificamente a sua tendência, tamanho, distribuição e 
composição, a demografia está dividida em quantitativa, que se 
ocupa do estudo de fatores como mortalidade, natalidade, migração 
e qualitativa, que se ocupa de características da população, tais 
como gênero, idade, estado de saúde e características intelectuais, 
por exemplo, tempo de estudo e formação.
249
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Os fenômenos criados pelos 
acontecimentos demográficos, conforme o 
grande estudioso francês, Jean Bourgeois-
Pichat, dá à demografia uma característica 
de multidisciplinaridade, pois pode ser 
estudada por áreas de ciências sociais, 
geografia, estatística, ciências atuariais e 
outras (CORDEIRO FILHO, 2009, p. 3).
Assim, a demografia nos permite 
estudar diversos aspectos relacionados 
à população, sendo um desses a ciência 
atuarial. Quando estudamos as populações, 
temos estes importantes fatores: a 
natalidade, a mortalidade e a migração 
(CORDEIRO FILHO, 2009). Vamos nos 
aprofundar sobre cada um deles?
TAXA DE NATALIDADE
Natalidade é a proporção do número 
de nascidos vivos em um determinado 
período. A taxa bruta de natalidade, ou 
simplesmente natalidade, é obtida pela 
A demografia acom-
panha e analisa as 
mudanças populacionais 
ao longo do tempo, 
por meio do número de 
nascimentos e mortes. 
Fonte: Shutterstock (https://shutr.bz/3inj0pm)
250
MÉTODOS QUANTITATIVOS
relação do número de nascidos vivos dividido pela população 
absoluta, ou seja, pela população total, e multiplicado por 1000.
Número total de óbitos
Total da população
TM = . 1000
Devemos salientar que, para o Instituto Brasileiro de Geografia 
e Estatística (IBGE, 2013), considera-se como criança nascida viva 
aquela que, após a expulsão ou extração completa do corpo da mãe, 
independentemente do tempo de duração da gravidez, manifestou 
algum sinal de vida. Esses sinais são: respiração, choro, movimentos 
de músculos de contração voluntária ou batimento cardíaco, ainda 
que tenha falecido logo em seguida.
Atenção! O IBGE disponibiliza as taxas de natalidade, 
mortalidade e crescimento populacional no seu site. Esses 
dados podem ser utilizados em pesquisas relacionadas ao meio 
contábil, por exemplo, para relacionar a renda da população 
com a taxa de mortalidade.
Com os dados de taxa de natalidade em mãos, podemos 
concluir em que grau de desenvolvimento se encontra um 
determinado país. Em países considerados avançados, a taxa de 
natalidade é baixa, com média de cinco nascimentos para cada 
mil habitantes; enquanto que, em países menos favorecidos, é 
mais alta, com média de 30 ou mais nascimentos para cada mil 
251
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
habitantes. Vale ressaltar que a taxa de natalidade faz parte de um 
indicador chamado Índice de Desenvolvimento Humano (IDH).
Com base na Figura 61, em que temos a taxa bruta de 
natalidade, verificamos a redução gradual no número de 
nascimentos ocorridos no Brasil de 2000 a 2015.
Figura 61 - Taxa bruta de natalidade por mil habitantes no Brasil entre 2000 e 2015
Ano Taxa de natalidade (por mil hab.)
2000 20,86
2001 20,28
2002 19,73
2003 19,19
2004 18,66
2005 18,15
2006 17,65
2007 17,18
2008 16,72
2009 16,29
2010 15,88
2011 15,50
2012 15,13
2013 14,79
2014 14,47
2015 14,16
Fonte: IBGE (2017) 
252
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Da mesma forma que a taxa de natalidade nos traz 
preciosas informações sobre uma região, ocorre o mesmo 
com a taxa de mortalidade.
TAXA DE MORTALIDADE
Definiremos, agora, o conceito de mortalidade. Cabe 
salientar que ela é considerada o fenômeno mais importante aos 
olhos da demografia, pois, conforme definição da Organização 
Mundial da Saúde (OMS, 2005), a mortalidade corresponde à 
cessação dos sinais de vida em um momento qualquer.
A taxa bruta de mortalidade (TBM), ou simplesmente a taxa 
de mortalidade, é obtida pela divisão do número de óbitos pelo 
número total da população durante um determinado período, e 
o resultado é multiplicado por mil.
É por meio disso que obtemos a chamada tábua de 
mortalidade e, a partir dela, deduzimos as taxas de sobrevivência 
e a tabela de sobrevivência. Alguns dos fatores analisados na 
demografia são as causas das mortes, o gênero, a idade etc.
Número total de óbitos
Total da população
TM = . 1000
253
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Atenção! No Brasil, as causas de óbito são sempre analisadas 
pelo tipo de mortalidade e pela profissão da mãe, pois deve haver 
controle sobre o assunto. Além disso, as relações desses fatores 
com a sazonalidade também são levadas em consideração.
Na representação da Figura 62, temos a taxa de 
mortalidade. Por meio dos dados, verificamos que os brasileiros 
com idade entre 15 a 24 anos do sexo masculino são os que 
apresentam maior índice de mortes violentas.
Figura 62 - Proporção de mortes violentas entre pessoas de 15 a 24 anos, por sexo
Fonte: IBGE (2018) 
254
MÉTODOS QUANTITATIVOS
O aspecto da sazonalidade também 
deve ser considerado para realizar a 
análise das causas de morte, pois é 
importante saber que, dependendo da 
época do ano, ocorre aumento ou redução 
no número de mortes. Um exemplo é o 
aumento de mortes por causas externas 
que têm mais recorrência no verão, 
como mortes em acidentes de trânsito, 
afogamentos e homicídios.
