maquinas eletricas e transformadores

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Indaial – 2021
Máquinas Elétricas E 
transforMadorEs i
Prof. Ridis Pereira Ribeiro
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Prof. Ridis Pereira Ribeiro
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
R484m
Ribeiro, Ridis Pereira
Máquinas elétricas e transformadores I. / Ridis Pereira Ribeiro. – 
Indaial: UNIASSELVI, 2021.
163 p.; il.
ISBN 978-65-5663-472-2 
ISBN Digital 978-65-5663-473-9
1. Engenharia elétrica. – Brasil. II. Centro Universitário Leonardo da 
Vinci.
CDD 620
aprEsEntação
Caro Acadêmico!
Bem-vindo à disciplina de Máquinas Elétricas e Transformadores I!
Nessa disciplina iremos estudar os aspectos relacionados aos 
conceitos eletromagnéticos, reatâncias, dispositivos geradores, motores, 
transformadores ideais e transformadores reais, transformadores trifásicos, 
autotransformadores, princípios de conversão eletromecânica de energia, 
campos girantes, enrolamentos, motores de indução e circuitos equivalentes. 
Utiliza-se o campo magnético como agente intermediário para realizar 
a conversão eletromecânica de energia em máquinas elétricas. Como já 
estudamos, essa conversão é realizada transformando-se energia elétrica em 
energia mecânica, ou, ainda, energia mecânica em energia elétrica.
As máquinas elétricas rotativas são equipamentos destinados a 
converter energia mecânica em energia elétrica, ou vice-versa. No primeiro 
caso elas recebem o nome de motores elétricos e, no segundo, geradores 
elétricos. O processo de conversão se realiza por meio dos fenômenos 
estudados e consolidados pelas leis fundamentais da eletricidade e do 
magnetismo. Você já estudou e utilizou essas leis em Eletromagnetismo 
e em Conversão Eletromecânica de Energia. Essas leis são: lei da indução 
eletromagnética ou Lenz-Faraday, lei do circuito elétrico ou lei de Kirchhoff, 
lei circuital do campo magnético ou lei de Ampére, lei da força atuante sobre 
condutor situado em um campo magnético e a lei de Biot-Savart.
A disciplina Máquinas Elétricas e Transformadores I é extremamente 
importante na formação do acadêmico de Engenharia Elétrica, não se pode 
imaginar um engenheiro que desconheça os princípios fundamentais dos 
motores e dos transformadores. Por esse motivo, apresentamos esse Caderno 
de Estudos, que destina-se a mostrar, de forma clara, objetiva e resumida 
esses conteúdos, entretanto, queremos ressaltar que o mesmo não substitui 
os livros textos clássicos recomendados para essa disciplina. Esses livros 
clássicos serão sugeridos para leitura ao longo desse Caderno de Estudos.
Ele também servirá como uma revisão para os alunos que já tiveram 
um curso em máquinas elétricas ou como um livro básico para estudos 
iniciais nesse assunto. Em cada Unidade, é apresentado um breve sumário 
dos tópicos, acompanhados dos objetivos fundamentais. Em cada tópico são 
apresentados exemplos resolvidos para auxiliá-los nas Autoatividades.
Acadêmico(a), espero auxiliar você nessa caminhada e dar uma 
maior visão e um maior sentimento sobre as dimensões dos problemas na 
área de máquinas elétricas.
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Sugerimos a leitura e o estudo do caderno e a realização dos exercícios 
disponibilizados nas Autoatividades, bem como as consultas sugeridas 
a cada etapa. O assunto é abrangente e remete a um conteúdo repleto de 
detalhamentos e diferenciações que devem ser interiorizadas pelo aluno. 
Cada passo requer a consulta às obras consideradas básicas e nenhuma 
delas esgota os temas abordados. Por esta razão, sugerimos consultar 
as Referências, os vídeos no YouTube e as Leituras Complementares, que 
levarão a um maior domínio do assunto. 
Desejamos muito sucesso na construção desses conhecimentos!
Prof. Ridis Pereira Ribeiro
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
suMário
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS ........................................................... 1
TÓPICO 1 — ANÁLISE DE CIRCUITO DE TRANSFORMADORES ........................................ 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 TRANSFERÊNCIA DE IMPEDÂNCIAS ........................................................................................ 5
3 BALANÇO DE POTÊNCIA NO TRANSFORMADOR IDEAL ................................................. 8
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 10
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 11
TÓPICO 2 — INTRODUÇÃO AOS TRANSFORMADORES REAIS ....................................... 13
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 13
2 PARÂMETROS DE UM TRANSFORMADOR REAL ............................................................... 13
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 19
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 20
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS ................................................................................ 23
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 23
2 TRANSFORMADORES IDEAL E REAL ...................................................................................... 23
3 APLICAÇÃO DO TRANSFORMADOR REAL ........................................................................... 27
4 CONVENÇÃO DO PONTO E POLARIDADE DAS BOBINAS .............................................. 28
5 CIRCUITO EQUIVALENTE APROXIMADO ..............................................................................33
6 COMPONENTES DO CIRCUITO EQUIVALENTE ................................................................... 37
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 38
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 42
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 43
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 45
UNIDADE 2 — TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS, AUTOTRANSFORMADORES, 
REGULAÇÃO E RENDIMENTO ......................................................................... 47
TÓPICO 1 — TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS ................................................................... 49
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 49
2 TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS E BANCOS DE TRANSFORMADORES 
MONOFÁSICOS ............................................................................................................................... 49
3 CONEXÕES EM TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS .......................................................... 50
4 LIGAÇÃO EM Y-Y ............................................................................................................................. 51
5 LIGAÇÃO EM Y-∆ ............................................................................................................................. 53
6 LIGAÇÃO EM ∆-Y ............................................................................................................................. 55
7 LIGAÇÃO EM ∆-∆ ............................................................................................................................. 57
8 CONEXÃO V-V .................................................................................................................................. 59
9 TIPOS DE TRANSFORMADORES ............................................................................................... 61
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 62
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 63
TÓPICO 2 — AUTOTRANSFORMADORES ................................................................................. 65
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 65
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO AUTOTRANSFORMADOR .................................. 66
3 CIRCUITOS COM AUTOTRANSFORMADORES ................................................................... 69
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 73
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 74
TÓPICO 3 — REGULAÇÃO DE TENSÃO E RENDIMENTO DOS 
TRANSFORMADORES ............................................................................................. 77
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 77
2 REGULAÇÃO DE TENSÃO ............................................................................................................ 77
3 DIAGRAMA FASORIAL ................................................................................................................. 79
4 RENDIMENTO .................................................................................................................................. 86
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 89
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 95
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 96
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 98
UNIDADE 3 — MOTORES MONOFÁSICOS, TRIFÁSICOS E DE INDUÇÃO .................... 99
TÓPICO 1 — MOTORES MONOFÁSICOS ................................................................................. 101
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 101
2 CATEGORIAS .................................................................................................................................. 103
3 PARTIDA EM FASE DIVIDIDA .................................................................................................. 106
4 PARTIDA COM CAPACITOR ...................................................................................................... 107
5 MOTOR DE POLOS SOMBREADOS ......................................................................................... 108
6 VANTAGENS E DESVANTAGENS ............................................................................................ 109
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 112
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 113
TÓPICO 2 — MOTORES TRIFÁSICOS ........................................................................................ 115
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 115
2 PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO ......................................................................................... 115
3 CARACTERÍSTICAS ...................................................................................................................... 118
4 TIPOS DE MOTORES TRIFÁSICOS .......................................................................................... 123
4.1 ROTOR GAIOLA DE ESQUILO ............................................................................................... 123
4.2 ROTOR BOBINADO .................................................................................................................. 124
4.3 SÍNCRONO TRIFÁSICO ........................................................................................................... 125
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 127
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 128
TÓPICO 3 — MOTORES DE INDUÇÃO ...................................................................................... 131
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 131
2 TENSÃO INDUZIDA NO ROTOR DO MOTOR DE INDUÇÃO ........................................ 131
2.1 DESLOCAMENTO DE UM CONDUTOR, CAMPO MAGNÉTICO E TENSÃO 
INDUZIDA ................................................................................................................................... 131
3 ESTATOR E CAMPO MAGNÉTICO GIRANTE ...................................................................... 138
4 CONJUGADO NO MOTOR DE INDUÇÃO ............................................................................. 139
5 RELAÇÕES ENTRE CONJUGADO, VELOCIDADE SÍNCRONAE 
ESCORREGAMENTO DO MOTOR DE INDUÇÃO ............................................................... 141
6 ESCORREGAMENTO DO ROTOR DO MOTOR DE INDUÇÃO ....................................... 142
7 RELAÇÕES ENTRE FREQUÊNCIA, VELOCIDADE, TENSÃO E CONJUGADO 
INDUZIDOS NO MOTOR DE INDUÇÃO ............................................................................... 143
7.1 FREQUÊNCIA NO ROTOR ...................................................................................................... 143
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 152
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 158
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 159
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 163
1
UNIDADE 1 — 
TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
•	 identificar	 as	 características	 do	 transformador	 ideal	 e	 a	 relação	 de	
transformação;
•	 analisar	a	transferência	de	impedâncias;
•	 demonstrar	o	balanço	de	potência	(entrada	e	saída)	no	transformador	ideal;
•	 especificar	os	parâmetros	que	compõem	um	transformador	real;
•	 indicar	o	circuito	equivalente	do	transformador	real;
•	 reconhecer	os	métodos	de	determinação	dos	parâmetros	do	 transformador	
real;
•	 definir	o	circuito	equivalente	referido	e	seus	parâmetros;
•	 descrever	o	circuito	equivalente	aproximado;
•	 identificar	os	componentes	do	circuito	equivalente.
Esta	unidade	está	dividida	em	três	tópicos.	No	decorrer	da	unidade,	
você	 encontrará	 autoatividades	 com	 o	 objetivo	 de	 reforçar	 o	 conteúdo	
apresentado.	
TÓPICO	1	–	ANÁLISE	DE	CIRCUITO	DE	TRANSFORMADORES	IDEAIS
TÓPICO	2	–	INTRODUÇÃO	AOS	TRANSFORMADORES	REAIS
TÓPICO	3	–	TRANSFORMADORES	REAIS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
ANÁLISE DE CIRCUITO DE TRANSFORMADORES
1 INTRODUÇÃO
O	transformador	é	um	circuito	magneticamente	acoplado	e,	basicamente,	
formado	 por	 duas	 bobinas	 isoladas	 eletricamente	 em	 torno	 de	 um	 núcleo.	 A	
transferência	de	energia	magnética	de	um	transformador	para	outro	é	 feita	pelo	
acoplamento	magnético.	A	bobina	que	recebe	a	energia	de	uma	fonte	de	corrente	
alternada	 (CA)	é	 chamada	de	primário,	 e	a	que	alimenta	uma	carga	é	 chamada	
de	 secundário.	Os	 transformadores	 são	 componentes	 indispensáveis	 para	 diversos	
tipos	de	sistemas	de	conversão	de	energia	e	muito	utilizados	em	circuitos,	desde	
os	eletrônicos	de	baixa	potência,	de	controle	e	transmissão	e	de	geração	de	energia.	
Neste	 capítulo,	 você	 vai	 conhecer	 as	 características	 do	 transformador	 ideal	 e	 a	
relação	de	 transformação,	 analisar	 a	 transferência	de	 impedâncias	 e	demonstrar	
o	balanço	de	potência	(entrada	e	saída)	no	transformador	ideal.	Características	do	
transformador	ideal	e	relação	de	transformação.
