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Fuja do Nabo: Física II – P2 – 2014 – Rogério Motisuki Oscilações – Resumo Teórico Oscilações simples O famoso MHS. A descrição do movimento pode ser escrita da forma: ���� = � cos� �� + � Sim, é exatamente igual à descrição de uma onda harmônica, e ambas estão estritamente relacionadas. Os pontos de uma corda realizam um movimento oscilatório quando a onda se propaga por ela. E do mesmo jeito, podemos achar a velocidade e a aceleração derivando: ���� = − �� sen� �� + � ���� = − ��� cos� �� + � Observe agora uma relação interessante: ���� = ������ = − �� ���� Por que isso é tão importante? Essa é a equação diferencial que dá origem ao movimento oscilatório. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona a variável com suas derivadas, em vez de suas potências. Sua resolução é muito mais complexa, portanto nesta matéria as soluções são dadas. O principal é saber montar a equação e identificar qual solução é de qual caso e conhecer todos os parâmetros. Obtenção da equação diferencial Olhando pra carinha da equação que obtivemos acima, temos uma dica: envolve aceleração. O que mais tem aceleração? Sim, � = �� O exemplo mais simples possível: Massa-mola ���� = −�� ⇔ �� = −�� ⇔ � = ������ = − ��� Comparando com a outra equação, obtemos que: �² = �� ⇔ � = ��� Lembrando da relação com o período, obtemos uma relação famosa: � = �� = 2"��� Não estamos restritos somente à movimentos lineares. Poderíamos fazer a mesma coisa com ângulo e aceleração angular, que é o caso do pêndulo: No caso angular, � = �� se torna # = $% O torque da força peso é −�&. �(. )*+,�. O momento de inércia da massa pontual é �(². Portanto, a equação fica: −�&()*+, = �(�% ⇔ % = ��,��� = −&( )*+, ≈ −&( , ⇔ � = �&( Sem utilizar a aproximação de pequenos ângulos, o pêndulo não é mais uma oscilação simples. Resumindo: se você sabe escrever a equação diferencial, através de � = �� e # = $% você consegue encontrar a frequência de oscilação � e consequentemente o período. Os outros parâmetros (amplitude e fase) são obtidos por outras formas. Geralmente leitura em gráfico, ou dado no enunciado, ou algo do tipo. Oscilação de duas partículas Esse é um problema um pouco mais complicado, mas pode ser resolvido facilmente utilizando a técnica certa. O problema com 2 corpos pode ser simplificado para uma oscilação de um corpo só, utilizando o conceito de massa reduzida: = Onde . é chamado de massa reduzida, e vale a relação: 1. = 1�0 + 1�� O que isso significa? Nessas duas situações, a frequência de oscilação será igual. Oscilações Amortecidas Uma oscilação amortecida nada mais é uma oscilação simples, mas com atrito. Se modelarmos o atrito de forma que ele seja proporcional à velocidade, a equação diferencial fica um pouco mais complicada. A equação diferencial é da forma: �²���² + 1 ���� + ��� = 0 3+�* 1 = 4� , �678 = −4� Note que temos dois parâmetros agora: 1, que representa o atrito, e �, que representa a tendência de oscilação. Durante a resolução da equação, aparece uma equação do segundo grau, e portanto temos 3 possibilidades para a solução, e damos nomes para elas: Amortecimento subcrítico Acontece quando: � 9 12 Único caso onde há oscilação. A equação do movimento é dado por: ���� = �*:;�7 cos� � + � 3+�* = < �� − 1�4 Muito cuidado para não confundir > com >?! : frequência de oscilação real, aquela que realmente ocorrerá �: frequência de oscilação natural, recebe esse nome pois é a frequência original sem o amortecimento. Amortecimento crítico Acontece quando: � = 12 Neste caso, não há oscilação. O sistema retorna ao ponto de equilíbrio no tempo mínimo possível dentre os 3 casos de amortecimento. A equação do movimento é dada por: ���� = *:;�7 �� + A�� Amortecimento supercrítico Acontece quando: � B 12 Também não há oscilação. O sistema volta ao estado de equilíbrio seguindo uma exponencial. A equação do movimento é dada por: ����= *−12� C�*D�+A*−D�E 3+�* D = <124 − 02 Visualização dos 3 tipos de amortecimento: O principal é saber identificar os tipos de amortecimento e suas respectivas soluções. Com a solução em mãos, basta achar o resto dos parâmetros a partir de informações dadas no enunciado. Agora só resta fazer exercícios para praticar…
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