TAXA DE CRESCIMENTO 
POPULACIONAL
Indiferentemente de nossa vontade, 
as populações se movimentam, aumentam 
ou diminuem. Podemos imaginar que 
elas estão estáticas, paradas no tempo, 
mas, quando analisamos a população, 
as taxas de natalidade e de mortalidade, 
verificamos que há sempre uma diferença. 
Essa diferença entre nascimentos e 
mortes pode ser positiva ou negativa, 
pequena ou grande, mas sempre existe. 
Acompanhando 
os dados da 
população 
brasileira, 
verificamos 
que ela está 
crescendo, 
mas com uma 
velocidade 
menor do que 
a que tínhamos 
no passado.
255
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Acompanhando os dados da população brasileira, verificamos 
que ela está crescendo, mas com uma velocidade menor do que 
a que tínhamos no passado.
Alguns países já tiveram esse comportamento 
populacional, sua população teve um decréscimo no número 
de pessoas, seja porque o número de nascimentos foi menor 
do que de mortes ou mesmo por altas taxas de emigração. 
Esse fato ocorreu principalmente na Europa, cuja população 
envelheceu e, devido a diversas causas, erradicou. Para 
termos informação mais conclusiva, faz-se necessário o censo 
ouo recenseamento da população.
SAIBA MAIS
No Brasil, o censo é feito aproximadamente de dez em 
dez anos. Há uma contagem de toda a população. Como 
resultado, tem-se: o perfil, com dados demográficos, 
que serão considerados oficiais para todo o Brasil por 
um período de 10 anos. Os dados levam em considera-
ção a idade, o gênero, a escolaridade, a renda, a região e 
diversos outros fatores relevantes para a análise.
Desconsiderando o movimento da migração 
populacional, o crescimento ou redução da população só 
ocorre quando há um novo nascimento ou uma morte. 
256
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Portanto, o crescimento ocorre na comparação entre o 
número de nascimentos e de falecimentos.
TC = taxa de natalidade – taxa de mortalidade 
Quando relacionamos o resultado obtido entre os 
nascimentos e os falecimentos com o número total da população, 
obtemos o que se denomina de taxa de crescimento vegetativo. 
Essa taxa é a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de 
mortalidade. Não podemos esquecer que as taxas de natalidade e 
de mortalidade não são valores percentuais, mas contabilizados 
numa relação para cada mil pessoas. Nesse sentido, Cordeiro 
Filho (2009, p. 7) afirma que
a população humana cresce em decorrência de 
haver uma taxa de natalidade maior que a taxa 
de mortalidade, obviamente, e ao decorrer dos 
séculos observa-se que a população mundial cresceu 
inicialmente de uma forma mais lenta, acelerando 
com o tempo, para um crescimento mais rápido.
Como exemplo, na Figura 63 é exposta a projeção da taxa 
de crescimento populacional de 2010 para o Brasil e o estado do 
Rio Grande do Sul.
257
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Figura 63 - Projeção da Taxa de crescimento populacional de 2010
Fonte: IBGE (2019)
Desse modo, percebemos que, segundo o IBGE (2019), a 
projeção de diferença entre nascimentos e mortes para o Brasil 
e para o estado do Rio Grande do Sul é positiva nos primeiros 
anos e negativa nos últimos anos, revelando que, em 2058, 
haverá um decréscimo na população.
Atualmente, temos informações de que a população 
brasileira está envelhecendo. Sendo assim, podemos 
desenvolver uma visão crítica quanto aos fenômenos relativos 
à população, tais como as causas e os efeitos que essa nova 
realidade brasileira acarreta.
258
MÉTODOS QUANTITATIVOS
TÁBUA DE MORTALIDADE E 
SUAS FUNÇÕES
Agora que já sabemos os fundamentos da demografia e 
suas principais funções, conceitos estatísticos e probabilidade, 
vamos iniciar o estudo da tábua de mortalidade e suas 
características e aplicabilidades. Pensemos, então, nos seguintes 
questionamentos: qual é o uso da tábua de mortalidade nas 
atividades diárias do profissional de ciências atuariais? Como 
construir uma tábua de mortalidade?
Segundo Cordeiro Filho (2009, p. 12), “as tábuas de 
mortalidade são instrumentos estatísticos destinados a medir 
as probabilidades de vida e de morte das pessoas”. Essas 
probabilidades são organizadas por cada idade ou grupos de 
idade e apresentam o número total de falecimentos ocorrido 
no período para cada categoria.
Ao apresentar a probabilidade de vida e de morte nessas 
tábuas, é obtida a expectativa de vida. Essas informações 
tendem a aparecer juntas, porque é pela taxa de mortalidade 
que se deduzem outros dados (CORDEIRO FILHO, 2009).
Uma das tábuas mais antigas conhecidas, com características 
ainda usadas atualmente, é a de Edmund Halley. Ele colheu 
259
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
dados sobre os óbitos e nascimentos na 
cidade de Breslaw, na Alemanha, em 1693, 
de forma criteriosa. Tais levantamentos 
levaram à conclusão de que problemas de 
saneamento básico existiam na cidade e, 
por isso, muitas crianças não passavam do 
primeiro ano de vida.
Em demografia e atuária, chamamos de 
X a idade de vida das pessoas. Essa idade 
tem variação de 0 até o infinito positivo, 
contudo, normalmente ultrapassa um pouco 
os 100 anos. Essa idade máxima chamaremos 
de W. Se alguém de idade X conseguir chegar 
à idade (X + 1), verificaremos, então, que 
houve uma probabilidade de sobrevivência 
que é função de X. Essa função chamaremos 
de S(x). Essa função é contínua, decrescente e 
varia no intervalo 0 ≤ X ≤ W.