Em	suma,	um	transformador	é	composto	por	duas	ou	mais	bobinas,	em	
que	um	fluxo	magnético,	que	é	comum	a	elas,	faz	o	acoplamento.	O	enrolamento	
primário	do	transformador,	quando	ligado	a	uma	fonte	de	tensão	alternada,	gera	
um	campo	magnético	alternado,	cuja	amplitude	depende	da	tensão	do	primário,	
da	frequência	da	tensão	aplicada	e	do	número	de	espiras.	Uma	parcela	desse	fluxo,	
chamado	de	fluxo	mútuo,	 liga	um	segundo	enrolamento,	o	 secundário,	ao	qual	
induz	uma	tensão	cujo	valor	depende	do	número	de	espiras	do	secundário,	com	
frequência	e	magnitude	do	fluxo	comum	(UMANS,	2014).	Quando	se	estabelece	
uma	relação	de	proporção	adequada	entre	o	número	de	espiras	do	enrolamento	
primário	e	do	enrolamento	secundário,	é	possível	obter	qualquer	relação	de	tensões	
ou	de	transformação	entre	a	entrada	e	a	saída	do	transformador.	É	convencional,	
para	 os	 transformadores,	 chamar	de	primário	 a	 entrada	do	 transformador	 e	de	
secundário	 a	 saída,	 porém	 em	muitas	 aplicações,	 a	 energia	 pode	 ter	 seu	 fluxo	
nos	dois	sentidos	(tanto	de	entrada,	onde	está	conectado	na	rede	CA	para	saída,	
quanto	 da	 saída	 para	 entrada),	 o	 que	 pode	 tornar	 o	 conceito	 de	 enrolamento	
primário	e	secundário	um	pouco	complicado.	Para	ficar	mais	claro,	pode-se	utilizar	
a	 terminologia	 de	 enrolamento	 de	 alta	 tensão	 e	 enrolamento	 de	 baixa	 tensão,	
facilitando	o	entendimento	do	que	é	entrada	e	o	que	é	saída	(UMANS,	2014).
O	 transformador	 ideal	 apresenta,	 como	 características	 básicas,	 duas	
bobinas	 que	 são	 acopladas	 por	 um	 núcleo	 com	 permeabilidade	 magnética	
infinita.	As	bobinas	do	transformador	–	enrolamento	primário	e	enrolamento	
secundário	 —	 e	 o	 núcleo	 não	 apresentam	 resistência	 elétrica,	 mas	 um	
acoplamento	magnético	sem	perdas	entre	elas	com	um	material	construtivo	do	
seu	núcleo	sem	histerese	e	perdas.
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
4
Na	Figura	1,	a	seguir,	é	possível	verificar	o	conjunto	de	bobinas	acopladas,	
ou	 seja,	 a	 representação	 de	 um	 transformador	 ideal,	 no	 qual	 as	 bobinas	 da	
esquerda	(enrolamento	1)	denominam-se	enrolamento	primário,	e	as	bobinas	da	
direita	(enrolamento	2)	são	chamadas	de	enrolamento	secundário.
FIGURA 1 – TRANSFORMADOR IDEAL
FONTE: Umans (2014, p. 70)
As	 leis	de	Ohm,	Faraday	e	Lenz	determinam	a	existência	e	os	sentidos	
das	 forças	 eletromotrizes	 induzidas	 e	 das	 correntes	 elétricas	 que	 fluem	 pelo	
transformador,	 como	 está	 representado	 na	 Figura	 1.	A	 lei	 de	 Lenz	 determina	
que	a	força	eletromotriz	e	a	corrente	elétrica	que	são	induzidas	no	enrolamento	
secundário	geram	linhas	de	força	que	contrariam	o	fluxo	magnético	gerado	pelo	
enrolamento	primário.	Já	a	lei	de	Ohm	determina	o	fluxo	de	uma	corrente	elétrica	
no	enrolamento	secundário,	se	existir	uma	carga	conectada	aos	seus	terminais.	Por	
sua	vez,	a	lei	de	Faraday	determina	a	presença	de	forças	eletromotrizes	induzidas	
nos	enrolamentos	primário	e	secundário	(CHAPMAN,	2013).	Os	 transformadores	
apresentam	as	seguintes	relações	de	transformação:	razão	ou	relação	de	tensão	e	
espiras.	A	tensão	nas	bobinas	de	um	transformador	é	diretamente	proporcional	
ao	número	de	espiras	das	bobinas:
onde:	
•	 Vp	=	tensão	na	bobina	do	primário;
•	 Vs	=	tensão	na	bobina	do	secundário;
•	 Np	=	número	de	espiras	da	bobina	do	primário;
•	 Ns	=	número	de	espiras	da	bobina	do	secundário;
•	 a	=	constante	de	transformação.
Razão	ou	relação	de	tensão:
TÓPICO 1 — ANÁLISE DE CIRCUITO DE TRANSFORMADORES
5
2 TRANSFERÊNCIA DE IMPEDÂNCIAS
Razão	ou	relação	de	espiras:
Logo:
Razão	ou	relação	de	corrente:	a	corrente	que	passa	pelas	bobinas	de	um	
transformador	é	inversamente	proporcional	à	tensão	nas	bobinas:
onde:	 Ip	 =	 corrente	 na	 bobina	do	primário;	 Is	 =	 corrente	 na	 bobina	do	
secundário.	Logo:
Os	componentes	elétricos	e	eletrônicos,	quanto	sujeitos	a	uma	diferença	de	
potencial	(tensão),	apresentam	oposição	à	passagem	de	corrente,	que	é	chamada	
de	resistência	(R),	cuja	unidade	básica	de	medida	é	o	ohm	(Ω).	Com	a	utilização	
de	tensão	alternada,	surge	outra	resistência,	que	é	denominada	reatância.
Utilizando	 tensão	 alternada,	 que	 gera	 uma	 corrente	 senoidal	 também	
alternada	 em	 um	 circuito	 ou	 sistema	 elétrico	 com	 oposição	 à	 circulação	 de	
corrente	 senoidal	 CA,	 devido	 à	 resistência	 e	 reatância,	 surge	 um	 fenômeno	
chamado	impedância.	Representa-se	a	impedância	com	símbolo	Z,	e	a	unidade	
básica	de	medida	é	o	ohm	(Ω).	Podemos	dizer,	então,	que	a	impedância	é	uma	
grandeza	elétrica	diretamente	relacionada	à	oposição	à	corrente	elétrica	que	um	
sistema	apresenta,	 característica	 inerente	 a	quase	 todos	os	 elementos	 elétricos,	
inclusiveos	transformadores	(FOWLER,	2013).	O	transformador	ideal	tem	uma	
propriedade	importante	que	deve	ser	entendida.	Para	 isso,	vamos	tomar	como	
exemplo	o	caso	em	que	se	aplica	uma	tensão	senoidal	nos	enrolamentos	primários	
do	 transformador	 e	 se	 conecta	 uma	 impedância	 como	 carga	 nos	 terminais	 do	
enrolamento	secundário.	(UMANS,	2014).
Na	 Figura	 2,	 a	 seguir,	 podemos	 verificar	 um	 circuito	 simplificado	 do	
transformador	descrito	anteriormente.
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
6
FIGURA 2 – CIRCUITO SIMPLIFICADO DO TRANSFORMADOR
2
FONTE: Umans (2014, p. 71)
Sendo	todas	as	correntes	e	tensões	senoidais,	elas	são	representadas	por	
suas	 amplitudes	 complexas.	As	 tensões	 e	 as	 correntes	 da	 Figura	 2	 podem	 ser	
representadas	pela	equação:
A	polaridade	da	corrente	I	1	está	entrando	no	terminal	marcado,	e	a	da	
corrente	I	2	saindo	dele.	Por	meio	dessa	análise,	podemos	expressar	a	seguinte	
equação,	onde	a	impedância	de	carga	Z2	relaciona-se	com	a	tensão	e	a	corrente	
do	secundário.
onde	Z2	representa	a	impedância	complexa	da	carga.	Nos	terminais	a-b,	
observa-se	uma	impedância	Z1	que	pode	ser	expressa	por:
Como	resultado	dessa	análise,	podemos	concluir	que,	nos	terminais	a-b,	
uma	 impedância	Z2	 no	 enrolamento	 secundário	 poderá	 ser	 trocada	por	 outra	
equivalente	Z1	no	enrolamento	primário,	seguindo	a	seguinte	equivalência:
Assim,	os	três	circuitos	da	Figura	3,	a	seguir,	são	indistintos,	se	analisados	
seus	desempenhos	a	partir	dos	 terminais	a-b.	Esse	método	de	 transferência	de	
impedância	de	um	lado	para	outro	de	um	transformador	é	denominado	“refletir	
a	 impedância”	 ou	 “referir	 a	 impedância	 para	 o	 outro	 lado”.	 Desse	 modo,	 as	
impedâncias	 são	 transferidas	 proporcionalmente	 ao	 quadrado	 da	 relação	 de	
espiras	do	transformador	(UMANS,	2014).
TÓPICO 1 — ANÁLISE DE CIRCUITO DE TRANSFORMADORES
7
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14
, p
. 7
1)
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
8
Podemos	 concluir	 que,	 em	 um	 transformador	 ideal,	 as	 tensões	 são	
transformadas	na	razão	direta	da	relação	de	espiras;	as	correntes,	na	razão	inversa	
da	relação	de	espiras;	e,	por	fim,	as	impedâncias,	na	razão	direta	da	relação	de	
espiras	ao	quadrado.
3 BALANÇO DE POTÊNCIA NO TRANSFORMADOR IDEAL
Para	 um	 transformador	 ideal,	 que	 não	 apresenta	 perdas	 em	 seus	
componentes,	a	soma	das	potências	que	entram	(entrada)	é	sempre	a	mesma	das	
potências	 que	 saem	 (saída)	 do	 transformador.	 Tem-se	 a	 seguinte	 equação	 para	
determinar	 a	 potência	 ativa	 de	 entrada	 Pentrada	 fornecida	 ao	 transformador	 pelo	
circuito	do	enrolamento	primário.
onde:
•	 θp	é	o	ângulo	entre	a	tensão	primária	e	a	corrente	primária.
A	potência	ativa	Psaída	fornecida	pelo	circuito	do	enrolamento	secundário	
do	transformador	à	sua	carga	é	descrita	pela	equação:
onde:	θs	é	o	ângulo	entre	a	tensão	secundária	e	a	corrente	secundária.	Os	
ângulos	entre	tensão	e	corrente,	em	um	transformador	ideal,	não	são	afetados.	
Por	isso,	podemos	afirmar	que	θp	=	θs	=	θ.	Portanto,	os	enrolamentos	primários	
do	 transformador	 ideal	 têm	 o	 mesmo	 fator	 de	 potência	 dos	 secundários	
(CHAPMAN,	2013).	Com	isso,	a	relação	da	potência	que	entra	no	circuito	primário	
do	transformador	ideal	com	a	que	sai	pelo	circuito	secundário	pode	ser	descrita	
pela	simples	aplicação	das	equações	de	corrente	e	tensão.
Relacionando	 o	 número	 de	 espiras	 com	 as	 tensões	 tanto	 no	 primário	
quanto	no	secundário,	obtém-se	a	seguinte	equação:
Conclui-se,	 então,	 que,	 para	 os	 transformadores	 ideais,	 a	 potência	 de	
entrada	é	igual	à	de	saída.	Podemos,	ainda,	estender	essa	relação	para	as	potências	
reativas	(Q)	e	aparentes	(S)	que	são	descritas	pelas	equações:
TÓPICO 1 — ANÁLISE DE CIRCUITO DE TRANSFORMADORES
9
Sugestão de leitura: Acadêmico: Você pode complementar seus 
conhecimentos lendo os seguintes clássicos:
• FITZGERALD, A. E., KINGSLEY Jr., C. e KUSKO, A.: “Máquina Elétricas”. Editora McGrawHill 
do Brasil Ltda- 6ª Edição.