Há alguns elementos que impactam 
diretamente a tábua da mortalidade. Os 
mais impactantes são o gênero da pessoa, 
masculino ou feminino, o clima do local 
onde reside o tipo ou a qualidade e a 
As tábuas de 
mortalidade 
são instrumen-
tos estatísticos 
destinados 
a medir as 
probabilidades 
de vida e de 
morte das 
pessoas.
260
MÉTODOS QUANTITATIVOS
quantidade de alimentação, a genética, os elementos hereditários, 
as condições materiais, a qualidade de vida, o consumo de fumo, 
a ingestão de bebidas, a violência urbana, a poluição, o meio 
ambiente, entre outros. A Figura 64 apresenta uma expectativa 
de sobrevida dos brasileiros para o ano de 2014.
Figura 64 - A expectativa de sobrevida dos brasileiros para o ano de 2014
TABELA DE EXPECTATIVA DE SOBREVIDA - AMBOS OS SEXOS - 2014
Idade
Expectativa 
de sobrevida
Idade
Expectativa 
de sobrevida
Idade
Expectativa 
de sobrevida
Idade
Expectativa 
de sobrevida
Idade
Expectativa 
de sobrevida
Idade
Expectativa 
de sobrevida
0 75,5 14 62,9 28 49,9 42 37,1 56 25,2 70 15
1 75,5 15 61,9 29 49 43 36,2 57 24,4 71 14,3
2 74,6 16 61 30 48,1 44 35,4 58 23,7 72 13,7
3 73,7 17 60 31 47,1 45 34,5 59 22,9 73 13,1
4 72,7 18 59,1 32 46,2 46 33,6 60 22,1 74 12,5
5 71,7 19 58,1 33 45,3 47 32,7 61 21,3 75 12
6 70,7 20 57,2 34 44,4 48 31,9 62 20,6 76 11,4
7 69,8 21 56,3 35 43,5 49 31 63 19,9 77 10,9
8 68,8 22 55,4 36 42,6 50 30,2 64 19,1 78 10,4
9 67,8 23 54,5 37 41,6 51 29,3 65 18,4 79 9,9
10 66,8 24 53,6 38 40,7 52 28,5 66 17,7 80+ 9,4
11 65,8 25 52,6 39 39,8 53 27,7 67 17
12 64,8 26 51,7 40 38,9 54 26,9 68 16,3
13 63,9 27 50,8 41 38 55 26 69 15,6
Fonte: IBGE (2014)
Ao analisar a tabela, é possível perceber que a expectativa 
de vida é decrescente e contínua e que a cada ano essa taxa 
sofre uma redução de acordo com a idade.
261
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
TÁBUA DE SOBREVIVÊNCIA 
E SUAS FUNÇÕES
Há técnicos ou estatísticos do Brasil 
e do exterior que exercem funções na 
atividade demográfica e seguem os 
caminhos de inúmeros estudiosos da 
geografia demográfica e sua abrangência 
multidisciplinar relativa às tábuas de 
sobrevivência.
Segundo Cordeiro Filho (2009, p. 
24), é muito importante que haja a
iniciativa para construção de uma 
tábua de sobrevivência nos dias 
atuais, já que temos mais recursos 
tecnológicos disponíveis e hoje os 
cartórios de registro civil têm acesso 
a informações on-line, não seria 
muito complicada a construção 
da tábua de sobrevivência, 
pois de posse do número de 
nascimentos e óbitos ficaríamos 
somente com a tarefas dos cálculos 
matemáticos, mas não podemos 
Um dos campos 
de atuação 
para os técnicos 
estatísticos é 
o de estudos 
demográficos.
262
MÉTODOS QUANTITATIVOS
esquecer que essa tecnologia, com toda a agilidade que 
conhecemos, está disponível há pouco mais de uma década.
Assim, o avanço da tecnologia, trazendo recursos como 
computadores e softwares, facilitou esse processo. Atualmente, 
podemos contar com programas como o Microsoft Excel, o 
SPSS, o Minta e outros no processamento do banco de dados 
para a construção dessas tábuas.
SAIBA MAIS
Por meio dos dados demográficos, determinado país 
pode, utilizando a tábua de sobrevivência, projetar a pro-
babilidade de um indivíduo de 60 anos atingir 80 anos. 
Esse tipo de análise permite, por exemplo, munir de infor-
mações a gestão de políticas de saúde, pois, dependendo 
do resultado, será necessário ou não investir mais na saú-
de dos idosos para que atinjam a idade esperada.
Se voltarmos um pouco no tempo, fazendo uma abstração, 
podemos imaginar as dificuldades que existiam para calcular um 
número grande de informações sem recursos computacionais. 
Podemos afirmar que era muito difícil ter acesso às informações 
e trabalhar com um número grande de informações. O iníciode 1900, por exemplo, foi uma época ainda muito difícil para se 
obter, catalogar e processar um grande volume de dados.
263
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Nesse sentido, a Figura 65 a seguir apresenta uma tábua 
com a probabilidade de um indivíduo de 60 anos atingir os 
80 anos, por diferencial entre mulheres e homens para o ano 
de 2017, segundo o IBGE.