• SLEMON, G. R. (1974): “Equipamentos Magnetelétricos: transdutores, transformadores e 
máquinas”. Volume I. Editora: Livros Técnicos e Científicos S.A.
• BASTOS, J.P.A. (2004): “Eletromagnetismo para engenharia: estática e quase-estática”. 
Editora da UFSC.
• ULABY, F.T. (2007): “Eletromagnetismo para engenheiros”. Editora: Bookman, Porto Alegre.
• KOSOW, Irwing L. (1982): “Máquinas Elétricas e Transformadores”. Volume II. Editora 
Globo. 4a. edição.
• FALCONE, A. G. (1979): “Eletromecânica”. Editora Edgard Blücher Ltda. RIES, W. (2007): 
“Transformadores: fundamentos para o projeto e cálculo” – Editora: EDIPUCRS. 1ª edição.
• LOWTHER, D.A. and SILVESTER, P.P. (1986): “Computer-aided design in magnetics”. 
Editora: SpringerVerlag, New York.
DICAS
10
Nesse tópico, você aprendeu que:
•	 Um	transformador	ideal	é	aquele	em	que	o	acoplamento	entre	suas	bobinas	é	
perfeito,	ou	seja,	todas	concatenam,	ou	envolvem,	o	mesmo	fluxo,	o	que	vale	
dizer	que	não	há	dispersão	de	fluxo.
•	 Os	 transformadores	 são	 componentes	 indispensáveis	para	diversos	 tipos	de	
sistemas	de	 conversão	de	 energia	 e	muito	utilizados	 em	 circuitos,	 desde	 os	
eletrônicos	de	baixa	potência,	de	controle	e	transmissão	e	de	geração	de	energia.
•	 Os	transformadores	são	usados	para	abaixar	ou	aumentar	as	 tensões	e	correntes	
elétricas	em	circuitos	de	consumo	ou	transmissão	de	energia	elétrica.
•	 Se	um	transformador	abaixa	uma	tensão	elétrica,	ele	automaticamente	aumenta	
a	 intensidade	 da	 corrente	 elétrica	 de	 saída	 e	 vice-versa,	 mantendo	 sempre	
constante	a	potência	transmitida,	dada	pelo	produto	da	corrente	pela	tensão.
•	 É	 convencional,	 para	 os	 transformadores,	 chamar	de	primário	 a	 entrada	do	
transformador	e	de	secundário	a	saída,	porém	em	muitas	aplicações,	a	energia	
pode	 ter	 seu	fluxo	nos	dois	 sentidos	 (tanto	de	entrada,	onde	está	conectado	
na	 rede	CA	para	saída,	quanto	da	saída	para	entrada),	o	que	pode	 tornar	o	
conceito	de	enrolamento	primário	e	secundário	um	pouco	complicado.
•	 Os	transformadores	têm	a	capacidade	de	transmitir	a	energia	elétrica	de	um	
circuito	para	o	outro	através	de	campos	magnéticos,	transformando	os	valores	
de	tensão	e	de	corrente	ao	mesmo	tempo.
•	 Os	 transformadores	 comuns	são	construídos	com	dois	enrolamentos	de	fios	
de	cobre,	 chamados	de	primário	e	 secundário.	Esses	enrolamentos	possuem	
diferentes	números	de	espiras	e	encontram-se	em	volta	de	um	núcleo	de	ferro,	
sem	que	haja	contato	físico	entre	eles.
RESUMO DO TÓPICO 1
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1	 Explique	com	suas	palavras	o	que	é	um	transformador	ideal:
2	 Disserte	sobre	o	fluxo	magnético:
3	 Quais	são	as	aplicações	práticas	dos	transformadores	em	engenharia	elétrica?
4	 Considerando	 um	 transformador	 ideal	 e	 suas	 relações	 envolvendo 
							as	 tensões	 e	 seus	 enrolamentos	 primários	 e	 secundários,	 assinale	 a	
alternativa	CORRETA:
a)	(			)	É	possível	obter	qualquer	relação	de	tensões	entre	a	entrada	e	a	saída	
do	transformador.
b)	(			)	É	 possível	 obter	 apenas	 o	 dobro	 do	 valor	 de	 tensão	 em	 relação	 às	
tensões	entre	a	entrada	e	a	saída	do	transformador.
c)	 (			)	É	possível	obter	apenas	o	quadrado	da	 tensão	em	relação	às	 tensões	
entre	a	entrada	e	a	saída	do	transformador.
d)	(			)	É	possível	obter	apenas	o	inverso	da	tensão	em	relação	às	tensões	entre	
a	entrada	e	a	saída	do	transformador.
5	 Um	transformador	reduz	120	volts	que	chegam	ao	primário	para	8	volts	no	
secundário.	Nesse	transformador	há	150	espiras	no	primário	e	10	espiras	no	
secundário.	Qual	a	razão	de	tensão	e	a	razão	de	espiras,	respectivamente?
a)	(			)	RT	=	15:10	e	RE	=	10:15.
b)	(			)	RT	=	15:1	e	RE	=	15:1.
c)	 (			)	RT	=	1:15	e	RE	=	1:15.
d)	(			)	RT	=	150:1	e	RE	=	150:1.
6	 Um	transformador	com	núcleo	de	ferro	funcionando	em	uma	linha	de	120	
volts	tem,	em	seu	primário,	500	espiras	e,	no	secundário,	apenas	100	espiras.	
Qual	será	atensão	no	secundário?
a)	(			)	Vp	=	100	volts.
b)	(			)	Vp	=	110	volts.
c)	 (			)	Vp	=	24	volts.
d)	(			)	Vp	=	220	volts.
7	 Um	transformador	tem	a	eficiência	de	90%.	Se	ele	fornece	198	watts	de	uma	
linha	de	110	volts,	qual	é	a	corrente	no	primário?	
a)	 (			)	Ip	=	90	A.
b)	(			)	Ip	=	20	0A.
c)	 (			)	Ip	=	20	A.
d)	(			)	Ip	=	2	A.
AUTOATIVIDADE
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8	 Um	transformador	consome	160	watts	de	uma	linha	de	120	volts	e	libera	24	
volts	e	5	A.	Qual	é	a	eficiência	do	transformador?
a)	(			)	Ef	=	65	%.
b)	(			)	Ef	=	70	%.
c)	 (			)	Ef	=	75	%.
d)	(			)	Ef	=	85	%.
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TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO AOS TRANSFORMADORES REAIS
1 INTRODUÇÃO
Neste	 capítulo,	 você	 vai	 estudar	 sobre	 os	 transformadores	 reais	 e	 sua	
modelagem	 por	 meio	 do	 circuito	 equivalente,	 destacando	 os	 elementos	 que	
compõem	esse	circuito,	além	de	reconhecer	os	métodos	de	determinação	destes	
parâmetros.	Em	um	transformador	real,	a	potência	obtida	no	secundário	é	menor	
que	a	potência	aplicada	no	primário	devido	à	existência	de	perdas.	As	principais	
perdas	existentes	nesses	 transformadores	ocorrem	nos	enrolamentos	e	no	núcleo,	e	
elas	podem	ser	modeladas	para	obter	um	circuito	equivalente.	Contudo,	antes	
de	 determinar	 o	 circuito	 equivalente	 que	 modela	 os	 transformadores	 reais,	 é	
necessário	dar	 início	ao	estudo	a	partir	das	especificações	dos	parâmetros	que	
compõem	esse	circuito.	
2 PARÂMETROS DE UM TRANSFORMADOR REAL
Um	transformador	é	um	equipamento	elétrico	estático	que,	por	indução	
eletromagnética,	 transforma	 tensão	 e	 corrente	 alternadas	 entre	 duas	 ou	 mais	
bobinas	de	fio	fisicamente	enroladas	em	torno	de	um	núcleo	ferromagnético,	sem	
mudança	 de	 frequência	 e	 defasagem.	 Para	 distinguir	 os	 enrolamentos,	 adota-
se	por	convenção	que	o	enrolamento	no	qual	a	fonte	é	aplicada	é	denominado	
primário,	e	o	enrolamento	no	qual	a	carga	é	conectada	é	o	secundário,	conforme	
ilustra	a	Figura	4.
O	uso	dos	 transformadores	permite	a	 transferência	de	energia	em	tensões	
adequadas	 para	 cada	 dispositivo,	 executando	 funções	 como:	 casamento	 de	
impedância	 de	 forma	 a	maximizar	 a	 transferência	 de	 potência	 e	 adequações	 dos	
níveis	de	tensão	e	isolação	em	circuitos	de	potência	e	de	partes	de	um	circuito	elétrico.
14
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
FIGURA 4 – ESQUEMÁTICO DE UM TRANSFORMADOR REAL DE NÚCLEO DE FERRO
Enrolamentos	do	primário Tiras	de	metal
ferromagnético	laminado
Enrolamentos	do	secundário
Fluxo	magnético
FONTE: Adaptado de Boylestad (2012)
A	diferença	 entre	 os	 transformadores	 ideais	 e	 os	 reais	 é	 que	 os	 ideais	
desprezam	as	perdas	decorrentes	da	sua	operação,	enquanto	os	transformadores	
reais	enunciam	que	a	potência	obtida	no	secundário	do	transformador	é	menor	
que	a	potência	aplicada	ao	primário,	devido	à	consideração	das	perdas	existentes.	
Isso	significa	que	um	modelo	mais	completo	deve	levar	em	consideração	os	efeitos	
das	 resistências	dos	 enrolamentos,	 os	fluxos	dispersos	 e	 as	perdas	 relativas	 às	
correntes	de	magnetização	do	núcleo	(UMANS,	2014).
As	principais	perdas	existentes	em	um	transformador	real	ocorrem	nos	
enrolamentos	e	no	núcleo.	As	perdas	nos	enrolamentos	primário	e	 secundário	
ocorrem	por	causa	das	 resistências	ôhmicas	dos	fios,	 representadas	por	 (RP)	e	
(RS),	respectivamente,	em	que	parte	da	energia	é	convertida	em	calor	por	efeito	
Joule,	 causando	 perdas	 denominadas	 de	 perdas	 no	 cobre.	 Entretanto,	 para	 as	
perdas	no	núcleo,	têm-se	as	perdas	por	dispersão	de	linhas	de	campo	magnético,	
por	histerese	do	material	e	pelas	correntes	parasitas	de	Foucault,	que	ao	serem	
induzidas	no	núcleo	o	aquecem,	reduzindo	o	fluxo	magnético.	A	seguir,	vamos	
analisar	cada	uma	dessas	perdas.	Analisando	a	Figura	1,	pode-se	observar	que,	ao	
aplicar	a	tensão	vp(t)	nas	espiras	do	primário	do	transformador,	devido	ao	fluxo	
produzido	pela	passagem	da	 corrente	 é	 induzida	uma	 tensão	no	 enrolamento	
(eind),	enunciada	pela	lei	de	Faraday,	dada	pela	Equação	1	(CHAPMAN,	2013).
Isolando	o	fluxo	médio	presente	no	enrolamento	primário	do	transformador	
obtêm-se	 a	 Equação	 2,	 que	 demonstra	 que	 esse	 fluxo	 médio	 no	 enrolamento	 é	
proporcional	 à	 integral	 da	 tensão	 aplicada	 ao	 enrolamento	 e	 que	 a	 constante	 de	
proporcionalidade	 é	 equivalente	 ao	 número	 de	 espiras	 do	 enrolamento	 primário	
(CHAPMAN,	2013).
TÓPICO 2 — INTRODUÇÃO AOS TRANSFORMADORES REAIS
15
Ao	analisarmos	o	efeito	que	esse	fluxo	tem	sobre	o	enrolamento	secundário	
do	mesmo	transformador,	observa-se	que,	para	os	transformadores	reais,	uma	parte	
do	fluxo	produzido	na	bobina	primária	não	passa	pela	bobina	secundária.	Isso	se	
deve	ao	fato	de	que	algumas	linhas	de	fluxo	deixam	o	núcleo	de	ferro,	passando	
através	 do	 ar,	 caracterizado	 como	fluxo	 de	 dispersão,	 como	mostra	 a	 Figura	 5.	
Assim,	o	fluxo	na	bobina	primária	do	transformador	pode	ser	dividido	em	duas	
componentes:	 um	 fluxo	mútuo,	 que	 permanece	 no	 núcleo	 e	 concatena	 (enlaça)	
ambos	os	enrolamentos,	e	um	pequeno	fluxo	de	dispersão	(CHAPMAN,	2013).
FIGURA 5 – FLUXOS CONCATENADOS E MÚTUO EM UM NÚCLEO TRANSFORMADOR
FONTE: Champman (2013, p. 79)
No	enrolamento	primário,	o	fluxo	disperso	induz	uma	tensão	que	se	soma	
àquela	produzida	pelo	fluxo	mútuo.	Como	a	maior	parte	do	caminho	do	fluxo	
disperso	está	no	ar,	esse	fluxo	e	a	tensão	induzida	por	ele	variam	linearmente	com	
a	corrente	primária	i	P(t),	podendo,	assim,	ser	representado	por	uma	indutância	
de	dispersão	do	primário.	A	correspondente	reatância	de	dispersão	do	primário	
(XP)	é	dada	pela	Equação	3	(UMANS,	2014).
16
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
Esse	mesmo	fenômeno	ocorre	no	enrolamento	secundário	 (XS).	Quanto	
menores	 forem	 os	 fluxos	 de	 dispersão	 de	 um	 transformador,	 mais	 próxima	
estará	 a	 razão	 entre	 as	 tensões	 totais	 desse	 transformador	 em	 comparação	 ao	
transformador	ideal.	Para	quantificar	as	demais	perdas	no	núcleo,	vamos	iniciar	
a	 análise	 pela	 fonte	 de	 tensão	 CA	 conectada	 ao	 enrolamento	 primário	 vp(t),	
como	demonstrado	na	Figura	1.	Uma	corrente	flui	no	circuito	primário	i	P(t),	e	é	
responsável	por	produzir	fluxo	em	um	núcleo	ferromagnético	real.	Contudo,	esta	
corrente	pode	ser	decomposta	em	duas	componentes:
•	 Corrente	de	magnetização	(I	m):	necessária	para	produzir	o	fluxo	no	núcleo	do	
transformador.
•	 Corrente	de	perdas	no	núcleo	(IC):	responsável	pelas	perdas	por	histerese	e	por	
corrente	parasita	no	núcleo.
A	 corrente	 de	 excitação	 do	 transformador	 pode	 ser	 tratada	 como	uma	
corrente	senoidal	I	φ,	e	é	simplesmente	a	soma	da	corrente	de	magnetização	e	a	
corrente	de	perdas	no	núcleo,	como	ilustra	a	Equação	a	seguir:
Essas	 perdas	 do	 núcleo	 são	 representadas	 por	 meio	 de	 um	 ramo	 em	
derivação	conectado	à	fonte	de	tensão,	chamado	de	ramo	de	excitação,	em	que	as	
perdas	 caracterizadas	pelas	perdas	por	histerese	e	por	 corrente	de	Foucault	 são	
modeladas	por	uma	resistência	RC,	chamada	de	resistência	de	magnetização.	Em	
paralelo	à	(RC),	representa-se	a	indutância	de	magnetização	(LM),	cuja	reatância,	
conhecida	como	reatância	de	magnetização	(Xm),	é	dada	pela	Equação	a	seguir:
Diante	 do	 exposto,	 qualquer	modelo	 que	 represente	 o	 comportamento	
de	um	 transformador	 real	deve	 ser	 capaz	de	 levar	 em	consideração	as	perdas	
existentes.	Assim,	os	parâmetros	que	devem	ser	 incluídos	na	construção	desse	
modelo	são	os	seguintes	(CHAPMAN,	2013).
•	 Perdas	 no	 cobre	 (RI2):	 são	 as	 perdas	 ocorridas	 por	 causa	 do	 aquecimento	
resistivo	nos	enrolamentos	primário	e	secundário	do	transformador.	Elas	são	
proporcionais	ao	quadrado	da	corrente	nos	enrolamentos.	Perdas	por	corrente	
parasita:	são	perdas	que	ocorrem	devido	ao	aquecimento	resistivo	no	núcleo	
do	 transformador.	 Elas	 são	 proporcionais	 ao	 quadrado	 da	 tensão	 aplicada	
ao	 transformador.	 Perdas	 por	 histerese:	 estão	 associadas	 à	 alteração	 da	
configuração	dos	domínios	magnéticos	no	núcleo	durante	cada	semiciclo.	Elas	
são	umafunção	não	 linear,	 complexa,	da	 tensão	aplicada	ao	 transformador.	
Fluxo	de	dispersão:	os	fluxos	∅DP	e	∅DS	que	escapam	do	núcleo	e	passam	
por	meio	 de	 apenas	 um	 dos	 enrolamentos	 do	 transformador	 são	 fluxos	 de	
dispersão,	que	se	dispersaram	e	produzem	uma	indutância	de	dispersão	nas	
bobinas	primária	e	 secundária.	Seus	efeitos	devem	ser	 levados	em	consideração.	
Introdução	aos	transformadores	reais	5	Uma	vez	apresentados	os	parâmetros	
TÓPICO 2 — INTRODUÇÃO AOS TRANSFORMADORES REAIS
17
responsáveis	 pelas	 perdas	 dentro	 do	 transformador	 real,	 na	 próxima	 seção	
você	 verá	 os	 principais	 modelos	 de	 transformadores:	 circuito	 equivalente,	
circuito	 equivalente	 referenciado	 (aos	 lados	 do	 transformador)	 e	 circuito	
equivalente	aproximado.	Circuito	equivalente	de	um	transformador	real.	As	
perdas	 existentes	 em	 um	 transformador	 podem	 ser	 modeladas	 para	 obter	
um	 circuito	 equivalente	 capaz	 de	 representar	 um	 transformador	 real.	 Essas	
perdas	serão	analisadas	uma	de	cada	vez	e	seus	efeitos	serão	representados	no	
modelo	do	transformador.	Iniciaremos	pelas	perdas	no	cobre,	que	são	perdas	
resistivas	 que	 ocorrem	 nos	 enrolamentos	 primário	 e	 secundário	 do	 núcleo	
do	transformador,	e	modeladas	por	meio	de	uma	resistência	(RP)	no	circuito	
primário	do	transformador	e	uma	resistência	(RS)	no	circuito	secundário.	Em	
seguida,	 modelam-se	 as	 perdas	 por	 dispersão	 de	 fluxo,	 representadas	 por	
uma	reatância	no	primário	(XP)	e	no	secundário	(XS),	ambas	em	série	com	as	
respectivas	perdas	resistivas.	Em	paralelo	ao	ramo	primário,	cria-se	o	ramo	de	
magnetização	do	transformador,	responsável	pelo	modelamento	das	perdas	de	
magnetização	do	núcleo.	Esse	ramo	é	composto	pela	resistência	que	quantifica	
as	 perdas	 por	 histerese	 e	 perdas	 no	 núcleo,	 dada	 por	 (RC)	 em	 paralelo	 à	
reatância	 de	 magnetização	 (XM),	 resultante	 da	 corrente	 de	 magnetização.	
O	 circuito	 equivalente	 resultante	 é	mostrado	na	Figura	 6,	 onde:	RP	e	RS	—	
resistências	que	representam	as	perdas	ôhmicas	nos	enrolamentos	primários	
e	 secundários;	 XP	 e	XS	—	 reatâncias	 que	 representam	 a	dispersão	de	fluxo	
nos	enrolamentos	primários	e	secundários;	RC	—	resistência	que	representa	
as	perdas	no	núcleo	(perdas	por	histerese	e	por	correntes	parasitas	(Foucault);	
XM	—	reatância	que	 representa	as	perdas	de	 correntes	de	magnetização	do	
núcleo;	VP	—	tensão	aplicada	ao	enrolamento	primário;	VS	—	tensão	aplicada	
ao	 enrolamento	 secundário;	 6	 Introdução	 aos	 transformadores	 reais;	 I	 P	—	
corrente	 circulando	no	 enrolamento	primário;	 I	 S	—	 corrente	 circulando	no	
enrolamento	secundário;	NP	—	número	de	espiras	no	enrolamento	primário;	
NS	—	número	de	espiras	no	enrolamento	secundário;	E1	—	tensão	induzida	
no	primário	pelo	fluxo	mútuo	resultante;	E2	—	tensão	induzida	no	secundário	
pelo	fluxo	mútuo	resultante.
FIGURA 6 – MODELO DE UM TRANSFORMADOR REAL
FONTE: Chapman (2013, p. 88)
18
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
Aprofunde seus conhecimentos lendo estes textos:
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/lqee1668/boletim-20.pdf
https: / /ediscipl inas .usp.br/pluginf i le .php/1614769/mod_resource/content/2/
TransfomadoresTeo2_2016.pdf
DICAS
19
RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse	tópico,	você	aprendeu	que:
•	 O	transformador	é	um	dispositivo	elétrico	que	apresenta	uma	relação	próxima	
com	as	máquinas	elétricas.	Ele	 converte	energia	elétrica	CA	de	um	nível	de	
tensão	em	energia	elétrica	CA	de	outro	nível	de	tensão.
•	 Os	 transformadores	 são	 estudados	 junto	 aos	 geradores	 e	 motores,	 porque	
os	 transformadores	 funcionam	 com	 base	 nos	 mesmos	 princípios,	 ou	 seja,	
dependem	da	ação	de	um	campo	magnético	para	que	ocorram	mudanças	no	
nível	de	tensão.
•	 No	cotidiano	da	vida	moderna,	os	geradores,	motores	e	transformadores	estão	
presentes	em	todos	os	lugares.
•	 Em	um	 transformador	 real,	 a	potência	obtida	no	 secundário	 é	menor	que	a	
potência	aplicada	no	primário	devido	à	existência	de	perdas.
•	 As	 principais	 perdas	 existentes	 nesses	 transformadores	 ocorrem	 nos	
enrolamentos	e	no	núcleo,	e	elas	podem	ser	modeladas	para	obter	um	circuito	
equivalente.
•	 Os	parâmetros	do	circuito	equivalente	podem	ser	determinados	por	meio	de	
dois	testes:	(i)	teste	em	vazio	ou	em	circuito	aberto	e	(ii)	teste	em	curto-circuito
20
1	 O	que	é	um	transformador	real?
2	 Qual	a	diferença	entre	os	transformadores	ideais	e	os	reais?
3	 Quais	são	as	funções	de	um	transformador?
4	 As	perdas	de	um	transformador	real	podem	ser	modeladas	e	representadas	
por	um	circuito	elétrico	equivalente,	conforme	a	figura	a	seguir.
AUTOATIVIDADE
FONTE: A autora (2021).
Com	 base	 no	 circuito	 equivalente	 de	 um	 transformador	 real,	 analise	 as	
sentenças	a	seguir:
I-	 R1	e	jX1	representam	as	perdas	pela	resistência	elétrica	do	enrolamento	
primário.
II-	 R2’	e	jX2’	representam	as	perdas	pela	resistência	elétrica	do	enrolamento	
secundário.
III-	Rm	representa	perdas	que	ocorrem	no	núcleo	do	transformador,	como,	
por	exemplo,	as	que	são	decorrentes	de	correntes	de	Foucault.
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	As	sentenças	I,	II	e	III	estão	corretas.
b)	(			)	As	sentenças	I	e	II	estão	corretas.
c)	 (			)	Somente	a	sentença	II	está	correta.
d)	(			)	Somente	a	sentença	III	está	correta.