Figura 65 - Probabilidade de um indivíduo de 60 anos atingir os 80 anos (2017)
UNIDADES DA 
FEDERAÇÃO
PROBABILIDADE DE UM INDIVÍDUO DE 60 ANOS ATINGIR OS 80 
ANOS (20p60 (por mil) 20
 PM 60 – 20 P
H 60 
(por mil)
1980 2017
TOTAL HOMENS MULHERES TOTAL HOMENS MULHERES 1980 2017
brasil 344 291 398 594 522 659 107 137
Rondônia 160 244 182 488 435 549 38 114
Acre 308 301 314 571 495 645 13 150
Amazonas 310 281 342 522 457 588 61 ' 131
Roraima 219 242 191 515 487 546 -51 59
Pará 375 320 431 525 457 594 112 136
Amapá 345 232 367 561 510 613 44 103
Tocantins - - - 568 517 623 - 106
Maranhão 223 168 294 507 431 577 126 146
Piauí 231 191 276 507 423 583 85 160
Ceará 394 346 445 577 510 635 99 124
Rio Grande do 
Norte-
363 324 407 613 529 684 83 155
Paraíba 351 319 384 569 502 624 66 122
Pernambuco 300 364 336 559 481 620 72 140
Alagoas 318 282 356 533 448 607 74 159
Sergipe 351 334 367 540 457 612 33 156
bahia 304 267 342 573 486 652 75 166
Minas Gerais 357 308 407 620 563 671 99 107
264
MÉTODOS QUANTITATIVOS
UNIDADES DA 
FEDERAÇÃO
PROBABILIDADE DE UM INDIVÍDUO DE 60 ANOS ATINGIR OS 80 
ANOS (20p60 (por mil) 20
 PM 60 – 20 P
H 60 
(por mil)
1980 2017
TOTAL HOMENS MULHERES TOTAL HOMENS MULHERES 1980 2017
Espíríto Santo 338 292 390 647 571 715 97 144
Rio de Janeiro 353 277 422 588 507 652 145 144
São Paulo 375 310 439 622 I 550 683 129 133
Paraná 339 301 386 608 538 673 85 135
Santa Catarina 354 305 407 641 561 713 103 152
Rio Grande do Sul 381 306 453 615 535 686 147 151
Mato Grosso do Sul 362 349 379 589 510 665 30 155
Mato Grosso 268 247 297 557 502 618 50 117
Goiás 310 286 338 557 501 611 51 110
D. Federal 402 323 472 641 559 708 148 149
Fonte: IBGE (2017)
Note que, analisando esses dados, percebe-se que a 
sobrevivência entre 60 e 80 anos de idade apresentou aumentos 
consideráveis entre 1980 e 2017 em todas as unidades da 
federação, chegando, em alguns casos, a mais que se dobrarem 
as chances de sobrevivência entre essas duas idades.
Na tabela anterior, os dados resultantes da tábua foram 
expostos em insumos em conjunto de homens e mulheres. 
Contudo, é costumeiro que as pesquisas tragam mais dados, 
enriquecendo a análise. Assim, a mesma pesquisa apresentou 
também o resultado da Figura 66.
265
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Figura 66 - Probabilidade de um indivíduo homem de 60 anos atingir 80 anos
Fonte: IBGE (2017)
Analisando os dados dessa imagem, percebemos que, em 
2017, as maiores probabilidades de sobrevivência entre os 60 e 
80 anos de idade para o sexo masculino foram encontradas no 
estado do Espírito Santo.
Atenção! Nos últimos anos, houve aumento da quantidade 
de planos de saúde e dos seguros-saúde. O Sistema Único de 
Saúde (SUS), os hospitais e demais órgãos que processam dados 
estatísticos, como a Agência Nacional de Saúde Suplementar 
(ANS), beneficiando-se dos progressos da tecnologia, realizam 
estudos com estatísticas confiáveis, o que resultou em estudos 
demográficos e de morbidade quase próximos da perfeição.
266
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Portanto, demonstra-se muito importante dominar a 
técnica de construção tanto das tábuas de sobrevivência quanto 
das de mortalidade, para que se procedam as análises dos 
dados que essas tábuas trazem.
CONSTRUÇÃO DAS TÁBUAS DE 
SOBREVIVÊNCIA OU MORTALIDADE
Para construir uma tábua de sobrevivência ou uma 
de mortalidade, primeiramente devemos obter os dados 
demográficos (CORDEIRO FILHO, 2009).
IMPORTANTE
Os dados oriundos do censo, realizado pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE), são considerados as melhores infor-
mações para serem utilizadas, pois é uma informação pública com a 
contagem de todos os residentes no Brasil.
A execução das tábuas depende da metodologia 
utilizada. Os métodos disponíveis são baseados no número 
de óbitos, de sobreviventes, de nascimentos em relação aos 
óbitos ou, ainda, de óbitos em relação aos nascimentos. A 
escolha do método depende do objetivo ou das informações 
das quais dispomos.
267
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Quando utilizamos o método dos óbitos, eles deverão 
ser separados por idade e quantidade. Por exemplo, em 1970 
faleceram N pessoas com idade entre 0 e 1 ano; M pessoas com 
idades entre 1 e 2 anos; P pessoas com as idades de 2 a 3 anos. 
Assim, sucessivamente, dá-se início à tabulação. Dessa forma, 
monta-se a coluna dx (mortes) da tábua.
• pessoas falecidas de 0 a 1 ano d0;
• pessoas falecidas de 1 a 2 anos d1;
• pessoas falecidas de 2 a 3 anos d2;
• pessoas falecidas de 70 a 71 anos d70;
• pessoas falecidas de 90 a 91 anos d90;
• pessoas falecidas de 114 a 115 anos d114.
Tem-se, portanto: T = d0 + d1d2 + [...] d115, em que T é 
o total de óbitos.