21
5	 Com	base	nas	perdas	existentes	em	um	transformador,	analise	as	sentenças	a	
seguir.
I-	 Apesar	da	alta	permeabilidade	do	material	do	núcleo	de	um	transformador,	
parte	 do	 fluxo	 magnético	 circula	 ao	 redor	 dos	 enrolamentos,	 o	 que	
ocasiona	as	perdas	denominadas	perdas	por	dispersão.
II-	 As	 perdas	 por	 histerese	 magnética	 são	 provocadas	 pela	 saturação	 do	
núcleo,	ou	seja,	chega-se	a	um	ponto	em	que	o	núcleo	não	consegue	mais	
conduzir	linhas	de	fluxo	magnético.
III-	 As	perdas	por	Foucault	 ocorrem	pelo	 fato	de	o	material	do	núcleo	 ser	
bom	 condutor	 de	 corrente	 elétrica.	 Desse	 modo,	 o	 campo	 magnético,	
que	atravessa	o	núcleo,	induz	correntes	parasitas	que	ocasionam	perdas	
devido	ao	seu	aquecimento.
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	Somente	a	sentença	I	está	correta.
b)	(			)	As	sentenças	I	e	II	estão	corretas.
c)	 (			)	As	sentenças	I	e	III	estão	corretas.
d)	(			)	As	sentenças	II	e	III	estão	corretas.
6	 Um	 transformador	 de	 110kVA	 e	 1.100/220V	 alimenta	 uma	 carga	 nominal	
com	 fator	de	potência	unitário	 em	220V.	As	 reatâncias	de	dispersão	dos	
lados	de	alta	e	baixa	tensões	valem,	respectivamente,	0,3Ω	e	0,012Ω.
Desprezando-se	 a	 corrente	 de	 magnetização	 e	 as	 perdas	 ôhmicas,	 o	
módulo	 da	 tensão,	 em	 volts,	 nos	 terminais	 do	 lado	 de	 alta	 tensão	 vale	
aproximadamente	quanto?
a)	(			)	1100.
b)	(			)	1102.
c)	 (			)	1105.
d)	(			)	1107.
7	 Os	 ensaios	 em	 vazio	 e	 de	 curto-circuito	 são	 realizados	 nos	
transformadores	 com	 o	 objetivo	 de	 levantar	 os	 seus	 parâmetros,	
permitindo	 que	 seja	 montado	 o	 seu	 circuito	 equivalente.	 Considere	
um	 transformador	 monofásico	 de	 10kVA,	 1.000V/100V,	 que	 foi	
submetido	 aos	 dois	 ensaios,	 cujos	 resultados	 são	 apresentados	 a	 seguir: 
Ensaio	em	vazio:
 
 Vo=100V, Io=2A, Po=10W 
 
Ensaio	em	curto:
 
Vcc=20V, Icc=100A, Pcc=1.000W
22
Diante	 do	 exposto,	 assinale	 a	 alternativa	 CORRETA	 com	 a	 reatância	 de	
magnetização	do	transformador	aproximada,	referida	ao	lado	de	alta	tensão,	
em	ohms:
a)	 (			)	5000.
b)	(			)	6000.
c)	 (			)	1000.
d)	(			)	2000.
23
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
TRANSFORMADORES REAIS
1 INTRODUÇÃO
O	transformador	tem	a	função	de	converter	energia	elétrica	de	corrente	
alternada	 (CA)	de	um	nível	de	 tensão	para	outro,	por	meio	da	geração	de	um	
campo	magnético	—	a	energia	elétrica	CA	de	certa	 frequência	e	certo	nível	de	
tensão	em	energia	elétrica	CA	com	a	mesma	frequência,	porém	com	nível	de	tensão	
diferente.	 Quando	 se	 despreza	 as	 perdas	 existentes	 durante	 o	 funcionamento	
dos	 transformadores,	 eles	 são	considerados	 transformadoresideais,	porém,	na	
prática,	os	que	usamos	não	são	ideais,	isto	é,	são	transformadores	que	apresentam	
perdas	durante	seu	funcionamento	e	chamados	de	reais.	Os	transformadores	se	
tornaram	muito	importantes	no	nosso	dia	a	dia,	pois,	sem	eles,	não	seria	possível	
usar	energia	elétrica	em	muitas	atividades.	Podemos	tomar	como	exemplo	um	
sistema	moderno	de	energia	elétrica	que	gera	energia	com	níveis	de	tensões	bem	
altos	(normalmente	de	12	kV	a	25	kV),	porém	a	transmissão	de	energia	à	longa	
distância	é	feita	com	um	nível	de	tensão	entre	110	kV	a	1000	kV	para	minimizar	
as	perdas.	Quem	faz	essa	elevação	nos	níveis	de	tensão	são	os	transformadores	
(CHAPMAN,	2013).
Neste	 tópico,	 você	 será	 capaz	 de	 apontar	 as	 diferenças	 entre	 os	
transformadores	 ideal	 e	 real,	descrever	 a	 aplicação	de	 transformadores	 reais	 e	
definir	a	convenção	do	ponto	e	a	polaridade	das	bobinas.
2 TRANSFORMADORES IDEAL E REAL
Um	 transformador	 é	 composto	 por	 duas	 ou	 mais	 bobinas,	 em	 que	
um	fluxo	magnético,	que	é	comum	a	elas,	 faz	o	acoplamento.	O	enrolamento	
primário	do	 transformador,	 quando	 ligado	 a	uma	 fonte	de	 tensão	 alternada,	
gera	 um	 campo	 magnético	 alternado,	 cuja	 amplitude	 depende	 da	 tensão	
do	primário,	da	 frequência	da	 tensão	aplicada	e	do	número	de	espiras.	Uma	
parcela	desse	fluxo,	chamado	de	fluxo	mútuo,	liga	um	segundo	enrolamento,	o	
secundário,	ao	qual	induz	uma	tensão	cujo	valor	depende	do	número	de	espiras	
do	secundário,	com	frequência	e	magnitude	do	fluxo	comum	(UMANS,	2014).	
Quando	falamos	em	transformador	ideal,	consideramos	que	o	núcleo	que	faz	
o	acoplamento	das	bobinas	 tem	sempre	permeabilidade	magnética	 infinita,	 e	
as	 bobinas	 do	 transformador	 e	 o	 núcleo	 não	 apresentam	 resistência	 elétrica	
alguma,	 definindo	 um	 acoplamento	magnético	 sem	 perdas	 entre	 as	 bobinas	
com	 um	material	 construtivo	 do	 seu	 núcleo	 sem	 histerese	 e	 sem	 perdas	 no	
24
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
núcleo	(CHAPMAN,	2013).	Com	um	transformador	ideal,	quando	se	estabelece	
uma	 relação	 de	 proporção	 adequada	 entre	 as	 espiras	 dos	 enrolamentos,	 é	
possível	obter	qualquer	relação	entre	sua	entrada	e	saída,	pois	não	há	perdas	
durante	o	processo.	Então,	segue	o	seguinte	equacionamento	em	suas	relações	
de	 transformação:	 a	 tensão	 nas	 bobinas	 de	 um	 transformador	 é	 diretamente	
proporcional	ao	número	de	espiras	das	bobinas.	
onde:
•	 Vp	=	tensão	na	bobina	do	primário;
•	 Vs	=	tensão	na	bobina	do	secundário;
•	 Np	=	número	de	espiras	da	bobina	do	primário;
Ns	=	número	de	espiras	da	bobina	do	secundário.	Razão	ou	relação	de	espiras:	
Razão	ou	relação	de	tensão:	
Logo:
A	corrente	que	passa	pelas	bobinas	de	um	transformador	é	inversamente	
proporcional	à	tensão	nas	bobinas:
onde:
•	 Ip	=	corrente	na	bobina	do	primário;
•	 Is	=	corrente	na	bobina	do	secundário.
Logo:
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
25
Esses	transformadores	ideais,	obviamente,	não	podem	ser	construídos	na	
prática,	onde	o	que	temos	são	os	transformadores	reais	que	apresentam	duas	ou	
mais	bobinas	constituídas	por	um	fio	enrolado	em	torno	de	um	núcleo	composto	
por	material	ferromagnético.	Ali,	o	núcleo	que	faz	o	acoplamento	das	bobinas	não	
tem	permeabilidade	magnética	infinita,	e	as	bobinas	do	transformador	e	o	núcleo	
apresentam	 sempre	 alguma	 resistência	 elétrica,	 gerando	 um	 acoplamento	
magnético	 sempre	 com	perdas	 entre	 as	 bobinas.	O	material	 construtivo	do	 seu	
núcleo	tem	a	presença	de	histerese,	além	de	perdas.	Sendo	assim,	os	transformadores	
reais	têm	características	semelhantes	às	dos	ideais	até	certo	ponto.
A	 Figura	 7,	 a	 seguir,	 apresenta	 um	 diagrama	 esquemático	 de	 um	
transformador	real.
FIGURA 7 – TRANSFORMADOR REAL 
FONTE: Chapman (2013, p. 77)
Podemos	 observar	 um	 transformador	 real	 com	 duas	 bobinas	 de	 fio	
enroladas	em	torno	de	um	núcleo.	O	enrolamento	da	bobina	primária	está	ligado	
a	uma	fonte	de	tensão	CA,	enquanto	o	enrolamento	da	bobinada	do	secundário	
está	em	aberto.	A	lei	de	Faraday	caracteriza	o	equacionamento	do	funcionamento	
do	transformador	da	seguinte	forma:
onde:	 𝜆	 é	 o	 fluxo	 concatenado	 na	 bobina	 em	 que	 a	 tensão	 está	 sendo	
induzida.	O	fluxo	concatenado	𝜆	pode	ser	equacionado	pela	soma	do	fluxo	que	
flui	por	cada	espira	da	bobina,	 somado	ao	fluxo	de	 todas	as	outras	espiras	da	
mesma	bobina.
26
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
É	importante	ressaltar	que	o	fluxo	concatenado	total	de	uma	bobina	não	
é	apenas	o	 somatório	do	fluxo	das	espiras	da	bobina.	 Isso	porque	o	fluxo	que	
passa	 por	 cada	 uma	 das	 espiras	 é	 sensivelmente	 diferente	 das	 outras	 espiras,	
dependendo	 da	 posição	 de	 cada	 uma	 dentro	 da	 bobina.	 Por	 isso,	 é	 relevante	
utilizarmos	sempre	um	fluxo	médio	por	espiras	em	uma	bobina.
onde:	𝜆	é	o	fluxo	concatenado	de	todas	as	espiras	da	bobina;	N	é	o	número	
de	espiras.	Assim,	podemos	escrever	a	lei	de	Faraday	da	seguinte	forma:
Enfim,	podemos	observar,	na	Figura	8	a	seguir,	a	curva	de	histerese	para	
um	transformador	real.
FIGURA 8 – CURVA DE HISTERESE DE UM TRANSFORMADOR REAL
FONTE: Chapman (2013, p. 77)
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
27
3 APLICAÇÃO DO TRANSFORMADOR REAL
A	utilização	de	transformadores,	na	prática,	ocorre	apenas	com	os	reais,	
e	sua	operação	demonstra	algumas	características	que	não	são	apresentadas	no	
modelo	do	transformador	ideal.	Quando	aplicamos	uma	tensão	no	enrolamento	
da	 bobina	 primária	 de	 um	 transformador	 ideal,	 será	 induzida	 uma	 tensão	 no	
enrolamento	da	bobina	secundária.	No	entanto,	estando	o	secundário	em	aberto,	
sem	 carga	 conectada	 a	 ele,	 não	 existirá	 corrente	 circulando	 nele.	 Nesse	 caso,	
devido	à	relação	entre	as	correntes	do	primário	e	do	secundário	ser	inversamente	
proporcional	 ao	 número	 de	 espiras,	 pode-se	 afirmar	 que	 também	 não	 haverá	
corrente	circulando	na	bobina	do	enrolamento	primário.	Contudo,	na	prática,	com	
a	aplicação	de	um	transformador	real,	é	constatada	a	presença	de	uma	corrente	no	
primário	do	transformador	real,	pois	ele	é	uma	bobina	que	tem	uma	impedância	
com	uma	corrente	no	primário,	quando	recebe	uma	tensão	até	mesmo	quando	o	
secundário	não	tem	carga	conectada	a	ele.	
Os	transformadores	reais,	quando	em	operação,	apresentam	aquecimento	
nos	enrolamentos	tanto	na	bobina	primária	quanto	na	secundária.	Além	disso,	
o	núcleo	aquece,	dissipando	um	percentual	da	potência	de	entrada	no	próprio	
transformador,	o	que	 faz	 com	que	os	 transformadores	 reais,	na	prática,	nunca	
tenham	uma	eficiência	de	cem	por	cento.	Com	relação	à	tensão	no	enrolamento	
secundário	do	transformador	real,	quanto	maior	a	carga	aplicada	no	secundário,	
menor	 será	 a	 tensão	 e	 maior	 a	 corrente	 no	 secundário,	 mesmo	 não	 variando	
a	 tensão	 aplicada	 ao	 primário.	 Assim,	 no	 transformador	 real,	 as	 tensões	 do	
primário	e	do	secundário	variam	de	acordo	com	a	carga	aplicada	ao	secundário,	
e	não	só	pela	relação	de	espiras.	A	transmissão	e	distribuição	de	energia	elétrica	
são	 aplicações	 de	 extrema	 importância	 no	 uso	 dos	 transformadores	 reais.	 A	
transmissão	de	energia	elétrica,	por	exemplo,	é	feita	em	alta	tensão,	com	o	uso	de	
transformadores	nas	subestações	elevadoras	(Figura	9),	utilizados	para	elevar	a	
magnitude	das	tensões	geradas	nas	usinas.
FIGURA 9 – SUBESTAÇÃO ELEVADORA
FONTE: <https://www.shutterstock.com/pt/image-photo/power-transformer-electrical-energy-
transfer-end-1472471696>. Acesso em: 13 abr. 2021.
28
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
Para	ser	utilizada	nas	residências,	a	energia	deve	ser	novamente	reduzida.	
Essa	redução	de	tensão	é	feita	pelo	transformador	de	distribuição,	como	o	mostrado	
na	Figura	10,	a	seguir,	comumente	encontrado	em	instalações	em	postes.
FIGURA 10 – TRANSFORMADOR DE DISTRIBUIÇÃO
FONTE: Umans (2014, p. 77)
4 CONVENÇÃO DO PONTO E POLARIDADE DAS BOBINAS
A	Figura	11,	a	seguir,	apresenta	um	transformador	real	com	uma	carga	
conectada	 ao	 enrolamento	 da	 bobinada	 secundária.	 Sãomostrados	 os	 pontos	
nos	enrolamentos	do	transformador,	por	meio	dos	quais	é	possível	determinar	
a	polaridade	das	correntes	e	tensões	no	núcleo,	sem	a	necessidade	de	observar	
fisicamente	seus	enrolamentos.
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
29
FIGURA 11 – TRANSFORMADOR REAL
FONTE: Chapman (2013, p. 77)
Como	 significado	 físico	 da	 convenção,	 uma	 corrente	 entrando	 pelo	
terminal	 de	 um	 enrolamento	 com	 ponto	 produz	 uma	 força	 magnetomotriz	
positiva.	Por	sua	vez,	no	caso	de	uma	corrente	entrando	pelo	terminal	ponto,	é	
gerada	uma	força	magnetomotriz	negativa	(UMANS,	2014).	Duas	correntes	ou	
mais	correntes	entrando	nos	terminais	dos	enrolamentos	com	ponto	produzem	
forças	magnetomotrizes	que	se	complementam,	ou	seja,	que	podem	ser	somadas.	
Por	outo	 lado,	se	uma	corrente	sair	por	um	terminal	com	ponto	quando	outra	
estiver	entrando	por	outro	 terminal	 também	com	ponto,	elas	se	suprimem,	ou	
seja,	 as	 forças	magnetomotrizes	 geradas	 podem	 ser	 subtraídas	 uma	 da	 outra,	
mantendo	o	sentido	daquela	de	maior	nível	(CHAPMAN,	2013).	Ainda	analisando	
a	Figura	5,	podemos	afirmar	que	a	corrente	do	enrolamento	da	bobina	primária	
gera	uma	força	magnetomotriz	positiva:																e	a	corrente	do	enrolamento	
da	bobina	secundária	gera	uma	força	magnetomotriz	negativa																			.Assim,	é	
possível	calcular	a	força	líquida	por	meio	da	aplicação	da	seguinte	equação:
Os	transformadores	podem	ser	representados	por	circuitos	equivalentes	
quando	 levadas	 em	 conta	 as	 resistências	 dos	 enrolamentos,	 a	 dispersão	 dos	
fluxos	e	as	correntes	de	excitação.	Para	conhecer	a	equivalência	de	circuitos	ao	
transformador,	 precisamos	 analisar	 as	 circunstâncias	 em	 que	 o	 transformador	
será	 aplicado.	 Em	 alguns	 casos,	 devemos	 levar	 em	 conta	 as	 capacitâncias	 dos	
enrolamentos,	como	em	transformadores	que	trabalham	em	alta	frequência.	Os	
transformadores	 reais	podem	ser	 representados	por	 circuitos	equivalentes	que	
consideram	todas	suas	características,	gerando	um	circuito	complexo,	ou	somente	
o	que	é	de	interesse	de	cada	aplicação,	tendo	como	resultado	um	circuito	mais	
simplificado.	Neste	 capítulo,	 você	 será	 capaz	 de	 definir	 o	 circuito	 equivalente	
referido	 e	 seus	 parâmetros,	 descrever	 o	 circuito	 equivalente	 aproximado	 e	
identificar	os	componentes	do	circuito	equivalente.
30
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
Circuito equivalente referido e seus parâmetros
Na	 análise	 de	 um	 transformador,	 devemos	 observar	 as	 diferenças	 entre	
o	real	e	o	ideal,	que	existem	em	maior	ou	menor	complexidade,	dependendo	do	
desempenho	do	transformador	em	análise.	Se	considerarmos	um	modelo	mais	fiel	
a	um	transformador	real,	devemos	levar	em	conta	não	só	as	resistências	existentes	
nos	enrolamentos	(primário	e	secundário),	mas	também	a	permeabilidade	existente	
no	núcleo,	assim	como	presença	de	dispersão	dos	fluxos	(CHAPMAN,	2013).
Para	 descrever	 o	 circuito	 equivalente	 aproximado	 do	 transformador,	
iniciaremos	analisando	o	enrolamento	primário,	onde	podemos	dividir	o	fluxo	total	
que	concatena	o	enrolamento	em	duas	componentes:	fluxo	mútuo	e	fluxo	disperso.
O	fluxo	mútuo	 resultante	que	 aparece	nos	núcleos	de	 ferro	 é	gerado	a	
partir	da	combinação	das	correntes	que	circulam	nos	enrolamentos	primários	e	
secundários.	Já	o	disperso	do	primário	concatena	somente	o	próprio	enrolamento	
primário.	Essas	correntes	podem	ser	observadas	na	Figura	a	seguir.
FIGURA 12 – FLUXOS DO TRANSFORMADOR
FONTE: Umans (2014, p. 77)
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
31
FIGURA 13 – CIRCRUITO EQUIVALENTE
A	 presença	 do	 fluxo	 disperso	 induz,	 no	 enrolamento	 primário,	 uma	
tensão	que	é	somada	àquela	gerada	pelo	fluxo	mútuo,	o	qual,	junto	de	sua	tensão	
induzida,	é	linear	e	diretamente	proporcional	à	corrente	no	primário.	Dessa	forma,	
levando	em	conta	a	resistência	do	primário,	é	possível	equacionar	a	reatância	de	
dispersão	no	primário	com	a	seguinte	expressão:
onde:	Ll1	é	a	 indutância	de	dispersão	no	primário;	Xl1	é	a	reatância	de	
dispersão	no	primário.	Podemos	descrever	bem	a	tensão	no	primário	dividindo-a	
em	 três:	queda	na	 resistência	do	primário,	queda	devido	ao	fluxo	disperso	do	
primário	e	força	eletromotriz	induzida	pelo	fluxo	mútuo	resultante	no	primário.	
Na	Figura	a	seguir	é	mostrado	um	circuito	equivalente	do	enrolamento	primário	
com	essas	tensões.
FONTE: Umans (2014, p. 77)
Considerando	a	corrente	de	excitação	equivalente,	devemos	levar	em	conta	
a	 resistência	de	perdas	do	núcleo	 e	 a	 indutância	de	magnetização	Lm.	Assim,	
temos,	na	equação	a	seguir,	o	equacionamento	da	reatância	de	magnetização	e,	
na	Figura	a	seguir,	o	circuito	equivalente.
32
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
FIGURA 14 – CIRCUITO EQUIVALENTE COM CORRENTE DE EXCITAÇÃO
FONTE: Umans (2014, p. 75)
Em	suma,	podemos	 considerar	que	um	 transformador	 real	 equivalente	
a	um	 transformador	 ideal	 com	a	presença	de	 impedâncias	 externas,	podendo,	
assim,	referenciar	todas	as	grandezas	ao	primário	ou	ao	secundário,	conforme	a	
Figura	a	seguir.
FIGURA 15 – CIRCUITO EQUIVALENTE COM REPRESENTAÇÃO DAS GRANDEZAS
FONTE: Umans (2014, p. 75)
O	transformador	 ideal,	no	circuito	equivalente,	pode	ser	deslocado	tanto	
à	 direita	 quanto	 à	 esquerda.	 Desse	 modo,	 podemos	 representar	 um	 circuito	
equivalente	 geral	 sem	 a	 representação	 do	 transformador	 ideal	 e	 com	 todas	 as	
tensões,	correntes	e	impedâncias	referenciadas,	conforme	mostra	a	Figura	a	seguir:
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
33
FIGURA 16 – CIRCUITO EQUIVALENTE INTEGRAL 
FONTE: Umans (2014, p. 75)
5 CIRCUITO EQUIVALENTE APROXIMADO
Os	 transformadores,	 basicamente,	 têm	 a	 função	 de	 converter	 energia	
elétrica	alternada	(CA)	de	um	nível	de	tensão	para	outro	por	meio	da	geração	de	
um	campo	magnético,	a	energia	elétrica	CA	de	certa	frequência	e	nível	de	tensão	
em	 energia	 elétrica	CA	 com	 a	mesma	 frequência,	 porém	 com	nível	 de	 tensão	
diferente,	mas	eles	podem	ser	utilizados	em	diferentes	aplicações.
Quando	 utilizamos	 na	 prática,	 são	 transformadores	 que	 apresentam	
perdas	durante	o	seu	funcionamento,	resistências	e	capacitância	em	suas	bobinas,	
dispersão	 no	 fluxo	mútuo,	 entre	 outras	 diferenças	 dos	 circuitos	 considerados	
ideais	(UMANS,	2014).
Os	modelos	dos	 transformadores	podem	ser,	muitas	vezes,	muito	mais	
complexos	do	que	o	necessário	para	se	atingir	resultados	suficientemente	bons	
a	quase	todas	as	aplicações	práticas.	Se	considerarmos	as	correntes	de	carga	dos	
transformadores,	a	de	excitação	do	transformador	é	extremamente	pequena	–	por	
volta	de	2	a	3	por	cento	da	corrente	de	carga	quando	o	transformador	está	à	plena	
carga.	Por	esse	motivo,	podemos	utilizar	um	circuito	equivalente	que	funcione	
praticamente	igual	ao	do	modelo	original	do	transformador,	porém	muito	mais	
simplificado	(CHAPMAN,	2013).	Para	alguns	modelos,	podemos	deslocar	o	ramo	
de	excitação	para	frente	do	transformador	e	colocar	a	impedância	do	enrolamento	
primário	em	série	com	a	impedância	do	enrolamento	secundário.