Se considerarmos o total de óbitos e formos subtraindo 
aqueles que faleceram no primeiro ano (d0), teremos aqueles 
que sobreviveram ao primeiro ano e, assim, sucessivamente.
O outro método poderia ser o dos sobreviventes, no qual, 
em dois instantes diferentes, temos os sobreviventes por idades. 
Vamos denominar os sobreviventes no instante 0 (zero) de l0, e 
os sobreviventes no instante 1 de l1 e, assim, sucessivamente:
268
MÉTODOS QUANTITATIVOS
l0 - l1 = d0
l1 – l2 = d1
l2 - l3 = d2
....
l3 – l14 = d13
l15 – l14 = d14
Podemos utilizar outros métodos, como o que relaciona 
os nascidos sempre em 1 de janeiro de cada ano ou outros 
que consideram o inverso, ou seja, um método que relaciona 
óbitos com nascimentos. Além disso, uma coisa devemos saber: 
todos os demais métodos necessitam de ajustes de tábuas. 
Para esses ajustamentos, existem métodos de aproximação por 
interpolações e de funções que se aproximam de distribuições 
contínuas. Precisamos, ainda, deixar claro que os aspectos 
gráficos de uma tábua de mortalidade não representam uma 
função contínua como conhecemos na matemática, embora sua 
aparência gráfica mostre continuidade (CODEIRO FILHO, p. 25).
A tecnologia, muito usada atualmente, vem facilitando 
a construção de tábuas de mortalidade que auxiliam os 
profissionais de atuariais no cálculo, por exemplo, do seguro do 
contratante, pois essas probabilidades levam em consideração 
as taxas de sobrevivência. Para o cálculo, é muito importante 
os dados relacionados à idade, ao sexo, aos hábitos de vida etc. 
Portanto, é muito importante conhecer essas ferramentas para 
fazer bom uso delas na sua função profissional.
269
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
CÁLCULOS COM TAXA 
DE MORTALIDADE
Já vimos sobre os aspectos da 
construção da tábua de mortalidade. 
Talvez a expressão mais correta 
seria a de tábua de esperança ou de 
expectativa de vida de uma população, 
isso porque, na realidade, a tábua é 
construída com o objetivo de projetar 
quantas pessoas de uma determinada 
população estarão vivas em um certo 
período de suas vidas. Os objetivos 
de se construir tábuas de expectativa 
de vida da população são econômicos 
e sociais: econômicos para efeitos de 
seguradoras; socias para efeitos de 
políticas sociais à população. Vamos 
nos aprofundar nos cálculos de 
situações possibilitadas por essa tábua.
As siglas que normatizam essas 
tábuas são: AT → annuity table (tábua de 
anuidade); AT49 → annuity table of the year 
1949 (tábua de anuidade do ano de 1949).
Os objetivos 
de se construir 
tábuas de 
expectativa 
de vida da 
população são 
econômicos e 
sociais.
270
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Essa é a primeira tábua de expectativa 
de vida usada nos Estados Unidos. Há 
várias outras tábuas que foram sendo 
atualizadas com o passar dos anos.
No Brasil, a tábua de expectativa de 
vida foi instituída pelo Decreto n. 3.266, de 
29 de novembro de 1999:
Art. 2º Competeao IBGE publicar, 
anualmente, até o dia primeiro de 
dezembro, no Diário Oficial da União, 
a tábua completa de mortalidade 
para o total da população brasileira 
referente ao ano anterior. 
Parágrafo único. Até quinze dias 
após a publicação deste Decreto, 
o IBGE deverá publicar a tábua 
completa de mortalidade referente 
ao ano de 1998 (BRASIL, 1999).
Esse decreto foi publicado quando 
foi instituído o fator previdenciário para 
efeitos de aposentadoria pelo Instituto 
Nacional de Previdência e Assistência 
Social (INSS).
Os objetivos 
de se construir 
tábuas de 
expectativa 
de vida da 
população são 
econômicos 
e sociais.
271
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Va mos analisar como se compõe uma tábua de expectativa 
de vida tomando como exemplo a tábua exposta na Figura 67.
Figura 67 - expectativa de vida de uma população estudada
IDADE (X)
Nº DE PESSOAS 
VIVAS NO 
COMEÇO DO ANO 
DESIGNADO (LX)
Nº DE PESSOAS 
QUE MORREM NO 
ANO DESIGNADO 
(DX)
PROBABILIDADE 
ANUAL DE MORRER 
(QX)
PROBABILIDADE 
ANUAL DE VIVER 
(PX)
PROBABILIDADE 
COMPLETA DE VIDA 
(EX)
0 1000 2 0,002 0,9980 70,83
1 1000 – 2 =998 1 0,001 0,9990
2 998 – 1 = 997 2 0,002 0,9980
3 997 – 2 = 995 1 0,001 0,9990
... 995 – 1 = 994 2 0,002 0,9980
10 62,16
...
90 5,85
legenda:
x → idade (no período);
→ life (vida no período);
→ died (morrer no período);
→ insucesso (de morrer no período);
→ sucesso (de viver no período);
→expectativa (de viver no período).
Fonte: Moore (1946, p.4)
 CÁLCULO DE VIDA DA POPULAÇÃO AO NASCER
As tabelas de expectativa de vida são muito longas. 