Dessa	 maneira,	 podemos	 somar	 as	 impedâncias,	 criando	 um	 circuito	
equivalente	bem	próximo	do	modelo	original	do	transformador,	onde	RC	modela	
aproximadamente	a	corrente	de	perdas	no	núcleo	do	transformador.
As	perdas	no	 cobre	dos	 enrolamentos	 são	modeladas	 com	Rp,	para	 as	
perdas	 no	 cobre	do	primário,	 e	RS,	 para	 as	 perdas	 no	 cobre	do	 secundário;	 a	
reatância	devido	à	indutância	da	dispersão	do	primário	é	modelada	no	XP,	assim	
como	XS	modela	a	 reatância	devido	à	 indutância	da	dispersão	do	 secundário.	
34
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
Isso	pode	ser	visto	na	Figura	a	seguir,	quando	se	relaciona	ao	lado	primário,	e	na	
Figura	17,	para	o	lado	secundário.
FIGURA 17 –MODELO DO TRANSFORMADOR REFERIDO AO LADO PRIMÁRIO
FONTE: Chapman (2013, p. 89)
FIGURA 18 – MODELO DO TRANSFORMADOR REFERIDO AO LADO SECUNDÁRIO
FONTE: Chapman (2013, p. 89)
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
35
Já	para	muitas	aplicaçõesutilizadas	na	prática,	podemos	desconsiderar	
totalmente	 o	 ramo	 de	 excitação	 e,	mesmo	 assim,	mantermos	 o	modelo	muito	
próximo	do	original	em	aplicação,	como	pode	ser	visto	na	Figura	a	seguir,	quando	
se	relaciona	ao	lado	primário,	ou	na	Figura	posterior,	para	o	lado	secundário.
FIGURA 19 – MODELO SEM RAMOS DE EXCITAÇÃO REFERIDO AO LADO PRIMÁRIO
FONTE: Chapman (2013, p. 89)
Para	calcular	os	valores	da	resistência	RC	e	da	reatância	XM,	é	necessário	
analisar	a	admitância	do	ramo	de	excitação,	onde	a	condutância	da	resistência	
das	perdas	no	núcleo	pode	ser	calculada	pela	equação	a	seguir:
36
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
A	 susceptância	 do	 indutor	 de	 magnetização	 pode	 ser	 calculada	 pela	
Equação	seguinte:
Em	circuito	aberto	ou	ensaio	a	vazio	 (VZ),	o	módulo	da	admitância	de	
excitação	 referida	 ao	 lado	 do	 transformador	 usado	 para	 a	 medida	 pode	 ser	
calculado	pela	Equação	a	seguir:
Com	o	fator	de	potência	(FP)	a	vazio,	podemos	obter	o	ângulo	da	admitância,	
onde	o	FP	e	o	ângulo	do	FP	podem	ser	calculados	pelas	Equações	seguintes:
O	ângulo	da	corrente,	em	um	transformador	real,	sempre	está	atrasado	
em	relação	à	tensão	em	θ	graus,	devido	ao	FP	estar	sempre	atrasado.	Nesse	caso,	
a	admitância	pode	ser	calculada	pelas	Equações	seguintes:
Utilizando	o	transformador	com	o	secundário	em	curto-circuito,	podemos	
desprezar	 a	 corrente	 no	 ramo	 de	 excitação	 por	 ela	 ser	 muito	 baixa.	 Assim,	
podemos	calcular	o	módulo	das	impedâncias	em	série,	referidas	ao	lado	primário	
do	transformador,	com	a	Equação	a	seguir:
A	corrente	o	FP,	que	está	atrasada,	pode	ser	calculada	com	a	Equação	a	
seguir:
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
37
O	ângulo	da	corrente,	nesse	caso,	será	negativo,	e	o	ângulo	θ	de	impedância	
total	é	positivo.	Podemos	calculá-lo	por	meio	da	Equação	a	seguir:
Com	 isso,	 é	 possível	 calcular	 a	 impedância	 em	 série	ZSE	utilizando	 as	
Equações	seguintes:
6 COMPONENTES DO CIRCUITO EQUIVALENTE
Tomando	como	base	o	circuito	equivalente	da	Figura	3,	identificaremos	os	
componentes	dele	sendo	equivalente	ao	de	um	transformador	real.	Com	relação	
ao	enrolamento	primário,	existe	um	fluxo	disperso	que	é	responsável	por	induzir	
uma	 tensão	 que	 é	 somada	 à	 produzida	 pelo	 fluxo	 mútuo.	 Essa	 tensão	 varia	
linearmente	com	a	corrente	I1,	chamada	de	corrente	de	primário.
Assim,	o	fluxo	de	dispersão	concatenado	no	primário	pode	ser	representado	
por	uma	indutância	Ll1,	e	Xl1	é	a	reatância	de	dispersão	de	primário.
A	 tensão	 nos	 terminais	 do	 enrolamento	 primário	 é	 representada	 por	
V1,	 enquanto	 Iφ	 é	 a	 componente	de	 excitação	necessária	para	 induzir	 o	fluxo	
mútuo	resultante,	sendo:	I2	a	corrente	do	secundário,	IC	a	corrente	de	perdas	no	
núcleo,	Im	a	corrente	de	magnetização,	Xm	a	reatância	de	magnetização,	e	RC	a	
resistência	de	magnetização.	
No	modelo	da	Figura	5,	 está	 representada,	 também,	a	 componente	R1,	
que	equivale	à	resistência	do	primário.	Por	fim,	podemos	observar	a	componente	
E1,	que	representa	a	força	eletromotriz	gerada.
38
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
LEITURA COMPLEMENTAR
POR QUE OS TRANSFORMADORES SÃO IMPORTANTES À VIDA 
MODERNA?
Stephen	J.	Chapman
O	primeiro	sistema	de	distribuição	de	energia	elétrica	dos	Estados	Unidos	
foi	 um	 sistema	 CC	 de	 120	 V	 inventado	 por	 Thomas	A.	 Edison	 para	 fornecer	
energia	 a	 lâmpadas	 incandescentes.	 A	 primeira	 estação	 geradora	 de	 energia	
elétrica	de	Edison	entrou	em	operação	na	cidade	de	Nova	York	em	setembro	de	
1882.	Infelizmente,	seu	sistema	gerava	e	transmitia	energia	elétrica	com	tensões	
tão	baixas	que	se	tornavam	necessárias	correntes	muito	elevadas	para	fornecer	
quantidades	 significativas	 de	 energia.	 Essas	 correntes	 elevadas	 causavam	
quedas	de	tensão	e	perdas	energéticas	muito	grandes	nas	linhas	de	transmissão,	
restringindo	severamente	a	área	de	atendimento	de	uma	estação	geradora.	Na	
década	de	1880,	 as	usinas	geradoras	estavam	 localizadas	a	poucos	quarteirões	
umas	das	outras	para	superar	esse	problema.	
O	 fato	 de	 que,	 usando	 sistemas	 de	 energia	 CC	 de	 baixa	 tensão,	 a	
energia	 não	 podia	 ser	 transmitida	 para	 longe	 significava	 que	 as	 usinas	
geradoras	deveriam	ser	pequenas	e	localizadas	pontualmente	sendo,	portanto,	
relativamente	ineficientes.
A	invenção	do	transformador	e	o	desenvolvimento	simultâneo	de	estações	
geradoras	de	energia	CA	eliminaram	para	sempre	essas	restrições	de	alcance	e	
de	capacidade	dos	sistemas	de	energia	elétrica.	 Idealmente,	um	transformador	
converte	um	nível	de	tensão	CA	em	outro	nível	de	tensão	sem	afetar	a	potência	
elétrica	real	fornecida.
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
39
Se	um	transformador	elevar	o	nível	de	tensão	de	um	circuito,	ele	deverá	
diminuir	 a	 corrente	 para	manter	 a	 potência	 que	 chega	 ao	 dispositivo	 igual	 à	
potência	que	o	deixa.	Portanto,	 a	 energia	 elétrica	CA	pode	 ser	gerada	 em	um	
local	centralizado,	em	seguida	sua	tensão	é	elevada	para	ser	transmitida	a	longa	
distância,	com	perdas	muito	baixas,	e	finalmente	sua	tensão	é	abaixada	novamente	
para	seu	uso	final.	Em	um	sistema	de	energia	elétrica,	as	perdas	de	transmissão	
são	proporcionais	ao	quadrado	da	corrente	que	circula	nas	linhas.	Desse	modo,	
usando	transformadores,	uma	elevação	da	tensão	de	transmissão	por	um	fator	
de	10	permitirá	reduzir	as	perdas	de	transmissão	elétrica	em	100	vezes	devido	à	
redução	das	correntes	de	transmissão	pelo	mesmo	fator.	Sem	o	transformador,	
simplesmente	não	seria	possível	usar	a	energia	elétrica	em	muitas	das	formas	em	
que	é	utilizada	hoje.
Em	 um	 sistema	 moderno	 de	 energia	 elétrica,	 a	 energia	 é	 gerada	 com	
tensões	de	12	a	25	kV.	Os	transformadores	elevam	a	tensão	a	um	nível	entre	110	
kV	e	aproximadamente,	1.000	kV	para	realizar	a	 transmissão	a	 longa	distância	
com	perdas	muito	 baixas.	 Então,	 os	 transformadores	 abaixam	a	 tensão	para	 a	
faixa	de	12	a	34,5	kV	para	fazer	a	distribuição	local	e	finalmente	permitir	que	a	
energia	elétrica	seja	usada	de	forma	segura	em	lares,	escritórios	e	fábricas	com	
tensões	tão	baixas	quanto	120	V.
TIPOS E CONSTRUÇÃO DE TRANSFORMADORES
A	finalidade	principal	de	um	transformador	é	a	de	converter	a	potência	
elétrica	CA	de	um	nível	de	tensão	em	potência	elétrica	CA	de	mesma	frequência	
e	 outro	 nível	 de	 tensão.	 Os	 transformadores	 também	 são	 usados	 para	 outros	
propósitos	 (por	 exemplo,	 amostragem	 de	 tensão,	 amostragem	 de	 corrente	 e	
transformação	de	impedância).
Contudo,	 este	 capítulo	 será	 dedicado	 primariamente	 ao	 transformador	
de	 potência.	Os	 transformadores	 de	 potência	 são	 construídos	 com	um	núcleo	
que	pode	ser	de	dois	tipos.	Um	deles	consiste	em	um	bloco	retangular	laminado	
simples	de	aço	com	os	enrolamentos	do	 transformador	envolvendo	dois	 lados	
do	retângulo.	Esse	tipo	de	construção	é	conhecido	como	núcleo envolvido e	está	
ilustrado	na	Figura	2-2.	O	outro	 tipo	 consiste	 em	um	núcleo	 laminado	de	 três	
pernas	com	os	enrolamentos	envolvendo	a	perna	central.	Esse	tipo	de	construção	
é	conhecido	como	núcleo envolvente e	está	ilustrado	na	Figura	2-3.	Em	ambos	os	
casos,	 o	 núcleo	 é	 construído	 com	 lâminas	 ou	 chapas	 delgadas,	 eletricamente	
isoladas	entre	si	para	minimizar	as	correntes	parasitas.
Em	 um	 transformador	 real,	 os	 enrolamentos	 primário	 e	 secundário	
envolvem	um	ao	outro,	sendo	o	enrolamento	de	baixa	tensão	o	mais	interno.	Essa	
disposição	atende	a	dois	propósitos:
1-	Simplifica	o	problema	de	isolar	o	enrolamento	de	alta	tensão	do	núcleo.
2-	Resulta	 muito	 menos	 fluxo	 de	 dispersão	 do	 que	 seria	 o	 caso	 se	 os	 dois	
enrolamentos	estivessem	separados	de	uma	distância	no	núcleo.
40
UNIDADE 1 — TRANSFORMADORES IDEAIS E REAIS
Os	transformadores	de	potência	recebem	diversos	nomes,	dependendo	
do	uso	que	é	feito	nos	sistemas	de	potência	elétrica.	Um	transformador	conectado	
à	saída	de	uma	unidade	geradora	e	usado	para	elevar	a	 tensão	até	o	nível	de	
transmissão	(110	kV)	é	denominado	algumas	vezes	transformadorda	unidade	
de	 geração.	 Na	 outra	 extremidade	 da	 linha	 de	 transmissão,	 o	 denominado	
transformador	da	subestação	abaixa	a	tensão	do	nível	de	transmissão	para	o	nível	
de	distribuição	(de	2,3	a	34,5	kV).	Finalmente,	transformador	que	recebe	a	tensão	
de	distribuição	é	denominado	transformador	de	distribuição.	Esse	transformador	
abaixa	 a	 tensão	 de	 distribuição	 para	 o	 nível	 final,	 que	 é	 a	 tensão	 realmente	
utilizada	 (110,	 127,	 220	V	etc.).	Todos	 esses	dispositivos	 são	 essencialmente	o	
mesmo	–	a	única	diferença	entre	eles	está	na	finalidade	da	utilização.
Além	dos	diversos	transformadores	de	potência,	dois	transformadores	de	
finalidade	especial	 são	usados	para	medir	 a	 tensão	e	 a	 corrente	nas	máquinas	
elétricas	e	nos	sistemas	de	potência	elétrica.	O	primeiro	desses	transformadores	
especiais	 é	 um	 dispositivo	 especialmente	 projetado	 para	 tomar	 uma	 amostra	
de	 alta	 tensão	 e	 produzir	 uma	baixa	 tensão	 secundária	 que	 lhe	 é	 diretamente	
TÓPICO 3 — TRANSFORMADORES REAIS
41
proporcional.	Esse	transformador	é	denominado	transformador	de	potencial.	Um	
transformador	de	potência	também	produz	uma	tensão	secundária	diretamente	
proporcional	 à	 sua	 tensão	 primária.	 A	 diferença	 entre	 um	 transformador	 de	
potencial	 e	 um	 de	 potência	 é	 que	 o	 transformador	 de	 potencial	 é	 projetado	
para	 trabalhar	 apenas	 com	 uma	 corrente	 muito	 pequena.	 O	 segundo	 tipo	 de	
transformador	especial	é	um	dispositivo	projetado	para	 fornecer	uma	corrente	
secundária	muito	menor	 do	 que,	mas	 diretamente	 proporcional,	 sua	 corrente	
primária.	Esse	dispositivo	é	denominado	transformador	de	corrente.
FONTE: CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. 5 ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
42
RESUMO DO TÓPICO 3
Nesse tópico, você aprendeu que:
•	 O	 estudo	de	 transformadores	permite	 compreender	 como	 a	 energia	 elétrica	
pode	ser	transportada	de	um	circuito	elétrico	a	outro	através	do	acoplamento	
de	um	campo	magnético	variável	no	tempo,	estando	os	dois	circuitos	isolados	
eletricamente.
•	 Um	 transformador	 consiste	 em	 duas	 ou	mais	 bobinas	 e	 um	 "caminho",	 ou	
circuito	magnético,	 que	 "acopla”	 essas	 bobinas.	Além	 de	 transferir	 energia,	
esse	dispositivo	permite	transformar	(abaixar	ou	elevar)	 tensões,	correntes	e	
impedâncias.
•	 Os	elementos	de	um	transformador	são:	o	enrolamento	de	entrada,	chamado	
de	primário,	que	recebe	a	energia	elétrica	do	sistema	e	que	pode	ser	tanto	de	
alta	como	de	baixa	tensão,	o	enrolamento	de	saída,	chamado	secundário,	que	
entrega	a	energia	à	carga	conectada	aos	seus	terminais	e	que	também	pode	ser	
tanto	de	alta	quanto	de	baixa	tensão.	Pode	ainda	haver	mais	um	enrolamento	
no	 secundário	 conectado	 várias	 cargas	 diferentes,	 que	 é	 denominado	 de	
enrolamento	terciário.
•	 Um	núcleo	magnético,	composto	normalmente	de	um	material	ferromagnético,	
compõe	 o	 circuito	 magnético	 dele,	 sendo	 responsável	 pelo	 acoplamento	
magnético	da	máquina.
•	 Para	dirimir	os	efeitos	do	aquecimento	são	usados	elementos	refrigerantes	na	
sua	operação.	Os	principais	refrigerantes	usados	são	o	ar	e	o	óleo	mineral.
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
43
1	 Nos	 transformadores	 reais,	 em	virtude	de	 a	 relação	 entre	 as	 correntes	do	
primário	 e	 do	 secundário	 ser	 inversamente	 proporcional	 ao	 número	 de	
espiras	e	às	suas	relações,	pode-se	afirmar	que	também	não	existirá	corrente	
circulando	 na	 bobina	 do	 enrolamento	 primário.	 Então,	 com	 relação	 à	
convenção	do	ponto	no	transformador	real,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	se	 duas	 ou	 mais	 correntes	 estiverem	 entrando	 nos	 terminais	 dos	
enrolamentos	com	ponto,	elas	estarão	produzindo	forças	magnetomotriz	
que	se	suprimem.
b)	(			)	se	 duas	 ou	 mais	 correntes	 estiverem	 entrando	 nos	 terminais	 dos	
enrolamentos	com	ponto,	elas	estarão	produzindo	forças	magnetomotriz	
que	se	comprimem
c)	 (			)	se	 duas	 ou	 mais	 correntes	 estiverem	 entrando	 nos	 terminais	 dos	
enrolamentos	com	ponto,	elas	estarão	produzindo	 forças	magnetomotriz	
que	se	somam.
d)	(			)	se	 duas	 ou	 mais	 correntes	 estiverem	 entrando	 nos	 terminais	 dos	
enrolamentos	com	ponto,	elas	estarão	produzindo	forças	magnetomotriz	
que	se	anulam.
2	 Um	transformador	tem,	nos	seus	terminais	da	bobina	secundária,	10	volts	e	
uma	corrente	de	1A	enquanto	consome	100	watts	de	uma	linha	de	110	volts.	
Qual	é	a	eficiência	desse	transformador?
a)	(			)	Ef	=	10%.
b)	(			)	Ef	=	20%.
c)	 (			)	Ef	=	30%.
d)	(			)	Ef	=	40%.
 
3	 Os	transformadores	reais,	quando	em	operação,	apresentam	aquecimento	
nos	 enrolamentos	 tanto	 na	 bobina	 primária	 quanto	 na	 secundária.	 O	
núcleo	também	aquece,	dissipando,	assim,	um	percentual	da	potência	de	
entrada	 no	 próprio	 transformador,	 o	 que	 faz	 os	 transformadores	 reais,	
na	prática,	nunca	terem	eficiência	de	100	por	cento.	Por	isso,	quando	se	
compara	um	transformador	 ideal	com	um	transformador	real,	assinale	a	
alternativa	CORRETA:
a)	(			)	o	núcleo	que	faz	o	acoplamento	das	bobinas	tem	sempre	permeabilidade	
magnética	infinita	nos	transformadores	reais.
b)	(			)	o	núcleo	que	faz	o	acoplamento	das	bobinas	tem	sempre	permeabilidade	
magnética	baixa	nos	transformadores	ideais.
c)	 (			)	o	núcleo	que	faz	o	acoplamento	das	bobinas	tem	sempre	permeabilidade	
magnética	resistiva	tanto	nos	transformadores	reais	quanto	nos	ideais.
d)	(			)	o	núcleo	que	faz	o	acoplamento	das	bobinas	tem	sempre	permeabilidade	
magnética	infinita	nos	transformadores	ideais.
AUTOATIVIDADE
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4	 Se	um	transformador	com	80%	de	eficiência	 fornece	100	watts	para	uma	
carga	 que	 está	 conectada	 ao	 secundário	 do	 transformador,	 que	 tem	 seu	
primário	ligado	a	uma	linha	de	220	volts,	ele	consumirá	quanto	de	corrente	
no	seu	primário?
a)	(			)	Ip	=	5,68	mA.
b)	(			)	Ip	=	56,8	mA.
c)	 (			)	Ip	=	568	mA.
d)	(			)	Ip	=	5680	mA.
5	 Um	 transformador	 é	 composto	 por	 duas	 ou	 mais	 bobinas	 em	 que	 um	
fluxo	magnético,	 que	 é	 comum	 a	 elas,	 faz	 o	 acoplamento.	A	 bobina	 do	
enrolamento	 primário	 do	 transformador,	 quando	 ligado	 a	 uma	 fonte	
de	 tensão	 alternada	 (CA),	 gera	 um	 campo	magnético	 alternado	 em	 que	
a	 amplitude	 desse	 campo	 está	 diretamente	 relacionada	 com	 a	 tensão	
conectada	 ao	 enrolamento	 primário,	 à	 frequência	 da	 tensão	 aplicada	 ao	
primário	e	ao	número	de	espiras	do	enrolamento	primário.	Considerando	
isso,	o	que	é	o	fluxo	mútuo	de	um	transformador?
a)	(			)	Uma	parcela	do	fluxo	magnético	que	liga	o	enrolamento	das	bobinas	do	
secundário,	induzindo	nesse	enrolamento	uma	tensão	na	qual	seu	valor	
está	diretamente	relacionado	com	o	número	de	espiras	do	enrolamento	
secundário,	com	a	frequência	e	com	a	magnitude	do	fluxo	comum.
b)	(			)	O	fluxo	contrário	ao	enrolamento	das	bobinas	do	secundário,	induzindo	
nesse	enrolamento	uma	corrente	mútua	ao	fluxo,	com	a	frequência	e	
com	a	magnitude	do	fluxo	comum.
c)	 (			)	A	 parcela	 do	 campo	 magnético	 gerado	 no	 enrolamento	 primário	
do	 transformador	 ideal	 que	não	 tem	núcleo	para	 concatenar	o	fluxo	
comum	com	o	enrolamento	secundário.
d)	(			)	O	fluxo	etário	ao	enrolamento	das	bobinas	do	secundário,	induzindo,	
nesse	 enrolamento,	 uma	 tensão	 na	 qual	 seu	 valor	 está	 diretamente	
relacionado	com	o	número	de	espiras	do	enrolamento	secundário,	com	a	
frequência	e	com	a	magnitude	do	fluxo	comum.
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REFERÊNCIAS
BOYLESTAD,	R.	L.	Análise de Circuitos.	12ª	ed.	São	Paulo:	Prentice	Hall,	2012.
CHAPMAN,	S.	J.	Fundamentos de máquinas elétricas.	5.	ed.	Porto	Alegre:	
AMGH;	Bookman,	2013.	700	p.
MAMEDE	FILHO,	J.	Manual de equipamentos elétricos.	4.	ed.	Rio	de	Janeiro:	
LTC,	2013.
UMANS,	S.	D.	Máquinas elétricas de Fitzgerald e Kingsley.	7.	ed.	Porto	Alegre:	
AMGH;	Bookman,	2014.	728	p.
VICVERG.	Transformador esquema.	2014.	Disponível	em:	https://commons.
wikimedia.org/wiki/File:Transformador_Esquema001.PNG.