Contudo, nosso objetivo é entendê-las e interpretá-las. A matriz 
a seguir serve para os cálculos que necessitamos (CORDEIRO 
FILHO, 2011):
272
MÉTODOS QUANTITATIVOS
l0 = 1.000
l11 + l12 + ... = l19 + l20 = 9.821
l21 + l22 + ... = l29 + l30 = 9.656
l31 + l32 + ... = l39 + l40 = 9.477
l41 + l42 + ... = l49 + l50 = 9.177
l51 + l52 + ... = l59 + l60 = 8.538
l61 + l62 + ... = l69 + l70 = 7.188
l71 + l72 + ... = l79 + l80 = 4.704
l81 + l82 + ... = l89 + l90 = 1.686
l91 + l92 + ... = l98 + l99 = 1.728
Σ = 70.334
l1 + l2 + ... = l9 + l10 = 9.916
Agora, vamos realizar algumas análises possíveis 
a partir desses dados. Qual a expectativa de vida dessa 
população ao nascer?
Tx é a quantidade de sobreviventes do grupo.
1
2
T = . l +x
100
2
T = + 70.334 = 70.834x
x l xΣ
99
t = 1
Então, a expectativa de vida do indíviduo desse grupo 
ao nascer é: 
273
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
T
l
70.834
1.000
e = = = 70,8300 x
x
Portanto, a expectativa de vida de um recém nascido deste 
grupo é de 70,83 anos.
E agora, qual a expectativa de vida de um indivíduo após 
completar 10 anos? Pensemos que já morreram, nesse período, 
12 indivíduos. Informações dadas:
l10 = 1.000 – 12 = 988 sobreviventes
l99 
l10Σ = (70.834 – 9.916) = 60.918
l10
2
T10
l10
T10 = + + 60.918 T10 = 494 + 60.918 = 61.412l99 
l10Σ (X) T10 = 9882
e = 100 = = 62,16
61.412
988
Os indivíduos dessa população, após 10 anos do 
nascimento, têm uma expectativa de viverem ainda 62,16 anos.
Qual a expectativa de vida dos indivíduos dessa população 
após completarem 90 anos? Pensemos que já morreram, dessa 
população, 677 indivíduos. Informações dadas:
274
MÉTODOS QUANTITATIVOS
l90 = 1.000 – 677 = 323 indivíduos sobreviventes aos 90 anos da população original
l90 = l92 + ... + l98 + l99 = 1.728 (soma das idades dos sobreviventes)
l90
2
T90 = + soma das idades dos sobreviventes
+ 1.728 = 161,50 + 1.728 = 1.889,5323
2
T90 = 
T90
l90
e = 900 = = 5,85
1.889,5
323
A expectativa de vida da população original, após os 90 
anos, é 5,85 anos.
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) 
publica diversas informações necessárias das quais é 
possível extrair dados de interesse do pesquisador. Por 
exemplo, a Figura 68 a seguir apresenta a expectativa de 
vida do brasileiro em 2017.
Figura 68 - Expectativa de vida do brasileiro em 2017
IDADE (X) NÚMERO DE PESSOAS VIVAS (LX)
SOMA DA IDADE 
DE TODOS OS 
SOBREVIVENTES (TX)
ESPERANÇA DE VIDA 
(EX)
0 100.000 7.604.801 76,0
1 98.719 7.505.974 76,0
2 98.635 7.404.297 75,1
Fonte: IBGE (2017)
275
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Esses dados do IBGE já apresentam todas as 
informações necessárias aos cálculos atuariais. Para calcular 
a expectativa de vida de uma pessoa que nasceu em 
2017, no Brasil, dividimos a soma das idades de todos os 
sobreviventes até os 99 anos (Tx), pelo número de pessoas 
vivas naquele período ( lx ). A pessoa que nasceu naquele 
ano: Tl
z
z
. Então, Tl
0
0
7.604.801
100.000= = 76. Portanto, a expectativa de 
vida é de 76 anos.
Qual a probabilidade de um homem com 20 anos de 
idade viver, pelo menos, mais 30 anos? Veja: o modelo de 
cálculo da probabilidade:
l 
l
88.130
97.297
= p (20 < x ≤ 50) = = 0,905783
x+n
x
p (x) = 
l20 = 97.297
l50 = 88.130
p (20 < x ≤ 50) = l 
l
50
20
Segundo a tabela anterior, uma pessoa que tem hoje 20 anos 
de idade tem probabilidade de 90,575% de viver até 50 anos.
Qual a probabilidade de um homem com 30 anos morrer antes 
de atingir 60 anos? Veja: Modelo para encontrar esse tipo de evento:
276
MÉTODOS QUANTITATIVOS
l – l
l
x x+n
x
q (x) = 
Consultando a Figura 65, temos:
l30 = 94.990
l60 = 80.098
Então,
p (30 ≤ x < 60) = p (30 ≤ x < 60) =l30 – l60
l30
94.990 – 80.098
94.990
= 0,1567
q (30 ≤ x < 60) = q (30 ≤ x < 60) =l30 – l60
l30
94.990 – 80.098
94.990
= 0,1567
Logo, esse indivíduo tem a probabilidade de 15,67% de 
morrer antes de atingir 60 anos. Qual a probabilidade de um 
homem vir a óbito aos 25 anos?
Veja o modelo para esse tipo de questionamento:
l + 1
l
x
x
q = 1 – x
l + 1 = l26 x
l = l25 x
Consultando a Figura 65, temos:
277
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
= 1 – 1,00796 = 0,000796
l 25 = 96.142
l26 = 95.908
 
q25 = 96.142
95.908
Portanto, a probabilidade de um indivíduo morrer aos 25 
anos é de 0,796%. Note que utilizamos os dados da tabela para 
homem. Caso fôssemos calcular a probabilidade de óbito de 
uma mulher, teríamos que usar a tabela referente a esse gênero. 
Qual é a probabilidade de uma pessoa de 65 anos sobreviver até 
a idade de 75 anos e ir a óbito antes de completar 80 anos?
Modelo para esse tipo de questionamento:
l + 10
l
x
x
l + 15
l
x
x
q = –x
l = l65
l = l75
l = l80
x
x+10
x+15
Consultando a Figura 65, temos:
l 65 = 73.977
l75 = 55.012
l80 = 41.776
q (x) = q (x) = 0,7436 – 0,5512 = 0,1924l75
l65
l80
l65
– 55.012
73.977
40.776
73.977
–
278
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Logo, a probabilidade é de 19,24%. Agora, vamos pensar 
nesses dados aplicados à matemática atuarial. Uma seguradora 
está analisando a probabilidade de uma criança de 7 anos: ir a 
óbito nos próximos 15 anos. O modelo matemático para esse 
tipo de exercício é:
l – l
l
x x+n
x
q (x) = 
Consultando a Figura 65, tem-se:
l = l7 = 98.320
l = l22 = 96.858
x
x+15
Então,
98.320 – 96.858
98.3.320
q (x) = = 0,0148
A probabilidade de a criança vir a óbito nos próximos anos 
(até os 15 anos) é de 1,48%. para calcular o óbito entre 20 e 25 
anos, o modelo matemático é o seguinte:
l = l7 = 98.320n
l20 = 97.297
l25 = 96.142
l + l
l
n+13 n+18
n
q (x) =
279
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
Logo,
97.297 – 96.142
98.320
1.155
98.320
q (x) = = 0,01174=
A probabilidade de a criança ir a óbito entre 20 e 25 anos 
é 1,17% para ambos os sexos. Pensemos, agora, neste exemplo: 
João da Silva e Maria Duarte se juntaram para abrir um 
pequeno negócio. Ele tem 25 anos; ela, 28. A empresa terá um 
tempo limitado de dez anos. Qual é a probabilidade de ambos 
estarem vivos daqui a 10 anos?
Modelo probabilístico para João:
l 
l
x+10
x
p (x) =
Então,
l25 = 96.142
l = l25 10 = l35 = 93.768
p (x) =
93.768
96.142
= 0,9753
+x+10
Probabilidade de Maria Duarte estar viva aos 38 anos de idade:
280
MÉTODOS QUANTITATIVOS
l28 = 95.450
l = l38 = 92.954
p (x) =
92.954
95.450
= 0,97385
x+10
ll
x+10
x
p (x) =
Trata-se de eventos independentes, portanto a 
probabilidade de ambos estarem vivos em 10 anos será:
p (x) = p x p
p (x) = 0,97385 x 0,97385 = 0,9497
x1 x2
Chegamos ao seguinte resultado: 94,97% de 
probabilidade de ambos os sócios estarem vivos ao final do 
empreendimento. Além desses raciocínios, é importante 
ter em mente que as tabelas de expectativas de vida são 
elaboradas para tomadas de decisões das seguradoras, e as 
tabelas de expectativas de vida elaboradas pelo IBGE servem 
de base para efeitos de aposentadoria.
TÓPICOS IMPORTANTES PARA O CÁLCULO 
DE SEGUROS NA CIÊNCIA ATUARIAL
Um dos importantes aspectos relacionados com a 
ciência atuarial são os seguros. Isso ocorre porque, para que 
281
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
as seguradoras prestem seus serviços, elas precisam estar 
munidas de informações e cálculos que lhes permitam cobrar 
o valor de seu cliente, pagar os valores a quem usar o seguro 
e, ainda, apresentar lucratividade.
SEGURADORA
No âmbito do risco, as seguradoras são importantes players 
para a proteção de bens e riscos aos quais as pessoas físicas 
ou jurídicas estão expostas em sua vida cotidiana, comercial, 
industrial, entre outras (CORDEIRO FILHO, 2011).
Sendo assim, “seguradoras são entidades jurídicas que, 
por meio dos recursos dos prêmios cobrados dos segurados, 
comprometem-se a indenizá-los no caso de ocorrer o evento 
contra o qual se seguraram” (SOUZA, 2002, p. 46).
RISCO
Estão associadas às seguradoras as coberturas de riscos 
contra os quais são realizados seguros, a fim de prevenir eventos 
e acontecimentos desfavoráveis. Se não se quer assumir os 
riscos com os recursos, aplica-se na caderneta de poupança. Se 
282
MÉTODOS QUANTITATIVOS
alguém quiser assumir um pouco de risco, 
aplica seus recursos em títulos públicos 
ou em títulos de renda fixa emitidos 
pelos bancos. Todos esses ativos têm 
rendimentos baixos ou moderados no 
prazo de um ano. No entanto, se alguém 
quiser uma capitalização mais rápida dos 
seus recursos, aplica em ações, que são 
ativos de alto risco. Se der certo, haverá 
ganhos em poucos dias que levariam anos 
para se conseguir em títulos de renda 
fixa. Portanto, o risco pode trazer uma 
oportunidade de ganho rápido.
SINISTRO
Sinistro é a ocorrência do evento 
probabilístico do risco desfavorável de um 
bem imobilizado. Se fizermos um seguro 
de um automóvel em uma seguradora 
contra eventos futuros e incertos, tais 
como incêndio ou acidentes de trânsito, 
ou seja, se o sinistro ocorrer, a seguradora 
A função social do seguro 
limita a vontade das par-
tes e equilibra o contrato. 
Fonte: Shutterstock (https://shutr.bz/3k2oy8S)
283
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
deverá indenizar o segurado, pois ele pagou um prêmio para 
ter esse direito.
SAIBA MAIS
Quando tratamos da ciência atuarial, a terminologia 
“prêmio” possui significado diferente do que estamos 
habituados a utilizar no dia a dia. Por exemplo, no nosso 
entendimento, muitas vezes nos referimos a um prêmio 
como o valor que a loteria paga ao ganhador.
Se não ocorrer o sinistro, o que é mais provável 
estatisticamente, o prêmio fica com a seguradora para aumentar 
o capital monetário para eventos e ocorrências desfavoráveis 
a alguns segurados. O sinistro pode ser total ou parcial. Se for 
total, a seguradora terá que reembolsar o segurado com um 
valor que o permita comprar outro bem nas mesmas condições 
do bem segurado.
SEGURO
Já vimos que seguro é uma proteção que, por meio de um 
prêmio que pagamos à seguradora, nos permite protegermos 
nosso patrimônio. Além disso:
284
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Seguro é um sistema pelo qual um risco é transferido por uma 
pessoa, uma empresa ou uma organização para uma companhia 
de seguros, que reembolsa o segurado por um sinistro coberto 
e provê a pulverização dos custos entre todos os segurados. 
Risco, transferência de risco e pulverização de risco são 
elementos vitais do seguro (SMITH; WIENING, 1999, p. 3).
Vimos três elementos constituintes e essenciais 
à existência do seguro: risco, transferência de risco 
e pulverização do risco. Sabemos que estamos, 
constantemente, cercados de eventos favoráveis e 
desfavoráveis aos nossos bens e à nossa vida.
Por isso, no aspecto do segurado, ele vê o risco 
como a probabilidade de perdas financeiras. Nesse 
sentido, fazemos um seguro contra perdas financeiras e a 
transferimos a uma companhia de seguros. Contudo, se não 
houver outros segurados, a companhia não terá recursos 
para assumir essa perda. Portanto, há necessidade de haver 
muitos segurados que pagam prêmios às seguradoras para 
proteger bens e até a vida. 
Como os eventos desfavoráveis não ocorrem 
coletivamente, mas somente com alguns, conforme 
a probabilidade estatística, a perda financeira de um 
segurado é pulverizada ou suportada por todos os demais 
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DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
participantes do sistema de seguros. Os fundos para arcar 
com as perdas financeiras de alguns segurados são, então, 
garantidos pelos prêmios recebidos pela seguradora. Logo, 
“um prêmio de seguro é um pagamento periódico feito pelo 
segurado à companhia de seguros em troca de cobertura 
securitária” (SMITH; WIENING, 1999, p. 2).
Os seguros cobrem os mais diversos tipos de riscos, 
relacionados com a vida ou com as atividades humanas. Há 
quatro espécies de grupos de seguros:
1. seguros de pessoas;
2. seguros de danos patrimoniais;
3. seguros de prestação de serviços;
4. seguros ligados à previdência privada, ren-
das e capitalização.
A pessoa que faz um seguro de vida individual tem o 
objetivo de proteger a família no caso de ela mesma falecer. 
Esse tipo de seguro pode ser pago de uma única vez ou como 
renda vitalícia ao(s) beneficiário(s).
As tábuas usadas pelas seguradoras são iguais às do Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), vistas nos tópicos 
anteriores, mas com a diferença de que está embutida uma taxa 
286
MÉTODOS QUANTITATIVOS
de descontos (juros). No entanto, o seguro de vida individual 
não é feito somente para caso de morte, mas serve também para 
complementar a renda paga pelo Instituto Nacional do Seguro 
Social (INSS). No caso do seguro de vida a ser pago em forma de 
renda durante a vida do segurado, há três formas (SOUZA, 2002):
1. seguro de vida ordinário;
2. seguro de vida de pagamentos limitados;
3. seguro de vida modal.
O segurado na modalidade seguro de vida ordinário, 
enquanto viver, pagará um prêmio ao segurador. Quando vier 
a óbito, o(s) beneficiário(s) receberá(ão) o valor segurado. No 
seguro de pagamento limitado, o segurado pagará prêmios 
limitadamente. Quando vier a óbito, os beneficiários receberão 
os valores contratados. Por último, no seguro de vida modal, o 
segurado paga prêmios por um tempo estipulado. Depois, em 
vida, recebe o valor ou a renda contratada. Há outros tipos de 
seguros pessoais, tais como:
• seguro contra acidentes pessoais;
• seguro saúde;
• seguro educação.
287
DISTRIbUIçãO DE PRObAbIlIDADE
No caso de seguros por acidentes pessoais, temos 
como exemplo o seguro de acidentes no trabalho, que tem 
cobertura para morte ou invalidez permanente. No setor 
público, o INSS paga ao segurado durante o período do 
afastamento de suas atividades laborais. O seguro de saúde 
paga ou reembolsa despesas com médicos ou hospitalares. 
Outra espécie de seguro é o de educação. Não é muito 
comum no Brasil, pois as melhores universidades do 
país são gratuitas. Essa modalidade é comum em países 
como os Estados Unidos, onde os alunos arcarão com as 
despesas da educação superior, visto que as universidades 
americanas são pagas. Os seguros aos danos patrimoniais são 
classificados em (SOUZA, 2002):
 Seguro Danos Pessoais causados por Veículos 
Automotores (DPVAT); Seguro de automóveis, 
aeronaves e embarcações; Seguro de cargas; Seguro 
de incêndio; Outros seguros: seguro de roubo; seguro 
global de bancos; seguros para condôminos etc.
Na Figura 69, vamos ver a distribuição da frota 
brasileira